有心圆锥曲线在反演变换中的一个有趣性质

仿射变换一、将坐标进行伸缩变换，实现化椭为圆b2仿射变换定理一：若经过椭圆的对称中心的直线构成的直径三角形，则两条弦的斜率乘积k AC-k BC=--a仿射变换定理二：-=-（拉伸短轴）；-=-（压缩长轴）.S b S a拉伸短轴后点的坐标变化：AO。

,％）T A’。

；。

,一%）,横坐标不变，纵坐标拉伸一倍.b b斜率的变化：如图纵坐标拉伸了色倍，故k'=-k,由于k.-k..=-l.b b AC BCb b b2bk AC'k BC=~k AC'^k BC=——，S徵BC=一、函毗/（水平宽不变，铅垂高缩小）•a a a a压缩长轴后点的坐标变化：A（x0,y0）A'（—x0,y0）,纵坐标不变，横坐标缩小'倍.a a斜率的变化：如图横坐标缩小了"倍，故k'=-k,由于k.-k RC.=-1.a b AC BCh h h ak AC，k BC=-k AC,-k BC=一~'S a ABC=检,，，（水平宽扩大，铅垂高不变）.a a a b例1（2013-新课标）椭圆C:j+：=l的左、右顶点分别为A、劣，点P在C上且直线必2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线F&斜率的取值范围是（）12~「°3"113,; B.; C.-,1; D.-,1_2'4__8'4_24例2（2016•北京）已知椭圆C:与+土=1过点A（2,0）,5（0,1）两点.a b（1）求椭圆。

的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆。

上，直线PA与y轴交于点M,直线P3与x轴交于点N,求证:四边形A3NM的面积为定值.22A7例3(2014•新课标I)已知点A(0-2),椭圆E:二+二=1(。

〉力〉0)离心率为匚，F是椭圆的右a b2焦点，直线AF的斜率为全3,。

为坐标原点.3(1)求E的方程;(2)设过点A的直线/与E相交于P、。

椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点顾名思义，就是光线的聚焦点，这说明圆锥曲线具有丰富的光学性质.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.探照灯就是利用这个原理设计的.反之，也成立.太阳灶设计就是按照这个原理.如图1.虽然课本上给出了性质，但没有任何证明.讲课时可以借助GeoGebra软件的作图和轻松设置变量为滚动条功能来直观显示，并用几何方法和学生进行简单论证.如图2，对于抛物线y2=2px上任意一点A(y022p,y0)处切线称为镜面，A点不是原点（0，0）时切线镜面直线M″M′有斜率k(k≠0)，过A垂直镜面直线M″M′的直线N″N′称为法线.AF″垂直于准线x=-p2.F″(-p2，y0)，F(p2，0)，则k F″F=y0-0-p2-p2=y0-p，过A的切线方程为y-y0=k(x-y022p)，切线与抛物线联立方程ìíîïïy-y0=k(x-y022p)y2=2px,把x=y22p带入直线y-y0=k(x-y022p)，则y-y0=k(y22p-y022p)的Δ=0，得到k=py0.k M″M′∙k N″N′=-1，k∙k F″F= -1.∴F″F⊥M″M′.由抛物线定义，||AF″= ||AF.∠F″AM″=∠M″AF=∠M′AF′’，∴∠F″AM″和∠M′AF′为对顶角，F″、A、F′三点共线.AF″垂直于准线x=-p2.∴反射光线AF′平行x轴.当过A的直线无斜率时（即点A（0，0）时），结论显然成立.探究数学中圆锥曲线的光学性质河北省三河市第二中学张振富065201摘要：椭圆、双曲线、抛物线都有焦点，焦点使这些圆锥曲线有丰富的光学性质.生活中很多物品设计中利用了这些性质.数学教学中利用建模思想，从实物中抽象出数学问题，利用这些性质解决问题.关键词：光学性质；圆锥曲线；光学性质图1··30椭圆和双曲线的光学性质与抛物线不同.从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上.从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样.依次如图3、4.胶片电影放映机的聚光灯内安装的椭球反射镜就是应用了这个原理.如图5.例1椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点，焦点是光线的聚集点，当一束光照到镜面时，光线依入射角等于反射角的规律反射．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆面反射后通过椭圆的另一个焦点（如图6所示）．已知F 1，F 2是椭圆x 24+y 23=1的焦点，过椭圆上的点P (1,32)做椭圆的切线l ,M ,N 分别是F 1，F 2在该切线上的射影，则||F 1M ⋅||F 2N 的值为().A.2B.3C.4D .5解析：入射光线F 1P ，反射光线PF 2，过P 点椭圆x 24+y 23=1的切线方程为直线MN :1∙x 4+32∙y3=1（镜面），F 1M ⊥MN ，F 2N ⊥MN ，PE ⊥MN 交x 轴与E ，直线PE 方程y -32=2(x -1)（法线），E (14,0)，入射角∠F 1PE =反射角∠EPF 2=θ，sin∠F 1PM =||MF 1||PF 1=cos θ，sin∠F 2PN =||NF 2||PF 2=cos θ；||MF 1=||PF 1cos θ，||NF 2=||PF 2cos θ，椭圆x 24+y 23=1中c =1，点P (1,32)，∴PF 2⊥F 1F 2，||PF 2=32，||PF 1=52，cos ∠F 1PF 2=cos2θ=2(cos θ)2-1=||PF 2||PF 1=3252=35，||MF 1∙||NF 2=||PF 1⋅cos θ||PF 2∙cos θ=||PF 1||PF 2(cosθ)2=32∙52∙45=3,所以选B.引申：任意椭圆x 2a 2+y 2b2=1，一般性规律||MF 1∙||MF 2=b 2，cos∠F 1PF 2=cos2θ=||PF 12+||PF 22-||F 1F 222||PF 1||PF 2=(||PF 1+||PF 2)2-2||PF 1||PF 2-||F 1F 222||PF 1||PF 2=(2a )2-2||PF 1||PF 2-(2c )22||PF 1||PF 2=4b 2-2||PF 1||PF 22||PF 1||PF 2=4b 22||PF 1||PF 2-1=2(cos θ)2-1，∴(cos θ)2=b 2||PF 1||PF 2，||MF 1∙||NF 2=||PF 1cos θ⋅||PF 2·cos θ=||PF 1||PF 2(cos θ)2=||PF 1||PF 2∙b 2||PF 1||PF 2=b 2.拓展：求梯形面积S MF 1F 2N 的取值范围1510-5-10-15-510152025303540N ″M ′法线′’A28.02°64.98°28.02°M 镜面N ′’p =3.828.02°xy图2F F F F F F C A B影片门图3图4图5MN2F 1F 2E -2-101231-1-2θ=26.57图6··31.解：S MF 1F 2N =12(||MF 1+||NF 2)∙||MN =12(||PF 1∙cos θ+||PF 2cos θ)∙(||PF 1sin θ+||PF 2sin θ)=12(2a )cos θ⋅(2a )sin θ=a 2sin(2θ)，若b c ，∃P ，使∠F 1PF 2 π2，∴∠F 1PF 2=π2时，S MF 1F 2N最大值=a 2.若b ＞c ，∀P ，∠F 1PF 2<π2，当P 在椭圆短轴端点时∠F 1PF 2最大，此时sin(2θ)=2sin θcos θ=2∙c a ∙b a =2bca 2，故S MF 1F 2N 最大值=a 2∙2bc a 2=2bc .例2双曲线的光学性质为：如图7，从双曲线右焦点F 2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F 1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质，某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线一部分，如图8，其方程为x 2a 2-y 2b2=1，F 1、F 2为其左、右焦点，若从右焦点F 2发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射后，满足∠BAD =90°，tan∠ABC =-34，则该双曲线的离心率为（）.A. B.5C.D .10解析：若从右焦点F 2发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射，入射光线F 2A ,反射光线AD ，反向延长AD 过F 1，入射光线F 2B ，反射光线BC ，反向延长BC 过F 1，∠BAD =90°，∠BAF 1=90°.tan∠ABC =-34,tan∠ABF 1=34，cos∠ABF 1=45.令||AF 1=3k ，则||AB =4k ，||BF 1=5k .令||AF 2=x ，||BF 2=4k -x .由双曲线定义||AF 1-||AF 2=3k -x =2a =||BF 1-||BF 2=5k -(4k -x ).∴x =k ，2a =||AF 1-||AF 2=3k -x =2k .Rt△F 2AF 1中，||F 1F 22=||AF 12+||AF 22=(3k22=10k 2，∴|F 1F 2|=10k =2c ，则e =2c 2a =所以选C.应用：抛物线具有如下光学性质，从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.生活中的探照灯就是利用这个原理设计的.已知F 是抛物线C :y 2=4x 的焦点，从F 发出的光线经C 上的点M 反射后经过点（4,23)，则||FM =().A .2B .3C .4D .5解析：如图9，由抛物线光学性质，从F发出的光线经抛物线上的点M 反射后经过点P (4,23)，入射光线FM ，反射光线MP .∴MP 平行x 轴.则由M (x M ,23)在抛物线上得x M =3.由抛物线定义||FM =x M +p2=3+1=4.所以选C.高中数学教学中，应重视课本，在大量教辅资料面前回归教材.在教学中教师若能用灵活的教学方法，充分发挥课本的功能，就可以事半功倍，提高课堂教学效果.F 1F 2Oy x图742-2-4-6-4-2246FA DCBF 2图8yx4321-1-2-1123456M ″M P M ′FC ′(4,23)图9y x··32。

圆锥曲线的性质及像圆锥曲线是二维平面上的一种重要数学曲线，由与一个点（称为焦点）的距离与一个定值的比例关系确定。

常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。

本文将就这三种圆锥曲线的性质和其像进行论述。

一、椭圆的性质及像椭圆是由平面上一定点到两个焦点的距离之和等于常数确定的轨迹，其数学表示为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1。

1. 对称性：椭圆是关于x轴和y轴对称的，当点P(x, y)在椭圆上时，点P'(-x, y)和P(x, -y)也分别在椭圆上。

2. 焦点和准线：椭圆有两个焦点F1和F2，直线F1F2称为准线。

焦点到准线的距离等于椭圆的长轴长度。

3. 长短轴：椭圆的长轴是其离心率e所确定的直线段，它过椭圆的两个焦点和中点，且长度为2a；短轴是长轴的垂直平分线段，且长度为2b。

4. 垂直切线与法线：椭圆上任意一点的切线与过该点的法线垂直。

椭圆的像：在光学中，当一束光线射向椭圆的近焦点时，光线将沿着椭圆内部传播，最终交于远焦点上。

这种现象称为椭圆的像。

二、双曲线的性质及像双曲线是由平面上一定点到两个焦点的距离之差等于常数确定的轨迹，其数学表示为(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1。

1. 对称性：双曲线是关于x轴和y轴对称的，当点P(x, y)在双曲线上时，点P'(-x, y)和P(x, -y)也分别在双曲线上。

2. 焦点和准线：双曲线有两个焦点F1和F2，直线F1F2称为准线。

焦点到准线的距离等于双曲线的长轴长度。

3. 长短轴：双曲线的长轴是其离心率e所确定的直线段，它过双曲线的两个焦点和中点，且长度为2a；短轴是长轴的垂直平分线段，且长度为2b。

4. 渐近线：双曲线有两条对称的渐近线，它们与双曲线的距离无限接近但永远不相交。

双曲线的像：在光学中，当一束光线射向双曲线的一焦点时，光线将以双曲线内部为中心散射，无限延伸。

圆锥曲线光学性质的证明及应用初探学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有一则阅读材料引起了同学们的兴趣，在老师的指导下，我们不仅了解了圆锥曲线的光学性质这一常见现象，而且进一步对它进行了证明和探究，并对它在数学解题和生产科技等方面的应用有了一定的认识。

课后我经过反思与整理，写成此文。

一、圆锥曲线的光学性质1．1 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；(见图1.1)椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．1．3 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。

二、问题转化及证明2．1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l 与曲线c 交于P ，Q 两点，当直线l 连续变动时，P ，Q 两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P ，Q 重合为一点M ,此时直线l 称为曲线c 在点M 处的切线，过M 与直线l 垂直的直线称为曲线c 在点M 处的法线。

高中数学几何圆锥曲线性质证明数学几何是高中数学中的一大难点，其中圆锥曲线是一个重要的内容。

在学习圆锥曲线时，我们需要了解其性质，并能够进行相应的证明。

本文将以几何圆锥曲线性质证明为主题，为高中学生及其父母提供一些解题技巧和指导。

一、椭圆的性质证明椭圆是圆锥曲线中的一种，其性质有很多需要证明的地方。

我们以椭圆的两个焦点和任意一点的距离之和等于常数为例进行说明。

假设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆上任意一点为P。

我们需要证明PF1 + PF2 = 2a，其中a为椭圆的长半轴。

首先，我们可以利用椭圆的定义进行证明。

根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。

因此，我们可以得出结论PF1 + PF2 = 2a。

其次，我们可以利用椭圆的几何性质进行证明。

根据椭圆的定义，椭圆是平面上到两个焦点的距离之和等于常数2a的点的轨迹。

因此，任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于2a。

即PF1 + PF2 = 2a。

通过以上两种证明方法，我们可以得出结论PF1 + PF2 = 2a，这是椭圆的一个重要性质。

二、双曲线的性质证明双曲线也是圆锥曲线中的一种，其性质同样需要进行证明。

我们以双曲线的渐近线为例进行说明。

双曲线的渐近线是指双曲线的两条无限远直线。

我们需要证明双曲线的渐近线与双曲线的中心轴平行。

假设双曲线的中心轴为x轴，渐近线为y = mx + c。

我们需要证明m = ±b/a，其中a和b分别为双曲线的长半轴和短半轴。

首先，我们可以利用双曲线的定义进行证明。

根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于常数2a。

因此，我们可以得出结论m = ±b/a。

其次，我们可以利用双曲线的几何性质进行证明。

根据双曲线的定义，双曲线是平面上到两个焦点的距离之差等于常数2a的点的轨迹。

因此，双曲线的渐近线与双曲线的中心轴平行。

通过以上两种证明方法，我们可以得出结论双曲线的渐近线与双曲线的中心轴平行，这是双曲线的一个重要性质。

有心圆锥曲线在反演变换中的一个有趣性质
心圆锥曲线是一种有趣的数学曲线，普遍存在于几何、微积分、动力学和其他科学领域。

它被广泛用于实用和科学应用程序中，被认为是一个关键的基础知识，是理解现代数学的重要部分。

在数学领域，心圆锥曲线被用于反演变换，即将曲线的方程从曲线空间变为曲线的平面空间。

这是一种描述曲线的变换，它通过将方程变换成更简单的形式来描述曲线。

反演变换使用坐标轴来表示曲线，以方便更有效地表示曲线。

如果要求反演变换，可以将原来的曲线方程转换成更容易理解的形式。

心圆锥曲线具有独特的反演变换特性，即曲线平面空间上的无穷远处和曲线空间上的本体（原点）之间存在着一种联系，这种联系是轴对称的。

这个有趣的特性体现在渐进曲线的处理上，它能够实现曲线的反演变换，将曲线的平面空间转换为曲线空间，使解释和理解数学起着重要作用。

总之，心圆锥曲线是一种复杂但有趣的数学曲线，它对反演变换有着独特的特性，有助于更好地解释和理解数学曲线。

心圆锥曲线的研究和应用有助于深入理解数学的基本概念，为发现新的数学模型和理论奠定基础。

仿射变换一、将坐标进行伸缩变换，实现化椭为圆仿射变换定理一：若经过椭圆的对称中心的直线构成的直径三角形，则两条弦的斜率乘积22ab k k BCAC -=⋅.仿射变换定理二：b a S S ='（拉伸短轴）；ab S S =''（压缩长轴）.拉伸短轴后点的坐标变化：),(),(00'00y b a x A y x A →，横坐标不变，纵坐标拉伸ba倍. 斜率的变化：如图纵坐标拉伸了b a 倍，故k ba k ='，由于1''''-=⋅C B C A k k .22''''a b k a b k a b k k C B C A BCAC -=⋅=⋅，'''C B A ABC S abS ∆∆=（水平宽不变，铅垂高缩小）. 压缩长轴后点的坐标变化：),(),(00'00y x a b A y x A →，纵坐标不变，横坐标缩小ab倍. 斜率的变化：如图横坐标缩小了a b 倍，故k ba k ='，由于1''''-=⋅C B C A k k .22''''a b k a b k a b k k C B C A BCAC -=⋅=⋅，'''C B A ABC S baS ∆∆=（水平宽扩大，铅垂高不变）. 例1（2013·新课标）椭圆134:22=+y x C 的左、右顶点分别为21A A 、，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]1,2--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,21；B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,83；C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21；D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,43.例2（2016·北京）已知椭圆1:2222=+by a x C 过点)1,0(),0,2(B A 两点.（1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.例3（2014·新课标Ⅰ）已知点)2,0(-A ，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 离心率为23，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为332，O 为坐标原点. （1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与E 相交于Q P 、OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.二、椭圆的角平分线定理仿射变换定理三：若点B A ,是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的点，AB 与椭圆长轴交点为N ，在长轴上一定存在一个点M ，当且仅当2a x x N M =⋅时，BMN AMN ∠=∠，即长轴为角平分线.若点B A ,是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的点，AB 与椭圆短轴交点为N ，在短轴上一定存在一个点M ，当且仅当2b y y N M =⋅时，BMN AMN ∠=∠，即短轴为角平分线.例4（2018·全国卷Ⅰ）设椭圆12:22=+y x C 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于B A ,两点，点M 的坐标为)0,2(.（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMB OMA ∠=∠.三、放射变换后圆心角为直角问题仿射变换定理四：若以椭圆12222=+b y a x 的对称中心引出两条直线交椭圆于B A ,两点，且22ab k k OB OA -=⋅，则经过仿射变换后1''-=⋅OB OA k k ，所以AOB S ∆为定值.仿射变换定理五：若椭圆12222=+b y a x 上三点M B A ,,，满足①22a b k k OB OA -=⋅；②2abS AOB =∆；③))2,0((,cos sin πααα∈⋅+⋅=OB OA OM 例5（2011·山东）已知直线l 与椭圆123:22=+y x C 交于),(),,(2211y x Q y x P 两不同点，且OPQ ∆的面积26=∆OPQ S ，其中O 为坐标原点. （1）证明2221x x +和2221y y +均为定值；（2）设线段PQ 的中点为M ，求PQ OM ⋅的最大值；（3）椭圆C 上是否存在点G E D ,,，使得26===∆∆OEG ODG ODE S S S ？若存在，判断DEG ∆的形状；若不存在，请说明理由.例6（2016·浙江二模）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 经过点)54,56(，其离心率为23，设MB A ,,是椭圆C 上的三点，且满足))2,0((,sin cos πααα∈⋅+⋅=OB OA OM ，其中O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）证明：OAB ∆的面积是一个常数.四、中点弦与中垂线问题（无需点差法也可证明） 仿射变换定理六：中点弦问题，22a b k k ABOP -=⋅；中垂线问题，22a b k k MP OP =，且20220,b y c y a x c x N M ==. 拓展1：椭圆内接ABC ∆中，若原点O 为重心，则仿射后一定得到''C OB ∆为120的等腰三角形；'''C B A ∆为等边三角形.拓展2：椭圆内接的平行四边形OAPB ，B P A ,,在椭圆上，则仿射后一定得到菱形'''B P OA .例7（2015·新课标Ⅱ）已知椭圆)0(9:222>=+m y x C ，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点B A ,，线段AB 的中点为M .（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若l 过点),3(m m，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由.例82015·浙江）已知椭圆1222=+y x 上两个不同的点B A ,关于直线21+=mx y 对称. （1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）.五、利用仿射变换解决椭圆与圆结合的面积问题若椭圆内含有圆与直线相切，如图直线AB 与圆相切于P ，交椭圆12222=+by a x 于点B A ,，求OAB S ∆的最大值.首先进行仿射变换：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22222221ryxbyax，令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==222'22'22'2'''raybxayxybayxx，拉伸后可知，''OBAAOBSabS∆∆=，故当''2sin21''OBAaSOBA∠=∆最大时，90''=∠OBA，关键在于看''OBA∠的取值范围；根据几何性质，''BA平行于x轴时，α=∠''OBA最小，''BA平行于y轴时，β=∠''OBA最大.例9（2018·武汉模拟）已知椭圆)0(1:2222>=+babyaxC的右焦点为)0,2(，离心率为36.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C相交于BA,两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；（3）在（2）的条件下，求OAB∆面积的最大值.例10（2018·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点)21,3(，焦点)0,3(),0,3(21FF-，圆的直径为21FF.（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，若OAB ∆的面积为762，求直线l 的方程.六、定比分点和弦长公式仿射变换定理七：定比分点的比值不变性原理，CB AC C B A C y y y y x x x x B C C A B C C A CBAC --=--====''''''''''''λ.仿射变换定理八：弦长公式的转化，纵向拉伸并不改变横向的性质，设,(),,(2211y x B y x A ，则2122212''212)(111x x k b a x x k B A x x k AB -+=-+=⇒-+=，即222'')(11k ba k BA AB++=.例11（2011·重庆）如图，椭圆O 的中心为原点，离心率22=e，一条准线的方程是22=x . （1）求椭圆的标准方程；（2）设动点P 满足ON OM OP 2+=，其中N M 、是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为21-，问：是否存在定点，使得PF 与点P 到直线102:x l 的距离之比为定值；若存在，求点F 的坐标，若不存在，说明理由.例12（2016·四川）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线3:+-=x y l 与椭圆有且只有一个公共点T . （1）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（2）设O 是坐标原点，直线'l 平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点B A 、，且与直线l 交于点P . 求证：存在常数λ，使得PB PA PT ⋅=λ2，并求λ的值.例13（2016·重庆模拟）椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，作直线l 交椭圆于Q P ,两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，设直线l 的斜率为1k ，直线OM 的斜率为2k ，3221-=k k . （1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与x 轴交于点)0,5(-D ，且满足DQ DP 2=，当OPQ ∆的面积最大时，求椭圆C 的方程.达标训练1（2018·三明期末）设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的离心率为2，且内切于圆422=+y x .（1）求椭圆M 的方程； （2）若直线m x y +=2交椭圆于两点，椭圆上一点)2,1(P ，求PAB ∆面积的最大值.2（2018·龙海期末）已知点)2,0(A ，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的离心率为23，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为332，O 是坐标原点. （1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与E 相交于Q P ,两点，当OPQ ∆的面积最大时，求直线l 的方程.3. 如图，已知C B A 、、是长轴为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的右顶点，BC 过椭圆中心O ，且0=⋅BC AC AC BC =（1）求椭圆的标准方程；（2）若过C 关于y 轴对称的点D 作椭圆的切线DE ，则AB 与DE 有什么位置关系？证明你的结论.4（2016·佛山二模）已知点M 是圆4:22=+y x C 上一动点，点D 是M 在x 轴上的投影，P 为线段MD 上一点，且与点Q 关于原点O 对称，满足OD OM QP +=. （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过点P 做E 的切线l 与圆C 相交于B A ,两点，当QAB ∆面积取最大值时，求l 的方程.5（2018·株洲期末）椭圆141622=+y x 上的两点B A 、关于直线0322=--y x 对称，则弦AB 的中点坐标为（ ）A. )21,1(-；B. )1,21(-；C. )2,21(；D. )21,2(.6（2016·兰州模拟）已知椭圆C 的焦点坐标是)0,1()0,1(2F F 、-，过点2F 垂直于长轴的直线l 交椭圆C 于D B 、两点，且3=BD . （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点)2,0(P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于不同两点N M 、，试判断：在x 轴上是否存在点)0,(m A ，使得以AN AM ,为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.7（2018·抚顺模拟）已知离心率为21的椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，右焦点在椭圆上的点的距离的最大值为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点B A ,是椭圆C 上的两个动点，直线OB OA ,与椭圆的另一个交点分别为11,B A ，且直线OB OA ,的斜率之积等于43-，问四边形11B ABA 的面积S 是否为定值？请说明理由.8（2017·淮北一模）已知椭圆1416:221=+y x C ，直线)0(:1>+=m m kx y l 与圆1)1(:222=+-y x C 相切且与椭圆1C 交于B A ,两点. （1）若线段AB 中点的横坐标为34，求m 的值； （2）过原点O 作1l 的平行线2l 交椭圆于D C ,两点，设CD AB λ=，求λ的最小值.9（2012·山东）如图，椭圆)0(1:2222>>=+a by a x M 的离心率为23，直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形ABCD 的面积为8.（1）求椭圆M 的标准方程；（2）设直线)(:R m m x y l ∈+=与椭圆M 有两个不同的交点Q P ,，l 与矩形ABCD 有两个不同的交点T S ,，求STPQ 的最大值及取得最大值时m 的值.10（2019·成都模拟）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线02=+-y x 相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若一条不过原点的直线l 与椭圆相交于B A ,两点，设直线OB l OA ,,的斜率分别为21,,k k k ，且21,,k k k 恰好构成等比数列，求22OB OA +的值.11. 如图，已知椭圆C 的中心在原点O ，左焦点为)0,1(1-F ，左顶点为A ，且1F 为AO 的中点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆1C 的方程为)0(12222>>=+n m n y m x ，椭圆2C 的方程为)1,0(2222≠>=+λλλ且ny m x ，则称椭圆2是椭圆1C 的λ倍相似椭圆，已知2C 是椭圆C 的3倍相似椭圆，若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆2C 于两点N M ,，试求弦长MN 的最大值.韧天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。