2021年中考复习讲义初中几何典型模型一：一线三垂直模型

“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况;“一线三等角”模型详见;即三个等角角度为90o;于是有三组边相互垂直;所以称为“一线三垂直”模型..“一线三垂直”的性质：1;模型中必定存在至少两个三角形相似;三对等角;三对成比例的边长；2;当模型中有一组对应边长相等时;则模型中必定存在全等三角形..“一线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的地位;常出现的图例有以下几种：其中;在“变形2”模型下;根据相似原理;推理出了着名的“射影定理”这里主要讨论有一对对应边相等的情况..例1如图;在等腰直角三角形ABC中;∠ACB=Rt∠;AC=BC;AE⊥CE于点E;BD⊥CE于点D;AE=5cm;BD=2cm;则DE的长为多少提示根据“一线三垂直”模型的性质;△ACE≌△CBD;于是CD=AE=5cm;CE=BD=2cm;DE=5-2=3cm例2如图;在△ABC中;CA=CB;点D 为BC中点;CE⊥AD于点E;交AB于点F;连接DF..求证：AD=CF+DF.解析此题乍一看起来和例1相同;却不能照搬照抄..从要证明的结论来看;需要把AD这条线段“转化”到直线CF上..如图;过点B作BG⊥CB;交CF的延长线于点G..则易证△ACD≌△CBG;于是AD=CG=CF+FG；BG=CD=BD;BF=BF;∠DBF=∠GBF=45o;故△BDF≌△BGF;于是FD=FG;所以AD=CF+DF..“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用二“一线三垂直”的性质：1;模型中必定存在至少两个三角形相似;三对等角;三对成比例的边长；2;当模型中有一组对应边长相等时;则模型中必定存在全等三角形..例3如图;在△ABC中;AB=AC;∠BAC=90o;分别过B;C向过A点的直线作垂线;垂足分别为E;F..1如图1;过点A的直线与斜边BC不相交时;求证：EF=EB+CF；2如图2;过点A的直线与斜边BC相交时;其他条件不变;若BE=10;CF=3.求EF的长..提示1图1是“一线三垂直”的基础模型;△ABE≌CAF；2图2是“一线三垂直”的变形4;和例1相同..例4如图;已知△AEB中;∠AEB=90o;以AB为边向外作正方形ABCD;连接AC、BD;交于点O;连接EO..若BE=2;EO=3√2;求五边形AEBCD的面积..解析因为∠ABC=∠AEB=90o;故构造“一线三垂直”模型;如图..过点C作CP⊥EB;交EB延长线于点P;连接OP..则根据“一线三垂直”模型的性质;△AEB≌△BPC;∴BP=AE；∵∠AOB=∠AEB=90o;∴A、E、B、O四点共圆详见;∴∠BEO=∠BAO=45o；同理∠BPO=∠BCO=45o;故△EOP为等腰直角三角形；∵EO=3√2;∴EP=6;BP=4;根据勾股定理;AB2=16+4=20;即S正方形ABCD=20;S△AEB=4×2÷2=4;∴S五边形AEBCD=20+4=24.“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用三例5已知△ABC中;∠ACB=90o;AC=BC;CD为AB边上的中线;点E为BC 边上任意一点不与A、D、B重合;BF⊥CE于点F;交CD于点G;AH⊥CE;交CE延长线于点H;交CD延长线于点M..求证：1CG=AE；2DE=DM..提示1根据“一线三垂直”模型;△ACH≌△CBF;∴∠ACE=∠CBG;又∠CAE=∠BCG=45o;AC=BC;∴△ACE≌△BCG；2由“一线三垂直”模型可知;∠ACE=∠CBG;BF=CH;∴∠HCM=∠FBE;又∠BFE=∠CHM=90o;∴△CHM≌△BFE;BE=CM;从而DE=DM..同时我们也应该注意到：△ACM≌△CBE；△ADM≌△CDE≌△BDG；△AHE≌△CFG；DM=DG=DE；△GEM为等腰直角三角形等..构造“一线三垂直”模型;是作辅助线常用的一种手段..例6如图;直线l1∥l2∥l3;且l1到l2的距离为3;l2到l3的距离为4;等腰直角△ABC的直角顶点C在l2上;点A、B分别在l1、l3上..求△ABC的面积..提示过点C作l2的垂线;分别交l1和l3于点D、E;构造“一线三垂直”模型;则CD=3;AD=CE=4;AC=5.“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用四例72018初二希望杯练习题如图;四边形ABCD为直角梯形;AD∥BC;∠BCD=90o;AB=BC+AD;∠DAC=45o;E为CD上一点;且∠BAE=45 o;若CD=4;求△ABE的面积..解析如图;过点E作EG⊥AE;交AB延长线于点G;过点G作GH⊥DC;交DC延长线于点H;构造“一线三垂直”模型；过点G作GK⊥BC于点K;过点B作BF⊥AD于点F..则△ADE≌△EHG;DE=GH；AD=EH=CD;∴DE=CH;故四边形CKGH为正方形..AF=4-BC;AB=4+BC;BF=4;∴4+BC2=4-BC2+42;解得：BC=1;所以AB=5；设DE=x;则BK=1-x;GK=x;AE2=x2+42∵△AEG为等腰直角三角形;∴AG2=2AE2;5+BG2=2x2+42;将BG代入;化简得：7x-42=0;x=4/7;∴△ABE面积=梯形ABCD面积-△ADE面积-△BCE面积=1+4×4÷2-4×4/7÷2-1×4-4/7÷2=50/7..在直角坐标系中构造“一线三垂直”模型;是解决坐标问题的一种有效手段..例8如图;在直角坐标系中;点A1;2;点B0;-1;已知△ABC为等腰直角三角形;求点C的坐标..解析设Cm;p..1当∠BAC为直角时：①当点C在AB右侧时;如图1..过点A作DE∥x轴;交y轴于点D;过点C作CE⊥DE于点E..根据“一线三垂直”模型;△ABD≌△ACE;∴DB=AE;CE=DA;即：m-1=3;2-p=1;解得：m=4;p=1;∴C4;1；②当点C在AB左侧时;如图2..过点A作DE∥x轴;交y轴于点D;过点C作CE⊥DE于点 E..根据“一线三垂直”模型;△ABD≌△ACE;∴DB=AE;CE=DA;即：1-m=3; p -2=1;解得：m=-2;p=3;∴C-2;3；或者用下列方法：此时;点C和①中的C点A对称;故m=2×1-4=-2;p=2×2－1=3.2当∠ABC为直角时：①当点C在AB右侧时;如图3..过点A作AE∥x轴;交y轴于点E;过点C作CD⊥y轴于点 D..根据“一线三垂直”模型;△ABE≌△BCD;∴DB=AE;BE=CD;即：-1-p=1;m=3;解得：m=3;p=-2;∴C3;-2；②当点C在AB左侧时;如图4..过点B作DE∥x轴;过点C作CD⊥DE于点D;过点A作AE⊥DE于点E..根据“一线三垂直”模型;△ABE≌△BCD;∴BE=CD;BD=AE;即：0-m=3; p --1=1;解得：m=-3;p=0;∴C-3;0；或者用下列方法：此时;点C和①中的C点B对称;故m=2×0-3=-3;p=-1×2－-2=0.3当∠ACB为直角时：①当点C在AB右侧时;如图5..过点C作CD∥x轴;过点A作AD⊥CD 于点D;CD交y轴于点E..根据“一线三垂直”模型;△ACD≌△CBE;∴BE=CD;CE=DA;即：m=2-p;p--1=m-1;解得：m=2;p=0;即CD与x轴重合;点E与O重合;∴C2;0；②当点C在AB左侧时;如图6..过点C作CD∥x轴;过点A作AD⊥CD 于点D;CD交y轴于点E..根据“一线三垂直”模型;△ACD≌△CBE;∴BE=CD;CE=DA;即：1-m= p--1;2-p = 0-m;解得：m=-1;p=1;∴C-1;1..或者用下列方法：此时;点C和①中的CAB的中点对称;AB的中点坐标为0.5;0.5;故m=2×0.5-2=-1;p=0.5×2－0=1.综上所述：符合条件的点C的坐标有6个：4;1；-2;3；3;-2；-3;0；2;0；-1;1..“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用五前面讨论的是“一线三垂直模型”有两条边相等时的情况..如果不存在两条边相等;那么“一线三垂直模型”的性质是必然存在一对或几对相似三角形;这个性质在初中平面几何中的应用也是十分广泛;尤其在直角坐标系中的函数图像与平面几何的综合应用题或压轴题经常得到应用;也是作辅助线的思想方法..经常出现的图例跟前面介绍的一样;只是直角的两条边不一定相等..例9如图;在直角坐标系中;点A1;3;点B2;-1;坐标轴上是否存在点C;使得∠ACB为直角若存在;请求出点C的坐标；若不存在;请说明理由..解析1当点C在y轴上时：如图1;设C0;c;分别过点A、B作x轴的平行线;交y轴于点D、E..则根据“一线三垂直模型”;△ACD∽△CBE;∴AD∶CE=CD∶BE;即：1∶c+1=3-c∶2;解得：c1=1+√2;c2=1-√2;故C0;1+√2；或C0;1-√2；2当点C在x轴上时：如图2;设Cc;0;分别过点A、B作y轴的平行线;交x轴于点D、E..则根据“一线三垂直模型”;△ACD∽△CBE;∴AD∶CE=CD∶BE;即：3∶2-c=1-c∶2;或3∶c-2=c-1∶2;综上所述;符合条件的点C的坐标有4个;分别为：0;1+√2；0;1-√2；例10如图;在直角坐标系中;点A1;3;点B2;-1;在一次函数y=x/2-1的图像上是否存在点C;使得∠ACB为直角若存在;请求出点C的坐标；若不存在;请说明理由..解析设∠ACB为直角时;点Cc;c/2-1;如图1;过点 C作y轴的平行线DE;分别过点A、B作DE的垂线;垂足分别为D、E..由“一线三垂直模型”可知：△ACD∽△CBE;∴AD∶CE=CD∶BE;即：c-1∶c/2-1+1=3-c/2-1∶c-2;化简得：5c2-20c+8=0;解得：。

初中数学经典几何模型专题03 一线三垂直模型构造全等三角形【专题说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

【知识总结】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）常见的两种图形：图1 图21、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.当α=45°时，求△EAD的面积.当α=30°时，求△EAD的面积当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.2、如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG 交于点P，求证：BC=2AP3、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由.4、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是△ABC的高AD、BE的交点，已知CD=4，AF=2，则线段BC 的长为（）5、如图所示，直线α经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B,D作DE⊥α于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（）6、如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC,EF=EC,DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）7、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求BD证：CE=12【基础训练】1、如图，在平面直角坐标系中，等腰R t△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.2、已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于点B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点.如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM=PN，求证BM=CN.在（1）的条件下，直接写出线段AM、CN与AC的数量关系_______3、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论.4、如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，点D在线段BC上，∠BDE=1∠C,BE⊥DE，垂足为E，DE与AB2DF.交于点F，求证：BE=125、已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD 证明：BF平分∠ABC证明：AB+AE=BC【巩固提升】1、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC,AP⊥PC,求证：△ABP≌△PDC2、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB 为边在x轴上作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E。

“一线三垂直”模型专题知识解读【专题说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90°，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

【方法技巧】模型1 “全等型”一线三垂直模型如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。

结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA图1应用：（1）通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；（2）平面直角坐标系中有直角求点的坐标，可以考虑作辅助线构造“三垂直”作辅助线的程序：过直角顶点再直角外部作水平线或竖直线，过另外两个顶点向上述直线作垂线段，即可得到“三垂直”模型。

如下图所示模型2 “相似型”一线三垂直模型如图2，ABD ADE C B ∆⇒∠=∠=∠∽DCE ∆（一线三直角）应用：（1）“相似型”三垂直基本应用C D E BA（2）平面直角坐标系中构造“相似型”三垂直。

作辅助线方法和模型1一样（3）平面直角坐标系中运动成直角【典例分析】【应用1 “全等型”三垂直基本应用】【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．【解答】（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE．∴DE＝CE+CD＝AD+BE．（2）△ADC≌△CEB成立，DE＝AD+BE．不成立，此时应有DE＝AD﹣BE．证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD＝BE，AD＝CE．∴DE＝AD﹣BE．【变式1-1】如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【答案】B【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∵在Rt△ABC与Rt△CDE中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS），∴BC＝DE＝2cm，CD＝AB＝6cm，∴BD＝BC+CD＝2+6＝8cm，故选：B．【变式1-2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l 的垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE 的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵l∥BC，∴∠DAB＝∠ABC＝45°，∠CAE＝∠ACB＝45°，∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°，∴AD＝BD，AE＝CE，∵AB＝AC＝，∴AD＝BD＝AE＝CE＝1，∴DE＝2；（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．（3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△FBA，∴AB：FB＝BD：AB，∵CE＝3，DE＝1，∴AE＝BD＝4，∴AB＝5．∴BF＝．∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．【应用2 平面直角坐标系中构造“全等型”三垂直】【典例2】已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．（1）如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若OA＝2，OB＝4，求C点的坐标；（2）如图2，若点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，﹣m），点D的纵坐标为n，以B为顶点，BA为腰作等腰Rt△ABD．当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式4m+4n﹣9的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图3，若OA＝OB，OF⊥AB于点F，以OB为边作等边△OBM，连接AM交OF 于点N，若AN＝m，ON＝n，请直接写出线段AM的长．【解答】解：（1）如图1，过点C作CQ⊥OA于点Q，∴∠AQC＝90°∵△ABC等腰直角三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝90°，∴∠ACQ＝∠BAO．∴△AQC≌△BOA（AAS），∴CQ＝AO，AQ＝BO．∵OA＝2，OB＝4，∴CQ＝2，AQ＝4，∴OQ＝6，∴C（﹣6，﹣2）．（2）整式4m+4n﹣9的值不会变化．理由如下：如图2，过点D作DP⊥OB于点P，∴∠BPD＝90°，∵△ABD等腰Rt△，∴AB＝BD，∠ABD＝∠ABO+∠OBD＝90°，∴∠ABO＝∠BDP，∴△AOB≌△BPD（AAS），∴AO＝BP，∵BP＝OB﹣PO＝m﹣（﹣n）＝m+n，∴A（﹣2，0），∴OA＝2，∴m+n＝2，∴当B点沿y轴负半轴向下运动时AO＝BP＝m+n＝2，∴4m+4n﹣9＝4×﹣9＝﹣，∴整式4m+4n﹣9的值不变，为﹣．（3）AM＝2m+n．证明：如图3，在MA上截取MG＝ON，连接BG，∵△OBM是等边三角形，∴BO＝BM＝MO，∠OBM＝∠OMB＝∠BOM＝60°，∴AO＝MO，∠ABM＝105°，∠HOM＝30°，∵OA＝OB，∴OA＝OM＝BM．∴∠OAN＝∠AMO＝15°，∴∠BAM＝30°，∠BMA＝45°，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝45°，∴∠AOF＝∠BMA．∴△ANO≌△BGM（AAS），∴BG＝AN．∵ON＝MG，∴∠GBM＝∠OAN，∴∠GBM＝15°，∴∠ABG＝90°∴2BG＝AG，∴2AN＝AG，∵AG＝AM﹣GM，∴2AN+ON＝AM，即AM＝2m+n．【变式2-1】如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A 在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为（）A．（4，0）B．（5，0）C．（0，4）D．（0，5）【答案】D【解答】解：作BD⊥x轴于D，∵B（6，1），∴BD＝1，OD＝6，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCD＝90°，∵∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠BCD＝∠OAC，∵∠AOC＝∠BDO，∴△ACO≌△CBD（AAS），∴OC＝BD＝1，CD＝OA＝5，∴A（0，5），故选：D．【变式2-2】如图，在△PMN中，PM＝PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，﹣2），则M的坐标是（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，0）C．（﹣2，0）D．（﹣4，0）【答案】D【解答】解：过点N作ND⊥y轴于点D，∵P（0，2），N（2，﹣2），∴OP＝2，OD＝2，DN＝2，∴PD＝4，∵PM⊥PN，∴∠MPN＝90°，∴∠MPO+∠DPN＝90°，又∵∠DPN+∠PND＝90°，∴∠MPO＝∠PND，又∵∠MOP＝∠PDN＝90°，∴△MOP≌△PDN（AAS），∴OM＝PD＝4，∴M（﹣4，0），故选：D．【应用3 “相似型”三垂直基本应用】【典例3】已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．（1）求证：＝；（2）若OP与P A的比为1：2，求边AB的长．【解答】（1）证明：由折叠的性质可知，∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD+∠OPC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠POC+∠OPC＝90°，∴∠APD＝∠POC，∴△OCP∽△PDA，∴＝；（2）解：∵△OCP∽△PDA，∴，∵OP与P A的比为1：2，AD＝8，∴，∴PC＝4，设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，∴x2＝82+（x﹣4）2，解得：x＝10，∴AB＝10．【变式3】如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（）A．4B．C．D．5【解答】解：∵EF⊥FG，∴∠EFB+∠GFC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∴∠GFC+∠FGC＝90°，∴∠EFB＝∠FGC，∴△EFB∽△FGC，∴，∵BE＝3，BF＝2，FC＝6，∴，∴CG＝4，同理可得△DAE∽△EBF，∴，∴，∴AE＝，∴BA＝AE+BE＝+3＝，∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．故选：B．【应用4 平面直角坐标系中构造“相似型”三垂直】【典例4】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，且OB＝2OA．（1）如图1，求直线的解析式；（2）如图2，点P在第三象限的直线AB上，点C在点A上方的y轴上，连接PC、BC，PC交x轴于点N，且tan∠APC＝，设点P的横坐标为t，△ABC的面积为S，求S与t的函数关系；（3）如图3，在（2）的条件下，点D在y轴的负半轴上，点E为AB的中点，连接DE、PD，AD＝ON，当∠PDE＝∠PCD时，求点D的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，令x＝0，则y＝2，∴点A的坐标为（0，2），∴OA＝2，∵OB＝2OA，∴OB＝4，∴B（﹣4，0），将（﹣4，0）代入y＝kx+2得：0＝﹣4k+2，解得：k＝，∴直线的解析式为：y＝；（2）过点A作EA⊥AB交PC于点E，过E点作EG⊥y轴，垂足为G，过点P作PF⊥y 轴，垂足为F，∵∠P AE＝90°，∴∠P AF+∠EAG＝90°，∵∠P AF+∠APF＝90°，∴∠APF＝∠EAG，∵∠EGA＝∠AFP＝90°，∴△AEG∽△P AF，∵tan∠APC＝，∴＝＝，设P（t，），则PF＝﹣t，AF＝﹣，∴AG＝＝﹣，EG＝＝﹣，∵点A的坐标为：（0，2），设PE的解析式为：y＝ax+b，由P（t，），E（）可得：，解得：，∴C（0，2﹣），∴AC＝2﹣﹣2＝﹣，∵BO＝4，∴S＝＝﹣t，（3）作EF⊥DE交PD于F，过点E作EG⊥y轴于点G，作FH⊥EG于H，由（2）得直线PC的解析式：y＝x+（2﹣），∴∠PCO＝45°，∴ON＝OC＝2﹣，∴AD＝ON＝2﹣，∴D（0，），∵∠PDE＝∠PCD＝45°，∴△DEG≌△EFH（AAS）．∴EG＝FH＝2，DG＝EH＝1﹣，设PD的解析式为：y＝mx+n，由P（t，）、D（0，）可得：，解得：，∴PD的解析式为：y＝，把点F（﹣3+）代入y＝得：t1＝﹣6，t2＝2（舍去），∴D（0，﹣3）．【变式4】（2022•禅城区二模）如图，抛物线经过原点O，对称轴为直线x＝2且与x轴交于点D，直线l：y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与抛物线有且只有一个公共点B，并且点B在第四象限，直线l与直线x＝2交于点C．（1）连接AD，求证：AD⊥AC．（2）求抛物线的函数关系式．（3）在直线l上有一点动点P，抛物线上有一动点Q，当△PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，直接写出此时点P的坐标．【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，则∠AEC＝∠DOA＝90°，∵直线y＝﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线x＝2交于点C，∴A（0，﹣1），C（2，﹣5），∴E（0，﹣5），∴OA＝1，OD＝2，CE＝2，AE＝4，∴＝，＝＝，∴＝，∵∠AEC＝∠DOA，∴△AEC∽△DOA，∴∠CAE＝∠ADO，∵∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠CAE+∠DAO＝90°，∴∠DAC＝180°﹣（∠CAE+∠DAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AD⊥AC．（2）设抛物线的函数关系式为y＝ax2+bx，∵对称轴为直线x＝2，∴＝2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax，由ax2﹣4ax＝﹣2x﹣1，整理得ax2+（2﹣4a）x+1＝0，∵直线y＝﹣2x﹣1与抛物线有且只有一个公共点B，∴Δ＝（2﹣4a）2﹣4a＝0，解得：a1＝，a2＝1，当a＝时，抛物线解析式为y＝x2﹣x，联立得x2﹣x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝﹣2，∴B（﹣2，3）与点B在第四象限矛盾，故a＝不符合题意，舍去，当a＝1时，y＝x2﹣4x，联立得x2﹣4x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝1，∴B（1，﹣3），点B在第四象限符合题意，∴a＝1，∴该抛物线的函数关系式为y＝x2﹣4x．（3）如图2，过点B作BQ⊥AB交抛物线于点Q，作GH∥x轴交y轴于点G，过点Q 作QH⊥GH，则∠AGB＝∠BHQ＝∠ABQ＝90°，∴∠ABG+∠QBH＝∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠QBH＝∠BAG，∴△ABG∽△BQH，∴＝，设Q（t，t2﹣4t），∵A（0，﹣1），B（1，﹣3），∴AG＝2，BG＝1，BH＝t﹣1，QH＝t2﹣4t+3，∴＝，解得：t＝1（舍去）或t＝，∴BH＝﹣1＝，QH＝（）2﹣4×+3＝，过点B作EF∥y轴，过点P1作P1E⊥EF，过点P2作P2F⊥EF，∵△PBQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形，∴P1B＝BQ＝P2B，∵∠P1BE+∠EBQ＝∠EBQ+∠QBH＝90°，∴∠P1BE＝∠QBH，∵∠BEP1＝∠BHQ＝90°，∴△BEP1≌△BHQ（AAS），∴EP1＝QH＝，BE＝BH＝，∴P1（﹣，﹣），同理可得：P2（，﹣），综上，点P的坐标为P1（﹣，﹣），P2（，﹣）．【应用5平面直角坐标系中运动成直角】【典例5】如图，已知抛物线y＝﹣x2+与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．（1）则点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）（其中x1＞x2）都在抛物线上，若x1+x2＝1，请证明：y1＞y2；（3）已知点M是线段BC上的动点，点N是线段BC上方抛物线上的动点，若∠CNM ＝90°，且△CMN与△OBC相似，试求此时点N的坐标．【解答】（1）证明：当x＝0时，y＝2，∴点C（0，2），当y＝0时，﹣x2+＝0，解得：x＝﹣1或x＝4，∴点A（﹣1，0），B（4，0）．（2）证明：由题意得：y1﹣y2＝﹣x12+x1+2﹣（﹣x22+x2+2）＝x22﹣x12+x1﹣x2＝（x2+x1）（x2﹣x1）+（x1﹣x2），∵x1+x2＝1，∴y1﹣y2＝x1﹣x2，又∵x1＞x2，∴y1＞y2．（3）解：设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，如图，过点N作NG⊥y轴于点G，过点M作MH⊥GN于点H，则∠CGN＝∠H＝90°，∴∠GNC+∠GCN＝90°，∵∠CNM＝90°，∴∠GNC+∠HNM＝90°，∴∠GCN＝∠HNM，∴△CNG∽△NMH，∴，设点N的坐标为（n，），则GN＝n，GC＝，①当△NCM∽△OCB时，，∵OB＝4，OC＝2，∴CN：MN＝OC：OB＝1：2，∴NH＝2CG＝2（）＝﹣n2+3n，HM＝2NG＝2n，∴GH＝GN+NH＝n+（﹣n2+3n）＝﹣n2+4n，y M＝GC+CO﹣MH＝+2﹣2n＝﹣n2﹣n+2，∴点M的坐标为（﹣n2+4n，﹣n2﹣n+2），∵点M在直线BC上，∴﹣（﹣n2+4n）+2＝﹣n2﹣n+2，解得：n＝0（舍去）或，∴点N坐标为（，）；②当△NCM∽△OBC时，，∵OB＝4，OC＝2，∴CN：MN＝OB：OC＝2：1，∴NH＝CG＝（）＝﹣n2+n，HM＝GN＝n，∴GH＝GN+NH＝n+（﹣n2+n）＝﹣n2+n，y M＝GC+CO﹣MH＝+2﹣n＝﹣n2+n+2，∴点M的坐标为（﹣n2+n，﹣n2+n+2），∴﹣（﹣n2+n）+2＝﹣n2+n+2，解得：n＝0（舍去）或n＝3，∴点N坐标为（3，2），综上所述，点N的坐标为（，）或（3，2）．【变式5】（2022•碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c 交x轴于点A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y轴于点C（0，5）．（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标．（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若△DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+6x+5，∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，∴顶点D（﹣3，﹣4）；（2）设抛物线C2上任意一点（x，y），则（x，y）关于y轴对称的点为（﹣x，y），∵点（﹣x，y）在抛物线C1上，∴抛物线记作C2的解析式为y＝x2﹣6x+5，设E（t，t2﹣6t+5），过点D作DG⊥x轴交于点G，过点E作EH⊥x轴交于点H，∵∠DOE＝90°，∴∠GOD+∠HOE＝90°，∵∠GOD+∠GDO＝90°，∴∠HOE＝∠GDO，∴△GDO∽△HOE，∴＝，∵DG＝4，GO＝3，HE＝﹣t2+6t﹣5，OH＝t，∴＝，∴t＝4或t＝，∴E（4，﹣3）或E（，﹣）．。

2021年中考数学总复习一线三垂直模型1. (1)问题发现如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，点D 为BC 的中点，过点D 作射线DE ⊥DF ，分别交AB ，AC 于点E ，F ，当DE ⊥AB ，DF ⊥AC 时，DEDF＝ ； (2)类比探究若∠EDF 绕着点D 旋转到图②的位置，(1)中其他条件不变，DE DF ＝ ；若改变点D 的位置，当CD BD ＝a b 时，求DEDF的值，请就图③的情形写出解答过程； (3)问题解决如图③，AB ＝2，AC ＝4，连接EF ，当CD ＝ 时，△DEF 为等腰直角三角形；当CD ＝ 时，△DEF 与△ABC 相似.第1题图参考答案1. 解：(1)2；【解法提示】∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∠BAC ＝90°，∴DF ∥AE ，DE ∥AC ，∴△BED ∽△BAC ，△CDF ∽△CBA ，∴DE CA ＝BD BC ，DF BA ＝CD BC ，∵点D 为BC 的中点，AB ＝2，AC ＝4，∴DE 4＝12，DF 2＝12，∴DE ＝2，DF ＝1，∴DEDF＝2.(2)2；【解法提示】如解图①，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，∵∠A ＝∠DMA ＝∠DNA ＝90°，∴∠MDN ＝90°，∵∠MDE ＋∠EDN ＝∠EDN ＋∠NDF ，∴∠MDE ＝∠NDF ，又∵∠DME ＝∠DNF ，∴△ DEM ∽△DFN ，∴DE DF ＝DM DN ，由(1)可得DM DN ＝2，∴DE DF＝2.第1题解图①如解图②，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，DH ⊥AC 于点H ，第1题解图②∴∠GDH ＝90°，∴∠EDG ＋∠GDF ＝∠FDH ＋∠GDF ＝90°， ∴∠EDG ＝∠FDH ， 又∵∠DGE ＝∠DHF ＝90°， ∴△DGE ∽△DHF ， ∴DE DF ＝DGDH， ∵∠BAC ＝90°， ∴DG ∥AC ，DH ∥AB ，∴△BDG ∽△BCA ，△CDH ∽△CBA ， ∴DG CA ＝BD BC ，CD CB ＝DH BA ， ∵CD BD ＝a b， ∴BD BC ＝BD BD ＋CD ＝b a ＋b ，CD BC ＝CD BD ＋CD ＝a a ＋b，∴DG 4＝b a ＋b ，DH 2＝a a ＋b， ∴DG ＝4b a ＋b ，DH ＝2aa ＋b ，∴DE DF ＝DG DH ＝2b a； (3)453；855或 5.【解法提示】∵∠EDF ＝90°，∴当△EDF 为等腰直角三角形时，DE ＝DF ，由(2)中的结论可知，DE DF ＝2ba＝1，∴a ＝2b ，BC ＝3b ，在Rt △ABC 中，∵AB ＝2，AC ＝4，由勾股定理得BC ＝22＋42＝25，∴CD ＝23BC ＝453. ∵∠EDF ＝∠A ＝90°，∴△DEF 与△ABC 相似有两种情况：①当△DEF ∽△ABC 时，DE AB ＝DF AC ，即DE DF ＝AB AC ＝12，∴2b a ＝12，∴a ＝4b ，∴CD ＝45BC ＝855；②当△DEF ∽△ACB 时，DE AC ＝DF AB ，即DE DF ＝AC AB ＝2，∴2ba ＝2，∴a ＝b ，CD ＝12BC ＝ 5.综上所述，当CD ＝855或5时，△DEF 与△ABC 相似．。

《一线三等角模型》一、教材分析“一线三等角”是指三个相等角的顶点在同一直线上，其中两个角的一边与该直线重合，第三个角的两边均不与直线重合，这样会形成一组全等或相似三角形.根据等角的度数，此模型可分为锐角一线三等角、直角一线三等角和钝角一线三等角.“一线三等角”模型本质上是一个重要的基本几何模型，数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的表现形式，初中阶段的“一线三等角”模型是利用方程或函数等来表示数量之间的关系或变化规律.它一般不单独出现，通常与其他特殊图形结合，如等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形，以及与翻折、坐标系结合等，从而考查这些图形的性质.因此“一线三等角”模型可以出现在选择题、填空题的最后一题，也可以出现在解答题的几何证明、综合题中，是一个使用频率高、综合性较强的模型.平时的训练中，需要提升自己的模型思想，提炼问题的基本图形，利用基本图形的性质特点来突破考题，在具体分析过程中，也要结合数形结合思想，如根据题干信息提炼图形的结构特点，然后结合图形，采用代数运算的方式探求深层信息，促进信息的融合、转化.二、核心素养分析2022年版义务教育数学课程标准希望学生在初中阶段形成模型观念、数据观念；数学学科核心素养也提到数学抽象和直观想象，逻辑推理和运算能力，数学模型和数据分析.因此在数学学习中，我们有必要及时归纳一些数学模型.“一线三等角”问题的核心思想就是模型思想，关键的解题途径是能从复杂图形中分离出此模型，把握基本图形并建立方程或函数，帮助我们塑造模型观念，增强数学能力，提高解题技巧，提升数学核心素养.三、学情分析本次教学设计的授课对象为九年级学生，学生已有与本课时内容相关的知识基础如下：①全等三角形的性质与判定；②相似三角形的性质与相似；③三角函数；④二元一次方程（组）.本课程适用于对中考几何题有一定解决能力并有待提升综合能力的学生，弥补和改善学生漏听或未听懂这部分知识的不足，旨在促进学生深入理解方法和思想，从复杂图形中分离出基本数学模型，对解决问题有化繁为简的效果.四、教学任务分析1.课堂教学目标（1）知识与技能：探索“一线三等角”的基本特征，并且能够在不同背景中认识和把握基本图形，能利用“一线三等角”模型解决相关计算和证明问题；能够构造“一线三等角”模型，解决较为复杂的几何问题.（2）过程与方法：通过观察分析，大胆猜想，探索“一线三等角”基本图形，培养学生合作交流、逻辑推理的能力；让学生在解决相关问题时感受几何基本模型对几何学习的重要性.（3）情感态度与价值观：在学习活动中积累对数学的兴趣，培养与同学的交往、合作意识，在动手动脑的过程中发展想象力，体会模型思想、转化思想、分类讨论思想和数形结合思想；提高解题技巧，提升数学核心素养.2.教学重点和难点（1）教学重点①识别“一线三等角”模型的基本特征，并应用“一线三等角”模型解决相关问题；②构造“一线三等角”模型，解决复杂的几何问题.（2）教学难点构造“一线三等角”模型，并解决较为复杂的几何问题.五、具体教学过程设计1、概述：引导学生回顾一线三等角模型的基本分类：1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD 1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD同侧锐角直角钝角异侧2）相似篇：条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP∽△BPD同侧锐角直角钝角222111122222211111异侧3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时.结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.2、模块一三角齐见，模型自现——图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题.（一）典例精讲例1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG＝6，则BE的长为________．222111例1图例2图2.如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，连结PQ．（1）如图1，当点Q 在线段CA 上时，①求证：△BPE ∽△CEQ ；②线段BE ，BP ，CQ 之间存在怎样的数量关系？请说明理由；（2）当△APQ 为等腰三角形时，求BPCQ的值．3、模块二模型隐藏，及时添补——模型隐藏，及时添补，图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.（一）知识铺垫找角、定线、构相似如果直线上只有1个角，该角通常是特殊角（30°、45°、60°），就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D 两点作直线l 的垂线是必不可少的.两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。

K 型（一线三垂直）模型讲解【结论】如图所示，AB ⊥BC ，AB=BC ，AD ⊥DE ，CE ⊥DE ，则△ABD ≌△BCE ，DE=AD+CE.【证明】∵AB ⊥BC ， ∴∠ABC=90°，∴∠ABD+∠EBC=90°. ∵AD ⊥DE ，CE ⊥DE ，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°,∴∠ABD+∠DAB = 90°，∠DAB=∠EBC.在△ABD 和△BCE 中，{∠ADB =∠BEC∠DAB =∠EBCAB =BC∴△ABD ≌△BCE(AAS)，∴AD=BE ，DB=CE ，∴DE=BE+DB=AD+CE.其他形状的K型（一线三等角）模型【结论】如图所示，AB⊥BC，AB=BC，AD⊥DE，CE⊥DE，则△ABD ≌△BCE，DE = AD - CE.典型例题典例1如图所示，AC=CE，∠ACE=90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB=5cm，DE=3cm，则BD=( ).A.6 cmB.8 cmC.10 cmD.4 cm典例2如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE 于点D. 若DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是( ).A.6 cmB.1.5 cmC.3 cmD.4.5 cm初露锋芒1. 如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E. 若CE=5，AD=3，则DE的长是________.2.如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，A(0，3)，C(1，0)，则点B 的坐标为________.感受中考1.(2018山东临沂中考真题)如图，△ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE ⊥CE，垂足分别是点D，E，AD=3，BE=1，则DE的长是( ).A.32B. 2C. 2√2D. √102. (2020四川南充中考真题)如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE.求证：AB=CD.参考答案典型例题典例1【答案】B【解析】易知本题为K型(一线三垂直)模型.根据K型(一线三垂直)模型的结论，可知两条手臂之间的距离＝长手＋短手，即BD=AB+DE，∴BD=5+3=8(cm).故选B.典例2【答案】C【解析】易知本题为K型(一线三垂直)模型根据K型(一线三垂直)模型的结论，可知两条手臂之间的距离=长手-短手即DE = AD - BE，∴BE=AD - DE= 9 - 6 = 3(cm).故选C.初露锋芒1.【答案】2【解析】由题图易知为K型(一线三垂直)模型，根据K型(一线三垂直)模型的结论，可知两条手臂之间的距离= 长手-短手，即DE = CE - AD = 5 - 3 = 2.2.【答案】(4，1)【解析】如图，作BD⊥x轴于点D.∵BD⊥x轴于点D，由K型(一线三垂直)模型容易得△AOC≌△CDB，∴CD=AO，OC=BD.∵点C(1，0)，A(0，3)，∴OC=1，BD=1，CD=3.∴OD=4，∴点B的坐标为(4，1).感受中考1.【答案】B【解析】由题图易知为K型(一线三垂直）模型，根据K型(一线三垂直)模型的结论，可知：两条手臂之间的距离=长手-短手，即DE = AD - BE = 3 - 1=2 .故选B.2.【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠ACE=∠ABC=∠CDE=90°,∴∠ACB+∠ECD=90°,∠ECD+∠CED=90°,∴∠ACB=∠CED.在△ABC和△CDE中，{∠ACB=∠CED BC=DE∠ABC=∠CDE∴△ABC≌△CDE(ASA),∴AB=CD.【小结】1. 遇到K型(一线三垂直)模型问题时，注意找“长手”“短手”.2. 在选择题或填空题中，运用模型结论可以快速解题，而在大题中，需要先找到全等三角形，根据全等三角形对应边相等来解题.。

模型研究初中几何模型之三垂直模型一、三垂直模型的概念我们在学习勾股定理的时候，学习了多种证明方法，其中有一种方法叫做总统证法，是1875年美国总统加菲尔德证明的，他将两个全等的三角形△ABC≌△CDE，拼成如图形状，使得B、C、D三点共线，易得△ACE为等腰直角三角形，四边形ABDE为直角梯形，假设三角形三边长分别为a，b，c，则四边形ABDE的面积可用两种方法表示：S=1/2ab+1/2ab+c²=1/2(a+b)(a+b)整理可得a²+b²=c²这就是勾股定理的总统证法。

上面这个图形。

我们把它称为三垂直模型，这个模型有以下几个结论：1、△ABC≌△CDE2、△ACE是等腰直角三角形3、BD=AB+DE其实，三垂直模型可以看做是由弦图模型得来的，如下图，弦图模型分为内弦图和外弦图，是由四个全等的直角三角形拼接而成的，将外弦图的两个三角形拿掉，就得到了三垂直模型。

当然从内弦图中还可以得到三垂直模型的变形：以上所述三垂直是由两个全等的直角三角形拼成的，这样的三垂直我们把它叫做全等型三垂直，那么如果是两个相似的直角三角形拼成如图形状，就变成了相似型三垂直，相似型三垂直有如下结论：1、△ABC∽△CDE2、AB:CD=BC:DE=AC:CE三垂直的应用非常广泛，在三角形、四边形、平面直角坐标系、网格、一次函数、反比例函数、二次函数、三角函数、圆中都会出现，在中考等大型考试中也是常考内容，所以大家一定要熟练掌握。

二、三垂直模型的构造方法：一般情况下，碰到斜着放置的等腰直角三角形，要想到在直角顶点所在的直线上构造全等型三垂直，若碰到的是一般的直角三角形，则在直角顶点所在的直线上构造相似型三垂直。

在下列各图中构造出三垂直模型：1、△OCD为等腰直角三角形2、四边形OABC为正方形3、△OAB为直角三角形三、三垂直在不同领域的应用1、在三角形中例1：如图，直线l过等腰直角三角形ABC顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则AB的长是 .例2：如图，在△ABC中，∠C=90°,D、E分别为BC、AC上一点，BD=AC，DC=AE，BE与AD交于点P，则∠ADC+∠BEC= .2、在矩形中如图,点是矩形ABCD的边CD上一点,把△ADE沿AE对折,使点D 恰好落在BC边上的F点处。

一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题一线三等角概念1“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

“一线三等角”的两种基本类型1.三等角都在直线的同侧2.三等角分居直线的两侧3.在初三各学校的考试和中考试题中，一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一，本专题从中考试题和初三各名校的试题中，精选一线三等角相似模型的经典好体，并根据角度区别把一线三等角模型细分为三类题型：三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角，适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。

类型一：三垂直模型1(雅礼)如图，点A是双曲线y=8xx<0上一动点，连接OA，作OB⊥OA，使OA=2OB，当点A 在双曲线y=8xx<0上运动时，点B在双曲线y=kx上移动，则k的值为.【解答】解：过A作AC⊥y轴于点C，过B作BD⊥y轴于点D，∵点A是反比例函数y=8x(x<0)上的一个动点，点B在双曲线y=kx上移动，∴S△AOC=12×|-8|=4，S△BOD=12|k|，∵OB⊥OA，∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BOD=∠OAC，且∠BDO=∠ACO，∴△AOC∽△OBD，∵OA=2OB，∴S△BODS △AOC=(OBOA)2=14，∴12|k|4=14，∴|k|=2．∴k<0，∴k=-2，故答案为：-2．2(青竹湖)如图，∠AOB=90°，反比例函数y=−4xx<0的图象过点A−1,a，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象过点B，且AB⎳x轴，过点B作MN⎳OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y=kx于另一点，则ΔOBC的面积为.【解答】解：∵反比例函数y=−4xx<0的图象过点A(-1，a)，∴a=-4-1=4，∴A(-1，4)，过A作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，∴AE=4，OE=1，∵AB∥x轴，∴BF=4，∵∠AOB=90°，∴∠EAO+∠AOE=∠AOE+∠BOF=90°，∴∠EAO=∠BOF，∴△AEO∽△OFB，∴AEOF=OEBF，∴OF=16，∴B(16，4)，∴k=16×4=64，∵直线OA过A(-1，4)，∴直线AO的解析式为y=-4x，∵MN∥OA，∴设直线MN的解析式为y=-4x+b，∴4=-4×16+b，∴b=68，∴直线MN的解析式为y=-4x+68，∵直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，∴M(17，0)，N(0，68)，解y=-4x+68y=64x得，x=1y=64或x=16y=4，∴C(1，64)，∴△OBC的面积=S△OMN-S△OCN-S△OBM=12×17×68-12×17×4-12×68×1=510，故答案为510．3(广益)如图，点A ，B 在反比例函数y =kx(k >0)的图象上，点A 的横坐标为2，点B 的纵坐标为1，OA ⊥AB ，则k 的值为．【解答】解：过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点B 作BN ⊥AM 于N ，∵∠OAB =90°，∴∠OAM +∠BAN =90°，∵∠AOM +∠OAM =90°，∴∠BAN =∠AOM ，∴△AOM ∽△BAN ，∴AM BN =OMAN，∵点A ，B 在反比例函数y =k x (k >0)的图象上，点A 的横坐标为2，点B 的纵坐标为1，∴A (2，k2)，B (k ，1)，∴OM =2，AM =k 2，AN =k 2-1，BN =k -2，∴k2k -2=2k 2-1，解得k 1=2(舍去)，k 2=8，∴k 的值为8，故答案为：8．4(长沙中考2020)在矩形ABCD 中，E 为DC 上的一点，把ΔADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．(1)求证：ΔABF ∼ΔFCE(2)若AB =23,AD =4，求EC 的长；(3)若AE -DE =2EC ，记∠BAF =α,∠FAE =β，求tan α+tan β的值．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠C =∠D =90°，∴∠AFB +∠BAF =90°，∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴∠AFE =∠D =90°，∴∠AFB +∠CFE =90°，∴∠BAF =∠CFE ，∴△ABF ∽△FCE ．(2)解：∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴AF =AD =4，∴BF =AF 2-AB 2=42-23 2=2，∴CF =BC -BF =AD -BF =2，由(1)得△ABF ∽△FCE ，∴CE BF =CF AB ，∴CE 2=223，∴EC =23 3．(3)解：由(1)得△ABF∽△FCE，∴∠CEF=∠BAF=α，∴tanα+tanβ=BFAB +EFAF=CECF+EFAF，设CE=1，DE=x，∵AE-DE=2EC，∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD= AE2-DE2=4x+4∵△ABF∽△FCE，∴ABAF =CFEF，∴x+14x+4=x2-1x，∴x+122x+1=x+1∙x-1x，∴12=x+1x，∴x=2x-1，∴x2-4x+4=0，解得x=2，∴CE=1，CF=x2-1=3，EF=x=2，AF=AD=AE2-DE2=4x+4=23，∴tanα+tanβ=CECF +EFAF=13+223=233．5(广益)矩形ABCD中，AB=8，AD=12，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．(1)如图1，若点P恰好在边BC上．①求证：△EBP∽△PCD；②求AE的长；(2)如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．图1图2【解答】解：(1)①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠BAD=90°，∴∠BPE+∠BEP=90°，由折叠知，∠DPE=∠BAD=90°，∴∠BPE+∠CPD=90°，∴∠BEP=∠CPD，∵∠B=∠C=90°，∴△EBP∽△PCD；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，CD=AB=8，BC=AD=12，由折叠知，PE=AE，DP= AD=12，在Rt△DPC中，CP=DP2-CD2=45，∴BP=BC-CP=12-45，在Rt△PBE中，PE2 -BE2=BP2，∴AE2-(8-AE)2=(12-45)2，∴AE=18-65；(2)如图，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG=x，则BG=4-x，∵∠A=∠EPD=90°，∠EGP=∠DHP=90°，∴∠EPG+∠DPH=90°，∠DPH+∠PDH=90°，∴∠EPG=∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴EGPH =PGDH=EPPD=412=13，∴PH=3EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，PH2+DH2=PD2，∴(3x)2+(4+x)2=122，解得x=165(负值已经舍弃)，∴BG=4-165=45，在Rt△EGP中，GP=EP2-EG2=125，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴EG EB =GPBF，∴1654=125BF，∴BF=3．6(长郡)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，已知点Q 是射线OC 上一点，OQ =182，点P 是x 轴正半轴上一点，tan ∠POC =1，连接PQ ，⊙A 经过点O 且与QP 相切于点P ，与边OC 相交于另一点D ．(1)若圆心A 在x 轴上，求⊙A 的半径；(2)若圆心A 在x 轴的上方，且圆心A 到x 轴的距离为2，求⊙A 的半径；(3)在(2)的条件下，若OP <10，点M 是经过点O ，D ，P 的抛物线上的一个动点，点F 为x 轴上的一个动点，若满足tan ∠OFM =12的点M 共有4个，求点F 的横坐标的取值范围．【解答】解：(1)∵圆心A 在x 轴上，⊙A 经过点O 且与QP 相切于点P ，∴PQ ⊥x 轴，OP 为直径，∵tan ∠POC =1，OQ =182，∴PQ =OP ，∵在Rt △OPQ 中，OQ =PQ 2+OP 2=2OP =182．∴OP =18．∴⊙A 的半径为9；(2)如图所示，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点Q 作QB ⊥x 轴于B ，连接AP ，∵PQ 是⊙A 的切线，∴AP ⊥PQ ，则∠APQ =90°，∵AM ⊥x 轴，QB ⊥x 轴，∴∠AMP =∠PBC =90°，∴∠PAM =90°-∠APM =∠QPB ，∴△APM ∽△PBQ ，∴AM PB =MPBQ，∵tan ∠POC =1，QB =182，∴OB =QB =18，∵AM =2，设MP =MO =x ，∴PB =18-2x ，∴218-2x =x18，解得x =3或x =6，∴MO =3或MO =x ，∴A (3，2)或A (6，2)，∴AP =32+22=13或AP =32+62=210．∴半径为13或210．(3)∵OP<10，∴BO=3，P(6，0)，∴A(3，2)，∵tan∠POC=1，设D(a，a)，∵AD=13，∴(3-a)2+(2-a)2=13，解得：a=0或a=5，∴D(5，5)，设抛物线解析式为y=ax2+bx，将点P(6，0)，D(5，5)代入得，36a+6b=0 25a+5b=5，解得：a=-1b=6，∴y=-x2+6x，∵点F可能在点O的左边或点P的右边，tan∠OFM=12，则|K FM |=12，设直线MF：y=-12x+b或y=12x+b，联立y=-x2+6xy=-12x+b，y=-x2+6xy=12x+b，得x2-132x+b=0或x2-112x+b=0，当△1=b2-4ac=1694-4b=0或△2=b2-4ac=1214-4b=0，解得：b=16916或12116，∴直线MF：y=12x+16916或y=12x+12116，令y=0，解得：x=1698或x=-1218，∴6<x F<1698或-1218<x F<0．7(麓山国际)有一边是另一边的2倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．(1)已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为2，则该智慧三角形的面积为；(2)如图①，在△ABC中，∠C=105°，∠B=30°，求证：△ABC是智慧三角形；(3)如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A(3，0)，点B，C在函数y=kx上(x>0)的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为2．当△ABC是直角三角形时，求k的值．【解答】解：(1)如图1，设∠A=90°，AC≤AB，S△ABC=12 AC•AB，①若AC=2，i )AB =2AC =2，∴S =12×2×2=2，ii )BC =2AC =2，则AB =BC 2-AC 2=4-2=2，∴S =12×2×2=1，②若AB =2，i )AB =2AC ，即AC =AB 2=1，∴S =12×1×2=22，ii )BC =2AB =2，则AC =BC 2-AB 2=4-2=2∴S =12×2×2=1，③若BC =2，若AB =AC =BC 2=1，∴S =12×1×1=12，若AB =2AC ，AB =233，63，S =12×63×233=23，故答案为：2或1或22或12或23．(2)证明：如图2，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC =∠BDC =90°，在Rt △BCD 中，∠B =30°，∴BC =2CD ，∠BCD =90°-∠B =60°，∵∠ACB =105°，∴∠ACD =∠ACB -∠BCD =45°，∴Rt △ACD 中，AD =CD ，∴AC =AD 2+CD 2=2CD ，∴BC AC =2CD2CD=2，∴△ABC 是智慧三角形．(3)∵△ABC 是智慧三角形，BC 为智慧边，∠B 为智慧角，∴BC =2AB ，∵△ABC 是直角三角形，∴AB 不可能为斜边，即∠ACB ≠90°∴∠ABC =90°或∠BAC =90°①当∠ABC =90°时，过B 作BE ⊥x 轴于E ，过C 作CF ⊥EB 于F ，过C 作CG ⊥x 轴于G ，如图3，∴∠AEB =∠F =∠ABC =90°，∴∠BCF +∠CBF =∠ABE +∠CBF =90°，∴∠BCF =∠ABE ，∴△BCF ∽△ABE ，∴BF AE =CF BE =BCAB=2，设AE =a ，则BF =2AE =2a ，∵A (3，0)，∴OE =OA +AE =3+a ，∵B 的纵坐标为2，即BE =2，∴CF =2BE =2，CG =EF =BE +BF =2+2a ，B (3+a ，2)，∴OG =OE -GE =OE -CF =3+a -2=1+a ，∴C (1+a ，2+2a )，∵点B 、C 在在函数y =kx上(x >0)的图象上，∴2(3+a )=(1+a )(2+2a )=k解得：a 1=-2(舍去)，a 2=1，∴k =42，②当∠BAC =90°时，过C 作CM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴于N ，如图4，∴∠CMA =∠ANB =∠BAC =90°，∴∠MCA +∠MAC =∠MAC +∠NAB =90°，∴∠MCA =∠NAB ，∴△MCA ∽△NAB ，∵BC =2AB ，∴2AB 2=BC 2=AB 2+AC 2，∴AC=AB，∴△MCA≌△NAB(AAS)，∴AM=BN=2，∴OM=OA-AM=3-2，设CM=AN=b，则ON=OA+AN=3+b，∴C(3-2，b)，B(3+b，2)，∵点B、C在在函数y=kx上(x>0)的图象上，∴(3-2)b=2(3+b)=k解得：b=92+12，∴k=18+152，综上所述，k的值为42或18+152。

初中8大几何模型——一线三等角模型、三垂直模型
初中8大几何模型——一线三等角模型、三垂直模型，九年级同学必须掌握的几何技巧，中考满分秘籍精选内容！
目录
“一线三等角”,一条直线上有三个相等的角，一般就会存在相似三角形，当对应边也相等时，就会有全等三角形，即：“一线三等角，全等相似两边找”。

学会用“一线三等角”基本模型，解决全等三角形、相似三角形中的相关问题。

难点在于“一线三等角”基本模型的提炼、构造和运用。

三垂直模型的构造方法:
一般情况下，碰到斜着放置的直角，要想到在直角顶点所在的直线上构造三垂直模型，可能是全等型，也可能是相似型。

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⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯一线三等角模型一 .一线三等角观点“一线三等角” 是一个常有的相像模型，指的是有三个等角的极点在同一条直线上组成的相像图形，这个角能够是直角，也能够是锐角或钝角。

不一样地域对此有不一样的称号，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二 .一线三等角的分类全等篇CD CA P BA P锐角直角D DA AB PBC C相像篇CDCA PB A P锐角直角DDDDCBA PB 同侧钝角DAPP BC异侧D DCBA PB 同侧钝角DAPB AB C CABPCP异侧三、“一线三等角”的性质1.一般状况下，如图 3-1 ，由∠ 1=∠ 2=∠ 3，易得△ AEC∽△ BDE.2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等. 如图 3-1 ，若 CE=ED，则△ AEC≌△ BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2 ，当∠ 1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△ BDE∽△ CFD∽△ DFE.4. “中点型一线三等角“的变式(认识)如图 3-3 ，当∠ 1=∠2 且BOC 90 1BAC 时，点O是△ABC的心里.能够考虑构2造“一线三等角”.如图 3- 4“中点型一线三等角”往常与三角形的心里或旁心有关，BOC 90 1BAC 这是心里的性质，反之未必是心里.在图 3-42BE 与 CF，交于点 P ，则点 D 是△ PEF 的旁心 . （右图）中，假如延伸5.“一线三等角”的各样变式（图 3-5 ，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5其实这个第 4 图，延伸 DC 反而好理解 . 相当于双侧型的，不延伸理解，认为是一种新式的，同侧穿越型？不论怎么变，都是由三等角确立相像三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种状况 .a.图形中已经存在“一线三等角”，直策应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”结构模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”结构模型解题.领会：感觉最后一种状况出现比许多，特别是压轴题中，常常会有一个特别角或指导该角的三角函数值时，我常常结构“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，结构一线三等角是基本手段，特别是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也能够是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上结构一线三等角解决问题更是重要的手段 .3.结构一线三等角的步骤：找角、定线、构相像坐标系中，要讲究“线”的特别性如图 3-6 ，线上有一特别角，就考虑结构同侧型一线三等角自然只加这两条线往常是不够的，为了利用这个特别角导线段的关系，过 C 、D两点作直线 l 的垂线是必不行少的。

第十章.相似形模型（四十二）——一线三等角模型一线三等角：三个相等的角的顶点在一条直线上【结论1】如图，∠A＝∠DBE＝∠C，则①△ADB∽△CBE；②AD×EC（竖着的）=AB×BC（躺着的）【结论2】如图，∠A＝∠DBE＝∠C，B点是AC的中点，则①△ABD∽△BED∽△CEB；②AD×EC（竖着的）=AB×BC（躺着的）③DB、EB平分∠ADE和∠DEC模型图解常见图形：典例1 ☆☆☆☆☆如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点 D在 BC 上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则 CF的长为（）.A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°,∠ADE=60°,∴满足一线三等角模型，由模型结论得△ABD∽△DCF，∴AB:BD=CD:CF,即 9∶3=（9-3）∶ CF，∴CF＝2.故选 B.典例2 ☆☆☆☆☆如图，在正方形 ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点.若 AG=2，BF＝3，∠GEF=90°，则 AE的长为（）.A.2B.5C.√5D.√6【答案】D【解析】∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠A＝∠B＝90°,又∠GEF=90°，∴满足一线三等角模型，由模型结论得△AGE∽△BEF，∴AG∶BE＝AE∶BF，∵E为 AB 的中点，∴AE=BE. ∵AG=2,BF=3, ∴BE=AE=√6.故选 D.典例3 ☆☆☆☆☆如图，已知在梯形 ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且 AD=5，AB＝DC＝2，P为AD上的一点，∠BPC＝∠A，求 AP的长.【解析】∵在梯形 ABCD中，AB=DC=2，∴∠A＝∠D.又∠BPC＝∠A，∠A＋∠ABP＋∠APB＝180°，∠APB＋∠BPC＋∠CPD＝180°,∴∠ABP＝∠CPD,∴△ABP∽△DPC. ∴AP∶DP＝AP∶CD，设 AP＝x，则DP＝5-x2 5−x ＝x2,解得 x=1或 4, ∴AP=1 或4.一线三等角模型应用的四种情况：1.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；2.图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”，利用模型解题；3.图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”，利用模型解题；4.图形中只有４５º角，直角或直角三角形，可构造“一线三等（直）角”，利用模型解题。

一线三垂直与一线三等角一、基础知识回顾1) 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°2)1 平角= 180 度二、模型的概述：1) 一线三垂直模型[模型概述] 只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。

根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。

基础构造1构造2一线三垂直模型一：如图A B ⊥BC，AB = BC，CE ⊥DE，AD ⊥DE，则∆ABD ≌∆BCE，DE =AD +EC证明：∵CE ⊥DE，AD ⊥DE，AB ⊥BC∴∠CEB = ∠ADB = ∠ABC = 90°∴∠1 + ∠2 = 90°, ∠2 + ∠3 = 90°∴∠1 = ∠3∠1 = ∠3在∆ABD 和∆BCE 中，〈∠CEB = ∠ADB = 90°AB = BC∴∆ABD ≌∆BCE(AAS)∴AD = BE,EC = BD则DE = BE + BD = AD + EC一线三垂直模型二：如图A B ⊥BC，AB = BC，CE ⊥DE，AD ⊥DE，则∆ABD ≌∆BCE，DE =AD - EC证明：∵CE ⊥DE，AD ⊥DE，AB ⊥BC∴∠CEB = ∠ADB = ∠ABC = 90°∴∠A + ∠ABD = 90°, ∠ABD + ∠CBE = 90°∴∠A = ∠CBE∠A = ∠CBE在∆ABD 和∆BCE 中，〈∠CEB = ∠ADB = 90°AB = BC∴∆ABD ≌∆BCE(AAS)∴AD = BE,EC = BD则DE = BE - BD = AD - EC一线三垂直其它模型1) 图1，已知∠AOC = ∠ADB = ∠CED = 90°, AB = DC，得∆ADB ≌∆DEC2) 图2，延长DE 交AC 于点F，已知∠DBE = ∠ABC = ∠EFC = 90°, AC = DE，得∆ABC ≌∆DBE图1图22) 一线三等角模型[模型概述] 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。