圆锥曲线的定义性质与结论(解析版)

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(完整版)圆锥曲线的定义、方程和性质知识点总结

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、，焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

圆锥曲线的定义与性质

P
b2 =- 2 a
A
O P
k PA × k PB
b2 = 2 a
直线与圆锥曲线
弦长公式
A
! l = 1 + k 2 x1 - x2 = 1 + m 2 y1 - y2 = n × t1 - t2
体系三垂径定理
A M
P
O
O
kOM × k AB = -1
kOM × k AB = B
b2 a2
A
O M B
2
等张角线对线段 AB 张角相同的点的轨迹
l H F
ep 1 - e cosq
l P
体系二
A
B
P
PF PH
=e
P F
H
PF PH
=e
H
PF = PH
通径长
通径长
通径长
F
d = 2p
2b 2 d= = 2ep a
B
B O
2b 2 d= = 2ep a
B
定义
A
O
k PA × k PB = -1
k PA × k PB
2
关键词
以 AB 为直径的圆过 C
垂直平分线
关于直线…对称
关于原点对称的两点
与原点连线相互垂直
★ 以 AB 为直径的圆过 C
Û ÐACB = 90°
★ P 在 AB 的垂直平分线上
Û PA = PB Û PM ^ AB （ M 为 AB 中点）
★ A 、 B 关于 l 对称
Û l 是 AB 的垂直平分线
关键词
与定点的两连线垂直
向量的运算
成锐角（直角、钝角）
过…与…交点的曲线

圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线知识点总结圆锥曲线，是由平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。

圆锥曲线是解析几何的重要内容，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将对圆锥曲线的相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、基本概念1. 定义：圆锥曲线是平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。

2. 定点：圆锥曲线的两个定点分别称为焦点。

3. 对称轴：通过两个焦点并垂直于准线的直线称为对称轴。

4. 准线：通过两个焦点的直线段称为准线。

二、椭圆1. 定义：椭圆是圆锥曲线的一种，其离心率小于1，且焦点不重合的曲线。

2. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

3. 性质：椭圆具有对称性、渐近线和切线性质等。

4. 应用：椭圆在天文学、建筑学和电子等领域应用广泛。

三、双曲线1. 定义：双曲线是圆锥曲线的一种，其离心率大于1的曲线。

2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。

3. 性质：双曲线具有渐近线和切线性质，且有两个分支。

4. 应用：双曲线在物理学、天文学和通信等领域有重要应用。

四、抛物线1. 定义：抛物线是圆锥曲线的一种，其离心率等于1的曲线。

2. 方程：抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。

3. 性质：抛物线具有对称性、渐近线和切线性质等。

4. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学等领域有广泛应用。

五、圆1. 定义：圆是圆锥曲线的一种，其离心率等于0的曲线。

2. 方程：圆的标准方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径长度。

3. 性质：圆具有对称性、切线性质和切圆定理等。

4. 应用：圆在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。

总结：圆锥曲线是解析几何的重要内容，包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。

圆锥曲线的定义与性质及其应用

圆锥曲线的定义与性质及其应用圆锥曲线是数学中研究的一类平面曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。

它们具有独特的性质和广泛的应用。

本文将对圆锥曲线的定义、性质以及一些实际应用进行介绍。

1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是在一个平面上，以一点为焦点，一条直线为准线，到该直线上各点的距离与到焦点的距离之比等于一个常数的点构成的曲线。

根据准线与焦点的位置关系，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。

2. 椭圆的性质与应用椭圆是一种闭合的曲线，其定义为到两个焦点距离之和等于常数的点的集合。

椭圆具有以下性质：- 椭圆的长轴和短轴：椭圆的两个焦点之间的距离等于椭圆的长轴，而通过椭圆中心且垂直于长轴的线段称为椭圆的短轴。

- 焦点定理：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。

- 在物理学和天文学中，椭圆常用来描述行星、彗星和卫星的轨道。

3. 双曲线的性质与应用双曲线是一种开放的曲线，其定义为到两个焦点距离差的绝对值等于常数的点的集合。

双曲线具有以下性质：- 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，其与曲线的距离趋近于零，且曲线无限延伸。

- 双曲线的离心率：双曲线的离心率大于1。

离心率是描述焦点与准线距离关系的重要参数。

- 在物理学中，双曲线常用来描述电磁波的传播和光学系统中的折射现象等。

4. 抛物线的性质与应用抛物线是一种开放的曲线，其定义为到焦点距离等于到准线的距离的点的集合。

抛物线具有以下性质：- 抛物线的对称性：抛物线以焦点为中心，与焦点到准线垂直的线段称为对称轴。

抛物线上的任意一点到焦点和准线的距离相等。

- 抛物线的焦距：焦点到对称轴的距离称为抛物线的焦距，是抛物线性质研究和计算的重要参数。

- 在物理学中，抛物线常用来描述抛射物的运动轨迹，以及天文学中的天体运动等。

5. 圆锥曲线的应用举例圆锥曲线在科学和工程领域具有广泛的应用，以下举几个例子：- 天体运动：行星、彗星和卫星的轨道通常用椭圆来描述，能够帮助科学家研究它们的运动规律。

高考数学圆锥曲线的定义及应用

圆锥曲线的定义及应用一、圆锥曲线的定义1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。

即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。

2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。

即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。

3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

二、圆锥曲线的方程。

1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）三、圆锥曲线的性质1.椭圆：+=1（a>b>0）（1）X围：|x|≤a，|y|≤b（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(0,1)（5）准线：x=±2.双曲线：-=1（a>0, b>0）（1）X围：|x|≥a, y∈R（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞)（5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x3.抛物线：y2=2px(p>0)（1）X围：x≥0, y∈R（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=-四、例题选讲：例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。

解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。

(完整版)解圆锥曲线问题常用方法及性质总结

解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.椭圆与双曲线的对偶性质总结椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结

完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。

三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。

构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。

2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。

椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。

椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。

重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。

抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。

重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。

4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。

双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。

双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。

椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。

抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。

双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。

6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。

对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。

切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。

焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。

此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。

熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。

圆锥曲线的基本概念与性质解析

圆锥曲线的基本概念与性质解析圆锥曲线是数学中的一个重要概念，通过对锥体的切割而得到的曲线形状。

它包括椭圆、抛物线和双曲线三种基本形式，并具有各自独特的性质和特点。

本文将对圆锥曲线的基本概念进行详细解析，并探讨它们的性质。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是指通过对一个圆锥体进行切割而产生的曲线。

切割方式可以是与锥轴平行的切割、与锥轴垂直的切割或者与锥轴倾斜的切割。

二、椭圆椭圆是一个重要的圆锥曲线，它的定义是所有到两个给定点（称为焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。

椭圆具有以下性质：1. 焦点之间的距离等于椭圆的长度。

2. 椭圆的离心率小于1，且离心率越小椭圆越接近于圆形。

3. 对称轴是通过两个焦点和中心点的直线。

4. 焦点到椭圆上任一点的距离相等。

三、抛物线抛物线是另一种重要的圆锥曲线，它的定义是所有到一个给定点（称为焦点）的距离等于给定直线（称为准线）的距离的点的轨迹。

抛物线具有以下性质：1. 抛物线的焦点与准线距离相等。

2. 对称轴是通过焦点和抛物线上顶点的直线。

3. 抛物线的离心率等于1，离心率大于1的曲线不属于抛物线。

四、双曲线双曲线是圆锥曲线中的另一种形式，它的定义是所有到两个给定点（焦点）的距离之差等于常数的点的轨迹。

双曲线具有以下性质：1. 双曲线的离心率大于1。

2. 焦点之间的距离等于双曲线的长度。

3. 双曲线有两条渐近线，它们与双曲线的曲线趋于无限远时趋于平行。

五、圆锥曲线的应用圆锥曲线在几何学和物理学等领域有广泛的应用。

椭圆的形状在天体运动等领域有重要意义，抛物线的形状广泛应用于抛射物的运动分析，双曲线则在电磁波传播等方面有重要应用。

结论圆锥曲线是通过对圆锥体进行切割而得到的曲线形状，包括椭圆、抛物线和双曲线三种基本形式。

它们具有各自独特的性质和特点，广泛应用于数学、几何学和物理学等领域。

通过对圆锥曲线的深入理解和研究，我们可以进一步探索其在实际问题中的应用和意义。

方法技巧专题07 圆锥曲线的概念及其几何性质(解析版)

方法技巧专题7 圆锥曲线的概念及其几何性质解析版一、圆锥曲线的概念及其几何性质知识框架二、圆锥曲线的定义、方程【一】圆锥曲线的定义1、椭圆（1）秒杀思路：动点到两定点(距离为2c )距离之和为定值(2a )的点的轨迹；（2）秒杀公式：过抛圆的一个焦点作弦AB ,与另一个焦点F 构造FAB ∆，则FAB ∆的周长等于a 4。

（3） ①当c a 22>时，表示椭圆；②当c a 22=时，表示两定点确定的线段；③当c a 22<时，表示无轨迹。

2、双曲线（1）秒杀思路： ①双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值是常数2a ;②注意定义中两个加强条件:（I ）绝对值; （II ）22a c <； ③加绝对值表示两支(或两条),不加绝对值表示一支(或一条);（2）秒杀公式：过双曲线的一个焦点作弦AB （交到同一支上），与另一个焦点F 构造FAB ∆，则FAB ∆的周长等于AB a 24+。

（3） ①当22a c <时，表示双曲线； ②当22a c =时，表示以两定点为端点向两侧的射线；③当22a c >时，无轨迹； ④当20a =时表示两定点的中垂线。

3、抛物线（1）秒杀思路：到定点(焦点)距离等于到定直线(准线)距离。

所以，一般情况下,抛物线已知到焦点的距离需转化为到准线的距离,已知到准线的距离需转化为到焦点的距离。

（2）秒杀公式一：焦点在x 轴上的圆锥曲线,曲线上的点到同一个焦点的距离成等差数列，则横坐标成等差数列，反过来也成立。

（3）秒杀公式二：作过抛物线焦点且倾斜角为︒60或︒120的弦,两段焦半径分别为:32,2pp .1. 例题【例1】设P 是椭圆2212516x y +=上的点,若21,F F 是椭圆的两个焦点,则12PF PF +等于 ( )A.4B.5C.8D.10【解析】利用椭圆的定义得12PF PF +=102=a ,选D 。

【例2】已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为B A ,,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .【解析】如图,22QF BN =,12QF AN =,||||AN BN +=124)(221==+a QF QF .【例3】已知双曲线122=-y x ,点21,F F 为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若21PF PF ⊥,则21PF PF +的值为_______.【解析】,8,2222121=+=-r r r r 得21PF PF +=32. 【例4】设椭圆1C 的离心率为135,焦点在x 轴上且长轴长为26,若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线2C 的标准方程为 ( )A.1342222=-y xB.15132222=-y xC.1432222=-y xD.112132222=-y x【解析】由双曲线定义得4=a ，5=c ，3=b ，选A 。

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圆锥曲线的基本定义性质与结论考点一圆锥曲线的定义 (一) 椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．2.椭圆的标准方程：①x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21c F c F ，-，且c 2=a 2−b 2． ②y 2a2+x 2b 2=1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21c F c F ，-，且c 2=a 2−b 2．3.椭圆的几何性质（用标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)研究）： 1）范围：−a ≤x ≤a ，−b ≤y ≤b ；2）对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； 3）椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的2121,,,B B A A ； 4）长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的A 1A 2；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段B 1B 2．5）椭圆的离心率：e =ca ，焦距与长轴长之比，0<e <1，e 越趋近于1，椭圆越扁；反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆． (二) 双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距．依定义，设P 是双曲线上一点，则有||PF 1|−|PF 2||=2a 且2a <2c2.双曲线的标准方程：①)0,0(12222>>=-b a by a x ，焦点坐标为()()0,0,21c F c F ，-，c 2=a 2+b 2； ②)0,0(12222>>=-b a bx a y ，焦点坐标为()()c F c F ,0,021，-，c 2=a 2+b 2； 3.双曲线的几何性质1）范围：x ≥a 或x ≤−a ；如图．2）对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心．3）顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．4）实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图中，A 1，A 2为顶点，线段A 1A 2为双曲线的实轴．在y 轴上作点()()b B b B ,0,,021-，线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴． 5）渐近线：直线y =±ba x ；6）离心率：e =ca叫做双曲线的离心率，e >1．双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．（三）抛物线及其标准方程1.基本定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l(F ∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2.抛物线的标准方程：y 2=2px(p >0)，焦点在x 轴正半轴上，坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p F ，准线方程是x =−p2，其中p 是焦点到准线的距离．3.抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程y 2=2px(p >0)研究性质）： 1）范围：抛物线在y 轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸． 2）对称性：以x 轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点．4）离心率：抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e 表示，e =1． 4.抛物线方程的四种形式如下典例精讲1．已知方程x 2m2+y2m+2=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．m＞2或m＜﹣1 B．m＞﹣2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞2或﹣2＜m＜﹣1【分析】先根据椭圆的焦点在x轴上m2＞2+m，同时根据2+m＞0，两个范围取交集即可得出答案．【解答】解：椭圆的焦点在x轴上，∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0解得m＞2或m＜﹣1，又∵2+m＞0，∴m＞﹣2，∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1故选：D．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程的问题．即对于椭圆标准方程x 2a2+y2b2=1，当焦点在x轴上时，a＞b；当焦点在y轴上时，a＜b．2．已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．(13，23)B．(12，1) C．(23，1)D．(13，12)∪(12，1)【分析】分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2＝F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞13．当e =12时，△F 1F 2P 是等边三角形，与①中的三角形重复，故e ≠12同理，当F 1P 为等腰三角形的底边时，在e ＞13且e ≠12时也存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P这样，总共有6个不同的点P 使得△F 1F 2P 为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e ∈（13，12）∪（12，1）故选：D ．【点评】本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P 使得△F 1F 2P 为等腰三角形，求椭圆离心率e 的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．3．AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是（） A ．2B ．12C ．32D ．52【分析】先设出A ，B 的坐标，进而根据抛物线的定义可知|AB |＝x 1+x 2+p 求得x 1+x 2的值，进而求得AB 的中点的横坐标．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）根据抛物线的定义可知 |AB |＝x 1+x 2+p ＝x 1+x 2+1＝4，∴x 1+x 22=32，故选：C ．【点评】本题主要考查了抛物线的定义．在涉及抛物线的焦点弦问题时，常需要借助抛物线的定义来解决．4．抛物线的准线为x ＝﹣4，则抛物线的方程为（）A ．x 2＝16yB ．x 2＝8yC ．y 2＝16xD ．y 2＝8x【分析】由已知可设抛物线方程为y 2＝2px （p ＞0），并求得p ，则答案可求．【解答】解：∵抛物线的准线为x ＝﹣4，∴可知抛物线是开口向右的抛物线，设方程为y 2＝2px （p ＞0）．则p2=4，p ＝8．抛物线方程为y 2＝16x ．故选：C ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，是基础题．5．若椭圆22:184x y C +=的右焦点为F ，且与直线:320l x y -+=交于P ，Q 两点，则PQF ∆的周长为( )A ．62B ．82C ．6D ．8【分析】求出左焦点坐标，利用直线经过椭圆的左焦点，结合椭圆的定义求三角形的周长即可．【解答】解：直线l 过椭圆C 的左焦点(2,0)F '-，直线:320l x y -+=经过左焦点F '，PQF ∴∆的周长||||||PQ PF QF ++||||||||PF PF QF QF ''=+++482a ==，故选：B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，是基本知识的考查．6．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点0(2,)A y 在抛物线C 上，若||2AF =，则(p = ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【分析】求得抛物线的焦点坐标和准线方程，由A 的坐标满足抛物线方程，以及抛物线的定义，可得方程组，解方程可得p ．【解答】解：抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,)2p F ，准线方程为2py =-，0(2,)A y 在抛物线C 上，可得024py =，即02py =，①由||2AF =，结合抛物线的定义可得022py +=，② 由①②解得2p =，01y =，故选：A ．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查方程思想和运算能力，是一道基础题．7．已知抛物线y 2＝24ax （a ＞0）上的点M （3，y 0）到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（）A ．y 2＝8xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝20x【分析】利用抛物线的定义可得3+6a ＝5，从而可求a 的值及抛物线方程【解答】解：由题意知，3+6a ＝5，∴a =13，∴抛物线方程为y 2＝8x ．故选：A ．【点评】本题主要考查了抛物线的定义的应用，属于对基本概念的考查，属于基础试题． 8．与椭圆x 249+y 224=1有公共焦点，且离心率e =54的双曲线的方程为（）A ．x 29−y 216=1 B ．x 216−y 29=1 C ．y 29−x 216=1 D ．y 216−x 29=1【分析】先求出椭圆x 249+y 224=1的焦点为（±5，0），由此得到与椭圆x 249+y 224=1有公共焦点，且离心率e =54的双曲线方程中，c ＝5，a ＝4，从而能求出双曲线方程．【解答】解：∵椭圆x 249+y 224=1的焦点为（±5，0），∴与椭圆x 249+y 224=1有公共焦点，且离心率e =54的双曲线方程中，c ＝5，a ＝4，b 2＝25﹣16＝9，∴所求的双曲线方程为：x 216−y 29=1．故选：B ．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意椭圆的简单性质的应用．9．已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点( )A ．(1,B ．(1,2)C ．(1,2)-D ．(1, 【分析】求出双曲线的渐近线方程，然后判断选项是否正确即可．【解答】解：由双曲线22221x y a b-=的离心率为2，可得2c a =2=，所以ba，所以双曲线的渐近线方程为y =，由选项可知，(1,在双曲线的渐近线上．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是基础题．考点二圆锥曲线的性质与结论（一）直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系位置关系：相交、相切、相离．判定条件：设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆方程C ：()0,=y x f ，由()⎩⎨⎧==++0,0y x f C By Ax消去y （或消去x ）得：ax 2+bx +c =0．Δ=b 2−4ac ， Δ>0⇔相交，直线与椭圆有两个交点； Δ<0⇔相离，直线与椭圆无交点； Δ=0⇔相切，直线与椭圆有一个交点． 2.直线与双曲线的位置关系位置关系：相交、相切、相离；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切；判定条件：设直线l ：Ax +By +C =0，双曲线C ：()0,=y x f ，由()⎩⎨⎧==++0,0y x f C By Ax 消去y （或消去x ）得：ax 2+bx +c =0．若a ≠0，Δ=b 2−4ac ，Δ>0⇔相交，直线与双曲线有两个交点； Δ<0⇔相离，直线与双曲线无交点； Δ=0⇔相切．直线与双曲线有一个交点．若a =0，得到一个一次方程，与双曲线相交，有一个交点，l 与双曲线的渐近线平行． 3.直线与抛物线的位置关系位置关系：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；判定条件：设直线l ：Ax +By +C =0，抛物线C ：()0,=y x f ，由()⎩⎨⎧==++0,0y x f C By Ax 消去y （或消去x ）得：ax 2+bx +c =0．若a ≠0，Δ=b 2−4ac ， Δ>0⇔相交； Δ<0⇔相离； Δ=0⇔相切．若a =0，得到一个一次方程，与抛物线相交，有一个交点，l 与抛物线的对称轴平行．4.圆锥曲线的弦：连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长方法：1）将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求； 2）如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为()()2211,,,y x y x ，则弦长公式为|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+(1k )2|y 1−y 2|．两根差公式：如果21,x x 满足一元二次方程：ax 2+bx +c =0，则|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(−b a )2−4⋅c a =√b 2−4ac |a |=√Δ|a |（Δ>0）．注意：（1）讨论直线与圆锥曲线的位置关系一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组，消元（x 或y ），若消去y 得到ax 2+bx +c =0，讨论根的个数得到相应的位置关系，这里要注意的是： ①二次项系数a 可能有a =0或a ≠0两种情况，只有当a ≠0，才能用Δ判断根的个数； ②直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但有一个公共点不一定相切．（2）在讨论直线与双曲线的交点时，要注意数形结合的方法，结合图象作出判断有时更方便快捷，要注意双曲线的渐近线的斜率，以及直线与渐近线的斜率比较．（3）当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍． (二)圆锥曲线的常用结论 1.椭圆1）点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2）PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3）以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.4）若P 0(x 0,y 0)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上，则过P 0的椭圆的切线方程是x 0xa 2+y 0y b 2=1.5）若P 0(x 0,y 0)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1外，则过P 0作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是x 0xa 2+y 0y b 2=1.6）椭圆x 2a +y 2b =1 (a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点∠F 1PF 2=γ，则椭圆的焦点角形的面积为S ΔF 1PF 2=b 2tan γ2.7）椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦半径公式：|MF 1|=a +ex 0,|MF 2|=a −ex 0 (F 1(−c,0) ，F 2(c,0)，M(x 0,y 0)). 8）AB 是椭圆x 2a2+y 2b 2=1的不平行于对称轴的弦，M(x 0,y 0)为AB 的中点，则k OM ⋅k AB =−b 2a2，即K AB =−b 2x 0a 2y 0。