中考数学提升讲义-共顶点旋转模型及其延伸

初三数学旋转综合提高【本讲主要内容】旋转综合提高包括图形经过旋转变换后图形的有关坐标、长度以及构成的图形等【知识掌握】【知识点精析】1. 在平面直角坐标系中，当某一图形绕某点经过旋转变换后，点的坐标发生什么变化。

2. 某一图形绕某点经过旋转变化后，构成什么图形。

3. 某一图形绕某点经过旋转变化后，有关长度、角度的计算。

【解题方法指导】例1. 已知：如图，在直角坐标系x0y中，Rt△AOB的位置如图所示，它顶点的坐标为A（－2，1），B（－2，0）。

当△AOB绕点O沿顺时针方向旋转90°后，到△A'OB'的位置。

求A'、B'两点的坐标。

分析：可由△AOB旋转到△A'OB'的位置，得出OA'＝OA，OB'＝OB，A'B'＝AB，求出A'，B'的坐标。

解：∵△A'OB'是由△AOB绕点O旋转90°得到的，∴△A'OB'≌△AOB∴OB'＝OB，A'B'＝AB∵图形旋转90°，∴OB'落在y轴正半轴上，A'B'∥x轴，A'点在第一象限，∴A'点坐标为（1，2），B'点坐标为（0，2）。

评析：注意旋转后图形所在的位置及长度，定出点的坐标。

例2. 已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC。

请回答下列问题：（1）当△ABC绕点C沿顺时针旋转90°后，得到的三角形与△ABC的位置关系是怎样的？（2）当图形绕点C继续沿顺时针旋转90°，得到的图形与△ABC的位置关系是怎样的？（3）当图形绕点C继续沿顺时针旋转90°，得到的图形与△ABC的位置关系是怎样的？分析：由于△ABC是等腰直角三角形，当它绕点C沿顺时针方向旋转90°后，可画出图形，然后再作判断；其余两问同样处理。

几何变换之旋转【中考剖析：】内容要求考点旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形; 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角．图形旋转后求角度、线段关系、长度、周长、面积【专题结构：】一、旋转有关概念1、旋转：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点'P，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．(如图)2、旋转问题应把握三元素：旋转中心、旋转角度和旋转方向．3、旋转的性质：旋转后的图形与原图形是全等的，对应的旋转角度相等．二、中心对称1、中心对称的有关概念：把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点(如图)三、共顶点旋转模型（证明基本思想SAS）P'Q'QPODCBAO共顶点等边三角形共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形四、旋转前后具有以下性质1、对应线段相等，对应角相等2、对应点位置的排列次序相同3、任意两条对应线段所在的直线夹角都等于旋转角【例题精讲：】 一、对旋转的初步认识【例1】正方形网格中，ABC ∆为格点三角形(顶点都是格点)，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到11AB C ∆．⑴在正方形网格中，作出11AB C ∆；(不要求写作法)⑵设网格小正方形的边长为1cm ，用阴影表示出旋转过程中线段BC 所扫过的图形，然后求出它的面积．(结果保留)【巩固】在下图的网格中按要求画出图象，并回答问题．π⑴先画出ABC ∆向下平移5格后的111A B C ∆，再画出ABC ∆以O 点为旋转中心，沿顺时针方向旋转90︒后的222A B C ∆；⑵在与同学交流时，你打算如何描述⑴中所画的222A B C ∆的位置？【例2】如图所示，ABC ∆是直角三角形，BC 是斜边，将ABP ∆绕点A 逆时针旋转后，能与'ACP ∆重合， 如果2AP =，那么'PP =______．【巩固】如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到矩形'''AB C D ，如果22CD DA ==，那么 'CC =_________．【例3】如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且45DAE ∠=︒，将ADC ∆绕点A 顺时针旋转90︒后，得到AFB ∆，连接EF ，下列结论：①AED AEF ∆∆≌； ②ABE ACD ∆∆∽； ③BE DC DE +=； ④222BE DC DE += 其中正确的是( )A ．②④；B ．①④；C ．②③；D ．①③．D'C'B'D CB A二、大角夹半角模型在大角夹半角模型中比较常见的是90和 45， 120和 60．【例4】正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，15=∠EAD ， 30=∠FAB ,=AD 3，求AEF ∆的面积．【巩固】正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上， 45=∠EAF , 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？【例5】四边形ABCD 是由等边ABC ∆和顶角为120的等腰ABD ∆拼成，将一个角顶点放在D 处，将 60角绕D 点旋转，该60角两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ．交直线AB 于E 、F 两点，FEDCBA（1）当E 、F 分别在边AB 上时（如图1），求证：MN AN BM =+；【巩固】条件如例5，当E 、F 分别在边BA 的延长线上时如图2，求线段BM 、AN 、MN 之间又有怎样的数量关系?【例6】如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．三、等边三角形的“Y ”字型模型【例7】如图，是等边内一点，若，，，求的度数．【巩固】如图，P 是等边ABC ∆中的一个点，2,23,4PA PB PC ===，则ABC ∆的边长是 ．【例8】如图ABC ∆三边长分别是17BC =，18CA =，19AB =，过ABC ∆内的点P 向ABC ∆三边分别作垂线PD PE PF ，，，且=27BD CE AE ++，求BD BF +的长度．【例9】如图，在凸四边形ABCD 中，30,60ABC ADC ∠=∠=，,AD DC =证明:222BD AB BC =+．P ABC ∆3AP =4PB =5PC =APB ∠PCBADCBA【课后作业：】1、如图，将边长为2的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B 顺时针旋转一个角度，若使重叠部分面积为433，则这个旋转的角度为多少？2、如图，四边形ABCD 是正方形，F 是BA 延长线上的点，ADF ∆旋转一定角度后得到ABE ∆，如果4AF =，7AB =． ⑴指出旋转中心和旋转角度； ⑵求DE 的长度．3、矩形的对角线相交于点O ，过点O 的直线交AD ，BC 于点E ，F ，2AB =，3BC =，则图中阴影部分的面积为_____4、正方形ABCD 中的ABP ∆绕点B 顺时针旋转能与'CBP ∆重合，若4BP =，求点P 所走过的路径长．HA'CAOFEDA5、（2012•珠海）如图，把正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转45得到正方形'''CD B A （此时，点'B 落在对角线AC 上，点'A 落在CD 的延长线上），''B A 交AD 于点E ，连接'AA 、CE ．求：直线CE 是线段'AA 的垂直平分线．6、如图，四边形ABCD 中， 135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，AB5BC =6CD =，求AD7、正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O ，点E 在BD 上，AE 平分DAC ∠． 求证：EO AD AC-=2．P'DCBA8、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?四、等腰直角三角形的“Y ”字型旋转【例1】如图，P 是正方形ABCD 内一点， 135=∠APB ，2=BP ，1=AP ．求PC 的长．【巩固】如图，在正方形ABCD 内有一点P ，且2=BP ，5=AP ，1=PC ，求BPC ∠度数大小和正方形ABCD 的边长．【例2】在ABC ∆中，90,,A AB AC D ∠==为斜边上任一点，求证：2222BD CD AD +=．【巩固】 D ,E 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 所在直线上的两点,满足135=∠DAE ,求证：222DE BE CD =+．【例3】四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角ABD ∆和直角CBD ∆，其中A ∠和C ∠都是直角，另一条对角线AC 的长度为2，求四边形ABCD 的面积．【巩固】如图，以ABC Rt ∆的斜边BC 为一边，在ABC ∆的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果4=AB ，7=AO ，求AC 的长．DCBA五、三角形中的费马点【例4】若P 为ABC ∆所在平面上一点，且 120=∠=∠=∠CPA BPC APB ，则点P 叫做ABC ∆的费马点．（1）若点P 为锐角三角形ABC 的费马点，且︒=∠60ABC ，3=PA ，4=PC ，则PB 的值为______，（2）如图，在锐角三角形ABC 外侧作等边三角形'ACB ，连接'BB ，求证：'BB 过ABC ∆的费马点P ，且'BB PC PB PA ++=．【例5】如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转︒60得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：AMB ∆≅ENB∆；（2）①当M 点在何处时，CM AM +的值最小；②当M 点在何处时，CM BM AM ++的值最小，并说明理由； （3）当CM BM AM ++的最小值为时，求正方形的边长．【课后作业：】1、如图，P 是正方形ABCD 内一点，a 2=BP ，a AP =，a 3=PC ）（0a >．求：（1）APB ∠的度数．（2）正方形的面积．2、已知：2=PA ，4=PB ，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．（1）如图，当︒=∠45APB 时，求AB 及PD 的长；（2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB 的大小．3、已知正方形ABCD 内一点，E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为 62+,则此正方形的边长为_______．。

中考数学几何模型：共顶点模型名师点睛 拨开云雾 开门见山共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。

寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论：连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论： （1）BCD ACE ≅△△ （2）AE BD = （3）AFB DFE ∠=∠ （4）FC BFE ∠平分典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 以点A 为顶点作等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ADE ，其中∠BAC ＝∠DAE ＝90°，如图1所示放置，使 得一直角边重合，连接BD 、CE ．（1）试判断BD 、CE 的数量关系，并说明理由； （2）延长BD 交CE 于点F 试求∠BFC 的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；（2）∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°；（3）成立，∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°．变式练习>>>1. 已知：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）求证：BD＝AE．（2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四边形ABED的面积．【解答】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）由（1）得：△BCD≌△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，∵∠CBP+∠BPC＝90°，∠BPC＝∠APD，∴∠EAC+∠APD＝90°，∴∠AHB＝90°，∴∠BAH+∠ABD＝90°，∵∠DAE＝∠ABD，∴∠BAH+∠DAE＝90°，即∠BAD＝90°，∵AB＝8，AD＝6，∴BD＝AE＝10，∴S四边形ABED＝10×10÷2＝50．例题2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在△ADB内，求证：CD与EF互相平分.变式练习>>>2. 已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD＝AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．【解答】解：连接BP，∵△ABC和△PCD都为等边三角形，∴AC＝BC，DC＝PC，∠ACB＝∠DCP＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCP﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCP，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴AD＝BP，又∠RAB+∠BAC+∠QAE＝180°，∴R，A，Q三点共线，又∠CBP＝∠CAD＝60°，∠RBA+∠ABC+∠CBP＝180°，∴R，B，P三点共线，又AQ＝AE＝AD＝BP，∴RQ＝RA+AQ＝RB+BP＝RP，又∠R＝60°，∴△PQR是等边三角形，则P、Q、R是等边三角形的三个顶点．例题3. 在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F,连接CF.(1)如图1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC；(2)如图2，若△ABC，△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则(1)的结论是否成立？若不成立，写出正确结论并证明.例题4. 【问题探究】（1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD 和Rt△ACE，连接CD、BE，试猜想CD、BE的大小关系CD＝BE；（不必证明）【深入探究】（2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC＝CE+CD；（不必证明）线段AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD 的长．【解答】解：（1）∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，且∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，在△DAC和△BAE中，∵，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD＝BE，故答案为：CD＝BE．（2）∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∵，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝45°，又∵BC＝BD+CD，∠ACE＝45°，∴BC＝CE+CD，∠DCE＝90°，∴CD2+CE2＝DE2，∵BD＝CE，DE＝AD，∴CD2+BD2＝2AD2．故答案为：BC＝CE+CD．例题5. 如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD＝BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝α．（1）如图2，当∠ABC＝45°且α＝90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α＝90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）AD+DE＝4，理由是：如图1，∵∠ADB＝∠EDC＝∠α＝90°，AD＝BD，DC＝DE，∴AD+DE＝BC＝4；（2）①补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∵∠ADB＝∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠BDC，在△ADE与△BDC中，，∴△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∠AED＝∠BCD．∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE＝∠DHC，∴∠EGH＝∠EDC＝90°，∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF＝CB＝4，EF∥CB，∴AE＝EF，∵CB∥EF，∴∠AEF＝∠EGH＝90°，∵AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AFE＝45°，∴AF＝＝4；达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连接GH. 求证：GH∥BE.2. 如图，在正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，在△ABE外分别以AE，BE为边作正方形AEMN和EBFG，连接NC，AF，求证：NC∥AF.3.如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ABC=∠DCE=90°，连接AD，BE，求证：AB2+DE2=AD2+BE2.4. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以BC为腰在△ABC外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，连接AD，求AD的长.5. 【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【解答】【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，故答案为：BD＝CE；【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．6. 已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．（1）当点F在线段BD上时，如图①，求证：DF＝CE﹣CF；（2）当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若BD＝2BF，EF＝6，则CF＝2或6．【解答】（1）证明：如图①中，设AD交EF于O．∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE＝BD，∴∠AEO＝∠FDO，∵∠AOE＝∠FOD，∴∠OFD＝∠OAE＝60°，∵AB⊥BC，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠CBF＝30°，∵∠OFD＝∠CBF+∠BCF，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∴CF＝BF，∴DF＝CE﹣CF（2）如图图②中，结论：DF＝CF﹣CE．图③中，结论：DF＝CE+CF；如图②中，∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，∵∠ADB+∠ADF＝180°，∴∠AEF+∠ADF＝180°，∴∠DAE+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝120°，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∴FB＝FC，∴DF＝BF﹣BD＝CF﹣CE．（3）①如图1中，∵BD＝2DF，设BF＝DF＝CF＝x，∵EF＝6，BD＝EC，∴3x＝6，∴x＝2∴CF＝2．②如图③中，设BF＝CF＝x，则BD＝2x，∵BD＝EC，EF＝6，∴6+x＝2x，∴x＝6，∴CF＝6，综上所述，CF＝2或6．故答案为2或6．。

中考数学几何模型 共顶点模型共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。

寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论：连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论： （1）BCD ACE ≅△△ （2）AE BD = （3）AFB DFE ∠=∠ （4）FC BFE ∠平分例题1. 以点A 为顶点作等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ADE ，其中∠BAC =∠DAE =90°，如图1所示放置，使 得一直角边重合，连接BD 、CE ．（1）试判断BD 、CE 的数量关系，并说明理由； （2）延长BD 交CE 于点F 试求∠BFC 的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．变式练习>>>1. 已知：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．（1）求证：BD=AE．（2）若∠ABD=∠DAE，AB=8，AD=6，求四边形ABED的面积．例题2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在△ADB内，求证：CD与EF互相平分.变式练习>>>2. 已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．例题3. 在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F，连接CF.(1)如图1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC；(2)如图2，若△ABC，△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则(1)的结论是否成立？若不成立，写出正确结论并证明.例题4. 【问题探究】（1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD 和Rt△ACE，连接CD、BE，试猜想CD、BE的大小关系；（不必证明）【深入探究】（2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；（不必证明）线段AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．例题5. 如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连接GH. 求证：GH∥BE.2. 如图，在正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，在△ABE外分别以AE，BE为边作正方形AEMN和EBFG，连接NC，AF，求证：NC∥AF.3. 如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ABC=∠DCE=90°，连接AD，BE，求证：AB2+DE2=AD2+BE2.4. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以BC为腰在△ABC外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，连接AD，求AD的长.5. 【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那BD与CE的数量关系是．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC=60°，BC=15，AB=8，AD=CD，求BD的最大值．6. 已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．（1）当点F在线段BD上时，如图①，求证：DF=CE﹣CF；（2）当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若BD=2BF，EF=6，则CF= ．答案例题1. 以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE．（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；（2）延长BD交CE于点F试求∠BFC的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；（2）∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°；（3）成立，∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC与△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°．变式练习>>>1. 已知：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）求证：BD＝AE．（2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四边形ABED的面积．【解答】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）由（1）得：△BCD≌△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，∵∠CBP+∠BPC＝90°，∠BPC＝∠APD，∴∠EAC+∠APD＝90°，∴∠AHB＝90°，∴∠BAH+∠ABD＝90°，∵∠DAE＝∠ABD，∴∠BAH+∠DAE＝90°，即∠BAD＝90°，∵AB＝8，AD＝6，∴BD＝AE＝10，∴S四边形ABED＝10×10÷2＝50．例题2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在△ADB内，求证：CD与EF互相平分.变式练习>>>2. 已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD＝AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．【解答】解：连接BP，∵△ABC和△PCD都为等边三角形，∴AC＝BC，DC＝PC，∠ACB＝∠DCP＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCP﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCP，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴AD＝BP，又∠RAB+∠BAC+∠QAE＝180°，∴R，A，Q三点共线，又∠CBP＝∠CAD＝60°，∠RBA+∠ABC+∠CBP＝180°，∴R，B，P三点共线，又AQ＝AE＝AD＝BP，∴RQ＝RA+AQ＝RB+BP＝RP，又∠R＝60°，∴△PQR是等边三角形，则P、Q、R是等边三角形的三个顶点．例题3. 在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F,连接CF.(1)如图1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC；(2)如图2，若△ABC，△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则(1)的结论是否成立？若不成立，写出正确结论并证明.例题4. 【问题探究】（1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD 和Rt△ACE，连接CD、BE，试猜想CD、BE的大小关系CD＝BE；（不必证明）【深入探究】（2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC＝CE+CD；（不必证明）线段AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．【解答】解：（1）∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，且∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，在△DAC和△BAE中，∵，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD＝BE，故答案为：CD＝BE．（2）∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∵，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝45°，又∵BC＝BD+CD，∠ACE＝45°，∴BC＝CE+CD，∠DCE＝90°，∴CD2+CE2＝DE2，∵BD＝CE，DE＝AD，∴CD2+BD2＝2AD2．故答案为：BC＝CE+CD．例题5. 如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD＝BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝α．（1）如图2，当∠ABC＝45°且α＝90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α＝90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）AD+DE＝4，理由是：如图1，∵∠ADB＝∠EDC＝∠α＝90°，AD＝BD，DC＝DE，∴AD+DE＝BC＝4；（2）①补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∵∠ADB＝∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠BDC，在△ADE与△BDC中，，∴△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∠AED＝∠BCD．∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE＝∠DHC，∴∠EGH＝∠EDC＝90°，∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF＝CB＝4，EF∥CB，∴AE＝EF，∵CB∥EF，∴∠AEF＝∠EGH＝90°，∵AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AFE＝45°，∴AF＝＝4；达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连接GH. 求证：GH∥BE.2. 如图，在正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，在△ABE外分别以AE，BE为边作正方形AEMN和EBFG，连接NC，AF，求证：NC∥AF.3. 如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ABC=∠DCE=90°，连接AD，BE，求证：AB2+DE2=AD2+BE2.4. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以BC为腰在△ABC外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，连接AD，求AD的长.5. 【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【解答】【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，故答案为：BD＝CE；【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．6. 已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．（1）当点F在线段BD上时，如图①，求证：DF＝CE﹣CF；（2）当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若BD＝2BF，EF＝6，则CF＝2或6 ．【解答】（1）证明：如图①中，设AD交EF于O．∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE＝BD，∴∠AEO＝∠FDO，∵∠AOE＝∠FOD，∴∠OFD＝∠OAE＝60°，∵AB⊥BC，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠CBF＝30°，∵∠OFD＝∠CBF+∠BCF，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∴CF＝BF，∴DF＝CE﹣CF（2）如图图②中，结论：DF＝CF﹣CE．图③中，结论：DF＝CE+CF；如图②中，∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，∵∠ADB+∠ADF＝180°，∴∠AEF+∠ADF＝180°，∴∠DAE+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝120°，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∴FB＝FC，∴DF＝BF﹣BD＝CF﹣CE．（3）①如图1中，∵BD＝2DF，设BF＝DF＝CF＝x，∵EF＝6，BD＝EC，∴3x＝6，∴x＝2∴CF＝2．②如图③中，设BF＝CF＝x，则BD＝2x，∵BD＝EC，EF＝6，∴6+x＝2x，∴x＝6，∴CF＝6，综上所述，CF＝2或6．故答案为2或6．。

中考数学共顶点旋转模型一、题源分析（人教版八年级上册第55页）如图，,12CA CD BC EC =∠=∠=， ,求证AB DE =（人教版九年级上册第63页）如图，,ABD AEC 都是等边三角形，BE 与DC 有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？二、共顶点旋转模型简要概述共顶点模型，是指两个等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。

例如上题中的三角形ADC 和三角形ABE 。

寻找共顶点旋转模型的步骤如下：（1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

典例分析1：（2014年河南）（1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE填空：（1）∠AEB 的度数为 ；（2）线段AD 、BE 之间的数量关系是 。

（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE。

请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。

思路点拨：（1）第一问，考虑到两个等边三角形有一个公共顶点C，在点C处可以找到两组相等的边，列出来即可表示为：CA CBCD CE=⎧⎨=⎩，观察边的形式，就可以得到全等的两个三角形是：CAD CBE∆≅∆.（2）类比第一问，可以得到CA CBCD CE=⎧⎨=⎩，故而全等的三角形为CAD CBE∆≅∆，之后再做计算即可。

典例分析2：（2015年安徽）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BG C．（1）求证：AD＝BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值．。

人教版初三数学旋转模型(含详细解析)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：旋转模型授课日期时 间主 题教学内容1.巩固并掌握旋转的性质；2.结合辅助线的构造，更深刻的认识旋转的性质；知识结构1、在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转2、►旋转具有以下特征：（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应角、对应线段相等；（4）图形的形状和大小都不变。

3、旋转的思想：旋转也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种要的解题方法。

4、旋转不同类型（一）正三角形类型在正ABC ∆中，P 为ABC ∆内一点，将ABP ∆绕A 点按逆时针方向旋转60o，使得AB 与AC 重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a ）中的PA 、PB 、PC 三条线段集中于图（1-1-b ）中的一个'P CP ∆中，此时'P CP ∆也为正三角形。

【例题】如图：（1-1）：设P是等边ABC∆内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，APB∠的度数是________.οοο1509060.3,'''''''=+=+∠=∠∴≅==∠=∠PBPAPPAPBRTPBPAPPCAPBAPBPAPAPCAPBAPABC△为为正三角形，△。

易证△△则△，连结且的外侧，作简解：在△‘（二）正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ABP∆绕B点按顺时针方向旋转90o，使得BA与BC重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的'CPP∆中，此时'CPP∆为等腰直角三角形。

九年级旋转专题讲义旋转专题讲义（九年级）一、基础知识1. 旋转的定义：在平面内，一个图形绕着某一点转动一定的角度而不改变其位置的运动称为旋转。

这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。

2. 旋转的性质：（1）旋转中心到图形上任意一点的距离在旋转前后保持不变。

（2）图形上任意两点绕旋转中心按同一方向旋转相等的角度后，对应点到旋转中心的距离相等。

（3）图形上任意两点绕旋转中心按相反方向旋转相等的角度后，对应点到旋转中心的距离相等，但方向相反。

二、常见题型及解题方法1. 确定旋转角：在题目中，常常会给出一些图形经过某种运动后的位置，需要确定这些图形是绕哪个点按什么方向旋转了多少度。

此时可以通过观察图形变化前后的位置，找出旋转中心和旋转角。

2. 求解旋转问题：在求解与旋转相关的问题时，常常需要利用旋转的性质，通过已知条件推导出其他未知条件。

例如，在求解几何图形的面积或周长时，可以通过旋转将不规则图形转化为规则图形，从而方便计算。

3. 判断是否为旋转对称图形：在判断一个图形是否为旋转对称图形时，可以通过观察图形是否能够绕某点按一定角度旋转后与自身重合来确定。

如果可以，则该图形是旋转对称图形。

4. 求解旋转对称图形的中心和角度：在求解旋转对称图形的中心和角度时，可以通过观察图形自身旋转的过程，找出旋转中心和旋转角度。

例如，在求解正多边形的中心和角度时，可以通过将多边形的各顶点绕中心点按相同的方向旋转相同的角度后与自身重合来确定。

三、典型例题解析例1：在正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BC上一点，且CF=3BF。

将△ADE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ABG。

则下列结论：①AF=AG；②BF=BG；③AF=FG；④△AFD≌△GFC中，正确的有（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④分析：根据题意，通过全等三角形的判定与性质分别判断即可。

解答：①∵△ADE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ABG，∴AF=AG，故①正确；②∵CF=3BF，E为CD的中点，∴BF=DF=CG=BG，故②正确；③在△AFD与△GFC中，∵AD=AG，DF=CG，AF=FG，∴△AFD≌△GFC （SSS），∴∠AFC=∠AFD=90°+∠DFA，又∵∠AFC+∠AFD+∠DFA=180°，∴AF≠FG，故③错误；④由③得：AF≠FG，故④错误；故选A。

专题1共顶点模型【例1】把两个等腰直角△ABC 和△ADE 按如图1所示的位置摆放，将△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2，连接BD ，EC ，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．（1）当DE ⊥AC 时，AD 与BC 的位置关系是，AE 与BC 的位置关系是．（2）如图2，当点D 在线段BE 上时，求∠BEC 的度数；（3）若△ABD 的外心在边BD 上，直接写出旋转角α的值．【例2】已知Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与点B 、C 重合），以AD 为边作Rt ADE △，AD AE =，连接CE ．（1）发现问题：如图①，当点D 在边BC 上时，①请写出BD 和CE 之间的数量关系________，位置关系________；②线段CE 、CD 、BC 之间的关系是_________；（2）尝试探究：如图②，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，（1）中CE 、CD 、BC 之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展延伸：如图③，当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时，若6BC =，1CE =，则线段AD 的长为________．经典例题【例3】有如下一道作业题：如图1，四边形ABCD是正方形，以C为直角顶点作等腰直角三角形CEF，DF．求证：△BCE≌△DCF．（1）请你完成这道题的证明：（2）如图2，在正方形ABCD中，点N是边CD上一点，CM＝CN，连接DM，连接FC．①求证：∠BFC＝45°．②把FC绕点F逆时针旋转90°得到FP，连接CP（如图3）．求证：BF＝CP+DF．【例4】已知等边ABC，D为边BC中点，M为边AC上一点（不与A，C重合），连接DM．（1）如图1，点E是边AC的中点，当M在线段AE上（不与A，E重合）时，将DM绕点D逆时针旋转120 得到线段DF，连接BF．①依题意补全图1；②此时EM 与BF 的数量关系为：，DBF ∠=°．（2）如图2，若2DM MC =，在边AB 上有一点N ，使得120NDM ∠=︒．直接用等式表示线段BN ，ND ，CD 之间的数量关系，并证明．【例5】如图1，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AB ＝2BC ，点M ，F 分别为边AB ，AC 的中点，点D 在边AC 上，且CD ＝2AD ，点N 为CD 的中点，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，点G 为DE 的中点．将△DCE 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α，连接MG ，FN ．（1）问题发现当α＝0°时，F G =32；直线MG 与直线FN 相交所成的较小夹角的度数为30°．（2）类比探究当0°＜α＜360°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用若AB ＝4，直线MG 和直线FN 交于点O ，在旋转的过程中，当点O 与点N 重合时，请直接写出线段FN 的长．培优训练1．ACB △和CDE △都是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，将CDE △绕点D 旋转．（1）如图1，当点B 落在直线DE 上时，若26AC =，CE =BE 的长；（2）如图2，直线BD 、AE 交于点F ，再连接CF EF DF =+；（3）如图3，8AC =，4CD =，G 为ED 中点，连接AG ，BG ，以AG 直角边构造等腰Rt AHG ，过H 作HI AB ⊥交AB 于点I ，连接G I ，当HI 最小时，直接写出G I 的长度．2．在 ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作 ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）（请直接写出你的结论）如图1，当点D在线段BC上：①如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝°；②如果∠BAC＝100°，则∠BCE＝°；（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．3．有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，DE，M是BF的中点（观察猜想）（1）线段DE与AM之间的数量关系是，位置关系是；（探究证明）（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．(3)若正方形ABCD的边长为4，将其沿EF翻折，点D的对应点G恰好落在BC边上，直接写出DG+DH 的最小值4．（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合）．连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是，位置关系是；（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD、CD、DE之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，则线段AD 的长为5．已知：等腰Rt ABC 和等腰Rt ADE △中，AB AC =，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=︒．（1）如图1，延长DE 交BC 于点F ，若68BAE ∠=︒，则DFC ∠的度数为；（2）如图2，连接EC 、BD ，延长EA 交BD 于点M ，若90AEC ∠=︒，求证：点M 为BD 中点；（3）如图3，连接EC 、BD ，点G 是CE 的中点，连接AG ，交BD 于点H ，9AG =，5HG =，直接写出AEC △的面积．6．如图，点A ，M ，B 在同一直线上，以AB 为边，分别在直线两侧作等边三角形ABC 和等边三角形ABD ，连接CM ，DM ，过点M 作MN ＝DM ，交BC 边于点G ，交DB 的延长线于点N ．（1）求证：∠BCM ＝∠BDM ；（2）求∠CMN 的度数；（3）求证：AM ＝BN ．7．问题发现（1）如图①，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向△ABC 外分别作等边△ABD 和等边△ACE ，连接CD ，BE ．试探究CD 与BE 的数量关系，并说明理由．问题探究（2）如图②，四边形ABCD 中，∠ABC ＝45°，∠CAD ＝90°，AC ＝AD ，AB ＝2BC ＝60．求BD 的长．问题解决（3）如图③，△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠ACB 是一个变化的角，以AB 为边向△ABC 外作等边△ABD ，连接CD ，试探究，随着∠ACB 的变化，CD 的长是否存在最大值，若存在求出CD 长的最大值及此时∠ACB 的大小；若不存在，请说明理由．8．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”兴趣小组进行了如下探究：（1）如图1，两个等腰三角形ABC 和ADE 中，AB AC =，AE AD =，BAC DAE ∠=∠，连接BD 、CE ，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和ADB △全等的三角形是______，此线BD 和CE 的数量关系是______．（2）如图2，两个等腰直角三角形ABC 和ADE 中，AB AC =，AE AD =，90BAC DAE ∠=∠=︒，连接BD 、CE ，两线交于点P ，请判断线段BD 和CE 的关系，并说明理由．9．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作：（1）如图1．在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =40°（AB ＞AD ），连接BD ，CE ，当点E 落在AB 边上，且D ，E ，C 三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和△ABD 全等的三角形是，∠BDC 的度数为．（2）如图2．在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =90°，连接BD ，CE ，当点B ，D ，E 在同一条直线上时，请判断线段BD 和CE 的关系，并说明理由．（3）如图3，已知△ABC ，请画出图形：以AB ，AC 为边分别向△ABC 外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE （等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE ，CD ，交于点P ，请直接写出线段BE 和CD 的数量关系及∠BPD 的度数．10．如图1，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°．点D 是AC 中点，连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ．（1）求证：∠EAD ＝∠CBD ；（2）求证：BF ＝2AE ；（3）如图2，将△BCF 沿BC 翻折得到△BCG ，连接AG ，请猜想并证明线段AG 和AB 的数量关系．11．如图，在四边形ABCD 中，90,12cm,10cm A ABC AB BC AD ∠=∠=︒===．点P 从点A 出发，以3cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速运动设运动时间为(s)t ．（1）如图①，连接BD CP、，当BD CP⊥时，求t的值；（2）如图②，当点P开始运动时，点Q同时从点C出发，以cm/sa的速度沿CB向点B匀速运动，当P Q、两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当ADP△与BQP全等时，求a和t的值；（3）如图③，当（2）中的点Q开始运动时，点M同时从点D出发，以1.5cm/s的速度沿DA向点A运动，连接CM，交DQ于点E．连接AE当920MD AD=时，ADE CDES S=，请求出此时a的值．12．（1）如图1，已知△CAB和△CDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量关系是．（2）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F．①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论；②图2中∠AFB的度数是．（3）如图3，若△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，分别写出∠AFB的度数，线段AD、BE间的数量关系．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC=6，请直接写出BQ的长．14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，求DE与BC的数量关系是DE=3BC．（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，∠PDF＝60°，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请猜测DE，BF，BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．15．（1）观察理解：如图①，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．（2）理解应用：如图②，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝50；（3）类比探究：如图③，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，连接B′C，则S△AB′C＝8．（4）拓展提升：如图④，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E 沿射线EC以1cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．若点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．（画出示意图）16．已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）如图1，当点D在AC上，点E在BC延长线时，连接AE、BD，找出AE与DB的关系，并说明理由；（2）材料：材料：图2，当点D不在AC上，点E不在BC延长线上时，连接AD、BE，点M为AD中点，连接MC，并延长MC交BE与N，我们可以证明MN⊥BE：辅助线和证明方法为：过点D作DG∥AC交CM的延长线于G，易证△AMC≌△DMG（AAS），再证明△GDC≌△BCE（SAS），从而得到∠CNE ＝90°，MN⊥BE；问题：把等腰Rt△DCE绕点C转至如图3位置，点M是线段AD的中点，问MN与BE的位置关系是否发生改变？如果没有，请在图3画出辅助线，并说明理由．17．某校八年级数学兴趣小组在研究等腰直角三角形与图形变换时，作了如下研究：在△ABC中，∠BAC ＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为腰作等腰直角三角形DAF，使∠DAF＝90°，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①CF与BC的位置关系为CF⊥BC；②CF，DC，BC之间的数量关系为BC＝DC+CF（直接写出结论）；（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，将△DAF沿线段DF翻折，使点A与点E重合，连接CE，若已知4CD＝BC，AC＝22，请求出线段CE的长．18．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF；②BC，CD，CF之间的数量关系为：BC＝CF+CD．（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明，（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若AB＝22，CD＝1，请求出GE的长．19．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD的上边作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF；②BC、CD、CF之间的数量关系为：CF＝BC﹣CD．（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，以上①②关系是否成立，请在后面的横线上写出正确的结论．①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF；②BC、CD、CF之间的数量关系为：CF ＝CD﹣BC．（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GD，若已知AB＝22，CD=14BC，请求出DG的长（写出求解过程）．20．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时可以证明△ABD≌△ACF，则，①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF．②BC，DC，CF之间的数量关系为：BC＝DC+CF；（2）类比探究如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，（1）中①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．①BC、DC、CF三条线段之间的数量关系为：BC＝DC﹣CF．②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE、DF相交于点O，连结OC，则OC21．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝42．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止，在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD＝QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0）（1）在整个运动过程中，判断PE与AB的位置关系是（2）如图2，当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的b，使得AP＝PQ？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t＝4时，点D经过点A：当t=163时，点E在边AB上．设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请求出在整个运动过程中S与t之间的函数关系式，以及写出相应的自变量t的取值范围，并求出当4＜t≤163时S的最大值．22．【问题情境】如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B小明认为线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在⊙O上任意取一个不同于点A的点C，连接OC、CP，则有OP＜OC+PC，即OP﹣OC＜PC，由OA＝OC得OP﹣OA＜PC，即PA＜PC，从而得出线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段小红认为在图1中，线段PB是点P到⊙O上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由【直接运用】上的一如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是C个动点，连接AP，则AP−1【构造运用】如图4，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值解：由折叠知A′M＝AM，又M是AD的中点，可得MA＝MA′＝MD，做点A′在以AD为直径的圆上，如图5，以点M为圆心，MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H（请继续完成本题的后续解题过程）【深度运用】如图6，△ABC、△EFG均是边长为4的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，则线段BM−2和+2．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm．D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE．点P从点A出发，沿折线AD﹣DE﹣EB运动，到点B停止．点P在线段AD上以5cm/s的速度运动，在折线DE﹣EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M在线段AQ上．设点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为（t﹣2）cm（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．（4）连接CD，当点N与点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M﹣N ﹣M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H 始终在线段MN的中点处，直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．24．如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝120°．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝6，请分别求出△PMN周长的最小值与最大值．25．综合与实践：如图1，已知△ABC，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点．（1）观察猜想在图1中，线段PM与QM的数量关系是PM＝MQ；（2）探究证明当∠BAC＝60°，把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，判断△PMQ的形状，并说明理由；（3）拓展延伸当∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，再连接BE，再取BE的中点N，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，①请你判断四边形PMQN的形状，并说明理由；②请直接写出四边形PMQN面积的最大值．26．【问题提出】如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于E，连接CD，F，G，H分别是线段CD，DE，BC的中点，则线段FG，FH的数量关系是FG＝FH（直接写出结论）．【类比探究】将图1中的△ADE绕点A旋转到如图2位置，上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点E在BC上，且BE=61，过点E作ED⊥AB，垂足为D，将△BDE绕点B顺时针旋转，连接AE，取AE的中点F，连接DF．当AE与AC垂直时，线段DF的长度为（直接写出结果）．。

中考数学几何模型： 共顶点模型 名师点睛共顶点模型，亦称 “手拉手模型 ”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形 的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。

寻找共顶点旋转模型的步骤如下：1）寻找公共的顶点2）列出两组相等的边或者对应成比例的边3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

两等边三角形*常见结论：连接 BD 、AE 交于点 F ，连接 （ 1） △BCD △ACE （ 2） AE BD （ 3） AFB DFE（4） FC 平分 BFE两等腰直角三角形 CF ，则有以下结论：典题探究例题 1. 以点 A 为顶点作等腰 Rt △ABC ，等腰 Rt △ADE ，其中 ∠BAC=∠DAE=90°，如图 1 所示放置，使 得一直角边重合，连接 BD 、 CE ．1）试判断 BD 、CE 的数量关系，并说明理由；2）延长 BD 交 CE 于点 F 试求 ∠BFC 的度数；3）把两个等腰直角三角形按如图 2 放置，（ 1）、（ 2）中的结论是否仍成立？请说明理由．两任意等腰三变式练习 >>>1.已知：如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ ACB=∠ DCE =90°．1）求证： BD=AE．2）若∠ABD=∠ DAE，AB=8，AD=6，求四边形 ABED 的面积．例题 2. 如图，等边△ABC ，等边△ADE ，等边△DBF 分别有公共顶点 A，D，且△ADE ，△DBF 都在△ADB 内，求证： CD 与 EF 互相平分 .变式练习 >>>2.已如图，已知等边三角形 ABC，在 AB上取点 D，在 AC 上取点 E，使得 AD=AE，作等边三角形PCD，QAE 和 RAB，求证： P、Q、R 是等边三角形的三个顶点．例题 3. 在等边△ABC 与等边△DCE中， B，C， E三点共线，连接 BD，AE 交于点 F，连接 CF. （1）如图 1，求证： BF=AF+FC ， EF=DF+FC ；（2）如图 2，若△ABC ，△DCE 为等腰直角三角形，∠ ACB= ∠DCE=90°，则（1）的结论是否成立？若不成立，写出正确结论并证明 .例题 4. 【问题探究】（1）如图①已知锐角△ABC，分别以 AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰 Rt△ABD 和 Rt△ACE，连接 CD、 BE，试猜想 CD、BE 的大小关系；（不必证明）【深入探究】（2）如图②△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形，点 D在边 BC上（不与 B、C重合），连接 EC，则线段 BC，DC， EC 之间满足的等量关系式为；（不必证明）线段 AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；【拓展应用】（3）如图③，在四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若 BD=9，CD=3，求AD 的△CDE ，使得 DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图 2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段 AD，DE 之间的数量关系；（2）将线段 CB 沿着射线 CE 的方向平移，得到线段 EF，连接 BF，AF ．① 若α=90°，依题意补全图 3，求线段 AF 的长；② 请直接写出线段 AF 的长（用含α的式子表达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在等边△ABC 与等边△DCE 中，B，C，E三点共线， BD 交AC 于点 G，AE 交DC 于点H，连接 GH. 求证： GH ∥BE.和 EBFG ，连接 NC，AF ，求证：NC∥AF.示）．4.如图，在△ABC 中，AB=AC=10 ，∠BAC=45°，以 BC 为腰在△ABC 外部作等腰 Rt△BCD，∠BCD=90°，连接 AD ，求 AD 的长 .5.【发现问题】如图 1，已知△ABC，以点 A为直角顶点、 AB 为腰向△ABC 外作等腰直角△ABE．请你以 A 为直角顶点、 AC 为腰，向△ABC 外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接 BD 、CE．那 BD 与 CE 的数量关系是．【拓展探究】如图 2，已知△ABC，以 AB、AC 为边向外作正方形 AEFB 和正方形 ACGD ，连接BD、CE，试判断 BD 与 CE 之间的数量关系，并说明理由．6.已知线段 AB⊥直线 l 于点 B，点 D 在直线 l 上，分别以 AB、AD 为边作等边三角形 ABC 和等边三角形 ADE ，直线 CE 交直线 l 于点 F．（1）当点 F 在线段 BD 上时，如图① ，求证： DF=CE﹣CF；（ 2）当点 F 在线段 BD 的延长线上时，如图② ；当点 F 在线段 DB 的延长线上时，如图③ ，请分别写出线段 DF 、 CE、 CF 之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；3）在（ 1）、（2）的条件下，若 BD=2BF， EF=6，则 CF=2. 如图，在正方形 ABCD 内取一点 E，连接 AE ，BE，在△ABE 外分别以 AE，BE 为边作正方形 AEMN3. 如图，在等腰 Rt△ABC 与等腰 Rt△DCE 中，∠ ABC= ∠DCE=90°，连接 AD ， BE，求证： AB 2 3+DE 2=AD 2+BE 2.。

中考数学旋转五大模型专题
目录
一、旋转的性质与手拉手模型
相比平移、对称，旋转无疑是三大变换中最难的一个，一方面在于图形构造较为复杂，另一方面旋转本身的故事就很多，本节从性质开始，介绍旋转经典模型之一：手拉手模型。

二、三垂直模型
同样作为模型，但“三垂直模型”的定位和“手拉手模型”完全不同，“手拉手模型”是在讲旋转本身，而“三垂直”模型本身并不复杂，更多地是作为一种方法来解决其他问题，了解模型需了解其定位与应用，会帮助我们更准确地把握模型。

三、半角模型
如果说手拉手侧重在旋转本身，三垂直侧重在模型构造，半角模型则更多地体现在题型变化，半角模型一般条件如下：
(1)角含半角：
(2)邻边相等；
(3)对角互补，
其中邻边相等与对角互补，以正方形为背景即可，至于角含半角，是明面上的半角模型，可替换为其他条件，模型条件的等价条件，亦是模型的重点。

四、手连心模型与对补四边形
旋转本身或许并不难，难的是构造旋转，确定旋转的一个必要前提：邻边相等，再加入其它的料，会有不同的结果。

五、共顶点旋转模型
所谓共点旋转，是旋转构造的一种，即图形绕着自身某个顶点作旋转，常见为等边三角形共点旋转和正方形共点旋转，有着一般性的条件、结论及推广应用，即可视为模型。

共顶点等腰三角形旋转模型的基本做法与结论共顶点等腰三角形旋转模型是数学中常见的几何问题，它涉及到旋转、对称等概念与性质。

本文将以共顶点等腰三角形旋转模型为主题，探讨其基本做法与结论。

一、问题描述我们考虑一个共顶点等腰三角形ABC，其中AB=AC，以A为顶点作一条直线AD，且AD与BC相交于点D。

现在，我们将等腰三角形ABC绕点D进行旋转，旋转角度为θ，求旋转后的三角形A'B'C'的性质。

二、基本做法1. 确定旋转后的三角形根据旋转的定义，我们知道旋转是将一个图形绕着某个点旋转一定角度，得到一个新的图形。

在本题中，我们将等腰三角形ABC绕点D旋转，因此旋转后的三角形为A'B'C'。

2. 确定旋转角度旋转角度θ是一个关键的参数，它决定了旋转后的图形与原图形的关系。

在本题中，我们需要确定旋转角度θ的值。

3. 分析旋转后的三角形性质旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC之间存在一些性质的关系，我们需要分析旋转后的三角形的各个性质，如边长、角度等。

三、结论通过对共顶点等腰三角形旋转模型的分析和计算，我们得出以下结论：1. 旋转后的三角形A'B'C'也是一个等腰三角形，即A'B' = A'C'；2. 旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC共顶点A，即A'、B'、C'三点共线。

这些结论可以通过具体的计算和证明进行验证，但在本文中我们不做具体的推导和证明。

四、实际应用共顶点等腰三角形旋转模型在几何学中具有重要的应用价值。

例如，在建筑设计中，我们常常需要通过旋转来生成对称的图形，而共顶点等腰三角形旋转模型就是一种常用的方法。

通过对旋转后的图形进行分析，我们可以更好地理解建筑物的结构和形态，并进行合理的设计和规划。

在计算机图形学中，共顶点等腰三角形旋转模型也是一种常见的变换操作。

图形变换之共顶点旋转 知识精讲 习题集中考内容中考要求A B C图形的旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角 能运用旋转的知识解决简单问题180⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪︒⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩定义：绕定点旋转一定的角度概念与性质性质：旋转前后两个图形全等中心对称：旋转能重合等边三角形旋转等腰三角形共顶点旋转等腰直角三角形正方形费马点与最值一、旋转1、定义把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．如下图．Q'P'QPO【注意】1、研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角．2、每一组对应点所构成的旋转角相等． 2、性质（1）旋转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角） （2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；（进而得到等腰三角形）（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三中考大纲知识精讲知识网络图角形）3、作图的重要条件由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件（1）旋转中心（2）旋转方向及旋转角度．4、作图的基本步骤具体步骤分以下几步连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点．连：即连接所得到的各点．二、中心对称1、中心对称的定义把一个图形绕着某一点旋转180︒，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（如下图）ADOBC【注意】1、图形成中心对称是旋转角为定角（180︒）的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系．2、中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系．2、中心对称的性质关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．关于中心对称的两个图形是全等图形．关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．3、中心对称图形把一个图形绕着某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（如下图）ADOCB4、中心对称与中心对称图形的区别与联系中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形．5、关于原点对称的点的坐标特征两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对称．6、中心对称图形与旋转对称图形的比较名称定义区别联系旋转对称图形如果一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于周角）后能与原图形完全重合，那么这个图形叫做旋转对称图形旋转角度不一定是180︒旋转对称图形只有旋转180︒才是中心对称图形，而中心对称图形一定是旋转对称图形中心对称图形如果一个图形绕某一点旋转180︒后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形必须旋转180︒7、中心对称图形与轴对称图形比较名称定义基本图形区别举例中心对称图形如果一个图形绕着某点旋转180︒后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形绕某一点旋转180︒线段、平行四边形、矩形、菱形、圆轴对称图形如果一个图形沿某一条直线翻折180︒后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这样的图形叫做轴对称图形180沿某一条直线翻折180︒（对折）线段、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆三、共顶点旋转1、共顶点旋转三角形有出现一个公共的顶点，两个三角形可以通过旋转相互得到，这类题目需要找到两个旋转三角形或者通过作出辅助线找到两个旋转三角形．等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形【注意】以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化．证明的基本思想“SAS”．【例题】如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．DECBA【答案】∵ABC ∆是等边三角形，∴60ACB ∠=︒，AC BC =．∴60BCD DCA ∠+∠=︒，同理60ACE DCA ∠+∠=︒，DC EC =．∴BCD ACE ∠=∠在BCD ∆与ACE ∆ 中， BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCD ACE ∆∆≌，∴BD AE =．四、费马点与最值1、三线共点问题图形中出现有公共端点的相等线段，可考虑将含有相等线段的图形绕公共端点旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．2、OA 与OB 共用顶点O ，固定OA 将OB 绕点O 旋转过程中的，会出现AB 的最大值与最小值，如图．最大值位置最小值位置BO A3、费马点的定义到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为120°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题 4、费马点的结论（1）平面内一点P 到△ABC 三顶点的之和为PA PB PC ++，当点P 为费马点时，距离之和最小． （2）三内角皆小于120°的三角形，分别以AB ,BC ,CA 为边，向三角形外侧做正三角形1ABC 1ACB ,1BCA ,然后连接1AA ,1BB ,1CC ,则三线交于一点P ,则点P 就是所求的费马点．（3）若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点． （4）当ABC ∆为等边三角形时,此时内心与费马点重合【例题】下面简单说明如何找点P 使它到ABC ∆三个顶点的距离之和PA PB PC ++最小？这就是所谓的费尔马问题．P'C'PCBA【解析】如图1，把APC ∆绕A 点逆时针旋转60°得到△AP ′C ′，连接PP ′．则△APP ′为等边三角形，AP = PP ′，P ′C ′=PC ，所以PA PB PC ++= PP ′+ PB + P ′C ′．点C ′可看成是线段AC 绕A 点逆时针旋转60°而得的定点，BC ′为定长 ，所以当B 、P 、P ′、C ′ 四点在同一直线上时，PA PB PC ++最小． 这时∠BPA =180°-∠APP ′=180°-60°=120°， ∠APC =∠A P ′C ′=180°-∠AP ′P =180°-60°=120°，∠BPC =360°-∠BPA -∠APC =360°-120°-120°=120° 因此，当ABC ∆的每一个内角都小于120°时，所求的点P 对三角形每边的张角都是120°，可在AB 、BC 边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P 点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P 点就是钝角的顶点．费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．1、利用旋转思想构造辅助线（1）根据相等的线段先找出被旋转的三角形． （2）根据对应边找出旋转角度，画出旋转三角． 2、四大旋转全等模型（关键找伴随全等三角形）等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）解题方法技巧（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）（5）正方形共顶点旋转3、旋转秘籍（1）图形中出现等腰三角形，常考虑将以腰为边的某三角形绕等腰三角形的顶角所在的顶点旋转一顶角后与另一腰重合．（1）图形中出现等边三角形，常考虑将含有等边三角形边长的某个三角形绕顶点旋转60︒角后与另一边重合．（2）图形中出现正方形时，常考虑将含有正方形边长的某个三角形绕顶点旋转90︒角后与另一边重合． 4、正方形等面积结论（1）=ABC CDE S S △△（2）G 为AB 中点，则12CG DE =（3）G 为AB 中点，CG DE ⊥ EDGABC5、等边三角形手拉手共线的结论（ABC △和BDE △均为等边三角形，A B D 、、三点共线）（1）ABE CBD ≌△△ （2）=CD AE（3）ABF CBG ≌△△ （4）DBG EBF ≌△△ （5）BF BG =（6）AF CG =，EF DG = （7）FBG △为等边三角形 （8）HB 平分AHD ∠ （9）60CHA ∠=︒ABCDE FHG6、等腰直角三角形共顶点旋转常见的变式（1）基本模型：OAB △和OCD △均为等腰直角三角形 结论：BD AC =，BD AC ⊥DABCO（2）变式一：在上面模型的基础上连接AD ，分别取AB 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连接EG 、FG结论：EG FG =，EG FG ⊥GEDFABCO（3）变式二：在上面模型的基础上连接OE 、OF ，则OEA △和OFD △均为等腰直角三角形，如下图去掉别的线段结论：EG FG =，EG FG ⊥GEDFAO（4）变式三：在上面模型的基础上分别取OA 、OD 的中点M 、N ，分别以ON 、OM 为边作正方形结论：EG FG =，EG FG ⊥GEDFHIMNAO7、等边三角形共顶点旋转常见的变式（1）基本模型：OAB △和OCD △均为等腰三角形 结论：BD AC =，BD 与AC 所夹锐角为60︒DCBAO（2）变式：在上面模型的基础上连接AD ，分别取AB 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连接EG 、FG结论：EG FG =，=120EGF ∠︒GFEDCBAO8、等腰三角形共顶点旋转常见的变式（1）基本模型：OAB △和OCD △均为等腰三角形，BOA COD ∠=∠ 结论：BD AC =，BD 与AC 的夹角等于AOB ∠DOCBA（2）变式：在上面模型的基础上连接AD ，分别取AB 、CD 、AD 的中点E 、F 、G ，连接EG 、FG结论：EG FG =，=2EGF BAO ∠∠GE FDOCB A9、终极模型提炼：只要OAB △和OCD △相似，且BOA COD ∠=∠，OBA OCD ∠=∠结论：BG CG =，=2BGC BAO ∠∠GDOBCA1、 找旋转中心时是对应点连线垂直平分线的交点，要注意和对称中心相区别．2、 找共顶点全等三角形时，要注意找旋转图形的对应点．3、 遇到正方形的共顶点旋转，基本上都可以转化成等腰直角三角形的共顶点旋转．易错点辨析【例1】下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）．【答案】A【例2】在ABC△中，AB AC=，BACα∠=（︒<<︒600α），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出ABD∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，15060BCE ABE∠=︒∠=︒，，判断ABE△的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若45DEC∠=︒，求α的值．【答案】（1）302ABDα∠=︒-；（2）ABE△是等边三角形．证明：连结AD CD，，∵60DBC BD BC∠=︒=，，∴BDC△是等边三角形，60BDC BD DC∠=︒=，．又∵AB AC AD AD==，，真题链接B CEDA∴ABD ACD≌△△，∴ADB ADC∠=∠，∴150ADB∠=︒，∵60ABE DBC∠=∠=︒，∴ABD EBC∠=∠，又∵150BD BC ADB ECB=∠=∠=︒，，∴ABD EBC≌△△，∴AB EB=，∴ABE△是等边三角形．（3）∵BDC∆是等边三角形，∴60BCD∠=︒，∴90DCE BCE BCD∠=∠-∠=︒，又∵45DEC∠=︒，∴CE CD BC==，∴15EBC∠=︒，∵302EBC ABDα∠=∠=︒-，∴30α=︒．一、旋转的概念和性质【例3】下图中，不是旋转对称图形的是（）．【答案】B【例4】有下列四个说法，其中正确说法的个数是（）．①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【例5】如图，若正方形DCEF旋转后能与正方形ABCD重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有（）个．课堂练习A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】本题很多考生容易做错，将答案选为B，认为只有两个旋转点，但是一定要注意CD边的中点也是一个旋转点，所以应该有3个旋转点．【例6】如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将所给的拼木分别尝试拼接或由拼木盘观察，直接选出拼木．A、C和D旋转之后都不能与图形拼满，B旋转180°后可得出与图形相同的形状，故选B．【例7】已知：如图，若线段CD是由线段AB经过旋转变换得到的．求作：旋转中心O点．【答案】分两类：（1）A与C是对应点．（2）B与C是对应点，对（1）的作法：首先，连结AC，作线段AC的垂直平分线l1；其次，连结BD，作线段BD的垂直平分线l2，与l1交于O点，则O点为所求．同理可作出（2）的O′选点．【解析】采用旋转的作图方法和旋转的性质进行解题．【例8】如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC△顶点的横、纵坐标都是整数．若将ABC△以某点为旋转中心，顺时针旋转90︒得到DEF△，则旋转中心的坐标是（）．A．(0,0)B．(1,0)C．(1,1)-D．(2.5,0.5)【答案】C【解析】旋转中心为对应顶点连线的垂直平分线，故选C．【例9】（1）（2A B C''△【答案】（1xy–5–4–3–2–112345–5–4–3–2–112345PFE DCBAO（2）如图所示：∠°A'C'B'PCA BA 旋转到点A '所经过的路线长为4l π=．二、中心对称【例10】 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．A ．DBCB ．DBCAC ．D ．【答案】A 【例11】 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【例12】 有五张形状、大小、质地都相同的卡片，上面分别画有下列图形：①正方形；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（ ）．A ．15B ．25 C ．35D ．45【答案】B【例13】 已知：如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 成中心对称，试画出它们的对称中心，并简要说明理由．【答案】HGFEDCB【解析】根据中心对称的性质，分别连结CG 、BF ，则它们的交点O 为两四边形的对称中心．其理由是关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而CG 、BF 两线段不共线，所以它们的交点即为对称中心．三、共顶点旋转之全等【例14】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中点，求证：CDE ∆是等边三角形．M DNECBA【答案】∵ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =，ABM ANC ∠=∠又∵D 、E 分别是AN 、BM 的中点，∴BCE NCD ∆∆≌，∴CE CD =，BCE NCD ∠=∠ ∴60DCE NCD NCE BCE NCE NCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=o ∴CDE ∆是等边三角形【例15】 在等边ABC △中，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，请你直接写出线段AD 与BC 之间的数量关系：AD =__________BC ；（2）如图2，若P 是线段BC 上一个动点（点P 不与点B 、C 重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60︒，得到线段AE，连结CE，猜想线段AD、CE、PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若点P是线段BC延长线上一个动点，（2）中的其他条件不变，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出线段AD、CE、PC之间的数量关系．【答案】（1）3．（2）3()AD CE PC=+．理由如下：∵线段AP绕点A逆时针旋转60︒，得到线段AE，∴60PAE∠=︒，AP AE=，∵等边三角形ABC，∴60BAC∠=︒，AB AC=，∴BAC PAC PAE PAC∠-∠=∠-∠，∴BAP CAE∠=∠，在ABP△和ACE△中AB ACBAP CAEAP AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABP ACE≅△△，∴BP CE=，∵BP PC BC+=，∴CE PC BC+=，∵3AD BC=，∴3()AD CE PC=+．（3）如图，3()AD CE PC=-．【例16】已知：等边ABC△中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，点M在直线BC上，以点M为旋转中心，将线段MD顺时针旋转60︒至MD'，连接ED'．（1）如图1，当点M在点B侧时，线段ED'与MF的数量关系是__________；（2）如图2，当点M在BC边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由；（3）当点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由．【答案】（1）ED MF '=；（2）ED '与MF 的相等关系依然成立． 证明：连接DE 、DF 、DD '，∵D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∴DE BC ∥，12DE BC =，DF AC ∥，12DF AC =， ∴四边形DFCE 为平行四边形． ∵ABC △是等边三角形， ∴BC AC =，60C ∠=︒， ∴DE DF =，60EDF C ∠=∠=︒． ∵MD=MD '，DMD '∠=60º， ∴DMD '△是等边三角形， ∴60MDD '∠=︒，MD DD '=， ∴MDD EDF '∠=∠．∵MDF MDD FDD ''∠=∠-∠， ∴EDD EDF FDD ''∠=∠-∠， ∴MDF EDD '∠=∠，∴DD E DMF '≅△△(SAS)． ∴ED MF '=．（3）ED '与MF 的相等关系依然成立， 画出正确图形．【例17】 如图1，已知90DAC ∠=︒，ABC △是等边三角形，点P 为射线AD 上任意一点（点P 与点A 不重合），连结CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转60︒得到线段CQ ，连结QB 并延长交直线AD 于点E ．（1）如图1，猜想=QEP ∠_________︒；（2）如图2，3，若当DAC ∠是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想QEP ∠的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若135DAC ∠=︒，15ACP ∠=︒，且4AC =，求BQ 的长．D'EDEDA【答案】（1）60QEP ∠=︒．（2）60QEP ∠=︒．证明：如图，以DAC ∠是锐角为例． ∵ABC △是等边三角形，∴AC BC =，60ACB ∠=︒．又由题意可知，CP CQ =，60PCQ ∠=︒． ∴ACP BCQ ∠=∠． ∴ACP BCQ ≅△△． ∴APC Q ∠=∠． 设PC 与BQ 交于点G ， ∵12∠=∠，∴60QEP PCQ ∠=∠=︒．（3）由题意可求，30APC ∠=︒，45PCB ∠=︒． 又由（2）可证60QEP ∠=︒．∴可证QE 垂直平分PC ，GBC △为等腰直角三角形． ∵4AC =，∴22GC =，26GQ =． ∴2622BQ =-．【例18】 问题解决如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEF 重合放置，其中90C ∠=︒，30B E ∠=∠=︒． （1）如图2，固定ABC △，将DEC △绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，设BDC △的面积为1S ，AEC △的面积为2S ，那么1S 与2S 的数量关系是__________；（2）当DEC △绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并ACA （D ）B （E ）C D E图1 图2B尝试分别作出了BDC △和AEC △中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想．（3）如图4，60ABC ∠=︒，点D 在其角平分线上，6BD CD ==，DE AB ∥交BC 于点E ，若点F 在射线BA 上，并且DCF BDE S S =△△，请直接写出相应的BF 的长．【答案】（1）相等．（2）证明：∵DM 、AN 分别是BDC △和AEC △中BC 、CE 边上的高， ∴90DMC ANC ∠=∠=︒． ∵90DCE ∠=︒， ∴90DCN ∠=︒， ∴90DCB BCN ∠+∠=︒． ∵90ACB ∠=︒， ∴90ACN BCN ∠+∠=︒， ∴DCB ACN ∠=∠． ∵DC AC =，∴DCM ACN ≅△△(AAS)． ∴DM AN =， ∵12BCD BC DM S S ⋅==△，22ACE CE ANS S ⋅==△，且CE BC =， ∴12S S =．（3）23BF =或43BF =．【例19】 将等腰Rt ABC △和等腰Rt ADE △按图1方式放置，90A ∠=︒，AD 边与AB 边重合，24AB AD ==．将ADE △绕点A 逆时针方向旋转一个角度(0180)αα︒≤≤︒，BD 的延长线交直线CE 于点P ．（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是__________，位置关系是__________； （2）在旋转的过程中，当AD BD ⊥时，求出CP 的长； （3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长．ABCDEN M图3ABCDE 图4ABC DENM【答案】（1）BD CE =，BD CE ⊥，（2）如图所示，∵ABC △和ADE △都是等腰三角形， ∴AB AC =，AD AE =， ∵90BAC DAE ∠=∠=︒， ∴BAD CAE ∠=∠， ∴ABD ACE ≅△△． ∴ABD ACE ∠=∠， ∵12∠=∠，∴90CPB CAB ∠=∠=︒， ∴BP CE ⊥．∵AD BP ⊥，90DAE ∠=︒，AD AE =， ∴四边形ADPE 为正方形， ∴2AD PE ==，∵90ADB ∠=︒，2AD =，4AB =， ∴30ABD ∠=︒， ∴23BD CE == ∴232CP CE PE =-=．（3）如图4，取BC 中点O ，连结OP 、OA ．∵90BPC BAC ∠=∠=︒， ∴2OP OA OB OC ====．在此旋转过程中（0180α︒︒≤≤）， 由（2）知，当60α=︒时，PBA ∠最大，且30PBA ∠=︒，此时60AOP ∠=︒，∴点P 运动的路线是以O 为圆心，OA 长为半径的弧AP 与弧PA 的和．∴点P 运动的路线长为：60π22422l ⋅⋅=．【例20】 如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边AB 、AE （AB AE <）在一条直线上，正方形AEFG以点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE 、DG ．（1）当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时，求证：BE DG =；PO DBAC图421PDBAC（2）当点C 在直线BE 上时，连接FC ，直接写出FCD ∠的度数； （3）如图3，如果45α=︒，2AB =，42AE =G 到BE 的距离．A BCD E FG图2A BC D E FG图3GFED CBA 图1【答案】（1）证明：如图2，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90BAE EAD ∠+∠=︒． ∵四边形AEFG 是正方形，∴AE AG =，90EAD DAG ∠+∠=︒． ∴BAE DAG ∠=∠．∴(SAS)ABE ADG ≅△△． ∴BE DG =．（2）解：45︒或135︒．（3）解：如图3，连接GB 、GE ． 由已知45α=︒，可知45BAE ∠=︒． 又∵GE 为正方形AEFG 的对角线， ∴45AEG ∠=︒． ∴AB GE ∥． ∵42AE = ∴8GE =，1==162BEG AEG AEFG S S S =正方形△△．过点B 作BH AE ⊥于点H ． ∵2AB =， ∴2BH AH = ∴32HE = ∴25BE =设点G 到BE 的距离为h ．∴11251622BEG S BE h h =⋅⋅=⨯=△．∴165h =． 即点G 到BE 165． 图2A BC D E FG图3GFE D CBA H【例21】 四边形ABCD 是正方形，BEF △是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =．连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG CG EC ，，． （1）如图1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及ECGC的值； （2）将图1中的BEF △绕点B 顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）将图1中的BEF △，绕点B 顺时针旋转(090)αα︒<<︒，若1BE =，2AB =，当E 、F 、D 三点共线时，求DF 的长及tan ABF ∠的值．备用图图2图1ACBDACBDEFGGFEDBCA【答案】（1）EG GC ⊥，2ECGC=； （2）倍长EG 至H ，连接GH 、OH 、CH 、CE ； 在EFG △与HDG △中， GF GD EGF HGD EG HG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EFG HDG △≌△（SAS ） ∴DH EF BE ==，FEG DHG ∠=∠． ∴//EF OH∴129034∠=∠=︒-∠=∠．∴18041801EBC HDC ∠=︒-∠=︒-∠=∠． 在EBC △与HDC △中 BE DHEBC HDC BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ EBC HDC △≌△（SAS ） ∴ CE CH =，BCE DCH ∠=∠∴90ECH DCH ECD BCE ECD BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∴ECH △为等腰Rt △ 又∵G 为EH 的中点∴EG GC ⊥，2ECGC=，故（1）中的结论仍然成立； （3）连接BD ，则1BD =， ∴1cos 2BE DBE BD ∠== ∴60DBE ∠=︒∴15ABEDBE ABD ∠=∠-∠=︒ ∴451530ABF ∠=︒-︒=︒ ∴3tan ABF ∠=； ∴33DE BE == ∴31DF DE EF =-=-【例22】 如图1，已知ABC △是等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG ． （1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是__________； （2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒， ①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若4BC DE ==，当AE 取最大值时，求AF 的值．【答案】（1）BG AE =；（2）①成立．以下给出证明： 如图，连接AD ，∵在Rt BAC △中，D 为斜边BC 中点， ∴AD BD =，AD BC ⊥， ∴90ADG GDB ∠+∠=︒． ∵四边形EFGD 为正方形， ∴DE DG =，且90GDE ∠=︒， ∴90ADG ADE ∠+∠=︒， ∴BGD ADE ∠=∠． 在BDG △和ADE △中， BD ADBDG ADE DG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BDG ADE ≅△△， ∴BG AE =．②由①可得BG AE =，当BG 取得最大值时，AE 取得最大值． 当旋转角为270︒时，BG AE =，最大值为246+=． 如图，此时22213AF AE EF =+=．【例23】 如图，在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中BACDEGFBA CDE GF点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）．且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论; MNFEDCB AHGABCD EMNF【答案】如图，延长BN BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ，交CD 于点H ．∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ∥CG ．∴ M BN DGN ∠=∠，BM N GDN ∠=∠ ∵ N 为MD 的中点， ∴ MN DN =． ∴ △BMN ≌△GDN ． ∴ MB DG =,BN GN =． ∵ BN NE =， ∴ BN NE NG ==． ∴ 90BEG ∠=o ． ∵ EH CE ⊥， ∴ 90CEH ∠=o ． ∴ BEG GEH ∠=∠． ∴ BEC GEH ∠=∠． ∵45DCF ∠=o ．∴ 45CHE HCE ∠=∠=o ． ∴ EC EH =, 135EHG ∠=o ． ∵135ECD DCB HCE ∠=∠+∠=o ， ∴ ∠ECB =∠EHG ． ∴ △ECB ≌△EHG ． ∴ EB EG =,CB HG =． ∵ BN NG =， ∴ BN ⊥NE ．∵2BM DG HG HD BC HD CD HD CH CE ==-=-=-== ∴2CE BM =． 四、共顶点旋转之相似【例24】 如图，在ABC △中，AB AC =，且30BAC ∠=︒，以AB 为腰作等腰直角三角形ABD ,以AC 为斜边作等腰直角三角形ACE ，连接CD BE 、交于点F ，求DFB ∠的度数．F EDCBA【答案】方法一：如图1，平移线段EF 使得E 点与C 点重合，连接DG BG 、、 ∴四边形CGBE 是平行四边形，BG CE AE BD AB ===，，75BAE ∠=︒，3609075GBD ABC GBC ∠=︒-︒-∠-∠=︒，DGB BEA ≌△△，90DGC DGB BGC AEB BEC ∠=∠+∠=∠+∠=︒,DG GC =，DGC △为等腰直角三角形 45DFB DCG ∠=∠=︒．方法二：如图2，利用DAC BAE △∽△相似，过程略图1GF EDCBA图2FEDCBA【例25】 在ABC △中，AC BC =，在AED △中，AD ED =，点D 、E 分别在CA 、AB 上．（1）如图①，若90ACB ADE ∠=∠=︒，则CD 与BE 的数量关系是_________；（2）若120ACB ADE ∠=∠=︒，将AED △绕点A 旋转至如图②所示的位置，则CD 与BE 的数量关系是_________；（3）若2(090)ACB ADE αα∠=∠=<<︒，将AED △绕点A 旋转至如图③所示的位置，探究线段CD 与BE 的数量关系，并加以证明（用含α的式子表示）．【答案】（1）2BE CD =．（2）3BE CD =． （3）2sin BE CD α=⋅过点C 作CH AB ⊥交AB 于H ．∵CA CB =，DA DE =，2ACB ADE α∠=∠=，∴ACB ADE ∽△△ ∴AD AE AC AB=． 又∵CAB DAE ∠=∠， ∴CAD BAE ∠=∠，∴ADC AEB ∽△△， ∴BE AB CD AC=． ∵CA CB =，AH AB ⊥， ∴AH BH =，ACH BCH α∠=∠=．∴22sin BE AB AHCD AC AC α=== ∴2sin BE CD α=⋅． 【例26】 已知：ABC △，DEF △都是等边三角形，M 是BC 与EF 的中点，连接AD ，BE ．（1）如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的数量关系和位置关系； （2）ABC △固定不动，将图1中的DEF △绕点M 顺时针旋转α（090α︒︒≤≤）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）ABC △固定不动，将图1中的DEF △绕点M 旋转α（090α︒︒≤≤）角，作DH BC ⊥于点H ．设BH x =，线段AB ，BE ，ED ，DA 所围成的图形面积为S ．当6AB =，2DE =时，求S 关于x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围．【答案】（1）3ADBE=，AD BE ⊥． （2）证明：连接DM ，AM ．在等边三角形ABC 中，M 为BC 的中点，∴AM BC ⊥，1302BAM BAC ∠=∠=︒，3AMBM=． ∴90BME EMA ∠+∠=︒．同理，3DMEM =，90AMD EMA ∠+∠=︒． ∴AM DMBM EM =，AMD BME ∠=∠． ∴ADM BEM ∽△△． ∴3AD DMBE EM==．延长BE 交AM 于点G ，交AD 于点K ． ∴MAD MBE ∠=∠，BGM AGK ∠=∠． ∴90GKA AMB ∠=∠=︒． ∴AD BE ⊥．（3）解：（ⅰ）当DEF △绕点M 顺时针旋转α（090α︒︒≤≤）角时， ∵ADM BEM ∽△△， ∴2()3ADM BEM S AD S BE==△△． ∴13BEM ADM S S =△△∴ABM ADM BEM DEM S S S S S =+--△△△△ 23ABM ADM DEM S S S =+-△△△121133333(3)132322x =⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯ 33x =+．∴33S x =+ （333x +≤≤）．（ⅱ）当DEF △绕点M 逆时针旋转α（090α︒︒≤≤）角时，可证ADM BEM ∽△△， ∴21()3BEM ADM S BM S AM ==△△． ∴13BEM ADM S S =△△．∴ABM BEM ADM DEM S S S S S =+--△△△△ 23ABM ADM DEM S S S =--△△△9213333(3)232x =-⨯⨯-+33x =+．∴33S x =+（333x -≤≤）．综上，33S x =+（3333x -+≤≤）．【例27】 已知：如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM ，DN 分别平分正方形的两个外角，且满足45MAN ∠=︒，连结MC ，NC ，MN ．（1）填空：与ABM △相似的三角形是△__________，BM DN ⋅=__________；（用含a 的代数式表示）（2）求MCN ∠的度数；（3）猜想线段BM ，DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论．【答案】解：（1）与ABM △相似的三角形是NDA △，2BM DN a ⋅=；（2）由（1）ABM NDA ∽△△可得BM ABDA ND=．（如图9）． ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB DC =，DA BC =，90ABC BCD ADC BAD ∠=∠=∠=∠=︒．∴BM DCBC ND=． ∵BM ，DN 分别平分正方形ABCD 的两个外角， ∴45CBM NDC ∠=∠=︒．∴BCM DNC ∽△△． ∴BCM DNC ∠=∠．360270()270(180)135MCN BCD BCM DCN DNC DCN CDN ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒．（3）线段BM ，DN 和MN 之间的等量关系是222BM DN MN +=．（只猜想答案不证明不给分） 证法一：如图9，将AND △绕点A 顺时针旋转90︒得到ABF △，连接MF ．则ABF ADN ≅△△． ∴13∠=∠，AF AN =，BF DN =，AFB AND ∠=∠． ∴122345MAF BAD MAN ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒． ∴MAF MAN ∠=∠． 又∵AM AM =，∴AMF AMN ≅△△．∴MF MN =．可得(1)45(3)4590MBF AFB AND ∠=∠+∠+︒=∠+∠+︒=︒． ∴在Rt BMF △ F 中，222BM BF FM +=． ∴ 222BM DN MN +=．证法二：连接BD ，作M E BD ∥，与DN 交于点E ．（如图10）．可知45BDC ∠=︒，90BDN ∠=︒． ∵M E BD ∥，∴18090MEN BDN ∠=︒-∠=︒． ∵90DBM DBC CBM ∠=∠+∠=︒， ∴四边形BDEM 是矩形． ∴ME BD =，BM DE =． 在Rt MEN △R 中，90MEN ∠=︒，∴222222222()(2)()2()MN ME EN BD DN DE a DN BM a DN BM =+=+-=+-=+- 2222()BM DN DN BM BM DN =⋅+-=+．NMDCBANMEFDCBA321五、费马点与最值【例28】 如图，P 是等边ABC ∆中的一个点，2,23,4PA PB PC ===，则ABC ∆的边长是________．PCBA【答案】如图，将BAP ∆绕B 点逆时针旋转60o，则BA 与BC 重合，BP 移到BM 处，PA 移到MC 处， ∴,,60BM BP MC PA PBM ==∠=o ． ∴BPM ∆是等边三角形，23PM PB ==． 在MCP ∆中，4,2,23PC MC PA PM ====， ∴222PC PM MC =+，且2PC MC =．∴MCP ∆是直角三角形，且90,30CMP CPM ∠=∠=o o ． 又∵PBM ∆是等边三角形，60BPM ∠=o ， ∴90,BPC BPC ∠=∆o 是直角三角形． ∴(2222223428BC BP PC =+=+=，解得27BC =【例29】 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 是ABC ∆内的一点，且123PB PC PA ===，，，求BPC ∠的度数．MPCBAPBAC【答案】如图，将APC ∆绕点C 旋转，使CA 与CB 重合，即APC BEC ∆∆≌．∴PCE ∆为等腰Rt ∆， ∴45CPE ∠=︒，2228PE PC CE =+=．又∵2219PB BE ==，，∴222PE PB BE += 则90BPE ∠=︒．∴135BPC ∠=︒．【例30】 如图点P 是正方形ABCD 内部一点，1PA =2PB =3PC =，则APB ∠=_________ABCDP【答案】135︒【解析】将APB ∆绕点B 顺时针旋转90︒，证明 BPQ ∆为等腰直角，PQC ∆为直角三角形，则135BQC BPA ∠=∠=︒【例31】 如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到矩形'''AB C D ，如果22CD DA ==，那么'CC =_________．D'C'B'D CB A【答案】由旋转的概念知'AC AC =，由22CD DA ==知5AC =，EPCBAQABC DP所以勾股定理得'5CC =【例32】 如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接AM 、CM 、EN ．（1）求证：AMB ENB ∆∆≌（2）①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由；（3）当AM BM CM ++31时，求正方形的边长．【答案】（1）略（2）①当M 点落在BD 的中点时，AM CM +的值最小②如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM ++的值最小 理由如下：连接MN ．由（1）知，AMB ENB ∆∆≌ ∴AM EN =∵60MBN ∠=︒，MB NB =，∴BMN ∆是等边三角形 ∴BM MN =∴AM BM CM EN MN CM ++=++根据“两点之间线段最短”，得EN MN CM EC ++=最短∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时AM BM CM ++的值最小，即等于EC 的长 （3）过E 点作EF BC ⊥交CB 的延长线于F ∴906030EBF ∠=︒-︒=︒ 设正方形的边长为x ，则3BF =，2xEF =，在Rt EFC ∆中，∵222EF FC EC += ∴2223()()(31)2x x ++=解得，2x =舍去负值）∴正方形的边长为2【例33】 阅读下列材料对于任意的ABC ∆，若三角形内或三角形上有一点P ，若PA PB PC ++有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点．①若三角形内有一个内角大于或等于120︒，这个内角的顶点就是费马点②若三角形内角均小于120︒，则满足条件120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒时，点P 既为费马点 解决问题：（1）如图，ABC ∆中，三个内角均小于120︒，分别以AB 、AC 为边向外作等边ABD ∆、ACE ∆，DABCN ME。