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离散数学中的图的连通度与割点

在离散数学中,图是一种重要的数据结构,它能够描述事物之间的关系和连接性。图由顶点和边组成,顶点表示事物,而边表示两个事物之间的连接。图的相关概念包括连通度和割点,它们在图的理论中起着重要的作用。

连通度是指图中任意两个顶点之间,存在一条路径相连。如果一个图的连通度为1,那么这个图是连通的;如果连通度大于1,就代表这个图是非连通的。连通度可以用来衡量图的强度和与外部环境的联系程度。例如,在社交网络中,某个用户是否能够和其他用户通过共同的朋友连接在一起,就与图的连通度相关。

割点是指删除一个顶点及其相连的边后,图变为非连通的点。换句话说,如果一个顶点是一个图中唯一的桥,那么这个顶点就是一个割点。割点的存在会影响图的连通性和强度。当我们删除一个割点时,原本连通的图会变得不连通。因此,割点常常用来识别图中的脆弱点和瓶颈。

考虑一个简单的例子:一个城市的地图可以用图来表示,每个交叉路口是一个顶点,而街道则是相连的边。在这个图中,连通度可以描述这个城市的整体交通情况。如果城市的连通度较高,那么无论从哪个交叉路口出发,都能方便地到达其他任意交叉路口;而如果城市的连通度较低,那么有些交叉路口可能只有一条街道与之相连,这样就会导致交通流量堵塞和不便利。割点则可以识别出城市中的环形路口或者重要的交通枢纽,当这些关键节点被破坏或者发生故障时,城市的交通系统可能会受到严重影响。

除了城市地图以外,连通度和割点还可以应用于其他领域。例如,在计算机网络中,一台计算机与其他计算机之间的连通度可以用来评估网络的稳定性和传输速度。在电力网络中,连通度可以用来研究电力供应的鲁棒性和可靠性。在社会网络中,连通度和割点的概念可以揭示人际关系的紧密程度和信息传递的效率。

总结来说,离散数学中的图的连通度和割点是图的关键概念。连通度可以衡量图的强度和连接程度,割点可以识别图中的脆弱点和瓶颈。在不同领域中,这些概念都有着重要的应用。通过研究和理解连通度和割点,我们能够更好地分析和优化图及相关问题。

离散数学中的图的连通度与割点

在离散数学中,图是一种重要的数据结构,它能够描述事物之间的关系和连接性。图由顶点和边组成,顶点表示事物,而边表示两个事物之间的连接。图的相关概念包括连通度和割点,它们在图的理论中起着重要的作用。 连通度是指图中任意两个顶点之间,存在一条路径相连。如果一个图的连通度为1,那么这个图是连通的;如果连通度大于1,就代表这个图是非连通的。连通度可以用来衡量图的强度和与外部环境的联系程度。例如,在社交网络中,某个用户是否能够和其他用户通过共同的朋友连接在一起,就与图的连通度相关。 割点是指删除一个顶点及其相连的边后,图变为非连通的点。换句话说,如果一个顶点是一个图中唯一的桥,那么这个顶点就是一个割点。割点的存在会影响图的连通性和强度。当我们删除一个割点时,原本连通的图会变得不连通。因此,割点常常用来识别图中的脆弱点和瓶颈。 考虑一个简单的例子:一个城市的地图可以用图来表示,每个交叉路口是一个顶点,而街道则是相连的边。在这个图中,连通度可以描述这个城市的整体交通情况。如果城市的连通度较高,那么无论从哪个交叉路口出发,都能方便地到达其他任意交叉路口;而如果城市的连通度较低,那么有些交叉路口可能只有一条街道与之相连,这样就会导致交通流量堵塞和不便利。割点则可以识别出城市中的环形路口或者重要的交通枢纽,当这些关键节点被破坏或者发生故障时,城市的交通系统可能会受到严重影响。 除了城市地图以外,连通度和割点还可以应用于其他领域。例如,在计算机网络中,一台计算机与其他计算机之间的连通度可以用来评估网络的稳定性和传输速度。在电力网络中,连通度可以用来研究电力供应的鲁棒性和可靠性。在社会网络中,连通度和割点的概念可以揭示人际关系的紧密程度和信息传递的效率。 总结来说,离散数学中的图的连通度和割点是图的关键概念。连通度可以衡量图的强度和连接程度,割点可以识别图中的脆弱点和瓶颈。在不同领域中,这些概念都有着重要的应用。通过研究和理解连通度和割点,我们能够更好地分析和优化图及相关问题。

考试必备离散数学概念总结

1.1、单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式 2.1、若等价式A?B是重言式,则称A与B等值,记作A?B,并称A?B是等值式 2.2、(1) 文字——命题变项及其否定的总称 2.3、设C1=l∨C1', C2=lc∨C2', C1'和C2'不含l和lc, 称C1∨'C2'为C1和C2(以l和lc为消解 文字)的消解式或消解结果, 记作Res(C1,C2) 2.4、设S是一个合取范式, C1,C2,?,Cn是一个简单析取式序列. 如果对每一个i(1≤i≤n), Ci 是S的一个简单析取式或者是Res(Cj,Ck)(1≤j| x∈A∧y∈B}. 7.2、设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B 时则叫做A上的二元关系.(计数:|A|=n, |A×A|=n^2, 所以A上有2^(n^2)个不同的

离散数学王元元习题解答 (9)

第三篇图论 第八章图 8.1 图的基本知识 内容提要 8.1.1 图的定义及有关术语 定义8.1 图(graph)G由三个部分所组成: (1)非空集合V(G),称为图G的结点集,其成员称为结点或顶点(nodes or vertices)。 (2)集合E(G),称为图G的边集,其成员称为边(edges)。I (3)函数Ψ G :E(G)→(V(G),V(G)),称为边与顶点的关联映射(associatve mapping)。 这里(V(G),V(G))称为VG的偶对集,其成员偶对(pair)形如(u,v),u,v为结点,它们未必不同。ΨG(e) = (u,v)时称边e关联端点u,v。当(u,v)用作序偶时(V(G),V(G)) =V(G)?V(G),e称为有向边,e以u为起点,以v为终点, 图G称为有向图(directed graph);当(u,v)用作无序偶对时,(u,v) = (v,u),称e为无向边(或边),图G称为无向图(或图)。 图G常用三元序组< V(G),E(G),ΨG>,或< V,E,Ψ>来表示。显然,图是一种数学结构,由两个集合及其间的一个映射所组成。 定义8. 2 设图G为< V,E,Ψ>。 (l)当V和E为有限集时,称G为有限图,否则称G为无限图。本书只讨论有限图。 (2)当ΨG为单射时,称G为单图;当ΨG为非单射时,称G为重图,又称满足Ψ(e1) = Ψ(e2)的不同边e1,e2,为重边,或平行边。 (3)当Ψ(e)=(v,v)(或)时,称e为环(loops)。无环和重边的无向单图称为简单图。当G为有限简单图时,也常用(n,m)表示图G,其中n = |V |,m = |E |。 (4)Ψ为双射的有向图称为有向完全图;对每一(u,v),u ≠v,均有e使Ψ(e)=(u,v)的简单图称为无向完全图,简称完全图,n个顶点的完全图常记作K n。 (5)在单图G中,Ψ(e)=(u,v)(或)时,也用(u,v)(或)表示边e,这时称u,v邻接e, u,v是e的端点(或称u为e的起点,v为e的终点);也称e关联结点u , v 。不是任何边的端点的结点都称为孤立结点,仅由孤立结点构成的图(E = ?)称为零图。 (6)当给G赋予映射f:V→W,或g:E→W,W为任意集合,常用实数集及其子集, 此时称G为赋权图,常用< V,E,Ψ,f >或< V,E,Ψ,g >或< V,E,Ψ,f,g >表示之。f(v)称为结点v的权,g(e)称为边e的权。 8.1.2 结点的度 定义8.3 在无向图中,结点v的度(degree)d(v)是v作为边的端点的数目。在有向图中,结点的度d(v)是v的出度d+(v)(out-degree)与入度d-(v)(in-degree)的和;v的出度是v作为有向边起点的数目,v的入度是v作为有向边终点的数目。 定理8.1对任意图G,设其边数为m, 顶点集为{v1,v2,…,v n},那么 ∑== n i i m v d 1 2 ) ( 定理8.2图的奇数度顶点必为偶数个。

算法学习:图论之图的割点,桥,双连通分支

图的割点、桥与双连通分支 [点连通度与边连通度] 在一个无向连通图中,如果有一个顶点集合,删除这个顶点集合,以及这个集合中所有顶点相关联的边以后,原图变成多个连通块,就称这个点集为割点集合。一个图的点连通度的定义为,最小割点集合中的顶点数。 类似的,如果有一个边集合,删除这个边集合以后,原图变成多个连通块,就称这个点集为割边集合。一个图的边连通度的定义为,最小割边集合中的边数。 注:以上定义的意思是,即有可能删除两个或两个以上点的时候才能形成多个连通块! [双连通图、割点与桥] 如果一个无向连通图的点连通度大于1,则称该图是点双连通的(point biconnected),简称双连通或重连通。一个图有割点,当且仅当这个图的点连通度为1,则割点集合的唯一元素被称为割点(cut point),又叫关节点(articulation point)。 如果一个无向连通图的边连通度大于1,则称该图是边双连通的(edge biconnected),简称双连通或重连通。一个图有桥,当且仅当这个图的边连通度为1,则割边集合的唯一元素被称为桥(bridge),又叫关节边(articulation edge)。 可以看出,点双连通与边双连通都可以简称为双连通,它们之间是有着某种联系的,下文中提到的双连通,均既可指点双连通,又可指边双连通。 [双连通分支] 在图G的所有子图G’中,如果G’是双连通的,则称G’为双连通子图。如果一个双连通子图G’它不是任何一个双连通子图的真子集,则G’为极大双连通子图。双连通分支(biconnected component),或重连通分支,就是图的极大双连通子图。特殊的,点双连通分支又叫做块。

离散数学中的图的连通度与割点割边算法

在离散数学中,图是一种重要而强大的数据结构,广泛应用于计算机科学、网 络分析、社交网络分析等领域。图可以用来表示各种事物之间的关系,比如网 站之间的链接关系、人与人之间的社交关系等等。而图的连通度与割点割边算 法则是图论中的一个重要概念和算法,用于研究图的连通性和稳定性。 首先,我们来了解一下什么是图的连通度。在图中,如果从一个顶点到另一个 顶点存在一条路径,那么我们称这两个顶点是连通的。如果图中的任意两个顶 点都是连通的,那么我们称这个图是连通图。而图的连通度就是指图中任意两 个顶点之间的最短路径的长度。如果图中存在一个顶点,删除这个顶点后,图 不再连通,那么我们称这个顶点为割点。而如果删除一条边后,图变成了不连 通的,那么我们称这条边为割边。 那么,如何求解图的连通度和割点割边呢?其中一个常用的算法是深度优先搜 索(DFS)算法。DFS算法从图中的某个顶点开始进行遍历,将访问过的顶点进 行标记,并递归地遍历未访问的邻接顶点。通过遍历图的所有顶点,我们可以 确定图的连通性。此外,DFS算法还可以用来求解图的割点和割边。具体地说,我们可以用DFS算法从每个顶点开始进行遍历,将该顶点从图中删除,然后再 次进行遍历。如果遍历后的图不再连通,那么这个顶点就是一个割点。而如果 遍历后的图仍然连通,但是存在无法访问到的顶点,那么这个顶点就是一个割边。 除了DFS算法外,还有其他一些算法可以用来求解图的连通度和割点割边。其 中一个经典的算法是边双连通分量算法,也称为Tarjan算法。该算法通过DFS 算法,找到所有的桥边(割边)和基点(割点),从而求解图的连通度。 总结起来,离散数学中的图的连通度与割点割边算法是研究图的连通性和稳定 性的重要工具。通过DFS算法和Tarjan算法等,我们可以求解图的连通度和找出割点割边。这些算法在计算机科学、网络分析等领域有着广泛的应用,对于 理解和优化图结构具有重要的意义。因此,深入了解和掌握这些算法,对于图 论的学习和实践都是非常有帮助的。

图的连通性

第二章图的连通性 连通图:任二顶点间有路相连。 例 可见在连通图中,连通的程度也是有高有低。 本章的目的就是定义一种参数来度量连通图连通程度的高低。 § 2.1割边、割点与连通度 一、割点: 定义2.1.1设v • V(G),如果w(G -v) . w(G),则称v为G的一个割点。(该定义与某些著作有所不同,主要是在有环边的顶点是否算作割点上有区别) 。 例 定理2.1.1如果点v是图G的一个割点,贝U边集E(G)可划分为两个非空子集E1和E2,使得G[ E1]和G[ E2]恰好有一个公共顶点v。 推论2.1.1对连通图G,顶点v是G的割点当且仅当G - V不连通。 以上两个结论的证明留作习题。 定理2.1.2设v是树T的顶点,贝U v是T的割点当且仅当d(v) 1o 证明:必要性:设v是T的割点,下面用反证法证明d(v) 1 o 若d(v) = 0 ,则T = Q,显然v不是割点。 若d(v)=1,则T -v是有■ (T -v)-1条边的无圈图,故是树。从而w(T -v) =1 =w(T)。因此v不是割点。 以上均与条件矛盾。 充分性:设d(v) 1,则v至少有两个邻点u,w o路uvw是T中一条(u,w)路。因T是树, uvw是T中唯一的(u,w)路,从而w仃-v)・1二w(T)。故v是割点。证毕。 推论2.1.2每个非平凡无环连通图至少有两个顶点不是割点。 证明:设T是G的生成树,则T至少有两个叶子u,v,由上一定理知,u,v都不是T的割点,

即w(T _u)二w(T) =1。由于T -u是图G _u的生成树,故 w(G —u)二w(T 一u)二w(T) = 1 二w(G), 因此u不是G的割点。同理v也不是G的割点。证毕。 二、顶点割集: 定义2.1.2对图G,若V(G)的子集V使得w(G -V ) . w(G),则称V •为图G的一个顶点 割集。含有k个顶点的顶点割集称为k-顶点割集。 注:(1)割点是1—顶点割集。 (2)完全图没有顶点割集。 三、连通度:'.(G)二mi n{|V〕|V ■是G的顶点割集}。完全图的连通度定义为 ■ (KJ -1,空图的连通度定义为0。 注:⑴使得|V > -.(G)的顶点割集V称为G的最小顶点割集。 (2)若' (G) _k,则称G为k连通的。 (3)若G不连通,则'(GH0 ° (4)若G是平凡图,则' (GH0。 (4)所有非平凡连通图都是1连通的。 例: 四、割边 定义2.1.3设E(G),如果w(G-e) ・w(G),则称e为G的一条割边。 定理2.1.3边e是G的割边当且仅当e不在G的任何圈中。 证明:证其逆否命题:e不是割边当且仅当e含在G的某个圈中。 必要性:设e = xy不是割边。假定e位于G的某个连通分支G1中,则G1-e仍连通。故在G1 -e 中有(x, y)路P, P + e便构成G1中一个含有e的圈。 充分性:设e含在G的某个圈C中,而C含于某连通分支G1中,则G1 - e仍连通。故w(G -e) =w(G),这说明e不是割边。证毕。 定理2.1.4 一个连通图是树当且仅当它的每条边都是割边。 证明:连通图G是树=G无圈= 任何边e不含在圈中= 任何边e是G的割边。证毕。

离散数学中的图的网络流与最小割最大流算法

网络流与最小割最大流算法是离散数学中重要的概念之一,它在实际应用中有着广泛的应用,特别是在信息传输、网络设计和管理、运筹学等领域中起着关键的作用。本文将从网络流的概念入手,介绍最小割最大流算法的基本原理和应用。 首先,我们来看看网络流是什么。网络流是指在有向图中,从一个点流向另一个点的过程,这个过程中每条边都有一个容量限制,表示这条边上最多能通过的流量。就像水流在管道中流动一样,网络流也有一些基本的性质,比如流入节点和流出节点的流量守恒,即入流等于出流;另外,流动的总量不能超过每条边的容量限制。 网络流的一个重要应用就是最小割最大流算法。最小割最大流算法是一种寻找最大流的方法,它的基本思想是通过不断增加流量,直到无法再增加为止,从而得到最大流。为了理解最小割最大流算法,我们需要引入割的概念。在一个有向图中,割是指将图中的顶点分成两个集合的方式,将流从一个集合中的顶点流向另一个集合中的顶点。一个割的容量等于从一个集合中的顶点流向另一个集合中的顶点的边的容量之和。最小割就是指找到一个割,使得割的容量最小。 最小割最大流算法的基本思想是先找到一个流,然后根据这个流构造一个割,并计算割的容量。然后,将流量限制调整为新割的容量,再进行下一次流的寻找,直到无法再找到增加的流为止。算法的核心是在当前流的基础上不断找增广路径,即从源点到汇点的一条路径,路径上的每条边的流量都小于等于这条边的容量,而且这条路径上的剩余容量最小。找到增广路径后,可以根据路径上的边来增加流,然后重新寻找增广路径。 最小割最大流算法在实际应用中有着广泛的用途。比如,在通信网络中,流量控制就是一个重要的问题。通过最小割最大流算法,可以确定网络中最大能够通过的流量,从而避免网络拥塞;在电力网络中,也可以通过最小割最大流算法进行优化,从而实现电力的均衡分配;此外,在运输和物流领域,同样可以利用最小割最大流算法进行路径选择和调度,以达到最优的效果。 总结起来,离散数学中的图的网络流与最小割最大流算法是一种实用且强大的工具,它在各个领域都有着重要的应用价值。通过理解网络流的概念和最小割最大流算法的原理,我们可以更好地应用这一方法解决复杂的问题,提高效率和效果。希望通过本文的介绍,读者对于网络流与最小割最大流算法能够有一个基本的了解,并能够在实际问题中灵活运用。

离散数学中的图的理论

离散数学是数学的一个重要分支,与传统连续数学相对应。离散数学中的图的理论是其中的一个重要内容,研究图的结构和性质。图论在计算机科学、运筹学、网络等领域都有着广泛的应用。 图是由顶点和边组成的集合,可以用来表示各种事物之间的关系。图的理论主要关注图的结构,如顶点之间的连接方式和路径的存在性等。图分为有向图和无向图,有向图中的边带有方向性,而无向图中的边没有方向性。 图的表示方法有多种,最常见的有邻接矩阵和邻接表两种。邻接矩阵是一个二维数组,其中的元素表示两个顶点之间是否有边相连。而邻接表是一种链式存储结构,将每个顶点的相邻顶点存放在一个链表中。 图的理论涉及到许多重要的概念和算法。其中,最基本的概念包括顶点的度、路径的存在性、连通图等。顶点的度是指与该顶点相连的边的数量。路径是指一系列边的组合,连接两个顶点。连通图是指图中任意两个顶点之间都存在路径。 在图的理论中,有许多经典的算法被广泛应用。其中最著名的是深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)算法。深度优先搜索算法是一种递归算法,从一个顶点开始,沿着路径不断深入,直到到达不能继续深入为止。广度优先搜索算法是一种非递归算法,从一个顶点开始,依次访问与之相邻的顶点,再访问与之相邻的顶点的相邻顶点,直到所有可达的顶点都被访问过为止。 除了基础的概念和算法,图的理论中还有一些重要的定理和性质。其中,最著名的是欧拉定理和哈密顿定理。欧拉定理给出了无向连通图中存在欧拉路径和欧拉回路的条件。而哈密顿定理则给出了有向图中存在哈密顿路径和哈密顿回路的条件。 图的理论广泛应用于计算机科学和网络领域。在计算机科学中,图论可以用于解决图像处理、网络安全、路径搜索等问题。在网络领域,图论可以用于分析和优化网络拓扑结构、计算最短路径等。 总之,离散数学中的图的理论是一门重要而又有趣的学科。它研究图的结构和性质,并能够解决各种实际问题。图的理论在计算机科学、运筹学、网络等领域都有着广泛的应用,具有很高的实用价值。对于学习离散数学的人来说,掌握图的理论是必不可少的一部分。

离散数学知识点

离散数学知识点

说明: 定义:红色表示。 定理性质:橙色表示。 公式:蓝色表示。 算法: 绿色表示 页码:灰色表示 数理逻辑: 1.命题公式:命题,联结词(⌝,∧,∨,→,↔),合式公式,子公式 2.公式的真值:赋值,求值函数,真值表,等值式,重言式,矛盾式 3.范式:析取范式,极小项,主析取范式,合取范式,极大项,主合取范式 4.联结词的完备集:真值函数,异或,条件否定,与非,或非,联结词完备集 5.推理理论:重言蕴含式,有效结论,P规则,T规则,CP规则,推理 6.谓词与量词:谓词,个体词,论域,全称量词,存在量词 7.项与公式:项,原子公式,合式公式,自由变元,约束变元,辖域,换名,代入 8.公式语义:解释,赋值,有效的,可满足的,不可满足的 9.前束范式:前束范式 10.推理理论:逻辑蕴含式,有效结论,∀-规则(US),∀+规则(UG),∃-规则(ES), ∃+规则(EG), 推理 集合论: 1.集合: 集合, 外延性原理, ∈, ⊆ , ⊂, 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称 差 2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系 3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包r(R),对称 闭包s(R), 传递闭包t(R) 4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分 5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界 6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射,反函数, 复合函数 7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集 代数结构: 1.运算及其性质:运算,封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的,幺元, 零元,逆元 2.代数系统:代数系统,子代数,积代数,同态,同构。 3.群与子群:半群,子半群,元素的幂,独异点,群,群的阶数,子群,平凡子群,陪集, 拉格朗日(Lagrange)定理 4.阿贝尔群和循环群:阿贝尔群(交换群),循环群,生成元 5.环与域:环,交换环,含幺环,整环,域 6.格与布尔代数:格,对偶原理,子格,分配格,有界格,有补格,布尔代数,有限 布尔代数的表示定理 图论: 1.图的基本概念:无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图、子图、 补图,握手定理,图的同构 2.图的连通性:通路,回路,简单通路,简单回路(迹)初级通路(路径),初级回路 (圈),点连通,连通图,点割集,割点,边割集,割边,点连通度,边连通度,弱

离散数学中的图论与计算机网络

离散数学中的图论与计算机网络 图论作为离散数学中的一个重要分支,研究的是从一个对象之间的关系来描述 一个集合的数学理论。在计算机科学中,图论的理论被广泛应用,尤其是在计算机网络的设计和分析中。本文将介绍图论在计算机网络中的应用,并讨论一些应用于计算机网络的图论算法。 什么是图? 在离散数学中,图被定义为有限的节点集合和连接两个节点的边的集合。图可 以用一个包含所有节点和边的列表来表示。这个列表通常被称为图的邻接表。在计算机网络的背景下,每个节点可以表示计算机网络中的一个设备,而边则表示设备之间的通信路径。 图论的基本概念 在图论中,有一些基本的概念,包括顶点、边、路径、环、连通性和图的类型 等等。 顶点是图中的一个节点,也可以称为一个顶点。边是连接两个顶点的线条。路 径是指从一个顶点到另一个顶点的一系列边。环是一条路径,其中起点和终点相同。 在计算机网络中,连通性是非常重要的概念。如果图中的每个节点都可以通过 边连接到所有其他节点,那么这个图被称为完全图。如果图中的所有节点都可以互相访问,那么该图被称为连通图。如果一个图是不连通的,则可以将其分为多个连通分量。 图的类型包括有向图和无向图。在无向图中,连接两个顶点的边没有方向,而 在有向图中,边是有方向的。另外,加权图是一种图,其中每条边都有一个权值。例如,计算机网络中的距离可以作为权值。 计算机网络中的图论

计算机网络中的图论主要用于网络的设计、优化和分析。其中,最重要的应用 是路由算法。 路由算法是在计算机网络中找到从发送器到接收器路径的一种方法。经典的路 由算法是Dijkstra算法和贝尔曼-福德算法(Bellman-Ford algorithm)。 Dijkstra算法用于在加权图中找到从一个起点到每个节点的最短路径。这个算 法采用贪心策略,即每个步骤都选择到当前节点的最短路径,直到计算到目标节点。 贝尔曼-福德算法可以解决在负权重图中的最短路径问题。在此算法中,每个 节点的最短距离被逐步计算,直到图中所有的最短路径被找到。 另一个重要的算法是Kruskal算法,它用于计算最小生成树。最小生成树是一 种包含连接一个图的所有节点的子图的树,其中边的权重最小。在计算机网络中,生成树可用于选择最小延迟和最小拥挤路径。 另外,图的割点和桥也是计算机网络中的一个常见问题。割点是一个节点,当 它被删除时,图将分裂成两个或更多的不连通子图。桥是一条边,当它被删除时,图也被分裂成两个或更多的不连通子图。 总结 图论在计算机网络中的应用非常广泛。它可以用于路由算法、最小生成树、图 的割点和桥等问题。通过使用图论算法,可以优化计算机网络的性能,提高计算机网络的安全性和可靠性。

离散数学课程教学大纲

离散数学课程教学大纲 第一部分大纲说明 一、课程的性质、目的与任务 离散数学是中央广播电视大学电子信息类计算机科学与技术专业的一门统设必修学位课程。该课程的主要内容包括:集合论、图论、数理逻辑等。 离散数学是计算机科学与技术专业的基础核心课程。通过本课程的学习,使学生具有现代数学的观点和方法,并初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法。同时,也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力,使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识,分析和解决实际问题的能力,为学生以后学习计算机基础理论与专业课程打下良好的基础。 本课程是一门理论性较强的课程,要求在完成基础知识教学任务的同时,通过适当的实际应用的介绍,提高学生的实际应用能力的培养。 二、与相关课程的衔接、配合、分工 后续课程:数据结构、数据库应用技术、操作系统等课程。 三、课程的基本教学要求 本课程是计算机科学与技术专业的基础核心课程,教学内容以基本概念、结论、算法、推理与证明方法,以及一般应用方法的介绍为主,课程内容突出简明扼要、体系结构清楚为原则。 本课程主要内容包括集合论、图论与数理逻辑等三个方面的内容。具体要求为: 1.了解离散数学的主要组成部分,各个部分所涉及的基本内容,及其在计算机科学与技术领域中的应用; 2.理解离散数学的的基本概念、结论、算法、应用方法及适用范围; 3.掌握离散数学的的基本推理与证明过程、基本算法及应用方法。 四、课程的教学方法和教学形式建议 1.根据课程特点,建议采用多种教学媒体讲解、应用事例介绍等教学手段相结合的教学模式进行教学。 2.保证提供一定的教学辅导手段与途径,及时解答学生的疑问,同时注意培养学生独立思考问题和解决问题的能力。 3.充分利用网络教学技术进行授课、答疑和讨论。 五、教学要求的层次

离散数学(图论)课后总结

第八章图论 例1、下面哪些数的序列,可能是一个图的度数序列?如果可能,请试画出它的图. 哪些可能不是简单图?a) (1,2,3,4,5) b) (2,2,2,2,2) c) (1,2,3,2,4) d) (1,1,1,1,4) e) (1,2, 2,4,5) 解:a)不是, 因为有三个数字是奇数. b) c) d)是. e) 不是简单图,因为它有5个结点, 有一个结点度为5, 必然有环或平行边. 例2、已知无向简单图G中,有10条边,4个3度结点,其余结点的度均小于或等于2,问G中至少有多少个结点?为什么? 解:已知边数|E|=10, ∑deg(v)=2|E|=20其中有4个3度结点, 余下结点度之和为: 20-3×4=8 因为G是简单图, 其余每个结点度数≤2, 所以至少还有4个结点.所以G中至少有8个结点. 强连通、单侧连通和弱连通 在简单有向图G中,如果任何两个结点间相互可达, 则称G是强连通. 如果任何一对结点间, 至少有一个结点到另一个结点可达, 则称G是单侧连通. 如果将G看成无向图后(即把有向边看成无向边)是连通的,则称G是弱连通. 在简单有向图中,具有强连通的最大子图,称为强分图.具有单侧连通的最大子图,称为单侧分图. 具有弱连通的最大子图,称为弱分图. 注:我每次都会被各种分图弄糊涂!!考试时要注意啊,千万不要错了 利用可达性矩阵求强分图,注意初等矩阵变换的知识不要忘了!! 令图G=, 集合Si V Si’=V-Si , 令|V|=n Si={u|从u0到u的最短路已求出} Si’={u’|从u0到u’的最短路未求出} Dijkstra算法:(求从u0到各点u的最短路长) 第一步. 置初值: d(u0,u0)=0 d(u0,v)=∞(其中v≠u0) i=0 S0={u0} S0’=V-S0 , 第二步.若i=n-1 则停. 否则转第三步 第三步. 对每个u’∈Si’ 计算d(u0,u’)=min{d(u0,u’), d(u0,ui)+c(ui,u’)} ui ∈Si计算min{d(u0,u’)}u’∈S i’并用ui+1记下达到该最小值的那个结点u’ 置Si+1 =Si∪{ui+1} i=i+1 Si’=V-Si , 转第二步. 例3、求最短路 解:例.求右图中从v1到v6的 最短路 1.置初值: u0=v1 d(u0,u0)=0 d(u0,v2)=d(u0,v3)=d(u0,v4)=d(u0,v5)=d(u0,v6)=∞ 2.3. i=0 S0={v1} S0’={v2,v3,v4,v5,v6} d(u0,v2)=min{d(u0,v2), d(u0,u0)+c(u0,v2)}=min{∞,0+3}=3 d(u0,v3)=min{d(u0,v3),d(u0,u0)+c(u0,v3)}=min{∞,0+∞}=∞ d(u0,v4)=min{d(u0,v4), d(u0,u0)+c(u0,v4)}=min{∞,0+5}=5

图论-二部图、连通性

二部图 定义:图),(E V G =称为二部图(bipartite graph),如果V 是两个互不相交的集合21,V V 的开集,且1V 和2V 中的顶点互不相邻. 这样的二部图也常称为),(21V V -二部图. 定义:图G 的匹配是由G 中没有公共顶点构成的集合,与匹配M 中的边关联的顶点称为是被M -浸润的(saturated by M),其余的顶点称为未被M -浸润的(M-unsaturated). 图G 的一个完美匹配(perfect matching)是浸润的所有顶点的匹配. 图G 的边数最多的匹配称为一个最大匹配(maximum matching). 例如在上图中,粗边给出了一个匹配1M ,显然两条细边给出了一个最大匹配2M . 定义:设M 是图G 的一个匹配. 如果路径P 的边交替出现在M 和不出现在M 中,则称P 是一条M -交错路径(M-alternating path). 两个顶点都未被M -浸润的交错路径称为M -增广路径(M-augmenting path). 在上例中存在1M -增广路径,2M 是最大匹配,而不存在2M -增广路径,这不是偶然的. 因为可以让(留作习题):图G 的一个匹配M 是最大匹配⇔G 中无M -增广路径. 定义:图G 的一个顶点覆盖(covering)是一些顶点构成的集合)(G V ⊆κ,使得G 的任何一边都有一个顶点含于κ. 一个顶点覆盖κ称为最小顶点覆盖,是指不存在覆盖'κ,使得κκ<'. 设κ是G 的一个顶点覆盖,M 是G 的一个匹配,显然M ≥κ. 我们关心对于最大匹配的最小顶点覆盖来说,等式是否成立. 在图1(a)中,等式成立,而图1(b)中最小顶点覆盖大小为3,而最大匹配大小为2. 注意图1(a)为二部图,图1(b)为有5条边的圈,从而不是二部图(可以一个图G 是二部图⇔G 中不含奇数边的图,证明留作习题).对于二部图,我们有下面一般的结论: 定理:设G 是),(Y X -二部图,则G 的最大匹配的大小等于G 的最小顶点覆盖的大小(könig 1931).

离散数学第七章图的基本概念知识点总结

图论部分 第七章、图的基本概念 7. 1无向图及有向图 无向图与有向图 多重集合:元素可以重复出现的集合 无序积:{(x, y) | 定义无向图Q,其中 (1) 顶点集$0,元素称为顶点 (2) 边集F为k&f的多重子集,其元素称为无向边,简称边. 例如,如图所示,其中心⑷,…,心,&{(旳,匕),(匕,匕), (迫,方),(乃,方),(迫,%), (s, %),(必,%)} 定艾有向图E>,其中 (1) $同无向图的顶点集,元素也称为顶点 (2) 边集F为的多重子集,其元素称为有向边,简称边. 用无向边代替0的所有有向边所得到的无向图称作Q的基图,右图是有向图, 试写出它的!/和F 注意:图的数学定艾与图形表示,在同构(待叙)的意狡下是一一对应的 通常用G表示无向图,0表示有向图,也常用G泛指 无向图和有向图,用6表示无向边或有向边. K6), E(G, Eg G和D的顶点、集,边集. 77阶图:”个顶点的图 有限图:K F都是有穷集合的图 零图:吕0 平凡图:1阶零图 空图:^=0 顶点和边的关联与相邻:定狡设e*,v)是无向图G^的一条边,称v…匕为e*的端点,©与v, ( 16)关联.若Vi H V”则称故与Vi ( v)的关联次数为1;若匕=匕,则称6为环,此时称◎与匕的关联次数为2;若匕不是鸟端点, 则称鼓与匕的关联次数为0.无边关联的顶点称作孤立点. 定义设无向图=, v if K e“e《E,若©,匕)e£;则称乙匕相邻;若% &至少有一个

公共端点,则称6, 8/相邻. 对有向图有类似定义.设6二〈乙匕〉是有向图的一条边,又称匕是牧的始点,V」是6的终点,K邻接到Vj.匕邻接于Vi. 邻域和关联集 邻域和关联集 设无向图^veV(G) ”的邻域谑克匕(6A3"(G)A亦} 1 的闪邻域2V(V)=M V)U{V) 丫的关联集7(v)=fej族要(G>e与咲联} 设有向图空厲蚀) 1的后绅元集石(护{边煖玖刀人今炉訪⑹付妙 、的先驱元集纭(忙甸頰匕(D)人Y细>“(C)人T 1的邻域E(v)=“e)u巧(巧 '的丙邻域jv D(v) = 1V23(v)U{v} 顶点的度数 设G=为无向图,keK y的度数(度)〃3): #作为边的端点次数之和 悬挂顶点:度数为1的顶点 悬挂边:与悬挂顶点关联的边 G 的最大度zl(Q 二max {〃(“)| i/e H G的最小度&Q=min{d(访| keH 例如〃(%)二3, 〃(乃)二4, 6/(I/.) =4,zl(6)=4, J(6)=1, r4是悬挂顶点,g是悬挂边, 设^=为有向图,reK i/的出度dW: y作为边的始点次数之和1/的入度力 3) :#作为边的终点次数之和 1/的度数(度)〃3):#作为边的端点次数之和d(v)~ / (#) + d(v) 。的最大出度zf(0,最小出度$(勿最大入度zT(Q,最小入度夕(勿最大度4(0,最小度 例如/(a)二4, d(a)=1, 〃(m)二5, d (d) =0, d® 二3,〃(6)二3,

离散数学知识点

说明: 定义:红色表示。 定理性质:橙色表示。 公式:蓝色表示。 算法:绿色表示 页码:灰色表示 数理逻辑: 1.命题公式:命题,联结词(⌝,∧,∨,→,↔),合式公式,子公式 2.公式的真值:赋值,求值函数,真值表,等值式,重言式,矛盾式 3.范式:析取范式,极小项,主析取范式,合取范式,极大项,主合取范式 4.联结词的完备集:真值函数,异或,条件否定,与非,或非,联结词完备集 5.推理理论:重言蕴含式,有效结论,P规则,T规则,CP规则,推理 6.谓词与量词:谓词,个体词,论域,全称量词,存在量词 7.项与公式:项,原子公式,合式公式,自由变元,约束变元,辖域,换名,代入 8.公式语义:解释,赋值,有效的,可满足的,不可满足的 9.前束范式:前束范式 10.推理理论:逻辑蕴含式,有效结论,∀-规则(US),∀+规则(UG),∃-规则(ES),∃+ 规则(EG), 推理 集合论: 1.集合: 集合, 外延性原理, ∈, ⊆ , ⊂, 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称 差 2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系 3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包r(R),对称 闭包s(R), 传递闭包t(R) 4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分 5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界 6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射,反函数, 复合函数 7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集 代数结构: 1.运算及其性质:运算,封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的,幺元,零 元,逆元 2.代数系统:代数系统,子代数,积代数,同态,同构。 3.群与子群:半群,子半群,元素的幂,独异点,群,群的阶数,子群,平凡子群,陪集, 拉格朗日(Lagrange)定理 4.阿贝尔群和循环群:阿贝尔群(交换群),循环群,生成元 5.环与域:环,交换环,含幺环,整环,域 6.格与布尔代数:格,对偶原理,子格,分配格,有界格,有补格,布尔代数,有限 布尔代数的表示定理 图论: 1.图的基本概念:无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图、子图、 补图,握手定理,图的同构 2.图的连通性:通路,回路,简单通路,简单回路(迹)初级通路(路径),初级回路(圈), 点连通,连通图,点割集,割点,边割集,割边,点连通度,边连通度,弱连通图,

离散数学知识点(可编辑修改word版)

1.内容及范围主要来自 ppt,标签对应书本 2.可能有错,仅供参考 离散数学知识点 说明: 定义:红色表示。 定理性质:橙色表示。 公式:蓝色表示。 算法: 绿色表示 页码:灰色表示 数理逻辑: 1.命题公式:命题,联结词(⌝,∧,∨,→,↔),合式公式,子公式 2.公式的真值:赋值,求值函数,真值表,等值式,重言式,矛盾式 3.范式:析取范式,极小项,主析取范式,合取范式,极大项,主合取范式 4.联结词的完备集:真值函数,异或,条件否定,与非,或非,联结词完备集 5.推理理论:重言蕴含式,有效结论,P 规则,T 规则, CP 规则,推理 6.谓词与量词:谓词,个体词,论域,全称量词,存在量词 7.项与公式:项,原子公式,合式公式,自由变元,约束变元,辖域,换名,代入 8.公式语义:解释,赋值,有效的,可满足的,不可满足的 9.前束范式:前束范式 10.推理理论:逻辑蕴含式,有效结论,∀-规则(US),∀+规则(UG),∃-规则(ES),∃+ 规则(EG), 推理 集合论: 1.集合: 集合, 外延性原理, ∈, ⊆, ⊂, 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称 差 2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系

3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包 r(R),对称闭 包 s(R), 传递闭包 t(R) 4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分 5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界 6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射,反函数, 复合函数 7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集 代数结构: 1.运算及其性质:运算,封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的,幺元, 零元,逆元 2.代数系统:代数系统,子代数,积代数,同态,同构。 3.群与子群:半群,子半群,元素的幂,独异点,群,群的阶数,子群,平凡子群,陪集, 拉格朗日(Lagrange)定理 4.阿贝尔群和循环群:阿贝尔群(交换群),循环群,生成元 5.环与域:环,交换环,含幺环,整环,域 6.格与布尔代数:格,对偶原理,子格,分配格,有界格,有补格,布尔代数,有限 布尔代数的表示定理 图论: 1.图的基本概念:无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图、子图、 补图,握手定理,图的同构 2.图的连通性:通路,回路,简单通路,简单回路(迹)初级通路(路径),初级回路(圈), 点连通,连通图,点割集,割点,边割集,割边,点连通度,边连通度,弱连通图,单向连通图,强连通图,二部图(二分图)

离散数学知识点

. . . . 说明: 定义:红色表示。 定理性质:橙色表示。 公式:蓝色表示。 算法:绿色表示 页码:灰色表示 数理逻辑: 1.命题公式:命题,联结词(⌝,∧,∨,→,↔),合式公式,子公式 2.公式的真值:赋值,求值函数,真值表,等值式,重言式,矛盾式 3.*式:析取*式,极小项,主析取*式,合取*式,极大项,主合取*式 4.联结词的完备集:真值函数,异或,条件否认,与非,或非,联结词完备集 5.推理理论:重言蕴含式,有效结论,P规则,T规则,CP规则,推理 6.谓词与量词:谓词,个体词,论域,全称量词,存在量词 7.项与公式:项,原子公式,合式公式,自由变元,约束变元,辖域,换名,代入 8.公式语义:解释,赋值,有效的,可满足的,不可满足的 9.前束*式:前束*式 10.推理理论:逻辑蕴含式,有效结论,∀-规则〔US〕,∀+规则〔UG〕,∃-规则(ES),∃+ 规则(EG), 推理 集合论: 1.集合: 集合, 外延性原理, ∈, ⊆ , ⊂, 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称 差 2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系 3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的,对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包r(R),对称闭 包s(R), 传递闭包t(R) . 资

4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分 5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界 6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射,反函数, 复合函数 7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集 代数构造: 1.运算及其性质:运算,封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的,幺元, 零元,逆元 2.代数系统:代数系统,子代数,积代数,同态,同构。 3.群与子群:半群,子半群,元素的幂,独异点,群,群的阶数,子群,平凡子群,陪集, 拉格朗日〔Lagrange〕定理 4.阿贝尔群和循环群:阿贝尔群(交换群),循环群,生成元 5.环与域:环,交换环,含幺环,整环,域 6.格与布尔代数:格,对偶原理,子格,分配格,有界格,有补格,布尔代数,有限 布尔代数的表示定理 图论: 1.图的根本概念:无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图、子图、 补图,握手定理,图的同构 2.图的连通性:通路,回路,简单通路,简单回路〔迹〕初级通路〔路径〕,初级回路 〔圈〕,点连通,连通图,点割集,割点,边割集,割边,点连通度,边连通度,弱连通图,单向连通图,强连通图,二部图〔二分图〕 3.图的矩阵表示:关联矩阵,邻接矩阵,可达矩阵 4.欧拉图与哈密顿图:欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图,哈密顿通路、哈密

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