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9.13 提取公因式（1）教学目标：1．理解因式分解和公因式的概念，并能正确用提取公因式法进行分解因式；2．知道因式分解与整式的乘法之间的区别与联系；3. 通过整式乘法逆向变形引出因式分解的过程，初步形成观察、分析、概括的能力.重点：理解因式分解和公因式的概念，并能正确用提取公因式法进行分解因式.难点：知道因式分解与整式的乘法之间的区别与联系.教学过程：一、复习引入问1：前面我们学习了什么乘法运算？（预设：()m a b ma mb +=+ 22))((b a b a b a -=-+ (a+b )2= a 2+2ab +b 2.等）问2：请学生观察这些运算等式左、右两边有什么特点？(等式左边是整式乘法，等式右边是多项式.)问3：我们能否将刚才的等式左边与等式右边进行交换？(可以)问4：我们观察交换后的等式从左到右有什么变化？（从左边的多项式变形为整式乘法） 师：这种从左到右的变形叫做因式分解.二、新课讲课请哪位同学说说看：什么叫做因式分解？因式分解概念： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．问：请学生说说因式分解的关键词是什么？预设：一个多项式；几个整式（两个和两个以上）；结果是积的形式.及时反馈：判断：下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？并说明为什么.（1）1＋2x ＋3x 2＝1＋x (2＋3x)；（不是,因为等式的右边1＋x (2＋3x)不是整式积的形式）（2）3x (x ＋y )＝3x 2＋3xy ；(不是,是整式乘法运算) 2(3)9(3)(3)a a a -=+-；(是,因为从左到右是化为了两个整式积的形式)22(4)44(2)x x x -+=-.(是,因为从左到右是化为了两个整式积的形式)观察：如何进行因式分解呢？请看：多项式： ma mb mc ++．如何变为几个整式积的形式呢？答：各项都含有一个相同的因式m ，我们根据乘法的分配律，可得()ma mb mc m a b c ++=++． 归纳：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．思考：如何把多项式269xy xy +分解因式？答：多项式269xy xy +有两项，这两项的系数都是整数，它们的公因数是3，还有相同的因式xy ，所以这个多项式各项有公因式3xy ，就是269xy xy +＝3323⋅+⋅xy y xy ＝3(23)xy y + 问：把多项式269xy xy +分解成了什么因式？ 3xy 和(23)y +请同学们说说什么叫做提公因式法？预设：如果一个多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．及时反馈：书第42页练习9.13（1）2、（1）、（2）、（3）、（4）口答说出下列多项式各项的公因式：适时小结：提公因式法的关键是正确地寻找公因式，方法是：⑴公因式的系数应取各项系数的最大公因数（当系数是整数时）；⑵字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂. 例题1：分解因式： 32221015a bc a b c +问：3210a bc 和2215a b c 的公因式是如何确定的？预设：先找系数10和15的最大公因数5，再找各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂2a bc . 解：32221015a bc a b c +=ac bc a 252⋅+b bc a 352⋅=25(23)a bc ac b +．问：如何检验因式分解的正确性？答：因式分解与整式乘法是互逆的，可以用整式乘法检验例题2 分解因式()23168a a -问：公因式是什么？ 解： 2368a a -=222324a a a ⋅-⋅=()2234a a -()22153a b ab +问：公因式是什么？解：2153a b ab += 3531ab a ab ⋅+⋅= ()351.ab a +()223462x y xy xy -+-师：一般第一项系数是负数时先提取负号：解：22462x y xy xy -+-()22462x y xy xy =--+()222321xy x xy y xy =-⋅-⋅+⋅ ()2231.xy x y =--+()43612ax ab ay -+-解：12612ax ab ay -+-()12612ax ab ay =--+()6662a x a b a y =-⋅-⋅+⋅()=--+624.a xb y适时小结：用提取公因式法进行因式分解的关键点：1、正确地寻找公因式；2、某项全部提出括号内必须留有1；3、一般第一项系数是负数时先提取负号.一、课堂练习：教科书P42/3．二、梳理总结通过本节课的学习，我们有哪些收获和体会？答：因式分解的概念；公因式和提取公因式的概念；正确地寻找公因式方法是：⑴公因式的系数应取各项系数的最大公因数（当系数是整数时）；⑵字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂.因式分解与整式乘法可以互相转化，因式分解与整式乘法的过程正好相反，是互逆的变形.教师补充：数学思想与方法：乘法运算逆向变形引出因式分解.三、布置作业练习册：第26-17页1、2、3、4、5、6.9.13 提取公因式（2）教学目标：1．进一步理解因式分解的意义，初步掌握提取多项式进行分解因式；2．在分解因式的过程中养成严谨的思维习惯.重难点：正确提取多项式的公因式并将因式分解进行到不能分解为止.教学过程：一、复习旧知分解因式：（1）22am x -（2）210025a b ab -（3）2222462x y xy x y -+-.问1：我们用什么方法进行分解因式的？（提取公因式法）问2：如何确定公因式？(先确定各项系数的最大公因数（系数都是整数时）；再确定字母的公因式，它是各项都含有的相同字母的最低次幂)问3：用提取公因式法分解因式时要注意什么？(⑴如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“—”号，使括号内的第一项系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提取公因式；⑵利用提取公因式法分解因式时，一定要分解到不能再分为止．⑶注意避免出现分解因式的漏项问题)二．讲授新课思考：如何把()()a x y b x y +++分解因式？(把()x y +看作一个整体，作为公因式提出即可)()()a x y b x y +++=()()x y a b ++例题3 分解因式：()()b a b a ----24262． 问：第一步怎么做？(找系数的最大公因数-2)问：然后呢？(找出公因式()22a b --)解：()()b a b a ----24262=[]2(2)3(2)2a b a b ---+=2(2)(632)a b a b ---+. 例题4 分解因式：()()()321a b y b a x ---； 问：公因式是什么？问：如果选择公因式是()2a b -，上式如何变形？如果选择公因式是()2b a -怎么做？ ()()()()a b a b y b a x ---+-32；问：公因式是什么？小结：提取公因式时，有时需要将因式经过符号变换、字母位置重新排列才能看出公因式. 及时反馈：填空（书43页第1题）()()()()2221y x x y m -=-； ()()()()3322y x x y m -=--；()()()()()y x x y y x +-=-+3 ()()()m x y m =--24．例题5、()()()262x y x y x y +--+问：公因式是什么？问：这是因式分解的结果吗？ ()()224x y x y =++问：现在是因式分解的结果吗？()()42.x y x y =++小结：经过一次提取公因式后要观察是否还能分解，要分解稿不能分解为止.三、课堂练习：教科书P43/2．四、梳理总结通过本节课的学习，我们有哪些收获和体会？（预设：正确地寻找公因式；某项全部提出括号内必须留有1；一般第一项系数是负数时先提取负号；分解因式必须要分解到不能再分为止）五、布置作业练习册：练习册第28页 7 .。
课 题9.13（1）提取公因式法 设计依据（注：只在开始新章节教学课必填） 教材章节分析： 学生学情分析：课 型新授课 教学目标 1、理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的互逆关系；理解多项式的公因式的概念，掌握用提取公因式法分解因式。
2、感受整式乘法和因式分解的区别和联系，探索最大公因式的寻找方法，尝试提公因式法因式分解.3、整式乘法和因式分解是互逆运算，让学生领悟到：数学中许多知识都存在互逆关系.重 点 找出多项式每项的公因式难 点当公因式是一个多项式时，运用提公因式法进行因式分解 教 学 准 备学生活动形式 讨论，交流，总结，练习教学过程设计意图 课题引入：1、填空： （1）)ax (ab bx a 2⋅=； （2）)2y (3x y 6x y 2⋅=；（3）)2ac (bc 5a bc 10a 223⋅=；（4）)3b (bc 5a c b 15a 222⋅=2、填空：（1）3ab 6a b)3a(2a 2+=+；（2）232a 3a 1)-(3a a -=；（3）2x y 4x y)-2x (2x -2+-=.3、赛一赛 看谁计算得既快又准确. 4134993⨯+⨯. 逆用乘法对加法的分配率.ac ab )c b (a +=+ 反之)c b (a ac ab +=+这种变形今后经常用到知识呈现：执教：年级：初一 学科：数施教时间：第 周 星期 第 课时上海市横沙中学2016学年第一学期课堂教学设计方案新课探索一观察 下面每行两个等式从左到右的变形有什么区别？整式的乘法 多项式转化为几个整式的积bm am )b a (m +=+ )b a (m bm am +=+；22b a )b a )(b a (-=-+ )b a )(b a (b a 22-+=-；222b 2ab a )b a (+-=- 222)b a (b 2ab a -=+-；12x x )4x )(3x (2-+=+- )4x )(3x (12x x 2+-=-+；把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
《提取公因式法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业目标是使学生能够掌握提取公因式法的基本概念，熟悉公因式的寻找方法和运用步骤，通过实际操作和练习，提高学生解决相关数学问题的能力。
二、作业内容本课时的作业内容主要围绕“提取公因式法”进行设计，内容如下：1. 理论学习：阅读教材，掌握公因式法的基本概念、特点和应用范围，了解其在初中数学解题中的重要性。
2. 基础练习：完成课后习题中关于提取公因式法的题目，通过实践加深对理论知识的理解。
3. 探究实践：寻找生活中的实际问题，尝试运用提取公因式法进行解决，例如：在家庭开支账单中寻找公共支出项目，用此方法进行分组。
4. 案例分析：分析几个典型的提取公因式法的应用案例，了解其解题思路和步骤。
三、作业要求1. 理论学习部分要求学生在阅读教材时，做好笔记，对不理解的地方进行标记，以便于课堂上的提问。
2. 基础练习部分要求学生独立完成，并记录下解题过程和答案。
3. 探究实践部分鼓励学生发散思维，积极寻找生活中的问题并进行解决，记录下实践过程和心得体会。
4. 案例分析部分要求学生仔细阅读案例，理解其解题思路和步骤，并尝试自己解决类似问题。
四、作业评价本作业的评价标准包括以下方面：1. 理论学习部分的笔记记录情况和学习态度。
2. 基础练习部分的完成情况、解题过程和答案的准确性。
3. 探究实践部分的实践过程和心得体会的深度与广度。
4. 案例分析部分的阅读理解和自己解决问题的能力。
评价方式包括学生自评、互评和教师评价相结合，以全面了解学生的学习情况和作业完成情况。
五、作业反馈作业完成后，教师将对学生的作业进行批改和反馈。
反馈内容包括：1. 对学生在理论学习、基础练习、探究实践和案例分析等方面的表现进行评价和指导。
2. 对学生在解题过程中出现的问题进行解答和纠正。
3. 对学生的实践心得和体会进行点评和鼓励，激发学生的学以致用和探索精神。
4. 根据学生的作业情况，对下一课时的教学内容和方法进行调整和优化，以更好地满足学生的学习需求。
《提取公因式法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《提取公因式法》的练习，使学生能够熟练掌握公因式的概念及提取方法，并能够运用此法解决实际问题，为后续学习多项式因式分解打下坚实基础。
二、作业内容1. 基础知识巩固：（1）理解公因式的概念，能够识别并准确找出多项式中的公因式。
（2）通过练习题，让学生掌握公因式法的基本操作步骤。
2. 实践应用：（1）设置多种形式的实际问题，要求学生运用所学知识，提取公因式解决实际问题。
（2）设置对比题和拓展题，以提升学生的逻辑思维和灵活运用能力。
3. 重点与难点突破：（1）针对《提取公因式法》的难点进行重点讲解，如复杂多项式的公因式提取。
（2）设计一系列突破难点的练习题，帮助学生掌握解题技巧。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，并确保答案的准确性和完整性。
2. 作业需在规定时间内完成，不得抄袭他人答案。
3. 对于不懂的题目，学生应主动查阅资料或向老师请教。
4. 作业格式需整洁，字迹工整，步骤清晰。
四、作业评价1. 教师将根据学生完成作业的情况进行评分，并给出详细的评语。
2. 对于优秀的作业，教师将在班级内进行展示，并给予一定的奖励。
3. 对于错误较多的题目，教师需在下一课时进行详细讲解和纠正。
五、作业反馈1. 教师将对作业中普遍存在的问题进行总结，并在课堂上进行讲解。
2. 对于个别学生的问题，教师将通过个别辅导或课后答疑的方式给予解答。
3. 鼓励学生之间互相交流学习心得和解题技巧，形成良好的学习氛围。
六、后续学习建议1. 继续巩固《提取公因式法》的基本知识和技巧，为后续学习多项式因式分解打下基础。
2. 鼓励学生多进行实际问题的练习，提高解决实际问题的能力。
3. 引导学生进行拓展学习，如了解其他因式分解的方法等。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标1. 加深学生对提取公因式法原理的理解与掌握；2. 提高学生的因式分解和解题技巧，加强实际应用能力；3. 培养学生在数学学习中发现问题、分析问题和解决问题的能力。
《提取公因式法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在通过《提取公因式法》的学习和练习，使学生能够：1. 掌握提取公因式法的基本原理和方法；2. 能够熟练运用提取公因式法解决简单的数学问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解题的准确性。
二、作业内容本节作业内容主要围绕《提取公因式法》的实践应用展开，具体包括：1. 基础练习：设计一系列基础题目，让学生通过练习掌握提取公因式的基本步骤和技巧。
题目难度由浅入深，逐步提升。
2. 实际应用：设计一些实际生活中的数学问题，要求学生运用提取公因式法解决。
如：在计算折扣、分配任务等场景中运用此法。
3. 拓展延伸：提供一些具有挑战性的题目，鼓励学生自主探索、合作交流，深化对提取公因式法的理解和应用。
4. 思考题：设置几道思考题，引导学生对所学知识进行反思和总结，培养其独立思考和解决问题的能力。
三、作业要求1. 要求学生独立完成作业，不得抄袭他人答案；2. 认真审题，理解题目要求，按照题目要求进行解答；3. 注重解题过程，书写清晰、规范，表达准确；4. 按时提交作业，并保持作业的整洁和完整。
四、作业评价1. 教师根据学生提交的作业进行批改，评价学生在提取公因式法方面的掌握情况；2. 针对学生在作业中出现的错误，进行详细的分析和指导，帮助学生找出错误原因并加以改正；3. 对学生的优秀作业进行表扬和展示，鼓励学生在数学学习中取得更好的成绩；4. 根据学生的作业情况，及时调整教学计划和教学方法，提高教学效果。
五、作业反馈1. 通过课堂讲解、小组讨论等方式，及时向学生反馈作业情况，让学生了解自己的不足之处；2. 鼓励学生之间互相交流学习经验和解题方法，提高学生的自主学习能力和合作能力；3. 对学生的疑问和困惑进行耐心解答和指导，帮助学生解决学习中的难题；4. 定期进行阶段性测试和总结，让学生对所学知识进行巩固和复习，提高学习效果。
通过以上作业设计方案旨在通过多层次、多角度的练习，使学生能够全面掌握提取公因式法，并能够熟练运用此法解决实际问题。
(3 ) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2
)；
(4 ) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．
下面再补充两个常用的公式：
(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 例.已知是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，
则ABC ∆的形状是（ ）
A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++
222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：bn bm an am +++
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++
=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++
例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
)。
9.13 提取公因式法（1）公开课
【教学目标】
知识与技能：1．理解因式分解的意义，知道因式分解和整式乘法的互逆关系。
2．理解多项式的“公因式”的概念，并会确定多项式的公因式。
过程与方法：通过讨论、归纳、总结，初步掌握如何用提取公因式法来分解因式。
情感态度与价值观：经历找公因式的过程，培养学生自主探究、合作、归纳的能力，激发学生的学习热情。
【教学重点】理解提取公因式法的依据，掌握运用提取公因式法把多项式因式分解
【教学难点】理解因式分解的意义和确定多项式中各项的公因式
【课前准备】PPT，投影仪，课前预习。
9.13 提取公因式法（第1课时）
重点：理解提取公因式法的依据，掌握运用提取公因式法把多项式因式分解．
因此常常要把一个数分解因数即分解约数
成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法．
请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果．再请学生观察它们有什么共同的特点？
也叫做把这个多mb+mc，请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式
-9 ( )
2)+1 ( )
②如果当第一项的系数是负数时，一般应提出这个负号，注意，提出负号后，其他几项的符
三、课堂小结：。
