离散数学中的图的连通度与割点

离散数学图论（图、树）常考考点知识点总结图的定义和表示1.图：一个图是一个序偶＜V , E ＞，记为G =< V ，E >，其中：① V ={V1,V2,V3,…, Vn}是有限非空集合，Vi 称为结点，V 称为节点集② E 是有限集合，称为边集，E中的每个元素都有V中的结点对与之对应，称之为边③与边对应的结点对既可以是无序的，也可以是有序的表示方法集合表示法，邻接矩阵法2.邻接矩阵：零图的邻接矩阵全零图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点，两个端点相同的边称为环或者自回路3.零图：仅有孤立节点组成的图4.平凡图：仅含一个节点的零图无向图和有向图5.无向图：每条边都是无向边的图有向图：每条边都是有向边的图6.多重图：含有平行边的图(无向图中，两结点之间包括结点自身之间的几条边；有向图中同方向的边)7.线图：非多重图8.重数：平行边的条数9..简单图：无环的线图10.子图，真子图，导出子图，生成子图，补图子图：边和结点都是原图的子集，则称该图为原图的子图真子图（该图为原图的子图，但是不跟原图相等）11.生成子图：顶点集跟原图相等，边集是原图的子集12.导出子图：顶点集是原图的子集，边集是由顶点集在原图中构成的所有边构成的图完全图（任何两个节点之间都有边）13.完全图：完全图的邻接矩阵主对角线的元素全为0，其余元素都是114.补图：完全图简单图15.自补图：G与G的补图同构，则称自补图16.正则图：无向图G=<V,E>,如果每个顶点的度数都是k，则图G称作k-正则图17.结点的度数利用邻接矩阵求度数：18.握手定理：图中结点度数的总和等于边数的两倍推论：度数为奇数的结点个数为偶数有向图中，所有结点的入度=出度=边数19.图的度数序列：出度序列+入度序列20.图的同构：通俗来说就是两个图的顶点和边之间有双射关系，并且每条边对应的重数相同（也就是可任意挪动结点的位置，其他皆不变）21.图的连通性及判定条件可达性：对节点vi 和vj 之间存在通路，则称vi 和vj 之间是可达的22.无向图的连通性：图中每两个顶点之间都是互相可达的23..强连通图：有向图G 的任意两个顶点之间是相互可达的判定条件：G 中存在一条经过所有节点至少一次的回路24.单向连通图：有向图G 中任意两个顶点之间至少有一个节点到另一个节点之间是可达的判定条件：有向图G 中存在一条路经过所有节点25.弱连通图：有向图除去方向后的无向图是连通的判定条件：有向图邻接矩阵与转置矩阵的并是全一的矩阵26.点割：设无向图G=<V,E>为联通图，对任意的顶点w  V,若删除w及与w相关联的所有边后，无向图不再联通，则w称为割点；27.点割集：设无向图G=<V,E>为连通图，若存在点集 ，当删除 中所有顶点及与V1顶点相关联的所有边后，图G不再是联通的；而删除了V1的任何真子集 及与V2中顶点先关的所有边后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集设无向图G=<V,E>为连通图，任意边e  E,若删除e后无向图不再联通，则称e 为割边，也成为桥28.边割集：欧拉图，哈密顿图，偶图（二分图），平面图29.欧拉通路（回路）：图G 是连通图，并且存在一条经过所有边一次且仅一次的通路（回路）称为拉通路（回路）30.欧拉图：存在欧拉通路和回路的图31.半欧拉图：有通路但没有欧拉回路32.欧拉通路判定：图G 是连通的，并且有且仅有零个或者两个奇度数的节点欧拉回路判定：图G 是连通的，并且所有节点的度数均为偶数有向欧拉图判定：图G 是连通的，并且所有节点的出度等于入度33.哈顿密图：图G 中存在一条回路，经过所有点一次且仅一次34..偶图：图G 中的顶点集被分成两部分子集V1,V2，其中V1nV2= o ,V1UV2= V ，并且图G 中任意一条边的两个端点都是一个在V1中，一个在V2中35.平面图：如果把无向图G 中的点和边画在平面上，不存在任何两条边有不在端点处的交叉点，则称图G 是平面图，否则是非平面图36.图的分类树无向树和有向树无向树：连通而不含回路的无向图称为无向树生成树：图G 的某个生成子图是树有向树：一个有向图，略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树最小生成树最小生成树：设G -< V . E 是连通赋权图，T 是G 的一个生成树，T 的每个树枝所赋权值之和称为T 的权，记为W ( T . G 中具有最小权的生成树称为G 的最小生成树最优树（哈夫曼树）设有一棵二元树，若对所有的树叶赋以权值w1,w2… wn ，则称之为赋权二元树，若权为wi 的叶的层数为L ( wi )，则称W ( T )= EWixL ( wi ）为该赋权二元树的权，W ）最小的二元树称为最优树。

图的代数连通度图代数，又称为离散数学（discrete mathematics），是数学的一个分支，主要研究由一组节点和联系这些节点的边组成的网络，也称为图。

其中图的一种重要性质是连通性，它表明图中节点之间是否都可以相互访问。

因此，如何检测图中节点之间的联系，以及如何衡量图中节点之间的联系强度，成为离散数学研究的重要内容。

在此背景下，图的代数连通度受到了广泛关注。

图的代数连通度是指图中节点之间的联系强度，它可以通过图的邻接矩阵（adjacency matrix）来衡量。

例如，当图中有 n 个节点时，可以建立一个 nxn的二元矩阵，它的每一个元素 aij示节点 i 节点 j 之间的边的权重，如果这条边存在，则 aij 为 1，反之为 0。

图的代数连通度是一种度量图节点间联系强度的量化指标。

有一种常用的方法，称为^1度量，它表示图中任何两个节点之间的联系强度。

在具体的计算中，它可以使用图的邻接矩阵来求解，其计算公式为：A1(i,j)=aij其中，aij为节点i到节点j之间的边的权重，如果节点i与节点j存在边，则aij的值为1，反之aij的值为0。

这一度量的计算，可以直接表示节点之间的联系强度，这样就可以度量图中任意两个节点之间的联系强度。

除此之外，还有其他度量方法，包括特征值度量、最大边度量等。

特征值度量是利用图的邻接矩阵，求解图的连通特征值而得到的。

而最大边度量则是利用最大边权重来衡量图的连通性。

这些度量方法都可以有效地量化图的连通性，但也存在一定的局限性。

特征值度量只能度量图中任意两个节点之间的联系强度，而无法衡量图中不同节点组合的联系强度；而最大边度量又因为不能有效的衡量图的连通性，因此，可以说这些度量方法都有其局限性。

另一方面，图的代数连通度可以有效地提供图中节点间联系强度的量化指标。

它可以通过一组不同的系数和一系列矩阵运算来实现，并且可以有效地衡量图中任意几个节点之间的联系强度，而不受两个节点之间的边的数量的限制。

图的割点、桥与双连通分支[点连通度与边连通度]在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合，以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割点集合。

一个图的点连通度的定义为，最小割点集合中的顶点数。

类似的，如果有一个边集合，删除这个边集合以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割边集合。

一个图的边连通度的定义为，最小割边集合中的边数。

注：以上定义的意思是，即有可能删除两个或两个以上点的时候才能形成多个连通块！[双连通图、割点与桥]如果一个无向连通图的点连通度大于1，则称该图是点双连通的(point biconnected)，简称双连通或重连通。

一个图有割点，当且仅当这个图的点连通度为1，则割点集合的唯一元素被称为割点(cut point)，又叫关节点(articulation point)。

如果一个无向连通图的边连通度大于1，则称该图是边双连通的(edge biconnected)，简称双连通或重连通。

一个图有桥，当且仅当这个图的边连通度为1，则割边集合的唯一元素被称为桥(bridge)，又叫关节边(articulation edge)。

可以看出，点双连通与边双连通都可以简称为双连通，它们之间是有着某种联系的，下文中提到的双连通，均既可指点双连通，又可指边双连通。

[双连通分支]在图G的所有子图G’中，如果G’是双连通的，则称G’为双连通子图。

如果一个双连通子图G’它不是任何一个双连通子图的真子集，则G’为极大双连通子图。

双连通分支(biconnected component)，或重连通分支，就是图的极大双连通子图。

特殊的，点双连通分支又叫做块。

[求割点与桥]该算法是R.Tarjan发明的。

对图深度优先搜索，定义DFS(u)为u在搜索树（以下简称为树）中被遍历到的次序号。

定义Low(u)为u或u的子树中能通过非父子边追溯到的最早的节点，即DFS序号最小的节点。

对于一个无向图G：
定义一：删除一个点v是指删除点v以及所有与点v关联的边。

定义二：删除一条边e是指删除这条边，但是保留e的两个顶点。

点割集：V是一些顶点的集合，如果删除V中的所有顶点之后，G不在连通，但是对于V的任何真子集V1，删除V1后G仍然连通，则称V是点割集。

割点：如果点割集里只有一个顶点，那么这个顶点叫做割点。

点连通度：最小的点割集的大小。

边割集：E是一些边的集合，如果删除E里的所有边之后G不在连通，但是对于E的任何真子集E1,删除E1之后G仍然连通，则称E是边割集。

桥：如果边割集里只有一条边，该边称为桥。

边连通度：最小的边割集的大小。

双连通：如果一个图没有割点，那么这个图称为2-连通的，或者双连通的。

一个图的极大双连通子图称为双连通分量。

注意是极大而不是最大，即意味双连通子图不一定只有一个。

离散数学割边割边是离散数学中一个重要的概念，同时也是图论研究中的一个重要分支。

其实所谓的割边，指的是在一个给定的图中，如果将一条边移除之后，图被分成了两个不连通的部分，那么这条边就被称为割边。

在实际应用中，割边有着广泛的应用。

例如在计算机网络中，为了防止节点消息的传递造成环路和死锁，会使用割边来确保网络的正常运行；在建立交通网络中，通过割边的方法可以划分路网，使得交通分流，加快交通效率。

在研究割边的性质时，我们需要从以下几个方面进行考虑。

首先是割边的定义。

上文中已经介绍了割边的定义，需要说明的是，如果图中有多条割边，那么任意一条割边都可以将图分成两个不连通的部分。

其次是割边的性质。

其实在研究割边的性质时，我们需要关注的不仅是割边本身，还需要考虑割边所对应的两个连通图之间的关系。

通过观察可以发现，如果一条边是割边，那么它所连接的两个节点就一定不在同一个连通图中。

换句话说，割边的存在是唯一的，而它所对应的连通图的数量则可以很多。

接下来我们需要考虑的是割边的应用。

割边在实际应用中有着非常广泛的应用。

比如说，它可以用于网络流问题的解决，也可以用于图的着色等问题。

最后我们需要考虑的是割边算法。

在研究割边时，我们需要掌握相关的算法，比如说基于深度优先搜索的 Tarjan 算法，基于广度优先搜索的 Hopcroft-Karp 算法等。

综上所述，离散数学中的割边是图论研究中的一个重要概念。

通过割边，我们可以把一个图分成两个不连通的部分，这在实际应用中有着广泛的应用。

在研究割边时，我们需要考虑到割边的定义、性质、应用和相关算法。

对于学习离散数学的同学来说，掌握割边的相关概念，对于后续图论的学习也是非常有指导意义的。

《离散数学》第七章图的基本概念讲稿7.1 ⽆向图及有向图⼀、本节主要内容⽆向图与有向图顶点的度数握⼿定理简单图完全图⼦图补图⼆、教学内容⽆序对: 两个元素组成的⼆元组（没有顺序），即⽆论a,b是否相同，（a,b ）＝（b, a ）⽆序积: A与B 为两个集合，A&B={(x,y) |x∈A∧y∈B}例A={a1, a2}, B={b1, b2}A&B={(a1 , b1 ), (a1 , b2 ) ,(a2 , b1 ) ,(a2 , b2 )}A&A={(a1 , a1 ), (a1 , a2 ) ,(a2 , a2 )}多重集合: 元素可以重复出现的集合⽆向图与有向图定义⽆向图G=, 其中(1) V?≠为顶点集，元素称为顶点(2) E为V&V的多重⼦集，其元素称为⽆向边，简称边.例如, G=如图所⽰,其中V={v1, v2, …,v5},E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}定义⽆向图G=, 其中(1) V≠?为顶点集，元素称为顶点(2) E为V&V的多重⼦集，其元素称为⽆向边，简称边.例如, G=如图所⽰,其中V={v1, v2, …,v5},E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} ⽆向图与有向图(续)定义有向图D=, 其中(1) V同⽆向图的顶点集, 元素也称为顶点(2) E为V?V的多重⼦集，其元素称为有向边，简称边.⽤⽆向边代替D的所有有向边所得到的⽆向图称作D的基图右图是有向图，试写出它的V和E⽆向图与有向图(续)通常⽤G表⽰⽆向图, D表⽰有向图,也常⽤G泛指⽆向图和有向图,⽤ek表⽰⽆向边或有向边.V(G), E(G), V(D), E(D): G和D的顶点集, 边集.n 阶图: n个顶点的图有限图: V, E都是有穷集合的图零图: E=?平凡图: 1 阶零图顶点和边的关联与相邻定义设ek=(vi, vj)是⽆向图G=的⼀条边, 称vi, vj为ek的端点, ek与vi ( vj)关联.若vi ≠ vj, 则称ek与vi ( vj)的关联次数为1;若vi = vj, 则称ek为环, 此时称ek与vi 的关联次数为2;若vi不是ek端点, 则称ek与vi 的关联次数为0.⽆边关联的顶点称作孤⽴点.定义设⽆向图G=, vi,vj∈V,ek,el∈E,若(vi,vj) ∈E, 则称vi,vj相邻;若ek,el⾄少有⼀个公共端点, 则称ek,el相邻.对有向图有类似定义. 设ek=?vi,vj?是有向图的⼀条边, vi,vj是ek端点,⼜称vi 是ek的始点, vj是ek的终点,vi邻接到vj, vj邻接于vi.邻域和关联集设⽆向图G , v ∈V(G)v 的邻域 N(v)={u|u ∈V(G)∧(u,v)∈E(G)∧u ≠v} v 的闭邻域 = N(v)∪{v} v 的关联集 I(v)={e|e ∈E(G)∧e 与v 关联} 设有向图D, v ∈V(D)v 的后继元集 ={u|u ∈V(D)∧∈E(G)∧u ≠v}v 的先驱元集 ={u|u ∈V(D)∧∈E(G)∧u ≠v}v 的邻域v 的闭邻域顶点的度数设G=为⽆向图, v ∈V,v 的度数(度) d(v): v 作为边的端点的次数之和悬挂顶点: 度数为1的顶点悬挂边: 与悬挂顶点关联的边 G 的最⼤度?(G)=max{d(v)| v ∈V} G 的最⼩度δ(G)=min{d(v)| v ∈V} 例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4, ?(G)=4, δ(G)=1,v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环顶点的度数(续)设D=为有向图, v ∈V,v 的出度d+(v): v 作为边的始点的次数之和 v 的⼊度d -(v): v 作为边的终点的次数之和 v 的度数(度) d(v): v 作为边的端点次数之和 d(v)= d+(v)+ d-(v)D 的最⼤出度?+(D), 最⼩出度δ+(D) 最⼤⼊度?-(D), 最⼩⼊度δ-(D) 最⼤度?(D), 最⼩度δ(D) 例如 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3,+(D)=4, δ+(D)=0, ?-(D)=3, δ-(D)=1, ?(D)=5, δ(D)=3. 图论基本定理——握⼿定理定理任意⽆向图和有向图的所有顶点度数之和都等于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点⼊度之和等于出度之和等于边数.)(v N )(v D +Γ)(v D -Γ)()()(v v v N D D D -+ΓΓ= }{)()(v v N v N D D =证 G 中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计算G 中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供2m 度.有向图的每条边提供⼀个⼊度和⼀个出度, 故所有顶点⼊度之和等于出度之和等于边数. 握⼿定理(续)推论在任何⽆向图和有向图中，度为奇数的顶点个数必为偶数. 证设G=为任意图，令 V1={v | v ∈V ∧d(v)为奇数} V2={v | v ∈V ∧d(v)为偶数}则V1∪V2=V, V1∩V2=?，由握⼿定理可知∑∑∑∈∈∈+==21)()()(2V v V v Vv v d v d v d m由于2m,∑∈2)(V v v d 均为偶数，所以 ∑∈1)(V v v d 也为偶数, 但因为V1中顶点度数都为奇数，所以|V1|必为偶数.图的度数列设⽆向图G 的顶点集V={v1, v2, …, vn} G 的度数序列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数序列:4,4,2,1,3设有向图D 的顶点集V={v1, v2, …, vn} D 的度数序列: d(v1), d(v2), …, d(vn) D 的出度序列: d+(v1), d+(v2), …, d+(vn) D 的⼊度序列: d -(v1), d -(v2), …, d -(vn) 如右图度数序列:5,3,3,3出度序列:4,0,2,1 ⼊度序列:1,3,1,2 握⼿定理的应⽤例1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数序列吗? 解不可能. 它们都有奇数个奇数.例2 已知图G 有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均⼩于等于2, 问G ⾄少有多少个顶点? 解设G 有n 个顶点. 由握⼿定理, 4?3+2?(n-4)≥2?10 解得 n ≥8握⼿定理的应⽤(续)例3 给定下列各序列,哪组可以构成⽆向图的度数序列 (2,2,2,2,2) (1,1,2,2,3) (1,1,2,2,2) (1,3,4,4,5)多重图与简单图定义(1) 在⽆向图中,如果有2条或2条以上的边关联同⼀对顶点, 则称这些边为平⾏边, 平⾏边的条数称为重数.(2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点, 则称这些边为有向平⾏边, 简称平⾏边, 平⾏边的条数称为重数.(3) 含平⾏边的图称为多重图.(4) 既⽆平⾏边也⽆环的图称为简单图.注意:简单图是极其重要的概念多重图与简单图(续)例如e5和e6 是平⾏边重数为2不是简单图e2和e3 是平⾏边,重数为2 e6和e7不是平⾏边不是简单图图的同构定义设G1=, G2=为两个⽆向图(有向图), 若存在双射函数f: V1→V2, 使得对于任意的vi,vj∈V1,(vi,vj)∈E1（∈E1）当且仅当(f(vi),f(vj))∈E2（∈E2），并且,(vi,vj)（）与(f(vi),f(vj))（）的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1?G2.图的同构(续)⼏点说明：图之间的同构关系具有⾃反性、对称性和传递性.能找到多条同构的必要条件, 但它们都不是充分条件:①边数相同，顶点数相同②度数列相同(不计度数的顺序)③对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等若破坏必要条件，则两图不同构图的同构(续)例1 试画出4阶3条边的所有⾮同构的⽆向简单图例2 判断下述每⼀对图是否同构:(1)度数列不同不同构例2 (续)(2)不同构⼊(出)度列不同度数列相同但不同构为什么?完全图与正则图n阶⽆向完全图Kn: 每个顶点都与其余顶点相邻的n阶⽆向简单图.简单性质: 边数m=n(n-1)/2, ?=δ=n-1n阶有向完全图: 每对顶点之间均有两条⽅向相反的有向边的n阶有向简单图.简单性质: 边数m=n(n-1), ?=δ=2(n-1),+=δ+=?-=δ-=n-1n阶k正则图: ?=δ=k 的n阶⽆向简单图简单性质: 边数m=nk/2完全图与正则图(续)(1) 为5阶⽆向完全图K5(2) 为3阶有向完全图(3) 为彼得森图, 它是3 正则图⼦图定义设G=, G '=是2个图(1) 若V '?V且E '?E, 则称G '为G的⼦图, G为G '的母图, 记作G '?G(2)若G '?G且G '≠ G（即V '?V 或E '?E），称G '为G的真⼦图(3) 若G '?G 且V '=V，则称G '为G的⽣成⼦图(4) 设V '?V 且V '≠?, 以V '为顶点集, 以两端点都在V '中的所有边为边集的G的⼦图称作V '的导出⼦图，记作G[V '](5) 设E '?E且E '≠?, 以E '为边集, 以E '中边关联的所有顶点为顶点集的G的⼦图称作E '的导出⼦图, 记作G[E ']⼦图(续)例画出K4的所有⾮同构的⽣成⼦图补图定义设G=为n阶⽆向简单图，以V为顶点集,所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作G?G.若G ? G , 则称G 是⾃补图.例画出5阶7条边的所有⾮同构的⽆向简单图⾸先，画出5阶3条边的所有⾮同构的⽆向简单图然后，画出各⾃的补图7.2 通路、回路与图的连通性⼀、本节主要内容简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路⽆向连通图, 连通分⽀弱连通图, 单向连通图, 强连通图点割集与割点边割集与割边(桥) ⼆、教学内容通路与回路定义给定图G=（⽆向或有向的），设G 中顶点与边的交替序列Γ=v0e1v1e2…elvl ，(1) 若?i(1≤i ≤l), vi -1 和 vi 是ei 的端点(对于有向图, 要求vi -1是始点, vi 是终点), 则称Γ为通路, v0是通路的起点, vl 是通路的终点, l 为通路的长度. ⼜若v0=vl ，则称Γ为回路. (2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为初级通路(初级回路).初级通路⼜称作路径, 初级回路⼜称作圈.(3) 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路). 通路与回路(续) 说明:在⽆向图中，环是长度为1的圈, 两条平⾏边构成长度为2的圈. 在有向图中，环是长度为1的圈, 两条⽅向相反边构成长度为2的圈. 在⽆向简单图中, 所有圈的长度≥3; 在有向简单图中, 所有圈的长度≥2. 通路与回路(续)定理在n 阶图G 中，若从顶点vi 到vj （vi ≠vj ）存在通路，则从vi 到vj 存在长度⼩于等于n -1的通路.推论在n 阶图G 中，若从顶点vi 到vj （vi ≠vj ）存在通121212G G G G G G ??例设与均为⽆向简单图，当且仅当路，则从vi到vj存在长度⼩于等于n-1的初级通路.定理在⼀个n阶图G中，若存在vi到⾃⾝的回路，则⼀定存在vi到⾃⾝长度⼩于等于n的回路.推论在⼀个n阶图G中，若存在vi到⾃⾝的简单回路，则⼀定存在长度⼩于等于n的初级回路.⽆向图的连通性设⽆向图G=,u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与⾃⾝总连通.连通关系R={| u,v ∈V且u~v}是V上的等价关系连通图: 平凡图, 或者任意两点都连通的图连通分⽀: V关于R的等价类的导出⼦图设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的连通分⽀, 其个数记作p(G)=k.G是连通图? p(G)=1u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路(u与v连通)u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.性质：d(u,v)≥0, 且d(u,v)=0 ? u=vd(u,v)=d(v,u)（对称性）d(u,v)+d(v,w)≥d(u,w) （三⾓不等式)点割集记G-v: 从G中删除v及关联的边G-V': 从G中删除V'中所有的顶点及关联的边G-e : 从G中删除eG-E': 从G中删除E'中所有边定义设⽆向图G=, 如果存在顶点⼦集V'?V, 使p(G-V')>p(G)，⽽且删除V'的任何真⼦集V''后（? V''?V'），p(G-V'')=p(G), 则称V'为G的点割集. 若{v}为点割集, 则称v为割点.点割集(续)例{v1,v4}, {v6}是点割集, v6是割点.{v2,v5}是点割集吗？边割集定义设⽆向图G=, E'?E, 若p(G-E')>p(G)且?E''?E',p(G-E'')=p(G), 则称E'为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e为割边或桥.在上⼀页的图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集，e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？⼏点说明：Kn⽆点割集n阶零图既⽆点割集，也⽆边割集.若G连通，E'为边割集，则p(G-E')=2若G连通，V'为点割集，则p(G-V')≥2有向图的连通性设有向图D=u可达v: u到v有通路. 规定u到⾃⾝总是可达的.可达具有⾃反性和传递性D弱连通(连通): 基图为⽆向连通图D单向连通: ?u,v∈V，u可达v 或v可达uD强连通: ?u,v∈V，u与v相互可达强连通?单向连通?弱连通有向图的连通性(续)例下图(1)强连通, (2)单连通, (3) 弱连通有向图的短程线与距离u到v的短程线: u到v长度最短的通路(u可达v)u与v之间的距离d: u到v的短程线的长度若u不可达v, 规定d=∞.性质：d+d ≥d注意: 没有对称性7.3 图的矩阵表⽰⼀、本节主要内容⽆向图的关联矩阵有向图的关联矩阵有向图的邻接矩阵有向图的可达矩阵⼆、教学内容⽆向图的关联矩阵定义设⽆向图G=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)n?m为G的关联矩阵，记为M(G).定义设⽆向图G=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)n?m为G的关联矩阵，记为M(G).性质关联次数为可能取值为0，1，2有向图的关联矩阵定义设⽆环有向图D=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令则称(mij)n ?m 为D 的关联矩阵，记为M(D). 性质:有向图的邻接矩阵定义设有向图D=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令 )1(ij a 为顶点vi 邻接到顶点vj 边的条数，称()1(ij a )n ?n 为D 的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A. 1110001110()1001200000M G=1100010111()0000101110M D ---?=-??-??平⾏边的列相同)4(2)3(),...,2,1()()2(),...,2,1(2)1(,11mm n i v d m m j m ji ijimj ijni ij =====∑∑∑==(1)1(1)1(1)(),1,2,...,(2)(),1,2,...,nij i j n ij ji a d vi n a d v j n+=-=====∑∑性质D 中的通路及回路数定理设A 为n 阶有向图D 的邻接矩阵, 则Al(l ≥1)中元素)(l ij a 为D 中vi 到vj 长度为 l 的通路数， )(l ii a 为vi 到⾃⾝长度为 l 的回路数，∑∑==n i nj l ija11)( 为D 中长度为 l 的通路总数，∑=ni l iia1)( 为D 中长度为 l 的回路总数.D 中的通路及回路数(续)推论设Bl=A+A2+…+Al(l ≥1), 则Bl 中元素为D 中长度⼩于或等于l 的通路数，为D 中长度⼩于或等于l 的回路数. 例有向图D 如图所⽰, 求A, A2, A3, A4, 并回答问题：(1) D 中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多少条？其中回路分别为多少条？ (2) D 中长度⼩于或等于4的通路为多少条？其中有多少条回路？12100010()00010010A D=有向图的可达矩阵定义设D=为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令称(pij)n ?n 为D 的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P. 性质:P(D)主对⾓线上的元素全为1.D 强连通当且仅当P(D)的元素全为1. 有向图的可达矩阵(续)例右图所⽰的有向图D 的可达矩阵为7.4 最短路径及关键路径⼀、本节主要内容最短路关键路线⼆、教学内容对于有向图或⽆向图G 的每条边，附加⼀个实数w(e)，则称w(e)为边e 上的权. G 连同附加在各边上的实数，称为带权图.设带权图G=,G 中每条边的权都⼤于等于0.u,v 为G 中任意两个顶点，从u 到v 的所有通=1101110111110001P路中带权最⼩的通路称为u 到v 的最短路径.求给定两个顶点之间的最短路径，称为最短路径问题. 算法：Dijkstra(标号法){}()*()*1()*()()1()*1.2./5.i r r i i i i ir i r r j j j j j r i r v l v v v l v r p l l v v v l v r l v v p r T V r ∞==-j ij r r 如果顶点与v 不相邻，则w =为顶点到顶点最短路径的权，如果顶点获得了标号，则称顶点在第步获得了标号（永久性标号）3.为顶点到顶点最短路径的权的上界，如果顶点获得了标号，则称顶点在第步获得了t 标号（临时性标号）4.P 已经获得标号为第步通过集P 为第步未通过集例：求图中v0与v5的最短路径(0)*000(0)0(1)*(0)(1)*1010100,{},T {},1,2,3,4,5{},min {},T T {}(2)T j jj i j i v T l P l w j l l l P P t ∈=======?=-0012345j i i i i 第步(r=0)：v 获得p 标号v v ，v ，v ，v ，v ，v 获得t 标号第1步(r=1)：(1)求下⼀个p 标号的顶点，将标在顶点v 处，表明顶点v 获得p 标号.修改通过集和未通过集：v v 修改中各顶点的标1(1)(0)(1)*(2)*(1)(2)*2121(2)(1)(2)*2min{,}{},min {},T T {}(2)T min{,}j jj iij i j iv T j j iij ll lw l l l P P t l l l w ∈=+==?=-=+i i i i 号：第2步(r=2)：(1)求下⼀个p 标号的顶点，将标在顶点v 处，表明顶点v 获得p 标号.修改通过集和未通过集：v v 修改中各顶点的标号：2.关键路径问题,(){/,}(){/,}D D D V E v V v x x V v x E v v x x V x v E v +=<>∈Γ=∈∧<>∈Γ=∈∧<>∈－设为⼀个有向图，，则为的后继元集为的先继元集定义：PERT 图设D=是n 阶有向带权图1. D 是简单图2. D 中⽆环路3. 有⼀个顶点出度为0，称为发点；有⼀个顶点⼊度为0，称为收点4. 记边的权为wij,它常常表⽰时间1. 最早完成时间：⾃发点v1开始，沿最长路径（权）到达vi 所需时间，称为vi 的最早完成时间，记为TE （vi ），i=1,2,…,nj 1i i j ij v ()234567TE(v )=0,v (1)TE(v )={(v )+w },1,2,,max TE(v )=max{0+1}=1;TE(v )=max{0+2,1+0}=2;TE(v )=max{0+3,2+2}=4;TE(v )=max{1+3,4+4}=8;TE(v )=max{2+4,8+1}=9;TE(v )=max{1+4,2+D i v i TE i n -∈Γ≠=显然的最早完成时间按如下公式计算：813784}=6;TE(v )=max{6+6,9+1}=12;v v v v 关键路径：从发点到收点的⼀条最长路径，2. 最晚完成时间：在保证收点vn 的最早完成时间不增加的条件下，⾃发点v1最迟到达vi 所需时间，称为vi 的最晚完成时间，记为TL （vi ）.j n n i i j ij v ()876543TL(v )=TL(v ),v ()TL(v )={(v )-w },1,2,,min TL(v )=12;TL(v )=min{12-6}=6;TL(v )=min{12-1}=11;TL(v )=min{11-1}=10;TL(v )=min{10-4}=6;TL(v )=min{6-2,11-4,6-4}=2;TL(D i v i n TL i n∈Γ≠=＋显然的最晚完成时间按如下公式计算：21v )=min{2-0,10-3,6-4}=2;TL(v )=min{2-1,2-2,6-3}=0;3. 缓冲时间：TS(vi)=TL(vi)- TE(vi) TS(v1)= TS(v3)= TS(v7)= TS(v8)=0 TS(v2)=2-1=1; TS(v4)=6-4=2; TS(v5)=10-8=2; TS(v6)=11-9=2。

离散数学的连通性基础知识离散数学是研究离散对象及其性质、结构、关系和操作的数学分支。

而离散数学中连通性是一个重要的概念，用于描述图论、算法、网络等领域中对象之间的联通性质。

本文将介绍离散数学中连通性的基础知识，包括连通图、连通关系、路径等概念及相关性质。

一、连通图在图论中，一个图G被称为连通图，当且仅当任意两个顶点之间都存在一条路径。

具体而言，对于图G=(V,E)，其中V是顶点的集合，E是边的集合，若对于任意两个顶点v和u，存在一条路径连接它们，则称图G是连通的。

连通图可以进一步分为强连通图和无向连通图。

强连通图是指有向图中，任意两个顶点之间都存在一条有向路径，即无论从哪一个顶点出发都可以到达其他任意一个顶点。

无向连通图是指无向图中，任意两个顶点之间都存在一条无向路径，即无论选择哪一条边或者路径，都可以从一个顶点到达另一个顶点。

一个具有n个顶点的完全图K_n是一个连通图，其中任意两个顶点之间都存在一条边。

二、连通关系在集合论中，连通关系是用来描述集合中元素之间的连通性质。

给定一个集合S和一个关系R，如果对于集合S中的任意两个元素x和y，存在一个元素序列x_1, x_2, ..., x_k，使得x=x_1, y=x_k，并且对于序列中的任意相邻元素x_i和x_{i+1}，(x_i, x_{i+1})\in R，则称关系R是S上的连通关系。

连通关系可以用来描述图中顶点之间的连通性质。

对于图G=(V,E)，其中V是顶点的集合，E是边的集合。

我们可以定义一个关系R，使得对于任意两个顶点v和u，(v, u)\in R当且仅当v和u之间存在一条路径。

这样我们就可以利用连通关系R来刻画图G中顶点之间的连通性。

三、路径路径是指在图中从一个顶点到另一个顶点的一条经过的边的序列。

如果存在一条路径从顶点v到顶点u，我们可以称v是u的先驱，u是v的后继。

路径的长度是指路径上所经过的边的数量。

最短路径是指在图中两个顶点之间路径长度最短的路径。

连通图的割点、割边(桥)、块、缩点，有向图的强连通分量一、基本概念无向图割点：删掉它之后(删掉所有跟它相连的边)，图必然会分裂成两个或两个以上的子图。

块：没有割点的连通子图割边：删掉一条边后，图必然会分裂成两个或两个以上的子图，又称桥。

缩点：把没有割边的连通子图缩为一个点，此时满足任意两点间都有两条路径相互可达。

求块跟求缩点非常相似，很容易搞混，但本质上完全不同。

割点可以存在多个块中(假如存在k个块中)，最终该点与其他点形成k个块，对无割边的连通子图进行缩点后(假设为k个)，新图便变为一棵k个点由k-1条割边连接成的树，倘若其中有一条边不是割边，则它必可与其他割边形成一个环，而能继续进行缩点。

有割点的图不一定有割边，如：3是割点，分别与(1,2)和(4,5)形成两个无割点的块有割边的图也不定有割点,如：w(1,2)为割边，有向图强连通分量：有向图中任意两点相互可达的连通子图，其实也相当于无向图中的缩点二、算法无向图借助两个辅助数组dfn[],low[]进行DFS便可找到无向图的割点和割边，用一个栈st[]维护记录块和“缩点”后连通子图中所有的点。

dfn[i]表示DFS过程中到达点i的时间，low[i]表示能通过其他边回到其祖先的最早时间。

low[i]=min(low[i],dfn[son[i]])设 v,u之间有边w(v,u)，从v->u：如果low[u]>=dfn[v],说明v的儿子u不能通过其他边到达v的祖先，此时如果拿掉v,则必定把v的祖先和v的儿子u，及它的子孙分开，于是v便是一个割点，v和它的子孙形成一个块。

如果low[u]>dfn[v]时，则说明u不仅不能到达v的祖先，连v也不能通过另外一条边直接到达，从而它们之间的边w(v,u)便是割边，求割边的时候有一个重边的问题要视情况处理，如果v,u之间有两条无向边，需要仍视为割边的话，则在DFS的时候加一个变量记录它的父亲,下一步遇到父结点时不扩展回去，从而第二条无向重边不会被遍历而导致low[u]==dfn[v] ,而在另外一些问题中，比如电线连接两台设备A,B 如果它们之间有两根电线，则应该视为是双连通的，因为任何一条电线出问题都不会破坏A和B之间的连通性，这个时候，我们可以用一个used[]数组标记边的id,DFS时会把一条无向边拆成两条有向边进行遍历,但我们给它们俩同一个id号，在开始遍历v->u前检查它的id是否在上一次u->v 时被标记，这样如果两点之间有多条边时，每次遍历都只标记其中一条，还可以通过其他边回去，形成第二条新的路求割点的时候，维护一个栈st 每遍历到一个顶点v则把它放进去，对它的子孙u如果dfn[u]为0，则表示还没有遍历到则先DFS(u),之后再判断low[u]和dfn[v]，如果low[u]>=dfn[v],则把栈中从栈顶到v这一系列元素弹出，这些点与v 形成一个块，如果u的子孙x也是一个割点，这样做会不会错把它们和v，u放在一起形成一个块呢，这种情况是不会发生的，如果发现x是一个割点，则DFS 到x那一步后栈早就把属于x的子孙弹出来了，而只剩下v,u的子孙，它们之间不存在割点，否则在回溯到v之前也早就提前出栈了！画一个图照着代码模拟一下可以方便理解。