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《名案中的司法智慧与方法》教学大纲一、基本信息二、教学目标及任务通过对《名案中的司法智慧与方法》课程的学习，开阔学生的知识视野，增加学生的学习兴趣，提高本科生的综合素质，在古今名案的赏析中对司法方法与智慧有一个系统的了解与认识，并初步具备借鉴其中的一些方法来解决司法问题与实际问题的能力。
二、学时分配四、教学内容及教学要求导论本章教学目的：对课程的基本内容进行概要介绍，了解司法方法的核心是司法论证方法，主要涉及事实、法律与事实和法律的匹配三个领域，并通过几个重要案例，对这些领域的司法方法予以介绍。
本章主要内容：司法方法的涵义与事实、法律等领域的论证方法。
本章重点难点：重点与是司法方法的涵义，难点是司法方法与司法智慧以及司法论证方法的关联。
本章参考文献：1．[德]罗伯特·阿列克西：《法律论证理论》，中国法制出版社2002年版。
2．[荷]伊芙琳·T·菲特丽丝：《法律论证原理——司法裁决之证立理论概览》，商务印书馆2005年版。
3．梁慧星：《裁判的方法》，法律出版社2003年版。
4．[德]卡尔·拉伦茨：《法学方法论》，商务印书馆2003。
本章思考题：1．司法方法与司法智慧的关系？2．司法论证与司法推理的关系？1．司法方法的涵义、内容与地位（1）涵义（2）内容（3）地位2．案件事实前提的法律论证方法（1）证据的真实性（2）证据的相关性（3）证据的充分性3．案件法律前提的论证方法（1）见义勇为的凶手（2013）（2）北京“刻章救妻”案（2012）（3）女王诉杜德利与斯蒂芬案（1884）4．案件法律适用于事实的论证方法5．其他的司法论证方法第一章案件事实前提的论证方法本章教学目的：对证据进行的事实证明进行介绍，通过具体案例介绍在事实证明过程中所涉及的证据相关性、真实性与充分性。
本章主要内容：事实证明中证据的相关性、真实性与充分性本章重点难点：重点事实证明中证据的相关性、真实性与充分性，难点是相关性、充分性的涵义本章参考文献：1．［美］麦考密克著：《麦考密克论证据》，汤维建等译，中国政法大学出版社2004年版。
专题11 数学与猜想一、什么是数学猜想数学猜想，是根据某些已知的事实材料和数学知识，以已有的数学理论和方法为指导，通过理论思维的能动作用，对某些特定的数学对象及其关系作出的一种猜测性的论断。
数学猜想是数学研究的一种科学方法，也是数学发展的一种重要形式。
也许可以说，数学猜想的提出、发展与解决，是数学发展的最本质的过程之一。
与之相应的另一个重要方面，则是对已有知识的整理与综合，使之成为系统严密的理论。
理解了数学猜想的提出、发展与解决，也就从根本上理解了什么是数学、数学精神。
一个美妙的但是尚未证明的猜想，对数学的影响远胜过不少有相当名气的定理的证明。
数学猜想的特点：1.假设性：数学猜想是建立在不够充分的事实、经验材料和不够完善的理论的基础上的，它还没有对所研究的对象的性质、规律性或结构等具备确切的、可靠的知识，有待于用严格的数学理论与方法去判定。
2.一定的科学性：数学猜想既以一定的事实和经验材料为依据，又有一定的理论与方法为指导，因此，它是在一定的真知的土壤中生长和发展起来的，是人们洞察数学规律的敏锐智慧的表现。
3.形式较为简单，解决相当困难。
二、数学猜想是怎样提出与发展的1．不完全归纳根据某类数学对象中一些个别现象具有某种属性而猜测该类全体都有该属性。
有时以具体计算或试验为基础，有时以某种特殊的理论推断为基础。
范例：⑴哥德巴赫猜想 (1742)1742年6月7日，哥德巴赫 (Christian Goldbach，1690～1764，德)在致欧拉（L.Euler ，1707—1783，瑞士) 的信中提出：除了 2以外，每个偶数都是两个素数的和；每个奇数或者是素数，或者是三个素数的和。
他问：“能否证明之，或者以反例否定之? ”1742年 6月30日，欧拉在复信中指出：“任何大于 6的偶数都是两个奇素数之和。
虽然我还不能证明它，但我确信无疑认为这是完全正确的定理。
”⑵华林 (Waring) 问题 (1770)1621年，法国数学家巴切特（M.C.-G.Bachet ，1581—1638）出版了丢番图 (Diophantus）《算术》的拉丁文与希腊文对照本。
类比思想在小学数学几何中的应用程玲玲女数学与信息科学系 2011本一 1114070110数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些标面上看似复杂困难的问题。
就迁移过程来分，有些类比十分明显、直接、比较简单，如由加法交换律a＋b＝b＋a的学习迁移到乘法分配律a×b=b×a的学习；而有些类比需在建立抽象分析的基础上才能实现，比较复杂类比思想在科学发展中占有十分重要的意义，例如：著名科学家牛顿的万有引力定律就是把天体运动与自由落体运动做类比而发现的。
著名的生物学家达尔文把植物的自花授精与近亲结婚相类比，从而发现自己子女体弱多病的原因。
1、类比方法目前，小学数学教材中类比思想的内容很多，杂志上发表得较多的某些定理，问题的延伸，推论，拓广也是类比思想的反映，这就要求教师去发掘去实施，如长方形的面积公式为长×宽＝a×b，通过类比，三角形的面积公式也可以理解为长（底）×宽（高）÷2＝a×b （h）÷2。
类似的，圆柱体体积公式为底面积×高，那么锥体的体积可以理解为底面积×高÷。
类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁，从而可以激发起学生的创造力，正如数学家波利亚所说："我们应该讨论一般化和特殊化和类比的这些过程本身，它们是获得发现的伟大源泉。
"例如：几何形体数量关系的类比在圆的学习中，我们已经知道怎样求长方形周长，知道长方形周长=（长加宽）×2 正方形周长=边长×2，我们可以得到他们的共同点：都是封闭的平面图形，它们的周长都与图形中的某些线段有关。
平面图形圆是不是也一样呢？我们用一些方法测量一下一个圆形物体的周长，进行整理：通过表格中的数据，我们很容易看出：圆的周长总是直径的三倍多一些。
2.6 大胆猜想小心求证善待归纳法猜想是数学家创造发明的法宝，也是数学学习中的一个重要思想方法. 你所看到的构思奇妙的数学定理、简明精巧的数学公式，大多数是先由数学家猜想得到结论，然后经过证明确认为真的. 正如波利亚所说：“数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的. ”如果没有猜想，纯洁梦幻的数学巨轮将搁浅海滩；如果没有猜想，巍峨瑰丽的数学大厦将不复存在.在数学猜想中，归纳、类比是获得猜想的两个重要的方法．波利亚说：“猜想是合情推理的最普遍、最重要的一种，归纳也好，类比也好，都包含着猜想的成分. ”法国数学家、天文学家拉普拉斯也说过：“在数学里，发现真理的主要工具就是归纳和类比. ”数学解题与数学发现一样，通常都是在通过归纳、类比等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的．一．枚举归纳猜想归纳猜想是通过对特例进行观察与综合以发现一般规律的渠道. 它是由特殊向一般的推理，它所得出的结论是或然的，但这种方法的重要性不容忽视，正如数学王子高斯所强调的：“用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理”.枚举归纳是不完全归纳的一种. 枚举归纳是以对某些对象的重复验证作为归纳根据的，前面提到的找规律大都是枚举归纳. 这种归纳可以发现问题，但可靠性有一定问题. 比如，17世纪，法国数学家费马曾得到一个后人以其名字命名的定理：如果p为素数，a为任意自然数，那么a p-a是p的倍数. 上述定理的逆命题是否成立呢？费马之后，研究者数不胜数. 德国数学家莱布尼兹就曾提出：如果p不是素数，那么2p-2就不是p的倍数. 因此，在莱布尼兹看来，费马定理的逆命题是成立的：如果a p-a是p的倍数，那么p必为素数. 无独有偶，我国清代数学家李善兰也通过不完全归纳得到了类似的结论. 不幸的是，数学家萨吕斯发现了反例，彻底否定了莱布尼兹和李善兰的猜想：尽管2341-2，是341的倍数，但341=11×31却是一个合数！后来人们又相继发现了更多的反例：561，645，1105，1387，1729，1905，2407，…….因此，由不完全归纳得到的结论有时往往并不正确，必须给予严格的逻辑证明.正是由于归纳法的重要性和结论的或然性，波利亚提出要有科学的“归纳的态度”，他特别提出了下述三原则：第一，“理智上的勇气”：我们应当随时准备修正我们的任何一个猜测或信仰.第二，“理智上的诚实”：把事实摆在优先地位，如果有一种理由非使我们改变信念不可，我们就应当改变这一信念. 坚持自己那个显然与经验相抵触的猜想，就因为它正是我的猜想而坚持它，那将是不诚实的.第三，“明智的克制”：如果没有某种充分的理由，我们不应当轻率地改变一个信念. “不轻信任何事情，只探索那些值得探索的问题”.著名数学家克莱因也说过：“最初建立某一个假设的人所做的归纳工作，跟最初证明这个假设的人所做的演绎法的工作，当然具有同样的价值，因为这个和那个是同样必要的. ”就是说，我们可以大胆的猜想，但是必须谨慎小心的证明. 下面，我们举例说明归纳—猜想—证明的全过程.例求出所有公差为8，且由三个素数组成的等差数列.解：观察素数数列：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,…….我们从头开始，一个一个的检验，发现公差为8的三个素数唯有3，11，19. 由于素数列是无穷数列，此外还会有其他的公差为8的三个素数成等差数列吗？直觉告诉我们，可能没有了. 这是猜想，需要证明.显然，符合要求的三个素数一定都是奇数. 若首项为2n+1，则此数列的三项为2n+1，2n+9，2n+17 (n N×).以下讨论n被3除的所有可能情况：当n=3k时，2n+9=6k+3=3(2k+3)，为非素数；当n=3k+1时，2n+1=6k+3=3(2k+1)，除k=0以外，2n+1为非素数.当n=3k+2时，2n+17=6k+21=3(2k+7)，为非素数.所以，只有当k=0，即n=3k+1=1时，所设三项2n+1=3，2n+9=11，2n+17=19都是素数.也就证明了除3，11，19外，没有其他公差为8的三个素数成等差数列了. 这里的演绎证明采用分类讨论，是完全归纳法.二. 因果归纳猜想因果归纳猜想是先观察现象再进一步分析现象背后一类事物中部分对象内在的因果关系，并以这些因果关系作为猜想前提的不完全归纳猜想.例平面上有n条直线，最多能把平面分割成多少个区域?解：要使区域分割成最多，那么就要求n条直线中没有两条平行，也没有三条经过同一点.设平面上n 条直线，最多能把平面分割成f(n)个区域. 我们还是从枚举开始，画图试验，可以发现：f(1)=2，f(2)=4，f(3)=7，f(4)=11，…….我们再进一步观察，发现f(2)-f(1)=2，f(3)-f(2)=3，f(4)-f(3)=4，继续下去还有f(5)-f(4)=5，f(6)-f(5)=6，……. 就是说，我们还发现了前后分割之间的因果关系.一般地，假设平面上的n-1条直线分平面为f(n-1)块. 当新添上第n 条直线时，这条直线被原来的n-1条直线分截成n 段，每段都把所在平面区域一分为二，因此会增加n 个区域，即有递推关系式f(n)=f(n-1)+n ，且f(1)=2，所以f(n)=f(n-1)+n=f(n-2)+(n-1)+n=……=f(1)+2+3+…+n=2+2+3+…+n=1+21n(n+1). 类似的问题还有：平面上有n 个圆，每两个圆都相交于两点，每三个圆都不相交于同一点，这n 个圆把平面分成多少部分?因果归纳与枚举归纳的不同在于，枚举归纳是直接猜测结论，而因果归纳是先猜测一个因果关系，比如一个递推关系式，然后再推测结论. 正因为因果归纳猜想是建立在因果关系基础上产生的结论，比枚举归纳显然进了一步，因而可靠性更大些. 但由于仍然只考察了部分对象，猜想还不一定正确，还是要给予证明. 一般都可以应用这个因果关系给予数学归纳法的证明.三．类比猜想用类比联想的方法猜想，称为类比猜想.例 空间有n 个平面最多能把空间分成多少个区域？解：就是在没有两个平面平行，也没有三个平面相交于同一条直线，没有四个平面过同一点的条件下，n 个平面能够把空间分成多少个区域？这个“空间问题”比较困难，我们可以降维处理，类比直线分平面的“平面问题”. 刚才，我们已经得到f(n)=1+21n(n+1). 假设n 个平面把空间分成F(n)个区域. F(1)=2，F(2)=4，F(3)=8. 下面，F(4)=16吗？我们不要急于下这个结论，因为我们可以利用因果关系来分析. 当新添上第n 个平面时，这平面与原来的n-1个平面有n-1条交线，这些交线把新添的平面分成f(n-1)块，每块都把所在的空间区域一分为二，因此会增加f(n-1)个区域，于是有递推关系式F(n)=F(n-1)+f(n-1)，且f(1)=2，分别以n-1,n-2,…,3,2代入上式：F(2)=F(1)+f(1)， F(3)=F(2)+f(2)， ………………… F(n)=F(n-1)+f(n-1).将上面各式相加，得到F(n)=F(1)+f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)=2+∑-=11)(n k k f =2+∑-=++11]1)1(21[n k k k=2+(n-1)+21∑-=+11)1(n k k k=(n+1)+61∑-=+--++11)]1()1()2)(1([n k k k k k k k=(n+1)+61(n-1)n(n+1) =61(n+1)(n 2-n+6). 所以，n 个平面把空间分成F(n)=61(n+1)(n 2-n+6)个区域.注意F(4)=61(4+1)(42-4+6)=15，可见4个平面把空间分成15个区域，而不是原来猜测的24=16个区域.四．猜测结论由归纳产生的猜想主要有两种类型：一种是猜测结论的，一种是猜测解题方法、途径的. 大多数问题都是猜测结论的，再举一个猜测结论的例子，并给出数学归纳法的证明.例 斐波那契数列1,1,2,3,5,8,……中，连续n(n>2)项相加，会是斐波那契数列的某一项吗？解：从试验、观察开始枚举归纳. 1+1+2在斐波那契数列中没有，1+2+3在斐波那契数列中也没有，…；1+1+2+3在斐波那契数列中没有，1+2+3+5在斐波那契数列中还是没有，…，于是我们自然地会产生猜想：当n >2时，斐波那契数列的连续n 项相加，不可能是斐波那契数列的某一项.这仅仅是一个猜想，必须要经过严格的演绎证明，一般可以采用数学归纳法.第一步，我们先对n=3，n=4的情形作出证明.当n=3时，由于a k +a k+1+a k+2=a k+2+a k+2<a k+2+a k+3=a k+4， 且a k +a k+1+a k+2>a k+1+a k+2=a k+3,即有a k+3<a k +a k+1+a k+2<a k+4.所以,a k +a k+1+a k+2不是该数列的任何一项.当n=4时，由上面的结果可知a k +a k+1+a k+2+a k+3<a k+4+a k+3=a k+5, 且a k +a k+1+a k+2+a k+3>a k+2+a k+3=a k+4，可见，任意连续四项之和仍然不是该数列的另一项.由上述n=3，4的讨论，我们很自然会猜测：当n ≥3时，对任意的k ∈N ×，都有a k+n <a k +a k+1+…+a k+n-1<a k+n+1. ① 我们再证明第二步:设a k+m <a k +a k+1+…+a k+m-1<a k+m+1，则a k +ak+1+…+ak+m-1+ak+m<ak+m+1+ak+m= ak+m+2，且ak +ak+1+…+ak+m-1+ak+m>ak+m-1+ak+m=ak+m+1故①式对所有的n≥3成立.综合这两步，根据数学归纳原理，我们就完成了演绎推理的全过程. 证明了我们猜想的结论正确.五．猜测解题方法在对未知结论大胆作出合乎情理猜想的同时，再根据这个猜测去考虑相应的解题方法，这是猜想的另一种类型.例已知f1(n)=1+2+…+n=21n(n+1)，由此出发能递推出f m(n)=1m+2m+…+n m(m∈N)的结果吗？解：先考虑最简单的m=2情形，f2(n)=12+22+…+n2.23 = (1+1)3=13+3×12+3×1+1,33 = (2+1)3=23+3×22+3×2+1,43 = (3+1)3=33+3×32+3×3+1,……………………………n3 =(n-1+1)3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1,(n+1)3 =n3+3n2+3n+1.将这n个等式相加，容易得到(n+1)3 =1+3f2(n)+3f1(n)+n即有f2(n)=31[(n+1)3-1-3f1(n)-n]=61n(n+1)(2n+1)所以由f1(n)可推知f2(n). 进一步地利用(n+1)4=n4+4n3+6n2+4n+1,类似上面进行推导，又可得到(n+1)4=1+4f3(n)+6f2(n)+4f1(n)+n,即有f3(n)=41[(n+1)4-1-6f2(n)-4f1(n)-n]至此，我们已猜想出从f1(n)出发，对任意的m∈N,可以递推地得出f m(n).证明：当m=2时，f2(n)=31[(n+1)3-1-3f1(n)-n].设m≤k时，f m(n)可由f1(n)出发递推地求出.当m=k+1时，由于2K+2=(1+1)k+2=1k+2+12+kC×1k+1+22+k C×1k+…+12++k k C×1+1,3K+2=(2+1)k+2=2k+2+12+kC×2k+1+22+k C×2k+…+12++k k C×2+1,4K+2=(3+1)k+2=3k+2+12+kC×3k+1+22+k C×3k+…+12++k k C×3+1,…………………………………………(n+1)k+2=n k+2+12+kC×n k+1+22+k C×n k+…+12++k k C×n+1.将这n个等式相加，不难得到(n+1)k+2=1+12+kC f k+1(n)+22+k C f k(n)+…+12++k k C f1(n)+n.于是有 fk+1(n)=121+kC[(n+1)k+2-1-22+kC f k(n)-…-12++k k C f1(n)-n].由归纳假设知f2(n)，f3(n)，…fk(n)都可从f1(n)出发递推地求出，所以fk+1(n)也可由f1(n)出发递推地求出. 从而f m(n)(m∈N)可由f1(n)出发递推地求出.在这个例题中，我们通过分析(n+1)3、(n+1)4的展开式，归纳出了利用(n+1)m(m∈N)的二项展开式进行证明的方法. 一般性的证明方法产生于特殊的问题的证明方法，这正是归纳所起的作用.领会到了吧，猜想的缘由，归纳的方法；体验到了吧，猜想撞击了创造的火花，扣开了发现的大门. 归纳，类比，联想，猜想，……交织在一起，谱写了一篇又一篇成功探索的乐章.正是：长风破浪会有时，直挂云帆济沧海. .以下是附加文档，不需要的朋友下载后删除，谢谢班主任工作总结专题8篇第一篇:班主任工作总结小学班主任特别是一年级的班主任，是一个复合性角色。
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书的英文名字叫做《Mathematics and plausible reasoning》,也可以译作《数学与合情推理》，译者为了更加通俗一点直接是把本书译作《数学与猜想》，当然合情推理本身就是猜想。
这是第一次看这本书，全书不仅涉及到了数学的很多方面，同时还有部分物理数学，古今中外，旁征博引，通俗易懂。
作为一个教师，不仅要教书还要育人。
而现在这个浮躁的社会，育人这一块比以往显得更加的重要，作为一个数学老师，在育人这一块其实也可以有非常大的作为。
像归纳的态度这样一种非常独特、不同一般的态度同样也可以在教学中渗透给学生，从而潜移默化的影响学生的实际生活以及学习，甚至在未来成长的道路上给学生带来巨大的帮助。
在归纳的态度中，有三点比较重要：第一，我们应当随时准备修正我们的任何一个信念；第二，如果有一种理由非使我们改变信念不可，我们就应当改变这一信念；第三，如果没有某种充分的理由，我们不应当轻率地改变一个信念。
用数学思维上这种严谨有条理又不乏变通的态度武装自己，虽然不能够一步到位的指明方向，但是却能一点点慢慢的修正我们的方向往正确的结果靠近。
这三点看上去虽然很简单很平凡，但是真正养成这种归纳的态度却不容易。
数学的优势之处在于学生及老师会有很多接触题目的机会，而每一个题目都为学生提供了学习这种优良的科学家品质的机会。
在做题的过程中每个人都需要有胆量修正自己的信念，而就因为是自己的猜想而坚持那将是不诚实的，不经过认真的思考，仅仅为了追求时髦轻易的相信他人，很随便的改变一个方向，那将是非常愚蠢的。
“当我们没有时间也没有力量去认真考察时，因此明智的态度就是继续做我们该做的事情，暂时先保留我们的问题，只对那些有足够理由可能改变的信念，才去积极的对它质疑，考察。
数学归纳法的思想精髓作者：王智勇来源：《教育教学论坛》2020年第34期[摘要] 科学原理和科学方法必然蕴含着与之相适应的科学思想。
通过“归纳思维方法”与“数学归纳法”的分析解读了数学归纳法的思想精髓——“无限递推思想”，揭示了无限递推思想模式的教学演绎规律，用生活中的案例和生活化的语言加以直观描述，用图式化的语言加以提炼，再用数学化的符号语言准确表达，促使学生对这一数学思想模式的直观感受、理解、感悟、过程参与、事后升华，形成无限递推的数学思想模式，直到掌握并应用到微积分学的教学实践中。
[关键词] 数学归纳;演绎规律;无限递推;数学思想模式[作者简介] 王智勇（1963—），男，四川内江人，本科，内江职业技术学院素质教育部讲师，经济师，主要从事高等数学教育、数学应用与企; ; ; 业管理和企业创新研究。
[中图分类号] G712 ; ;[文献标识码] A ; ;[文章编号] 1674-9324（2020）34-0124-04 ; ;[收稿日期] 2020-03-10著名数学家拉普拉斯提出：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。
”又在《概率的分析理论》中论述到“分析與自然哲学中最重大发现都应归功于这种丰富多产的方法，也就是所谓的‘归纳’方法，牛顿万有引力原理，就是归纳的成果。
”[1]著名数学家欧拉认为：“观察所得的知识，通常用归纳所得的，然而我们已经看到过单纯的归纳曾导致过错误。
因此，我们不要轻易地把观察所得的和仅以归纳为旁证的关于数的那样一些性质信以为真。
诚然，我们应该把这种发现当成一种机会，去更精确地研究所发现的性质，以便证明它或推翻它;在这两种情况中，我们都可以学到一些有用的东西。
”[2]著名数学家拉普拉斯论述了“归纳”在“最重大发现”的重要作用，而著名数学家欧拉把“归纳”的“发现当成一种机会”，但更重视“归纳”得出的知识与结论的验证，用“更精确地研究”进行“证明它或推翻它”。
验证和证明“归纳”结论的有效方法之一——“数学归纳法”，蕴含着“无限递推”的数学思想。
数学与猜想读后感数学与猜想读后感对数学的感悟读书笔记为了使自己对数学有更深层次的认识和理解，我看了关于数学的很多书籍来扩大自己的知识面和增长自己的专业素养.希望通过这次的总结能对以后学习数学乃至将来运用数学提供帮助.一数学是什么？我以前一直有一个疑问“数学是什么？”.对于将来毕业后要做数学老师的我来说是个不小的难题，最近在网上看到了一篇文章《数学是什么》，觉得作为一名数学教师很有必要读一读！相信很多数学老师都这样问过自己：数学究竟是什么？作为一个数学老师，如果这个问题都回答不了，好像有点说不过去.但是谁又能真正说清楚数学是什么呢？美国数学家柯朗在他的《数学是什么》的书中说道：“??对于学者，对于普通人来说，更多的是依靠自身的数学经验，而不是哲学，才能回答这个问题：数学是什么？”的确，我们很难给数学下一个准确的定义，就让我们在对一些案例的思考中去慢慢地揣摩数学的内涵吧.如：文中谈到“‘0’一直是整数而非自然数，为这，老师和学生们都没少费脑筋，可现在“0”也加入了自然数的行列；“5个3是多少？”也可以写成“5×3”了；“把6个桃平均分成3份”，操作时，直接拿2个放在一个盘子里，也不说你是科学性错误了”.难道数学是可以改变的吗？本学期我教十册数学就碰到了这样的问题，“0”现在是自然了，一系列的问题就出现了：比如：“0”是不是偶数？??我也无法回答了.可能也有老师有这样的疑问！“教过《三角形认识》的老师都知道，在这节课上我们第一个要煞费苦心的，就是让学生懂得三角形是由三条线段围成而非组成的图形.为了“围成”与“组成”，我们往往要花去很长的时间，并常常为此设计而津津乐道.反思一下，如果我们不去区别“组成”与“围成”，或者说不把“围成”突出来讲，学生难道就会把“没有连接在一起的三条线段组成的图形”看成是三角形吗？我看百分之百不会.数学课上，我们往往喜欢教语文，喜欢去咬文嚼字，看似深挖实质问题，实际是渐离实质.对于一个概念的学习，我们不能只注重它的定义，我们更应该重视的是帮助学生形成丰富与清晰的心象：学生能画出多少个形状不同的三角形，学生能自主地在这些三角形中找出相同的特征并把它们归类吗？一提到钝角三角形、等腰三角形，学生的头脑中就能浮现出各种表象吗？为什么学生作业中经常会出现“小明身高1.5厘米”等数学笑话？因为我们对定义的关注，也许超过了对象与它所代表的实际意义的关注，而后者的重要性要远远大于前者.”在《分数的意义》教学中，我们通常都是从复习平均分开始，然后逐渐地引导学生把一个饼平均分成2份，表示每一份的分数；把一条线段平均分成3份，表示每一份的分数??步步为营，一层一层地引导下来.如果我们在课的一开始，就让同学们自己随便写一个分数，然后联系生活实际用这个分数说句话，或直接说说这个分数所表示的意义，可以吗？完全可以，在开放的、具有挑战性的又联系实际的问题情景中，学生的兴趣只会更高，思维更活跃.我们不能老是让学生接触封闭的数学（条件唯一，答案唯一）.数学的魅力在哪里？在于数学的探索性与想象力.只有充满着想象的数学，才会深深地吸引着孩子.某水果店有以下三种苹果（每千克2元、每千克4元和每千克5元），用40元钱可以买多少千克苹果？某种苹果每千克2元，用40元钱可以买多少苹果呢？100元呢？试比较以上两道题，谁的魅力更大呢？”看了这篇文章后，我觉得作为一名数学老师，更应该关注的是每一节课，每一个内容的学习要给予学生哪些实质性的东西.我也对数学有了新的认识.数学是一门语言.数学语言具有简洁，无歧义的特点.数学符号往往内涵丰富，具有一定的抽象性.数学教科书中的语言可以说通常是文字语言、数学符号语言、图形语言的交融.数学阅读重在理解领会，而实现领会目的的行为之一就是“内部语言转化”.即把阅读交流内容转化为易于接受的语言形式.因此，数学阅读常要灵活转化阅读内容.例如把一个抽象的内容转化为具体的或不那么抽象的内容；把用符号语言或图式语言表述的关系转化为文字语言的形式，及把文字语言表述的关系转化为符号或图式语言；用自己的语言来理解定义或定理等.总之，数学阅读通常要求大脑建起灵活的语言转化机制，而这也正是数学阅读有别于其它阅读的主要方面.数学材料的呈现主要是归纳和演绎，具有一定的严谨性，加之数学语言的抽象性，使数学阅读需要具有较强的逻辑思维能力.数学阅读要求认真细致.阅读一本小说或故事书时，可以不注意细节，跳过无趣味的段落.但数学阅读要求对每个句子、每个名词术语、每个图表都应细致地阅读分析，领会其内容、含义.对新出现的数学定义、定理一般不能一遍过，要反复仔细阅读，并进行认真分析直至弄懂含义.二、数学中蕴含的哲理我喜欢数学，对数学有着浓厚的兴趣，数学的一切都是那么的奥妙无穷.而我首先选择，并且看看数学的发展史，首选的书籍当然是《数学史》了，只是我大学时候一本教科书.书里的内容，我感兴趣并且能共同接受的只有一个，悖论，一个数学里面最有哲理的内容.数学悖论最早是由一位古希腊哲学家芝诺提出来的，所以也叫做芝诺悖论.其中著名的有这么一个，兔子去追乌龟，尽管乌龟爬得很慢，但是兔子永远也追不上乌龟.因为兔子要追上乌龟，必须先到达乌龟的出发点，当兔子追到乌龟的出发点时，乌龟利用兔子追这段路的时间向前爬出了一段，此时乌龟还是在兔子前面，兔子再追，每追一段，乌龟就会多爬出一段，所以兔子永远也追不上乌龟.若从纯数学的角度去看，这只是一个简单的极限问题，就好比小数里面的循环小数，虽然无限多得可以写下去，但是只是局限在某个范围里面，这里的兔子追不上乌龟也被局限在了某个范围里面，我们可以发现乌龟领先的距离越来越短，而且兔子赶上前面那段路的时间也越来越小，就好比0.999......一直在写下一位的9，永远突破不了1，在极限中，当无限接近时就是被认为相等，所以兔子虽然要追很多段路，但花的时间很少很少，直到无限接近于乌龟时，就认为兔子已经追上了乌龟.其实0.999....也可以看作是等于1的.古希腊的这位哲学家是不可能明白这个数学道理的，却提出一个当时只有极少数人能够解决回答，并且能够解决回答也几乎没有人能理解的数学问题，实在有些一时口快之感，可恰恰是这些个一时口快，才著就了学术的发展，历史的前进，数学的文明.歌德巴赫只是个数学教师，可他的猜想让世界计算了一个时代.人们只晓拿破仑踏破欧洲的铁蹄，却不知他也在数学史上留名，这位皇帝曾经提出如何只用圆规将一个圆四等分，法国的数学家们由此研究得出尺规作图除了直接划出直线，全部可由圆规单独完成.所以我又得到一致的结论，古人说错了.我们只是站在古人的肩膀上，数学史上的进步，不可忽视其中任何一个人，一个环节.设想，如果阿基米德活着的话，也许后人就能避免绕大的圈子来研究出一个个的几何图形，可能100年前就能造出现在的房子.如果牛顿没被苹果砸到，那时人们知道的他并不是物理学家，而是史上最伟大的数学家了.再看芝诺，如果他不提那几个悖论，那么，也许是别人会提，至少数学的发展推迟了一个哲学的理论的出现，发现芝诺是和和那些巨人门站在一起.数学的精髓是其思想，我读《古今数学思想》，这本书主要讲数学置于西方的背景下加以考察，对于中国数学谈的却很少.要谈数学于西方文化及其他领域的`相互关系及相互影响，谈数学精神，数学思想在数学领域的体现和应用，然而，关于古希腊和希腊时期的第六章，恰恰强调的是数学精神的独立性和创造性.古希腊数学家鄙视手工劳动和商业劳动，柏拉图就宣称：“数学应该用于追求知识，而不应该用于贸易”，“自由人从事商业贸易是一种堕落”.即使对实用发明做出过巨大贡献的阿基米德，真正真爱的仍然是演绎性科学，他也认为：“任何于日常生活有联系的技艺都是粗俗的”.希腊人几何发达，代数落后.他们将几何学做成高度发达的演绎公理系统，这在欧几里德的《几何原本》里集了大成.而由于对“数”未能像对几何学那样建立起严密的逻辑体系，希腊人明显有厚几何薄代数的倾向.代数概念一定要转变成几何概念才算合法：解方程必须用几何作图法，二数乘积或三数乘积必须转变成图形的面积或者体积，所以四数的乘积被认为不可思议.但是几何化并不能完成数论的公理化，希腊人只得将无法表示为整数或者整数之比的数称为“无理数”，这个名称一直沿用至今.而数的理论的公理化是迟至19世纪的事了.在几何学内部，希腊人坚持尺规作图得限制，所以有“三等分角”“立方倍积”“化圆为方”所谓三大难题的成立.其实只要允许用复杂一点的工具，难题不难解决，但是希腊人不允许，因为这样做是突破了公理的藩篱，掺杂近了感情因素，几何学的理性便荡然无存了.对于希腊人来说，维护理性的对立性和纯粹性，比什么都重要，这种独立的，纯粹的理性精神，从来不曾在也有着悠久数学历史的巴比伦、埃及、印度和中国的文化中出现.只出现在古希腊，事情似乎是，数学以及后来自然科学的理性，只能在特定的文化土壤和历史背景中产生，而这种精神本身有是普世的，超文化的.科学理性的历史形态不拘一格.古希腊（特别是毕达哥拉斯柏拉图学派）的理性是数学本质主义，认为数学的结构既是世界的本质.而由伽利略,牛顿开启的近代物理学的理性则表现为“数学的描述现象”，仅仅是描述现象，而不问本质.牛顿用计算证明，使地球物体自由下落的力是与太阳绕行星旋转的力可以用同一个公式来表示，这就够了.至于问道“万有引力”的本质，牛顿的回答是：“我们应该当力戒假说”.近代科学的伟大创始者都信仰上帝，在他们看来是上帝把世界创造的可以用数学来描述，而他们自己不过是人中的先觉，率先领悟了上帝的旨意而已.当牛顿发现，太阳系的实际运动呈现出偏离计算的不规则性，因而稳定成为问题时，他又不得不假设是上帝的不可知力量在维持着太阳系的稳定性，将理论性能视为上帝力量的显现，归公与上帝是感恩的心情；在理性不能及处，撒手任命.只让上帝来负责是求助的心情.由于感恩的信仰和求助的信仰是应该加以区别的.18世纪的拉普拉斯算出行星运动的不规则是周期性的，因而太阳系还是稳定的，他既不感恩也不求助，所以当拿破仑问他《天体力学》一书中为什么不提上帝时，拉普拉斯回答说：“陛下，我不需要这个阶段”.正因为这一点，我们通过读这本书，从一些科学家的故事中吸取教训，更应该相信真理和科学.三、如何运用数学处理问题数是一个概念，数轴是一个用数来衡量距离的经典的工具.数学的符号是将束赋予一些性质.关系实际上是一种逻辑关系.用抽象语言所无法表达的事物叫抽象的抽象.数字逻辑表达的是一种信息结构，揭示了表象之外，不为人所轻易波利亚《数学与猜想》（第1卷）读书笔记小教122姚时湾2号《数学与猜想》(第1卷)通过许多古(转载于:asOliveiraeSilva的工作，用了很巧妙的编程方法。
小学数学基本活动经验积累策略摘要：基本活动经验是数学课程标准的“四基”之一，也是数学课堂教学的基本目标。
以具体的课例为切入点，结合导入、新知学习、探究和总结，从激活、积累、统一和强化四个方面进行论述，为小学数学基本活动经验目标的落实提供抓手与参考。
关键词：数学活动经验；数学课堂；自主探究一、问题的提出2001年，《义务教育数学课程标准（实验稿）》在第二部分“课程目标”中提到：“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。
［１］《义务教育数学课程标准（2001年版）》（以下简称《标准》）又进一步在课程目标中将“双基”发展为“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。
由此，数学活动经验不仅仅是“重要数学知识”，而且是数学课程的重要目标。
“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志”。
［２］在《标准》的完成过程中，东北师范大学史宁中教授提出，在注重“基础知识”和“基本技能”的同时，要积累“基本数学活动经验”。
而“积累”一定是在过程中完成的，这表明，基本活动经验是一个过程与结果并重的基本目标。
数学活动经验作为数学教育的基本目标提出，其本身具有很大的理论实践价值。
黄翔认为“数学活动经验是四个目标联系的纽带，贯穿于整个目标中，数学活动经验的获得是实现四个目标的重要途径”；［３］仲秀英认为从教学策略的角度看，数学活动经验“对学生探究数学活动、领悟数学思想方法、形成数学观念等均有着十分重要的定向和方法性作用”；［４］单肖天认为数学活动经验对教学的意义体现在“扩展学生的认知结构，提高教学设计的实效性，彰显个性化学习，生成课程资源”。
［５］从知识的形成角度，马复认为学生“思维方法的学习离不开活动经验”［６］。
上述观点从数学教学、数学学习两个层面阐述了数学活动经验的价值，在“数学课堂教学应致力于学生活动经验的获得”方面认识是一致的。
数学课堂中启发性提示语的艺术【摘要】在数学课堂上教师如何运用启发性提示语对学生进行引导，是一种值得我们思考的艺术。
本文从对教材的思考、对学生的思考、对教师的思考三个方面研究了数学课堂中启发性提示语的作用。
【关键词】数学教学；启发性提示语数学教学不是一门科学，而是一种艺术。
教师在传授知识的过程中如何启发，才能引起学生的兴趣，引发思考（其实这点才是真正的教学目的），是值得我们研究的。
我们常说，启发式教学是最好的数学教学方法，其实当前流行的建构主义、有意义学习、探究教学等理论本质上都以启发式教学为基础。
启发式的核心是“问题”，即启发式教学的主要方式是利用启发性提示语进行教学，因此，富有创造性地对学生进行启发，让学生在有趣的问题中学到真正的数学知识，才是数学教学的艺术。
教师如何才能对学生进行有效的启发性提示呢？笔者认为应从下面几个方面入手：理解教材、相信学生、明确定位。
一、理解教材1.数学教师应理解教材思想作为一名优秀的数学教师，想要流畅地和学生讨论完一节课，教师首先应理解教材的思想，不仅要理解教材以文字表述的思想，而且要理解编著者在著述教材时动态的思维活动。
事实上，教材里不仅有教材作者的思想，还有许多科学上先驱者的思想，不仅要理解他们动态的思维活动，而且要把思维活动的“慢镜头”展现出来。
波利亚就在《数学与猜想》的第三章中把欧拉猜想T+V=E+2的慢镜头展现在我们的面前，为我们做出了示范。
数学教师还应在理解教材作者的思想的基础上，阐述其思想。
要阐述教材作者思想的来龙去脉和突出特征，要阐述其内涵与外延。
最重要的是，要把教材作者的思想转化为自己的思想，并以自己特有的方式向学生阐述，这时教师的个人魅力就彰显出来了。
波利亚在《数学的发现》一书中就是这样阐述笛卡尔的思想的。
他的方法就是在字里行间多下工夫，在教材作者认为显然的地方，多问几个为什么，只有这样教师的思维才能畅通，才能打开学生的思维。
2.数学教师应把握数学本质对数学教学而言，教师最重要的应是把握数学的本质。
类比法在小学数学教学中的运用摘要：《数学课程标准》把“注重提高学生的数学思维能力”作为新课程的一个基本理念。
类比是数学思维方法之一，根据两个或两类对象的某些属性的相同，推出他们的其他属性也可能相同或相似。
文章说明了类比法在小学数学教学中的运用，拓宽了数学教学的思路。
关键词：论文秘籍网：类比法；小学数学；数学思维方法发表论文秘籍网：1671-0568（2011）07-0052-02数学是一种人类活动，数学学习与其说是学习数学知识，倒不如说是学习数学的思维活动。
日本数学家米山国藏认为，对学生而言，作为知识的数学，通常是出校门后不到一两年就很快忘掉了。
然而，不管他们从事什么工作，那些深深地铭刻于头脑的数学精神、思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等都随时随地地发生作用，让他们受益终生。
类比法，即“类比推理”。
根据两个或两类对象的某些属性相同，推出他们的其他属性也可能相同的推理。
类比推理是一种或然性的推理，其可靠程度取决于：前提中确认的共同属性的多少以及共同属性和类推出来的属性的关系是否密切。
类比是寻求问题解决的好办法，类比是富有创造性的方法之一。
正如开普勒所说，“我珍视类比胜过任何东西，它是我最可信赖的老师，它揭示自然界的秘密，在几何中它是最不容忽视的。
”义务教育阶段数学课程总目标明确要让指出“初步学会动用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。
”在数学教学中，应特别注重启发和诱导学生进行推理、证明、探索和发现，培养学生独立学习的能力，分析和解决问题的能力。
类比是一种特殊的数学思维方法，研究类比法在小学数学教学中的运用无疑具有一定的价值。
一、类比法在小学数学教学中的运用1.运用类比形成科学概念。
在观察、类比中区分事物的异同，从具体事物中区分出最本质的属性，形成“科学概念”。
类比推理是根据两个（或两类）对象或系统之间在某些方面的类似或相同，推出它们在其他方面也可能相似或相同的一种逻辑推理方法。
数学与猜想读书笔记数学与猜想读书笔记篇1数学与猜想：数学与猜想的交融[第一章]：数学的起源与发展在这一章中，作者简要介绍了数学的起源和历史发展。
作者提到了数学作为一门科学的独特性质，即其严密的逻辑性和确定性。
此外，作者还介绍了历史上一些著名的数学家，如欧几里得、高斯和牛顿等，以及他们的数学成果对人类文明的影响。
[第二章]：数学思想与猜想在这一章中，作者探讨了数学思想与猜想的联系。
作者提到了数学中的“猜想来证明”的方法，即通过猜想和尝试，逐渐逼近真理的过程。
此外，作者还介绍了数学中的“反证法”，即通过否定结论来推导出矛盾，从而证明结论的正确性。
[第三章]：数学猜想与艺术在这一章中，作者探讨了数学猜想与艺术的关系。
作者提到了数学中的“美”，以及如何通过数学猜想来表达这种美。
此外，作者还介绍了数学在艺术中的应用，如建筑、音乐和绘画等。
[第四章]：数学猜想与现实生活在这一章中，作者探讨了数学猜想与现实生活的关系。
作者提到了数学在日常生活中的应用，如测量、计算和决策等。
此外，作者还介绍了数学在解决实际问题中的应用，如金融、物流和工程等。
[第五章]：总结与展望在这一章中，作者对全书进行了总结，并展望了未来数学的发展方向。
作者认为，数学猜想是数学发展的重要动力，它可以帮助我们探索未知的领域，并推动数学的发展。
同时，作者也指出了当前数学教育存在的问题，并提出了一些改进的建议。
数学与猜想读书笔记篇2数学与猜想-读书笔记1.简介《数学与猜想》是由英国数学家R.L.Moore编写的一本数学书籍，该书共分为五个部分，主要介绍了数学中的一些基本概念、方法和技巧，并探讨了一些数学猜想和问题。
2.背景在阅读《数学与猜想》之前，我对数学的理解仅限于一些基本的数学知识，如加减乘除、几何图形等。
然而，当我开始阅读这本书时，我发现数学不仅仅是一种工具，更是一种思维方式。
通过阅读这本书，我逐渐了解了数学中的一些基本概念和思想，如代数、几何、微积分等。
名师指导 Famousteacherguidance116教育前沿 Cutting Edge Education“三会”视域下培养猜想能力的教学策略文/颜可馨摘要：波利亚认为合情推理（即猜想）是创造和发现的源泉，而数学教育的终极目标就是“三会”，要求学生会观察、会思考、会表达，是获得猜想能力的承接点。
本文通过用数学的眼光感悟猜想、用数学的思维凝炼猜想和用数学的语言检验猜想三种培养策略试探讨如何在“三会”视域下对波利亚的合情推理思想进行新应用。
关键词：三会；合情推理；猜想能力；教学策略所谓合情推理，是根据已有的数学事实和正确的数学结论，或以个人数学经验和数学直观进行推测而得到某些结果的一种推理。
这种合情推理能力是培养学生数学核心素养的关键能力，它并不是胡乱猜想，而是从学生的现实出发，基于一定的数学思想方法而进行的合乎情理的思考。
数学核心素养是当前数学教育界的热点，它的落脚点就是“三会”——即会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界，这三者是与学生的现实世界紧密联系在一起的，是获得猜想能力的承接点。
因此，波利亚的合情推理思想对今天的数学教学仍然具有重大的意义，本文以期在“三会”视域下试提出培养猜想能力的三大教学策略。
1 会用数学的眼光感悟猜想所谓感悟，就是感受和领悟，数学来源于生活并应用于生活，学生感受的是现实世界，在现实世界中他们积累了各自的基本活动经验，而领悟就需要基于这些基本活动经验，根据知识的迁移，从已知导出未知，进而感悟猜想。
1.1 从学生生活现实出发，将生活问题数学化数学来源于生活并应用于生活，在日常的生活中，学生总会遇到各种各样的与数学有关的问题，教师就需要在教学过程中尽可能地选择有数学价值的、学生乐于接受的数学题材，帮助学生将生活问题数学化，学会用数学的眼光观察现实世界，积累基本活动经验。
1.2 从学生的数学现实出发，注重知识迁移建构主义教学理论认为，学生在他们以往的学习中已经储备了一定的知识，并且都有各自不同的数学现实，教师在教学时要注重知识的迁移，把学生已有的数学现实作为新知识的增长点，作为学生感悟猜想的基础，从已知导出未知，形成强烈的问题意识。
数学与猜想读书笔记【篇一: 读书笔记】波利亚《数学与猜想》（第1卷）读书笔记小教122 姚时湾 2号《数学与猜想》(第1卷)经过很多古代著名猜想, 讨论了论证方法, 叙述了作者见解: 不仅要学习论证推理, 也要学习合情推理, 以丰富大家科学思想, 提升辩证思维能力, 《数学与猜想》(第1卷)例子不仅包含数学各学科, 也包含到物理学, 全书内容丰富, 谈古论今, 叙述生动, 能使人看到数学中真正奥妙。
这本书是我毕业论文《小学数学猜想教学策略研究》关键参考文件, 关键内容以下:在《数学与猜想》这本书里, 有三章讨论了归纳法相关内容。
归纳性猜想是指处理一个问题认为困难时, 能够从问题特征出发, 用具体数字或字母替换问题, 从简单情况开始, 由不完归纳法对此例子出发, 从中归纳出相关问题形式、结论或方法猜想。
第一章探讨了归纳方法, 归纳法常常从观察开始, 一个生物学家会观察鸟类生活, 一个晶体学家会观察晶体形状, 一个对数论感爱好数学家会观察整数1, 2, 3, 4, 5性质。
我们应该分析所搜集到观察结果,对它们加以比较和综合, 在证实一个数学定理之前, 先得猜测这个定理内容, 在完全作出了具体证实之前, 你先得推测证实思绪, 把观察到结果加以综合然后加以类比, 你得一次又一次地进行尝试, 数学家发明性工作结果是论证推理即证实, 不过这个证实是经过合情推理, 经过猜想而发觉。
比如我在实习时碰到过一个教学案例: 观察算式发觉什么规律？12+21=33, 13+31=44, 14+41=55, 15+51=66。
学生经过观察会发觉这么规律, 两位数加法, 各位和十位位子交换相加, 得到另外一个个位与十位相同数。
再继续加下去:19+91=110, 29+92=131, 89+98=18又有什么共同规律呢？把得数分解质因数, 发觉它们都是11倍数。
学生就能够大胆进行归纳猜想: 两个个位和十位交换再相加两位数, 结果是11倍数。
