应用数学MATHEMATICA APPLICATA2022,35(3):634-641一类具有p-Laplacian算子的Plate方程全局吸引子的性质孟凤娟,刘存才,张昶(江苏理工学院数理学院,江苏常州213001)摘要：本文旨在研究一类具有p-Laplacian算子的Plate方程全局吸引子的性质.关于这类方程吸引子存在性已有很多结果,然而关于吸引子性质的研究不多,并且关于吸引子维数的估计已知结果都是有限维.本文证明了吸引子里多重平衡点的存在性,特别地,在一定条件下得到了吸引子维数随着参数的变化可以任意大.关键词：全局吸引子;平衡点;李亚普诺夫泛函;Plate方程中图分类号：O175AMS(2010)主题分类：35L05;35B41文献标识码：A文章编号：1001-9847(2022)03-0634-081.引言Plate方程作为一类重要的物理模型,其最早来源于工程力学.在连续介质力学中,板被定义为厚度非常小的平面结构,通过梁理论可以得出板方程对于平板力学的数学描述.在物理学上,关于板的理论有很多,例如:Mindlin-Reissner板、Kirchhoff薄板动力学、Reissner-Stein理论、Von Karman方程.研究板方程的目的主要是计算载荷板材承受的变形和压力,因此,研究板方程具有很强的物理意义和实际用途.Plate方程的数学研究起源于Woinowsky-Krieger在文[1]中所建立的弹性振动方程:∂2u ∂t2+EIϱ∂4u∂x4−(Hϱ+EA2ϱl∫l[∂u(ξ,t)∂ξ]2dξ)∂2u∂x2=0,其中E是Young模量,ϱ是杆的密度,A是横截面积,l是杆长,E是初始的轴向张力.这类问题的严格数学分析及解的整体存在性与渐近性的研究始于Ball在文[2]中关于弹性梁方程稳定性的讨论.关于Plate方程解的渐近行为的研究近年来受到广泛关注.如:在非线性项满足临界增长与f(u).u≥0时,Khanmamedov在文[3-4]中分别研究了带有弱阻尼αu t与内部阻尼a(x)u t的Plate方程在无界区域上全局吸引子的存在性,吸引子的正则性及分形维数的有限性.2009年,Kolbasin在文[5]中研究了带有位移依赖阻尼σ(u)u t的Plate方程在有界区域上吸引子的存在性.2013年,马巧珍等在文[6]中得到了带有强阻尼项∆u t的Plate方程指数吸引子的存在性.2014年,KANG在文[7]中研究了带有µ∆u t−∆u tt的非自治Plate方程分别在区间H2(Ω)×H1(Ω)与H4(Ω)×H3(Ω)中拉回吸引子存在性.最近,Khanmanedov在文[8]中研究了带有非局部非线性项f(∥∇u∥L2(R n))|u|p−2∆u的Plate方程在无界域上的渐近性.∗收稿日期：2021-08-12基金项目：国家自然科学基金(12026431,11701230,11801227,11801228);江苏高校“青蓝工程”资助作者简介：孟凤娟,女,汉族,山东人,教授,研究方向：非线性泛函分析.第3期孟凤娟等：一类具有p -Laplacian 算子的Plate 方程全局吸引子的性质635本文考虑具有p -Laplacian 算子的Plate 方程 u tt −∆u t +∆2u −div(|∇u |p −2∇u )+φ(u )=0,(x,t )∈Ω×R +,u =∆u =0,(x,t )∈∂Ω×R +,u (x,0)=u 0(x ),u t (x,0)=u 1(x ),x ∈Ω,(1.1)全局吸引子的性质,其中Ω⊂R N 是具有光滑边界∂Ω的有界区域.首先假设(H 1)当N ≥3时,2≤p ≤2N −2N −2,当N =1,2时,p ≥2;(H 2)φ(s )=|s |m −1s −β|s |γs ,其中,当N >4,m =N +2N −4,当N ≤4时,m >0,0<γ<m −1,a 0是正常数,β>β0充分大,β0将在引理3.3给出.具有p -Laplacian 算子的Plate 方程(1.1)作为弹塑性微观结构模型在物理和力学中具有广泛的应用.例如在空间维数N =1和N =2情况下,分别描述了弹塑性杆的纵向运动和反平面剪切变形[9].系统(1.1)解的存在性,解的渐近行为等性质得到广泛研究,如:当空间维数N =1时,方程(1.1)变为u tt −u xxt +u xxxx −(|u x |p −2u x )x +φ(u )=0.不考虑耗散作用的影响,结合低阶非线性项与小的高阶弥散微观结构项之间的相互作用,AN 和Peirce [9]在一维情形下研究了如下方程u tt +u xxxx =a (u 2x )x 的系列问题.陈国旺和杨志坚[10]研究了比上式更一般的方程初边值问题u tt −σ(u x )x +u xxxx =f,整体解的存在性以及有限时刻解爆破的充分条件.高维情形下,杨志坚等在文[11-12]中研究了如下方程u tt −div {σ(|∇u |2∇u )−λ∆u t +∆2u +h (u t )+g (u )=f (x )在h ≡0以及h =0情形下,非线性项g 次临界和临界情形下初值问题解的长时间行为,证明了对应无穷维动力系统全局吸引子的存在性,Hausdoff维数和分形维数的有限性.综上,关于系统(1.1)全局吸引子的存在性已有很多文献讨论,但全局吸引子的几何结构的研究诸如吸引子维数的估计和指数吸引子尚鲜见.本文的主要目的是揭示当参数β足够大时系统(1.1)全局吸引子里平衡点的多重性.所运用的工具是临界点理论中的Z 2指标.系统(1.1)具有整体的Lyapunov 泛函并且由于φ(u )关于u 是奇的,所以该Lyapunov 泛函是偶的(见引理2.4).一般来讲,如果一个系统具有Lyapunov 泛函并且有全局吸引子,那么全局吸引子一定是平衡点集的不稳定流形的并.特别地,如果平衡点集是离散的,则全局吸引子可看成是所有平衡点不稳定流形的并,另一方面,系统的吸引子总是所有有界完全轨道的并,每个有界完全轨道是连接两个不同平衡点,而且每一个平衡点均由完全有界轨道连接它.所以,平衡点越多,吸引子的结构越复杂.因此,研究平衡点的多重性对揭示全局吸引子的结构有重要的意义.关于具有Lyapunov 泛函的偏微分方程全局吸引子结构的描述最早是Henry 在文[13]中给出,在该文中,作者以Chaffee-Infante 抛物方程为模型,用分歧理论的方法从平衡点之间轨道连接的角度给出了吸引子结构的详细描述.在文[14-15]中作者考虑了Chaffee-Infante 方程{u t −u xx =λ(u −u 3),u (0)=u (π)=0的分歧问题,其中λ≥0.并且证明了当n 2<λ<(n +1)2时该系统全局吸引子里有2n +1个不动点.通过文[14-15]的分析我们知道当0≤λ<1时原点是稳定的平衡点,但是,每当λ2穿过一个特征值,全局吸引子里将多出一对不稳定的平衡点.因而当λ充分大时,从原点出发将出现一系列的鞍结分叉从而可得到平衡点的对数也将无穷大.636应用数学2022另一方面,在文[16]中,作者利用Z2指标证明了方程−∆u=λf(u)在f是次临界增长并且是奇函数的假设下,当λ→∞时解的个数趋于无穷大.在文[17]中作者考虑了扰动问题−∆u=f(x,u)+ϵg(x,u)多重解的存在性并且利用Z2指标证明了对任意的自然数j,都存在ϵj>0使得对任意的0<ϵ≤ϵj都至少存在j个不同的解.受文[13-17]的启发,最近,钟承奎等在文[18]中结合临界点理论中的下降流思想和Z2指标理论来估算具有Lyapunov泛函的对称动力系统全局吸引子的两个不相交子集的Z2指标,其中Lyapunov泛函在其中一个子集上是正的,在另一个子集上是负的,进而得到全局吸引子里多重平衡点的存在性.作为该理论的应用,作者考虑了一类反应扩散方程全局吸引子里多重平衡点的存在性.Plate方程与反应扩散方程有着本质的区别,关于Plate方程全局吸引子中平衡点个数的估计的问题,至今还没有人进行研究,本文我们就运用[18]中的理论给出Plate方程在一定条件下平衡点的多重性以及一族吸引子分形维数随着参数的变化是任意大的.2.预备知识本节我们给出本文所需要的一些基本概念和结论,首先给出无穷维动力系统的相关定义和理论.定义2.1[19−20]假设算子族{S(t)}:X→X,t≥0,满足1)S(0)=Id(恒等变换);2)S(t)S(s)=S(t+s),∀t,s≥0;3)当t n→t并且在X中x n→x时,S(t n)x n→S(t)x,则称{S(t)}:X→X,t≥0是X上的C0半群.定义2.2[19−20]设X是完备的度量空间,{S(t)}t≥0是X上的连续半群,称{S(t)}t≥0是渐近紧的,如果对相空间X中的任何有界点列{x n}∞n=1以及t n→∞,{S(t n)x n}∞n=1有收敛子列.定义2.3[19−20]设X是完备的度量空间,{S(t)}t≥0是X上的连续半群,称X中的子集A是{S(t)}t≥0的全局吸引子,如果A满足1)(紧性)A是X中的一个紧集;2)(不变性)S(t)A=A,∀t≥0;3)(吸引性)对于X中的任何有界子集B,都有dist(S(t)B,A)→0(t→∞),其中dist(A,B)表inf y∈B dist(x,y).示Hausdorff半距离,定义为dist(A,B)=supx∈A引理2.1[19]设{S(t)}t≥0是完备度量空间X上的连续半群,则{S(t)}t≥0在X中存在全局吸引子当且仅当1){S(t)}t≥0在X中有有界吸收集;2){S(t)}t≥0在X上是渐近紧的.定义2.4[15,20]设H为Banach空间,{S(t)}t≥0是定义在H上的半群,X⊂H是它的一个正不变集,称Φ:X→R是{S(t)}t≥0定义在X上的Lyapunov泛函如果1)对任意给定的u0∈X,函数t→Φ(S(t)u0)关于时间t是非增的;2)存在τ>0,使得Φ(S(τ)u0)=Φ(u0),那么u0是半群S(t)的一个平衡点(不动点).称动力系统(X,S t)为梯度系统,若系统在整个相空间X上存在一个Lyapunov泛函.下面,我们给出系统(1.1)解的存在唯一性以及相应半群全局吸引子的存在性结果,详见文[11-12])等.引理2.2设(H1),(H2)成立,则对任何T>0及初值(u0,u1)∈(H2(Ω)∩H1(Ω))×L2(Ω),(Ω))×L2(Ω)).系统(1.1)的解存在并且唯一,(u,u t)∈C([0,T];(H2(Ω)∩H1第3期孟凤娟等：一类具有p -Laplacian 算子的Plate 方程全局吸引子的性质637对任给t ∈R 定义映射S (t ):(u 0,u 1)→(u (t ),u t (t )).(2.1)由引理2.2,易得{S (t )}t ≥0在能量相空间(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)中是C 0-半群.引理2.3设(H 1),(H 2)成立,则对任何β,系统(1.1)所生成的半群{S (t )}t ≥0在空间(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)中存在全局吸引子A β.对一个具有Lyapunov 泛函的奇连续半群,在全局吸引子具有对称结构的前提下,钟承奎等在[18]中借助于“原点是对应的Lyapunov 泛函的局部极小点”这一假设,估计了原点的吸引域边界的Z 2指标,进而对半群{S (t )}t ≥0在全局吸引子内平衡点的个数做了估算,具体结论如下:引理2.4[18]设X 是一个Banach 空间,{S (t )}t ≥0是X 上的一个C 0半群.假设{S (t )}t ≥0满足下列条件:(A 1)对任意的t ≥0,S (t )是奇的;(A 2)在X 上,{S (t )}t ≥0有一个全局吸引子A ;(A 3)在X 上,{S (t )}t ≥0有一个C 0Lyapunov 偶泛函F ;(A 4)存在B (0,ρ)(以0为中心,ρ为半径的球),对任意的u ∈B (0,ρ),t →∞都有S (t )u →0,并且F |∂B (0,ρ)≥α>F (0)=0,其中α是一个给定的正常数;(A 5)存在一个X 的n 维子空间X n 和一个正常数R (>ρ),使得F |X n ∩∂B (0,R )≤0.则有下列结论(i)半群{S (t )}t ≥0在A ∩F −1([α,∞))中至少有n 对不动点;(ii)半群{S (t )}t ≥0在A ∩F −1((−∞,0))中至少有n 对不动点.3.主要结果引理3.1设(H 1),(H 2)成立,对任何给定的β,由系统(1.1)诱导出的解半群是奇的,定理2.3中得到的全局吸引子A β是对称的.证对任何初值(u 0,u 1)∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω),显然(−u 0,−u 1)∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω).设(u (t ),u t (t ))是系统(1.1)对应初值(u 0,u 1)的唯一的解.由于φ是奇函数,从而(−u (t ),−u t (t ))是系统(1.1)对应初值(−u 0,−u 1)的唯一解.因此,S (t )(−u 0,−u 1)=(−u (t ),−u t (t ))=−S (t )(u 0,u 1),从而S (t )是奇的.下面我们将验证A β的对称性.设B 0=B (0,R )={(u,u t )∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω),∥(u,u t )∥(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)≤R }是半群S (t )的对称吸收集.假设(y,y t )∈A β,则存在一个序列{x n ,x nt }∞n =1⊂B 0及t n →∞(当n →∞时),使得在(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)内S (t n )(x n ,x nt )→(y,y t ).因为半群S (t )是奇的,从而在(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)中有S (t n )(−x n ,−x nt )=−S (t n )(x n ,x nt )→(−y,−y t ).因此,A β是对称的.定义能量泛函F (u,u t )=∫Ω{12(|∆u |2+|u t |2)+1p |∇u |p +Φ(u )}d x,(3.1)其中Φ(u )=∫u 0φ(s )d s 是φ(u )的原函数.引理3.2由(3.1)所给出的泛函F (u,u t )是半群{S (t )}t ≥0在空间(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)上的Lyapunov 偶泛函.证设(u,u t )=S (t )(u 0,u 1)是系统(1.1)对应初值(u 0,u 1)的解.用u t 乘以(1.1)并在Ω上积分可得∥u t ∥2L 2(Ω)+d d t ∫Ω{12(|∆u |2+|u t |2)+1p |∇u |p +Φ(u )}d x =0,即d d t F (S (t )(u 0,u 1))=−∥u t ∥2L 2(Ω).(3.2)638应用数学2022因而对每个给定的初值(u 0,u 1)∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω),函数t →F (S (t )(u 0,u 1))是非增的.如果存在某个τ>0使得F (S (τ)(u,u t ))=F (u,u t ).从(3.2)可知,当0≤t ≤τ时S (t )(u,u t )=(u,u t ).因此F (S (nτ)(u,u t ))=F (S ((n −1)τ)S (τ)(u,u t ))=F (S ((n −1)τ)(u,u t )=···=F (u,u t ).重复上面的过程可得对任意的n ∈Z +,当0≤t ≤nτ时S (t )(u,u t )=(u,u t ).所以对任意的t ≥0,S (t )(u,u t )=(u,u t ).因此由(3.1)定义的F (u,u t )是算子半群的{S (t )}t ≥0的Lyapunov 泛函.结合(3.1)和(H 2)易知,F (u,u t )=F (−(u,u t )),即F 是偶的.引理3.3对任何自然数n ,存在X 的一n 维子空间X n 和一正常数R ,使得F |X n ∩∂B (0,R )≤0.证由假设(H 2),可得Φ(u )=∫u 0φ(s )d s =∫u 0(|s |m −1s −β|s |γs )d s =1m +1|u |m +1−βγ+2|u |γ+2,对任何自然数n,设X n 是(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)的一个n 维子空间,A n ={(u,u t )∈X n :∥∆u ∥L 2(Ω)+∥u t ∥L 2(Ω)=1},则A n 是空间(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω))的紧集,并且存在正常数δ使得inf (u,v )∈A n ∥u ∥γ+2L γ+2(Ω)=δ.设RA n ={R (u,u t ):(u,u t )∈A n },则对R (u,u t )∈RA n ,利用H¨o lder 不等式和Sobolev 嵌入H 2(Ω)∩H 10(Ω) →L m +1(Ω)及H 2(Ω)∩H 10(Ω) →L γ+2(Ω)可得F (R (u,u t ))=∫Ω{12R 2(|∆u |2+|u t |2)+1p R p |∇u |p +1m +1R m +1|u |m +1−βγ+2R γ+2|u |γ+2}d x ≤12R 2+CR m +1−βγ+2R γ+2δ,对固定的R,取β0=1δ(R −r +CR m −r −1)(γ+2),则当β≥β0时,F (R (u,u t ))≤0.(3.3)引理3.4设(H 1),(H 2)成立,对每个给定的β,A β为系统(1.1)的全局吸引子,由(3.1)所定义的F 是半群{S (t )}t ≥0在(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)中的Lyapunov 泛函.则存在原点的一个邻域B (0,ρ),(ρ<R )使得(i)对任意的(u,u t )∈B (0,ρ),当t →∞时,S (t )(u,u t )→0,(ii)F |∂B (0,ρ)≥α>F (0,0)=0,其中α是一个固定的正常数.证由Sobolev 嵌入H 2(Ω)∩H 10(Ω) →L 2n N −4(Ω) →L m +1N −4(Ω)及H 2(Ω)∩H 10(Ω) →L γ+2(Ω),可得F (u,u t )=∫Ω{12(|∆u |2+|u t |2)+1p |∇u |p +Φ(u )}d x,≥12∥∆u ∥2L 2(Ω)+12∥u t ∥2L 2(Ω)+C ∥u ∥m +1L m +1(Ω)−βγ+2∥u ∥γ+2L γ+2(Ω)≥12∥∆u ∥2L 2(Ω)+12∥u t ∥2L 2(Ω)+C ∥u ∥m +1L m +1(Ω)−βγ+2C ∥∆u ∥γ+2L 2(Ω).(3.4)由于γ>0,γ+2>2,当∥∆u ∥L 2(Ω)充分小时,∥∆u ∥γ+2L 2(Ω)可由∥∆u ∥2L 2(Ω)控制.上式意味着存在0<ρ1<R 使得当(u,u t )∈B (0,ρ1)={(u,u t )∈(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω),∥(u,u t )∥(H 2(Ω)∩H 10(Ω))×L 2(Ω)≤ρ1}时,F |∂B (0,ρ1)≥α1>F (0,0)=0,(3.5)其中,α1是一个给定的正常数.下面我们将验证当ρ<ρ1及α2<α1成立时,F |B (0,ρ)<α2.F (u,u t )=∫Ω{12(|∆u |2+|u t |2)+1p |∇u |p +Φ(u )}d x,第3期孟凤娟等：一类具有p -Laplacian 算子的Plate 方程全局吸引子的性质639≤12∥∆u ∥2L 2(Ω)+12∥u t ∥2L 2(Ω)+1p ∥∇u ∥p L p (Ω)+C ∥∆u ∥m +1L 2(Ω)−βγ+2∥u ∥γ+2L γ+2(Ω)≤12∥∆u ∥2L 2(Ω)+12∥u t ∥2L 2(Ω)+1p∥∇u ∥p L p (Ω)+C ∥∆u ∥m +1L 2(Ω),由上述不等式可知当(u,u t )∈B (0,ρ),ρ→0时F (u,u t )→0,从而存在某个ρ<ρ1使得F |B (0,ρ)<α2.(3.6)由(3.4),我们还可知存在某个α>0使得F |∂B (0,ρ)≥α>F (0,0)=0.(3.7)由引理3.2知F 是一个Lyapunov 泛函,则F (S (t )(u 0,u 1))关于时间t 是递减的,结合(3.5),(3.6)可得,对任给t ≥0,F |S (t )B (0,ρ)<α2.(3.8)因此对任给t ≥0,S (t )B (0,ρ)⊂B (0,ρ1).(3.9)否则,存在某个t 0及(u 0,u 1)∈B (0,ρ)使得S (t 0)(u 0,u 1)∈X \B (0,ρ1).根据S (t )的连续性,存在t 1满足0<t 1≤t 0并且S (t 1)(u 0,u 1)∈∂B (0,ρ1).因为F |∂B (0,ρ1)≥α1,可得F (S (t 1)ϕ0)≥α1,与(3.8)矛盾.因此,对任何(u 0,u 1)∈B (0,ρ)及t ≥0,S (t )(u 0,u 1)∈B (0,ρ1).下面我们将验证对任何初值(u 0,u 1)∈B (0,ρ1),算子半群只有原点是平衡点.即∀(u 0,u 1)∈B (0,ρ),S (t )(u 0,u 1)=(u 0,u 1)⇒(u 0,u 1)=0.(3.10)由于算子半群的平衡点对应于系统稳态方程的解,即{u 1=0,∆2u 0−div(|∇u 0|p −2∇u 0)+φ(u 0)=0.因而要验证(3.10)成立,只需证明∫Ω(|∆u |2−div(|∇u |p −2∇u )u +φ(u )u )dx =0⇒u =0.由(H 1),(H 2)可得∫Ω(|∆u |2−div(|∇u |p −2∇u )u +φ(u )u )d x ≥∫Ω(|∆u |2d x +∥∇u ∥pL p (Ω)−Cβ∫Ω|u |(γ+2)d x +C ∫Ω|u |m +1d x ≥C (∫Ω|u |2n N −4d x )N −4N −Cβ∫Ω|u |(γ+2)d x +C ∫Ω|u |m +1d x≥C ∫Ω|u |(γ+2)d x )2γ+2d x −Cβ∫Ω|u |(γ+2)d x +C ∫Ω|u |m +1d x.(3.11)注意2γ+2<1并且γ+2<m +1,Cβ∫Ω|u |(γ+2)d x 可以被C ∫Ω|u |(γ+2)d x )2γ+2d x 和C ∫Ω|u |m +1d x 控制,结合(3.9),我们可选择适当的ρ,使得对任何S (t )(u 0,u 1)=(u,u t )=(0,0),∫Ω(|∆u |2−div(|∇u |p −2∇u )u +φ(u )u )d x >0成立.因此我们已证明对任给(u,u t )∈B (0,ρ1)\(0,0),S (t )(u,u t )=(u,u t ).根据(3.5),(3.6)和(3.10),我们可以得到对任给(u 0,u 1)∈B (0,ρ),当t →∞时,S (t )(u 0,u 1)→0.(3.12)由引理2.3可知系统(1.1)存在全局吸引子,再根据引理2.1可知{S (t )}t ≥0是渐近紧的.因此,对任给初值(u 0,u 1)∈B (0,ρ)及t n →∞,{S (t n )ϕ0}有一个收敛子列,即当t n k →∞时S (t n k )(u 0,u 1)→(u ′0,u ′1).(3.13)640应用数学2022要证(3.12),只需证明(u′0,u′1)=0.由Lyapunov泛函的定义(定义2.4)可得F(S(t)(u′,u′1))≤F((u′,u′1)),∀t>0.(3.14)我们断言对某个τ>0F(S(τ)(u′0,u′1))=F((u′,u′1)).(3.15)下面将用反证法来验证(3.15).若(3.15)不成立,则对任给t>0,F(S(t)(u′0,u′1))<F((u′,u′1)).(3.16)从而当ε>0充分小时,存在t′>0满足F(S(t′0)(u′,u′1))<F((u′,u′1))−ε.(3.17)根据(3.13),可得当t nk→∞时S(t nk+t′)(u0,u1)→S(t′)(u′,u′1).(3.18)根据F的连续性和(3.18),可得当t nk→∞时F(S(t nk +t′)(u0,u1))→F(S(t′)(u′,u′1)),(3.19)并且由(3.13)可得当t nk→∞时F(S(t nk+t′)(u0,u1))→F((u′,u′1)).(3.20)结合(3.19)和(3.20),我们有F(S(t′0)(u′,u′1))=F((u′,u′1)),这与(3.17)矛盾.因此(3.15)成立.由Lyapunov泛函的定义,(u′0,u′1)是S(t)的不动点,即对任给∀t>0,S(t)(u′,u′1)=(u′,u′1).结合(3.5)(3.6)和(3.10),我们有(u′0,u′1)=0,即(3.12)成立.结合(3.7)和(3.12),引理3.4得以证明.由引理3.1-3.4可知,由引理2.2生成的算子半群(2.1)满足引理2.4的所有条件,根据引理2.4可得:定理3.1假设(H1),(H2)成立,对每个给定的β,Aβ是(1.1)的全局吸引子,由(3.1)定义的F是算子半群{S(t)}t≥0在空间(H2(Ω)∩H1(Ω))×L2(Ω)中的Lyapunov泛函.则对任意自然数n,存在β充分大使得{S(t)}t≥0在Aβ∩F−1([α,∞))内至少有n对不同的不动点,并且在Aβ∩F−1((−∞,0))内至少有n对不同的不动点.在文[9]中,我们知道任何一个分形维数为n的紧集与R2n+1之间都存在一个一一的线性奇的H¨o lder连续映射.类似于文[30]中推论1.1,由引理3.1-3.4及引理2.4可得如下推论:推论3.1假设(H1),(H2)成立,对任何给定的β,Aβ是系统(1.1)全局吸引子.则我们有下列结论:limβ→∞dim Aβ=∞.参考文献：[1]WOINOWSKY K.The efect of an axial force on the vibration of hinged bars[J].J.Appl.Mech.,1950,17:35-36.[2]BALL J.Stability theory for an extensible beam[J].J.Differential Equations,1973,14:399-41.[3]KHANMAMEDOV A.Existence of a global attractor for the plate equation with a critical exponentin an unbounded 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