平面向量的应用重难点解析版
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1 突破6.4 平面向量的应用
一、学情分析
高考对本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算，以运算求解和数形结合为主，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等，注重转化与化归思想的应用.
1．平面向量的数量积一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的
运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.
2．平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高
考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换．
二、学法指导与考点梳理
考点一 向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 所用知识 公式表示
线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题 数量积的定义 cos θ＝a·b|a||b|(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题 数量积的定义 |a|＝a2＝x2＋y2，
其中a＝(x，y)，a为非零向量
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题。
考点二 正弦定理和余弦定理
1.在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式 asin A＝bsin B＝csin C＝2R a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；
2 c2＝a2＋b2－2abcosC
常见
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；
(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝b2＋c2－a22bc；
cos B＝c2＋a2－b22ac；
cos C＝a2＋b2－c22ab
2.S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin
A bsin Ab a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
三、重难点题型突破
重难点题型突破1 平面向量在平面几何中的应用（奔驰定理）
例1、（1）．（2022·四川西昌·高二期末（理））在平面上有ABC及内一点O满足关系式：0OBCOACOABSOASOBSOC△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC的三边为a，b，c，现有0aOAbOBcOC则O为ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。
【详解】
记点O到AB、BC、CA的距离分别为123hhh，，，212OBCSah，312OACSbh，112OABSch，因为0OBCOACOABSOASOBSOC△△△，则233111=0222ahOAbhOBchOC，即2310ahOAbhOBchOC，又因为0aOAbOBcOC，所以123hhh，所以点P是△ABC的内心.
故选：B
3 （2）．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，CBa=，CAb=，且sinsinabOPOCmaBbA=+，mR，则点P的轨迹一定通过ABC的（
）
A．重心 B．内心
C．外心 D．垂心
【答案】A
【解析】
【分析】
过C作CHAB，交AB于H，取AB中点D，连接CD，所以sinsinaBbACH，根据向量的线性运算法则，化简可得2mCPCDCH，根据三角形的性质，分析即可得答案.
【详解】
过C作CHAB，交AB于H，取AB中点D，连接CD，如图所示：
根据三角函数定义可得sinsinaBbACH，
因为sinsinabOPOCmaBbA=+，
所以=+mOPOCabCH，即2mCPCDCH，
即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，
所以点P的轨迹一定通过ABC的重心.
故选：A
【变式训练1-1】、（2021·河南·高三阶段练习（文））已知D是ABC内部（不含边界）一点，若::5:4:3ABDBCDCADSSS△△△，ADxAByAC，则xy（ ）
A．23 B．34 C．712 D．1
【答案】A
4 【解析】
【分析】
根据向量共线可得AMADxAByAC,BMBC,化简可得1xy，
转化为1xy，根据AMAD，再利用三角形的面积表示出来即可得解.
【详解】
如图，连接AD并延长交BC与点M,
设点B到直线AD的距离为Bd,点C到直线AD的距离为Cd,
因为::5:4:3ABDBCDCADSSS△△△，
所以设5,4,3ABDBCDCADSkSkSk△△△，
因为AM与向量AD共线，
设AMADxAByAC,BMBC,
AMABBM
ABBC
()(1),ABACABABAC
所以1xy，
即11xy，
AMADDMADAD
()()()BCBCADDMddADdd
111()53432221153222BBcBCCADdADdDMddkkkkkADdADd,
所以123xy
故选：A
5 【变式训练1-2】、（2021·新疆维吾尔自治区喀什第六中学高三阶段练习）已知点M是ABC所在平面内一点，若1123AMABAC，则ABM与BCM的面积之比为（ ）
A．83 B．52 C．2 D．43
【答案】C
【解析】
【分析】
特例验证法解选择题是一个快捷途径.本题可以把ABC设为90A的三角形.
【详解】
不妨设ABC中，90A，边长2c，边长3b，
以A为原点、AB为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系
则(0,0)A、(2,0)B、(0,3)C,
(2,0),(0,3)ABAC,设(,)Mxy，则(,)AMxy
故1111=(20)+(0,3)=(1,1)2323AMABAC，
可得11xy，故(1,1)M
ABM的面积为121=12，
BCM的面积为1111233121=2222
则ABM与BCM的面积之比为1=212
故选：C
重难点题型突破2 正弦定理
例2．（1）．（2022·河南·高三开学考试（文））在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3A，23a，22b，则B（ ）
A．4 B．3 C．4或34 D．3或23
6 【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意和正弦定理求出sinB，结合ba即可求出角B.
【详解】
由正弦定理可得sinsinabAB，
则322sin22sin223bABa，
故4B或34B.
因为ba，所以BA，所以4B.
故选：A
（2）．（2021·安徽·六安二中高二阶段练习）（多选题）已知,,abc分别是ABC三个内角,,ABC的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若ABC是锐角三角形，则sincosAB
B．若coscosaAbB，则ABC是等腰三角形
C．若coscosbCcBb，则ABC是等腰三角形
D．若ABC是等边三角形，则coscoscosabcABC
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用诱导公式及正弦函数的性质可判断A，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C，利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D.
【详解】
对于A，因为ABC是锐角三角形，所以2AB，所以sinsin2AB，即sincosAB，故A正确；
对于B，由coscosaAbB及正弦定理，可得sincossincosAABB，即sin2sin2AB，所以22AB或22AB，所以AB或2AB，所以ABC是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，由coscosbCcBb及正弦定理化边为角，可知sincossincossinBCCBB，即sinsinAB，因为,AB为ABC的内角，所以AB，所以ABC是等腰三角形，故C正确；
