2020年天津市十二区县重点学校高考数学二模试卷 (解析版)
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2020年天津市十二区县重点学校高考数学二模试卷
一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）
1. 已知全集𝑈={1,2，3，4，5，6}，集合𝐴={1,3，4，6}，集合𝐵={2,3，5}，则集合𝐴∩(∁𝑈𝐵)为( )
A. {3} B. {2,5} C. {1,4，6} D. {2,3，5}
2. 设𝑥>0,𝑦∈𝑅，则𝑥>𝑦是𝑥>|𝑦|的 ( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要
3. 某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )
A. 45 B. 50 C. 55 D. 60
4. 若(𝑥+𝑎)2(1𝑥−1)5的展开式中常数项为−1，则的值a为( )
A. 1 B. 9 C. −1或−9 D. 1或9
5. 抛物线𝑥2=8𝑦的焦点到双曲线𝑥2−𝑦23=1的渐近线的距离是( )
A. 1 B. 2 C. √3 D. 2√3
6. 函数𝑓(𝑥)=(𝑒𝑥−1)𝑐𝑜𝑠𝑥𝑒𝑥+1的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
7. 已知𝑓(𝑥+2)是偶函数，且函数𝑓(𝑥)在[2,+∞)上是单调递增，则( ) A. 𝑓(3)>𝑓(0) B. 𝑓(3)>𝑓(1) C. 𝑓(0)<𝑓(1) D. 𝑓(4)>𝑓(1)
8. 设函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜋5)(𝜔>0)，若𝑓(𝑥)在[0,2𝜋]上有且仅有5个零点，则𝜔的取值范围为( )
A. [125,2910) B. (125,2910] C. (125,2910) D. [125,2910]
9. 已知函数𝑓(𝑥)={𝑥−1𝑥−1−2,𝑥≤0𝑙𝑛𝑥,𝑥>0，若|𝑓(𝑥)|≥𝑎(𝑥−1)，则a的取值范围是( )
A. (−∞,−1) B. [−1,1] C. [0,1] D. [−1,0]
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
10. 若复数𝑧=2+𝑖，𝑧是z的共轭复数，则𝑧·𝑧=________．
11. 直线𝑦=−𝑥与圆(𝑥−1)2+(𝑦−1)2=4相交于点A，B，则弦AB的长为______．
12. 一个棱长为12的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体，且能使该正四面体在铁盒内任意转动，则该正四面体的体积的最大值是_____．
13. 某班共有学生40人，将一次数学考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示．为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50,70)内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60,70)内的人数，则X的数学期望为__________．
14. 已知正数x，y满足𝑥+𝑦=1，则4𝑥+1+9𝑦+1的最小值是______．
15. 在△𝐴𝐵𝐶中，M是线段BC的中点，𝐴𝑀=3，𝐵𝐶=10，则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =_______．
三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）
16. 设△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且𝑏=3，𝑐=1，𝐴=2𝐵．
(1)求a的值；
(2)求sin(𝐴+𝜋4)的值．
17. 如图，正四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐴1=2𝐴𝐵．
(1)求𝐴𝐷1与平面𝐵𝐵1𝐷1𝐷所成角的正弦值；
(2)点E在侧棱𝐴𝐴1上，若二面角𝐸−𝐵𝐷−𝐶1的余弦值为√33，求𝐴𝐸𝐴𝐴1的值．
18. 已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)离心率为√22，其短轴长为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，A为椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上两动点，直线PO交AQ于E，直线QO交AP于D，直线OP与直线OQ的斜率分别为𝑘1，𝑘2，且𝑘1𝑘2=−12，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜇𝐸𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ (𝜆,𝜇为非零实数)，求𝜆2+𝜇2的值．
19. 设数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，且2𝑆𝑛+1=4𝑎𝑛，数列{𝑏𝑛}满足(12) 𝑏𝑛=𝑎𝑛2．
(Ⅰ)求数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}的通项公式；
(Ⅱ)令𝑐𝑛=𝑏𝑛𝑎𝑛，求数列{𝑐𝑛}的前n项和𝑇𝑛．
20. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑙𝑛(𝑥+1)−𝑥−1(𝑎∈𝑅)．
(1)讨论函数𝑓(𝑥)的单调性
(2)令函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑒𝑥，若𝑥∈[0,+∞)时，𝑔(𝑥)≥0，求实数a的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：解：∁𝑈𝐵={1,4，6}；
∴𝐴∩(∁𝑈𝐵)={1,4，6}．
故选：C．
进行补集、交集的运算即可．
考查列举法的定义，以及补集和交集的运算．
2.答案：C
解析：
本题考查充分、必要条件的判断，题目基础．
取𝑥=1,𝑦=−2，判断充分性不成立，根据不等式的性质可判断必要性成立．
解：设𝑥>0,𝑦∈𝑅，则𝑥>𝑦不一定有𝑥>|𝑦|，如𝑥=1,𝑦=−2，故充分性不成立；
因为𝑥>|𝑦|⩾𝑦，故𝑥>|𝑦|一定有𝑥>𝑦，故必要性成立，
则𝑥>𝑦是𝑥>|𝑦|的必要不充分条件，
故选C．
3.答案：B
解析：
本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．
由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．
解：低于60分的频率是(0.005+0.01)×20=0.3，
所以该班学生人数是150.3=50．
4.答案：D
解析：
本题主要考查二项式定理展开式的通项公式，属于基础题．
先将(𝑥+𝑎)2展开，再求出(1𝑥−1)5的通项，利用多项式的乘法求出展开式的常数项，列出方程求出a的值．
解：∵(𝑥+𝑎)2=𝑥2+2𝑎𝑥+𝑎2
∵(1𝑥−1)5展开式的通项为𝑇𝑟+1=𝐶5𝑟 (1𝑥)5−𝑟 (−1)𝑟=(−1)𝑟𝐶5𝑟𝑥𝑟−5
∴(𝑥+𝑎)2(1𝑥−1)5展开式的常数项为−𝐶53+2𝑎𝐶54−𝑎2
∴−𝐶53+2𝑎𝐶54−𝑎2=−1
解得𝑎=1或9
故选：D．
5.答案：A
解析：解：抛物线𝑥2=8𝑦的焦点坐标为(0,2)，双曲线𝑥2−𝑦23=1的渐近线的方程为𝑥±√33𝑦=0，
∴抛物线𝑥2=8𝑦的焦点到双曲线𝑥2−𝑦23=1的渐近线的距离是2√33√1+13=1．
故选A．
求出抛物线𝑥2=8𝑦的焦点坐标、双曲线𝑥2−𝑦23=1的渐近线的方程，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．
本题考查双曲线、抛物线简单性质，考查点到直线的距离公式的应用，求出焦点坐标和渐近线方程，是解题的突破口．
6.答案：A
解析：解：𝑓(−𝑥)=(𝑒−𝑥−1) cos(−𝑥)𝑒−𝑥+1=−(𝑒𝑥−1)𝑐𝑜𝑠𝑥𝑒𝑥+1=−𝑓(𝑥)，
∴函数𝑓(𝑥)为奇函数，故排除B，D，
当𝑥→+∞时，𝑓(𝑥)→0，故排除C，
故选：A．
先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出．
本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化趋势是关键，属于中档题
