高中数学人教A版必修四课时训练：2.5平面向量应用举例2.5.1Word版含答案

§2.5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法课时目标 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a ∥b (b ≠0)⇔________⇔______________________. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔____________⇔______________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝______________＝___________________. (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a |＝_______ 2．直线的方向向量和法向量(1)直线y ＝kx ＋b 的方向向量为________，法向量为________．(2)直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为________，法向量为________．一、选择题1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( )A ．2 5 B.52 5 C ．3 5 D.7252．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点3．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．150°4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC→＝λCE →，其中λ等于( )A ．2 B.12 C ．－3 D ．－136．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰(非等边)三角形D ．等边三角形题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为__________________．8．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5.则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________________.9．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状一定是__________．10．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC→|＝2，则OC →＝__________________.三、解答题11．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的平分线的方程．12．P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：P A ＝EF 且P A ⊥EF .能力提升13．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB→＝PB ·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( ) A ．重心、外心、垂心 B ．重心、外心、内心 C ．外心、重心、垂心 D ．外心、重心、内心 14．求证：△ABC 的三条高线交于一点．1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用． ①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．§2.5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法答案知识梳理1．(1)a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0(3)a·b|a||b |x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(4)x 2＋y 22．(1)(1，k ) (k ，－1) (2)(B ，－A ) (A ，B ) 作业设计1．B [BC 中点为D ⎝⎛⎭⎫32，6，AD →＝⎝⎛⎭⎫－52，5， ∴|AD →|＝525.]2．D [∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝0. ∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为垂心．]3．B [设l 1、l 2的方向向量为v 1，v 2，则 v 1＝(4，－3)，v 2＝(1，－7)，∴|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝255×52＝22. ∴l 1与l 2的夹角为45°.]4．B [∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．] 5．C[如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33，∴|BC ||CE |＝3，∴BC →＝－3CE →.] 6．D [由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得角A 的平分线垂直于BC .∴AB ＝AC . 而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°.故△ABC 为正三角形，选D.] 7．2解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →，∴MO →＝AO →－AM →＝(m 2－1)AM →＋n 2AN →.又∵MN →＝AN →－AM →，MN →∥MO →，∴存在实数λ，使得MO →＝λMN →，即⎩⎨⎧m2－1＝－λ，n2＝λ，化简得m ＋n ＝2. 8．－25解析 △ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝⎛⎭⎫－45＝－16， CA →·AB →＝5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝－9. ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 9．等腰三角形解析 ∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2 ＝|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形．10.⎝⎛⎭⎫－105，3105 解析已知A (0,1)，B (－3,4)， 设E (0,5)，D (－3,9)， ∴四边形OBDE 为菱形．∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD .设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310，∴OC →＝2310OD →.∴(x 1，y 1)＝2310×(－3,9)＝⎝⎛⎭⎫－105，3105，即OC →＝⎝⎛⎭⎫－105，3105.11．解 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为： AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝⎛⎭⎫35，45＋⎝⎛⎭⎫－45，35＝⎝⎛⎭⎫－15，75. ∵∠A 的平分线过点A .∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0.整理得：7x ＋y －29＝0.12．证明 以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，|DP →|＝λ，则A (0,1)，P ⎝⎛⎭⎫2λ2，2λ2，E ⎝⎛⎭⎫1，22λ，F ⎝⎛⎭⎫22λ，0， 于是P A →＝⎝⎛⎭⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝⎛⎭⎫22λ－1，－22λ.∴|P A →|＝⎝⎛⎭⎫22λ－12＋⎝⎛⎭⎫－22λ2＝λ2－2λ＋1， 同理|EF →|＝λ2－2λ＋1， ∴|P A →|＝|EF →|，∴P A ＝EF .∴P A →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－22λ⎝⎛⎭⎫2λ2－1＋⎝⎛⎭⎫1－22λ⎝⎛⎭⎫－22λ＝0，∴P A →⊥EF →.∴P A ⊥EF . 13．C[如图，∵NA →＋NB →＋NC →＝0， ∴NB →＋NC →＝－NA →.依向量加法的平行四边形法则，知|N A →|＝2|ND →|，故点N 为△ABC 的重心． ∵P A →·PB →＝PB →·PC →， ∴(P A →－PC →)·PB →＝CA →·PB →＝0.同理AB →·PC →＝0，BC →·P A →＝0， ∴点P 为△ABC 的垂心． 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，知点O 为△ABC 的外心．] 14．证明如图所示，已知AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高． 设BE ，CF 交于H 点， 令AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ， 则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ，BC →＝c －b . ∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →， ∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0， 即(h －b )·c ＝(h －c )·b整理得h·(c －b )＝0，∴AH →·BC →＝0∴AH ⊥BC ，∴AH →与AD →共线． AD 、BE 、CF 相交于一点H .小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

典题精讲例1如图2-5-1,ABCD 是正方形,BE ∥AC,AC=CE,EC 的延长线交BA 的延长线于点F,求证：AF=AE.图2-5-1思路分析：建立适当的坐标系,根据坐标运算求出、的坐标,进而证明AF=AE. 证明：如图2-5-2,建立直角坐标系,设正方形边长为1,则A(-1,1),B(0,1).设E(x,y),则BE=(x,y-1）.AC =(1,-1).∵AC ∥BE,图2-5-2∴x·(-1)-1·(y-1)=0.∴x+y-1=0. 又∵|CE |=|AC |,∴x 2+y 2-2=0.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⇒⎩⎨⎧=-+=-+.231,231,01,0222y x y x y x （y=231+舍） 即E(231+,231-). 设F(m,1)，由=(m,1)和CE =(231+,231-)共线,得231-m-231+=0. 解得m=-2-3.∴F(-2-3,1), =(-1-3,0), =(231,233+-+). ∴||=31)231()233(22+=--++=||.∴AF=AE. 绿色通道：把几何问题放入适当的坐标系中就赋予了有关点及向量的坐标,从而进行相关运算,使问题得到解决.变式训练已知△ABC 中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M 、N 分别是AB 、AC 的中点,D 是BC 的中点,MN 与AD 交于F,求DF .思路分析：由已知条件可求出、的坐标,然后再由中点坐标公式进一步求出,进而再求出DF .解：∵A(7,8),B(3,5),C(4,3)，∴=(3-7,5-8)=(-4,-3),=(4-7,3-8)=(-3,-5). 又∵D 是BC 的中点,∴=21(+)=(-3.5,-4).又M 、N 分别是、的中点,∴F 为的中点.∴=-21=(1.75,2). 例2一条河的两岸平行，河的宽度为d=500 m ，如图2-5-3所示，一艘船从A 处出发航行到河的正对岸B 处，船的航行速度为|v 1|=10 km/h ，水流速度为|v 2|=4 km/h.图2-5-3(1)试求v 1与v 2的夹角(精确到1°),及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min); (2)要使船到达对岸所用时间最少,v 1与v 2的夹角应为多少?思路解析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直.原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与河水的流速的合速度.解：(1)依题意,要使船到达对岸,就要使v 1与v 2的合速度的方向正好垂直于对岸,所以|v |=161002221-=-v v ≈9.2 km/h, v 1与v 的夹角α满足sinα=||||1v v =0.92,又α为钝角,故v 1与v 2的夹角θ=114°；船垂直到达对岸所用的时间t=2.91000500⨯×60=3.3(min).（2）设v 1与v 2的夹角为θ（如图2-5-4），图2-5-4v 1与v 2在竖直方向上的分速度的和为|v 1|·sinθ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d=0.5 km ，从而所用的时间为t=θsin 105.0，显然，当θ=90°时，t 最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，t=105.0=0.05 h=3 min. 绿色通道：解决此类问题的关键在于明确“水速+船速=船的实际速度”，注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向.结合向量应用的具体问题在理解向量知识和应用两方面下功夫.将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象.变式训练如图2-5-5，一物体受到两个大小均为60 N 的力的作用，两力夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向.图2-5-5解：设、分别表示两力，以OA 、OB 为邻边作OACB ，则就是合力.据题意，△OAC 为等腰三角形且∠COA=30°，过A 作AD ⊥OC 垂足为D ，则在Rt △OAD 中，｜OD ｜=｜｜·cos30°=60×23=303,故｜｜=2｜｜=603. 故合力的大小为603 N ，方向与水平方向成30°角.例3(2006四川高考卷，理7)如图2-5-6，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是（ ）A.3121P P P P ∙B.4121P P P P ∙C.5121P P P P ∙ D.6121P P P P ∙图2-5-6思路解析：设边长|21P P |=a ，则∠P 2P 1P 3=6π.|31P P |=3a ,3121P P P P ∙=a ·3a ·23=232a ，∠P 2P 1P 4=3π,|41P P |=2a ,4121P P P P ∙=a ·2a ·21=a 2,5121P P P P ∙=0,6121P P P P ∙＜0,∴数量积中最大的是3121P P P P ∙.答案：A黑色陷阱：本题易因找错向量的夹角或数量积公式用错而出现错误.平面向量的数量积作为平面向量的一个重要内容，由于涉及运算及能够同不等式相联系，因此是一个出题热点.预计此考点仍将是今后高考命题的热点.变式训练如图2-5-7,设四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形,P 是⊙O 上的任一点, 求证：|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2与P 点的位置无关.图2-5-7思路分析：根据向量的三角形法则表示出、、、,从而判断出|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2为定值. 证明：设圆的半径为r.∵=-,=-,=-,=-. 则||2=(-)2=2OA -2·+2OP =2r 2-2·, |PB |2=2r 2-2OB ·OP ,|PC |2=2r 2-2OC ·OP ,|PD |2=2r 2-2OD ·OP ,∴||2+||2+||2+||2=8r 2-2(+++)·=8r 2-2·0·=8r 2(定值). ∴||2+||2+||2+||2与P 点的位置无关.问题探究问题1一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳膊受伤,试一试你能用向量知识加以解释吗？导思：这是日常生活中司空见惯的事情，解决这个题目的关键是首先建立数学模型，然后根据数学知识来解决.针对小孩的两条胳膊画出受力图形,然后通过胳膊受力分析,建立数学模型： |F 1|=2cos2||θG ,θ∈［0,π］，来确定何种情景时,小孩的胳膊容易受伤.探究：设小孩的体重为G ,两胳膊受力分别为F 1、F 2,且F 1=F 2,两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如图2-5-8(不记其他因素产生的力),不难建立向量模型：|F 1|=2cos2||θG ,θ∈［0,π］,当θ=0时，|F 1|=2||G ；当θ=32π时, |F 1|=|G|；又2θ∈(0,2π)时,|F 1|单调递增,故当θ∈(0,32π)时,F 1∈(2||G ,|G |),当θ∈(32π,π)时,|F 1|＞|G |.此时,悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.图2-5-8问题2已知一只蚂蚁在地面上的一个三角形区域ABC 内爬行，试探究当蚂蚁爬到这个三角形区域的什么位置时，它到这个三角形的三个顶点间的距离的平方和最小？导思：像这个具体问题要采用其他的办法可能是比较困难的.这样的问题在考虑利用向量的知识来求解时，需要注意考虑如何恰当地将相关向量转化为密切相关的一些向量间的关系，从而将问题解决.探究：本题是一个应用问题，首先应考虑将题目翻译为数学问题：在△ABC 内求一点P ，使得=++222CP BP AP 最小.设=a ,=b ,=t ，则AB AP BP -==t -a ,AC AP CP -==t -b ,=++222CP BP AP t 2+(t -a )2+(t -b )2=3t 2-2t ·(a +b )+a 2+b 2 =3323+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b a t a 2+b 2-32a ·b ， 所以当AP =t=3ba +，即P 为△ABC 的重心时，AP 2+BP 2+CP 2=最小.。

姓名，年级：时间：2．5 平面向量应用举例2．5。

1 平面几何中的向量方法2．5.2 向量在物理中的应用举例［教材研读］预习课本P109～112，思考以下问题1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？2．如何用向量方法解决物理问题?[要点梳理］1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2）通过向量运算,研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．向量在物理中的应用(1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．(2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．(3)动量m v是向量的数乘运算．(4）功是力F与位移s的数量积．［自我诊断]判断（正确的打“√”，错误的打“×”)1．若△ABC是直角三角形，则有错误!·错误!＝0。

( )2．力是既有大小，又有方向的量,所以也是向量．( )3．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算．( )[答案］1。

× 2.√ 3.√错误!如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点,求证:AF ⊥DE.［思路导引] 可以选取错误!,错误!为基底表示出错误!，错误!，将二者进行数量积运算；也可以设出正方形边长，以两条邻边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，求出AF →,错误!的坐标，进行数量积的坐标运算．[证明] 证法一：设错误!＝a ，错误!＝b ,则｜a ｜＝｜b |,a ·b ＝0，又错误!＝错误!＋错误!＝－a ＋错误!，错误!＝错误!＋错误!＝b ＋错误!，所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝－错误!a 2－错误!a ·b ＋错误!＝－错误!|a |2＋错误!|b ｜2＝0。

故错误!⊥错误!,即AF ⊥DE 。

证法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为2,则A （0,0），D (0,2)，E （1,0）,F (2,1），错误!＝(2,1），错误!＝（1,－2)．因为错误!·错误!＝（2,1)·(1,－2）＝2－2＝0，所以错误!⊥错误!，即AF ⊥DE 。

课后训练1．若向量1OF ＝(3,3)，2OF ＝(－3,2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|＝( )A ．5B ．25C ．22D ．52．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为0°时，合力大小为202N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．102NC ．202ND ．103N3．已知作用在点A (1,1)的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是( )A ．(8,0)B ．(9,1)C ．(－1,9)D ．(3,1)4．已知非零向量a ，b 满足a ⊥b ，则函数f (x )＝(a x ＋b )2是( )A ．既是奇函数又是偶函数B ．非奇非偶函数C ．奇函数D ．偶函数5．设O 为△ABC 内部的一点，且OA ＋2OB ＋3OC ＝0，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为( )A ．32B ．53C ．2D ．3 6．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足(BO ＋OC )·(OC －OA )＝0，则△ABC 一定是________三角形．7．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA ·OB ＝__________．8．飞机以300 km/h 的速度向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度是__________km/h ．9．如图所示，已知四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线．求证：AC ⊥BD ．F．求证：AF＝AE．参考答案1答案：D解析：|F1＋F2|＝|(3,3)＋(－3,2)|＝|(0,5)|＝5．2答案：B3答案：B解析：由已知可得F＝(8,0)，设终点坐标为(x，y)，则(x－1，y－1)＝(8,0)，∴18,10,xy-=⎧⎨-=⎩∴9,1.xy=⎧⎨=⎩∴终点坐标为(9,1)．4答案：D解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，∴f(x)＝(a x＋b)2＝|a|2x2＋|b|2，∴f(x)为偶函数．5答案：C解析：设AC的中点为D，BC的中点为E，则(OA＋OC)＋(2OB＋2OC)＝2OD＋4OE＝0，∴OD＝－2OE，即O，D，E三点共线．∴S△OCD＝2S△OCE，∴S△AOC＝2S△BOC．6答案：直角解析：由已知得BC·AC＝0，即BC⊥AC，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．7答案：12-解析：如图，∵AB=3，取D为AB的中点，又OA=1，∴∠AOD=π3．∴∠AOB=2π3．∴OA·OB=1×1×2πcos3=12-．8答案：1503解析：由速度的分解可知水平方向的分速度为300×cos 30°＝1503km/h．9答案：证明：方法一：因为AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，所以AC·BD＝(AB＋AD)·(AD－AB)＝|AD|2－|AB|2＝0，所以AC⊥BD，即AC⊥BD．方法二：如图，以B为原点，以BC所在直线为x轴，建立直角坐标系．设B(0,0)，A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|，得a2＋b2＝c2．因为AC＝BC－BA＝(c,0)－(a，b)＝(c－a，－b)，BD＝BA＋BC＝(a，b)＋(c,0)＝(c＋a，b)，所以AC·BD＝c2－a2－b2＝0，所以AC⊥BD，即AC⊥BD．20答案：证明：如图所示．建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A (－1,1)，B (0,1)，设E (x ，y )，则BE ＝(x ，y －1)，AC ＝(1，－1)．又AC ∥BE ，∴x ·(－1)－1×(y －1)＝0，∴x ＋y －1＝0．又|CE |＝|AC |，∴x 2＋y 2－2＝0． 由2220,10,x y x y ⎧+--⎨+-=⎩ 得13,2132x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或13,2132x y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩(舍去)．即E 1313,22⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭．又设F (x ′，1)，由CF ＝(x ′，1)和CE ＝1313,22⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭共线得1313'022x -+-=，解得x ′＝23--，∴F (23--，1)，∴AF ＝(13--，0)，AE ＝3313,22⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭，∴|AE |＝22331322⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1+3＝|AF |，∴AF ＝AE ．。

2.5 平面向量应用举例班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课后练习·练习案♒♒♒♒♒♒♒基础过关1．已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为A. B.5N C.10N D.2．一个人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为A.v1-v2B.v1+v2C.|v1|-|v2|D.3．(2012·安徽省合肥一中质检)过△ABC内部一点M任作一条直线EF,AD⊥EF于D,BE ⊥EF于E,CF⊥EF于F,都有++=0,则点M是△ABC的()A.三条高的交点B.三条中线的交点C.三边中垂线的交点D.三个内角平分线的交点4．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图，已知灯具的重力为10N，则每根绳子的拉力大小是____.5．如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.6．在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,且||=||=1,+=+=0,cos∠DAB=.求|+|与|+|的值.7．某人骑车以速度a向正东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速的大小和方向.8．(2012·湖南省衡阳一中模考)如图,在△ABC中,·=0, ||=8,||=6,l为线段BC 的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.(1)求·的值;(2)判断·的值是否为一个常数,并说明理由.能力提升1．根据指令(r,θ)(r≥0,−180°<θ≤180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ(按逆时针方向旋转θ为正，按顺时针方向旋转θ为负)，再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4).(2)机器人在完成(1)中指令后，发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动.已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令取.2．如图，已知扇形OAB的周长2+，面积为，并且.(1)求的大小；(2)如图所示，当点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中、，求的最大值与最小值的和；(3)若点C、D在以O为圆心的圆上，且.问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值.2.5 平面向量应用举例详细答案【基础过关】1．A2．C3．B【解析】本题主要考查向量的几何意义.根据特殊位置法,可以判断,当直线EF经过C点时,++=0即为+=0,于是||=||,EF即为AB边上的中线,同理,当EF经过A点时,EF是BC边上的中线,因此,点M是△ABC的三条中线的交点,故选B.4．10N5．设=a,=b,=e,=c,=d,则a=e+c,b=e+d,所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.由已知可得a2-b2=c2-d2,所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,所以e·(c-d)=0.因为=+=d-c,所以·=e·(d-c)=0,所以⊥,即AD⊥BC.6．如图,在四边形ABCD中,∵+=+=0,∴=,=.∴四边形ABCD为平行四边形.又||=||=1,∴四边形ABCD为菱形.∵cos∠DAB=,∠DAB∈(0,π),∴∠DAB=,∴△ABD为正三角形.∴|+|=|+|=||=2||=.|+|=||=||=1.【解析】本题主要利用向量的几何意义,求解平面几何和三角形的问题.解决此类问题,首先要注意向量与几何的内在联系,并利用向量的线性运算、相等向量、共线向量等概念求解.7．设实际风速为v,由题意可知,此人以速度a向正东行驶时,感到的风速为v-a,当速度为2a时感到的风速为v-2a.桑水如图所示,设 =-a, =-2a, =v,∵ + = ,∴ =v-a,这就是速度为a 时感到的由正北方向吹来的风速, ∵ + = ,∴=v-2a,这就是速度为2a 时感到的由东北方向吹来的风速, 由题意知∠PBO=45°, PA ⊥BO,BA=AO, ∴△POB 为等腰直角三角形,∴∠APO=45°,| | =|| = |a|,即|v|= |a|. ∴实际风速的大小是 |a|,为西北风.8．(1)以点D 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,l 所在直线为y 轴建立直角坐标系,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A( ,),此时 =(- ,-), =(-10,0), 所以 ·=-×(-10)+(-)×0=14. (2)设点E 的坐标为(0,y)(y≠0),此时=(-,y-), 所以 · =-×(-10)+(y-)×0=14为常数,故 ·的值是一个常数. 【解析】本题考查向量在几何中的应用,采用了向量的坐标表示.解题的关键是建立适当的直角坐标系,写出相应点的坐标,代入数量积公式.求平面向量数量积的步骤:首先求a 与b 的夹角θ,θ∈[0°,180°],再分别求|a|,|b|,然后再求数量积,即a·b=|a||b|cos θ.若知道向量的坐标a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a·b=x 1x 2+y 1y 2. 【能力提升】1．解：(1)如图，设点()4,4A ，所以42OA =，因为OA 与x 轴正方向的夹角为45，所以42,45r θ==，故指令为()42,45(2)设()17,0B ，机器人最快在点(),0P x 处截住小球， 由题意2PB AP =，得()()22172404x x -=-+-，整理得2321610x x +-=， 即()()73230x x -+=，所以7x =或233x =-(舍)， 即机器人最快可在点()7,0P 处截住小球.设OA 与AP 的夹角为θ，因为()()5,4,4,3,4AP OA AP ===-.桑水2cos cos818710OA AP OA APθ⋅==-=-⋅，所以18081.8798.13θ=-=又5AP =，OA 旋转到AP 是顺时针旋转，所以指令为()5,98.13-. 2．(1)设扇形半径为 ，圆心角由得或又当,时，不成立； 当 ,时，成立， 所以(2)如图所示，建立直角坐标系，则A (1，0)，B，C .由得，. 即. 则又，则，故.(3)由题可知，当且即时【解析】本试题主要考查三角函数与平面向量的综合运用.建立适当的坐标系，将几何问题转化为代数问题，运用向量的数量积的坐标来求解运算.。

2.5 平面向量应用举例一、教学分析1.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.2.研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括:综合方法——不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论;解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;向量方法——以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;分析方法——以微积分为工具,对几何元素及其关系进行讨论,等等.前三种方法都是中学数学中出现的内容.有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.二、教学目标1．知识与技能：通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2．过程与方法：明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.3．情感态度与价值观：通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.三、重点难点教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.四、教学设想（一）导入新课思路 1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用.（二）推进新课、新知探究、提出问题图1①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法?③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动:①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.②教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法.图2证明:方法一:如图2.作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.∴AD=BC,AF=BE.由于ACAE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).图3方法二:如图3.以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)= 2(|AB|2+|AD|2).用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对角线平行且相等,考虑到向量关系DB =AB -AD ,=AB +AD ,教师可点拨学生设AB =a ,AD =b ,其他线段对应向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算||2与|DB |2.因此有了方法三.方法三:设AB =a ,AD =b ,则=a +b ,DB =a -b ,|AB |2=|a |2,|AD |2=|b |2.∴|AC |2=AC ·AC =(a +b )·(a +b )=a ·a +a ·b +b ·a +b ·b =|a |2+2a ·b +|b |2.① 同理||2=|a |2-2a ·b +|b |2.② 观察①②两式的特点,我们发现,①+②得||2+|DB |2=2(|a |2+|b |2)=2(|AB |2+|AD |2),即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.③至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 讨论结果:①能.②能想出至少三种证明方法. ③略.（三）应用示例图4例1 如图4,ABCD 中,点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点,BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点,你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗?活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR 、RT 、TC 之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量AR 、RT 、TC 的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察发现,AR=RT=TC 这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R 、T 是对角线AC 上的两点,要判断AR 、RT 、TC 之间的关系,只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可.又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线,所以只需判断、、AT 、与之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.解:如图4,设AB =a ,AD =b ,AR =r ,AT =t ,则=a +b . 由于AR 与共线,所以我们设r =n(a +b ),n ∈R . 又因为=-=a -21b , 与共线,所以我们设=m =m(a -21b ). 因为ER AE AR +=,所以r =21b +m(a -21b ). 因此n(a +b )=21b +m(a -b ),即(n-m)a +(n+21-m )b =0.由于向量a 、b 不共线,要使上式为0,必须⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-.021,0m n m n 解得n=m=31. 所以AR =31,同理TC =31AC .于是=31AC .所以AR=RT=TC.点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤. 变式训练图5如图5,AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高.求证:AD 、BE 、CF 相交于一点. 证明:设BE 、CF 相交于H,并设AB =b ,=c ,AH =h , 则=h -b ,CH =h -c ,BC =c -b .因为⊥AC ,CH ⊥, 所以(h -b )·c =0,(h -c )·b =0, 即(h -b )·c =(h -c )·b . 化简得h ·(c -b )=0. 所以⊥BC .所以AH 与AD 共线,即AD 、BE 、CF 相交于一点H.图6例2 如图6,已知在等腰△ABC 中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A 的余弦值. 活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标,然后让学生独立完成.解:建立如图6所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),=(0,a),BA =(c,a),=(c,0),=(2c,0).因为BB′、CC′都是中线,所以'BB =21(+)=21［(2c,0)+(c,a)］=(2,23a c ), 同理'CC =(2,23ac ).因为BB′⊥CC′,所以22449a c +-=0,a 2=9c 2.所以54299||||2222222=+-=+-=c c c c ca c a AC AB . 点评:比较是最好的学习方法.本例利用的方法与例题1有所不同,但其本质是一致的,教学中引导学生仔细体会这一点,比较两例的异同,找出其内在的联系,以达融会贯通,灵活运用之功效.变式训练图7(2004湖北高考) 如图7,在Rt △ABC 中,已知BC=a.若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问:与的夹角θ取何值时,∙的值最大?并求出这个最大值. 解:方法一,如图7.∵AB ⊥,∴AB ·=0.∵-=-=-=,,, ∴)()(-∙-=∙ =AC AB AQ AB AC AP AQ AP ∙+∙-∙-∙ =-a 2-+·=-a 2+·(-) =-a 2+21PQ ·=-a 2+a 2cosθ. 故当cosθ=1,即θ=0,与的方向相同时,∙最大,其最大值为0.图8方法二:如图8.以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y).∴=(x-c,y),CQ=(-x,-y-b),BC=(-c,b),PQ=(-2x,-2y).∴∙=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.∵2a bycx-=∴cx-by=a2cosθ.∴CQBP∙=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0,PQ与BC的方向相同时, CQBP∙最大,其最大值为0.（四）知能训练图91.如图9,已知AC为⊙O的一条直径,∠ABC是圆周角.求证:∠ABC=90°.证明:如图9.设=a,=b,则=a+b,=a,=a-b,|a|=|b|.因为AB·=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以AB⊥.由此,得∠ABC=90°.点评:充分利用圆的特性,设出向量.2.D、E、F分别是△ABC的三条边AB、BC、CA上的动点,且它们在初始时刻分别从A、B、C 出发,各以一定速度沿各边向B、C、A移动.当t=1时,分别到达B、C、A.求证:在0≤t≤1的任一时刻t1,△DEF的重心不变.图10证明:如图10.建立如图所示的平面直角坐标系,设A 、B 、C 坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n).在任一时刻t 1∈(0,1),因速度一定,其距离之比等于时间之比,有111||||||||||||t t FA CF EC BE DB AD -====λ,由定比分点的坐标公式可得D 、E 、F 的坐标分别为(at 1,0),(a+(m-a)t 1,nt 1),(m-mt 1,n-nt 1).由重心坐标公式可得△DEF 的重心坐标为(3,3mm a +).当t=0或t=1时,△ABC 的重心也为(3,3mm a +),故对任一t 1∈[0,1],△DEF 的重心不变. 点评:主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系,只要证△ABC 的重心和时刻t 1的△DEF 的重心相同即可.（五）课堂小结1.由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些:平行四边形向量加、减法的几何模型,用向量方法解决平面几何问题的步骤,即“三步曲”.特别是这“三步曲”,要提醒学生理解领悟它的实质,达到熟练掌握的程度.2.本节都学习了哪些数学方法:向量法,向量法与几何法、解析法的比较,将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点.（六）作业。

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课时提升作业(二十四)平面向量应用举例(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·绵阳高一检测)速度|v1|=10m/s，|v2|=12m/s，且v1与v2的夹角为60°，则合速度的大小是( )A.2m/sB.10m/sC.12m/sD.2m/s【解析】选D.|v|2=|v1+v2|2=|v1|2+2v1·v2+|v2|2=100+2×10×12cos60°+144=364.所以|v|=2m/s.2.已知点A(-2，0)，B(0，0)，动点P(x，y)满足·=x2，则点P的轨迹方程是( )A.x2+y2=1B.x2-y2=1C.y2=2xD.y2=-2x【解析】选D.=(-2-x，-y)，=(-x，-y)则·=(-2-x)(-x)+y2=x2，所以y2=-2x.3.(2015·孝感高一检测)点O是△ABC所在平面内的一点，满足·=·=·，则点O是△ABC的( )A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线的交点【解析】选D.由·=·，得·-·=0，所以·(-)=0，即·=0.所以⊥.同理可证⊥，⊥.所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的三条高线的交点.4.(2015·抚顺高一检测)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )A.6B.2C.2D.2【解析】选D.因为力F是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1，F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|·cos60°=4+16+8=28，所以|F3|=2.5.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且++=0，则△ABC的内角A等于( ) A.30°B.60° C.90°D.120°【解题指南】先将++=0变形为+=，判断点O，A，B，C的位置关系，然后由点O为△ABC外接圆的圆心判断四边形OACB的形状.【解析】选A.由++=0得+=，所以四边形OACB为平行四边形，如图.由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，所以∠CAO=60°，所以△ABC的内角A等于30°.二、填空题(每小题5分，共15分)6.若菱形ABCD的边长为2，则|-+|=________.【解析】|-+|=|++|=|+|=||=2.答案：27.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是________.【解析】因为绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力都是10N.答案：10N8.(2015·大庆高一检测)向量，在正方形网格中的位置如图所示.设向量a=-λ，若a⊥，则实数λ=________.【解析】以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，2)，a=-λ=(3，2)-λ(2，0)=(3-2λ，2)，=(2，0)，因为a⊥，所以a·=2(3-2λ)+0=0，λ=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知△ABC是直角三角形，CA=CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB.求证：AD⊥CE.【证明】以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.设AC=a，则A(a，0)，B(0，a)，D，C(0，0)，E.因为=，=.所以·=-a·a+·a=0，所以⊥，即AD⊥CE.10.如图所示，已知在▱ABCD中，AB=3，AD=1，∠DAB=，求对角线AC和BD的长.【解析】设=a，=b，a与b的夹角为θ，则|a|=3，|b|=1，θ=.所以a·b=|a||b|cosθ=.又因为=a+b，=a-b，所以||==||==所以AC的长为，DB的长为.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.若M为△ABC所在平面内一点，且满足(-)·(+-2)=0，则△ABC 为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.由(-)·(+-2)=0，可知·(+)=0，设BC的中点为D，则+=2，故·=0，所以⊥.又D为BC中点，故△ABC为等腰三角形.【补偿训练】△ABC的三个内角满足2B=A+C，且(+)·=0，则△ABC一定是( )A.等腰直角三角形B.非等腰直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形【解析】选C.由(+)·=0可知△ABC中BC边的中线又是BC边的高，故△ABC为等腰三角形，又2B=A+C，故B=，则△ABC为等边三角形.2.一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东30°，|F2| =4N，方向为北偏东60°，|F3| =6N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )A.24 JB.24JC.24JD.24J【解题指南】解答本题的关键是根据任意角三角函数的定义求出三个力对应向量的坐标.【解析】选D.如图，建立直角坐标系，则F1=(1，)，F2=(2，2)，F3=(-3，3)，则F= F1+ F2+ F3=(2-2，2+4).又位移s=(4，4)，故合力F所做的功为W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=4×6=24(J).二、填空题(每小题5分，共10分)3.在三角形ABC中，AP为BC边上的中线，||=3，·=-2，则||=__________.【解题指南】解答本题要注意+=2，+=，=||2的应用.【解析】因为AP为BC边上的中线，所以+=2，=+，所以=(+)2=+2·+=9+(2+)·=9+(++)·=9+(+)·=9+2·=9+2×(-2)=5，所以=||2=5，所以||=.答案：4.(2015·聊城高一检测)若平面向量，满足||=1，||≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角θ的取值范围是________.【解析】以，为邻边的平行四边形的面积为：S=||||sinθ=||sinθ=，所以sinθ=，又因为||≤1，所以≥，即sinθ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈.答案：【补偿训练】已知△ABD是等边三角形，且+=，||=，那么四边形ABCD的面积为( )A. B. C.3 D.【解析】选B.如图所示，=-=-，所以=，即3=+-·，因为||=||，所以||2-||||cos60°=3，所以||=2.又=-=，所以||=||=1，所以||2+||2=||2，所以BC⊥CD.所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×22×sin60°+×1×=.三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知点P(-3，0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足·=0，=-，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程.【解析】设点M(x，y)为轨迹上的任意一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a>0)，则=(x，y-b)，=(a-x，-y)，因为=-，所以(x，y-b)=-(a-x，-y)，所以a=(x>0)，b=-，则A，Q=，=，因为·=0，所以3x-y2=0，所以所求轨迹方程为y2=4x(x>0).【延伸探究】若本题其他条件不变，把=-改成=呢？【解析】设点M(x，y)为轨迹上的任意一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a>0)，由=知M为线段AQ的中点，所以x=(a>0)，y=，所以A(0，2y)，Q(2x，0)，所以=(3，2y)，=(x，-y).因为·=0，所以3x-2y2=0所以所求的轨迹方程为y2=x(x>0).6.今有一小船位于宽d=60m的河边P处，从这里起，在下游l=80m处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？【解析】如图，由题设可知，船的实际速度v=v水+v划，其方向为PO所在的方向.则最小划速|v划|=|v水|·sinθ，sinθ===，所以θ=37°.所以最小划速应为v划=5×sinθ=5×=3(m/s).当划速最小时，划速的方向与水流方向的夹角为127°.关闭Word文档返回原板块。

一，选择题： 1，下列说法中错误的是 （ ）A ．零向量没有方向B ．零向量与任何向量平行C ．零向量的长度为零D ．零向量的方向是任意的2，下列命题正确的是 （ ）A. 若→a 、→b 都是单位向量，则 →a ＝→bB . 若AB =DC , 则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形C. 若两向量→a 、→b 相等，则它们是始点、终点都相同的向量D. AB 与BA 是两平行向量3，下列命题正确的是 （） A 、若→a ∥→b ，且→b ∥→c ，则→a ∥→c 。

B 、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。

C 、向量AB 的长度与向量BA 的长度相等 ,D 、若非零向量AB 与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。

4，已知向量(),1m =a ，若，a =2，则 m = （） A ．31± D.35，若→a =（1x ，1y ），→b =（2x ，2y ），，且→a ∥→b ，则有 （ ） A ，1x 2y +2x 1y =0， B ， 1x 2y ―2x 1y =0，C ，1x 2x +1y 2y =0，D ， 1x 2x ―1y 2y =0，6，若→a =（1x ，1y ），→b =（2x ，2y ），，且→a ⊥→b ，则有 （ ） A ，1x 2y +2x 1y =0， B ， 1x 2y ―2x 1y =0，C ，1x 2x +1y 2y =0，D ， 1x 2x ―1y 2y =0，7，在ABC ∆中，若AC BC BA =+，则ABC ∆一定是 （） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定8，已知向量,,a b c r r r 满足||1,||2,,a b c a b c a ===+⊥u u r r r r r r r ，则a b r r 与的夹角等于 （）A ．0120B 060C 030D 90o二，填空题：9。

已知向量a r 、b r 满足==1，3-=3，则 +3 =10，已知向量a r ＝（4，2），向量b r ＝（x ，3），且a r //b r ,则x ＝11，.已知 三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cos ∠BAC =12，.把函数742++=x x y 的图像按向量a 经过一次平移以后得到2x y =的图像， 则平移向量是 （用坐标表示）三，解答题：13，设),6,2(),3,4(21--P P 且P 在21P P =，则求点P 的坐标14，已知两向量),1,1(,),31,,31(--=-+=b a 求与b r 所成角的大小，15，已知向量a =（6，2），b =（－3，k ），当k 为何值时，有（1），∥ ? （2），⊥ ? （3），与所成角θ是钝角 ？ 16，设点A （2，2），B （5，4），O 为原点，点P 满足=+t ，（t 为实数）；（1），当点P 在x 轴上时，求实数t 的值；（2），四边形OABP 能否是平行四边形？若是，求实数t 的值 ；若否，说明理由， 17，已知向量=（3, －4）, =（6, －3）,=（5－m, －3－m ）,（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；（2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．18，已知向量.1,43),1,1(-=⋅=且的夹角为与向量向量π （1）求向量； （2）设向量)sin ,,(cos ),0,1(x x b a ==向量，其中R x ∈， 若0=⋅，试求||+的取值范围.。

第二章平面向量2.5平面向量应用举例A 级基础稳固一、选择题1．已知三个力F1＝ (－ 2，－ 1)，F2＝ (－ 3，2)，F3＝ (4，－ 3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持均衡，现加上一个力F4，则 F4等于 ()A． (－ 1，－ 2) B ． (1，－ 2)C． ( －1， 2)D． (1， 2)分析：为使物体均衡，即合外力为零，即 4 个向量相加等于零向量，所以F4＝ (0－ ( －2)－ ( －3)－ 4， 0－ (－1)－2－ (－ 3))＝ (1， 2)．答案： D→→→→2．平面内四边形 ABCD 和点 O，若 OA ＝ a，OB＝ b，OC＝ c，OD＝ d，且 a＋ c＝ b＋ d，则四边形 ABCD 为 ()A．菱形 B ．梯形C．矩形D．平行四边形分析：由题意知a－ b＝ d－ c，→→所以 BA ＝ CD，所以四边形ABCD 为平行四边形．答案： D3．如下图，一力作用在小车上，此中力 F 的大小为10 牛，方向与水平面成 60°角，当小车向前运动10 米，则力 F 做的功为 ()A． 100 焦耳 B ．50 焦耳C． 50 3焦耳D． 200 焦耳分析：设小车位移为s，则 |s|＝10 米W F＝ F·s＝ |F||s| cos·60°＝10× 10×12＝ 50 (焦耳 )．答案： B4．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的协力大小为10 N，协力与F1的夹角为60°，那么 F 1 的大小为 ()A ．53NB ．5 NC ．10 ND ．5 2N分析：依据题意作出表示图，如下图，有|F 1|＝1 |F| cos · 60°＝ 10× ＝ 5(N) ．2答案： B→ → → →5．在 △ABC 所在的平面内有一点 P ，知足 PA ＋PB ＋ PC ＝ AB ，则△ PBC 与 △ABC 的面积之比是 ()1B. 1C. 2D. 3A. 32 34→ → → →分析：由 PA ＋PB ＋PC ＝AB ，→ → → →得 PA ＋ PB ＋ BA ＋ PC ＝ 0，→ →即 PC ＝ 2AP ，所以点 P 是 CA 边上的三平分点，如下图．S △ PBC PC 2 故 S △ABC ＝ AC ＝ 3. 答案： C二、填空题6．一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实质航行方向与水流的方向成 30°角，则水流速度为 ________km/h.分析：如下图，船速 | υ，1|＝ 5(km/h)水速为 υ，实质速度 | υ|＝10(km/h) ，所以 |υ100－ 25＝ 75＝ 5 3(km/h) ． 22|＝ 答案：5 3→ → → →7．在 △ ABC 中，已知 |AB |＝ |AC|＝ 4，且 AB ·AC ＝ 8，则这个三角形的形状是 ________． → →分析：因为 AB ·AC ＝ 4×4·cos A ＝ 8，π所以 cos A ＝1，所以∠ A ＝ ，23所以 △ABC 是正三角形． 答案：正三角形8．已知力 F 1，F 2，F 3 知足 |F 1|＝ |F 2|＝ |F 3|＝ 1，且 F 1＋ F 2 ＋ F 3＝ 0，则 |F 1－ F 2|＝ ________． 分析：由 F 1＋ F 2＋ F 3＝ 0，可得 F 1＋ F 2＝－ F 3，所以 (－ F 3 ) 2＝ (F 1＋ F 2) 2，化简可得： F 32＝F 12＋ F 22＋ 2F 1·F 2，因为 |F 1 |＝ |F 2|＝ |F 3|＝ 1，所以 2F 1 ·F 2 ＝－ 1，所以 |F 1－ F 2|＝ （ F 1－ F 2） 2＝ F 12－ 2F 1· F 2＋ F 22＝1－（－ 1）＋ 1＝ 3.答案： 3三、解答题9．已知 △ ABC 是直角三角形， CA ＝ CB ， D 是 CB 的中点， E 是 AB 上的一点，且AE＝ 2EB. 求证： AD ⊥ CE.证明：以 C 为原点， CA 所在直线为x 轴，成立平面直角坐标系．设 AC ＝ a ，则 A(a ， 0)， B(0 ，a)，a12D 0， 2 ，C(0，0)，E3a ， 3a .→因为 AD ＝ － a ， a，2 → 1 2CE ＝ .a ， a3 3→→1 a 2所以 AD · CE ＝－ a ··3a ＝ 0，3a ＋2→ →所以 AD ⊥ CE ，即 AD ⊥ CE.10．已知力 F 与水平方向的夹角为30° (斜向上 )，大小为 50 N ，一个质量为 8 kg 的木块受力 F 的作用在动摩擦因数 μ＝ 0.02 的水平平面上运动了 20 m ．力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为多少 (取重力加快度大小为10 m/s 2)?解：如下图，设木块的位移为 s ，则： F ·s ＝ |F| |s|cos · 30°＝50× 20× 3＝ 500 3(J)．2将力 F 分解成竖直向上的分力f1和水平方向的分力 f 2.1则|f1|＝ |F|sin 30°＝ 50×＝ 25(N) ．2所以 |f|＝μ(|G|－ |f1|)＝ 0.02×(8 ×10－ 25)＝1.1(N) ．所以 f ·s＝ |f| |s|cos· 180°＝ 1.1 ×20×(－1)＝－ 22(J)．故力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为 500 3J和－ 22 J.B 级能力提高→→→→1． O 是平面 ABC 内的必定点， P 是平面 ABC 内的一动点，若 (PB －PC) ·(OB ＋ OC)＝→ → →→(PC－ PA) ·(OA ＋ OC)＝ 0，则 O 为△ ABC 的 ()A．心里 B ．外心C．重心D．垂心→ → →→分析：因为 (PB－ PC) ·(OB ＋ OC)＝ 0，→→→→则 (OB － OC) ·(OB ＋ OC)＝ 0，→→所以 OB2－OC2＝0，→→所以 |OB|＝ |OC|.→→同理可得 |OA |＝ |OC|，→→→即 |OA|＝ |OB |＝ |OC|.所以 O 为△ ABC 的外心．答案： B2．有一两岸平行的河流，水速大小为1，小船的速度大小为2，为使所走行程最短，小船应朝 ________________的方向行驶．分析：如下图，为使小船所走行程最短，那么v 水＋ v 船应与河岸垂直．→又 |v 水 |＝ |AB |＝ 1，→|v 船|＝|AC|＝2，∠ ADC ＝ 90°，所以∠CAD＝ 45°.答案：与水速成135°角3.如下图，ABCD是正方形，M 是BC的中点，将正方形折起使点 A 与M 重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△ AEM的面积．则N 解：如下图，成立直角坐标系，明显是 AM 的中点，又正方形边长为8，所以 M(8 ， 4)， N(4 ，2)．EF 是AM的中垂线，设AM与 EF交于点N，→→设点 E(e， 0)，则 AM ＝ (8， 4)， AN ＝→→(4， 2)， AE ＝ (e， 0)， EN＝ (4－ e， 2)，→→→→由AM ⊥EN得AM ·EN＝0，→即 (8， 4) ·(4－ e， 2)＝ 0，解得 e＝5，即 |AE |＝ 5.1→ →1× 5× 4＝ 10.所以 S△AEM＝|AE ||BM |＝22。

姓名，年级：时间：温馨提示:此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

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课时分层作业二十四平面向量应用举例(30分钟60分）一、选择题(每小题5分,共30分)1.若向量=(1，1），=(—3，-2）分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为( )A。

（5,0） B.(-5,0）C。

D。

—【解析】选C。

因为=(1，1)，=(-3,-2),所以|F1+F2|==.2。

人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( ) A.v1-v2 B.v1+v2C.|v1|-|v2|D.【解析】选B。

由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1+v2。

注意速度是有方向和大小的,是一个向量。

3.(2019·芜湖高一检测)设点O在△ABC的内部，且有=(+），则△ABC的面积与△BOC的面积之比为( )A。

3 B. C. 2 D。

【解析】选A。

如图,取BC的中点D,则+=2,所以=（+)=3，过O作OE∥BC交AB于点E，AB∥OD,所以四边形BDOE为平行四边形,所以=,所以==3。

4。

设△ABC的外心为O,AC=4，AB=3，则·=( ）A.—B.C.7D.—7【解析】选B。

过O作OD⊥AC,OE⊥AB，D，E为垂足,则·=｜｜·|｜·cos∠BAO=||·（｜｜·cos∠BAO)=｜|·==,同理·===8,所以·=·(-）=·-·=8—=.5。

点O是△ABC所在平面内的一点,满足·=·=·，则点O是△ABC的（）A。

三个内角的角平分线的交点B。

三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线的交点【解析】选D.由·=·,得·-·=0，所以·（-）=0，即·=0.所以⊥。

[A.基础达标]1．一个人骑自行车的速度为v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度的大小为( ) A ．v 1－v 2 B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2| D.v 1v 2解析：选C.根据速度的合成可知．2．已知平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形 解析：选D.由题意知a －b ＝d －c ， ∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．故选D.3．平行四边形ABCD 的三个顶点分别是A (4,2)，B (5,7)，C (－3,4)，则顶点D 的坐标是( ) A ．(12,5) B ．(－2,9) C ．(3,7) D ．(－4，－1)解析：选D.设D (x ，y )，由AB →＝DC →，知(1,5)＝(－3－x,4－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧－3－x ＝1，4－y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－1.故选D.4．在平面直角坐标系中，O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－72，－2)B ．(－72，2)C ．(－46，－2)D ．(－46，2)解析：选A.将向量OP →＝(6,8)，按逆时针旋转3π2后，得OM →＝(8，－6)，OQ →＝－12(OP →＋OM →)＝(－72，－2)，所以点Q 的坐标是(－72，－2)．5．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且|AB |＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－52 B.52C ．0 D.532解析：选A.由已知得△ABC 为正三角形，向量AC →与CB →的夹角为120°.所以AC →·CB →＝5·5cos 120°＝－52. 6. 如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F 做的功为________焦耳．解析：设小车位移为s ，则|s |＝10米， W F ＝F·s ＝|F ||s |·cos 60°＝10×10×12＝50(焦耳)．答案：507．在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是________．解析：∵AB →·AC →＝4×4·cos A ＝8，∴cos A ＝12，∴∠A ＝π3，∴△ABC 是正三角形． 答案：正三角形8．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60 m ，若纤绳与行进的方向夹角为π6，此人的拉力的大小为50 N ，则纤夫对船所做的功为________．解析：由题意可知，纤夫拉力|F |＝50 N ，位移|s |＝60 m ，拉力F 与位移s 的夹角为π6，所以纤夫对船所做的功W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos π6＝1 5003(J)．答案：1 500 3 J9．如图所示，P 是△ABC 内一点，且满足AP →＋2BP →＋3CP →＝0，设Q 为CP 延长线与AB 的交点，求证：CQ →＝2CP →.证明：∵AP →＝AQ →＋QP →，BP →＝BQ →＋QP →， ∴(AQ →＋QP →)＋2(BQ →＋QP →)＋3CP →＝0， ∴AQ →＋3QP →＋2BQ →＋3CP →＝0.又∵A ，B ，Q 三点共线，C ，P ，Q 三点共线，故可设AQ →＝λBQ →，CP →＝μQP →，∴λBQ →＋3QP →＋2BQ →＋3μQP →＝0，∴(λ＋2)BQ →＋(3＋3μ)QP →＝0. 而BQ →，QP →为不共线向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋2＝0，3＋3μ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1，∴CP →＝－QP →＝PQ →.故CQ →＝CP →＋PQ →＝2CP →. 10．已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m ．力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(取重力加速度大小为10 m/s 2)解：如图所示，设木块的位移为s ，则：F·s ＝|F |·|s |cos 30°＝50×20×32＝5003(J)．将力F 分解成竖直向上的分力f 1和水平方向的分力f 2.则|f 1|＝|F |sin 30°＝50×12＝25(N)．所以|f |＝μ(|G |－|f 1|)＝0.02×(8×10－25)＝1.1(N)． 因此f·s ＝|f |·|s |cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．故力F 和摩擦力f 所做的功分别为500 3 J 和－22 J.[B.能力提升]1．水平面上的物体受到力F 1，F 2的作用，F 1水平向右，F 2与水平向右方向的夹角为θ，物体在运动过程中，力F 1与F 2的合力所做的功为W ，若物体一直沿水平地面运动，则力F 2对物体做功的大小为( )A.|F 2||F 1|＋|F 2|WB.|F 2|cos θ|F 1|＋|F 2|W C.|F 2||F 1|cos θ＋|F 2|W D.|F 2|cos θ|F 1|＋|F 2|cos θW 解析：选D.设物体的位移是s ， 根据题意有(|F 1|＋|F 2|cos θ)|s |＝W ，即|s |＝W |F 1|＋|F 2|cos θ，所以力F 2对物体做功的大小为|F 2|cos θ|F 1|＋|F 2|cos θW .2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得(BC →＋BA →)·AC →－AC →2＝0，所以AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，所以AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， 即AC →·(BC →＋CA →＋BA →)＝0，所以2AC →·BA →＝0，所以AC →⊥BA →，所以∠A ＝90°， 所以△ABC 是直角三角形．3．已知P 为△ABC 所在平面内一点，且满足AP →＝15AC →＋25AB →，则△APB 的面积与△APC 的面积之比为________．解析：5AP →＝AC →＋2AB →， 2AP →－2AB →＝AC →－AP →－2AP →，－2(P A →＋PB →)＝PC →，如图所示，以P A ，PB 为邻边作▱P AEB ，则C ，P ，E 三点共线，连接PE 交AB 于点O ，则PC →＝2EP →＝4OP →，∴S △APB S △APC ＝2S △APO S △APC＝2|OP ||PC |＝12.答案：1∶2 4．有一两岸平行的河流，水速大小为1，小船的速度大小为2，为使所走路程最短，小船应朝________的方向行驶．解析：如图，为使小船所走路程最短，那么v 水＋v 船应与河岸垂直．又|v 水|＝|AB →|＝1，|v 船|＝|AC →|＝2，∠ADC ＝90°， ∴∠CAD ＝45°.答案：与水速成135°角5. 如图，已知直角梯形ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝2AD ＝2CD ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，M 为CE 的中点，用向量的方法证明：(1)DE ∥BC ；(2)D ，M ，B 三点共线． 证明：以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系．令|AD →|＝1，则|DC →|＝1，|AB →|＝2.∵CE ⊥AB ，而AD ＝DC ， ∴四边形AECD 为正方形． ∴可求得各点坐标分别为：E (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D (－1,1)，A (－1,0)．(1)∵ED →＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)， BC →＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)， ∴ED →＝BC →，∴ED →∥BC →，即DE ∥BC .(2)连接MD ，MB ，∵M 为EC 的中点，∴M (0，12)，∴MD →＝(－1,1)－(0，12)＝(－1，12)，MB →＝(1,0)－(0，12)＝(1，－12)．∵MD →＝－MB →，∴MD →∥MB →. 又MD 与MB 有公共点M ， ∴D ，M ，B 三点共线．6．(选做题)如图，在直角三角形ABC 中，已知BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点，问PQ →与BC→的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大，并求出这个最大值．解：以直角顶点为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，设AB ＝c ，AC ＝b ，则A (0,0)，B (c,0)，C (0，b )， 且PQ ＝2a ，BC ＝a .设点P (x ，y )，则Q (－x ，－y )，所以BP →＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )，BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )，所以BP →·CQ →＝(x －c )(－x )＋y (－y －b )＝－(x 2＋y 2)＋cx －by .所以cos θ＝PQ →·BC →|PQ →||BC →|＝cx －bya 2，所以cx －by ＝a 2cos θ，所以BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ，故当cos θ＝1，即θ＝0(BP →与CQ →的方向相同)时， BP →·CQ →最大，其最大值为0.。

1．已知一物体在共点力F 1＝(2,2)，F 2＝(3,1)的作用下产生位移s ＝⎝⎛⎭⎫12，32，则共点力对物体所做的功为( )A ．4B ．3C ．7D ．2解析：选C.合力F ＝(5,3)与位移s 的数量积为7.2．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，且(a ＋b )2＝(a －b )2，则平行四边形ABCD是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．以上都不对解析：选B.由(a ＋b )2＝(a －b )2⇒|a ＋b |＝|a －b |.对角线|AC →|＝|BD →|.3．已知A 、B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－ 52 B.52C ．0 D.532解析：选A.由已知得△ABC 为正三角形，向量AC →与CB →的夹角为120°.所以AC →·CB →＝5·5cos120°＝－52. 4．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3的作用而处于平衡状态．已知F 1与F 2的夹角为60°，且F 1，F 2的大小分别为2 N 和4 N ，则F 3的大小为( )A ．6 NB ．2 NC ．2 5 ND ．27 N解析：选D.由向量的平行四边形法则、力的平衡以及余弦定理，得|F 3|2＝|F 1|2＋|F 2|2－2|F 1|·|F 2|·cos(180°－60°)＝22＋42－2×2×4×(－12)＝28，∴|F 3|＝27 N. 5．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，∴2AC →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.故选C.6．若向量OF →1＝(2,2)，OF →2＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|等于________．解析：F 1＋F 2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，∴|F 1＋F 2|＝5.答案：57．已知a ＝(1，－1)，b ＝(－1,3)，c ＝(3,5)，若c ＝x a ＋y b ，则实数x ＝________，y ＝________.解析：x a ＋y b ＝x (1，－ 1)＋y (－1,3)＝(x －y ，－x ＋3y )，又c ＝(3,5)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝3－x ＋3y ＝5，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝4. 答案：7 48．在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是________．解析：∵AB →·AC →＝4×4·cos A ＝8，∴cos A ＝12，∴∠A ＝π3， ∴△ABC 是正三角形．答案：正三角形9．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 为圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．解：设M (x 0，y 0)，N (x ，y )，由MA →＝2AN →，得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2x ＋3y 0＝－2y ＋3，又∵M (x 0，y 0)在圆C 上， 把x 0、y 0代入方程(x －3)2＋(y －3)2＝4，整理得x 2＋y 2＝1，所以所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.10．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而该船实际航行的方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．解：如图，设OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的速度，OC →表示船的实际速度，则∠AOC ＝30°，|OB →|＝5 km/h.因为四边形OACB 为矩形，所以|OA →|＝|AC →|·cot 30°＝|OB →|·cot 30°＝53km/h ，|OC →|＝|OA →|cos 30°＝5332＝10 km/h. 即水流速度为5 3 km/h ，船的实际速度为10 km/h.。

高中数学 2.5平面向量应用举例课时作业基础巩固一、选择题1．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1→、F 2→，则|F 1→＋F 2→|为( ) A ．(5,0) B ．(－5,0) C ． 5 D ．－ 5[答案] C[解析] ∵OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)， ∴|F 1→＋F 2→|＝－2＋－2＝5，故选C ．2．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则( ) A ．BD →＝CE → B ．BD →与CE →共线 C ．BE →＝BC → D ．DE →与BC →共线[答案] D[解析] ∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，即DE →与BC →共线．3．已知点A (－2,0)，B (0,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2－y 2＝1 C ．y 2＝2x D ．y 2＝－2x[答案] D[解析] PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(－x ，－y ) 则PA →·PB →＝(－2－x )(－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝－2x .4．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．32 D ．－32[答案] A[解析] 由题意，得BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)． ∵∠C ＝90°，∴AC →⊥BC →.∴AC →·BC →＝0. ∴2(2－k )＋3×2＝0.∴k ＝5.5．点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高线的交点 [答案] D[解析] 由OA →·OB →＝OB →·OC →， 得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，∴OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0. ∴OB →⊥CA →.同理可证OA →⊥CB →，OC →⊥AB →.∴OB ⊥CA ，OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，即点O 是△ABC 的三条高线的交点．6．两个大小相等的共点力F 1、F 2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N ，当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．102NC ．202ND ．402N[答案] B[解析] 如图，以F 1、F 2为邻边作平行四边形，F 为这两个力的合力．由题意，易知|F |＝2|F 1|， |F |＝20 N ，∴|F 1|＝|F 2|＝102N.当它们的夹角为120°时，以F 1、F 2为邻边作平行四边形， 此平行四边形为菱形， 此时|F 合|＝|F 1|＝102N. 二、填空题7．力F →＝(－1，－2)作用于质点P ，使P 产生的位移为s →＝(3,4)，则力F →对质点P 做功的是________．[答案] －11[解析] ∵W ＝F →·s →＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F →对质点P 做的功是－11. 8．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是____________．[答案] [π6，56π][解析] 以α，β为邻边的平行四边形的面积为：S ＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝12，所以sin θ＝12|β|，又因为|β|≤1，所以12|β|≥12，即sin θ≥12且θ∈[0，π]，所以θ∈[π6，56π]．三、解答题9．在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，用向量法证明CD ＝12AB ．[证明] 如图，设CA →＝a ，CB →＝b ，则a 与b 的夹角为90°， ∴a ·b ＝0.又AB →＝b －a ，CD →＝12(a ＋b )，∴|CD →|＝12|a ＋b |＝12a ＋b2＝12|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝12|a |2＋|b |2， |AB →|＝|b －a |＝b －a2＝|b |2－2a ·b ＋|a |2＝|a |2＋|b |2. ∴|CD →|＝12|AB →|.∴CD ＝12AB ．10．已知在静水中船速为5 m/s ，且知船速大于水速，河宽为20 m ，船从A 点垂直到达对岸的B 点用的时间为5 s ，试用向量法求水流的速度大小．[解析] 设水流的速度为v 水，船在静水中的速度为v 0， 船的实际行驶速度|v |＝205＝4(m/s)，则v 水＋v 0＝v ，v 0＝v －v 水，且v 与v 水垂直， v ·v 水＝0，∴25＝|v －v 水|2＝|v |2＋|v 水|2＝|v 水|2＋16 ∴|v 水|＝3， 即水流速度为3m/s.能力提升一、选择题1．若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] 由(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0， 可知CB →·(AB →＋AC →)＝0，设BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →， 故CB →·AD →＝0，所以CB →⊥AD →.又D 为BC 中点，故△ABC 为等腰三角形．2．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A ． 5 B ．2 5 C ．5 D ．10[答案] C[解析] 本题考查向量的坐标运算，数量积、模等． 由题意知AC ，BD 为四边形对角线， 而AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0 ∴AC ⊥BD ．∴S 四边形ABCD ＝12×|AC →|×|BD →|＝12×12＋22×－2＋22＝12×5×20＝5. 3．已知点O 、N 、P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O 、N 、P 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心[答案] C[解析] 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，已知点O 为△ABC 的外心，由NA →＋NB →＋NC →＝0，知点N 为△ABC 的重心；由PA →·PB →＝PB →·PC →，得(PA →－PC →)·PB →＝0，即CA →·PB →＝0，故CA →⊥PB →.同理，AP ⊥BC ，故P 为△ABC 的垂心，选C ．4．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝( )A ．2B ．4C ．5D ．10[答案] D[解析] 将△ABC 各边及PA ，PB ，PC 均用向量表示， 则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝PA →2＋PB →2PC→2＝PC →＋CA→2＋PC →＋CB →2PC→2＝2|PC →|2＋2PC→CA →＋CB →＋AB →2|PC →|2＝|AB →|2|PC →|2－6＝42－6＝10. 二、填空题5．某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走303m 到达点B ，则此人的位移的大小是________m ，方向是东偏北________．[答案] 60 60°[解析] 如图所示，此人的位移是OB →＝OA →＋AB →，且OA →⊥AB →，则|OB →|＝|OA ―→|2＋|AB ―→|2＝60(m)，tan ∠BOA ＝|AB →||OA →|＝ 3.∴∠BOA ＝60°.6．(2015·广东韶关模拟)作用于同一点的两个力F 1、F 2的夹角为2π3，且|F 1|＝3，|F 2|＝5，则F 1＋F 2的大小为____________．[答案]19[解析] |F 1＋F 2|2＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝32＋2×3×5×cos 2π3＋52＝19，所以|F 1＋F 2|＝19.三、解答题7．如图所示，已知▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，a 与b 的夹角为θ， 则|a |＝3，|b |＝1，θ＝π3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又∵AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴|AC →|＝AC ―→2＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13， |DB →|＝DB →2＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7. ∴AC ＝13，DB ＝7.8．三角形ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，延长BE 交AC 于F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC ．[解析] 如图所示，建立直角坐标系，设A (2,0)，C (0,2)，则D (0,1)，于是AD →＝(－2,1)，AC →＝(－2,2)，设F (x ，y )，由BF →⊥AD →， 得BF →·AD →＝0，即(x ，y )·(－2,1)＝0， ∴－2x ＋y ＝0.①又F 点在AC 上，则FC →∥AC →，而FC →＝(－x,2－y )，因此2(－x )－(－2)(2－y )＝0， 即x ＋y ＝2，②由①、②式解得x ＝23，y ＝43，∴F (23，43)，DF →＝(23，13)，DC →＝(0,1)，DF →·DC →＝13，又DF →·DC →＝|DF →||DC →|cos θ＝53cos θ，∴cos θ＝55，即cos ∠FDC ＝55， 又cos ∠ADB ＝|BD →||AD →|＝15＝55，∴cos ∠ADB ＝cos ∠FDC ，故∠ADB ＝∠FDC ．。

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课时提升作业(二十四)
平面向量应用举例
一、选择题(每小题分，共分)
.(·温州高一检测)在△中，若·，则△是( )
.锐角三角形.钝角三角形
.直角三角形 .等腰直角三角形
【解析】选.因为·，
所以·()，
所以·，所以⊥，
所以∠是直角，△是直角三角形.
【变式训练】在四边形中，，，，则四边形的形状是( ) .矩形 .平行四边形
.梯形 .以上都不对
【解析】选.由已知
()，
所以∥，又与不平行，即∥，不平行，所以四边形是梯形.
.已知△的三个顶点，，及平面内一点满足，则点与△的关系为( )
在△内部
在△外部
在边所在直线上
是边的一个三等分点
【解析】选.因为，
所以，
所以，
所以是边的一个三等分点.
.(·济宁高一检测)如图，，，，分别是任意四边形各边的中点，若
，则四边形必是( )
.正方形.梯形
.菱形 .矩形
【解析】选.连接，，因为，，，分别是四边形各边的中点，所。

高中数学学习材料唐玲出品一、选择题1.下列命题中正确的是( )A.单位向量都相等B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C.若a ，b 满足|a |>|b |且a 与b 同向，则a >bD.对于任意向量a 、b ,必有|a +b |≤|a |+|b |2.若6,4==n m ，m 与n 的夹角是 135，则n m ⋅等于（ ）A ．12B ．212C ．212-D ．12-3.在四边形ABCD 中，AD AB AC +=，则( )A.ABCD 是矩形B.ABCD 是菱形C.ABCD 是正方形D.ABCD 是平行四边形4.已知AB =a +5b ，BC =-2a +8b ，CD =3(a -b )，则( )A.A 、B 、D 三点共线B.A 、B 、C 三点共线C.B 、C 、D 三点共线D.A 、C 、D 三点共线5.当|a |=|b |≠0且a 、b 不共线时，a +b 与a -b 的关系是( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.相等6.在ABCD 中，错误的式子是( ) A BD AB AD =- B.DB AB AD =- C.AC BC AB =+ D.AC AB AD =+7.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列命题中是真命题的是( )A.a 与-λa 的方向相反B.|-λa |≥|a |C.a 与λ2a 的方向相同D.|-λa |=|λ|·a8.已知正方形的边长为1，AB =a ，BC =b ，AC =c ,则|a +b +c |等于( ) A.0 B.3 C.2 D.229.已知OA =a ，OB =b ，OC =c ,OD =d ,且四边形ABCD 为平行四边形，则( )A.a +b +c +d =0B.a -b +c -d =0C.a +b -c -d =0D.a -b -c +d =010.已知D 、E 、F 分别是△AB C 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC =a ，CA =b ，AB =c ,则下列各式：①21=EF c -21b ②BE =a +21b ③21-=CF a +21b ④CF BE AD ++=0 其中正确的等式的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题11.设a 表示“向东走4 km ”,b 表示“向北走3 km ”,则a +b 表示______.12.a 与b 方向相反，且|a |>|b |,则a +b 的方向与a 方向______；此时|a +b |______|a |-|b |.13.已知ABCDEF 为正六边形，且AC =a ，AD =b ，则用a ，b 表示AB 为______. 14.e 1,e 2不共线，当k =_____时，a =ke 1+e 2,b =e 1+ke 2共线.三、解答题15. 化简：()()AB CD AC BD ---.16. 已知ABCD 是等腰梯形，E 、F 分别是两腰BC 、AD 的中点，M 、N 是线段EF 上的两个点，且EM =MN =NF ，下底长是上底长的2倍，若AB =a ，BC =b ，求AM .17.如图，若G 是△ABC 的重心，求证：GC GB GA ++=0.18. 已知e 1，e 2是两个不共线的向量，AB =e 1+e 2，CB =-λe 1-8e 2, CD =3e 1-3e 2,若A 、B 、D 三点在同一条直线上，求实数λ的值.19. 某人在静水中游泳，速度为43公里/小时，他在水流速度为4公里/小时的河中游泳.若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？。