高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数的乘法和除法学案新人教B版选修1_2

（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算本章小结阅读与欣赏聪明在于学习，天才由于积累第二章函数2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（Ⅰ）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法本章小结阅读与欣赏函数概念的形成与发展第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）本章小结阅读与欣赏对数的发明必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积实习作业1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系本章小结阅读与欣赏散发着数学芳香的碑文第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式本章小结阅读与欣赏笛卡儿必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值、输入和输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例本章小结阅读与欣赏我国古代数学家秦九韶附录1解三元一次方程组的算法、框图和程序附录2Scilab部分函数指令表第二章统计2.1随机抽样2.1.2系统抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关本章小结阅读与欣赏蚂蚁和大象谁的力气更大附录随机数表第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用本章小结阅读与欣赏概率论的起源必修四第一章基本初等函数（Ⅱ）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角教学建模活动本章小结阅读与欣赏三角学的发展第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用本章小结阅读与欣赏向量概念的推广与应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积本章小结阅读与欣赏和角公式与旋转对称必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例本章小结阅读与欣赏亚历山大时期的三角测量第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和本章小结阅读与欣赏级数趣题无穷与悖论第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划本章小结选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的几何性质2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的几何性质2.3抛物线2.3.1抛物线级其标准方程2.3.2抛物线的几何性质本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性3.3.2利用导数研究函数的极值3.3.3导数的实际应用本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想选修1-2第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析本章小结“回归”一词的由来附表相关性检验的临界值表第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法本章小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想数学证明的机械化——机器证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法和减法3.2.2复数的乘法和除法本章小结复平面与高斯第四章框图4.1流程图4.2结构图本章小结阅读与欣赏冯·诺伊曼选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）本章小结阅读与欣赏向量的叉积及其性质选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何意义1.2导数的运算1.2.1常数函数与冥函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例本意小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法本章小节阅读与欣赏复平面与高斯选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角本章小结第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布本章小结阅读与欣赏关于“玛丽莲问题”的争论第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表选修3-1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3-2暂缺选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行摄影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-2引言第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法原理3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记选修4-6引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例说明：A版适用于文件生使用，B版适用于理科生使用，B 版比A版略难。

人教版高中数学B版目录第一篇：人教版高中数学B版目录人教版高中数学B版必修第一章1.1 集合集合与集合的表示方法必修一必修二必修三必修四第二章第三章第一章第二章第一章第二章第三章第一章第二章1.2 集合之间的关系与运算函数2.1 函数2.2 一次函数和二次函数 2.3 函数的应用（Ⅰ）2.4 函数与方程基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.2 对数与对数函数 3.3 幂函数3.4 函数的应用（Ⅱ）立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系平面解析几何初步2.1平面真角坐标系中的基本公式2.2 直线方程 2.3 圆的方程2.4 空间直角坐标系算法初步1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量的相关性概率3.1 随机现象 3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用基本初等函(Ⅱ)1.1 任意角的概念与弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3三角函数的图象与性质平面向量2.1 向量的线性运算必修五第三章第一章第二章第三章2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.3平面向量的数量积 2.4 向量的应用三角恒等变换3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积解直角三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例数列2.1 数列 2.2 等差数列 2.3 等比数列不等式3.1 不等关系与不等式 3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法 3.4 不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题人教版高中数学B版选修常用逻辑用语命题与量词第一章1.1 选修1－1 选修1－2 选修4－5 第二章第三章第一章第二章第三章第四章第一章第二章第三章1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式圆锥曲线与方程2.1 椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线导数及其应用3.1 导数3.2 导数的运算 3.3导数的应用统计案例推理与证明数系的扩充与复数的引入框图不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法 1.4 绝对值的三角不等式 1.5 不等式证明的基本方法柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.2 排序不等式2.3平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式第二篇：高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用word2002绘制流程图选修2－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法选修2－2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2－3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3－1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3－3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义选修3－4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一 n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4－1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4－2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1．旋转变换2．反射变换3．伸缩变换4．投影变换5．切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1．逆变换与逆矩阵2．逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1．二元一次方程组的矩阵形式2．逆矩阵与二元一次方程组探索与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1．特征值与特征向量2．特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1．Anα的简单表示2．特征向量在实际问题中的应用选修4－4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4－5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4－6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4－7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4－9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例第三篇：高中数学目录【人教版】高中数学教材总目录必修一第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修四第一章三角函数.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2 第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图选修2—1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法选修2—2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合。

究新人教B版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数的乘法和除法课堂探究新人教B版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数的乘法和除法课堂探究新人教B版选修1-2的全部内容。

堂探究新人教B版选修1—2探究一复数的乘、除运算两个复数的积和商仍为复数，运算过程中乘法运算可类比多项式的乘法运算规则；对于除法运算要格外注意,复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分化简，得出结论，但复数的除法因为分母为复数一般不能直接约分化简．【典型例题1】（1）（2014课标全国卷Ⅱ高考）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1＝2＋i，则z1z2＝( )A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i解析：由题意知：z2＝－2＋i。

又z1＝2＋i，所以z1z2＝(2＋i）(－2＋i)＝i2－4＝－5.故选A。

答案：A（2）(2014新课标全国卷Ⅰ高考）错误!＝( ）A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i解析：错误!＝错误!＝错误!＝－1－i.故选D.答案：D点评对于复数的运算，除应用四则运算法则之外,对于一些简单的算式要知道其结果,这样起点就高，计算过程就可以简化，达到快速、简捷、出错少的效果．比如下列结论，要记住：①错误!＝－i；②错误!＝i;③错误!＝－i;④a＋b i＝i(b－a i)；⑤错误!3＝1;⑥错误!3＝－1。

探究二共轭复数性质的应用1．共轭复数常用的性质有：①错误!＝z.②z·错误!＝|z｜2＝｜错误!｜2。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学过程一、推进新课1.复数的加法探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设bi a z +=1,di c z +=2是任意两个复数，那么()()()()i d b c a di c bi a +++=+++提出问题问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？活动设计:学生独立思考，口答。

活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。

2．一致。

3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。

设计意图：加深对复数加法法则的理解,且与实数类比，了解规定的合理性。

提出问题:实数加法有交换律、结合律，复数满足吗?并试着证明。

活动设计：学生先独立思考，然后小组交流.活动成果：满足,对任意的,,,321C z z z ∈有交换律:1221z z z z +=+结合律：()()321321z z z z z z ++=++证明:设bi a z +=1，di c z +=2,()()i d b c a z z +++=+21x O y()b a Z ,1 ()d c Z ,2 Z ()()i b d a c z z +++=+12显然，1221z z z z +=+同理可得，()()321321z z z z z z ++=++设计意图:引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算导学案新人教A版选修新知导学1、复数的乘法、乘方复数的乘法与多项式的乘法是类似的，运算过程中把____看作一个字母，但必须在所得的结果中把i2换成_____，并且把实部与虚部分别________、在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立、正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立、须特别注意：|z|2≠z2(z为虚数) 设z1＝a＋bi、z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a ＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝________(a、b、c、d∈R)、2、复数乘法的运算律对于任意z1、z2、z3∈C，有交换律z1z2＝__________结合律(z1z2)z3＝__________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝__________3、 (1i)2＝__________、牛刀小试11）、(1－i)2i＝()A、2－2iB、2＋2iC、2D、－22）、已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝()A、5－5iB、7－5iC、5＋5iD、7＋5i3、共轭复数1）、共轭复数的概念：一般地，当两个复数的实部_______，虚部____________时，这两个复数叫做互为共轭复数、通常记复数z的共轭复数为、2）、由复数的模及共轭复数的定义知，|z|与||_______，z＋是_______，z－是纯虚数的充要条件是z为_______、3）、在复平面内，互为共轭复数的两个复数对应的点关于__________对称、牛刀小试21）、(xx)若复数z 满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A、1－iB、1＋iC、－1－iD、－1＋i2）、若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，实数y＝________、4、复数的除法复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化，再化简、即(a＋bi)(c＋di)＝＝_________＝_________，复数除法运算的实质是__________、牛刀小试3、1） i是虚数单位，等于()A、1＋iB、－1＋iC、1－iD、－1－i2）复数＋i3的值是()A、0B、1C、－1D、i命题方向（一）复数的乘法与乘方【例一】XXXXX：计算：(1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i； (2)(1－i)2(1＋i)2＋4、跟踪训练１：(1)复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a 的值为()A、1B、2C、D、(2)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝_______命题方向（二）复数的除法【例二】计算(1)(1＋2i)(3－4i)；跟踪训练21)(15全国Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝()A、－2－iB、－2＋iC、2－iD、2＋i (2)设z＝＋i ，则|z|＝()A、B、C、D、2命题方向（三）共轭复数【例三复数的共轭复数是()A、－iB、iC、－iD、i跟踪训练3：(xx广东理)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z的共轭复数为()A、2－3iB、2＋3iC、3＋2iD、3－2i（四）准确掌握复数模的几何意义【例四】已知z2＝8＋6i，求z3－16z－、跟踪训练4已知关于x的方程＋＝1，其中a，b为实数、若x＝1－i是该方程的根，求a，b 的值；课时小结：课后作业1、(xx云南景洪市一中期末)复数的实部为()A、0B、1C、－1D、22、设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()A、－1＋iB、－1－iC、1＋iD、1－i3、(xx全国卷Ⅱ文)若a为实数，且＝3＋i，则a＝()A、－4B、－3C、3D、44、(xx郑州六校质量检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在()A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限5、复数等于()A、iB、－iC、2－iD、－2－i答案：牛刀小试1 1）、C2）、C ；牛刀小试21）、A ；2）、-1,1牛刀小试31)C2)A例一：1）5＋5i、 (2)8、跟踪训练 (1)C (2)5－5i例二跟踪训练2、(1)C (2)B 例三C 跟踪训练3: A 例四跟踪训练4(1)将x＝1－i代入＋＝1，化简得(＋)＋(b－)i＝1，∴解得a＝b＝2、课后作业1、A2、A3、D4、 A5、D课堂随笔:后记与感悟:。

高中数学第三章数系的扩充与复数3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法学案新人教B版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法学案新人教B版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章数系的扩充与复数3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法学案新人教B版选修2-2的全部内容。

3.2.2 复数的乘法3．2.3 复数的除法1．理解复数的乘除运算法则．2．会进行复数的乘除运算．（重点）3．掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算．（难点）4．掌握共轭复数的运算性质．（易混点)［基础·初探]教材整理1 复数的乘法及其运算律阅读教材P93～P94，完成下列问题．1．定义(a＋b i)(c＋d i)＝____________.2．运算律对任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝________结合律（z1·z2)·z3＝__________乘法对加法的分配律z1·（z2＋z3)＝__________34．i4n＋1＝________;i4n＋2＝________；i4n＋3＝__________；i4n＝__________.【答案】1．(ac－bd）＋（ad＋bc）i 2。

z2·z1z1·(z2·z3）z1·z2＋z1·z33．模的平方4．i －1 －i 1已知复数z1＝错误!（1＋i)(i为虚数单位）,复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,则z2＝________。

3．2.2 复数的乘法和除法1.了解共轭复数的性质．2.理解复数乘除法的运算定律．3.掌握复数乘除法的运算及共轭复数的性质．1．复数的乘法(1)定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)运算律①对任意z 1，z 2，z 3∈C 有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1·(z 2＋z 3)＝z 1·z 2＋z 1·z 3对复数z ，z 1，z 2和自然数m ，n ，有z m·z n＝z m ＋n，(z m )n＝z mn，(z 1·z 2)n＝z n1·z n2. 2．共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称． (2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z －⇔z ∈R . 利用这个性质，可以证明一个复数是实数． (3)z ·z －＝|z |2＝|z －|2∈R . 3．复数的除法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a 、b 、c 、d ∈R ，z 2≠0)， 则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )ic 2＋d 2．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数的积与商一定是虚数．( ) (2)两个共轭复数的和与积是实数．( )(3)两个共轭复数在复平面上的对应点关于实轴对称．( ) (4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．(1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．3＋3i解析：选B ．依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i ，选B ． 3.1＋3i1－i＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．－1－2i答案：B4．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，y ＝________． 答案：－1，1复数代数形式的乘除运算(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)；(2)(1＋2i)2＋3(1－i)2＋i ；(3)(1－4i)(1＋i)＋2＋4i 3＋4i.【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(2)(1＋2i)2＋3(1－i)2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i 2＋i ＝i(2－i)5＝15＋25i. (3)(1－4i)(1＋i)＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i 3＋4i＝(7＋i)(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i25＝1－i.复数乘除运算的常用技巧(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．1.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)解析：选C ．i(1＋i)2＝i ·2i ＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数．故选C ．2．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D ．45解析：选D ．因为(3－4i)z ＝|4＋3i|，所以z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝35＋45i ，所以z 的虚部为45.3．计算：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)； (2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i ；(3)(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i . 解：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i) ＝(24＋8i －6i ＋2)－(28＋21i －4i ＋3) ＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i. (2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i ＝i(2－3i)2－3i ＋－i(2＋3i)2＋3i＝i －i ＝0.(3)(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＝i 2－i －2i ＋2i －1＋i 2－i ＋i ＝1－3i －2＋i ＝(1－3i)(－2－i)(－2＋i)(－2－i)＝－2－i ＋6i ＋3i 25＝－5＋5i5＝－1＋i. 共轭复数性质的应用设z 1、z 2∈C ，A ＝z 1·z －2＋z 2·z －1，B ＝z 1·z －1＋z 2·z －2，问A 与B 是否可以比较大小？为什么？【解】 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， 则z －1＝a －b i ，z －2＝c －d i ，所以A ＝z 1·z －2＋z 2·z －1＝(a ＋b i)(c －d i)＋(c ＋d i)(a －b i)＝ac －ad i ＋bc i －bd i 2＋ac －bc i ＋ad i －bd i 2＝2ac ＋2bd ∈R ，B ＝z 1·z －1＋z 2·z －2＝|z 1|2＋|z 2|2＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2∈R ， 所以A 与B 可以比较大小．共轭复数性质的巧用(1)z ·z －＝|z |2＝|z －|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．1.若复数z 满足z－1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－iD ．－1＋i解析：选A ．由题意z －＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故选A ． 2．已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.i 的运算性质(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017等于________．(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)2 017＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.故填i.(2)设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，① 所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，② ①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i(1－i 100)1－i －100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－100(－1＋i)2＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n＋i n ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N ＋)．(2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i. ②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i1－i＝i. ③1i＝－i. 1.复数z ＝1－i 1＋i，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选B ．z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1.2．计算：(1)2＋2i (1－i)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i2 017.解：(1)原式＝2(1＋i)－2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋(－i)1 008＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i4×252＝i －1＋1 ＝i.(2)法一：原式＝i(1－i 2 017)1－i ＝i －i2 0181－i＝i －(i 4)504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2i2＝i.法二：因为i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N ＋)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017＝i2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.1．复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同，即所得结果中必须把i 2换成－1，结合到实际运算过程中去，把实部，虚部分别合并，而不必去记公式．2．复数的除法可以通过将分母实数化得到，即a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )ic 2＋d 2，公式也没必要去死记．3．复数的乘除法运算中，常考查i n 的周期性，往往把它与数列相结合．要熟记i n的周期性，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n＝1，n ∈N ＋.实数a 的共轭复数仍是a 本身，即z ∈C ，z ＝z －⇔z ∈R ，这是判断一个数是否是实数的一个准则，也是题目中的隐含条件，切记不要忽视．1．若z ＝1＋2i i ，则复数z －＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i解析：选D ．z ＝1＋2i i ＝2＋1i＝2－i ，z －＝2＋i.2．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则复数z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A ．z 1z 2＝3＋i1－i＝1＋2i ，位于第一象限．3．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z －＋z ＝________． 解析：因为z ＝1－2i ， 所以z ·z －＝|z |2＝5. 所以z ·z －＋z ＝6－2i. 答案：6－2i4．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是__________． 解析：法一：因为i(z ＋1)＝－3＋2i ， 所以z ＝－3＋2ii －1＝－(－3i －2)－1＝1＋3i ，故z 的实部是1.法二：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i 得i[(a ＋1)＋b i]＝－3＋2i ，－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，所以b ＝3，a ＝1，故z 的实部是1.答案：1[A 基础达标]1．若复数z ＝2i ＋21＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( )A ．22B ． 2C ． 3D ．2解析：选B ．由题意，得z ＝2i ＋21＋i ＝2i ＋2(1－i)(1＋i)(1－i)＝1＋i ，复数z 的模|z |＝12＋12＝ 2.2．复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ．z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选C ．3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：选D ．依题意得z ＝3＋i ，z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝4－2i2＝2－i ，该复数对应的点的坐标是(2，－1)．4．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选A ．由1＋z1－z＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i)(1－i)2＝2i 2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，故选A ．5．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i 解析：选B ．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1， 则z ＝3±i.6．i 是虚数单位，－5＋10i 3＋4i ＝________(用a ＋b i 的形式表示，其中a ，b ∈R )．解析：－5＋10i 3＋4i ＝(－5＋10i)(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝－15＋20i ＋30i ＋409＋16＝1＋2i.答案：1＋2i7.a ＋3i1＋2i(a ∈R )是纯虚数，则a ＝________． 解析：a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(a ＋6)＋(3－2a )i5，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝03－2a ≠0，所以a ＝－6.答案：－6 8．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________．解析：根据已知可得a ＋2ii ＝b ＋i ⇒2－a i ＝b ＋i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝－1，从而a ＋b ＝1.答案：1 9．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (2－i)(3＋i)； (2)(2＋2i)2(4＋5i)(5－4i)(1－i).解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (2－i)(3＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (7－i)＝3－72＋73＋12i.(2)(2＋2i)2(4＋5i)(5－4i)(1－i)＝4i(4＋5i)5－4－9i＝－20＋16i 1－9i ＝－4(5－4i)(1＋9i)82＝－4(41＋41i)82＝－2－2i.10．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝0的复数z 所对应的点在第几象限？解：结合⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc 可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝z (1＋i)－(1－i)(1＋2i)＝0，所以z ＝(1－i)(1＋2i)1＋i ＝(1－i)2(1＋2i)(1＋i)(1－i)＝2－i.所以复数z 所对应的点在第四象限．[B 能力提升]11．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：选B ．法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i)2－2(1－i)1－i －1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，从而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i)2－1－i ＝2i＝－2i.12．设z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：设z 1z 2＝b i(b ∈R 且b ≠0)， 所以z 1＝b i ·z 2，即a ＋2i ＝b i(3－4i)＝4b ＋3b i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ，2＝3b ，所以a ＝83.答案：8313．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i )·(1－i)－4. (1)求复数z 的共轭复数；(2)若ω＝z ＋a i ，且复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．解：(1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ， 所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)ω＝－2＋(4＋a )i ，复数ω对应向量为(－2，4＋a )， 其模为4＋(4＋a )2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模得，20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.14．(选做题)设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围；(2)设μ＝1－z 1＋z，求证：μ为纯虚数． 解：因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则ω＝z ＋1z ＝(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. (1)因为ω是实数，且y ≠0， 所以y －y x 2＋y 2＝0， 即x 2＋y 2＝1.所以|z |＝1，此时ω＝2x .又－1<ω<2，所以－1<2x <2.所以－12<x <1， 即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)证明：μ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i)1＋(x ＋y i)＝(1－x －y i)(1＋x －y i)(1＋x )2＋y 2 ＝1－x 2－y 2－2y i 1＋2x ＋x 2＋y 2. 又x 2＋y 2＝1，所以μ＝－y 1＋x i. 因为y ≠0，所以μ为纯虚数．。

3.2.2 复数的乘法1．能运用复数的乘法运算法则进行简单的计算．2．掌握虚数单位“i”的幂的规律进行化简求值．复数的乘法(1)两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是在遇到i2时，要把______换成______，并把最后的结果写成a＋b i(a，b∈R)的形式．(2)两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的______．(1)两个复数的积仍为复数．(2)复数的乘法运算满足：①交换律：z1·z2＝z2·z1；②结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；③乘法对加法的分配律：z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.(3)对复数z1，z2，z和自然数m，n有：z m·z n＝z m＋n，(z m)n＝z m·n，(z1·z2)n＝z n1·z n2.实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立．【做一做1－1】计算(1－i)4得( )．A．4 B．－4C．4i D．－4i【做一做1－2】(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)的运算结果是________．共轭复数有哪些运算性质？剖析：(1)z·z＝|z|2＝|z|2；(2)z2＝(z)2；(3)z1·z2＝z1·z2；(4)z1±z2＝z1±z2.题型一复数乘法运算【例题1】计算：(2－3i)(3＋2i)分析：根据运算法则计算即可．反思：复数的乘法与多项式乘法类似，在计算两个复数相乘时，先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，最后合并同类项即可．题型二i的幂的运算【例题2】已知等比数列z1，z2，z3，…，z n，其中z1＝1，z2＝x＋y i，z3＝y＋x i(x，y∈R，且x＞0)．(1)求x，y的值；(2)试求使z1＋z2＋z3＋…＋z n＝0的最小正整数n；(3)对(2)中的正整数n，求z1·z2·z3·…·z n的值．分析：借助等比数列建立等式关系，利用复数相等的充要条件，将复数问题转化成实数问题来求解，进而得到数列通项公式，然后便使问题逐步得以解决．反思：(1)1,i,i 1,i,n⎧⎪⎪⎨-⎪⎪-⎩＝4414243.n k k n k k n k k n k k ∈∈∈∈Z Z Z Z ＝，，＝＋，，＝＋，，＝＋，(2)i n＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0，n ∈Z .题型三 共轭复数的性质【例题3】若z ，z 0∈C ，z ≠z 0，且|z |＝2，求4z z zz --的值.分析：要用z 表示004z z zz --比较困难，z 0没有具体给出，要想求04z z zz --的值，必须充分利用|z |＝2，为此要考虑用|z |的性质|z |2＝2z zz = 反思：22z z zz ==是在求解复数问题时常用的一个公式.题型四 易错辨析易错点：有些同学总认为只要是复数式子就不能比较大小，这种观点是错误的.错误原因是：若两复数经化简后为实数，则能比较大小，因此要注意运算时式子中的隐含条件. 【例题4】已知z 1，z 2∈C ，且z 1·z 2≠0，1212,A z z z z =⋅+⋅1122·B z z z z +⋅＝，问A ，B 可否比较大小？并说明理由.错解：因为z 1，z 2∈C ，且z 1·z 2≠0，所以A ∈C ，而B ＝|z 1|2＋|z 2|2∈R ，所以A ，B 不能比较大小.1设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，若z 1z 2∈R ，则x 等于( ). A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．22设复数1z =+则z 2－2z 等于( ).A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i3设z ∈C ，2212i z z z ＝－,2z z z =⋅,则复数z 1与z 2的关系是( ).A ．z 1≤z 2B ．z 1≥z 2C ．z 1＝z 2D ．不能比较大小4已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z ＝________. 5已知复数z 1＝cos θ－i ，z 2＝sin θ＋i ，则z 1·z 2的实部的最大值为________，虚部的最大值为________. 答案：基础知识·梳理1．(1)i 2－1 (2)平方【做一做1－1】B (1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝－4.【做一做1－2】－20＋15i (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.典型例题·领悟【例题1】解：(2－3i)(3＋2i)＝6＋4i －9i －6i 2＝6＋4i －9i ＋6＝12－5i.【例题2】解：(1)由z 1z 3＝z 2，得(x ＋y i)2＝y ＋x i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x2－y2＝y ，2xy ＝x(x ＞0)．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12.(2)z 1＝1，z 2＝32＋12i ，q ＝32＋12i ，则z n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i n －1，于是z 1＋z 2＋…＋z n ＝1＋q ＋q 2＋…＋qn －1＝1－qn 1－q ＝0，则q n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i n ＝1，即n 既是3的倍数又是4的倍数． 故n 为12的倍数，所求最小的正整数n 为12.(3)z 1·z 2·…·z 12＝1·⎝⎛⎭⎪⎫32＋12i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 1＋2＋…＋11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 66＝(－i)66⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 66＝－1.【例题3】解法一：∵|z |＝2，|z |2＝z z ＝4，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －z04－z z0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －z0z z －z z0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －z0z －＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1z ＝12. 解法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －z04－z z02＝z －z04－z z0·z －z04－z z0＝|z|2＋|z0|2－z z0－z z016＋|z|2|z0|2－4z z0－4z z0＝4＋|z0|2－z z0－z z0＋|z0|2－z z0－z＝14， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪z －z04－z z0＝12. 【例题4】错因分析：错解中直接由z 1C ，z 2C 得A C 是不严密的，事实上只要求出A 就能发现A 为实数．正解：因为A ＝z 1·z2＋z1·z 2，故A ＝z 2·z1＋z 1·z2＝A ，即A R ，而B ＝z 1·z1＋z 2·z2＝|z 1|2＋|z 2|2R ，所以A ，B 可以比较大小，且有A －B ＝z 1·z2＋z 2·z1－(z 1·z1＋z 2·z2)＝z 1(z2－z1)＋z 2(z1－z2)＝－(z 1－z 2)(z1－z2)＝－|z 1－z 2|2≤0，故有A －B ≤0，即A ≤B . 随堂练习·巩固1．A ∵z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝(x －2)＋(x ＋2)i R ，∴x ＋2＝0，∴x ＝－2. 2．A z 2－2z ＝(1＋2i)2－2(1＋2i)＝－1＋22i －2－22i ＝－3.3．A 设z ＝a ＋b i(a ，b R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，z2＝a 2－b 2－2ab i ，z 2－z2＝4ab i ，所以2i z 1＝4ab i ，∴z 1＝2ab ，z 2＝z ·z ＝a 2＋b 2≥2ab .4．－2i 设z ＝b i(b R ，且b ≠0)，则(b i ＋2)2－8i ＝(4－b 2)＋(4b －8)i 为纯虚数．所以⎩⎪⎨⎪⎧4－b2＝0，4b －8≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝±2，b≠2.即b ＝－2.5．322 z 1·z 2＝(cos θ·sin θ＋1)＋(cos θ－sin θ)i ，实部为cos θsinθ＋1＝1＋12sin 2θ≤32，故实部的最大值为32，虚部为－sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ≤2，故虚部的最大值为 2.。

第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念一、教学目标1.核心素养：通过学习数系的扩充和复数的概念，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标：（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.（2）理解复数的基本概念，复代数形式及复数相等的充要条件.（3）复数的向量表示.3.学习重点：复数的概念，复数的代数形式，复数的向量表示.4.学习难点：复数相等的条件，复数的向量表示.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务x+=在实数集中无解.联系从自然数系任务1、阅读教材P102，思考：方程210到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？任务2、阅读教材P103，思考：复数集C和实数集R有什么关系？任务3、阅读教材P104-P105,思考：实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可以用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？2.预习自测1.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )A.±1B.±iC.±2iD.±2i答案：C解析：略2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，1答案：C解析：略3、如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )A.1B.0C.－1D.－1或1答案：B解析：略（二）课堂设计1.知识回顾（1）对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数2.问题探究问题探究一：数系的扩充x+=，没有实数根.我们能否将实数集进行扩充，对于实系数一元二次方程210使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？●活动一：回顾旧知，回顾数集的扩充过程对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数（教师引导）●活动二：类比旧知，探究数系的扩充.对于实系数一元二次方程210x +=，没有实数根.我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？我们说，实系数一元二次方程210x +=没有实数根.实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数.解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？最根本的问题是要解决－1的开平方问题.即一个什么样的数，它的平方会等于－1.我们引入一个新数i ，它的平方等于－1 ●活动三：类比探究，研究新数i 的运算性质把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定： ①虚数单位i 的平方等于-1，即21i =-②i 的周期性：41n ii +=,421n i +=-43n +4n ③实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立.有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事.这样，就可以解决前面提出的问题（1-可以开平方，而且1-的平方根是i ±）.问题探究二：复数的概念 ●活动一：理解概念，复数的代数形式 怎样表示一个复数？根据虚数单位i 的第③条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加.由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a bi +这样，数的范围又扩充了，出现了形如(,)a bi a b R +∈的数，我们把它们叫做复数.复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋bi ，(其中a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部.复数的实部、虚部满足什么条件表示实数？ 对于复数a +bi (a,b ∈R ),当且仅当b =0时,它是实数; 当且仅当a =0且b =0时,它是实数0; 当b ≠0时,叫做虚数;当a =0且b ≠0时，叫做纯虚数; ●活动二：剖析概念复数m ＋ni 的实部、虚部一定是m 、n 吗？不一定，只有当m ∈R ，n ∈R ，则m 、n 才是该复数的实部、虚部. 对于复数a +bi 和c +di (a,b,c,d ∈R )，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？（a =c 且b =d ，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等.） 任意两个实数可以比较大小，复数呢？如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小. ●活动三：完善知识体系复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系是怎样的？复数z =(,)a bi a b R +∈包括：0,0)0)0,0)a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数z 一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b●活动四：复数基本概念、复数的代数形式、复数充要条件的应用 例1、实数m 为什么值时()11z m m i=++-是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数答案：见解析解析：（1）当10m -=，即1m =时，复数z 是实数； (2)当10m -≠即1m ≠时，复数z 是虚数；(3)当10,10m m +=-≠即m 1=-时，复数z 是纯虚数.点拨：本题是对实数、虚数、纯虚数概念的考察.因为m R ∈,所以()()1,1m R m R +∈-∈.由z a bi =+是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定m 的值.例2、已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i (x ∈R )，求x 的值.答案：见解析解析：由复数相等的定义得⎩⎨⎧x 2－x －6x ＋1＝0.x 2－2x －3＝0.解得：x ＝3，所以x ＝3为所求.点拨：本题考察复数相等的充要条件.对于复数a +bi 和c +di (a,b,c,d ∈R )当且仅当a =c 且b =d ，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等例3、设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1＜z 2，求实数m 的取值范围. 答案：见解析解析：由于z 1＜z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0， m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0， m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1＜z 2. ∴z 1＜z 2时，实数m 的取值为m ＝1.点拨：本题考察对复数概念的理解.如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小.●活动一 类比实数的几何意义，探究复数的几何意义若把a,b 看成有序实数对（a,b ），则（a,b ）与复数a +bi 是怎样的对应关系？有序实数对（a,b ）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系） 实数可以用数轴上的点来表示实数 一一对应实数轴上的点（几何模型）任何一个复数z =a +bi,都可以由一个有序实数对（a,b ）唯一确定.因为有序实数对（a,b ）与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应,复平面内的点Z (a ，b )；如图：复数z =a +bi 可以用点Z （a,b ）（复数的几何形式）来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点（除了原点）都表示纯虚数例4、实数m 取什么值时，复平面内表示复数()()22815514m m m m i -++--的点（1）位于第四象限；（2）位于y =x 上. 答案：见解析解析：(1)由()22815,514m m m m -+--位于第四象限，得2281505140m m m m ⎧-+>⎨--<⎩，解得，2357m m -<<<<或(2)由()22815,514m m m m -+--位于直线y =x 上，得22815=514m m m m -+--即293m =点拨：本题考察复数的几何意义即复数z =a +bi,与点Z （a,b ）一一对应.复数z a bi =+表示的点坐标为(),a b ，分别由条件，点()22815,514m m m m -+--位于第四象限、y =x 上可得●活动二：类比探究复数的另外一个几何意义除了用平面里的点表示复数，还可以用什么表示复数？还可以用向量！ 设复平面内的点Z （相对于原点来说）也可以由向量OZ 唯一确定.反之，也成立.因此，复数z =a +bi 与OZ 也是一一对应的（实数0与零向量对应），这是复数的另一种几何意义.复数z ，点Z (a,b ),OZ 三者关系如下：复数z a bi =+复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ . 复数的向量形式.以原点O 为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数. ●活动三：探究复数的模的几何意义向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +. 由模的定义知:22||||(0,)z a bi r a b r r R =+==+≥∈例5、已知复数z ＝3＋ai ，且|z |<4，求实数a 的取值范围.答案：见解析解析：方法一：∵z ＝3＋ai (a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7).方法二：利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋ai 知z 对应的点在直线x ＝3上， 所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合. 由图可知：－7<a <7点拨：本题考察复数的几何意义即复数的模及考察数形结合思想.例6、设z ∈C ，在复平面内对应点Z ，试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形.(1)|z |＝2；(2)1≤|z |≤2. 答案：见解析解析：(1)方法一：|z |＝2说明复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为2， 这样的点Z 的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.方法二：设z ＝a ＋bi ，由|z |＝2，得a 2＋b 2＝4.故点Z 对应的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.(2)不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2及该圆内部所有点的集合.不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z |≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.点拨：解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z |表示点Z 到原点的距离，可依据|z |满足的条件判断点Z 的集合表示的图形； 二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决 3.课堂总结 【知识梳理】(1)复数的分类：复数(z =a ＋bi ，a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎨⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋bi ＝c ＋di ⇔ a ＝c 且b ＝d . (3)复数与点、向量间的对应①复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应,复平面内的点Z (a ，b )； ②复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应,平面向量OZ →＝(a ，b ).(4)复数的模复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2. 【重难点突破】（1）对于复数概念，首先要在变化中认识复数代数形式的结构，正确判断复数的实部、虚部，然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件，用列方程（或不等式）的方法求出相应参数的取值(或取值范围)（2）对于复数相等的问题.必须保证实部和虚部都分别相等.（3）对于复数的向量表示，一定先准确找出复数所表示的向量是关键. 4.随堂检测1.若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i (a ∈R )不是纯虚数，则( ) A.a ＝－1 B.a ≠－1且a ≠2 C.a ≠－1 D.a ≠2 答案：C.解析：若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数.当a 2－a －2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数，解得a ≠－1且a ≠2；当a 2－a －2＝0且|a －1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得a ＝2.综上所述，当a ≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数.点拨：纯虚数的概念、复数的代数形式2.如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A.1 B.0 C.－1 D.－1或1 答案：B解析：由题意知⎩⎨⎧m （m ＋1）＝0m 2－1≠0∴m ＝0.点拨：复数的概念、复数的代数形式3.在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 答案：B解析：∵z ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限点拨：复数几何意义4.在复平面内，O 为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A.－2－iB.－2＋iC.1＋2iD.－1＋2i 答案：B解析：∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i点拨：复数几何意义 （三）课后作业 基础型自主突破1.说出复数i i 31,5,32--+的实部和虚部.答案：见解析解析： 复数2+3i 的实部是2，虚部是3；-5的实部是-5，虚部是0；i 31-的实部是0，虚部是31-点拨：复数的概念、复数的代数形式2.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？72+，618.0，i 72，0，i ，2i ，85+i ，i 293-实数： 虚数： 纯虚数： 答案：实数有：72+，618.0，0，2i虚数有：i 72，i ，85+i ，i 293-纯虚数有：i 72，i 解析：略点拨：复数的概念、复数的代数形式3.设O 是原点，向量,OA OB →→对应的复数分别为23,32i i --+，那么向量BA →对应的复数是（ ）.55A i -+.55B i --.55C i +.55D i -答案：B解析：BA OA OB →→→=-(23)(32)i i =---+55i =-点拨：复数的概念、复数的几何意义4.下列n 的取值中，使n i =1(i 是虚数单位）的是（ ）A.n =2B .n =3C .n =4D .n =5答案：C.解析：因为41i =,点拨：复数的概念、复数的代数形式5.设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =（）A.8B.6C.4D.2答案：C解析：()a i =1=n i ，则最小正整数n 为4，点拨：复数的概念、复数的代数形式6.若复数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，试求实数m 的值.答案：见解析解析：若复数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，则⎪⎩⎪⎨⎧≠-=+-0306522m m m m ∴2=m 点拨：复数的概念、复数的代数形式能力型师生共研7.若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B.解析：∵θ∈(3π4，5π4)，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.点拨：复数的几何意义8.复数2(2)(11)()a a a i a R --+--∈不是纯虚数，则有（ ）.0A a ≠.2B a ≠.02C a a ≠≠且.1D a =-答案：C 解析：需要110a --≠，即02a a ≠≠且.点拨：复数的概念、复数的代数形式9.集合｛Z ︱Z ＝Z n i i n n ∈+-,｝，用列举法表示该集合，这个集合是（ ）A.｛0，2，－2｝B.｛0，2｝C.｛0，2，－2，2i｝D.｛0，2，－2，2i，－2i｝答案：A解析：略点拨：根据n i成周期性变化可知.10.设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋tan Bi对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B解析：略点拨：复数的几何意义探究型多维突破11、复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A､B､C，若∠BAC是钝角，求实数c的取值范围.答案：见解析解析：在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC是钝角得AB AC<0,且B､A､C不共线,由(-3,-4)·(c-3,2c-10)<0解得c>49,11其中当c=9时,(6,8)2AC AB==-,三点共线,故c≠9.∴c的取值范围是c>4911且c≠9.点拨：复数的几何意义，代数形式12、在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么？（1）|z-1-i|=|z+2+i|（2）|z+i|+|z-i|=4（3）|z+2|-|z-2|=1（4）若将（2）中的等于改为小于呢？答案：（1）直线；（2）椭圆；（3）双曲线延伸：（4）椭圆及其内部解析：略点拨；复数四则运算及复数几何意义自助餐1.已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（）A.0B.﹣1C.1D.﹣i答案：D解析：略点拨：复数的乘法运算2.设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（）A.﹣2﹣6iB.﹣2+2iC.4+2iD.4﹣6i答案：B解析：略点拨：复数的乘法运算3.实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（）A.2B.1C.﹣1D.﹣2答案：B解析：略点拨：复数的运算、复数相等的概念4.设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（）A.B.C.±1D.答案：D解析：略点拨：复数的概念、复数的代数形式、复数的模5.2＋7，27i,0,8＋5i，(1－3)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案：C.解析：27i，(1－3)i是纯虚数，2＋7，0,0.618是实数，8＋5i是虚数.点拨：复数的概念、复数的代数形式6.已知复数z＝1a－1＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )A.1或－1B.1C.－1D.0或－1 答案：C.解析：因为复数z＝1a－1＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则⎩⎨⎧a2－1＝0，a－1≠0，解得a ＝－1点拨：复数的概念、复数的代数形式7.复数z ＝i cos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )A.虚轴B.虚轴除去原点C.线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D.C 中线段PQ ，但应除去原点答案：C解析：略点拨：复数的几何意义8.已知(2m －5n )＋3i ＝3n －(m ＋5)i ，m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________.答案：－10解析：根据复数相等的充要条件可知：⎩⎨⎧ 2m －5n ＝3n ，3＝－(m ＋5)，解得⎩⎨⎧m ＝－8，n ＝－2.所以m ＋n ＝－10.点拨：复数的概念、复数的代数形式9.若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足________.答案：m ≠－1且m ≠6解析：m ≠－1且m ≠6. 因为m 2－3m －4＋(m 2－5m －6)i 是虚数，所以m 2－5m －6≠0，所以m ≠－1且m ≠6.点拨：复数的概念、复数的代数形式10、如果12log (m ＋n )－(m 2－3m )i >－1，如何求自然数m ，n 的值？答案：m ＝0，n ＝1 解析：因为12log (m ＋n )－(m 2－3m )i >－1，所以12log (m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数， 从而有21230log (m n)1m m ⎧-=⎪⎨+>-⎪⎩ 由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾，综上可得m ＝0，n ＝1.点拨：复数的概念、复数的代数形式11.设复数z ＝lg(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i ，(1)当实数m 为何值时，z 是纯虚数？(2)当实数m 为何值时，z 是实数？答案：见解析解析：(1)因为复数z ＝lg(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i 是纯虚数，所以⎩⎨⎧ m 2－2m －3＞0，lg(m 2－2m －3)＝0，m 2＋3m ＋2≠0.解得m ＝1±5，所以当m ＝1±5时，z 是纯虚数.(2)因为复数z ＝lg(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i 是实数，所以⎩⎨⎧m 2－2m －3＞0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2，所以当m ＝－2时，z 是实数.点拨：复数的概念、复数的代数形式12.已知复数|z |＝1，求复数3＋4i ＋z 的模的最大值及最小值.答案：见解析解析：令ω＝3＋4i ＋z ，则z ＝ω－(3＋4i ).∵|z |＝1，∴|ω－(3＋4i )|＝1，∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆， 如图，容易看出，圆上的点A 所对应的复数ωA 的模最大，为＋1＝6；圆上的点B 所对应的复数ωB 的模最小，为－1＝4，∴复数3＋4i ＋z 的模的最大值和最小值分别为6和4.点拨：复数的几何意义数学视野自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要.开始只有很少几个自然数，后来随着生产力的发展和记数方法的改进，逐步认识越来越多的自然数..从某种意义上说，幼儿认识自然数的过程，就是人类祖先认识自然数的过程的再现.随着生产的发展，在土地测量、天文观测、土木建筑、水利工程等活动中，都需要进行测量.在测量过程中，常常会发生度量不尽的情况，如果要更精确地度量下去，就必然产生自然数不够用的矛盾.这样，分数就应运而生.据数学史书记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有关于分数的问题.引进分数,这是数的概念的第一次扩展.最初人们在记数时，没有“零” 的概念.后来，在生产实践中,需要记录和计算的东西越来越多，逐渐产生了位值制记数法.有了这种记数法，零的产生就不可避免的了.我国古代筹算中，利用“空位”表示零.公元6世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零. 但是，把“0”作为一个数是很迟的事.引进数0，这是数的概念的第二次扩充.以后,为了表示具有相反意义的量,负数概念就出现了.我国是认识正、负数最早的国家，《九章算术》中就有了正、负数的记载.在欧洲，直到17世纪才对负数有一个完整的认识.引进负数，这是数的概念的第三次扩充.数的概念的又一次扩充渊源于古希腊.公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯(Pythagqras，约公元前580～前500)学派发现了单位正方形的边长与对角线是不可公度的，为了得到不可公度线段比的精确数值，导致了无理数的产生.当时只是用几何的形象来说明无理数的存在，至于严格的实数理论，直到19世纪70年代才建立起来.引进无理数，形成实数系，这是数的概念的第四次扩充.数的概念的再一次扩充，是为了解决数学自身的矛盾.16世纪前半叶，意大利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的求根公式，胆地引用了负数开平方的运算，得到了正确答案.由此，虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用,成功地经受了理论和实践的检验，最后于18世纪末至19世纪初确立了虚数在数学中的地位.引进虚数，形成复数系，这是数的概念的第五次扩充.上面,我们简要地回顾了数的发展过程.必须指出，数的概念的产生，实际上是交错进行的.例如，在人们还没有完全认识负数之前，早就知道了无理数的存在；在实数理论还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程了.直到19世纪初，从自然数到复数的理论基础，并未被认真考虑过.后来，由于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响，促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构.从19世纪中叶起，经过皮亚诺(G.Peano，1855～1939)、康托尔(G.Cantor，1845～1918)、戴德金(R.Dedekind，1831～1916)、外尔斯特拉斯(K.Weierstrass，1815～1897)等数学家的努力，完成了建立整个数系的逻辑工作.近代数学关于数的理论，是在总结数的历史发展的基础上，用代数结构的观点和比较严格的公理系统加以整理而建立起来的.作为数的理论系统的基础，首先要建立自然数系，然后逐步加以扩展.一般采用的扩展过程是N--------→Z--------→Q--------→R--------→C(自然数集) (整数集) (有理数集) (实数集) (复数集)科学的数集扩充，通常采用两种方法：一是添加元素法，即把新元素添加到已建立的数集中去；二是构造法,即从理论上构造一个集合，然后指出这个集合的某个真子集与先前的数集是同构的.中、小学数学教学中，为了适应学生的年龄特征和接受能力,关于数系的扩充，主要是渗透近代数学观点，采用添加元素并强调运算的方法来进行的.其扩充过程是:自然数集(添零)→扩大的自然数集(添正分数)→算术数集(添负有理数) →有理数集(添无理数)→实数集(添虚数)→复数集数系的每一次扩充，都解决了一定的矛盾，从而扩大了数的应用范围.但是，数系的每一次扩充也会失去某些性质.例如，从自然数系N扩充到整数系Z后，Z 对减法具有封闭性，但失去N的良序性质，即N中任何非空子集都有最小元素.又如，由实数系R扩充到复数系C后，C是代数闭域，即任何代数方程必有根,但失去了R的顺序性，C中元素已无大小可言.数系扩充到复数系后，能否继续扩充?这个问题的答案是有条件的.如果要求完全满足复数系的全部运算性质,那么任何扩充都是难以成功的.如果放弃某些要求，那么进一步的扩充是可能的.比如，放弃乘法交换律，复数系C可以扩充为四元数系H,如果再适当改变对乘法结合律的要求，四元数系H又可扩充为八元数系Ca等等.当然,在现代数学中，通常总是把“数”理解为复数或实数，只有在个别情况，经特别指出，才用到四元数.至于八元数的使用就更罕见了.。

3．2.2 复数代数形式的乘除运算预习课本P109～111，思考并完成下列问题(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？[新知初探]1．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 33.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 4．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． [点睛] 在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( )(2)若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．(北京高考)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案：A3．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋4i答案：A4．复数i 2＋i 3＋i41－i ＝________.答案：12－12i复数代数形式的乘法运算[典例] (1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B.12C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ， 所以z 的实部是5. [答案] (1)A (2)51．两个复数代数形式乘法的一般方法 (1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i 2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R)． (2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. [活学活用]1．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y的值为( )A ．2B ．－2iC ．－4D ．2i解析：选D 由x i －y ＝－1＋i 得x ＝1，y ＝1，所以(1＋i)x ＋y＝(1＋i)2＝2i.2．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，所以a －1＝0，a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ， ∴z ＝11＋7i 2－i ＝11＋7i 2＋i 2－i 2＋i ＝15＋25i5＝3＋5i.(2)1＋a i 2－i ＝1＋a i 2＋i 2－i 2＋i ＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)1i ＝－i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i. [活学活用]1．(天津高考)i 是虚数单位，计算1－2i 2＋i 的结果为________．解析：1－2i 2＋i ＝1－2i 2－i 2＋i 2－i ＝2－2－i －4i5＝－i.答案：－i 2．计算：1＋i4＋3i2－i 1－i＝________.解析：法一：1＋i 4＋3i 2－i1－i ＝1＋7i 1－3i ＝1＋7i 1＋3i10＝－2＋i. 法二：1＋i4＋3i 2－i 1－i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3i 2－i＝i4＋3i2＋i5＝－3＋4i2＋i5＝－10＋5i5＝－2＋i. 答案：－2＋ii 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1D ．－1(2)计算i 1＋i 2＋i 3＋…＋i 2 016＝________.[解析] (1)因为i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i ，所以其共轭复数为i ，故选A. (2)法一：原式＝i1－i 2 0161－i＝i[1－i 21 008]1－i＝i 1－11－i＝0.法二：∵i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝0， ∴i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N)， ∴i 1＋i 2＋i 3＋…＋i2 016，＝(i 1＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0.[答案] (1)A (2)0虚数单位i 的周期性(1)i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．(2)i n＋in ＋1＋in ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N)．[活学活用]计算1＋i 1－i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 3·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 10＝______. 解析：∵1＋i 1－i ＝i ，∴原式＝i·i 2·i 3·…·i 10＝i 1＋2＋3＋…＋10＝i 55＝i 3＝－i.答案：－i复数综合应用[典例] 设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1＜ω＜2，求|z |的值及z 的实部的取值范围．[解] 因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0. 所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数且y ≠0， 所以y －yx 2＋y2＝0，所以x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x .因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x ＜2， 从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. [一题多变]1．[变设问]若本例中条件不变，设u ＝1－z1＋z ，证明u 为纯虚数．证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， 由典例解析知，x 2＋y 2＝1， ∴u ＝1－z 1＋z ＝1－x ＋y i 1＋x ＋y i ＝1－x －y i 1＋x －y i1＋x 2＋y2＝1－x 2－y 2－2y i 1＋x 2＋y 2＝－y 1＋xi. 因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0，所以y 1＋x ≠0，所以u 为纯虚数．2．[变设问]若本例条件不变，求ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值．解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， 由典例解析知x 2＋y 2＝1. 则ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x21＋x 2＝2x ＋1－x 1＋x＝2x －1＋21＋x ＝2(x ＋1)＋21＋x －3.因为－12＜x ＜1，所以1＋x ＞0. 于是ω－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2(x ＋1)＋21＋x －3≥22x ＋1·21＋x －3＝1. 当且仅当2(x ＋1)＝21＋x， 即x ＝0时等号成立． 所以ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值为1，此时z ＝±i.复数运算的综合问题解决方法在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x ＋y i(x ，y ∈R)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决．层级一 学业水平达标1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 2．(全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋i解析：选C z －1＝1＋ii＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C.3．(广东高考)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：选A ∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴z ＝2－3i. 4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( ) A ．－1 024 B ．1 024 C ．0D ．512解析：选 C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.5．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D2＋a i1＋i＝2＋a i 1－i 1＋i1－i ＝a ＋22＋a －22i ＝3＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＝3，a －22＝1，解得a ＝4，故选D.6．在复平面内，复数z ＝i(1＋3i)对应的点位于第________象限． 解析：∵z ＝i(1＋3i)＝i ＋3i 2＝－3＋i ， ∴复数z 对应的点为(－3,1)，在第二象限． 答案：二7．设i 为虚数单位，则1i ＋1i 2＋1i 3＋1i4＝________.解析：1i ＋1i 2＋1i 3＋1i 4＝－i －1＋i ＋1＝0.答案：08．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.解析：∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，0＝1＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋－12＝ 5.答案： 5 9．计算：i －2i －11＋i i －1＋i ＋－3－2i2－3i .解：因为i －2i －11＋ii －1＋i ＝i －2i －1i 2－1＋i ＝i －2i －1－2＋i＝i －1，－3－2i2－3i ＝－3－2i 2＋3i 2－3i2＋3i ＝－13i13＝－i ，所以i －2i －11＋ii －1＋i ＋－3－2i2－3i＝i －1＋(－i)＝－1.10．已知z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.层级二 应试能力达标1．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．CD ．D解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且a ＜0，b ＞0，则z的共轭复数为a －b i ，其中a ＜0，－b ＜0，故应为B 点．2．设a 是实数，且1＋a i1＋i ∈R ，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B 因为1＋a i 1＋i ∈R ，所以不妨设1＋a i1＋i＝x ，x ∈R ，则1＋a i ＝(1＋i)x ＝x ＋x i ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，a ＝x ，所以a ＝1.3．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：选B ∵a ＋ii＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a＝3或a ＝－3(舍)．4．计算－1＋3i31＋i 6＋－2＋i 1＋2i的值是( ) A ．0 B ．1 C ．iD ．2i解析：选D 原式＝－1＋3i3[1＋i 2]3＋－2＋i 1－2i 1＋2i 1－2i＝－1＋3i32i3＋－2＋4i ＋i ＋25＝－12＋32i 3－i ＋i ＝1－i ＋i ＝i －i i＋i ＝2i.5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝a ＋2i 3＋4i 9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝3a －8＋4a ＋6i25，∵z 1z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案：836．i 是虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________.解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i 21－i22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i －2i 2＝1. 答案：1 7．设复数z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ，若z 2＋a z＜0，求纯虚数a .解：由z 2＋az ＜0可知z 2＋a z是实数且为负数．z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ＝2i ＋3－3i2＋i＝3－i2＋i＝1－i. ∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ∈R 且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i＝－2i ＋m i －m2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i ＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m2＜0，m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.8．复数z ＝1＋i3a ＋b i1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝1＋i2·1＋i1－i(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.② 又∵z 对应的点在第一象限， ∴a ＜0，b ＜0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，复数7－i3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i 解析：选B7－i3＋i＝7－i3－i10＝20－10i 10＝2－i.2．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 是虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－iD ．－1＋i解析：选A z ＝(1－i)i ＝－i 2＋i ＝1＋i ，z ＝1－i ，故选A. 3．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B2i1－i＝2i 1＋i 1－i 1＋i＝2i －12＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.4．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z ，则2－zz等于( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i解析：选C 由题意可得2－z z ＝2－－1＋i －1－i＝3－i－1＋i－1－i－1＋i＝－1＋2i ，故选C.5．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝12－32i.6．已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2 016(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A.12 B ．－12C.12i D ．－12i解析：选B ∵2 016＝4×504，∴i2 016＝i 4＝1.∴z ＝11－i ＝12＋12i ，∴z ＝12－12i ，∴z 的虚部为－12.故选B.7．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz等于( )A ．1B ．－iC ．±1D ．±i解析：选 D 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以zz＝2－2i 2＋2i ＝1－i1＋i＝1－i 21＋i 1－i ＝－2i 2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝1＋i 21－i 1＋i ＝2i2＝i ，所以z z＝±i.8．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则y x的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：选D 因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识－3≤y x≤ 3.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)9．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.答案：－210．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________z －＝________.解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21，z －＝21－20i. 答案：21 21－20i11．若a 为实数，2＋a i1＋2i ＝－2i ，则a ＝________，2＋a i 在第________象限．解析：2＋a i 1＋2i＝－2i ，可得2＋a i ＝－2i(1＋2i)＝2－2i ，所以a ＝－2，2＋a i ＝2－2i 在第四象限．答案：－ 2 四12．若复数z ＝(a －2)＋3i(a ∈R)是纯虚数，则a ＝______，a ＋i1＋a i＝________.解析：∵z ＝a －2＋3i(a ∈R)是纯虚数，∴a ＝2， ∴a ＋i 1＋a i ＝2＋i 1＋2i ＝2＋i 1－2i 5＝45－35i. 答案：2 45－35i13．已知复数z ＝5i1＋2i (i 是虚数单位)，则z 的实部是________，|z |＝________.解析：∵z ＝5i1＋2i＝2＋i ，∴z 的实部是2.|z |＝|2＋i|＝ 5. 答案：2514．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3， ∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案：315．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则x 2＋(2－i)x ＋(2b i －4)i ＝0，化简得(x 2＋2x －2b )＋(－x －4)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2b ＝0，－x －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，b ＝4，∴m ＝4i.答案：4i三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分14分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R)，试求m 取何值时？(1)z 是实数. (2)z 是纯虚数．(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．解：(1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2＞0，解得m ＝－1或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0， 求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．(3)由lg(m 2－2m －2)＞0，且m 2＋3m ＋2＞0，解得m ＜－2或m ＞3，故当m ＜－2或m ＞3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．17．(本小题满分15分)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i.由复数相等，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.∴zz ＝z ·zz ·z ＝z 2|z |2＝4－1＋4i 5＝35＋45i. 18．(本小题满分15分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ， 所以|ω|＝ 2. (2)由条件，得a ＋b ＋a ＋2ii＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.19．(本小题满分15分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z＜0，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ②又x 2＋y 2＝1. ③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.20．(本小题满分15分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.。