人教版高中数学必修二《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》

探究祖暅原理为使学生受到优秀数学传统文化的熏陶首先介绍了一下提出祖暅原理的历史人物；接下来对祖暅原理做了细致的分析，让学生理解其具体含义并注意应用时需要注意的方面；最后利用祖暅原理结合三维动画层层引导、分析、推导出柱体、锥体、球体的体积公式。

教学目标1. 理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的过程；2. 在推导柱体、锥体体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握柱体、锥体、球体的体积公式；3. 通过介绍我国古代数学家和西方数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣.重点：理解祖暅原理和柱体、椎体、球体体积公式的推导过程。

难点：球体的体积公式推导及准确把握相关几何体体积之间的关系。

教学过程1. 介绍提出祖暅原理的历史人物祖冲之父子。

2. 细致分析祖暅原理，并强调应用时的细节。

3. 应用祖暅原理推导柱体、椎体的体积公式4. 观看视频：应用祖暅原理推到球体的体积公式5. 祖暅原理未能得到西方认可的原因教学过程一、引入取一些书堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？这堆书的几何形状发生了改变，但两个几何体的高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而两个几何体的体积相等。

其实这里蕴含了一个很重要的数学原理—祖暅原理。

今天我们就来学习什么是祖暅原理以及它的应用。

首先我们要认识我国历史上两位很重要的数学家。

二、祖冲之父子介绍祖冲之（429-500），字文远。

出生于建康（今南京），祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县），中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。

祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。

他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。

探究与发现:祖眶原理与柱体、锥体、球体的体积一、教材分析本节是必修2第一章的“探究与发现”内容，是在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容是用祖唯原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；通过模型演示，利用祖瞄原理，推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解空间几何体问题的思想方法，逐步提高解决空间几何体问题的能力.在推理的过程中，感受我国文化的魅力，通过数形结合导出柱、锥、球体的体积公式.这些过程正是培养和发展学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模等数学学科核心素养的重要过程.二、学情分析学生己经掌握了第一章的基础之上，对空间几何体具有一定的直观感知、操作确认、度量计算等方法.他们的思维正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的实物来理解抽象的逻辑关系.同事思维的严密性需要进一步加强.三、设计思路1、由祖随原理推导柱、锥、球的体积.其知识设计结构图如下:2、结合唐特工作室的雾误悟教学思想：博学・审问•明辨•笃行的教学设计路线.在本节课的教学中我努力实践以下两点：(1)在课堂活动中通过师生合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式.(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，充分利用错误资源，力争在培养学生数学知识的同时让学生感受数学文化.（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，培养学生主动学习、善于观察、灵活应用的能力.四、教学目标根据班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：（1）理解祖唯原理的含义，理解利用祖唯原理计算几何体体积的方法；（2）在用祖唾原理推导柱、锥、球体体积的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；（3）通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感,提高学习数学的兴趣.五、教学重难点教学重点：理解祖瞄原理的含义，以及柱体、锥体、球体的体积公式的探究;教学难点：运用祖瞄原理推导球的体积，学生探究能力的培养.六、教学方法雾误悟、探究式、启发式七、教学过程：（-）【博学情境】课题引入，提出问题数学在人类历史的发展中，有着重要的作用，扮演着重要的角色，可以毫不夸张地说：如果咱们的生活离开了数学，那么人类的历史将无法展开。

教学设计
观察并动手操作，发现规
律并总结。

重点要理解“任意平面所截,而且截面的面积都相等”这个关键条件。

小实验引入祖暅原理并介绍这位数学家和其他著名的数学家。

利用祖暅原理推导柱体的体积通过化归，自主探究，协助学生深入理解知识，提高认知水平。

利用祖暅原理推导锥体的体积。

关键要想到割补法（教师提示。

学生证明三个锥体体积相等）。

通过类比，自主探究，化归到柱体，从而推导出锥体的体积公式。

利用祖暅原理推导半球的
体积。

关键要想到挖去一个倒立的圆锥（教师提示）。

学生证明圆环的面积与半球的截面面积相等。

通过类比，自主探究，转化到圆柱和圆锥的组合体，从而推导出球体的体积公式。

1.介绍三个特殊的三棱锥
2.典型例子讲解独立思考完成简单的练习
但高考题可通过合作探究
解答，培养空间思维。

1掌握通过三棱锥体
积相等求点到平面的
距离是常用的方法。

2重视几何体外接球
是高考重要考点。

七、板书设计。

高中数学必修二《祖暅原理与柱体锥体球体的体积》优
秀教学设计
一、教学的基本背景
1、知识背景
祖冲之原理是一个重要的古典几何定理，它的关键点在于三视图、二
视图、三维图之间的关系及其在设计几何图形时的应用。

余弦定理是利用
祖冲之原理，推导出的三角形余弦定理，它的关键点在于构建过一点的直
角三角形时，其另外两边的长度能够用余弦定理来求出。

此外，体积学中
柱体、锥体、球体的体积计算也是利用祖冲之原理，结合余弦定理进行推
导的，关键点在于利用余弦定理求出柱体、锥体、球体的边长，然后利用
它们的边长，结合特定的体积公式，求出它们的体积。

2、学生背景
该课是高中数学必修二的课程，上学期学生已经学完了几何图形的绘制、建模与分析，以及利用三视图构建二维图形以及利用三维图形构建三
维图形，对祖冲之原理也有一定的认识，但是对祖冲之原理在计算体积上
的应用还不是太熟悉。

二、教学目标
1、知识目标
（1）掌握祖冲之原理，以及如何利用祖冲之原理在三视图，二视图，三维图之间构建关系，利于设计几何图形；
（2）能够推导出三角形余弦定理，熟练掌握它的应用：构建过一点
的直角三角形时，计算另外两边长度；
（3）熟练运用祖冲之原理和三角形余弦定理。

《祖暅原理与球的体积》教学设计一、教材分析本节课的内容选自普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修2第一章第三节《球的体积和表面积》第一课时.球体作为一类特殊的旋转体，球的体积的推导过程充满了辩证法，处处体现立体图形与平面图形之间的对照、转换．本节课是学习球的体积的起始课，是在学习了柱体、锥体和台体的体积之后的又一重要内容，根据祖暅原理推出球的体积，也进一步巩固了等体积法在求空间几何体体积中的应用.从知识的应用价值来看，球的体积在生活和科学技术中有广泛的应用，体现了数学与生产和科学技术的紧密联系；在球的体积的推导中所蕴涵的数学思想方法如化曲为直、类比推理等在各种空间几何体的研究问题中都有着广泛的应用.从内容的人文价值来看，球的体积的推导需要学生分析、猜想、实验、计算，有助于培养学生的空间想象能力、逻辑思维和探究精神，是培养学生理性分析和数学能力的良好载体.二、学情分析高一学生在学习本节课内容之前，已经系统地学习了柱体和锥体的体积，并基本掌握祖暅原理在求几何体的体积上的应用，对等体积法有了初步的认识．通过空间几何体的结构特征的学习，学生已经对球体的性质有了一定的了解，具备一定的分析观察与逻辑推理能力,并有强烈的求知欲.三、教学目标1.知识与技能：1）观看几何画板的演示，理解球的体积与球的半径有关；2）类比柱体和锥体的体积公式的推导过程，探究球的体积公式；3）掌握两类基本的关于球的组合体计算问题，能根据已知条件分析组合体的结构特征，从而求出球的体积；2.过程与方法：1）实验探究球体的结构特征，提高观察及概括的能力；2）推导球体的体积公式，进一步渗透祖暅原理，提高观察、类比、分析、计算能力；3）对比两类组合体切、接问题，培养化曲为直、数形结合的思想.3.情感、态度与价值观：1）经历合作探究球的体积的过程，感受旋转体的和谐之美，激发学习兴趣，培养协作、交流能力；2）通过类比锥体、柱体得出球的体积，形成“用联系的观点看数学”的良好习惯；3）通过研究球的性质，培养学生善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度.四、教学重难点重点：球的体积公式的推导；难点：关于球的组合体的计算.五、教学策略选择与设计《球的体积》一课教学模式和策略设计旨在对素质教育如何落实在课堂教学的每一个环节上进行一些探索和研究.本课采用开放式课堂教学模式，以学生参与为主，教师启发、点拨的课堂教学策略.具体方法如下：1.讲授法：采用讲述、讲解和讲演结合的方式，引导学生发现并探索球的体积公式，对体积公式的推导进行细致分析与讲解.2.演示法：教师通过多媒体课件和几何画板展示，让学生从图形中直观感知球体的几何特征.3.练习法：通过及时提供相应例题，让学生学以致用，并在运用中加深理解，形成技能与技巧，培养了分析问题、解决问题的能力.六、教学资源与工具设计多媒体教室、几何画板演示课件、flash动画展示、PowerPoint幻灯片课件.【创设情境】观看图片，提出以下问题:【引导】生活中有很多球形的物体，怎样计算球的体积？教师展示生活中常见的球形的物体，启发学生思考如何计算球的体积，进而引出本节课要学习的内容“球的体积公式的推导”回顾祖暅【实验】取几个高与底面半径均为R 的旋转体体积对比，发现3331R V V V R ππ=<<=圆柱半球圆锥【猜想】圆锥圆柱半球V V R V -==332π通过几何画板展示动态图，引导学生分析几何体特征，进而抽象出平面图形，进一步证明猜想【问题】根据祖暅原理，我们如何构造模型？ 【步骤】1.给出如下几何模型：2.拿出圆锥和圆柱3.将圆锥倒立放入圆柱4.取出半球和新的几何体作它们的截面，截面图形分别为圆面和圆环.5.计算并比较两个截面的面积 【学生板演】 教师一步步引导学生思考如何构建模型如果截面和平面的距离为h ，那么圆面的半径22h R r -=，圆环面的大圆半径为R ，小圆半径为h ，因此 ()222h R r S -==ππ圆22h R S ππ-=圆环即圆环圆S S =根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即 R R R R V ⋅-⋅=223121ππ球【实验操作】 将圆锥和半球形容器装满蓝色液体，依次倒入圆柱形容器中【结论】圆锥圆柱半球V V V -=【公式】半径为R 的球的体积为 334R V π=将学生分为小组，每个小组自讨在课堂巡视各小组进度【例1】 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求球的体积与圆柱体积之比. 【学生解答】 分析：球内切于圆柱 解：设球的半径为R教师引导学生从分析组合体的特点，将立体图形化。

人教版高一数学必修二《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、》教案及教学反思一、教案设计1.教学目标通过本节课的学习，学生将会： - 了解祖暅原理的定义及其在几何学中的应用。

- 能够使用三视图来描述柱体和椎体的形状特征。

- 熟练掌握柱体和椎体表面积及体积的计算公式，并能够在实际问题中进行运用。

2.教学重点•祖暅原理的定义及其在几何学中的应用。

•柱体和椎体的三视图的绘制。

•柱体和椎体表面积及体积的计算公式及其运用。

3.教学难点•祖暅原理的具体应用及解题方法的讲解。

•柱体和椎体三视图的绘制方法。

4.教学方法•综合授课法；•讲解与练习相结合；•学生合作探究；•图像识别和计算机模拟。

5.教学过程5.1引入新知识通过展示一组物品的照片，如水瓶、柱形饮料广告牌等，引导学生理解并初步掌握祖暅原理的概念和应用。

5.2学生合作探究将学生分成小组，分别探究柱体和椎体的概念、形状特征以及表面积和体积的计算公式。

每个小组将自己的发现、总结和计算结果展示给全班同学。

5.3知识总结和归纳在学生合作探究的基础上，全班共同总结柱体和椎体的概念、形状特征以及表面积和体积的计算公式。

并分享实际问题中的操作技巧和解题方法。

5.4练习训练和答疑解惑在进行了相关练习和实例演练后，学生将进行答疑解惑，讨论疑难问题，并针对性地进行深入讲解。

5.5作业布置老师将按照教学进度和学生的掌握情况，布置相关的作业。

学生可以在完成作业的过程中，进一步巩固所学知识。

二、教学反思1.教学效果评估通过调查问卷的形式，对本课程进行了评估。

调查结果表明，学生们在课堂上有了更好的理解和掌握柱体、椎体及其相关知识点。

此外，学生对于课堂上的分组探究、练习训练等教学方法都持有较高的认可度。

2.优点本节课的优点： - 突出了学生的主体地位，采用学生合作探究和练习训练的教学方法，营造了积极向上的教学氛围。

- 尝试了不同的教学形式，通过展示照片、小组讨论、实际问题演练等方式丰富了教学内容，激发了学生的兴趣和主动性。