全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编专题09三角函数(含答案及解析)

1 全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编：

09 三角函数

1．【2022年全国甲卷】将函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+π3)(𝜔>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则𝜔的最小值是（ ）

A．16 B．14 C．13 D．12

【答案】C

【解析】

【分析】

先由平移求出曲线𝐶的解析式，再结合对称性得𝜔𝜋2+𝜋3=𝜋2+𝑘𝜋,𝑘∈Z，即可求出𝜔的最小值.

【详解】

由题意知：曲线𝐶为𝑦=sin[𝜔(𝑥+𝜋2)+𝜋3]=sin(𝜔𝑥+𝜔𝜋2+𝜋3)，又𝐶关于𝑦轴对称，则𝜔𝜋2+𝜋3=𝜋2+𝑘𝜋,𝑘∈Z，

解得𝜔=13+2𝑘,𝑘∈Z，又𝜔>0，故当𝑘=0时，𝜔的最小值为13.

故选：C.

2．【2022年全国甲卷】设函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则𝜔的取值范围是（ ）

A．[53,136) B．[53,196) C．(136,83] D．(136,196]

【答案】C

【解析】

【分析】

由𝑥的取值范围得到𝜔𝑥+𝜋3的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．

【详解】

解：依题意可得𝜔>0，因为𝑥∈(0,𝜋)，所以𝜔𝑥+𝜋3∈(𝜋3,𝜔𝜋+𝜋3)，

要使函数在区间(0,𝜋)恰有三个极值点、两个零点，又𝑦=sin𝑥，𝑥∈(𝜋3,3𝜋)的图象如下所示： 2

则5𝜋2<𝜔𝜋+𝜋3≤3𝜋，解得136<𝜔≤83，即𝜔∈(136,83]．

故选：C．

3．【2022年全国乙卷】函数𝑓(𝑥)=cos𝑥+(𝑥+1)sin𝑥+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为（ ）

A．−π2，π2 B．−3π2，π2 C．−π2，π2+2 D．−3π2，π2+2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用导数求得𝑓(𝑥)的单调区间，从而判断出𝑓(𝑥)在区间[0,2π]上的最小值和最大值.

【详解】

𝑓′(𝑥)=−sin𝑥+sin𝑥+(𝑥+1)cos𝑥=(𝑥+1)cos𝑥，

所以𝑓(𝑥)在区间(0,π2)和(3π2,2π)上𝑓′(𝑥)>0，即𝑓(𝑥)单调递增；

在区间(π2,3π2)上𝑓′(𝑥)<0，即𝑓(𝑥)单调递减，

又𝑓(0)=𝑓(2π)=2，𝑓(π2)=π2+2，𝑓(3π2)=−(3π2+1)+1=−3π2，

所以𝑓(𝑥)在区间[0,2π]上的最小值为−3π2，最大值为π2+2.

故选：D

4．【2022年新高考1卷】记函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜋4)+𝑏(𝜔>0)的最小正周期为T．若2𝜋3<𝑇<𝜋，且𝑦=𝑓(𝑥)的图象关于点(3𝜋2,2)中心对称，则𝑓(𝜋2)=（ ）

A．1 B．32 C．52 D．3

【答案】A

【解析】

【分析】

由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 3 【详解】

由函数的最小正周期T满足2𝜋3<𝑇<𝜋，得2𝜋3<2𝜋𝜔<𝜋，解得2<𝜔<3，

又因为函数图象关于点(3𝜋2,2)对称，所以3𝜋2𝜔+𝜋4=𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，且𝑏=2，

所以𝜔=−16+23𝑘,𝑘∈𝑍，所以𝜔=52，𝑓(𝑥)=sin(52𝑥+𝜋4)+2，

所以𝑓(𝜋2)=sin(54𝜋+𝜋4)+2=1.

故选：A

5．【2022年新高考2卷】若sin(𝛼+𝛽)+cos(𝛼+𝛽)=2√2cos(𝛼+𝜋4)sin𝛽，则（ ）

A．tan(𝛼−𝛽)=1 B．tan(𝛼+𝛽)=1

C．tan(𝛼−𝛽)=−1 D．tan(𝛼+𝛽)=−1

【答案】C

【解析】

【分析】

由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】

由已知得：sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽+cos𝛼cos𝛽−sin𝛼sin𝛽=2(cos𝛼−sin𝛼)sin𝛽,

即：sin𝛼cos𝛽−cos𝛼sin𝛽+cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽=0，

即：sin(𝛼−𝛽)+cos(𝛼−𝛽)=0,

所以tan(𝛼−𝛽)=−1,

故选：C

6．【2021年甲卷文科】若cos0,,tan222sin，则tan（ ）

A．1515 B．55 C．53 D．153

【答案】A

【解析】

【分析】

由二倍角公式可得2sin22sincostan2cos212sin，再结合已知可求得1sin4，利用同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】

costan22sin 4 2sin22sincoscostan2cos212sin2sin，

0,2，cos0，22sin112sin2sin，解得1sin4，

215cos1sin4，sin15tancos15.

故选：A.

【点睛】

关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin.

7．【2021年乙卷文科】函数()sincos33xxfx的最小正周期和最大值分别是（

）

A．3π和2 B．3π和2 C．6π和2 D．6π和2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用辅助角公式化简fx，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.

【详解】

由题，22()sincos2sinco2sin3s3323234xxxxfxx，所以fx的最小正周期为2613T，最大值为2.

故选：C．

8．【2021年乙卷文科】22π5πcoscos1212（ ）

A．12 B．33 C．22 D．32

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意结合诱导公式可得22225coscoscossin12121212，再由二倍角公式即可得解.

【详解】

由题意，2222225coscoscoscoscossin1212122121212 5 3cos26.

故选：D.

9．【2021年乙卷理科】把函数()yfx图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数sin4yx的图像，则()fx（ ）

A．7sin212x B．sin212x

C．7sin212x D．sin212x

【答案】B

【解析】

【分析】

解法一：从函数()yfx的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23yfx，即得2sin34fxx，再利用换元思想求得()yfx的解析表达式；

解法二：从函数sin4yx出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()yfx的解析表达式.

【详解】

解法一：函数()yfx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)yfx的图象，再把所得曲线向右平移3个单位长度，应当得到23yfx的图象，

根据已知得到了函数sin4yx的图象，所以2sin34fxx，

令23tx,则,234212ttxx,

所以sin212tft,所以sin212xfx；

解法二：由已知的函数sin4yx逆向变换，

第一步：向左平移3个单位长度，得到sinsin3412yxx的图象， 6 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin212xy的图象，

即为yfx的图象，所以sin212xfx.

故选：B.

10．【2021年新高考1卷】下列区间中，函数7sin6fxx单调递增的区间是（ ）

A．0,2 B．,2ππ C．3,2 D．3,22

【答案】A

【解析】

【分析】

解不等式22262kxkkZ，利用赋值法可得出结论.

【详解】

因为函数sinyx的单调递增区间为22,22kkkZ，

对于函数7sin6fxx，由22262kxkkZ，

解得22233kxkkZ，

取0k，可得函数fx的一个单调递增区间为2,33，

则20,,233，2,,233，A选项满足条件，B不满足条件；

取1k，可得函数fx的一个单调递增区间为58,33，

32,,233且358,,233，358,2,233，CD选项均不满足条件.

故选：A.

【点睛】

方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成sinyAωxφ形式，再求sinyAωxφ的单调区间，只需把x看作一个整体代入sinyx的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．