函数图象与性质1

第1讲 函数的图象与性质[考情分析] 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等，主要考查求函数的定义域、分段函数的函数值的求解或分段函数中参数的求解及函数图象的识别．难度属中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题．考点一 函数的概念与表示例1 (1)若函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝⎛⎭⎫x 2的定义域为( )A ．(1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4)(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≤0，4x ，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)≥2的x 的取值范围是________．跟踪演练1 (1)已知函数f (x ＋1)的定义域为(－2,0)，则f (2x －1)的定义域为( )A ．(－1,0) B.⎝⎛⎭⎫－12，12 C ．(0,1) D.⎝⎛⎭⎫－12，0(2)已知实数a <0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2a ，x <1，－x ，x ≥1，若f (1－a )≥f (1＋a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，－1]C ．[－1,0)D ．(－∞，0)考点二 函数的性质3．函数图象的对称中心或对称轴(1)若函数f (x )满足关系式f (a ＋x )＝2b －f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称．(2)若函数f (x )满足关系式f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． 考向1 单调性与奇偶性例2 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R 上的奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是( )A ．[－1,1]∪[3，＋∞)B ．[－3，－1]∪[0,1]C ．[－1,0]∪[1，＋∞)D ．[－1,0]∪[1,3](2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2 021的值为________．考向2 奇偶性与周期性例3 (1)定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f (x )＝12log (1)x -，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32内是( )A ．减函数且f (x )>0B ．减函数且f (x )<0C ．增函数且f (x )>0D ．增函数且f (x )<0(2)已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2跟踪演练2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( )A ．－50B ．0C ．2D ．50(2)已知对任意实数x ，函数f (x )都满足f (－x )＝f (x )，且当x ≥0时，f (x )＝e x －sin x ，若实数a 满足f (log 2a )<f (1)，则a 的取值范围是________．考点三 函数的图象核心提炼1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．考向1 函数图象的识别例4 (1)(2019·全国Ⅲ)函数y ＝2x 32x ＋2－x在[－6,6]上的图象大致为( )(2)已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是( )A ．f (x )＝1－e x 1＋e x ·sin xB ．f (x )＝e x －1e x ＋1·sin x C ．f (x )＝1－e x 1＋e x ·cos x D ．f (x )＝e x －1e x ＋1·cos x考向2 函数图象的变换及应用例5 (1)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ≤0，－x 2－3x ，x >0，若不等式|f (x )|≥mx －2恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．[3－22，3＋22] B ．[0,3－22]C ．(3－22，3＋22)D ．[0,3＋22]跟踪演练3 (1)(2020·天津市大港第一中学模拟)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若存在x 0∈R 使得f (x 0)≤ax 0－1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞)B ．[－3,0]C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－3]∪(0，＋∞)专题强化练一、选择题1．函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg (x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,3] B ．(－1,0)∪(0,3]C ．[－1,3]D ．[－1,0)∪(0,3]2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x <0，22x －1，x ≥0，则f (－3)＋f (log 23)等于( ) A.112 B.132 C.152D ．103．(全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f (x )( )A ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫12，＋∞单调递增B ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－12，12单调递减C ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12单调递增 D ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12单调递减 4．设函数f (x )＝4x 23|x |，则函数f (x )的图象大致为( )5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x <1在R 上是增函数，则a 的取值范围为( ) A ．[2,3] B ．[2，＋∞) C ．[1,3] D ．[1，＋∞)6．若定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( )A ．f (2)>f (3)B ．f (2)>f (5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6)7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x >1，若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,2) B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[1，＋∞)8．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i 等于( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m9．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞)10．定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2.则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值为( )A ．－1B ．1C ．6D ．1211．(2020·贵阳模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝－x －2，则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫sin π6>f ⎝⎛⎭⎫cos π6 B ．f (sin 3)<f (cos 3) C ．f ⎝⎛⎭⎫sin 4π3<f ⎝⎛⎭⎫cos 4π3 D ．f (2 020)>f (2 019)12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ，x ≤1，a 2x －7a ＋14，x >1，若∃x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2)∪(3,5)C ．[2,3]D ．[2，＋∞)二、填空题13．(2020·江苏)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝23x，则f(－8)的值是________．14．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－1f(x)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋1，则f(2 020)＋f(2 021)的值为________．15．已知函数f(x)＝log a(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．16．关于函数f(x)＝lg x2＋1|x|(x≠0，x∈R)，有下列命题：①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数；③函数f(x)的最小值是lg 2；④当－1<x<0或x>1时，f(x)是增函数．其中正确命题的序号是________．。

教案设计课题：一次函数的图像和性质（第一课时）第 21 章第二节P 90 ～P 91 页一、教学目标：知识目标：能用“两点法”画出一次函数的图像；结合图像，理解直线y=kx+b （k、b是常数，k≠0）常数k和b的取值对于直线的位置的影响。

能力目标：通过操作、观察，培养学生动手和归纳的能力；结合具体情境向学生渗透数形结合的数学思想。

情感目标：通过动手操作，观察探索一次函数的特征，体验数学研究和发现的过程，逐步培养学生在教学活动中的主动探索的意识和合作交流的习惯；让学生通过直观感知、动手操作去经历、体会规律形成的过程。

二、教学重点：能熟练地画出一次函数的图像。

归纳作函数图像的一般步骤。

理解一次函数的代数表达式与图像之间的对应关系。

三、教学难点：能熟练地画出一次函数的图像。

归纳作函数图像的一般步骤。

理解一次函数的代数表达式与图像之间的对应关系。

四、教材分析：本节课主要是在学生学习了函数图像的基础上，通过动手操作接受一次函数的图像是直线这一事实，在实践中体会“两点法”的简便，向学生渗透数形结合的数学思想，以使学生借助直观的图形，生动形象的变化来发现两个一次函数图像在直角坐标系中的位置关系。

培养学生主动学习、主动探索、合作学习的能力。

本节课是为探索一次函数的性质做准备。

五、教学方法：我采用自主探究、合作交流式教学，让学生动手操作，主动去探索，小组合作交流。

而互动式教学将顾及到全体学生，让全体学生都参与，达到优生得到培养，后进生也有所收获的效果。

六、教学过程：一、设置疑问，导入新课师：同学们，上节课我们学习了一次函数，你能说一说什么样的函数是一次函数吗？生1：函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称这样的函数为一次函数。

生2：一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式，其中k、b为常数，k≠0。

生3：正比例函数也是一次函数。

师：（同学们回答的都很好）通过前面的学习我们可以发现，一次函数是一种特殊的函数，那么一次函数的图像是什么形状呢？这节课让我们一起来研究“一次函数的图像”。

二次函数图象与性质 (一)【知识要点】1．你能用描点法作出二次函数2ax y =图像吗？你能总结出2ax y =有什么性质吗？ 2．通过2ax y =作图，我们能得到c ax y +=2和2)(h x a y -=有哪些图像性质吗？ 3．你能说明以上三个函数图像他们之间的联系和区别吗?4．你能举例说明哪些实际生活问题可以建立二次函数c ax y +=2的数学模型？【典型例题】例1 、在同一坐标轴中作出二次函数y=x 2和y=-x 2的图象，并在下表总填出它的性质。

例2 试在同一坐标系内画出22x y -=与322+-=x y 以及322--=x y 的图像，并依据图像回答问题：抛物线22x y -=与322+-=x y 和322--=x y 有什么关系？小结：y=ax 2+c 的图象与y=ax 2的图象形状①其对称轴为 轴 ②顶点坐标为（ , ）③当a>0时，开口 ，y=ax 2+c 图象有最 点；当x=0时，y 有最 值为 ；当a<0时，开口 ，图象有最 点，当x=0时，y 有最大值为 。

④当c>0时，是由y=ax 2向 平移c 个单位，当c<0时，是由y=ax 2向 平移|c|个单位。

简称“ ”例3 在同一平面直角坐标系中画出下列二次函数的图象； y= －21x 2 ， y= －21(x+1)2 ， 与y=－21(x-1)2结合图象分析研究以下问题： （1）抛物线y=－21(x+1)2，y=－21(x-1)2与y=－21x 2的相同点与不同点是什么？ （2）抛物线y=－21 (x+1)2的开口方向是_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____； （3）抛物线y=-－21 (x-1)2的开口方向是____，对称轴是_______，顶点坐标是______。

小结：y=a(x －h)2的图象与y=ax 2的图象形状 ，①对称轴为平行y 轴的直线x= ②顶点坐标为( ,___)③当a>0时，开口向上，图象有最_____点，当x=h 时，y 有最 值为0； 当a<0时，开口向下，图象有最 点，当x=h 时，y 有最大值为0④当h>0时，由y=ax 2的图象向右平移h 个单位；当h<0时，由y=ax 2向左平移|h|个单位，简称“ ” 例4 函数32-=kx y 与y=xk（k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）例5 如果二次函数m ax y +=2的值恒大于0，那么必有（ ） A 、a ＞0，m 取任意实数B 、a ＞0，m ＞0C 、a ＜0，m ＞0D 、a ，m 均可取任意实数例 6 若二次函数c ax y +=2，当x 取)(,2121x x x x ≠时，函数值等，则当x 取21x x +时，函数值为（ ）．A 、c a +B 、c a -C 、c -D 、c例7 已知抛物线)0(2>=a ax y 上有两点A 、B ，其横坐标分别为－1，2，请探求关于a 的取值情况，△ABO 可能是直角三角形吗？不能，说明理由；能是直角三角形，写出探求过程，并与同伴交流.例8 如图，深圳某中学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门在地面跨度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为 。

正弦函数的图象与性质（一）主备人：李怀忠 任强 审核人：李洪川 教学目标：1、 理解并掌握作正弦函数图象的方法2、 理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法 教学重点：掌握作正弦函数图象的方法 教学过程 一、基础梳理：1、正弦函数的图象：五点法作y=sinx ，x ∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是_____,_______,_______,_________,_________.2、函数的周期性：一般的，对于函数f(x),如果存在一个_____，使得定义域内的______x 值，都满足______,那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

对于一个周期函数f(x)，如果在它的________存在一个________,那么这个_______就叫做它的最小正周期。

3、正弦函数的图象与性质：二、预习自测：1、用五点法作y=2sin2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（ ）（A ）30,,,,222ππππ（B ）130,,,,424ππππ（C ）0,,2,3,4ππππ（D ）20,,,,6323ππππ2、在[0,2π]上，满足1sin 2x ≥的x 的取值范围是（ ）（A）0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（C ）2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3、函数y=sinx ，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则y 的取值范围是（ ） （A ）[]1,1-（B ）1,22⎡⎢⎣⎦（C ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦4、函数y=sinx ，x ∈R 图象的一条对称轴是（ ）（A ）x 轴 （B ）y 轴 （C ）直线y=x （D ）直线2x π=三、典例剖析： 例1 作函数y=3+2sin （x-3π）的简图，并指出它的周期、最值、单调区间。

例2求下列函数的周期： （1） y ＝sin 12x ，（2）y=2sin （3x -6π）例3求函数y=2sin （4π-x ）的定义域、值域及单调递增区间。

一次函数的图象和性质（一）教案人教版八年级上册14.2.2一次函数第二课时学校:青溪初级中学校讲课人：张青青一、教材分析：在这节课之前，学生们已经学习了函数和一次函数的概念，学习了用描点法画函数的图象。

在学习上述这些知的同时，教材其实已经为这节课做上了铺垫。

其中十四章第一节画函数图象时，所安排的例题、习题、练习题中，学生大部分都是在画一次函数的图象。

数形结合是数学研究的重要方法，通过这节课的教学，学生们将进一步体会这一十分重要的数学思想。

所以整个这节课在教材中占有着承上启下的重要地位。

虽然学生们在上这节课之前已经学习了相关的基础知识，但由于我校学生的抽象归纳能力较差，所以在教学中应尽可能多地让学生动手操作，仔细观察所画图象，从而自主探究出一次函数的主要性质。

二、教学目标：1、知识技能：会选取两个适当的点画一次函数的图象并能结合图象探究出一次函数的性质。

2、过程与方法:通过培养学生观察、比较、抽象和概括的能力，向学生渗透“数形结合”的思想，同时也培养学生交流与合作的能力。

3、情感目标：通过学生在学习活动中获得成功的体验，增强学生学习数学的自信心。

三、重点与难点：重点：一次函数的图象及性质。

难点：由一次函数的图象探究出一次函数的性质。

四、教学方法：我采用自主探究→合作交流式教学，让学生动手操作，主动去探索，小组合作交流。

而互动式教学将顾及到全体学生，让全体学生都参与，达到优生得到培养，后进生也有所收获的效果。

五、教学准备：课件、学案六、教学过程（一）设疑，导入（2分钟）师：同学们，上节课我们学习了一次函数，你能说出一次函数的基本形式吗？师：（同学们回答的都很好）一次函数的一般形式是:y=kx+b（其中k、b为常数，k≠0）。

那么一次函数的图象是什么形状呢？它有哪些主要的性质呢？这节课让我们一起来研究“一次函数的图象和性质”。

（板书）（二）自主探究——小组交流、归纳 (30分钟)1、师：（出示幻灯片）问（1）（2分钟）：请同学们仔细观察我们以前画过的这四个函数（y=2x,y=2x+4,y=2x-4,y=x+4）的图象，并分组讨论这些函数都是什么函数？它们的图象都是什么形状？生：小组汇报：这些函数都是一次函数，它们的图象都是一条是直线。