平面向量重难点解析
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. 平面向量 重难点解析
课文目录
2．1 平面向量的实际背景及基本概念
2．2 平面向量的线性运算
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．4 平面向量的数量积
2．5 平面向量应用举例
目标：
1、理解和掌握平面向量有关的概念；
2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；
3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；
4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用；
重难点：
重点：向量的综合应用。
难点：用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化。
【要点精讲】
1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示-----AB(几何表示法)；
②用字母a、b等表示(字母表示法)；
③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj，),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作(,)axy，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)。22axy；若),(11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB，222121()()ABxxyy
3.零向量、单位向量：
①长度为0的向量叫零向量，记为0；
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：||aa就是单位向量）
4.平行向量：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； .
. ②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.
性质：//(0)(abbab是唯一）||babaab0,与同向方向---0,与反向长度---
1221//(0)0abbxyxy （其中 1122(,),(,)axybxy）
5.相等向量和垂直向量：
①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
②垂直向量——两向量的夹角为2
性质：0abab
12120abxxyy （其中 1122(,),(,)axybxy）
6.向量的加法、减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
平行四边形法则：
ACab（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）
DBab
三角形法则,加法首尾相连减法终点相连方向指向被减数
——加法法则的推广： 112nABABBB……1nnBB
即n个向量12,,aa……na首尾相连成一个封闭图形，则有12aa……0na
②向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a b=
a+ (b)；
差向量的意义： OA= a, OB=b, 则BA=a b .
.
③平面向量的坐标运算：若11(,)axy，22(,)bxy，则ab),(2121yyxx，ab),(2121yyxx，(,)axy。
④向量加法的交换律：a+b=b+a；向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)
⑤常用结论：
（1）若1()2ADABAC，则D是AB的中点
（2）或G是△ABC的重心，则0GAGBGC
7．向量的模：
1、定义：向量的大小，记为 |a| 或 |AB|
2、模的求法：
若 (,)axy，则 |a|22xy
若1122(,),(,)AxyBxy， 则 |AB|222121()()xxyy
3、性质：
（1）22||aa； 22||(0)||abbab （实数与向量的转化关系）
（2）22||||abab，反之不然
（3）三角不等式：||||||||||ababab
（4）||||||abab （当且仅当,ab共线时取“=”）
即当,ab同向时 ，||||abab； 即当,ab同反向时 ，||||abab
（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，
即22222||2||||||ababab
8．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa|=|λ||a|；
（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0；
（3）运算定律 λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb .
.
交换律：abba;
分配律：()abcacbc
(a)·b=(a·b)=a·(b);
——①不满足结合律：即()()abcabc
②向量没有除法运算。如：abcbac，2aaabb都是错误的
（4）已知两个非零向量,ab，它们的夹角为，则
ab =||||cosab
坐标运算：1122(,),(,)axybxy，则1212abxxyy
（5）向量ABa在轴l上的投影为：
︱a︱cos，
（为an与的夹角，n为l的方向向量）
其投影的长为//||anABn （||nn为n的单位向量）
（6）ab与的夹角和ab的关系：
（1）当0时，ab与同向；当时，ab与反向
（2）为锐角时，则有0,abab不共线； 为钝角时，则有0,abab不共线
9．向量共线定理：
向量b与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa。
10．平面向量基本定理：
如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有.
. 且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e。
(1)不共线向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a在给出基底1e、2e的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e，2e唯一确定的数量。
向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=(x2-x1,y2-y1)
11. 向量a和b的数量积：
①a·b=| a|·|b|cos，其中∈[0，π]为a和b的夹角。
②|b|cos称为b在a的方向上的投影。
③a·b的几何意义是：b的长度|b|在a的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。
④若a =（1x，1y）, b=（x2，2y）, 则2121yyxxba
⑤运算律：a· b=b·a, (λa)· b=a·(λb)=λ（a·b）， （a+b）·c=a·c+b·c。
⑥a和b的夹角公式：cos=abab＝222221212121yxyxyyxx
⑦2aaa|a|2=x2+y2，或|a|=222ayx⑧|
a·b |≤| a |·| b |。
)3,3(321321yyyxxx
12.两个向量平行的充要条件：
符号语言：若a∥b，a≠0，则a=λb
坐标语言为：设a=（x1,y1），b=(x2,y2)，则a∥b(x1,y1)=λ(x2,y2)，即2121yyxx，或x1y2-x2y1=0
在这里，实数λ是唯一存在的，当a与b同向时，λ>0；当a与b异向时，λ<0。 .
. |λ|=|b||a|，λ的大小由a及b的大小确定。因此，当a，b确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。
13.两个向量垂直的充要条件：
符号语言：a⊥ba·b=0
坐标语言：设a=(x1,y1), b=(x2,y2)，则a⊥bx1x2+y1y2=0
【典型例题】
例1、如图，OA，OB为单位向量，OA与OB夹角为1200， OC与OA的夹角为450，|OC|=5，用OA，OB表示OC。
解题思路分析：
以OA，OB为邻边，OC为对角线构造平行四边形
把向量OC在OA，OB方向上进行分解，如图，设OE=λOA，OD=μOB，λ>0，μ>0
则OC=λOA+μOB
∵ |OA|=|OB|=1
∴ λ=|OE|，μ=|OD|
△OEC中，∠E=600，∠OCE=750，由00045sin|CE|60sin|OC|75sin|OE|得：
6)623(560sin75sin|OC||OE|00
36560sin45sin|OC||CE|00
∴ 365,6)623(5
∴ OB365OA6)623(5OC
说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理
例2、已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD坐标。
解题思路分析：
