课时2 指数函数及其性质(35分钟 100分)基础达标 理解指数函数的概念、指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点 素养突破培养学生的数学抽象素养1.规定底数a 大于零且不等于1的理由:①如果a=0,当x>0时,a x 恒等于0,当x ≤0时,a x 无意义;②如果a<0,如y=(-4)x ,当x=14,12,…时,在实数范围内y 值不存在; ③如果a=1,y=1x =1,是一个常量,对它就没有研究的必要了.2.指数函数是形式定义的函数,初中所学的一次函数、反比例函数都是形式定义的函数,因此把握指数y=a x 的形式非常重要.在指数函数的定义表达式y=a x 中,a x 前的系数必须是1,自变量x 在指数的位置上,否则不是指数函数,比如y=2a x ,y=a x+1,y=x 2,y=a x +1等,都不是指数函数.3.学习指数函数的图象和性质时必须注意的几个问题:①当底数a 大小不定时,必须分a>1和0<a<1两种情况,即当0<a<1时,x →+∞,y →0;当a>1时,x →-∞,y →0.②指数函数y=a x 与y=(1a )x (a>0,且a ≠1)的图象关于y 轴对称.题组一 指数函数的概念1.(8分)若函数f (x )=a x (a>0,且a ≠1)满足f (2)=81,则f (-12)的值为( )A .±13 B .±3C .13 D .32.(8分)若函数f (x )=(a 2-7a+7)a x 是指数函数,则实数a 的值为( )A .1B .6C .1或6D .73.(8分)若函数f (x )=a 2x -b +1(a>0,且a ≠1,b 为实数)的图象恒过定点(1,2),则b 的值为( )A .0B .-2C .1D .2题组二 指数函数的图象4.(8分)当a ≠0时,函数y=ax+b 和y=b ax 的图象可能是( )5.(8分)在同一直角坐标系中,二次函数y=ax 2+bx 与指数函数y=(ab )x 的图象可能为( )6.(8分)设a ,b ,c ,d 都是不等于1的正数,y=a x,y=b x,y=c x,y=d x在同一坐标系中的图象如图所示,则a ,b ,c ,d 的大小顺序是 ( )A .a<b<c<dB .a<b<d<cC .b<a<d<cD .b<a<c<d7.(8分)函数y=e x +e -xe x -e -x 的图象大致为( )题组三 指数函数的性质8.(8分)已知集合M={-1,1},N={x|12<2x+1<4,x ∈Z},则M ∩N=( )A .{-1,1}B .{-1}C .{0}D .{-1,0}9.(8分)已知关于x 的方程2a 2x -2-7a x -1+3=0有一个根是2,则a=( )A .12或2 B .2C .12或3D .13或310.(14分)已知a>0,且a ≠1,讨论f (x )=a -x 2+3x+2的单调性.11.(14分)已知函数f(x)=a x-1(a>0,且a≠1).a x+1(1)求f(x)的定义域和值域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性.课时2 指数函数及其性质1.C 解析:本题考查指数函数求值.∵函数f (x )=a x (a>0,且a ≠1)满足f (2)=81,∴a 2=81,解得a=9或a=-9(不符合题意,舍去),∴f (x )=9x,∴f (-12)=9-12=13.2.B 解析:本题考查指数函数的定义.因为f (x )=(a 2-7a+7)a x 是指数函数,所以a 2-7a+7=1,解得a=1或6,又指数函数底数a>0,且a ≠1,所以a=6.3.D 解析:本题考查指数函数过定点问题.∵函数f (x )的图象过定点(1,2),∴f (1)=2,即a 2-b +1=2,故b=2.4.A 解析:本题考查一次函数与指数函数在同坐标系下的图象.对于A 项,y=ax+b ,当x=0时,0<y=b<1,a>0,可验证y=b ax 满足0<b<1,a>0的条件,故A 项正确;对于B 项,y=ax+b ,当x=0时,y=b>1,a>0,则y=b ax 为单调增函数,但图中y=b ax 单调递减,不满足条件,故B 项不正确;对于C 项,y=ax+b ,当x=0时,y=b>1,a<0,则y=b ax 为单调减函数,但是图中y=b ax 为单调增函数,不满足条件,C 项不正确;对于D 项,y=ax+b ,当x=0时,0<y=b<1,a<0,则y=b ax 为单调增函数,但是图中y=b ax 为单调减函数,不满足条件,D 项不正确.5.C 解析:本题考查二次函数与指数函数在同坐标系下的图象.根据指数函数y=(ab )x 可知a ,b同号且不相等,则二次函数y=ax 2+bx 的对称轴-b 2a <0,可排除B 、D 两项;由图象可知y=(ab )x 均为减函数,又二次函数y=ax 2+bx 过坐标原点,∴C 项正确.6.C 解析:本题考查不同底数的指数函数图象之间的关系.取x=1,根据各图象的高低可以判断出b<a<d<c.7.A 解析:本题考查指数型函数图象.要使函数有意义,需使e x -e -x ≠0,其定义域为{x|x ≠0},排除C 、D 两项,又y=e x +e -x e x -e -x =e 2x +1e 2x -1=1+2e 2x -1,所以当x>0时,函数为减函数.故选A 项.8.B 解析:本题考查指数不等式与集合的运算.因为N={x|2-1<2x+1<22,x ∈Z},又函数y=2x 在R 上为增函数,∴N={x|-1<x+1<2,x ∈Z}={x|-2<x<1,x ∈Z}={-1,0},∴M ∩N={-1,1}∩{-1,0}={-1}. 9.C 解析:本题考查指数函数与一元二次方程.把x=2代入方程2a 2x -2-7a x -1+3=0,得2a 2-7a+3=0,解得a=12或3.10.解析:本题考查指数函数的单调性. 设u=-x 2+3x+2=-(x -32)2+174,又当a>1时,y=a u 是增函数,当0<a<1时,y=a u 是减函数, 所以当a>1时,原函数f (x )=a -x 2+3x+2在[32,+∞)上是减函数,在(-∞,32)上是增函数.当0<a<1时,原函数f (x )=a -x2+3x+2在[32,+∞)上是增函数,在(-∞,32)上是减函数.11.解析:本题考查指数函数的性质. (1)f (x )的定义域是R, 令y=a x -1a x +1,得a x =-y+1y -1.∵a x >0,∴-y+1y -1>0,解得-1<y<1, ∴f (x )的值域为{y|-1<y<1}.(2)∵f (-x )=a -x -1a -x +1=1-a x1+a x =-f (x ),∴f (x )是奇函数.(3)f (x )=(a x +1)-2a x +1=1-2a x +1.设x 1、x 2是R 上任意两个实数,且x 1<x 2,则 f (x 1)-f (x 2)=2a x 2+1-2a x 1+1=2(a x 1-a x 2)(a x 1+1)(a x 2+1).∵x 1<x 2,当a>1时,a x 2>a x 1>0,从而a x 1+1>0,a x 2+1>0,a x 1-a x 2<0,∴f (x 1)-f (x 2)<0, 即f (x 1)<f (x 2),f (x 1)为R 上的增函数.当0<a<1时,a x 1>a x 2>0,从而a x 1+1>0,a x 2+1>0,a x 1-a x 2>0,∴f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2),f (x )为R 上的减函数.。
