2021年中考数学复习讲义：第七章 平行四边形 模型(三十)——十字架模型

专题21十字架模型【模型】如图21-1，已知正方形ABCD，点E 在边AD 上，点F 在边CD 上。

AF 与BE 相交于点O。

如果BE AF ⊥，则︒=∠+∠︒=∠+∠90,90AEB ABE AEB DAF ∴ABE DAF ∠=∠，在BAE ∆和ADF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DAF ABE AD AB D BAE ∴BAE ∆≌ADF∆⇒AFBE =如果AF BE =，则可根据HL 证明BAE ∆≌ADF ∆，⇒ABE DAF ∠=∠⇒BE AF ⊥。

【模型变式1】如图21-2，已知正方形ABCD，点E 在边AD 上，点F 在边CD 上，点G 在边BC 上。

AF 与GE 相交于点O。

如果GE AF ⊥⇒GEAF =【模型变式2】如图21-3，已知正方形ABCD，点E 在边AD 上，点F 在边CD 上，点G 在边BC 上，点H 在边AB 上。

HF 与GE 相交于点O。

如果GE HF ⊥⇒GEHF =【例1】如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使5DE =，若折痕为PQ ，则PQ 的长为（）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】A 【分析】过点P 作PM ⊥BC 于点M ，由折叠得到PQ ⊥AE ，从而得到∠AED =∠APQ ，可得△PQM ≌△ADE ，从而得到PQ =AE ，再由勾股定理，即可求解．【解析】解：过点P 作PM ⊥BC 于点M ，由折叠得到PQ ⊥AE ，∴∠DAE +∠APQ =90°，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D =90°，CD ⊥BC ，∴∠DAE +∠AED =90°，∴∠AED =∠APQ ，∴∠APQ =∠PQM ，∴∠PQM =∠APQ =∠AED ，∵PM ⊥BC ，∴PM =AD ，∵∠D =∠PMQ =90°，∴△PQM ≌△ADE ，∴PQ =AE ，在Rt ADE △中，5DE =，AD =12，由勾股定理得：13AE ==，∴PQ =13．故选：A ．【例2】如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 上一点，BF ⊥AE 交DC 于点F ，若AB ＝5，BE ＝2，则AF ＝____．【分析】根据正方形的性质得到AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ＝90°，推出∠BAE ＝∠EBH ，根据全等三角形的性质得到CF ＝BE ＝2，求得DF ＝5﹣2＝3，根据勾股定理即可得到结论．【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∵BH ⊥AE ，∴∠BHE ＝90°，∴∠AEB +∠EBH ＝90°，∴∠BAE ＝∠EBH ，在△ABE 和△BCF 中，BAE CBF AB BC ABE BCF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝，＝∴△ABE ≌△BCF （ASA ），∴CF ＝BE ＝2，∴DF ＝5﹣2＝3，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝5，∠ADF ＝90°，由勾股定理得：AF【例3】正方形ABCD 中，点E 、F 在BC 、CD 上，且BE ＝CF ，AE 与BF 交于点G ．（1）如图1，求证AE ⊥BF ；（2）如图2，在GF 上截取GM ＝GB ，∠MAD 的平分线交CD 于点H ，交BF 于点N ，连接CN ，求证：AN +CNBN；【答案】（1）见解析；（2）见解析；【分析】（1）根据正方形的性质得AB =BC ，90ABC BCD ∠=∠=︒，用SAS 证明ABE BCF △△≌，得BAE CBF ∠=∠，根据三角形内角和定理和等量代换即可得；（2）过点B 作BH BN ⊥，交AN 于点H ，根据正方形的性质和平行线的性质，用SAS 证明AGB AGM ≌，得BAG MAG ∠=∠，根据角平分线性质得45BHA GAN ∠=∠=︒，则HBN 是等腰直角三角形，用SAS 证明ABH CBN ≌，得AH =CN ，在Rt HBN 中，根据勾股定理即可得；【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC ，90ABC BCD ∠=∠=︒，在ABE △和BCF △中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE BCF △△≌（SAS ），∴BAE CBF ∠=∠，∵1801809090AEB BAE ABC ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴90AEB CBF ∠+∠=︒，∴180()1809090EGB AEB CBF ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，∴AE BF ⊥；（2）如图所示，过点B 作BH BN ⊥，交AN 于点H，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AC ，90ABC HBN ∠=∠=︒，∵90HBN HBA ABN ∠=∠+∠=︒，90ABC CBN ABN ∠=∠+∠=︒，∴HBA CBN ∠=∠，由（1）得，AE BF ⊥，∴90AGB AGM ∠=∠=︒，∴90HBG AGM ∠=∠=︒,∴//HB AE ，∴BHA EAN ∠=∠，在AGB 和AGM 中，AG AG AGB AGM GB GM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AGB AGM ≌（SAS ），∴BAG MAG ∠=∠，∵AN 平分DAM ∠，∴DAN MAN ∠=∠，∴90BAG MAG MAN DAN ∠+∠+∠+∠=︒，2290MAG MAN ∠+∠=︒，45MAG MAN ∠+∠=︒，45GAN ∠=︒，∴45BHA GAN ∠=∠=︒，∴180180904545BNH HBN BHA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴HBN 是等腰直角三角形，∴BH =BN ，在ABH 和CBN 中，BH BN HBA CBN AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABH CBN ≌（SAS ），∴AH =CN ，在Rt HBN中，根据勾股定理HN ==，∴AN CN AN AH HN BN +=+=；一、单选题1．如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为BC 边上一点，BE ＝1.将正方形沿GF 折叠，使点A 恰好与点E 重合，连接AF ，EF ，GE ，则四边形AGEF 的面积为（）A ．B ．C ．6D ．5【答案】D 【分析】作FH ⊥AB 于H ，交AE 于P ，设AG =GE =x ，在Rt △BGE 中求出x ，在Rt △ABE 中求出AE ，再证明△ABE ≌△FHG ，得到FG =AE ，然后根据S 四边形AGEF =S △AGF +S △EGF 求解即可【解析】解：作FH ⊥AB 于H ，交AE 于P ，则四边形ADFH 是矩形，由折叠的性质可知，AG =GE ，AE ⊥GF ，AO =EO ．设AG =GE =x ，则BG =3-x ，在Rt △BGE 中，∵BE 2+BG 2=GE 2，∴12+(3-x )2=x 2，∴x =53．在Rt △ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，∴32+12=AE 2，∴AE．∵∠HAP +∠APH =90°，∠OFP +∠OPF =90°，∠APH =∠OPF ，∴∠HAP =∠OFP ，∵四边形ADFH 是矩形，∴AB =AD =HF ．在△ABE 和△FHG 中，HAP OFP ABE GHF AB HF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△FHG ，∴FG =AE，∴S 四边形AGEF =S △AGF +S △EGF =1122GF OA GF OE ⋅+⋅=()12GF OA OE ⋅+=12GF AE ⋅=12=5．故选D．2．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为（）A．12B．13C．14D．15【答案】B【解析】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD∴△PQM≌△ADE∴13=.3．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（）A．32B．3C．94D．154【答案】C【分析】设EF=FD=x ，在RT △AEF 中利用勾股定理即可解决问题．【解析】解：∵将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，∴EF ＝DE ，AB ＝AD ＝6cm ，∠A ＝90°∵点E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝3cm ，在Rt △AEF 中，EF 2＝AF 2+AE 2，∴（6﹣AF ）2＝AF 2+9∴AF ＝94故选C ．4．如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边CD ，AD 上的点，且CE ＝DF ，AE ，BF 相交于点O ，下列结论：①AE ＝BF ；②AE ⊥BF ；③AO ＝OE ；④∠CEA ＝∠DFB ；⑤AOB DEOF S S ∆=四边形中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A 【分析】根据正方形的性质得AB =AD =DC ，∠BAD =∠D =90°，则由CE =DF 易得AF =DE ，根据“SAS”可判断△ABF ≌△DAE ，所以AE =BF ；根据全等的性质得∠ABF =∠EAD ，∠AFB =∠DEA ，利用∠EAD +∠EAB =90°得到∠ABF +∠EAB =90°，则AE ⊥BF ；连接BE ，BE ＞BC ，BA ≠BE ，而BO ⊥AE ，根据垂直平分线的性质得到OA ≠OE ；最后根据△ABF ≌△DAE 得ABF DAE S S ∆∆=，则ABF AOF DAE AOF S S S S ∆∆∆∆-=-，即AOB DEOF S S ∆=四边形．【解析】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD =DC ，∠BAD =∠D =90°，而CE =DF ，∴AF =DE ，在△ABF 和△DAE 中，AB AD BAD ADE AF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△DAE （SAS ），∴AE =BF ，故①正确；∴∠ABF =∠EAD ，∠AFB =∠DEA ，∴∠CEA =∠DFB ，故④正确；而∠EAD +∠EAB =90°，∴∠ABF +∠EAB =90°，∴∠AOB =90°，∴AE ⊥BF ，故②正确；连接BE ，如图所示：∵BE ＞BC ，∴BA ≠BE ，而BO ⊥AE ，∴OA ≠OE ，故③错误；∵△ABF ≌△DAE ，∴ABF DAE S S ∆∆=，∴ABF AOF DAE AOF S S S S ∆∆∆∆-=-，∴AOB DEOF S S ∆=，故⑤正确．综上所述，正确的结论有4个．故选：A ．5．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在DC ，BC 上，BF =CE =4，连接AE 、DF ，AE 与DF 相交于点G ，连接AF ，取AF 的中点H ，连接HG ，则HG 的长为（）A B ．52C ．5D ．【答案】A 【分析】先证明△ADE ≌△DCF ，进而得∠AGF =90°，用勾股定理求得AF ，便可得GH ．【解析】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ADE =∠C =90°，AD =DC =BC ，∵BF =CE ，∴CF =DE ，在△ADE 和△DCF 中，AD DC ADE C DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△DCF （SAS ），∴∠DAE =∠CDF ，∵∠DAE +∠DEA =90°，∴∠CDF +∠DEA =90°，∴∠AGF =∠DGE =90°，∵点H 为AF 的中点，∴GH =12AF ，∵AB =6，BF =4，∴AF=，∴GH故选：A ．6．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E ，F 分别为边,AB BC 的中点，连接,AF DE ，点G ，H 分别为,DE AF 的中点，连接GH ，则GH 的长为（）A2B ．1CD ．2【答案】C【分析】连接AG ，延长AG 交CD 于M ，连接FM ，由正方形ABCD 推出AB ＝CD ＝BC ＝AD ＝4，AB ∥CD ，∠C ＝90°，证明△AEG ≌△MDG ，得到AG ＝MG ，AE ＝DM ＝12AB ＝12CD ，根据三角形中位线定理得到GH ＝12FM ，由勾股定理求出FM 即可得到GH ．【解析】解：连接AG ，延长AG 交CD 于M ，连接FM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CD ＝BC ＝AD ＝4，AB ∥CD ，∠C ＝90°，∴∠AEG ＝∠GDM ，∠EAG ＝∠DMG ，∵G 为DE 的中点，∴GE ＝GD ，∴△AEG ≌△MDG （AAS ），∴AG ＝MG ，AE ＝DM ＝12AB ＝12CD ，∴CM ＝12CD ＝2，∵点H 为AF 的中点，∴GH ＝12FM ，∵F 为BC 的中点，∴CF ＝12BC ＝2，∴FM ==，∴GH ＝12FM ，故选：C ．二、填空题7．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使5DE =，折痕为PQ ，则PQ 的长__________．【答案】13【分析】先过点P 作PM ⊥BC 于点M ，利用三角形全等的判定得到△PQM ≌△AED ，从而求出PQ=AE ．【解析】过点P 作PM ⊥BC 于点M ，由折叠得到PQ ⊥AE ，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ ，∵AD ∥BC ，∴∠APQ=∠PQM ，则∠PQM=∠APQ=∠AED ，∠D=∠PMQ ，PM=AD∴△PQM ≌△AED∴22512 ．故答案是：13．8．如图，将边长为8的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，若MN ＝5CN 的长是____．【答案】3【分析】过点M 作MH ⊥CD 于点H ．连接DE ，结合题意可知MN 垂直平分DE ，先通过证明△MHN ≅△DCE 得出DE ＝MN ＝CE 的长，最后在Rt △ENC 中利用勾股定理求出DN ，最后进一步求出CN 即可.【解析】如图所示，过点M 作MH ⊥CD 于点H ．连接DE ．根据题意可知MN 垂直平分DE ，易证得：∠EDC ＝∠NMH ，MH ＝AD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴MH ＝AD ＝CD ，∵∠MHN ＝∠C ＝90°，∴△MHN ≅△DCE （ASA ），∴DE ＝MN ＝在Rt △DEC 中，4CE ==，设DN ＝EN ＝x ，则CN ＝8x -，在Rt △ENC 中，222NE NC EC =+，∴()22284x x =-+，解得：5x =，∴CN ＝83x -=，故答案为：3．9．如图，正方形ABCD 的边长是3，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且满足2BE AE =，2CF BF =，连接DE ，AF 交于点G ，BD 交AF 于点H ，则四边形GEBH 的面积为______．【答案】3940【分析】根据正方形的性质得到3AD BC AB ===，90DAE ABF ∠=∠=︒，求得1AE BF ==，根据全等三角形的性质得到ADE BAF ∠=∠，推出AG DE ⊥，连接AC 交BD 于O ，根据相似三角形的性质得到3DH AD BH BF ==，求得3ADH ABH S S = ，得到98ABH S = ，根据相似三角形的性质得到210AE EG DE ==，根据三角形的面积即可得到结论．【解析】解： 正方形ABCD 的边长是3，3AD BC AB ∴===，90DAE ABF ∠=∠=︒，2BE AE = ，2CF BF =，1AE BF ∴==，ADE ∴V ≌()BAF SAS，ADE BAF ∴∠=∠，90DAG EAG ∠+∠=︒ ，90ADG DAG ∴∠+∠=︒，90AGD ∴∠=︒，AG DE ∴⊥，连接AC 交BD 于O ，AC BC ∴⊥，AD BF Q ∥，AHD ∴ ∽FHB △，3DH AD BH BF ∴==，3ADH ABHS S ∴= ，193322ABD S =⨯⨯= ，98ABH S ∴=，DE ==AE AD AG DE ⋅∴==90DAE ∠=︒ ，AG DE ⊥，ADE ∴V ∽GAE ，AE DE GE AE∴=，2AE EG DE ∴==13220AGE S ∴== ，∴四边形GEBH 的面积933982040ABH AGE S S =-=-= ，故答案为：3940．10．如图，四边形ABCD 为正方形，点E 、点G 分别为BC 、AB 边上的点，CE ＝BG ＝BE ，连接DE 、CG 交于点F ，若GF ＝3，四边形ABCD 的面积为___．【答案】20【分析】连接GE ，根据正方形的性质，易证△GBC ≌△ECD （SAS ），根据全等三角形的性质，可得GC ⊥DE ，设CE =BG =BE =x ，根据AGD BGE DEC GED ABCD S S S S S ∆∆∆∆=+++正方形列方程，可求出x 的值，进一步即可求出正方形ABCD 的面积．【解析】解：连接GE ，如图所示：在正方形ABCD 中，BC =CD ，∠A =∠B =∠BCD =90°，又∵BG =CE ，∴△GBC ≌△ECD （SAS ），∴∠GCB =∠EDC ，∵∠GCB +∠FCD =90°，∴∠EDC +∠FCD =90°，∴∠DFC =90°，∴GC ⊥DE ，设CE =BG =BE =x ，则BC =2x ，∴正方形ABCD 的边长为2x ，∴AG =2x -x =x ，在△DCE 中，根据勾股定理，得DE ，∵AGD BGE DEC GED ABCD S S S S S ∆∆∆∆=+++正方形，又∵GF =3，∴21111(2)(2)(2)32222x x x x x x x =⋅⋅+⋅+⋅+⋅，解得x∴正方形ABCD 的边长为∴正方形ABCD 的面积为，故答案为：20．11．如图，正方形ABCD 的边长为2，动点E ，F 分别从D ，C 两点同时出发，以相同的速度在边DC ，CB 上向各自终点C ，B 移动，连接AE 和DF 交于点P ，则线段CP 的最小值是________．1【分析】证明△ADE ≌△DCF 得到∠DAE =∠CDF ，推出∠DPE =90°，则∠APD =90°，故点P 在以AD 为直径的圆上运动，取AD 中点G ，连接CG ，交圆G （直径为AB ）于点P ，则此时CP 最小，据此求解即可．【解析】解：∵动点E ，F 分别从D ，C 两点同时出发，以相同的速度在边DC ，CB 上向各自终点C ，B 移动，∴DE =CF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADE =∠DCF =90°，AD =DC ，∴△ADE ≌△DCF （SAS ），∴∠DAE =∠CDF ，∵∠DAE +∠DEA =90°，∴∠PED +∠PDE =90°，∴∠DPE =90°，∴∠APD =90°，∴点P 在以AD 为直径的圆上运动，取AD 中点G ，连接CG ，交圆G （直径为AB ）于点P ，则此时CP 最小，∵四边形ABCD 是边长为2的正方形，∴112902DG AD CD ADC ====︒，，∠，∴CG ==∴1CP CG GP =-=，∴CP 1，1．12．如图，点E 在正方形ABCD 的CD 边上，连结BE ，将正方形折叠，使点B 与E 重合，折痕MN 交BC 边于点M ，交AD 边于点N ，若tan ∠EMC ＝34，ME ＋CE ＝8，则折痕MN 的长为___________．【答案】【分析】过N 作NH ⊥BC 于H ，得到四边形ABHN 是矩形，根据矩形的性质得到NH ＝AB ，∠NHM＝90°，证明△BCE≌△NHM，根据全等三角形的性质得到HM＝CE，设CE＝3x，则CM＝4x，根据勾股定理得到EM＝5x，求出x，可得NH＝9，再利用勾股定理计算即可．【解析】解：过N作NH⊥BC于H，则四边形ABHN是矩形，∴NH＝AB，∠NHM＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，AB＝BC，∴NH＝BC，∵将正方形折叠，使点B与E重合，∴MN⊥BE，BM＝ME，∴∠HNM＋∠NMH＝∠EBC＋∠BMN＝90°，∴∠EBC＝∠HNM，在△BCE与△NHM中，NHM CNH BCHNM CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCE≌△NHM（ASA），∴HM＝CE，在Rt△EMC中，∵tan∠EMC＝34 CECM=，∴设CE＝3x，则CM＝4x，由勾股定理得：EM＝5x，∵ME＋CE＝8，∴5x＋3x＝8，∴x＝1，∴EM＝5，HM＝CE＝3，CM＝4，∴BC＝BM＋CM＝EM＋CM＝9，∴NH＝9，∴MN=故答案为：三、解答题13．已知：如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是边CD 、AD 上的点，AE ⊥BF．(1)求证：AE ＝BF ；(2)联结BE 、EF ，如果∠DEF ＝∠ABE ，求证：2·DF AF AD ＝．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）设BF 与AE 交于O 点，根据同角的余角相等得∠ABF ＝∠DAE ，再利用ASA 证明△ABF ≌△DAE ，得AE ＝BF ；（2）根据两个角相等证明△DEF ∽△CEB ，得DE DF CE BC=，由（1）得△ABF ≌△DAE ，则AF ＝DE ，等量代换即可．【解析】（1）证明：设BF 与AE 交于O点，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAF ＝∠D ＝90°，∵AE ⊥BF ．∴∠AOB ＝90°，∴∠ABO ＋∠BAO ＝90°，∠BAO ＋∠DAE ＝90°，∴∠ABF ＝∠DAE ，在△ABF 和△DAE 中，ABF DAE AB AD BAF D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF ≌△DAE （ASA ），∴AE ＝BF ；（2）解：∵AB CD ，∴∠ABE ＝∠BEC ，∵∠DEF ＝∠ABE ，∴∠DEF ＝∠BEC ，∵∠D ＝∠C ，∴△DEF ∽△CEB ，∴DE DF CE BC=，由（1）得，△ABF ≌△DAE ，∴AF ＝DE ，∴CE ＝DF ，∵AD =BC ，∴2·DF AF AD ＝．14．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，CD 上，连接AF ，BE 相交于点G ，且AF ＝BE ．(1)求证：DE ＝CF ；(2)若AB =4，DE =1，求GF 的长．【答案】(1)证明见解析；(2) 2.6GF =【分析】（1）由正方形的性质得出∠BAE =∠ADF =90︒，AB =AD =CD ，AF =BE ，由HL 证明△BAE ≌△ADF ，即可得出结论；（2）由正方形的性质与已知线段求出AE ，再由勾股定理求得BE ，根据角之间的关系得到∠AGB =90︒，利用三角形的面积可得答案．【解析】（1）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAE =∠ADF =90︒，AB =AD =CD ，在Rt △BAE 和Rt △ADF 中，{BA AD BE AF ==，∴△BAE ≌△ADF （HL ），∴AE =DF ，∴DE =CF ；（2）∵AB =4，四边形ABCD 是正方形，∴AD =4，∵DE =1，∴AE =3，∴5BE ===，∵△BAE ≌△ADF ，∴BE =AF =5，∠DAF =∠ABE ，又∵∠DAF +∠BAG =90︒，∴∠BAG +∠ABG =90︒，∴90,AGB ∠=︒∴AG ⊥BE ，则11,22AB AE AG BE = ∴34 2.45AG ⨯==，∴GF =AF -AG =5-2.4=2.6．15．如图1，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，连接AE ，过点B 作BG AE ⊥于点H ，交CD 于点G ．（1）求证：AE BG =；（2）如图2，连接AG 、GE ，点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、AG 、GE 、EB 的中点，试判断四边形MNPQ 的形状，并说明理由；（3）如图3，点F 、R 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 上，把正方形沿直线FR 翻折，使得BC 的对应边''B C 恰好经过点A ，过点A 作AO FR ⊥于点O ，若'1AB =，正方形的边长为3，求线段OF 的长．【答案】（1）见解析；（2）四边形MNPQ 为正方形，理由见解析；（3【分析】（1）由四边形ABCD 为正方形，可得90ABC BCD ∠=∠=︒，推得90ABG CBG ∠+∠=︒，由BG AE ⊥，可得90BAE ABG ∠+∠=︒，可证()ABE BCG ASA ≅△△即可；（2）M 、N 为AB 、AG 中点，可得MN 为ABG 的中位线，可证//MN BG ，12MN BG =，由点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、AG 、GE 、EB 的中点，可得PQ 是BEG 的中位线，MQ 为ABE △的中位线，NP 为AEG △的中位线，可证//PQ BG ，12PQ BG =，//MQ AE ，12MQ AE =，//NP AE ，12NP AE =，可证四边形MNPQ 为平行四边形．再证四边形MNPQ 为菱形，最后证MN MQ ⊥即可；（3）延长AO 交BC 于点S ，由对称性可得'BF B F =，'1AB BS ==，AO SO =，由勾股定理可求AS =12AO AS ==AF x =，在'Rt AB F △中，2221(3)x x +-=，解得53x =，在Rt AOF中，可求OF =【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴90ABC BCD ∠=∠=︒，∴90ABG CBG ∠+∠=︒，∵BG AE ⊥，∴∠AHB =90°，∴90BAE ABG ∠+∠=︒，∴BAE CBG ∠=∠，在ABE △与BCG 中，BAE CBG AB BC ABC BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABE BCG ASA ≅△△，∴AE BG =．（2）解：四边形MNPQ 为正方形，理由如下：∵M 、N 为AB 、AG 中点，∴MN 为ABG 的中位线，∴//MN BG ，12MN BG =，∵点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、AG 、GE 、EB 的中点，∴PQ 是BEG 的中位线，MQ 为ABE △的中位线，NP 为AEG △的中位线，，∴//PQ BG ，12PQ BG =，//MQ AE ，12MQ AE =，//NP AE ，12NP AE =，∴MN PQ =，MQ NP =，∴四边形MNPQ 为平行四边形．∵AE BG =，∴MN MQ =，∴四边形MNPQ 为菱形，∵BG AE ⊥，//MQ AE ，∴MQ BG ⊥，∵//MN BG ，∴MN MQ ⊥，∴四边形MNPQ 为正方形．（3）解：延长AO 交BC 于点S ，由对称性可知'BF B F =，'1AB BS ==，AO SO =，在Rt ABS 中，AS，∴12AO AS ==设AF x =，则'3BF B F x ==-，在'Rt AB F △中，2221(3)x x +-=，53x =，∴53AF =，在Rt AOF 中，6OF ===．16．如图，正方形ABCD 边长为4，点G 在边AD 上（不与点A 、D 重合），BG 的垂直平分线分别交AB 、CD 于E 、F 两点，连接EG ．（1）当AG =1时，求EG 的长；（2）当AG 的值等于时，BE =8－2DF ；（3）过G 点作GM ⊥EG 交CD 于M①求证：GB 平分∠AGM ；②设AG =x ，CM =y ，试说明16441xy x y---的值为定值．【答案】（1）178；（2）843-3）①见解析；②164410xy x y ---=，理由见解析【分析】（1）根据EF 是线段BG 的垂直平分线，BE =EG ，设EG =EB =x ，则AE =AB -BE =4-x ，再由勾股定理求解即可；（2）过点F 作FH ⊥AB 于H ，连接FB ，FG ，由BE =8-2DF ，CF =CD -DF =4-DF ，得到BE =2CF ，先证明四边形BCFH 是矩形，得到CF =HB ，则BH =EH =FC ，设AG =x ，BE =y ，则AE =4-y ，GD =4-x ，CF =12y ，142DF y =-由222AE AG EG +=，222GD DF GF +=，222BC FC BF +=，可以得到()2224y x y -+=①，()22221144422x y y ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②，联立①②求解即可得到答案；（3）①先证明∠EBG =∠EGB ，然后根据ABG +∠AGB =90°，∠EGB +∠BGM =90°，即可得到∠AGB =∠BGM ；②连接BM ，过点B 作BH ⊥GM ，由角平分线的性质得到BH =AB =4，由=44=16ABG MBG BCM CDM ABCD S S S S S +++=⨯△△△△正方形，可以得到()()122244=162x GM y x y +++--，由勾股定理可以得到222DM GD GM +=即()()2224444xy x y ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，最后解方程即可得到答案．【解析】解：（1）∵EF 是线段BG 的垂直平分线，∴BE =EG ，∵四边形ABCD 是正方形，且边长为4，∴AB =4，∠A =90°，设EG =EB =x ，则AE =AB -BE =4-x ，∵222AE AG EG +=，∴()22241x x -+=，解得178=x ，∴178EG =；（2）如图所示，过点F 作FH ⊥AB 于H ，连接FB ，FG∵EF 是线段BG 的垂直平分线，∴BF =FG ，∵BE =8-2DF ，CF =CD -DF =4-DF ，∴BE =2CF ，∵四边形ABCD 是正方形，FH ⊥AB ，∴∠HBC =∠C =∠BHF =90°，∴四边形BCFH 是矩形，∴CF =HB ，∴BH =EH =FC ，设AG =x ，BE =y ，则AE =4-y ，GD =4-x ，CF =12y ，142DF y =-∵222AE AG EG +=，222GD DF GF +=，222BC FC BF +=，∴()2224y x y -+=①，()22221144422x y y ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②，联立①②解得8x =-8x =+，∴当8AG =-BE =8-2DF ，故答案为：8-（3）①∵EF 是线段BG 的垂直平分线，∴EG =BE ，∴∠EBG =∠EGB ，∵四边形ABCD 是正方形，EG ⊥GM ，∴∠A =∠EGM =90°，∴∠ABG +∠AGB =90°，∠EGB +∠BGM =90°，∴∠AGB =∠BGM ，∴BG 平分∠AGM ；②如图，连接BM ，过点B 作BH ⊥GM ，由（3）①得BG 平分∠AGM ，∴BH =AB =4，∵AG =x ，CM =y ，∴DG =4-x ，DM =4-y ，∵=44=16ABG MBG BCM CDM ABCD S S S S S +++=⨯△△△△正方形，∴1111=162222AG AB GM BH CM BC DM GD +++g g g g ，∴()()122244=162x GM y x y +++--，∴44xy GM =-，∵222DM GD GM +=，∴()()2224444xy x y ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭∴222216816816216x y x x y y xy -++-+=-+∴()()22281616x y x y x y +-++=，∴()222416x y x y +-=，∴44xy x y +-=±，当44xy x y +-=时，则4416x y xy +-=，∴16444x y x-==-（不符合题意），∴4416x y xy+-=-∴164410xy x y---=．17．已知：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 为正方形．(1)若正方形OABC边长为12，①如图1，E、F分别在边OA、OC上，CE⊥BF于H，且OE＝9，则点F的坐标为（______，_______）．②如图2，若D为x轴上一点，且OD＝8，Q为y轴正半轴上一点，且∠DBQ＝45°，求点Q的坐标．(2)若正方形OABC边长为4，如图3，E、F分别在边OA、OC上，当F为OC的中点，CE⊥BF 于H，在直线CE上E点的两侧有点D、G，能使线段AD＝OG，AD//OG，且CH＝DH，求BG．【答案】(1)①3，0；②Q点坐标为（0，15）或（0，6）(2)BG8105【分析】（1）①通过证明△OEC≌△CFB（AAS），求出OF，即可求点的坐标；②分两种情况讨论：当D（8，0）时，过B点作BM⊥BD交y轴于点M，可证明△ABM≌△CBD （AAS），连接BQ，可证明△MBQ≌△DBQ（SAS），设AQ＝x，则OQ＝12﹣x，DQ＝4+x，在Rt△ODQ中由勾股定理求出x＝6，即可求Q（0，6）；当D（﹣8，0）时，过BN⊥BQ 交x轴于点N，同理可得△ABQ≌△CBN（AAS），连接DQ，可得△QBD≌△NBD（SAS），设AQ＝CN＝y，则DN＝20﹣y，QO＝12+y，在Rt△DOQ中，由勾股定理求出y＝3，即可求Q（0，15）；（2）在Rt△BCF中，求出BF＝5CH＝455，再由CH＝DH，可得DC＝855，连接OD，OH，证明△OCD≌△CBH（ASA），分别得到CD＝BH855，OD＝CH 45 5OH＝4105，再证明△AOD≌△OCH（SAS），可求OH＝AD＝OG＝4105，∠OAD＝∠HOC，推导出∠GOH＝90°，在Rt△GHO中，由勾股定理求出GH＝855，在Rt△BHG中，由勾股定理求出BG＝810 5．【解析】（1）①∵CE⊥BF，∴∠BHC＝90°，∴∠ECO+∠HFC＝90°，∵∠OEC+∠OCE＝90°，∴∠HFC＝∠OEC，∵BC＝OC，∴△OEC≌△CFB（AAS），∴OE＝CF＝9，∴OF＝3，∴F（3，0），故答案为：3，0；②∵D为x轴上一点，且OD＝8，∴D（8，0）或（﹣8，0），当D（8，0）时，如图2，过B点作BM⊥BD交y轴于点M，∴∠DBM＝90°，∴∠MBA+∠ABD＝90°，∵∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠MBA＝∠CBD，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CBD（AAS），∴BM＝BD，CD＝AM，连接BQ，∵∠DBQ＝45°，∴∠MBQ＝45°，又∵BM＝BD，∴△MBQ≌△DBQ（SAS），∴DQ＝MA，∵OD＝8，OC＝12，∴CD＝MA＝4，设AQ＝x，则OQ＝12﹣x，DQ＝4+x，在Rt△ODQ中，（4+x）2＝64+（12﹣x）2，解得x＝6，∴Q（0，6）；如图3，当D（﹣8，0）时，过BN⊥BQ交x轴于点N，同理可得△ABQ≌△CBN（AAS），∴AQ＝CN，BQ＝BN，连接DQ，同理可得△QBD≌△NBD（SAS），∴DN＝DQ，设AQ＝CN＝y，则DN＝20﹣y，QO＝12+y，在Rt△DOQ中，（20﹣y）2＝（12+y）2+64，解得y＝3，∴Q（0，15）；综上所述：Q点坐标为（0，15）或（0，6）；（2）∵F为OC的中点，CO＝4，∴CF＝OF＝2，在Rt△BCF中，BC＝4，CF＝2，∴BF＝∵BF⊥CH，∴CH∵CH＝DH，∴DC＝5，如图4，连接OD，OH，∵H 是CD 的中点，F 是OC 的中点，∴FH ∥OD ，∴OD ⊥CD ，∴∠ODC ＝∠GHC ＝90°，∵BC ＝CO ，∠FBC ＝∠DCO ，∴△OCD ≌△CBH （ASA ），∴CD ＝BH ＝855，OD ＝CH 455∴OH ＝105，∵∠AOD +∠DOC ＝∠DOC +∠DCO ＝90°，∴∠AOD ＝∠DCO ，∵AO ＝CO ，OH ＝OD ，∴△AOD ≌△OCH （SAS ），∴OH ＝AD ＝OG ＝4105，∠OAD ＝∠HOC ，∵AD ∥GO ，∴∠OAD ＝∠GOA ，∴∠GOH ＝90°，在Rt △GHO 中，GH 22GO OH +855，在Rt △BHG 中，BG 22GH BH +8105．18．如图，正方形ABCD 中，点E 为BC 边上一点，点F 为CD 边上一点，且BE CF =，连接AE 、BF 交于点G ．(1)求证：90AGF ∠= ；(2)连接GC ，若GC 平分EGF ∠，求证：2AB CF =；(3)在（2）的条件下，连接GD ，过点E 作EH ∥GD 交CD 边于点H ，交BF 于点M ，若2FH =，求线段FM 的长．【答案】(1)过程见解析；(2)过程见解析；(3)655【分析】（1），根据“SAS ”证明△ABE ≌△BCF ，可得∠BAG=∠CBF ，再根据∠CBF+∠ABG=90°，即可得出答案；（2），过点C 作CH ⊥EG ，CI ⊥FG ，可得CH=CI ，进而得出四边形GHCI 是矩形，再根据“AAS ”证明△CEH ≌△CFI ，得出CE=CF ，然后根据BE=CF ，可知BC=2CE ，即可得出结论；（3），设正方形的边长为2a ，分别表示出BE ，CF ，DF ，根据勾股定理求出BF ，再根据BEG BFC V :V 求出BG ，进而得出FG ，然后根据FMH FGD V :V ，得FM FG FH FD=，再代数答案可求．【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABE=∠BCF =90°．∵BE=CF ，∴△ABE ≌△BCF ，∴∠BAG=∠CBF ．∵∠CBF+∠ABG=90°，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠AGB=90°，即∠AGF=90°；（2）过点C 作CH ⊥EG ，于点H ，CI ⊥FG ，于点I ，∵GC 平分∠EGF ，∴CH=CI ．∵∠EGF=∠CHG =∠CIG=90°，∴四边形GHCI 是矩形．∵∠HCE+∠ECI=∠ECI+∠FCI =90°，∴∠ECH=∠FCI ．∵∠CHE=∠CIF=90°，∴△CEH ≌△CFI ，∴CE=CF ．∵BE=CF ，∴CE=BE ，则BC=2CE ，∴AB=2CF ；（3）设正方形的边长BC=2a ，则BE=a ，CF=a ，DF=a ，根据勾股定理得BF ==．∵∠EBG=∠FBC ，∠BGE=∠BCF=90°，∴BEG BFC V :V ，∴BE BG BF BC =，2BG a =，解得5BG a =，∴5FG a =．∵EH DG ∥，∴FMH FGD V :V ，∴FM FG FH FD=，即52a FM a=，解得5FM =．19．（1）如图1，在正方形ABCD 中，AE ，DF 相交于点O 且AE ⊥DF ．则AE 和DF 的数量关系为．（2）如图2，在正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别是边AD ，BC ，CD 上的点，BG ⊥EF ，垂足为H ．求证：EF ＝BG ．（3）如图3，在正方形ABCD 中，E ，F ，M 分别是边AD ，BC ，AB 上的点，AE ＝2，BF ＝4，BM ＝1，将正方形沿EF 折叠，点M 的对应点与CD 边上的点N 重合，求CN的长度．【答案】（1）AE ＝DF ；（2）见解析；（3）CN 的长度为3【分析】（1）证明∠BAE =∠ADF ，则△ABE ≌△DAF （AAS ），即可求解；（2）由正方形的性质得出∠CBG =∠MEF ，证明△BCG ≌△EMF （ASA ），即可求解；（3）证明△EHF ≌△MGN （ASA ），则NG =HF ，而AE =2，BF =4，故NG =HF =4-2=2，进而求解．【解析】解：（1）∵∠DAO +∠BAE =90°，∠DAO +∠ADF =90°，∴∠BAE =∠ADF ，在△ABE 和△DAF 中，BAE ADF ABE DAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DAF （AAS ），∴AE =DF ，故答案为：AE =DF ；（2）如图1，过点E 作EM ⊥BC 于点M ，则四边形ABME 为矩形，则AB =EM ，在正方形ABCD 中，AB =BC ，∴EM =BC ，∵EM ⊥BC ，∴∠MEF +∠EFM =90°，∵BG ⊥EF ，∴∠CBG +∠EFM =90°，∴∠CBG =∠MEF ，在△BCG 和△EMF 中，90CBG MEF BC EM C EMF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△BCG ≌△EMF （ASA ），∴EF =BG ；（3）如图2，连接MN ，∵M 、N 关于EF 对称，∴MN ⊥EF ，过点E 作EH ⊥BC 于点H，过点M 作MG ⊥CD 于点G ，则EH ⊥MG ，由（2）同理可得：△EHF ≌△MGN （ASA ），∴NG =HF ，∵AE =2，BF =4，∴NG =HF =4-2=2，又∵GC =MB =1，∴NC =NG +CG =2+1=3．20．华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．如图，在正方形ABCD 中，CE DF ⊥．求证：CE DF =．证明：设CE 与DF 交于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90B DCF ∠=∠=︒，BC CD =．∴90BCE DCE ∠+∠=︒，∵CE DF ⊥，∴90COD ∠=︒．∴90CDF DCE ∠+∠=︒．∴CDF BCE ∠=∠，∴CBE DFC △△≌．∴CE DF =．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．【问题探究】如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG FH ⊥．试猜想EG FH的值，并证明你的猜想．【知识迁移】如图2，在矩形ABCD 中，AB a =，BC b =，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG FH ⊥．则EG FH=______．【拓展应用】如图3，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，45ABC ∠=︒，AB =，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，且CE BF ⊥．直接写出CE BF 的值．【答案】（1）1EG FH =，理由见详解；（2）b a；（3）13【分析】（1）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，利用正方形ABCD ，AB =AD ，∠ABM =∠BAD =∠ADN =90°求证△ABM ≌△ADN 即可；（2）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，利用在长方形ABCD 中，BC =AD ，∠ABM =∠BAD =∠ADN =90°求证△ABM ∽△ADN ．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；（3）如图3中，过点C 作CM ⊥AB 于点M ．设CE 交BF 于点O ．证明△CME ∽△BAF ，推出BCE BF CM A =，可得结论．【解析】解：结论：1EG FH =理由：如图（1）中，过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，∴AM =HF ，AN =EG ，在正方形ABCD 中，AB =AD ，∠ABM =∠BAD =∠ADN =90°，∵EG ⊥FH ，∴∠NAM =90°，∴∠BAM =∠DAN ，在△ABM 和△ADN 中，∠BAM =∠DAN ，AB =AD ，∠ABM =∠ADN ，∴△ABM ≌△ADN （ASA ），∴AM =AN ，即EG =FH ，∴1EG FH=；（2）如图（2）中，过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，∴AM=HF，AN=EG，在长方形ABCD中，BC=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°，∵EG⊥FH，∴∠NAM=90°，∴∠BAM=∠DAN．∴△ABM∽△ADN．∴AM AB AN AD=，∵AB=a，BC=AD=b∴EG b FH a=．故答案为：b a；（3）如图，过点C作CM⊥AB于点M．设CE交BF于点O，CM交BF于点G．∵CM⊥AB，∴∠CME=90°，∴∠MBG+∠MGB=90°，∵CE⊥BF，∴∠BOC=90°，∴∠CGO+∠GCO=90°，∵∠MGB=∠CGO∴∠MBG=∠GCO，∵∠A=∠CME=90°，∴△CME ∽△BAF ，∴BCE BF CM A =，∵AB =，45ABC ∠=︒，∴sin 452CM BC BC =︒= ，即BC ；∴32AB CM ==⨯=，∴13CE CM BF AB ==．。

平行四边形模型（三十）——十字架模型◎结论1：正方形内部，AE⊥BF，则 AE=BF,△ABE≌△BCF .△BCF≌△IME △ABE≌△MNF ∠IHQ＝∠PJK，△JPK≌△HQI相等未必垂直过点H作HP⊥CD与P，作I关于HP对称点Q,虽然HI＝JK，但HQ≠JK1．（2021·全国·八年级课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使5DE ，若折痕为PQ，则PQ的长为（）A．13B．14C．15D．162．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（）A．B．C．6D．53．（2022·广东·模拟预测）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（）A．32B．3C．94D．1541．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB＝5，BE＝2，则AF＝____．2．（2022·江苏盐城·八年级期中）如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使5DE=，折痕为PQ，则PQ的长__________．3．（2021·江苏泰州·八年级期末）如图，正方形ABCD边长为4，点G在边AD上（不与点A、D重合），BG 的垂直平分线分别交AB、CD于E、F两点，连接EG．（1）当AG=1时，求EG的长；（2）当AG的值等于时，BE=8－2DF；（3）过G点作GM⊥EG交CD于M⊥求证：GB平分⊥AGM；⊥设AG=x，CM=y，试说明16441xy x y---的值为定值．1．（2021·云南曲靖·八年级期末）如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG AE⊥于点H，交CD于点G．（1）求证：AE BG =；（2）如图2，连接AG 、GE ，点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、AG 、GE 、EB 的中点，试判断四边形MNPQ 的形状，并说明理由；（3）如图3，点F 、R 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 上，把正方形沿直线FR 翻折，使得BC 的对应边''B C 恰好经过点A ，过点A 作AO FR ⊥于点O ，若'1AB =，正方形的边长为3，求线段OF 的长．2．正方形ABCD 中，点E 、F 在BC 、CD 上，且BE ＝CF ，AE 与BF 交于点G ．（1）如图1，求证AE ⊥BF ；（2）如图2，在GF 上截取GM ＝GB ，⊥MAD 的平分线交CD 于点H ，交BF 于点N ，连接CN ，求证：AN +CN；。

探究正方形中的“十字架模型”一、考题研究在特殊的四边形问题中翻折的问题是比较常见的，不论是期中、期末和中考中都比较常见，能否采用合适的方法求出线段长，或者是利用面积之间关系求线段之间关系，这就是我们今天重点学习的一个模型“十字架模型”二、知识回顾1、全等三角形的性质与判定2、相似三角形的性质与判定3、矩形和正方形的性质与判定4、图形的变换--轴对称三、十字架模型【十字架模型】--正方形第一种情况：过顶点在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）所以AE=BF第二种情况：不过顶点在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH也可以如下证明在正方形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别AB 、BC 、CD 、DA 边上的点，其中：EG ⊥FH ，可得EG=FH【导入】如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在边CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AD 、BC 上，则折痕FG 的长度为______．【分析】过点G 作GH AD ⊥于H ，根据翻折变换的性质可得GF AE ⊥，然后求出GFH D ∠=∠，再利用“角角边”证明ADE ∆和GHF ∆全等，根据全等三角形对应边相等可得GF AE =，再利用勾股定理列式求出AE ，从而得解．【解答】法一：解：如图，过点G 作GH AD ⊥于H ，则四边形ABGH 中，HG AB =， 由翻折变换的性质得GF AE ⊥，90AFG DAE ∠+∠=︒，90AED DAE ∠+∠=︒， AFG AED ∴∠=∠，四边形ABCD 是正方形，AD AB ∴=，HG AD ∴=，在ADE ∆和GHF ∆中， GHF D AFG AED GH AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADE GHF AAS ∴∆≅∆，GF AE ∴=，点E 是CD 的中点，122DE CD ∴==，在Rt ADE ∆中，由勾股定理得，22224225AE AD DE =+=+GF ∴的长为25故答案为：5【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．法二：分析：连接AE ，求解FG 相当于求AE 。

专题18全等与相似模型之十字模型几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。

在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。

本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。

模型1.正方形的十字架模型（全等模型）“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。

1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；则AE=BF。

2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；则AE=GF。

3）如图3，在正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；则HE=GF。

模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.例1．（22·23下·广东·课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点DE ，若折痕为PQ，则PQ的长为（）E，使5A．13B．14【答案】A在正方形ABCD中，AD∥BCA ．1个B ．2【答案】C 【分析】利用正方形的性质找条件证明到90ECD CDF ，则AH DF ，在Rt CGD △中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到∴，∴同理可得：ADH DCF △≌△∴1122HG CD AD ，即2HG ∵12HG HD CD ，∴DGH 若AG DG ，则ADG △是等边三角形，则则12CF DF ，而12CF BC模型2.矩形的十字架模型（相似模型）矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。

通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。

如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则DE BCAC AB.如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则EF BCAC AB.如图3，在矩形ABCD 中，若E 、F 、M 、N 分别是AB 、CD 、AD 、BC 上的点，且EF ⊥MN ，则EF BC MN AB .【答案】2103【分析】先证明BDF DMG △△∽再利用全等三角形的性质，即可得到答案．【详解】解：如图，连接BD 与∴90MDF DFB ，∴MDB 又∵MN BD ，∴DMG MDG 又∵90BFD DGM ，∴BDF △∵22AB 且45ABF ，∴BE 又∵4BC ，∴BF BC CF BC ∴2222622BD BF DF ∴2101063DF DG MG BF ，∴DMG BNG △≌△，∴MG NG ，(1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点证：EF ADGH AB；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若EFGH值；(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边∵四边形ABCD 是矩形，∴∥DC ，AD ∥BC ．∴四边形AEFP 、四边形BHGQ 都是平行四边形，∴AP ＝EF ，GH ＝BQ ．又∵GH ⊥EF ，∴AP ⊥BQ ，∴∠QAT +∠AQT ＝90°．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝∠D ＝90°，∴∠DAP +∠DPA ＝90°，∽△QAB ，∴AP AD BQ AB ，∴EF AD GH AB；模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD和BE夹角为60°，△ABC。

全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。

在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。

本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。

模型1.矩形的十字架模型(相似模型)矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。

通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。

如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则DEAC=BCAB.如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则EFAC=BCAB.如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则EFMN=BCAB.1(23·24上·成都市·九年级期中)如图，把边长为AB=6，BC=8的矩形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长．2(22·23下·河北·九年级期中)如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AD、BC、AB、CD边上的点，当EF⊥GH时，证明：EF:GH=AB:BC．3(22·23下·湖北·九年级期中)在矩形纸片ABCD 中AB =5，AD =3，点E 、F 在矩形的边上，连接EF ，将纸片沿EF 折叠，点D 的对应点为点P ．(1)如图①，若点P 在边AB 上，当点P 与点A 重合时，则∠DEF =°，当点E 与点A 重合时，则∠DEF =°．(2)如图②，若点P 在边AB 上，且点E 、F 分别在AD 、DC 边上，则线段AP 的取值范围是；(3)如图③，若点F 与点C 重合，点E 在AD 上，线段BA 、PF 交于点M ，且AM =DE ，求线段AE 的长度．4(江苏2022-2023学年九年级上学期期中数学试题)某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他们解决：(1)如图1，矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，将矩形对折，使得点B 、点D 重叠，折痕为EF ，过点F 作AB 的垂线交AB 于点G ，求EF 的长；(2)如图2，矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，点E ，F 分别在AB ，DC上，点G ，H 分别在AD ，BC 上且EF ⊥GH ，求EFGH的值；(3)如图3，四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AB =AD =8，BC =CD =4，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求DNAM的值．模型2.三角形的十字架模型(全等+相似模型)1)等边三角形中的斜十字模型(全等+相似)：如图1，已知等边△ABC ，BD =EC (或CD =AE )，则①AD =BE ，②AD 和BE 夹角为60°，③△ADB ∽△BDF ∽△BEC 。

正方形中的十字模型分析：1.如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是CD、AD上的两点，则有AE⊥BF AE＝BF（互逆）2.如图2，在正方形ABCD中，点E、F、H分别在CD、AD、BC边上，则有AE⊥HF AE＝BF（不互逆）3.如图3，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、CD、AD、BC上，则有EF⊥GH EF＝GH（不互逆）图1 图2 图3正方形中，看到垂直，找边等例5：如图①，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F（1）求证：△ABF≌△BCE（2）如图②，当E运动到AB中点时，连接DG，求证DC＝DG（3）如图③，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD、BF于点M，N，求MN∶NH的值例6：如图，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点B恰好落在AD边上，折痕EG分别交AB、CD于点E、G，FN与DC交于点M，连接BF交EG于点P（1）如图①，当点F为AD的中点时，填空：AE＝，△FDM的周长为；（2）如图②，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合①探究△FDM的周长是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由②猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系并证明例4：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为AC上一点，连接BD，E 为AB上一点，CE⊥BD于点F，当AD＝CD时，求CE的长例题精讲2：综合强化例5：已知四边形ABCD中，E、F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：△ADE∽△DCF（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，是探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，DECF =ADCD成立？并证明你的结论（3）如图③，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出DECF的值例6：（1）推断证明：如图①，在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC 、AB 上，DQ⊥AE 于点O ，点G 、F 分别在边CD 、AB 上，GF⊥AE ①求证：DQ ＝AE②推断：GFAE 的值为 ；（2）类比探究：如图②，在矩形ABCD 中，BCAB =k （k 为常数），将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ，试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当k ＝23时，若tan ∠CGP =34，GF =2√10，求CP 的长。

2023中考专题复习——第七章四边形时间：45分钟满分：80分一、选择题(每题4分，共32分)1．下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的是() A．两组对边分别平行的四边形B．两组对角分别相等的四边形C．两条对角线互相平分的四边形D．一组对边平行另一组对边相等的四边形2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点M，N分别为边AB和AC的中点，若AB ＝2，AC＝4，则MN的长度为()A．2 3 B. 3 C．2 5 D. 5(第2题)(第3题)3．如图，在▱ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝()A．80°B．100°C．120°D．140°4．如图，四边形ABCD是菱形，其中A，B两点的坐标分别为A(0，3)，B(4，0)，则点D的坐标为()A．(0，1) B．(0，－1)C．(0，2) D．(0，－2)(第4题)(第5题)5．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，连接AE，则∠DAE的度数是()A．15°B．20°C．12.5°D．10°6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则DE的长是()A．3 B．5 C．2.4 D．2.5(第6题)(第7题)7．如图，在▱ABCD中，AB＝BC＝5，对角线BD＝8，则▱ABCD的面积为() A．20 B．24 C．40 D．488．将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出()A．正方形纸片的面积B．四边形EFGH的面积C. △BEF的面积D. △AEH的面积(第8题)(第9题)二、填空题(每题4分，共16分)9．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有________条．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，B(5，4)，若四边形OABC是平行四边形，则▱OABC的周长等于________．11．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，点D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则线段EF的最小值为________．(第11题)(第12题)12．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，已知AF＝2DF，若FG ＝3，则GB＝________．三、解答题(共32分)13．(8分)如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且BE＝DF，AF＝CE.求证：四边形ABCD为平行四边形．(第13题)14．(24分)如图，已知在矩形ABCD中，点M，N分别是边AD，BC的中点，点P，Q分别是边BM，DN的中点．(1)求证：BM∥DN；(2)求证：四边形MPNQ是菱形；(3)当矩形ABCD的边AB与AD满足什么数量关系时，四边形MPNQ为正方形？请说明理由．3(第14题)答案一、1.D 2.D 3.C 4.D 5.A 6.A7.B8.C二、9.410.1411.12 512. 63点拨：如图，过点F作FP∥AB，交DE于点P，则△DFP∽△DAE.∵AF＝2DF，∴FPAE＝DFDA＝13.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵AE＝DF，∴BE＝AF，∴BE＝2AE，∴FPBE＝FP2AE＝16.∵FP∥AB，∴△FPG∽△BEG，∴GFGB＝FPBE＝16，∴GB＝6GF＝6 3.(第12题)三、13.证明：∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF.∴AB∥CD.∴四边形ABCD为平行四边形．14．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵点M，N分别为边AD，BC的中点，∴DM＝BN，∴四边形DMBN是平行四边形．∴BM∥DN.(2)证明：由(1)可知四边形DMBN是平行四边形，∴BM＝DN，BM∥DN.5∵点P，Q分别为边BM，DN的中点，∴MP＝NQ.∴四边形MPNQ是平行四边形．如图，连接MN.(第14题)由(1)可知AD∥BC，AD＝BC.∵点M，N分别为边AD，BC的中点，∴DM＝CN，∴四边形DMNC是平行四边形．由题可知∠C＝90°，∴四边形DMNC是矩形，∴∠DMN＝∠C＝90°.∵点Q是边DN的中点，∴MQ＝NQ，∴四边形MPNQ是菱形．(3)解：当矩形ABCD的边AB与AD满足AB＝12AD时，四边形MPNQ为正方形．理由：∵AB＝12AD，点M是边AD的中点，∴AB＝AM.易得矩形ABNM是正方形．∵P为正方形ABNM对角线BM的中点，∴∠NPM＝90°.由(2)知四边形MPNQ是菱形，∴四边形MPNQ是正方形．。

第七章.平行四边形模型（二十九）——中点四边形模型模型讲解中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形【结论1】点M、N、P、Q是任意四边形的中点，则四边形MNPQ是平行四边形【结论2】对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形【结论3】对角线相等的四边形的中点四边形是菱形【结论4】对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形典例秒杀典例1 ☆☆☆☆☆已知四边形 ABCD的对角线 AC⊥BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA 的中点，那么四边形 EFGH是（）A. 梯形B.矩形C.菱形D.正方形【答案】B【解析】∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA 的中点，∴根据中点四边形模型的结论可知四边形 EFGH为平行四边形.∵F，G分别是边 BC，CD 的中点，∴FG∥BD，同理，HG∥AC，又∵AC⊥BD，∴AC⊥FG，∴HG⊥FG，即∠FGH=90°.∴平行四边形 EFGH为矩形.故选 B.典例2 ☆☆☆☆☆顺次连接一个四边形的各边中点得到一个正方形，则这个四边形可能是（）A. 梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【答案】D【解析】由模型的结论知此四边形对角线相等且互相垂直，结合选项可知这个四边形可能是正方形.故选 D.典例3 ☆☆☆☆☆顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（）A.AB∥CDB.AB⊥BCC.AC⊥BDD.AC=BD【答案】D【解析】如图，连接 AC，BD.分别取边 AD，AB，BC，CD的中点E，F，G，H，根据中点四边形模型的结论可知，四边形 EFGH为平行四边形.∵四边形 EFGH 为菱形，∴EH=EF, 又∵EF= BD, EH=AC,∴AC=BD. 故选 D.小试牛刀1.（★☆☆☆☆）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）.A. 梯形B. 菱形C.矩形D.正方形2.（★★☆☆☆）如图，在任意四边形ABCD 中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形 MNPQ 的形状，以下结论错误的是（）A.当 M，N，P，Q是各边中点时，四边形 MNPQ一定为平行四边形B.当 M，N，P，Q 是各边中点，且∠ABC=90°时，四边形MNPQ为正方形C.当 M，N，P，Q是各边中点，且 AC=BD时，四边形 MNPQ为菱形D.当 M，N，P，Q是各边中点，且 AC⊥BD时，四边形 MNPQ为矩形3.（★★★☆☆）如图，在任意四边形 ABCD中，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是线段 BD，BC，AC，AD上的点，对于四边形 EFGH 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）.B.当E，F，G，H 是各条线段的中点，且 AC⊥BD 时，四边形EFGH为矩形C.当E，F，G，H是各条线段的中点，且 AB=CD 时，四边形EFGH 为菱形D.当E，F，G，H 不是各条线段的中点时，四边形 EFGH可以为平行四边形直击中考1.如图， ABCD 中，AB=2，AD=4，对角线 AC，BD相交于点O，且点E，F，G，H分别是 AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（）A.EH＝HGB.四边形 EFGH是平行四边形C.AC⊥BDD.△ABO的面积是△EFO 的面积的 2倍2. 如图，任意四边形 ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 上的点，对于四边形 EFGH 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）.A.当E，F，G，H是各边中点，且 AC=BD时，四边形 EFGH为菱形B.当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形D.当 E，F，G，H 不是各边中点时，四边形EFGH 不可能为菱形多中点问题，我们要想到中位线.中点四边形问题，关键点在于对角线的数量和位置上的特点．第七章.平行四边形模型（二十九）——中点四边形模型答案：小试牛刀1.答案 C解析根据中点四边形模型的结论可以快速得出，顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形.故选 C.2.答案 B解析连接 AC，BD交于点O.①当 M，N，P，Q是各边中点时，根据中点四边形模型的结论可知四边形 MNPQ一定为平行四边形，A 正确，不符合题意;②∠ABC=90°时，四边形MNPQ不一定为正方形，B错误，符合题意;③∵M，N，P，Q是各边中点，∴由 A选项的结论可知四边形 MNPQ一定为平行四边形，又∵MN＝AC, MQ＝BD, AC=BD，∴MN=MQ，四边形 MNPQ为菱形，C 正确，不符合题意;④M，N，P，Q是各边中点，∴由 A选项的结论可知四边形 MNPQ一定为平行四边形，又 AC⊥BD，∴∠MNP=90°，∴四边形MNPQ为矩形，D正确，不符合题意.故选 B.3.答案 B解析①对于 A，∵E，F，G，H分别是 BD，BC，AC，AD的中点，∴EH//AB，且 EH＝AB、FG∥AB，且FG＝AB，∴EH∥FG，且EH=FG，∴四边形 EFGH为平行四边形，故 A 正确.②对于B，∵AC⊥BD，∵∠BOC=90°，∠BOC＞∠EHG，∴∠EHG＜90°，∴四边形 EFGH 不可能是矩形，故 B错误.③对于C，AB=CD，EF=GH=CD,FG=HE=AB，∴EF=FG=GH=HE,∴四边形 EFGH 是菱形，故 C正确。

特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义中考考点梳理一、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：第一步：先证明它是平行四边形；第二步：再证明它是菱形（或矩形）；第三步：最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积： 设正方形边长为a ，对角线长为b ，S 正方形=222b a 中考典例精选考点典例一、矩形的性质与判定【例1】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,若AB ＝AO ， 求∠ABD 的度数.图6A B 【答案】∠ABD =60°.【解析】考点：矩形的性质；等边三角形的判定及性质.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．【举一反三】1.已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【答案】详见解析.【解析】试题分析：由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到△BEF≌△CFD，利用全等三角形对应边相等即可得证．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2. 如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在E 处，EQ 与BC 相交于F ．若AD=8cm ，AB=6cm ，AE=4cm ．则△EBF 的周长是 cm ．【答案】8.【解析】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x ，则DH=AD ﹣AH=8﹣x ，在Rt △AEH 中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x ，EH=DH=8﹣x ，∴EH 2=AE 2+AH 2，即（8﹣x ）2=42+x 2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C △AEH =12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH ．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF ∽△HAE ，∴32==∆∆AH BE C C HAE EFB ． ∴C △EBF =23=C △HAE =8．考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.考点典例二、菱形的性质与判定【例2】如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．【答案】(1)详见解析；（2）四边形ABEF是菱形，理由详见解析.【解析】（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB，由（1）得：AF=AB，∴BE=AF，又∵BE ∥AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AF=AB ，∴四边形ABEF 是菱形．考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一组对角线平分一组对角”等.对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.【举一反三】1. 如图，四边形ABCD 是菱形，8=AC ，6=DB ，AB DH ⊥于H ，则DH 等于A ．524 B ．512 C ．5 D ．4【答案】A.【解析】 考点：菱形的性质.2. 如图，菱形ABCD 的边AB=8，∠B=60°，P 是AB 上一点，BP=3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′，当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（ ）A. 5B. 7C. 8D. 213 CD H【答案】B．【解析】考点：菱形的性质；轴对称（折叠）；等边三角形的判定和性质；最值问题．考点典例三、正方形的性质与判定【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】证明见解析.【解析】考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.【举一反三】1.如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2 C．D．10﹣5【答案】B.【解析】考点：正方形的性质；全等三角形的判定及性质；勾股定理.考点典例四、特殊平行四边形综合题【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE ⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BECD是菱形，（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．理由见解析.【解析】（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 【举一反三】如图，正方形ABCD 的边长为1,AC 、BD 是对角线，将△DCB 绕点D 顺时针旋转450得到△DGH ， HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ，则下列结论：①四边形AEGF 是菱形 ②△AED ≌△GED③∠DFG ＝112.5︒ ④BC ＋FG ＝1.5其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）图5F EH G BA【答案】①②③. 【解析】试题分析：由旋转的性质可得HD=BD=2 ∴HA=12-考点：旋转的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定.课后巩固、提高自测小练习一、选择题1．关于ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC ABCD是菱形B．若AC⊥BD ABCD是正方形C．若AC=BD，则ABCD是矩形D．若AB=AD ABCD是正方形【答案】C.【解析】试题分析：根据矩形的判定可得A、C项应是矩形；根据菱形的判定可得B、D项应是菱形,故答案选C.考点：矩形、菱形的判定.2. 下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形【答案】D.【解析】考点：1菱形的判定；2矩形的性质；3平行四边形的判定.3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C.【解析】试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．此时，EP+FP的值最小，值为EF′．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．考点：1轴对称；2菱形.4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）A ．AB =AD B ．AC ⊥BD C ．AC =BD D ．∠BAC =∠DAC 【答案】C ． 【解析】考点：菱形的判定；平行四边形的性质．5. 如图，正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上，且CE =2DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG =GC ；③EG =DE +BG ；④AG ∥CF ；⑤S △FGC =3.6．其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵正方形ABCD 的边长为6，CE =2DE ，∴DE =2，EC =4，∵把△ADE 沿AE 折叠使△ADE 落在△AFE 的位置，∴AF =AD =6，EF =ED =2，∠AFE =∠D =90°，∠FAE =∠DAE ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，∵AB =AF ，AG =AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴GB =GF ，∠BAG =∠FAG ，∴∠GAE =∠FAE +∠FAG =12∠BAD =45°，所以①正确； 设BG =x ，则GF =x ，C =BC ﹣BG =6﹣x ，在Rt △CGE 中，GE =x +2，EC =4，CG =6﹣x ，∵222CG CE GE +=，∴222(6)4(2)x x-+=+，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3，∴BG=CG，所以②正确；∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；过F作FH⊥DC．∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴EH EFGC EG=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：EH EFGC EG==25，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=12×3×4﹣12×4×（25×3）=3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选D．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．6.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】B．【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．7.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D．【解析】考点：菱形的性质；平行四边形的性质．8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【答案】B．【解析】试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB//CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．考点：菱形的判定；平移的性质．二、填空题1.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）【答案】①②③④.【解析】考点：1菱形的性质和判定；2轴对称；3平行线的性质.2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．【答案】22.5°．【解析】试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，即可得OA=OB═OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，即可得∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，再由∠EAC=2∠CAD，可得∠EAO=∠AOE，因AE⊥BD，可得∠AEO=90°，所以∠AOE=45°，所以∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB ﹣∠OAE=22.5°．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．3. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是．（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；（5）OG•BD=AE2+CF2．【答案】（1），（2），（3），（5）．【解析】1（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，4∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=2OA；故正确；（5）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，∴△OEG∽△OBE，∴OE：OB=OG：OE，∴OG•OB=OE2，∵OB=12BD，OE=22EF，∴OG•BD=EF2，∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，∴EF2=AE2+CF2，∴OG•BD=AE2+CF2．故正确．考点：四边形综合题．4.如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为．【答案】24． 【解析】试题分析：根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半即可得，菱形的面积=21×6×8=24. 考点：菱形的性质．5．将矩形ABCD 纸片按如图所示的方式折叠，EF ，EG 为折痕，试问∠AEF +∠BEG = ．【答案】90°． 【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．6. 如图，四边形OABC 为矩形，点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B 的坐标为（4，3），∠CAO 的平分线与y 轴相交于点D ，则点D 的坐标为 ．【答案】（0，43）．【解析】考点：矩形的性质；坐标与图形性质．三、解答题1.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：C P=AQ；（2）若BP=1，PQ=22，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2.如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，面积相等．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．3.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：A E=EF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：先取AB的中点H，连接EH，根据∠AE F=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC 的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．试题解析：取AB的中点H，连接EH．∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，在△AHE和△ECF中，∵∠1=∠2，AH=EC，∠AHE=∠ECF，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．4. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【答案】详见解析.【解析】∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．考点：全等三角形的性质；菱形的判定．。

十字模型专题知识解读【专题说明】“十字架模型”是数学平面几何中比较重要的一个模型。

常见的类型有正方形中的十字架和矩形中的十字架。

围绕着这两种模型的条件之下，可以推导出一些比较实用的结论。

这些结论对我们分析一些几何问题会比较大的帮助。

【方法技巧】类型一：【十字架模型】--正方形第一种情况：过顶点在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）所以AE=BF第二种情况：不过顶点在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH也可以如下证明在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH类型二：【十字架模型】--矩形在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中：AE⊥BF，探究AE与BF的关系；可证：△ADE ∽△BAF 所以BF AE AB AD BF AE ⋅=⋅==ab a b在矩形ABCD 中，AB=a ，AD=b ，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的点，其中：EG ⊥FH ，探究EG 与FH 的关系【解答】可证：△ADN ∽△BAM∴∴但是只有垂直的条件，点的位置发生变化，那么可以证明出相似三角形，但是线段之间的关系不在成立 在矩形ABCD 中，AB=a ，AD=b ，其中EG ⊥FH ，探究EG 与FH 的关系可证△EOH∽△GOF【典例分析】【典例1-1】基本模型如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD，DC边上，且AF⊥BE．结论：①△ABE≌△DAF；②AF＝BE；请证明【基本模型】中的结论．求证：①△ABE≌△DAF；②AF＝BE．自主探究：若将已知条件AF⊥BE改为AF＝BE，是否可以得到AF⊥BE？进而是否可以探究AF与BE交点的轨迹？【解答】基本模型：证明：①∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，∴∠ABE+∠BEA＝90°，∵AF⊥BE，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），②∵△ABE≌△DAF（ASA），∴AF＝BE；自主探究：解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在Rt△ABE和Rt△DAF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝90°，则BE⊥AF．如图，设AF、BE交于点H，AC、BD交于点O，∵BE⊥AF，∴∠AHB＝90°，点H在以AB为直径的圆上，∵点E、F分别在AD，DC边上，∴AF与BE交点的轨迹为．【典例1-2】模型演变①如图①，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在DC，AD，BC边上，且AE⊥GF．结论：AE＝GF模型演变②如图②，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，DC，BC，AD边上，且EF⊥GH．结论：EF＝GH请证明【模型演变②】的结论，求证：EF＝GH．自主探究：在【模型演变①】和【模型演变②】中，若将已知条件中两线段垂直与结论中两线段相等互换，判断结论是否还成立？请选择其中一个图形进行证明．【解答】证明：过点E作EM⊥DC于点M，过点H作HN⊥BC于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴EM＝AD＝DC＝HN，∵EM⊥HN，EF⊥HG，∴∠MEF＝∠NHG，在△MEF与△NHG中，，∴△MEF≌△NHG（ASA），∴EF＝GH；自主探究：解：不成立，证明：选择[模型演变①]，设AE与FG相交于点O，过点O作DC的平行线l，将FG沿直线l对称得到F'G'，则FG＝F'G'，由（1）可得：AE⊥FG，∴F'G'与AE不垂直，∴若条件与结论互换，结论不成立．【典例2-1】模型演变③如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且CE⊥BD．结论：△DCE∽△ADB请证明【模型演变③】的结论．求证：△DCE∽△ADB．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∴∠ADB+∠CDO＝90°，∵CE⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴∠DCE+∠CDO＝90°，∴∠ADB＝∠DCE，∵∠A＝∠EDC＝90°，∴△DCE∽△ADB．【典例2-2】模型演变④如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在AD，BC，AB，DC边上，且EF⊥GH．结论：＝请证明【模型演变④】的结论．求证：＝．【解答】证明：如图，过点G作GM⊥CD于M，过点E作EN⊥BC于点N，∴∠GMH＝∠ENF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵EF⊥GH，∴∠BGH+∠BFE＝180°，∠BGH+∠GHM＝90°，∴∠BFE＝∠GHM，∴△EFN∽△GHM，∴＝＝．【变式1-1】如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，BF 交于点O．若BE＝3，DF＝1，则OB的长为．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴∠ABC＝90°＝∠BCD，AB＝BC＝CD＝4，∵BE＝3，DF＝1，∴BE＝CF＝3，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠AEB＝∠BFC，∵∠BFC+∠FBC＝90°，∴∠AEB+∠FBC＝90°，∴∠BOE＝90°，∴BO⊥AE，∴2S△ABE＝AB•BE＝AE•OB，∵AB＝4，BE＝3，∴AE＝＝5，∴OB＝＝，故答案为：．【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一点，将△BCE沿CE折叠，使点B 落在AD边上的点F处，连接BF交CE于点G．已知AD＝5，AB＝3，则折痕CE的长为．【解答】解：由翻折的性质可知，BE＝EF，BC＝FC＝AD＝5，在Rt△CDF中，CF＝5，CD＝AB＝3，∴DF＝＝4，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣4＝1，设BE＝x，则EF＝x，AE＝3﹣x，在Rt△AEF中，由勾股定理得，AF2+AE2＝EF2，即1+（3﹣x）2＝x2，解得x＝，即BE＝，在Rt△BCE中，由勾股定理得，CE＝＝＝，故答案为：．【变式1-3】如图，在面积为16的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，F是CB上一点，CF＝AE，连接EF，过点D作DG⊥EF于点H，若S△BEF＝6，则CF＝，DG ＝．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为16，∴正方形ABCD的边长为4，设CF＝x，则BF＝4﹣x，BE＝4+x，∵S△BEF＝6，∴（4﹣x）（4+x）＝6，∴x＝±2（负值舍去），∴CF＝2＝AE，∴BF＝BC﹣CF＝4﹣2＝2，BE＝AB+AE＝4+2＝6，∴EF＝＝＝2，∵DG⊥EF，∴∠AGD＝90°﹣∠E＝∠BFE，又∠B＝90°＝∠DAG，∴△EBF∽△DAG，∴＝，即＝，解得DG＝，故答案为：2．【变式1-4】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，点M，N分别在边BC，AB上，且AM⊥DN，的值．【解答】解：过点D作AB的平行线，交过点A作BC的平行线于G，交BC的延长线于H，过点D作DP⊥AB于P，则四边形ABHG是矩形，∵AB＝AD，CB＝CD，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADG+∠CDH＝90°，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∴∠DAG＝∠HDC，又∵∠G＝∠H，∴△ADG∽△DCH，∴，∴设CH＝x，则DG＝2x，∴DH＝10﹣2x，AG＝5+x，∴5+x＝2（10﹣2x），解得x＝3，∴BH＝8，∵∠NDP＝∠BAM，∠DPN＝∠ABM，∴△ABM∽△DPN，∴．【变式1-5】如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点E，F分别在边AD，BC上，将该矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点B'落在CD边上，点A的对应点为A'，连接BB'．（1）如图②，当点B'与点D重合时，连接BE，试判断四边形BEB'F的形状，并证明；（2）求折痕EF的最大值；（3）如图③，过点E作EM⊥BC于点M，当四边形EMCD为正方形时，求CF的长．【解答】解：（1）四边形BEB'F是菱形，理由如下：由折叠的性质得：∠BFE＝∠B′FE，EF垂直平分BB′，∴BE＝B′E，BF＝B′F，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠B′EF＝∠BFE，∴∠B′EF＝∠B′FE，∴B′E＝B′F，∴BE＝B′E＝B′F＝BF，∴四边形BEB′F是菱形；（2）过点E作EG⊥BC于G，设EF与BB′交于点O，如图①所示：则∠EGF＝90°，四边形ABGE为矩形，∴∠GEF+∠EFG＝90°，EG＝AB＝6，由折叠的性质得：EF⊥BB′，∴∠BOF＝90°，∴∠EFG+∠B′BF＝90°，∴∠GEF＝∠B′BF，∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，∴∠C＝∠EGF，∴△EGF∽△BCB′，∴＝＝＝，∴EF＝BB′，∴当BB′取最大值，EF取得最大值，此时，点B′与点D重合，连接BD，在Rt△BCD中，BD＝＝＝10，∴EF最大＝BD＝×10＝；（3）连接BE、B′E，如图③所示：由折叠的性质得：EF垂直平分BB′，∴BF＝B′F，BE＝B′E，∵四边形EMCD是正方形，∴EM＝MC＝CD＝ED＝6，∴AE＝BM＝8﹣6＝2，在Rt△EMB和Rt△EDB′中，，∴Rt△EMB≌Rt△EDB′（HL），∴DB′＝BM＝2，∴CB′＝CD﹣DB′＝6﹣2＝4，设CF＝x，则BF＝B′F＝8﹣x，在Rt△CB′F中，由勾股定理得：CF2+CB′2＝B′F2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴CF的长为3．【变式1-6】【教材背景】课本上有这样一道题目；如图①，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF．发现其中CE＝DF．【拓展延伸】如图②，在正方形ABCD中，O为对角线BD上一点，连接AO并延长，交DC于点E，过点B作BF⊥AE于点G，交AD于点F，连接FE，BE．【问题解决】（1）若DO＝DE，求证：△ABG≌△OBG；（2）若BF＝6，求四边形AFEB的面积；（3）如图③，连接CG，若CG＝BC，求证：E是边DC的中点．【解答】【教材背景】证明：如图1中，∵ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°，又∵E、F分别是AB、BC的中点，∴BE＝CF，在△CEB和△DFC中，，∴△CEB≌△DFC，∴CE＝DF；【问题解决】（1）证明：如图②中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠BAO＝∠AED，∵DO＝DE，∴∠DOE＝∠DEO，∵∠AOB＝∠DOE，∴∠BAO＝∠AOB，∴BA＝BO，∵BF⊥AE，∴AG＝OG，在△BAG和△BOG中，，∴△ABG≌△OBG（SSS）；（2）解：如图②中，过点E作EH⊥AB于点H．∵AE⊥BF，∴∠AGB＝90°，∵∠ABF+∠BAG＝90°，∠DAE+∠BAG＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，∵BA＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°，∴△BAF≌△ADE（ASA），∴BF＝AE＝6，∵AE⊥BF，∴S四边形AFEB＝•AE•BF＝×6×6＝18；（3）证明：过点C作CT⊥BG交AB于点T，连接GT．∵CG＝CB，BT⊥BG，∴CT垂直平分线段BG，∴TB＝TG，∴∠TBG＝∠TGB，∵∠TBG+∠BAG＝90°，∠AGT+∠TGB＝90°，∴∠TAG＝∠TGA，∴TA＝TG，∴AT＝TB，∵AE⊥BF，CT⊥BF，∴AE∥CT，∵AT∥CE，∴四边形ATCE是平行四边形，∴AT＝CE，∵AB＝CD＝2AT，∴CD＝2CE，∴DE＝EC．【变式1-7】（滕州市校级模拟）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：＝；（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得＝成立？并证明你的结论；（3）如图③，若BA＝BC＝2，DA＝DC＝，∠BAD＝90°，DE⊥CF，试求的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴＝；（2）当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．当∠B+∠EGC＝180°时：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵∠B+∠EGC＝180°，∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，∵∠FDG＝∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴＝，∵∠B＝∠ADC，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠DGC＝180°，∴∠CGD＝∠CDF，∵∠GCD＝∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴＝，∴＝，∴＝，即当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．（3）解：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，∵在△BAD和△BCD中，∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD＝∠A＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠MBC＝∠ADC，∵∠CND＝∠M＝90°，∴△BCM∽△DCN，∴＝，∴＝，∴CM＝x，在Rt△CMB中，CM＝x，BM＝AM﹣AB＝x﹣2，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，∴（x﹣2）2+（x）2＝22，x＝0（舍去），x＝，CN＝，∵∠A＝∠FGD＝90°，∴∠AED+∠AFG＝180°，∵∠AFG+∠NFC＝180°，∴∠AED＝∠CFN，∵∠A＝∠CNF＝90°，∴△AED∽△NFC，∴＝＝＝．。

专题05 平行四边形六大模型模型一：中点四边形模型二：梯子模型模型三：十字架模型四：对角互补模型五：半角模型模型六：与正方形有关三垂线模型一：中点四边形中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。

结论1: 点M、N、P、Q 是任意四边形的中点，则四边形MNPQ 是平行四边形结论2: 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形结论4: 对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形【典例1】（2024•长沙模拟）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（2023•阳春市二模）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，【变式1-1】则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分B．互相平分且相等C．互相垂直D．相等【变式1-2】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD【变式1-3】（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形模型二：梯子模型如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上,当梯子底端滑动时,探究梯子上某点(如中点)或梯子构成图形上的点的轨迹模型(图2),就是所谓的梯子模型。

[考查方向]已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,求线段最值问题。

模型一:如图所示,线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，LACB= ZAOC= 90°AC的中点为P,连接OP、BP、OB,则当O、P、B三点共线时,此时线段OB最大值。

即已知RtAACB中AC、BC的长,就可求出梯子模型中OB的最值模型二: 如图所示,矩形ABCD 的顶点A、B分别在边OM、ON上,当点A在边OM上运动时,点B随之在ON上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保持不变，AB的中点为P,连接OP、PD、OD,则当O、P、D三点共线时,此时线段OD 取最大值【典例2】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC ＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是．【变式2-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是．【变式2-2】如图，∠MEN＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别是∠MEN两边上的动点，已知BC＝10，CD＝5，点D，E之间距离的最大值是．模型三：十字架第一种情况：过顶点在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）所以AE=BF第二种情况：不过顶点在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH也可以如下证明在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH【典例3】（2023春•商南县校级期末）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF相交于点G，连接AG，求证：（1）CE⊥DF．（2）∠AGE＝∠CDF．【变式3-1】（2023•黄石）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM＝CN，AN与DM相交于点P．（1）求证：△ABN≌△DAM；（2）求∠APM的大小．【变式3-2】（2023秋•惠阳区校级月考）如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．（1）请判断BE与DG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．（2）如图2，已知AB＝4，，当点F在边AD上时，求BE的长．【变式3-3】（2023春•滨州期末）已知ABCD是一个正方形花园．（1）如图1，E、F是它的两个门，且DE＝CF，要修建两条路BE和AF，问这两条路等长吗？为什么？（2）如图2，在正方形四边各开一个门E、F、G、H，并修建两条路EG和FH，使得EG⊥FH，问这两条路等长吗？为什么？模型四：对角互补对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。

第七章.平行四边形模型（三十一）——梯子模型【最值模型】梯子问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动【结论】线段AB的两端在坐标轴上滑动，∠ABC=90°，AB的中点为Q，连接OQ，QC，当O，Q，C三点共线时，OC取得最大值【证明】如图在 Rt△AOB 中，点Q是中点，∴OQ=AB.在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 CQ= ＝.若OC要取得最大值，则 O，Q，C三点共线，即 OC=OQ+QC，即OC=AB+。

典例秒杀典例1 ☆☆☆☆☆求最值：AB＝2，BC=1，∠ABC＝90°，点A、B在y轴、x轴正半轴滑动，求OC 最大值【解析】梯子模型关键在A、B两点运动，但动中有静取AB中点P，PO=1（直角三角形斜边中线），PC= ＝当0、P、C 三点不共线，OC＜0P＋PC ,OC＜1＋当0、P、C 三点共线，OC＝0P＋PC ,OC＝1＋∴＝1＋典例2 ☆☆☆☆☆最值出角度：AB＝2，BC=1，∠ABC＝90°，点A、B在y轴、x轴正半轴滑动，求何时O、P、C三点共线？【解析】在△BCP中，BC=BP=1，∴∠1＝∠PCB＝45º，∴∠2＝∠1＝45º，∵OP=PB，∴∠PBO＝∠POB＝22.5º，∴当∠PBO＝22.5º时，O、P、C三点共线典例3 ☆☆☆☆☆如图所示，一根长 2.5米的木棍 AB斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角O 与木棍B端的距离为1.5米，设木棍的中点为P，若木棍 A 端沿墙下滑，则 B端沿地面向右滑行.（1）木棍在滑动过程中，线段 OP的长度发生改变了吗?请说明理由;若不变，求 OP 的长.（2）如果木棍的底端 B向外滑出 0.9米，那么木棍的顶端 A沿墙下滑多少米?【解析】（1）OP的长不变.连接 OP，如图.∵P是AB 的中点，∴AP=BP.∵∠AOB=90°,∴OP＝AB＝×2.5＝1.25（米）. （2）如图，由题意得 BB´=0.9米，∠MON= 90°,∴OA= =2（米），又 OB´=1.5＋0.9=2.4（米），OA´= =0.7（米），∴AA´＝2-0.7＝1.3（米），∴木棍的顶端 A 沿墙下滑 1.3米.典例4 ☆☆☆☆☆如图，∠MON=90°，矩形 ABCD 的顶点 A，B分别在边 OM，ON上，当B在边ON 上运动时，A随之在OM 上运动，矩形ABCD形状保持不变，其中AB=2，BC=1，则在运动过程中，点 D到点O 的最大距离为____________。