第三讲 HS中等生 何辉龙创造的基石——观察、归纳与猜想修

第三讲 创造的基石——观察、归纳与猜想当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的．从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史．20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性．当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石． 基础夯实1、有一列数n a a a a a a ,,,,,4321 ，其中1261+⨯=a ；2362+⨯=a ；3463+⨯=a ； （5题图）4564+⨯=a ；……则第n 个数=n a ；当=n a 2020时，n ＝ ．2、如图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”，则搭1条“金鱼”需要火柴 ，搭2条“金鱼”需要火柴 根，搭3条“金鱼”需要火柴 ……搭n 条“金鱼”需要火柴 根． 3、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。

观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了块石子。

4、用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第3个图案中有白色地面砖块。

（2）第n 个图案中有白色地面砖块（3）第15个图案中白色的地板砖有__________块．5、 观察下列一组图形，如图（上），根据其变化规律，可得第10个图形中三1条 2条 3条角形的个数为，第n 个图形中三角形的个数为。

6、观察由等腰梯形组成的下图和所给表中数据的规律后回答问题：当等腰梯形个数为2006时，图形的周长为（ ） Ａ．2007Ｂ．8026Ｃ．6017Ｄ．60207、观察下列等式：22(12)4114+-⨯=+ 22(22)4224+-⨯=+ 22(32)4334+-⨯=+…则第n 个等式可以表示为． 8、观察下列各式：21321⨯=- 22431⨯=- 23541⨯=- 24651⨯=-…………请你根据发现的规律，写出第n 个等式： ．9、科学家发现：植物的花瓣，萼片，果实的数目以及其它方面的特征，都非常吻合一个奇待的数列——著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，仔细观察以上数列，则它的第12个数应该是 ．当输入数据是时，输出的数是（ ） Ａ．861Ｂ．865Ｃ．867Ｄ．86911、观察一列有规律的数：12，16，112，120，……它的第n 个数是___________．22 1 112、观察算式：211=；21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++==；……（1）用代数式表示这个规律（n 为正整数）：13579(21)n ++++++-= ． （2）试计算：9997531+⋅⋅⋅++++（3）试计算：299109107105103101+⋅⋅⋅++++（4）已知2251-2n 97531=+⋅⋅⋅++++）（，求n 的值※典例剖析【例1】 (1)用●表示实圆，用○表示空心圆，现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下： ●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○……问：前2001个圆中，有 个空心圆．(2)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，2l ，…叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 ．【例2】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：个个个n n n 9991999999+⨯像这样，10条直线相交，最多交点的个数是( )． A ．40个 B ．45个 C ．50个 D ．55个【例3】化简 (第18届江苏省竞赛题)【例4】观察右图，回答下列问题：（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n 层有多少个点？ （3）某一层上有99个点，这是第几层？ （4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？前有n 层呢？你有没有发现什么规律？试写出来。

有效的科学课堂，源于“精耕细作”发布时间：2022-04-22T14:57:31.194Z 来源：《基础教育参考》2022年5月作者：汤惠楠[导读]汤惠楠江苏省苏州工业园区新城花园小学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128 （2022）05-208-01小学科学课程标准中明确提出了“科学学习要以探究为核心”的基本课程理念。

探究既是小学生科学学习的主要方式，也是科学学习的目标。

实验是科学研究的基本方法和手段，是小学科学课的显著特点，是小学生进行科学探究的主要方式。

而对课堂细节的把握，是提升科学实验教学有效性的关键所在。

在教学中，我们要从细节入手，注意激发、培养学生的兴趣，提供有结构的材料，注重师生的有效交流与互动，用心观察，善于发现、挖掘，把握时机，加强课堂调控，加强实验的引领、指导和提升。

一、趣味引入，营造氛围要想让学生上好一节课，首先要让学生对这节课始终保持兴趣。

这就需要教师不断地给课堂中注入能引起学生关注的元素。

要做到这一点，教师首先就要精心选择能够引起学生兴趣的情境，让他一开始就感觉这节课他很想听下去，很想参与其中。

如上《温度和温度计》一课时，可在课开始时安排一个经典实验：准备一杯冷水和一杯热水，让学生把两个手指分别放入冷水和热水中，5秒钟后再同时放入温水中，体会两个手指的感觉。

设计这个活动，是为了通过学生两个手指对同一杯温水产生的错觉，让学生认识到，光凭自己的感觉，不能准确判断物体的冷热程度，要想准确反映物体的冷热，必须借助一个科学仪器，从而引导学生明白：物体的冷热程度叫温度，温度计可以准确测定物体的温度。

通过这个有趣的实验，学生就会对温度计产生极大的兴趣。

在接下来的教学过程中，教师还要不断地抖出一个个的“包袱”。

（精心设计的问题）如在学生连续测量完一杯水的温度时，可以问这样一个问题：“热水变凉，为什么会先快后慢呢？”让学生始终有研究下去的兴趣。

二、精选材料，恰当处理所谓有结构的材料，即教师经过精心设计的典型教学材料的组合。

①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45 ……专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。

其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。

其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。

相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。

★ 范例精讲【归纳与猜想】例1【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。

解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。

例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。

第三讲：创造的基石----观察、归纳与猜想【知识纵横】当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的语言，通过猜想，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的。

从某种意义上来说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史。

二十世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达三百五十多年的“费尔马大猜想”,而著名的哥德巴赫猜想，历经两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性。

当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况入手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石。

【例题求解】例1.已知,22≥≥n m ，且n m ,均为正整数，如果将nm 进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述：①在52的“分解”中最大的数是11；②在34的“分解”中最小的数是13；③若3m 的“分解”中最小的数是23，则5=m ，其中正确的是。

思路点拨：明确对nm 进行“分解”的意义，是解本题的关键。

（太原市中考题）例2.将正偶数按下表排列5列。

根据上面的排列规律，则2000应在（）。

（湖北省荆州市中考题）A.第125行，第1列 B.第125行，第2列 C.第250行，第1列 D.第250行，第2列思路点拨：注意每一行排四个数，奇数行空第1列，偶数行空第5列，只要计算出2000是第几个数即可。

例3.化简个个个n n n 9991999999+⨯（第十八届江苏省竞赛题）思路点拨：先考察3,2,1=n 时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更加明确。

例4.一楼梯共有n 级台阶，规定每步可以迈1级或2级或3级，设从地面到台阶的第n 级，不同的迈法为n a 种，当8=n 时，求8a 。

（河南省竞赛题）思路点拨：先求出当43,2,1，=n 时，4321,,,a a a a 的值，解题的关键是，从某级开始，寻找n a 与321---n n n a a a 、、的联系。

中考第一轮复习说明文概括说明内容中考速递（2023·四川遂宁·统考中考真题）阅读下文，完成下面小题。

“太空快递”再出征“硬核科技”齐上阵邱晨辉任明超①5月10日，天舟六号货运飞船从文昌航天发射场出发，踏上“太空快递”运送旅途。

次日凌晨，飞船成功对接于空间站天和核心舱后向端口。

至此，中国空间站在应用与发展阶段迎来它的首位“访客”。

②任务成功背后，有一批“硬核科技”，它们护航“太空快递”安全准时送达。

③一个名为陆海天基的测控通信系统，构建了新一代综合化测控网络，负责对长征七号运载火箭、天舟六号货运飞船等航天器进行轨道测量、遥测遥控和数据传输，是航天器在太空与地面联系的纽带，就像放风筝的线，因此也被誉为航天器的“生命线”。

这条“生命线”由中国电科10所牵头研制，其中“基带池”测控技术体制，成为一个共享、通用、大规模信号处理平台。

中国电科首席科学家柴霖表示，这次发射任务应用的“基带池”技术体制是航天测控保障的全新亮点。

④相较于此前天舟飞船，天舟六号的运力从6.9吨跃升到7.4吨，这需要强大“能源矩阵”保证它时刻电力满满。

研制团队为天舟六号精心打造了半刚性太阳电池阵，其一天发电量就能满足普通家庭半个多月的用电量。

巨大的太阳帆板展开后，不断调整方向，时刻对准太阳，才能保证能源充足稳定。

中国电科研制的感应式永磁步进电机，应用于太阳帆板驱动机构，确保太阳帆板在任务执行中保持“对日定向”。

⑤空间站在轨长期飞行，燃料不断消耗，需要货运飞船来完成“推进剂”在轨补加，该过程被称为“太空加油”。

团队研发的“混合式步进电动机——丝杠组件”采用一体化设计，能有效控制浮动断接器的插合与分离，为推进剂补加管路的连通与断开提供动力，从而保证“太空加油”任务顺利实施。

⑥这次“太空快递”运送任务中，还有一些晶体元器件发挥了重要作用。

203所专家表示，航天器在发射、飞行和回收过程中，高速运动会导致温度变化大、机械冲击大，同时太空环境复杂，意味着对宇航用晶体元器件的可靠性和环境适应性的要求相当高。

大成若缺认识“圆”《圆的认识》课堂实录及评析（华应龙）【课前慎思】《圆的认识》一直是小学高年级数学的教学内容，几乎所有小学数学教学领域的名师大家都用过这节课来“吟诗作画”，各领风骚；后生新秀们更是频频用这节课来“小试牛刀”，争奇斗艳。

我在欣赏品味之余,发现我自己和同行们对于“圆的认识”这节课教学内容的处理，主要存在以下三个问题：第一，注重组织学生通过折叠、测量、比对等操作活动来发现圆的特征，不重视通过推理、想象、思辨等思维活动来概括出圆的特征；第二，注重让学生学会“用圆规画圆”，不重视让学生思考“为什么用圆规可以画出圆”；第三，注重数学史料的文化点缀，不重视数学史料文化功能的挖掘。

我思考——“圆的认识”这节课究竟要讲什么?我思考——“特征”是指“一事物区别于他事物的特别显著的征象、标志。

”（《辞海》）那么，圆的特征究竟是什么?“一条曲线围成”、“没有角”、“半径是直径的一半”，是不是特征？“一中同长”的特征是不是需要下发空白研究报告，组织学生小组合作研究？这是不是为了“研究报告”而组织研究？这是不是教学上的形式主义?我思考——半径和直径是不是应该“浓墨重彩”地去渲染? “圆”的概念都没有给出,是否需要咬文嚼字地概括出“半径”和“直径”的概念？揭示两者概念后，让学生从一个圆内各各不同的线段中挑出“半径”和“直径”，有没有哪位老师见过学生有错？学生都不会有错的活动，要不要组织？我思考——半径和直径的关系是不是教学难点，要不要研究，是否“顾名思义”就可以理解？得出关系后的填表练习，究竟是练习的两者关系，还是练习的乘以2和除以2的口算？我们是不是总是好为人师，以为我们不讲学生就不会？是的，熟能生巧，但熟还能生厌，那熟是不是还能生笨呢? 爱因斯坦的话----“取一块木板在上面寻找最薄弱的部位，在那些容易打孔的地方钻开无数个孔”----会给我们什么启发?我思考——量出半径都相等,就科学、深刻吗?在一个圆内，半径和直径真的画不完吗？画不完就能说明“半径有无数条”吗？“半径都相等”和“直径都相等”要不要加上前提条件“在同一个圆中或等圆中”？我们说“正常人的两条腿是一样长的”，怎么不加上前提条件“在同一个人身上”？以后再说“正方形的四条边都相等”，还要不要加上“在同一个正方形中”呢？数学上的严谨就是这样的吗？要加上前提条件“在同一个圆中或等圆中”，这是不是教学内容上的形式主义?我思考——圆的画法是应该教,以促进学生更好的学，但应该一二三地教吗?是不是在学生容易疏忽的两个地方“手拿住哪里”、“两脚之间的距离是直径还是半径”点破就可以了?学生抑或老师画出的不圆，是否就该随手擦掉？那些“不圆”的作品，是不是课堂中的生命体？是否应该珍惜？我思考——我们的小学数学教学是否应该不仅关注“是什么”和“怎样做”，还应该引导学生去探究“为什么”和“为什么这样做”？这样是不是才凸显出“数学是思维的体操”这一学科特色？是不是应该带领学生经历从现象到本质的探究过程，促使学生养成研究问题的良好意识？“问题是数学的心脏”，我们数学老师是否可以给学生一个问题模式,让学生“知道怎样思维”，让学生掌握作为一种“非言语程序性知识”的思维？我思考——“圆”的意蕴实在是丰富，借着这么“圆满”的素材,我们是否可以在培养学生批判思维和突破常规的创新思维上做些文章，引导学生思考“一定这样吗”?柳暗花明、曲径通幽、殊途同归的心理体验，是否更有利于学生的可持续发展？我思考……经过一段时间的慎思明辨,我认识到“圆”这一节课应该讲的有价值的东西实在是太多，有舍才有得，一课一得足矣!【教学目标】1.认识圆的特征，初步学会画圆，发展空间观念。