高三数学复习课时练17

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作课时分层练(十七) 统计、统计案例(建议用时：45分钟) 【A 组 强化练·保一本】一、选择题1．通过随机询问110名性别不同的人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：男 女 总计 走天桥 40 20 60 走斑马线 20 30 50 总计6050110由K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ） ，算得K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈ 7.8.附表：P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“ 选择过马路的方式与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“ 选择过马路的方式与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“ 选择过马路的方式与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关”2．(2015·湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图6-3-6所示.131415010011 312 422 523 623 63383848495556678图6-3-6若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是()A．3 B．4 C．5 D．63．某产品在某零售摊位上的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：x 16171819y 50344131^＝b^x＋a^中的b^＝－4，据此模型预计零售价定为由上表可得线性回归方程y15元时，每天的销售量为()A．48个B．49个C．50个D．51个4．(2015·菏泽模拟)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)的频率分布直方图如图6-2-5所示，假设得分值的中位数为m e，众数m0，平均数为x，则()图6-2-5A．m e＝m0＝x B．m e＝m0<xC．m e<m0<x D．m0<m e<x5．(2015·信阳模拟)在“信阳市中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图6-2-6，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()图6-2-6A．5和1.6 B．85和1.6C．85和0.4 D．5和0.46．为了了解某城市今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图6-2-7)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶ 2∶ 3，第2小组的频数为120，则抽取的学生人数是()图6-2-7A．240 B．280 C．320 D．480二、填空题7．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽取12人，则a的值为________．8．(2015·丰台模拟)某中学共有女生2 000人，为了了解学生体质健康状况，随机抽取100名女生进行体质监测，将她们的体重(单位：kg)数据加以统计，得到如图6-2-8所示的频率分布直方图，则直方图中x的值为________；试估计该校体重在[55，70)的女生有________人．图6-2-8图6-2-99．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图6-2-9所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________．三、解答题10．(2015·江淮十校联考)某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x(℃)与该奶茶店的这种饮料销量y(杯)，得到如下数据：日期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温x(℃)91012118销量y(杯)2325302621(1)若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；(2)请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^.(参考公式：，)11．(2015·广东高考)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图6-2-10.图6-2-10(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？【B组押题练·冲名校】1．将参加夏令营的100名学生编号为001，002，…，100.现采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，若随机抽得的号码为003，那么从048号到081号被抽中________人．2．4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”．图6-2-11(1)求x的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少？(将频率视为概率)(2)根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？非读书迷读书迷合计男15女45合计附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），n＝a＋b＋c＋dP(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001 kΩ 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【详解答案】【A组强化练·保一本】1．A 2.B 3.B 4.D 5.B 6.D7．308.0.024 1 0009.110．解：(1)设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A所有基本事件(m，n)(其中m，n为1月份的日期数)有：(11，12)，(11，13)，(11，14)，(11，15)，(12，13)，(12，14)，(12，15)，(13，14)，(13，15)，(14，15)共10种．事件A包括的基本事件有(11，12)，(12，13)，(13，14)，(14，15)共4种．∴P(A)＝410＝25.(2)由数据，求得x－＝9＋10＋12＋11＋85＝10，y－＝23＋25＋30＋26＋215＝25.b^＝（9－10）（23－25）＋（10－10）（25－25）＋（12－10）（30－25）＋（11－10）（26－25）＋（8－10）（21－25）（9－10）2＋（10－10）2＋（12－10）2＋（11－10）2＋（8－10）2＝2.1a^＝y－－b^x－＝4，∴y关于x的线性回归方程为y^＝2.1x＋4.11．解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x＝0.007 5，∴直方图中x的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220，240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300)的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15，∴从月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．【B 组 押题练·冲名校】1．72．解：(1)由已知可得：(0.01＋0.02＋0.03＋x ＋0.015)×10＝1, 可得x ＝0.025. 因为(0.025＋0.015)×10＝0.4，将频率视为概率，由此可以估算出全校3 000名学生中读书迷大概有1 200人．(2)完成下面的2×2列联表如下：非读书迷 读书迷 合计 男 40 15 55 女 20 25 45 合计6040100所以K 2＝100（40×25－15×20）260×40×55×45≈8.249.因为8.249>6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关．。

高中数学课时作业17古典概型新人教A 版必修3[课时作业17] 古典概型[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．抛掷一枚骰子，出现偶数的基本事件个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：因为抛掷一枚骰子出现数字的基本事件有6个，它们分别是1,2,3,4,5,6，故出现偶数的基本事件是3个．答案：C2．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，不是基本事件的为( ) A ．{正好2个红球} B ．{正好2个黑球} C ．{正好2个白球} D ．{至少1个红球}解析：至少1个红球包含，一红一白或一红一黑或2个红球，所以{至少1个红球}不是基本事件，其他项中的事件都是基本事件．答案：D3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) A.16 B.12 C.13 D.23解析：基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共六个，甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率为P ＝26＝13.答案：C4．现有三张卡片，正面分别标有数字1,2,3，背面完全相同，将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是( )A.13B.12C.23D.56解析：将1,2,3三个数字排序，则偶数2可能排在任意一个位置，其中2排在第一位或第三位为甲获胜，2排在第二位为乙获胜，故甲获胜的概率为23.答案：C5．甲盒子装有分别标有数字1,2,3,4的4张卡片，乙盒子装有分别标有数字2,5的2张卡片，若从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，则2张卡片上的数字为相邻数字的概率为( )A.78B.38C.14D.18解析：从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，有(1,2)，(1,5)，(2,2)，(2,5)，(3,2)，(3,5)，(4,2)，(4,5)，共8种不同的取法，其中相邻数字的取法有(1,2)，(3,2)，(4,5)，共3种不同的取法，所以所求的概率P ＝38.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．从52张扑克牌(没有大小王)中随机地抽一张牌，这张牌是J 或Q 或K 的概率是________．解析：在52张牌中，J ，Q 和K 共12张，故是J 或Q 或K 的概率是1252＝313.答案：3137．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于________．解析：设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为：(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有：(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共6个． 所以其概率为615＝25.答案：258．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．解析：点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情况，只有(2,1)，(2,2)，这两种情况满足点P 在圆x 2＋y 2＝9内部，所以所求概率为26＝13.答案：13三、解答题(每小题10分，共20分)9．现共有6家企业参与某项工程的竞标，其中A 企业来自辽宁省，B ，C 两家企业来自福建省，D ，E ，F 三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．(1)列举所有企业的中标情况；(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的概率是多少？解析：(1)从这6家企业中选出2家的选法有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共有15种，以上就是中标情况．(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的选法有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．则“在中标的企业中，至少有一家来自福建省”的概率为915＝35.10．某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如表：现在这6)． (1)用表中字母列举出所有可能的结果．(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．解析：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种．因此，事件M 发生的概率为615＝25.[能力提升](20分钟，40分)11．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130解析：根据题意可以知道，所输入密码所有可能发生的情况如下：M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5共15种情况，而正确的情况只有其中一种，所以输入一次密码能够成功开机的概率是115.答案：C12．某班有男生30人，女生20人，按分层抽样方法从班级中选5人负责校园开放日的接待工作．现从这5人中随机选取2人，至少有1名男生的概率是________．解析：由分层抽样知识得，男生中抽取30×550＝3人，设为a，b，c；女生中抽取20×550＝2人，设为d，e.从中任取2人，基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10个．设“至少有1名男生”为事件A，则A为2人全是女生，所以A中含de，共1个基本事件，因此P(A)＝110，∴P(A)＝1－110＝910.答案：9 1013．某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：(1) 1.78米以下的概率：(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在 1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．解析：(1)从身高低于1.80米的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6个．设“选到的2个人身高都在1.78米以下”为事件X ，则事件X 中含有AB 、AC 、BC ，共3个．因此P (X )＝36＝12.(2)从该小组同学中任选2人，基本事件有AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE 共10个．依题意得：身高在1.70米以上且体重指标在[18.5,23.9)中的同学为C 、D 、E .设“选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中”为事件Y ，则Y 中含CD 、CE 、DE ，共3个．因此P (Y )＝310.14．某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．解析：(1)计算10件产品的综合指标S ，如表：其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为10＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝615＝25.。

2021年高中数学课时达标训练十七北师大版必修一、选择题1．(重庆高考)函数y ＝lg x ＋1x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)2．函数y ＝log 2|x |的图像大致是( )3．已知函数y ＝log 2x ，其反函数y ＝g (x )，则g (x －1)的图像是( )4．设f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x ，则当x <0时，f (x )等于( ) A ．－log 2x B ．log 2(－x ) C ．log x 2 D ．－log 2(－x ) 二、填空题5．集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}，B ＝yy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＞1，则(∁R A )∩B ＝________.6．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )＝________.7．若log 2a ＜log 2b ＜0，则a ，b,1的大小关系是________． 18．函数f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ](a >0)上的最大值与最小值之差为________． 三、解答题9．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg(x ＋1)＋2x 2－x；(2)y ＝log (x －2)(5－x )．10．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，g (x )＝log 2(1－x )． (1)若函数f (x )的定义域为[3,63]，求函数f (x )的最值； (2)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围； (3)判断函数F (x )＝f (x )＋g (x )的奇偶性．答案1．解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ≠1，故选C.2．解析：选A y ＝log 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x >0，log 2－x x <0，分别作图知A 正确．3．解析：选C 由已知g (x )＝2x，∴g (x －1)＝2x －1，故选C.4．解析：选D ∵x <0，∴－x >0，∴f (－x )＝log 2(－x )． 又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－log 2(－x )．5．解析：∵x ＞1，∴log 2x ＞log 21＝0，∴A ＝{y |y ＞0}．而当x ＞1时，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫121，∴B ＝y 0＜y ＜12.∴(∁R A )∩B ＝{y |y ≤0}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫y 0＜y ＜12＝∅.答案：∅6．解析：∵y ＝f (x )的图像过点(a ，a )， ∴其反函数y ＝a x的图像过点(a ，a )， ∴a a＝a ＝，∴a ＝12，∴f (x )＝. 答案：7．解析：log 2a ＜log 2b ＜0⇔log 2a ＜log 2b ＜log 21， ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴a ＜b ＜1. 答案：a ＜b ＜18．解析：∵f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ]上是增函数， ∴f (x )max －f (x )min ＝f (2a )－f (a )＝log 22a －log 2a ＝log 22＝1. 答案：19．解：(1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，∴函数的定义域为(－1,2)． (2)要使函数有意义．需⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x >0，x －2>0，x －2≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <5，x >2，x ≠3.∴定义域为(2,3)∪(3,5)．10．解：(1)由题意知，3≤x ≤63，∴4≤x ＋1≤64， ∵函数y ＝log 2x 是增函数，∴log 24≤log 2(x ＋1)≤log 264，∴2≤f (x )≤6， ∴f (x )的最大值为6，最小值为2. (2)f (x )－g (x )＞0⇔f (x )＞g (x )， 即log 2(x ＋1)＞log 2(1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，x ＋1＞1－x ，得：0＜x ＜1，∴x 的取值范围为(0,1)．(3)要使函数F (x )＝f (x )＋g (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ＞0，即－1＜x ＜1，∴定义域为(－1,1) 又F (－x )＝f (－x )＋g (－x ) ＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)＝f (x )＋g (x )＝F (x )， ∴F (x )为偶函数．。

1．集合M ＝{x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z }，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π4＋π2，k ∈Z，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M N D ．M ∩N ＝∅答案 C 解析 x ＝k π2＋π4＝2k ＋14·π，x ＝k π4＋π2＝k ＋2π4，由于2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M N .2．sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2·cos3·tan4<0，∴选A.3．角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝( ) A.55 B.255 C ．－55D ．－255答案 B 解析 sin α＝y r＝25＝255. 4．(2012·衡水调研卷)已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( )A ．2B ．－2C ．2－π2D.π2－2 答案 C解析 ∵锐角α终边上一点P 的坐标为(2sin 2，－2cos 2)， ∴tan α＝－2cos 22sin 2＝－1tan 2＝1tan －2＝tan(π2＋2)＝tan(2－π2)，故选C.5．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( ) A ．sin θ2 B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos2θ答案 C解析 ∵θ为第一象限角，∴θ2为第一象限或第三象限角，∴tan θ2>0，选C.6．若点(sin α，sin2α)位于第四象限，则角α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 因为sin α>0，sin2α＝2sin αcos α<0，所以cos α<0，所以角α在第二象限． 7．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4答案 C解析 设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝612rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.8．已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π4答案 D解析 由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ在第四象限，∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.9．(2012·临沂模拟)若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵A 、B 是锐角△ABC 的两个内角， ∴A ＋B >90°，即A >90°－B .∴sin A >sin(90°－B )＝cos B ，cos A <cos(90°－B )＝sin B . ∴cos B －sin A <0，sin B －cos A >0，∴点P 在第二象限．故选B. 10．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是________．答案 25π，910π，75π，1910π解析 由已知θ＝2k π＋8π5(k ∈Z )，∴θ4＝k π2＋2π5(k ∈Z )， 由0≤k π2＋2π5≤2π，得－45≤k ≤165， ∵k ∈Z ，∴k ＝0,1,2,3.∴θ4依次为25π，910π，75π，1910π. 11．有下列各式：①sin1125°；②tan 3712π·sin 3712π；③sin4tan4；④sin|－1|，其中为负值的个数是________． 答案 2解析 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．对于①，因为1125°＝1080°＋45°，所以1125°是第一象限角，所以sin1125°>0；对于②，因为3712π＝2π＋1312π，则3712π是第三象限角，所以tan 3712π>0；sin 3712π<0，故tan 3712π·sin 3712π<0；对于③，因4弧度的角在第三象限，则sin4<0，tan4>0，故sin4tan4<0；对于④，因π4<1<π2，则sin|－1|>0，综上，②③为负数．12．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________． 答案 －43或－433解析 解法一：依题意可知角α的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34，易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－433. 解法二：∵sin α·cos α＝34>0，∴sin α·cos α同号， ∴角α在第三象限，即P (－4，a )在第三象限，∴a <0. 根据三角函数的定义a16＋a2·－416＋a2＝34， 解得a ＝－43或a ＝－433.13．如果θ是第二象限角，且cos θ2－sinθ2＝1－sin θ，那么θ2所在象限为第________象限．答案 三解析 ∵cos θ2－sin θ2＝1－sin θ＝|cos θ2－sin θ2|∴cos θ2≥sin θ2，∴2k π－3π4≤θ2≤2k π＋π4，k ∈Z ，又∵2k π＋π2＜θ＜2k π＋π，k ∈Z ，∴k π＋π4＜θ2＜k π＋π2，∴2k π＋5π4＜θ2＜2k π＋3π2，故θ2为第三象限角． 14．(教材习题改编)若α的终边落在x ＋y ＝0上，求出在[－360°，360°]之间的所有角α.答案 －225°，－45°，135°，315°解析 若角α终边落在Ⅱ象限，∴{α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z }．若角α的终边落在Ⅳ象限内，∴{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z }．∴α终边落在x ＋y ＝0上角的集合为{α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z }∪{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z }＝{α|α＝3π4＋k π，k ∈Z }，令－360°≤135°＋k ·180°≤360°，∴k ＝{－2，－1,0,1}， ∴相应的角－225°，－45°，135°，315°.15．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝22x (x ≥0)．求sin(α＋π6)的值．答案1＋266解 由射线l 的方程为y ＝22x ，可得sin α＝223，cos α＝13，故sin(α＋π6)＝223×32＋13×12＝1＋266.1．已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．答案 10解析 由题意知tan α＝－6x ＝－35，∴x ＝10.2．若0<α<β<π2，则下列不等式正确的是________．①sin α＋sin β<α＋β ②α＋sin β<sin α＋β ③α·sin α<β·sin β ④β·sin α<α·sin β 答案 ①②③解析 由已知得sin α<α，sin β<β，0<sin α<sin β，因此sin α＋sin β<α＋β，即选项①正确．α·sin α<β·sin β，即选项③正确．构造函数f (x )＝x －sin x (其中x >0)，则f ′(x )＝1－cos x ≥0，因此函数f (x )＝x －sin x 在(0，＋∞)上是增函数，当0<α<β<π2时，有f (α)<f (β)，即α－sin α<β－sin β，α＋sin β<sin α＋β，选项②正确．对于选项D ，当α＝π6，β＝π3时，β·sin α＝π6>π6·32＝α·sin β，选项④不正确．3．求函数f (x )＝sin x －cos x 的定义域． 答案 {x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }解析 f (x )有意义，则sin x ≥cos x ， ∴sin(x －π4)≥0，∴2k π≤x －π4≤2k π＋π，∴2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .4．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ．sin θ>tan θ>cos θD ．tan θ>sin θ>cos θ答案 D解析 ∵π4<θ<π2，∴tan θ>1，sin θ－cos θ＝2sin(θ－π4)，∵π4<θ<π2，0<θ－π4<π4，∴sin(θ－π4)>0，∴sin θ>cos θ.1．(2012·山东淄博模拟)点P (tan2009°，cos2009°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 由tan2009°＝tan(360°×5＋209°)＝tan209°>0，cos2009°＝cos(360°×5＋209°)＝cos209°<0，所以点P 位于第四象限，故选D.2．(2012·吉林长春模拟)扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．答案7＋439解析 设内切圆的半径为r ， 扇形半径为R ，则(R －r )sin60°＝r . ∴R ＝(1＋23)r ，∴S 扇形S 圆＝12·2π3R 2πr 2＝13(R r )2＝13(1＋23)2＝7＋439. 3．(1)如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限．(2)若θ是第二象限角，试判断sin cos θcos sin2θ的符号是什么？【思路】 (1)由点P 所在的象限，可知sin θ、cos θ的符号，进而判断θ所在的象限．(2)由θ可判断cos θ，sin2θ的范围，把cos θ，sin2θ看作一个角，再判断sin(cos θ)，cos(sin2θ)的符号．解 (1)因为点P (sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限， 所以sin θcos θ<0,2cos θ<0，即{ sin θ>0cos θ<0，所以θ为第二象限角．(2)∵2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，∴－1<cos θ<0,4k π＋π<2θ<4k π＋2π，－1≤sin2θ<0， ∴sin(cos θ)<0，cos(sin2θ)>0. ∴sin cos θcos sin2θ<0.∴sin cos θcos sin2θ的符号是负号．。

课时作业(十七) 函数的表示法[练基础]1．[多选题]下列给出的函数是分段函数的是( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，1<x ≤5，2x ，x ≤1.B ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.2．已知f (x －1)＝1x ＋1，则f (x )的解析式为() A ．f (x )＝11＋x B ．f (x )＝1＋xxC ．f (x )＝1x ＋2 D ．f (x )＝1＋x3．函数y ＝x 2|x |的图象的大致形状是( )4．已知函数f (x )＝3x －1，若f (g (x ))＝2x ＋3，则函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝23x ＋43B ．g (x )＝23x －43C ．g (x )＝43x ＋23D ．g (x )＝43x －235．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，－1≤x ≤1，1－x ，x >1或x <－1.若f (x )≥14，则x 的取值范围为________． 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值．[提能力]7．[多选题]下列函数中，满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x8．用函数M (x )表示函数f (x )和g (x )中的较大者，记为：M (x )＝max{f (x )，g (x )}．若f (x )＝|x |，g (x )＝1x 2，则M (x )的大致图象为( )9．已知函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|.(1)求f (x )的值域；(2)解不等式：f (x )>0；(3)若直线y ＝a 与f (x )的图象无交点，求实数a 的取值范围．[战疑难]10．已知函数f (x )对任意正实数a ，b 都有f (ab )＝f (a )＋f (b )成立．(1)求f (1)的值；(2)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )；(3)f (2)＝p ，f (3)＝q (p ，q 均为常数)，求f (36)的值．。

课时作业十七1．集合M＝{|＝错误!＋错误!，∈Z}，N＝错误!，则A．M＝N B．M NC．M N D．M∩N＝∅答案 C解析＝错误!＋错误!＝错误!·π，＝错误!＋错误!＝错误!，由于2＋1为奇数，＋2为整数，∴M N2．in 2·co 3·tan 4的值A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案 A解析∵错误!0，co30，∴in2·co3·tan40，选C6．若点inα，in2α位于第四象限，则角α在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析因为inα>0，in2α＝2in αcoα6cm2cm0，co错误!90°，即A>90°－B∴in A>in90°－B＝co B，co A0，∴点P在第二象限．故选B10．若θ角的终边与错误!的终边相同，则在[0,2π]内终边与错误!角的终边相同的角是________．答案错误!π，错误!π，错误!π，错误!π解析由已知θ＝2π＋错误!∈Z，∴错误!＝错误!＋错误!∈Z，由0≤错误!＋错误!≤2π，得－错误!≤≤错误!，∵∈Z，∴＝0,1,2,3∴错误!依次为错误!π，错误!π，错误!π，错误!π11．有下列各式：①in1125°；②tan错误!π·in错误!π；③错误!；④in|－1|，其中为负值的个数是________．答案 2解析确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．对于①，因为1125°＝1080°＋45°，所以1125°是第一象限角，所以in1125°>0；对于②，因为错误!π＝2π＋错误!π，则错误!π是第三象限角，所以tan错误!π>0；in错误!π0，故错误!0，综上，②③为负数．12．若角α的终边上有一点P－4，a，且inα·coα＝错误!，则a的值为________．答案－4错误!或－错误!解析解法一：依题意可知角α的终边在第三象限，点P－4，a在其终边上且inα·coα＝错误!，易得tanα＝错误!或错误!，则a＝－4错误!或－错误!解法二：∵inα·coα＝错误!>0，∴inα·coα同号，∴角α在第三象限，即P－4，a在第三象限，∴a0，则f′＝1－co≥0，因此函数f＝－in在0，＋∞上是增函数，当0错误!·错误!＝α·inβ，选项④不正确．3．求函数f＝错误!的定义域．答案{|2π＋错误!≤≤2π＋错误!，∈Z}解析f有意义，则in≥co，∴in－错误!≥0，∴2π≤－错误!≤2π＋π，∴2π＋错误!≤≤2π＋错误!，∈Z4．若错误!coθ>tanθB．coθ>tanθ>inθC．inθ>tanθ>coθD．tanθ>inθ>coθ答案 D解析∵错误!1，inθ－coθ＝错误!inθ－错误!，∵错误!0，∴inθ>coθ1．2022·山东淄博模拟点P tan2022°，co2022°位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 D解析由tan2022°＝tan360°×5＋209°＝tan209°>0，co2022°＝co360°×5＋209°＝co209°0∴错误!<0∴错误!的符号是负号．。

课时作业(十七)1．(2013·新课标全国Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n答案 D解析 S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q＝1－23a n1－23＝3－2a n ，故选D 项． 2．等比数列{a n }各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是( )A ．179B ．211C ．248D ．275 答案 B解析 ∵a 5＝a 1q 4，∴16＝81q 4.∴q ＝±23. 又数列{a n }的各项都是正数，∴q ＝23. ∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝81[1－(23)5]1－23＝211. 3．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( )A ．3B ．－3C ．－1D ．1 答案 A解析 思路一：列方程求出首项和公比，过程略； 思路二：两等式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3＝q .4．在公比为正数的等比数列中，a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝8，则S 8等于( )A ．21B ．42C ．135D ．170答案 D 解析5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B.314C.334D.172答案 B解析 显然公比q ≠1，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎨⎧a 1＝4，q ＝12，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝4(1－125)1－12＝314. 6．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 ∵q ≠1(14≠78)，∴Sn ＝a 1－anq 1－q.∴778＝14－78q 1－q ，解得q ＝－12，78＝14×(－12)n ＋2－1.∴n ＝3，故该数列共5项．7．等比数列{an }的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( )A.1S B ．S C ．Sq 1－n D ．S －1q 1－n答案 C解析 q ≠1时，S ＝1－q n 1－q ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为1(1－1q n )1－1q ＝q 1－n ·1－q n1－q ＝q 1－n ·S .当q ＝1时，q 1－n ·S ＝S .8．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( )A ．4B ．－4C ．－2D ．2答案 A 解析9．数列{a n }的前n 项和为S n ＝4n ＋b (b 是常数，n ∈N *)，若这个数列是等比数列，则b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．4答案 A 解析10．(2013·北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.答案 2 2n ＋1－2解析 由题意知q ＝a 3＋a 5a 2＋a 4＝2.由a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2)＝a 1q (1＋q 2)＝20，∴a 1＝2，∴S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.11．(2012·新课标全国)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.答案 －2解析 由S 3＝－2S 2，可得a 1＋a 2＋a 3＝－3(a 1＋a 2)， 即a 1(1＋q ＋q 2)＝－3a 1(1＋q )，化简整理得q 2＋4q ＋4＝0，解得q ＝－2.12．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________．答案 1013．(2012·浙江)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.答案 32解析 由已知S 4－S 2＝3a 4－3a 2，即a 4＋a 3＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，两边同除以a 2，得2q 2－q －3＝0，即q ＝32或q ＝－1(舍)．答案 3n －1，或(－3)n－14解析答案24解析16．等比数列{a n}的公比q>0，已知a2＝1，a n＋2＋a n＋1＝6a n，则{a n}的前4项和S4＝________.答案 152解析 由条件a n ＋2＋a n ＋1＝a n q 2＋a n q ＝6a n ，q >0，得q ＝2，又a 2＝1，所以a 1＝12，S 4＝152.17．一个等比数列的首项为1，项数为偶数，其中奇数项的和为85，偶数项的和为170，求该数列的公比和项数．答案 该数列的公比为2，项数为8 解析18．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．解析 由题设知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝2，a 1(1－q 4)1－q ＝5×a 1(1－q 2)1－q ，①②由②得1－q 4＝5(1－q 2)，(q 2－4)(q 2－1)＝0.(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0，因为q<1，解得q＝－1或q＝－2.当q＝－1时，代入①得a1＝2，a n＝2×(－1)n－1；当q＝－2时，代入①得a1＝12，a n＝12×(－2)n－1.综上，当q＝－1时，a n＝2×(－1)n－1；当q＝－2时，a n＝12×(－2)n－1.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

课时作业(十七) 导数与不等式恒(能)成立问题[对应学生用书P 217]1．(2020·安徽滁州月考)已知函数f (x )＝x 3＋ax －2ln x ． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥0在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 3－x －2ln x (x ＞0)， f ′(x )＝3x 2－1－2x ＝3x 3－x －2x＝（x －1）（3x 2＋3x ＋2）x .∵3x 2＋3x ＋2＞0恒成立，∴当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，y ＝f (x )单调递增；当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，y ＝f (x )单调递减． 故f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1). (2)∵f (x )＝x 3＋ax －2ln x ≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴当x ∈(0，＋∞)时，g (x )＝x 2＋a －2ln xx ≥0恒成立．g ′(x )＝2x －2×（ln x ）′·x －ln x ·x ′x 2＝2×x 3＋ln x －1x 2 .令h (x )＝x 3＋ln x －1，则h (x )在(0，＋∞)上单调递增，且h (1)＝0，∴当x ∈(0，1)时，h (x )＜0，g ′(x )＜0，即y ＝g (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，g ′(x )＞0，即y ＝g (x )单调递增．∴g (x )min ＝g (1)＝1＋a ≥0，a ≥－1，故实数a 的取值范围为[－1，＋∞). 2．(2020·陕西西安质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x －1. (1)求函数y ＝f (x )的图像在x ＝1处的切线方程；(2)若不等式f (x )≤ag (x )对任意的x ∈(1，＋∞)均成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)因为f ′(x )＝1x，所以f ′(1)＝1.又f (1)＝0，所以切线的方程为y －f (1)＝f ′(1)(x －1)，即所求切线的方程为x －y －1＝0. (2)易知对任意的x ∈(1，＋∞)，f (x )＞0，g (x )＞0.①当a ≥1时，f (x )≤g (x )≤ag (x )；②当a ≤0时，f (x )＞0，ag (x )≤0，所以不满足不等式f (x )≤ag (x )； ③当0＜a ＜1时，设φ(x )＝f (x )－ag (x )＝ln x －a (x －1)，则φ′(x )＝1x －a ，令φ′(x )＝0，得x ＝1a ，当x 变化时，φ′(x )，φ(x )的变化情况如下表：↗↘所以φ(x )max ＝φ⎝⎛⎭⎫1a ＞φ(1)＝0，不满足不等式．综上，实数a 的取值范围为[1，＋∞). 3．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋10.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)在区间[1，2]内至少存在一个实数x ，使得f (x )<0成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3－x 2＋10， 所以f ′(x )＝3x 2－2x ，所以k ＝f ′(2)＝8. 又f (2)＝14，所以切线方程为y ＝8x －2.(2)由已知得：a >x 3＋10x 2 ＝x ＋10x 2 至少有一个实数x 使之成立，即a >⎝⎛⎭⎫x ＋10x 2 min . 设g (x )＝x ＋10x 2 (1≤x ≤2)，则g ′(x )＝1－20x 3 ，因为1≤x ≤2，所以g ′(x )<0， 所以g (x )在[1，2]上单调递减， 所以g (x )min ＝g (2)＝92，所以a >92，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫92，＋∞ . 4．已知f (x )＝12 x 2＋b x ＋c (b ，c 是常数)和g (x )＝14 x ＋1x 都是定义在M ＝{x |1≤x ≤4}上的函数，对于任意的x ∈M ，存在x 0∈M 使得f (x )≥f (x 0)，g (x )≥g (x 0)，且f (x 0)＝g (x 0)，求f (x )在M 上的最大值．解 因为g (x )＝14 x ＋1x≥214 ＝1(当且仅当14 x ＝1x，即x ＝2时等号成立)，所以f (2)＝2＋b 2 ＋c ＝g (2)＝1，c ＝－1－b2 ，所以f (x )＝12 x 2＋b x －1－b 2 ，f ′(x )＝x －bx 2 ＝x 3－b x2 .因为f (x )在x ＝2处有最小值，所以f ′(2)＝0，即b ＝8，所以c ＝－5，f (x )＝12 x 2＋8x －5，f ′(x )＝x 3－8x2 ，所以f (x )在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增， 而f (1)＝12 ＋8－5＝72 ，f (4)＝8＋2－5＝5，所以函数f (x )的最大值为5.5．(2020·河南郑州质检)已知函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)，a ∈R ，在(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求f (x )的单调区间；(2)若存在x 0＞1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )－x 22 ＋2x ＋12 ＞k (x －1)成立，求k 的取值范围．解 (1)由已知可得f (x )的定义域为(0，＋∞).因为f ′(x )＝1x －a ，所以f ′(1)＝1－a ＝0，所以a ＝1，所以f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，令f ′(x )＞0得0＜x ＜1，令f ′(x )＜0得x ＞1，所以f (x )的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞).(2)不等式f (x )－x 22 ＋2x ＋12 ＞k (x －1)可化为ln x －x 22 ＋x －12 ＞k (x －1).令g (x )＝ln x －x 22 ＋x －12 －k (x －1)(x ＞1)，则g ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋（1－k ）x ＋1x ，令h (x )＝－x 2＋(1－k )x ＋1，x ＞1，h (x )的对称轴为x ＝1－k 2.①当1－k 2 ≤1时，即k ≥－1，易知h (x )在(1，x 0)上是单调递减的，所以h (x )＜h (1)＝1－k ，若k ≥1，则h (x )≤0，所以g ′(x )≤0，所以g (x )在(1，x 0)上是单调递减的，所以g (x )＜g (1)＝0，不合题意．若－1≤k ＜1，则h (1)＞0，所以必存在x 0使得x ∈(1，x 0)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，x 0)上是单调递增的，所以g (x )＞g (1)＝0恒成立，符合题意．②当1－k 2＞1时，即k ＜－1，易知必存在x 0，使得h (x )在(1，x 0)上是单调递增的．所以h (x )＞h (1)＝1－k ＞0，所以g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，x 0)上是单调递增的．所以g (x )＞g (1)＝0恒成立，符合题意．综上，k 的取值范围是(－∞，1).6．已知函数f (x )＝3x －3x ＋1 ，g (x )＝－x 3＋32 (a ＋1)x 2－3ax －1，其中a 为常数．(1)当a ＝1时，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程；(2)若a ＜0，对于任意的x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[1，2]，使得f (x 1)＝g (x 2)，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，g (x )＝－x 3＋3x 2－3x －1，所以g ′(x )＝－3x 2＋6x －3，g ′(0)＝－3，又因为g (0)＝－1， 所以曲线g (x )在x ＝0处的切线方程为y ＋1＝－3x ，即3x ＋y ＋1＝0. (2)f (x )＝3x －3x ＋1 ＝3（x ＋1）－6x ＋1 ＝3－6x ＋1，当x ∈[1，2]时，1x ＋1 ∈⎣⎡⎦⎤13，12 ，所以－6x ＋1 ∈[－3，－2]，所以3－6x ＋1 ∈[0，1]， 故f (x )在[1，2]上的值域为[0，1].由g (x )＝－x 3＋32 (a ＋1)x 2－3ax －1，可得g ′(x )＝－3x 2＋3(a ＋1)x －3a ＝－3(x －1)(x －a ).因为a ＜0，所以当x ∈[1，2]时，g ′(x )＜0，所以g (x )在[1，2]上单调递减，故当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝－1＋32 (a ＋1)－3a －1＝－32 a －12 ，g (x )min ＝g (2)＝－8＋6(a＋1)－6a －1＝－3，即g (x )在[1，2]上的值域为⎣⎡⎦⎤－3，－32a －12 . 因为对于任意的x 1∈[1，2] ，总存在x 2∈[1，2]，使得f (x 1)＝g (x 2)，所以[0，1]⊆⎣⎡⎦⎤－3，－32a －12 ， 所以－32 a －12≥1，解得a ≤－1，故a 的取值范围为(－∞，－1].。

课时规范练17任意角、弧度制及任意角的三角函数一、基础巩固组1.已知角α的终边与单位圆交于点-,则tan α=()A.-B.-C.-D.-2.若sin α<0,且tan α>0,则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是()A. B.C.-D.-4.若tan α>0,则()A.sin α>0B.cos α>0C.sin 2α>0D.cos 2α>05.如果1弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为()A.B.sin 0.5C.2sin 0.5D.tan 0.56.已知α是第二象限角,P(x,)为其终边上一点,且cos α=x,则x=()A. B.±C.-D.-7.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是()A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]8.已知角α的终边上一点P的坐标为,则角α的最小正值为()A. B.C. D.〚导学号21500525〛9.函数f(α)=-的定义域为.10.已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sin α+的值为.11.设角α是第三象限角,且=-sin ,则角是第象限角.12.已知扇形的周长为40,则当扇形的面积最大时,它的半径和圆心角分别为.二、综合提升组13.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=的值为()A.1B.-1C.3D.-314.(2017山东潍坊一模)下列结论错误的是()A.若0<α<,则sin α<tan αB.若α是第二象限角,则为第一象限或第三象限角C.若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0),则sin α=D.若扇形的周长为6,半径为2,则其圆心角的大小为1弧度〚导学号21500526〛15.函数y=-的定义域是.16.已知角θ的终边与480°角的终边关于x轴对称,点P(x,y)在角θ的终边上(不是原点),则的值等于.三、创新应用组17.已知点A的坐标为(4,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为()A.B.C.D.〚导学号21500527〛18.已知角θ的终边上有一点(a,a),a∈R,且a≠0,则sin θ的值是.课时规范练17任意角、弧度制及任意角的三角函数=-,故选D.1.D根据三角函数的定义,tanα=-2.C∵sinα<0,∴α的终边落在第三、第四象限或y轴的负半轴.又tanα>0,∴α在第一象限或第三象限.综上可知,α在第三象限.3.A将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转,故选项C,D不正确.又拨慢10分钟,所以转过的角度应为圆周的,即为2π=4.C(方法一)由tanα>0可得kπ<α<kπ+(k∈Z),故2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z),故四个选项中只有sin2α>0.(方法二)由tanα>0知角α是第一或第三象限角,当α是第一象限角时,sin2α=2sinαcosα>0;当α是第三象限角时,sinα<0,cosα<0,仍有sin2α=2sinαcosα>0,故选C.5.A连接圆心与弦的中点,则由弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角三角形,弦长的一半为1,其所对的圆心角为0.5,故半径为,这个圆心角所对的弧长为故选A.6.D依题意得cosα=x<0,由此解得x=-,故选D.7.A由cosα≤0,sinα>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以有-解得-2<a≤3.8.D由题意知点P在第四象限,根据三角函数的定义得cosα=sin,故α=2kπ-(k∈Z),所以角α的最小正值为9-(k∈Z)∵2cosα-1≥0,∴cos由三角函数线画出α满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示).故-(k∈Z).10.0设角α终边上任一点为P(k,-3k),则r=-|k|.当k>0时,r=k,∴sinα==-,∴10sinα+=-3+3=0;当k<0时,r=-k,∴sinα=-=-,∴10sinα+=3-3=0.综上,10sinα+=0.11.四由α是第三象限角,可知2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z).故kπ+<kπ+(k∈Z),即是第二或第四象限角.又=-sin,故sin<0.因此只能是第四象限角.12.10,2设扇形的半径为r,圆心角为θ,则rθ+2r=40.∴扇形的面积S=r2=(40-2r)r=-r2+20r=-(r-10)2+100≤100.∴当且仅当r=10时,S有最大值100,此时10θ+20=40,θ=2.∴当r=10,θ=2时,扇形的面积最大.13.B由α=2kπ-(k∈Z)及终边相同的角的概念知,角α的终边在第四象限.又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角.所以sinθ<0,cosθ>0,tanθ<0.所以y=-1+1-1=-1.14.C若0<α<,则sinα<tanα=,故A正确;若α是第二象限角,则(k∈Z),则为第一象限角或第三象限角,故B正确;若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0),则sinα=,不一定等于,故C不正确;若扇形的周长为6,半径为2,则弧长=6-2×2=2,其圆心角的大小为1弧度,故D正确.15(k∈Z)由题意知即-由满足上述不等式组的三角函数线,得x的取值范围为+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z16由题意知角θ的终边与240°角的终边相同,∵P(x,y)在角θ的终边上,∴tanθ=tan240°=,于是17.D由点A的坐标为(4,1),可知OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则OB边仍在第一象限.故可设直线OA的倾斜角为α,B(m,n)(m>0,n>0),则直线OB的倾斜角为+α.因为A(4,1),所以tanα=,tan-=,即m2=n2,因为m2+n2=(4)2+12=49,所以n2+n2=49,所以n=或n=-(舍去),所以点B的纵坐标为18或-由已知得r=|a|,则sinθ=-所以sinθ的值是或-。

课时分层训练(十七)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是________．(2，＋∞)[因为f(x)＝(x－3)e x，则f′(x)＝e x(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2，所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]2．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图17-3所示，则下列叙述正确的是________．图17-3①f(b)＞f(c)＞f(d)；②f(b)＞f(a)＞f(e)；③f(c)＞f(b)＞f(a)；④f(c)＞f(e)＞f(d)．③[依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，由a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a)，因此③正确．]3．已知函数f(x)＝12x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的________条件. 【导学号：62172096】充分不必要[f′(x)＝32x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．]4．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52 [∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， 即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x 恒成立． 令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x 2，∴当x ＞2时，g ′(x )＞0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴m ≤2＋12＝52.]5．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．单调递增 [在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增．]6．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ [f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ， 由题意当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0在x ∈[－1,1]时恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2＋(2－2a )·(－1)－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.]7．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为________．(－1，＋∞) [由f (x )＞2x ＋4，得f (x )－2x －4＞0，设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2，因为f ′(x )＞2，所以F ′(x )＞0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4＞0等价于F (x )＞F (－1)，所以x ＞－1.]8．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________. 【导学号：62172097】⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞ [∵f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a . ∴当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )max ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .由29＋2a >0，得a >－19. ∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.]9．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．(0,1)∪(2,3) [∵f ′(x )＝－x ＋4－3x ， 令f ′(x )＝0可得x 1＝1，x 2＝3. 由于f (x )在[t ，t ＋1]上不单调， ∴1∈[t ，t ＋1]或3∈[t ，t ＋1] 即0<t <1或2<t <3.]10．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a ＞0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，25∪[1，＋∞) [f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f′(x)＝3a－4x＋1x≥0或f′(x)＝3a－4x＋1x≤0在[1,2]上恒成立，即3a≥4x－1x或3a≤4x－1x在[1,2]上恒成立．令h(x)＝4x－1x，则h(x)在[1,2]上单调递增，所以3a≥h(2)或3a≤h(1)，即3a≥152或3a≤3，又a＞0，所以0＜a≤25或a≥1.]二、解答题11．已知函数f(x)＝ln x＋ke x(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间. 【导学号：62172098】[解](1)由题意得f′(x)＝1x－ln x－ke x，又f′(1)＝1－ke＝0，故k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝1x－ln x－1e x.设h(x)＝1x－ln x－1(x＞0)，则h′(x)＝－1x2－1x＜0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，从而f′(x)＞0；当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 12．(2015·重庆高考)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值． (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性． [解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 因为f (x )在x ＝－43处取得极值， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x .令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．c ＜a ＜b [依题意得，当x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数； 又f (3)＝f (－1)，且－1＜0＜12＜1， 因此有f (－1)＜f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即有f (3)＜f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＜a ＜b .]2．(2017·盐城质检(二))设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＞0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________．(－2,0)∪(2，＋∞) [令g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0，x ∈(0，＋∞)，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又g (－x )＝f (－x )－x＝－f (x )－x＝f (x )x ＝g (x )，则g (x )是偶函数，g (－2)＝0＝g (2)，则f (x )＝xg (x )＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，g (x )＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，g (x )＜0，解得x ＞2或－2＜x ＜0，故不等式f (x )＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．]3．设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性． [解] (1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)，此时f ′(x )＝2(x ＋1)2，可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0， 所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝ax＋2(x＋1)2＝ax2＋(2a＋2)x＋ax(x＋1)2.当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)．①当a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－12(x－1)2x(x＋1)2≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a<－12时，Δ<0，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－12<a<0时，Δ>0，设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝－(a＋1)＋2a＋1a，x2＝－(a＋1)－2a＋1a.由于x1＝a＋1－2a＋1－a＝a2＋2a＋1－2a＋1－a>0，所以当x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－12<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a上单调递增． 4．(2017·如皋市高三调研一)已知函数f (x )＝bx －bx ＋2a ln x (x ∈R )． (1)若a ＝1时，函数f (x )在其定义域上不是单调函数，求实数b 的取值范围； (2)若b ＝1时，且当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，不等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x 1)x 2－f (x 2)x 1(x 1－x 2)>0恒成立，求a 的取值范围．[解] (1)a ＝1时，f (x )＝bx －b x ＋2ln x ，f ′(x )＝b ＋b x 2＋2x ＝bx 2＋2x ＋b x 2.①当b ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在定义域上单调递增，不符合题意； ②当b <0时，Δ＝4－4b 2>0，即－1<b <0，满足题意． 所以－1<b <0.(2)当b ＝1时，f (x )＝x －1x ＋2a ln x .∵∀x 1，x 2∈(0，＋∞)时，不等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x 1)x 2－f (x 2)x 1(x 1－x 2)>0恒成立，∴∀x 1，x 2∈(0，＋∞)时，不等式x 1f (x 1)－x 2f (x 2)x 1x 2(x 1－x 2)>0恒成立．令h (x )＝xf (x )＝x 2－1＋2ax ln x ，∴∀x 1，x 2∈(0，＋∞)时，(h (x 1)－h (x 2))(x 1－x 2)>0恒成立，∴h (x )在(0，＋∞)单调递增．∴∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，h ′(x )＝2x ＋2a ln x ＋2a ≥0恒成立． 令m (x )＝2x ＋2a ln x ＋2a ，则m ′(x )＝2＋2a x ＝2x ＋2ax . ①当2a ＝0时，m ′(x )＝2>0, m (x )＝2x >0恒成立；②当2a >0时，m ′(x )＝2＋2a x >0，m (x )在(0，＋∞)上单调递增，m ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1e a ＋1a ＋2＝2e a ＋1a ＋2－2a 2－2－2a <0，所以a >0不符合题意．③当2a <0时，m ′(x )＝0时，x ＝－a . 结合m ′(x )，m (x )随x 的变化情况：∴m (x )min ＝m (－a )＝2a ln(－a )≥0，解得－1≤a ≤0. 综上，－1≤a ≤0.。

2021年高三数学一轮复习 基础知识课时作业(十七)一、选择题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( C )A.π3B.π6 C ．－π3 D ．－π6解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.答案：C2．若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为( B ) A ．2kπ＋β(k ∈Z ) B ．2kπ－β(k ∈Z ) C ．kπ＋β(k ∈Z )D ．kπ－β(k ∈Z )解析：因为角α和角β的终边关于x 轴对称，所以α＋β＝2kπ(k ∈Z )．所以α＝2kπ－β(k ∈Z )．答案：B3．若α是第三象限的角，则π－12α是( B )A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C．第二或第三象限的角D．第二或第四象限的角解析：在平面直角坐标系中，将各象限2等分，再从x轴正向的上方起，依次将各区域标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，则由图可知，α2在Ⅲ内，π－α2在Ⅱ内，故π－α2在第一或第三象限，选B.4．若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为( A )A.1sin21B.2sin22C.1cos21D.2cos22解析：由题意得扇形的半径为1sin 1.又由扇形面积公式得，该扇形的面积为1 2·2·1sin21＝1sin21.5．已知角α是第二象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2＝－cosα2，则角α2是( C ) A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：由α是第二象限角知，α2是第一或第三象限角．又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2＝－cosα2，∴cosα2<0，∴α2是第三象限角．6．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－xx2＋y2.其中正确的命题的个数是( A ) A．1 B．2 C．3 D．4解析：①正确，②不正确，∵sin π3＝sin2π3，而π3与2π3角的终边不相同．③不正确，∵sin α>0，α的终边也可能在y轴的非负半轴上．④不正确，∵在三角函数的定义中，cos α＝xr＝xx2＋y2，不论角α在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立．二、填空题7．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设此扇形的半径为r，弧长是l，则⎩⎨⎧2r ＋l ＝612rl ＝2，解得⎩⎨⎧r ＝1l ＝4或⎩⎨⎧r ＝2l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝lr ＝1.答案：1或48．若β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________，tan β＝________.解析：因为β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．所以sin β＝22或－22，tan β＝－1.答案：22或－22－19．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析：r ＝ x 2＋y 2＝ 16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y16＋y 2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.答案：－8三、解答题10．(1)设90°<α<180°，角α的终边上一点为P(x，5)，且cos α＝2 4x，求sin α与tan α的值；(2)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ，cos θ.解：(1)∵r＝x2＋5，∴cos α＝xx2＋5，从而24x＝xx2＋5，解得x＝0或x＝± 3.∵90°<α<180°，∴x<0，因此x＝－ 3.故r＝22，sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.(2)∵θ的终边过点(x，－1)，∴tan θ＝－1 x ，又tan θ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22；当x＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22.11．(1)确定tan－3cos 8·tan 5的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m(0<m<1)，试判断式子sin α－cos α的符号．解：(1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角， ∴tan(－3)>0，tan 5<0，cos 8<0，∴原式大于0.(2)若0<α<π2，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α，∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.于是有sin α－cos α>0.12．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？解：设扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，根据已知条件12lR ＝S 扇，则扇形的周长为：l ＋2R ＝2S 扇R＋2R ≥4S 扇，当且仅当R ＝S 扇时等号成立，此时l ＝2S 扇，α＝lR＝2，因此当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取到最小值．[热点预测]13．(1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( A )⎝⎭⎝⎭C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 (2)已知命题p ：“sin α＝sin β，且cos α＝cos β”，命题q ：“α＝β”，则命题p 是命题q 的( A )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(1)根据题意得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 23π，sin 23π，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(2)命题p 成立，则α与β的终边可以相同，反之若命题q 成立，则p 一定成立．答案：(1)A (2)A21731 54E3 哣33787 83FB 菻27982 6D4E 济^40846 9F8E 龎38614 96D6 雖L1JJ -31723 7BEB 篫21816 5538 唸r。

课时作业(十七)一、选择题1．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )解析：根据题意得解析式h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B.答案：B2．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D.403元 解析：设A 种方式对应的函数解析式为S ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为S ＝k 2t .当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案：A3．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：x －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0 y0.240.5112.023.988.02则x 、y ( )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋b x解析：从表中发现0在函数的定义域内而否定D ；函数不具奇偶性，从而否定C ；自变量的改变量相同而函数值的改变量不同而否定A.故选B.答案：B4．(2012年长沙模拟)国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为A ．2 800元B ．3 000元C ．3 800元D ．3 818元解析：设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0≤x ≤800，x －800×14%， 800<x ≤4 000，11%·x ， x >4 000.如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3 800.答案：C5．在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A 的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B 的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A 的数量是B 的数量的两倍，需要的时间为( )A ．5 hB ．10 hC ．15 hD ．30 h解析：假设一开始两种细菌数量均为m ，则依题意经过x 小时后，细菌A 的数量是f (x )＝m ·2x 2，细菌B 的数量是g (x )＝m ·4x 5，令m ·2x 2＝2·m ·4x5，解得x ＝10.答案：B6．如图为某质点在4秒钟内做直线运动时，速度函数v ＝v (t )的图象，则该质点运动的总路程s ＝( )A ．10 cmB ．11 cmC ．12 cmD ．13 cm解析：∵该质点运动的总路程为右图阴影部分的面积，∴s＝12×(1＋3)×2＋2×3＋12×1×2＝11(cm)．答案：B二、填空题7．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元．解析：设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]∴当x＝95时y最大．答案：958．现有含盐7%的食盐水为200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是________．解析：根据已知条件：设y＝200×7%＋x4%200＋x，令5%<y<6%，即(200＋x)5%<200×7%＋x·4%<(200＋x)6%，解得100<x<400.答案：(100,400)9．(2012年青岛一模)A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台．已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元．设B市运往C村机器x台，若要求运费W不超过9 000元，共有________种调运方案．解析：因为B市运往C村机器x台，则B市运往D村机器(6－x)台；A市运往C村机器(10－x)台，则A市运往D村机器(x＋2)台．所以依题意得W＝300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800(x＋2)＝200x＋8 600(0≤x≤6)．由W＝200x＋8 600≤9 000，得x≤2，又因为x 是自然数，所以x可以取0,1,2三个数．故共有3种调运方案．答案：3三、解答题10．电信局为了迎合客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．试问：(1)若通话时间为2小时，按方案A 、B 各付话费多少元？ (2)方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围时，方案B 才会比方案A 优惠？解：由图知：M (60,98)，N (500,230)，C (500,168)，MN ∥CD ，设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为f A (x )，f B (x )，即f A (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧98，0≤x ≤60，310x ＋80，x >60，f B (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧168，0≤x ≤500，310x ＋18，x >500.(1)通话2小时，两方案话费分别为116元和168元．(2)∵当n >500时，f B (n ＋1)－f B (n )＝310(n ＋1)＋18－⎝ ⎛⎭⎪⎫310n ＋18＝310＝0.3(元)，∴方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3元．(3)由图可知，当0≤x <60时，f A (x )<f B (x )，当x >500时，f A (x )>f B (x )．∴当60≤x ≤500时，由f A (x )>f B (x )⇒x >8803，即通话时间大于8803分钟时，方案B 比方案A 优惠．11．(2013年潍坊期末)某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出(7 500＋20x )元；③电力与机器保养等费用为(x 2－30x ＋600)元．其中x 是该厂生产这种产品的总件数．(1)把每件产品的成本费P (x )(元)表示成产品件数x 的函数，并求每件产品的最低成本费；(2)如果该厂生产的这种产品的数量x 不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价为Q (x )(元)，且Q (x )＝1 240－130x 2.试问生产多少件产品，总利润最高？并求出最高总利润(总利润＝总销售额－总的成本)．解：(1)P (x )＝50＋7 500＋20x x ＋x 2－30x ＋600x＝8 100x＋x ＋40，由基本不等式得P (x )≥28 100x·x ＋40＝220，当且仅当8 100x ＝x ，即x ＝90时，等号成立．∴P (x )＝8 100x＋x ＋40，每件产品的成本最小值为220元． (2)设总利润为y ＝f (x )元，则y ＝f (x )＝xQ (x )－xP (x )＝－130x 3－x 2＋1 200x －8 100， f ′(x )＝－110x 2－2x ＋1 200＝－110(x 2＋20x －12 000)＝－110(x －100)(x ＋120)，则当0<x <100时，f ′(x )>0，当x >100时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(0,100)单调递增，在(100,170)单调递减，∴当x ＝100时，y max ＝f (100)＝－130(100)3－10 000＋120 000－8 100＝205 7003.故生产100件产品时，总利润最高，最高总利润为205 7003元．12．某地区的农产品A 第x 天(1≤x ≤20，x ∈N *)的销售价格p ＝50－|x －6|(元/百斤)，一农户在第x 天(1≤x ≤20，x ∈N *)农产品A 的销售量q ＝a ＋|x －8|(百斤)(a 为常数)，且该农户在第7天销售农产品A 的销售收入为2 009元．(1)该农户在第10天销售农产品A 的销售收入是多少？ (2)这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？为多少？解：(1)由已知第7天的销售价格p ＝49，销售量q ＝a ＋1，∴第7天的销售收入W 7＝49×(a ＋1)＝2 009，解得a ＝40，故第10天的销售收入W 10＝46×42＝1 932(元)．(2)设第x 天的销售收入为W x ，则W x ＝⎩⎪⎨⎪⎧44＋x 48－x ，1≤x ≤6，2009，x ＝7，56－x 32＋x ，8≤x ≤20，当1≤x ≤6时，W x ＝(44＋x )(48－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤44＋x ＋48－x 22＝2 116(当且仅当x ＝2时取等号)，∴当x ＝2时取最大值W 2＝2 116.当8≤x ≤20时，W x ＝(56－x )(32＋x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤56－x ＋32＋x 22＝1936，(当且仅当x ＝12时取等号)，∴当x ＝12时取最大值W 12＝1 936.由于W 2>W 7>W 12，∴第2天该农户的销售收入最大．答：(1)第10天的销售收入为1 932元；(2)第2天该农户的销售收入最大，为2 116元．[热点预测]13．定义域为D 的函数f (x )同时满足条件：①常数a ，b 满足a <b ，区间[a ，b ]⊆D ，②使f (x )在[a ，b ]上的值域为[ka ，kb ](k ∈N *)，那么我们把f (x )叫做[a ，b ]上的“k 级矩形”函数．函数f (x )＝x 3是[a ，b ]上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对(a ，b )共有几对( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵f (x )＝x 3在[a ，b ]上单调递增， ∴f (x )的值域为[a 3，b 3]．又函数f (x )＝x 3是[a ，b ]上的“1级矩形”函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a ，b 3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.因此，满足条件的常数对(a ，b )共有3对． 答案：C14．如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来，图①应该是匀速的，故下面的图象不正确，②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化规律是先慢后快，正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的；选A.答案：A15．因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a (1≤a ≤4，且a ∈R )个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为y ＝a ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4<x ≤10.若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？(2)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．(精确到0.1，参考数据：2取1.4)解：(1)因为a ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x －4，0≤x ≤4，20－2x ，4<x ≤10，则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4； 当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4<x ≤8.综上，得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天． (2)当6≤x ≤10时，y ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x ＋a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－x －6－1＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a14－x －a －4，因为14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4.令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.。

课时达标训练（十七）一、选择题1．(重庆高考)函数y ＝x ＋x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)2．函数y ＝log 2|x |的图像大致是( )3．已知函数y ＝log 2x ，其反函数y ＝g (x )，则g (x －1)的图像是( )4．设f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x ，则当x <0时，f (x )等于( ) A ．－log 2x B ．log 2(－x ) C ．log x 2 D ．－log 2(－x ) 二、填空题5．集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}，B ＝yy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＞1，则(∁R A )∩B ＝________.6．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )＝________.7．若log 2a ＜log 2b ＜0，则a ，b,1的大小关系是________． 18．函数f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ](a >0)上的最大值与最小值之差为________． 三、解答题9．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg(x ＋1)＋2x 2－x；(2)y ＝log (x －2)(5－x )．10．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，g (x )＝log 2(1－x )． (1)若函数f (x )的定义域为[3,63]，求函数f (x )的最值； (2)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围； (3)判断函数F (x )＝f (x )＋g (x )的奇偶性．答案1．解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ≠1，故选C.2．解析：选A y ＝log 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x ，log 2－x x，分别作图知A 正确．3．解析：选C 由已知g (x )＝2x，∴g (x －1)＝2x －1，故选C.4．解析：选D ∵x <0，∴－x >0，∴f (－x )＝log 2(－x )． 又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－log 2(－x )．5．解析：∵x ＞1，∴log 2x ＞log 21＝0，∴A ＝{y |y ＞0}．而当x ＞1时，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫121，∴B ＝y 0＜y ＜12.∴(∁R A )∩B ＝{y |y ≤0}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫y 0＜y ＜12＝∅.答案：∅6．解析：∵y ＝f (x )的图像过点(a ，a )， ∴其反函数y ＝a x的图像过点(a ，a )， ∴a a＝a ＝，∴a ＝12，∴f (x )＝.答案：7．解析：log 2a ＜log 2b ＜0⇔log 2a ＜log 2b ＜log 21， ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴a ＜b ＜1. 答案：a ＜b ＜18．解析：∵f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ]上是增函数， ∴f (x )max －f (x )min ＝f (2a )－f (a )＝log 22a －log 2a ＝log 22＝1.答案：19．解：(1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，∴函数的定义域为(－1,2)． (2)要使函数有意义．需⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x >0，x －2>0，x －2≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <5，x >2，x ≠3.∴定义域为(2,3)∪(3,5)．10．解：(1)由题意知，3≤x ≤63，∴4≤x ＋1≤64， ∵函数y ＝log 2x 是增函数，∴log 24≤log 2(x ＋1)≤log 264，∴2≤f (x )≤6， ∴f (x )的最大值为6，最小值为2. (2)f (x )－g (x )＞0⇔f (x )＞g (x )， 即log 2(x ＋1)＞log 2(1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，x ＋1＞1－x ，得：0＜x ＜1，∴x 的取值范围为(0,1)．(3)要使函数F (x )＝f (x )＋g (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ＞0，即－1＜x ＜1，∴定义域为(－1,1) 又F (－x )＝f (－x )＋g (－x ) ＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)＝f (x )＋g (x )＝F (x )， ∴F (x )为偶函数．。

课时作业17 定积分与微积分基本定理1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )d x 的值为( D )A ．e ＋1B ．eC ．e －12 D ．e ＋12解析：⎠⎛1(3x ＋e x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫32x 2＋e x |10＝32＋e －1＝e ＋12. 2.(2019·河南郑州一模)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速运动时，在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程是( D )A ．5 mB ．112 m C ．6 mD ．132 m解析：根据题意，汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速运动时，汽车在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋2t |21＝132m ，故选D ．3.若f (x )＝⎩⎨⎧lgx ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( A ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.4．(2019·孝义质检)定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，如⎪⎪⎪⎪⎪⎪13 24＝1×4－2×3＝－2，那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛12x d x 1 32)＝( D )A ．6B ．3C ．32D ．05．(2019·福建省师大附中等校联考)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b x (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为( C )A ．0B ．1C ．－1D ．－2解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ． 由题意得f ′(0)＝0，得b ＝0， ∴f (x )＝－x 2(x －a )．由⎠⎛a0(x 3－ax 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4－13ax 3|0a＝0－a 44＋a 43＝a 412＝112，得a ＝±1. 函数f (x )与x 轴的交点的横坐标一个为0，另一个为A ．,根据图形可知a ＜0，即a ＝－1.6.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC ，则, ⎠⎛-11 [(x ＋1)f (x )]d x 等于( D )A ．2B ．－2,C ．1D ．－1解析：由题图易知,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ≤0，x －1，0＜x ≤1，所以⎠⎛-11 [(x ＋1)f (x )]d x＝⎠⎛-10 (x ＋1)(－x －1)d x ＋⎠⎛01(x ＋1)(x －1)d x＝⎠⎛-1(－x 2－2x －1)d x ＋⎠⎛1(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫－13x 3－x 2－x |0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x |10＝－13－23＝－1，故选D ．7.(2019·新疆第一次适应性检测)由曲线y ＝x 2＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( B )A ．3B ．103C ．73D ．83解析：由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋1，y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝5(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A(1,2)， 结合图形可知，所求的面积为⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋12×22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |10＋2＝103.8.(2019·呼和浩特质检)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( B )A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1解析：方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73，,S 2＝ln x |21＝ln2＜lne ＝1， S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2＜S 1＜S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2＜S 1＜S 3.9.若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝－4__.解析：因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．,所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.,故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 44－x 3|20＝－4. 10.一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为494m ．解析：由题图可知，v (t )＝⎩⎨⎧2t ，0≤t ＜1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3＜t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得s ＝⎠⎜⎜⎛126v (t )d t ＝⎠⎜⎜⎛1212t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ＋1d t＝t 2⎪⎪⎪112＋2t |31＋⎝⎛⎭⎪⎫16t 2＋t |63＝494(m)．所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494 m ．11.设M ，m 分别是f (x )在区间[a ，b]上的最大值和最小值，则m (b －a )≤⎠⎛a b f (x )d x ≤M (b －a )．根据上述估值定理可知定积分⎠⎛-122－x 2d x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤316，3. 解析：因为当－1≤x ≤2时，0≤x 2≤4， 所以116≤2－x 2≤1.根据估值定理得116×[2－(－1)]≤⎠⎛-122－x 2d x ≤1×[2－(－1)]，即316≤⎠⎛-122－x 2d x ≤3.12．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0＜t ＜1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是14 .解析：设图中阴影部分的面积为S (t )， 则S (t )＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋13.由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为S (t )在区间(0,1)上的最小值点，此时S (t )m in ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14.13．(2019·青岛模拟)已知函数f(x)在R 上满足f (π－x )＝f (x )，若当0≤x ≤π2时，f (x )＝cos x －1，则当0≤x ≤π时，f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积为( A )A ．π－2B ．2π－4C ．3π－6D ．4π－8解析：∵当0≤x ≤π2时， f (x )＝cos x －1，∴当π2＜x ≤π时，0≤π－x ＜π2，f (x )＝f (π－x )＝cos(π－x )－1＝－cos x －1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x －1，0≤x ≤π2，－cos x －1，π2＜x ≤π.所以当0≤x ≤π时，f (x )的图象与x 轴所围成图形的面14.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为1.2__.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)得抛物线的函数表达式为y ＝225x 2－2，抛物线与x 轴围成的面积S 1＝15.(2019·郑州调研) ⎠⎛-11 (1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e －2.16.(2019·安徽六安第一中学模拟)已知a ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －x 6展开式的常数项为240，则⎠⎛－aa (x 2＋x cos x ＋4－x 2)d x ＝163＋2π.。

课时作业梯级练十七导数与函数的零点一、选择题(每小题5分,共35分)1.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C. D.【解析】选C.因为f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).当x<-1时,f′(x)>0,当-1<x<1时,f′(x)<0,当x>1时,f′(x)>0,所以当x=-1时,f(x)有极大值,当x=1时,f(x)有极小值.要使f(x)有3个不同的零点,只需解得-2<a<2.2.(2021·郑州模拟)设函数f′是函数f的导函数,当x≠0时,f′+<0,则函数g =f -的零点个数为( )A.3B.2C.1D.0【解析】选D.设F=x3f-1,则F ′=x3f ′+3x2f=x 3.当x≠0时,f ′+<0,当x>0时,x3>0,故F ′<0,所以,函数y=F 在上单调递减;当x<0时,x3<0,故F′>0,所以,函数y=F在上单调递增.所以F=F(0)=-1<0,所以,函数y=F没有零点,故g=f-=也没有零点.3.若函数f(x)=xln x-a有两个零点,则实数a的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选C.函数的定义域为(0,+∞),由f(x)=0得a=xln x,记g(x)=xln x.则g′(x)=ln x+1,由g′(x)>0得x>,由g′(x)<0得0<x<.所以g(x)在上单调递减,在上单调递增,且g(x)min=g()=-,由图可知-<a<0.4.已知定义域为R的函数f(x)满足f=,f′+4x>0,其中f′(x)为f(x)的导函数,则不等式f(sin x)-cos 2x≥0的解集为( )A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解析】选D.设g(x)=f(x)+2x2-1,所以g′(x)=f′(x)+4x>0在R上恒成立,所以g(x)在R上单调递增,不等式f(sin x)-cos 2x=f(sin x)+2sin2x-1,且g=0,不等式f(sin x)-cos 2x≥0,所以g(sin x)≥g,sin x≥,所以+2kx≤x≤+2kπ,k∈Z.5.(2020·吉安模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足x>0时,f(x)=x-ln x+ln,则函数g(x)=f(x)-sin x(e为自然对数的底数)的零点个数是( )A.1B.2C.3D.5【解析】选C.根据题意,函数g(x)=f(x)-sin x的零点即函数y=f(x)与y=sin x的交点,设h(x)=sin x,函数f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0,又由h(0)=sin 0=0.则函数y=f(x)与y=sin x存在交点(0,0),当x>0时,f(x)=x-ln x+ln,其导数f′(x)=-,分析可得在区间上,f′(x)<0,f(x)为减函数,在区间上,f′(x)>0,f(x)为增函数,则f(x)在区间(0,+∞)上存在最小值,且其最小值为f =×-ln+ln=1,又由h =sin=1,则函数y=f(x)与y=sin x 存在交点,又由y=f(x)与y=sin x都是奇函数,则函数y=f(x)与y=sin x 存在交点.综合可得,函数y=f(x)与y=sin x有3个交点,则函数g(x)=f(x)-sin x有3个零点.6.(2021·石嘴山模拟)若函数f(x)=x2e x-a恰有3个零点,则实数a的取值范围是( )A. B.C.(0,4e2)D.(0,+∞)【解析】选B.函数f(x)=x2e x-a的导数为f′(x)=2xe x+x2e x=xe x(x+2),令f′(x)=0,则x=0或-2,函数在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,所以0或-2是函数f(x)的极值点,函数的极值为:f(0)=0-a=-a,f(-2)=4e-2-a=-a,函数f(x)=x2e x-a恰有三个零点,则实数a 的取值范围是.7.设函数f(x)=则函数F(x)=xf(x)-1的零点的个数为( )A.4B.5C.6D.7【解析】选C.xf(x)=1,转化为f(x)=,如图,画出函数y=f(x)和g(x)=的图象,当x<0时,有一个交点,当x>0时,f(1)=1,g(1)=1,此时f(1)=g(1)=1,x=1是函数的一个零点,f(3)=f(1)=,g(3)=,满足f(3)>g(3),所以在(2,4)有两个交点,同理f(5)>g(5),所以在(4,6)有两个交点,f(7)<g(7),所以在(6,8)内没有交点,当x>7时,恒有f(x)<g(x),所以两个函数没有交点,所以,共有6个.二、填空题(每小题5分,共10分)8.若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为.【解析】f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a)(a∈R),当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(0)=1,所以此时f(x)在(0,+∞)内无零点,不满足题意.当a>0时,由f′(x)>0得x>,由f′(x)<0得0<x<,则f(x)在上单调递减,在上单调递增,又f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,所以f=-+1=0,得a=3,所以f(x)=2x3-3x2+1,则f′(x)=6x(x-1),当x∈(-1,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,则f(x)max=f(0)=1,f(-1)=-4,f(1)=0,则f(x)min=-4,所以f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为-3. 答案:-39.已知函数f(x)=x+ln x-,g(x)=,其中e为自然对数的底数,若函数f(x)与g(x)的图象恰有一个公共点,则实数m的取值范围是.【解析】因为f′(x)=1+>0,所以函数在(0,+∞)上为增函数且f=-1-<0,所以当m≥0时,与g(x)=有一个公共点,当m<0时,令f(x)=g(x),所以x2+xln x-x=m有一解即可,设h(x)=x2+xln x-x,令h′(x)=2x+ln x+1-=0得x=,即当x=时,h(x)有极小值-,故当m=-时有一公共点,故填m≥0或m=-.答案:m≥0或m=-【加练备选·拔高】(2020·湖南模拟)设函数f(x)=ln x-ax2-bx.(1)若x=1是f(x)的极大值点,求实数a的取值范围;(2)当a=0,b=-1时,方程x2=2mf(x)(其中m>0)有唯一实数解,求实数m的值.【解析】(1)由题意,得函数f(x)的定义域为(0,+∞),则导数为f′(x)=-ax-b,由f′(1)=0,得b=1-a,所以f′(x)=-ax+a-1=,①若a≥0,由f′(x)=0,得x=1.当0<x<1时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增;当x>1时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减.所以x=1是f(x)的极大值点.②若a<0,由f′(x)=0,得x=1或x=-.因为x=1是f(x)的极大值点,所以->1,解得-1<a<0.综合①②可得,实数a的取值范围是a>-1.(2)因为当a=0,b=-1时,方程2mf(x)=x2有唯一实数解,所以x2-2mln x-2mx=0有唯一实数解, 设g(x)=x2-2mln x-2mx,则g′(x)=,令g′(x)=0,即x2-mx-m=0.因为m>0,x>0,所以x1=<0(舍去),x2=,当x∈(0,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)上单调递减,当x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)上单调递增,当x=x2时,g′(x)=0,g(x)取最小值g(x2),则即所以2mln x2+mx2-m=0,因为m>0,所以2ln x2+x2-1=0,(*)设函数h(x)=2ln x+x-1,因为当x>0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一解,因为h(1)=0,所以方程(*)的解为x2=1,即=1,解得m=.( )A.(-∞,2-e2)B.(-∞,2-e2]C.(-∞,4-e2)D.(-∞,4-e2]【解析】选C.设切点为,f′(x)=,则切线为y-1+=(x-x0),代入点(k,0)得k=x0+-,令g(x)=x+-,则g′(x)=,当x<2时,g′(x)>0,g(x)单调递增,注意到x≠1,故g(x)的递增区间为(-∞,1),(1,2),当x>2时,g(x)单调递减,要使g(x)=k有三个根,由图象可得,k<g(2)=4-e2,故k的取值范围为(-∞,4-e2).2.(5分)若函数f(x)=恰有2个零点,则a的取值范围为( )A.B.∪C.D.∪【解析】选D.当x>0时,令f(x)=0,可得x3-x2-a=0,设g(x)=x3-x2,则g′(x)=x(3x-2),当x>时,g′(x)>0,g(x)min =g = -.当x≤0时,令f(x)=0,可得x2+2x-a=0,设h(x)=x2+2x,h(x)min=-1,所以函数f(x)=恰有2个零点,则a 的取值范围为∪.3.(5分)已知函数f(x)=+与g(x)=6x+a的图象有3个不同的交点,则a的取值范围是.【解析】原问题等价于函数h(x)=+-6x与函数y=a的图象有3个不同的交点,由h′(x)=x2+x-6=(x-2)(x+3)=0,得x=2或x=-3,当x∈(-∞,-3)时,h′(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(-3,2)时,h′(x)<0,h(x)单调递减;当x ∈(2,+∞)时,h ′(x)>0,h(x)单调递增.且h(-3)=,h(2)=-,数形结合可得a的取值范围是.答案:4.(10分)(2019·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f′(x)为f(x)的导数.证明:(1)f′(x)在区间存在唯一极大值点;(2)f(x)有且仅有2个零点.【证明】(1)设g(x)=f′(x),则g(x)=cos x-,g′(x)=-sin x+.当x∈时,g′(x)单调递减,而g′(0)>0,g′()<0,可得g′(x)在有唯一零点,设为α.则当x∈(-1,α)时,g′(x)>0;当x∈时,g′(x)<0.所以g(x)在(-1,α)单调递增,在单调递减,故g(x)在存在唯一极大值点,即f′(x)在存在唯一极大值点.(2)f(x)的定义域为(-1,+∞).①当x∈(-1,0]时,由(1)知,f′(x)在(-1,0)单调递增,而f′(0)=0,所以当x∈(-1,0)时,f′(x)<0,故f(x)在(-1,0)单调递减,又f(0)=0,从而x=0是f(x)在(-1,0]的唯一零点.②当x∈时,由(1)知,f′(x)在(0,α)单调递增,在单调递减,而f′(0)=0,f′<0,所以存在β∈,使得f′(β)=0,且当x∈(0,β)时,f′(x)>0;当x∈时,f′(x)<0.故f(x)在(0,β)单调递增,在单调递减.又f(0)=0,f=1-ln>0,所以当x∈时,f(x)>0.从而,f(x)在没有零点.③当x∈时,f′(x)<0,所以f(x)在单调递减.而f>0,f(π)<0,所以f(x)在有唯一零点.④当x∈(π,+∞)时,ln(x+1)>1,所以f(x)<0,从而f(x)在(π,+∞)没有零点.综上,f(x)有且仅有2个零点.5.(10分)设函数f(x)=ln x+ax2-a+1,g(x)=.(1)若g(x1)=g(x2)=t(其中x1≠x2).①求实数t的取值范围;②(一题多解)证明:2x1x2<x1+x2;(2)(一题多解)是否存在实数a,使得f(x)≤g(x)在区间(0,+∞)内恒成立,且关于x的方程f(x)=g(x)在(0,+∞)内有唯一解?请说明理由.【解析】(1)①因为g′(x)=,所以g(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且g(x)max=g(1)=1.又因为当x≤0时,g(x)≤0;当x>0时,g(x)>0,所以0<t<1.②方法一:由①不妨令0<x1<1<x2,所以<1.要证2x1x2<x1+x2成立,只需证x1<. 因为g(x)在(-∞,1)上单调递增,故只需证g(x2)=g(x1)<g,即证-(2x2-1)>0.令u=2x2-1>1,只需证-u>0(u>1), 即证ln u-<0(u>1).令φ(u)=ln u-(u>1),因为φ′(u)=<0,所以φ(u)<φ(1)=0,故2x1x2<x1+x2.方法二:由①不妨令0<x1<1<x2,由g(x1)=g(x2),得=,即x2-x1=ln x2-ln x1,即=1,由于φ(u)=ln u-(u>1),因为φ′(u)=<0,所以φ(u)<φ(1)=0.令u=>1,得ln<-,即<=1,所以0<x1x2<1,又由于+>2>2,所以2x1x2-(x1+x2)<0,故2x1x2<x1+x2.(2)方法一:令h(x)=g(x)-f(x)=-ln x-ax2+a-1(x>0),因为h(1)=0,且h(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,则x=1是极小值点,所以h′(1)=0,可得a=-,事实上,当a=-时,h(x)=-ln x+x2-,所以h′(x)=,易知e x≥ex,≤1≤x+1(x>0),所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,h(x)min=h(1)=0. 所以h(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即f(x)≤g(x)在(0,+∞)上恒成立,且f(x)=g(x)在(0,+∞)内有唯一解.方法二:事实上,h(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,也可以由下式说明:h(x)=-ln x+x2-=e1-x+ln x-ln x+x2-≥(1-x+ln x)+1-ln x+x2-=(x-1)2≥0.【加练备选·拔高】设函数f(x)=ln x+x.(1)令F(x)=f(x)+-x(0<x≤3),若F(x)的图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k≤恒成立,求实数a的取值范围;(2)若方程2mf(x)=x2有唯一实数解,求正数m的值.【解析】(1)F(x)=ln x+,x∈(0,3],则k=F′(x0)=≤在x0∈(0,3]上恒成立,所以a≥,x0∈(0,3],当x0=1时,-+x0取得最大值,所以a≥.故实数a的取值范围为.(2)因为方程2mf(x)=x2有唯一实数解,所以x2-2mln x-2mx=0有唯一实数解,设g(x)=x2-2mln x-2mx,则g′(x)=.令g′(x)=0,则x2-mx-m=0.因为m>0,所以Δ=m2+4m>0,又x>0,所以x1=<0(舍去),x2=.当x∈(0,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)上单调递减;当x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)上单调递增;当x=x2时,g′(x2)=0,则g(x)取得最小值g(x2).因为g(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0,则即所以2mln x2+mx2-m=0.因为m>0,所以2ln x2+x2-1=0.(*)设函数h(x)=2ln x+x-1,因为当x>0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一解.因为h(1)=0,所以方程(*)的解为x2=1, 即=1,解得m=.。