2021年天津市红桥区高考数学二模试卷(解析版)

2021年天津市红桥区高考数学二模试卷

一、选择题（共9小题）.

1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，B＝{4}，则（∁UA）∩B＝（ ）

A．{2} B．{4} C．{2，4} D．{1，3，4}

2．设x∈R，则“x2﹣3x＜0”是“1＜x＜2”的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．函数（其中e为自然对数的底）的图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

4．2021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛活动．比赛分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图所示，则该校获得复赛资格的人数为（ ）

A．650 B．660 C．680 D．700

5．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球面上，且AB＝6，，则棱锥O﹣ABCD的体积为（ ）

A． B． C． D．12 6．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝﹣f（），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（ ）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b

7．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与抛物线y2＝4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|＝，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x

8．设函数f（x）＝cos2x+sinxcosx，给出下列结论：

①f（x）的最小正周期为π；

②f（x）在[，]单调递减；

③y＝f（x）的图象关于直线x＝对称；

④把函数y＝cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数y＝f（x）的图象．

其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．已知函数f（x）＝，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3+x4的取值范围为（ ）

A．（5，e+3] B．[4，4+e） C．[4，+∞） D．（﹣∞，4]

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.

10．i为虚数单位，复数z＝，则z＝

．

11．在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是 ．（用数字作答）

12．过点（1，）的直线l，截圆x2+y2＝4所得弦长为，则直线l的方程为 ．

13．在抗击新冠肺炎疫情期间，甲、乙两所医院各选派了6名医护人员加入“援鄂医疗队”，其中甲院选派人员中有4名男医生、2名女医生，乙院选派人员中有1名男医生、5名女医生．现需要分别从甲、乙两院选派的人员中各随机抽调出一名医生作为联络人，则抽调出的两名医生都是男医生的概率为

．

14．已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为

．

15．如图，在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝CD＝1，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且满足OM⊥BD，则的值为

．

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，c＝2，．

（Ⅰ）求边a及角B的值；

（Ⅱ）求的值．

17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，AB＝1，BC＝2，PA＝1，AB⊥BC，N为PD的中点．

（Ⅰ）求证：AN∥平面PBC；

（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值．

18．已知椭圆的离心率为，F1、F2分别为椭圆E的左、右焦点，M为E上任意一点，的最大值为1，椭圆右顶点为A．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若过A的直线l交椭圆于另一点B，过B作x轴的垂线交椭圆于C（C异于B点），连接AC交y轴于点P．如果时，求直线l的方程．

19．已知等比数列{an}的公比为3，且a4﹣a3＝30．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an，及前n项和Sn；

（Ⅱ）若数列{bn}满足﹣1，且b1＝1．

（ⅰ）求数列{bn}的通项公式bn；

（ⅱ）求．

20．已知函数f（x）＝lnx+（a∈R且a≠0），g（x）＝（b﹣1）x﹣xex﹣（b∈R）

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）当a＝1时，若关于x的不等式f（x）+g（x）≤﹣2恒成立，求实数b的取值范围．

参考答案

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，B＝{4}，则（∁UA）∩B＝（ ）

A．{2} B．{4} C．{2，4} D．{1，3，4}

解：∵全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，

∴∁UA＝{2，4}

∵B＝{4}，

∴（∁UA）∩B＝{4}

故选：B．

2．设x∈R，则“x2﹣3x＜0”是“1＜x＜2”的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解：∵x2﹣3x＜0，∴0＜x＜3，

∵{x|1＜x＜2}⊊{x|0＜x＜3}，

∴x2﹣3x＜0是1＜x＜2的必要不充分条件．

故选：C．

3．函数（其中e为自然对数的底）的图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

解：显然y＝是偶函数，图象关于y轴对称，排除D，

当x＞0时，y′＝， ∴当0＜x＜2时，y′＞0，当x＞2时，y′＜0，

∴y＝在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，排除B，C，

故选：A．

4．2021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛活动．比赛分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图所示，则该校获得复赛资格的人数为（ ）

A．650 B．660 C．680 D．700

解：由频率分布直方图可得，学生初赛成绩在（30，90]分的频率为（0.0025+0.0075+0.0075）×20＝0.35，

所以学生初赛成绩大于90分的频率为1﹣0.35＝0.65，

则该校获得复赛资格的人数为0.65×1000＝650．

故选：A．

5．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球面上，且AB＝6，，则棱锥O﹣ABCD的体积为（ ）

A． B． C． D．12

解：∵矩形ABCD的顶点都在半径为4的球面上，且AB＝6，，

∴矩形的对角线的长为：＝4，

∴球心到矩形的距离为：＝2，

所以棱锥O﹣ABCD的体积为：

VO﹣ABCD＝＝8．

故选：A． 6．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝﹣f（），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（ ）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b

解：奇函数f（x）在R上是增函数，

∴a＝﹣f（）＝f（log25），

b＝f（log24.1），

c＝f（20.8），

又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，

∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），

即c＜b＜a．

故选：C．

7．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与抛物线y2＝4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|＝，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x

解：∵抛物线y2＝4x的焦点坐标F（1，0），p＝2，

抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，

∴p＝2c，即c＝1，

∵设P（m，n），由抛物线定义知：

|PF|＝m+＝m+1＝，∴m＝．

∴P点的坐标为（，±）

∴解得：，

则渐近线方程为y＝±x，

故选：C．

8．设函数f（x）＝cos2x+sinxcosx，给出下列结论：

①f（x）的最小正周期为π； ②f（x）在[，]单调递减；

③y＝f（x）的图象关于直线x＝对称；

④把函数y＝cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数y＝f（x）的图象．

其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解：对于①：f（x）＝cos2x+sinx•cosx＝cos2x+sin2x＝cos（2x﹣），

最小正周期T＝＝＝π，故①对．

对于②：令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，k为整数，

解得kπ+≤x≤kπ+，

令k＝0得≤x≤，故f（x）在[，]上单调递减．

令2kπ+π≤2x﹣≤2kπ+2π，k为整数，

解得+kπ≤x≤+kπ，

令k＝0得x∈[，]，

故f（x）在[，]上单调递增．

故x∈[，]时，f（x）在[]上单调递减，在[，]上单调递增，故②错误．

对于③：令2x﹣＝kπ，k为整数，解得x＝，k为整数．

令k＝0，故x＝

即f（x）图象关于x＝对称，③对．

对于④：把函数y＝cos2x图象上点向右平移个单位长度，则得到

y＝cos2（）＝cos（2x﹣）＝f（x）的图象，故④对．

综上所述，正确结论有①，③，④这三个．

故选：C． 9．已知函数f（x）＝，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3+x4的取值范围为（ ）

A．（5，e+3] B．[4，4+e） C．[4，+∞） D．（﹣∞，4]

解：函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，即两函数y＝f（x）与y＝a图象有四个不同的交点，如图所示，

由图象可知，1＜a≤e，

x1，x2是方程的两根，即x2+2x+1﹣lna＝0的两根，∴x1x2＝1﹣lna，

x3，x4是方程的两根，即x2﹣（3+a）x+4＝0的两个根，∴x3+x4＝3+a，

∴x1x2+x3+x4＝4+a﹣lna，

∵函数y＝a﹣lna，在（1，e]上单调递增，∴4+a﹣lna∈（5，e+3]，

∴x1x2+x3+x4的取值范围为（5，e+3]．

故选：A．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.

10．i为虚数单位，复数z＝，则z＝ 4﹣3i ．

解：复数z＝＝＝＝4﹣3i，

故答案为：4﹣3i．

11．在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是 21 ．（用数字作答）