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计算方法论文浅谈拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的数值计算方法，用于构造一个多项式来逼近一些已知的离散数据点。
它被广泛应用于插值问题，如图像处理、物理实验数据处理、曲线拟合以及信号处理等领域。
本文将从原理、计算步骤以及优缺点三个方面，对拉格朗日插值法进行探讨。
拉格朗日插值法的基本原理是利用多项式的线性组合来逼近函数。
假设已知n+1个数据点：(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)，其中x0, x1, ... , xn是互不相同的。
我们的目标是通过已知的数据点构造一个多项式P(x)，使得在这n+1个数据点上有P(xi) = yi。
根据插值定理，只要这些数据点满足一定的条件，存在唯一的插值多项式。
下面我们来具体讨论拉格朗日插值法的计算步骤。
首先，我们需要构造一个基于已知数据点的拉格朗日基函数。
对于每个数据点(xi, yi)，我们定义一个拉格朗日基函数Li(x)，它满足在xi处取值为1，而在其他数据点xj上取值为0。
拉格朗日基函数的定义如下：Li(x) = Π(j=0, j≠i, n)(x - xj) / Π(j=0, j≠i, n)(xi - xj)其中，Π表示一系列数的乘积符号。
接下来，我们需要将基函数与其对应的函数值进行线性组合，得到插值多项式P(x)。
插值多项式的表达式如下：P(x) = Σ(i=0, n)Li(x) * yi最后，我们可以利用插值多项式来计算任意点的函数值。
拉格朗日插值法的优点在于相对简单和容易理解，它能够精确地通过已知的n+1个数据点来构造一个次数不超过n的多项式，实现对函数的逼近。
然而，拉格朗日插值法也存在一些缺点。
首先，拉格朗日插值法对于数据点的选择非常敏感，如果数据点的密度不均匀或者存在较大误差，那么插值结果可能会出现较大的误差。
此外，拉格朗日插值法在计算多项式系数时需要进行大量的乘法和除法运算，这在数据规模较大时可能会导致计算效率降低。
拉格朗日插值法在数值分析中的应用研究拉格朗日插值法是一种常用的数值分析方法，广泛应用于函数逼近、数据拟合、信号处理等领域。
本文将探讨拉格朗日插值法的原理、优缺点以及其在数值分析中的具体应用。
一、拉格朗日插值法原理拉格朗日插值法基于一个简单的思想：通过已知的离散数据点，构建一个多项式函数，该函数能够在给定的区间内，以已知数据点为插值节点，对未知数据进行逼近。
插值的多项式函数称为拉格朗日插值多项式。
设已知的离散数据为{(x₀, y₀), (x₁, y₁), ..., (xₙ, yₙ)}，其中xi为已知的节点，yi为相应数据点的函数值。
拉格朗日插值多项式L(x)可以表示为：L(x) = Σ(yᵢ * Li(x))其中Li(x)称为基函数，满足条件：Li(xi) = 1，Li(xj) = 0 (i ≠ j)。
二、拉格朗日插值法的优缺点拉格朗日插值法具有以下几个优点：1. 简单易懂：拉格朗日插值法的原理简单明了，易于理解和实现。
2. 精度较高：在节点较密集的情况下，拉格朗日插值多项式可以准确地逼近原始函数。
3. 适用范围广：拉格朗日插值法适用于各种类型的数据，包括等间隔数据和非等间隔数据。
然而，拉格朗日插值法也存在一些缺点：1. 多项式次数过高时，可能出现龙格现象：在某些情况下，拉格朗日插值多项式次数过高会引起振荡，降低插值的准确性。
2. 对于大规模数据的计算量较大：当节点数量较多时，计算拉格朗日插值多项式的复杂度较高。
三、拉格朗日插值法的应用拉格朗日插值法在数值分析中有着广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 数据拟合：给定一组离散数据点，我们可以使用拉格朗日插值法拟合出一个多项式函数，从而对未知的数据点进行估计。
这在科学实验中常用于实验数据处理和结果预测。
2. 函数逼近：对于已知的函数，我们可以通过设定一组插值节点，使用拉格朗日插值法将这个函数逼近为一个多项式函数。
这在数学建模和函数分析中非常有用。
一种新的精密星历内插方法孙鹏;赵长胜;王仁【摘要】Precise Point Positioning(PPP) is based on GPS precise ephemeris interpola‐tion .This article uses Generalized Barycentric Rational Interpolation for precise ephemeris interpolation ,and verifies that Sliding Generalized Barycentric Rational Interpolation is also feasible .T he experiment show s that ,Generalized Barycentric Rational Interpolation is pre‐cise and highly stable and can meet the demands of PPP.%G PS精密星历插值是精密单点定位的基础，本文将广义重心有理插值应用于G PS精密星历插值，同时验证了滑动广义重心有理插值算法在精密星历插值中的可行性，实验表明，滑动广义重心有理插值具有较好的稳定性及很高的内插精度，可以满足精密定位的需要。
【期刊名称】《全球定位系统》【年(卷),期】2015(000)006【总页数】3页(P89-91)【关键词】精密星历;拉格朗日插值;重心拉格朗日插值;广义重心有理插值【作者】孙鹏;赵长胜;王仁【作者单位】江苏师范大学测绘学院，徐州221116;江苏师范大学测绘学院，徐州221116;江苏师范大学测绘学院，徐州221116【正文语种】中文【中图分类】P228.4获取GPS卫星的在轨位置是GPS定位的关键问题,获取卫星坐标有两种方式,一种是广播星历,一种是精密星历。
广播星历通过导航电文的数据块Ⅱ直接发送给用户接收机,精度较低,不能满足精密定位需要。
1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。
基于拉格朗日的IGS精密星历和钟差插值分析
段清超;许宝成
【期刊名称】《水利科技与经济》
【年(卷),期】2016(022)009
【摘要】在GPS精密单点定位计算中,需要高精度卫星轨道位置及高采样率的钟差产品.采用滑动式拉格朗日内插方法,利用Matlab编程,对国际地球动力学服务机构(IGS)提供的精密星历和钟差进行加密计算,通过改变插值阶次和采用不同的采样率钟差产品进行插值计算,得出一些有益的结论.
【总页数】4页(P50-53)
【作者】段清超;许宝成
【作者单位】华北水利水电大学资源与环境学院,郑州450000;郑州工商学院建筑与测绘工程系,郑州450000
【正文语种】中文
【中图分类】TV212
【相关文献】
1.基于IGS精密星历的卫星坐标和钟差插值 [J], 宫厚诚;李全海
2.基于拉格朗日插值方法的GPS IGS精密星历插值分析 [J], 何玉晶;杨力
3.广义延拓插值法在 IGS 精密钟差插值中的应用 [J], 焦宁;田龙华;孙秀宁;韦铖
4.IGS精密星历和钟差的算法比较研究 [J], 张养安;李俊锋;薛兆元;李飞
5.基于频谱分析的IGS精密星历卫星钟差精度分析研究 [J], 黄观文;张勤;许国昌;王利
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计算方法拉格朗日插值拉格朗日插值是一种用于在给定数据点间进行插值的方法，它基于拉格朗日多项式的性质来进行计算。
拉格朗日插值可以用于任何数量的数据点，无论是线性插值还是高阶插值。
拉格朗日插值的基本思想是，使用多个插值点的拉格朗日多项式来逼近给定数据点。
具体而言，对于给定的插值点(x0, y0)，(x1, y1)，...，(xn, yn)，我们需要找到一个多项式P(x)来满足以下条件：P(xi) = yi，其中 i = 0, 1, ..., n。
假设我们要计算的插值点为x，那么根据拉格朗日插值的公式，多项式P(x)可以写为：P(x) = Σyi * Li(x)，其中 i = 0, 1, ..., n。
在上述公式中，Li(x)是拉格朗日基函数，可以用以下公式表示：Li(x) = Π(x - xj) / Π(xi - xj)，其中j ≠ i，i, j = 0,1, ..., n。
现在我们可以根据上述公式进行计算，以下是拉格朗日插值的详细步骤：1. 输入数据点的坐标 (x0, y0)，(x1, y1)，...，(xn, yn) 和待插值点的坐标 x。
2. 对于每个插值点(xi, yi)，计算拉格朗日基函数Li(x)。
3. 对于每个插值点(xi, yi)，计算插值多项式中对应的项 yi *Li(x)。
4.将所有项相加，得到插值多项式P(x)。
5.根据插值多项式P(x)，计算插值点x的函数值，即P(x)=y。
拉格朗日插值的优点是简单易懂，计算过程相对简单，但它也存在一些缺点。
拉格朗日插值的计算复杂度为O(n^2)，这意味着当数据点的数量较多时，计算会变得非常耗时。
此外，拉格朗日插值在边界点附近的插值结果可能会出现较大的误差。
为了减小计算量和提高插值的准确性，还有其他更高效的插值方法，如牛顿插值和样条插值。
这些方法在实际应用中经常被使用，具有更好的性能和更准确的插值结果。
利用精密星历计算北斗卫星坐标的方法探讨苏怡婷;肖琴琴【摘要】本文以北斗卫星的精密星历作为实验数据,采用不同的拟合方法计算卫星的三维坐标,对3种常用的方法,即多项式拟合法、拉格朗日插值法和切比雪夫多项式拟合法,所计算的卫星坐标结果进行分析与比较,最后得到了3种拟合方法中卫星位置误差与阶数的关系,得出了适合计算任意时刻北斗卫星坐标的拟合方法和阶数,并获得了不同轨道卫星与拟合方法的关系,可为今后的研究提供一定的理论基础.【期刊名称】《湖南城市学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(027)006【总页数】6页(P57-62)【关键词】精密星历;卫星坐标;多项式拟合法;拉格朗日插值法;切比雪夫拟合法【作者】苏怡婷;肖琴琴【作者单位】天津城建大学地质与测绘学院,天津 300384;湖南城市学院市政与测绘工程学院,湖南益阳 413000【正文语种】中文【中图分类】P228.1北斗卫星导航系统(Beidou Navigation Satellite System, BDS)是我国自主研制的一种全球卫星导航系统，是继全球定位系统(Global Position System, GPS)、伽利略卫星导航系统(Galileo Satellite Navigation System, GLONASS)之后第三个成熟的卫星导航系统[1]，是军事、民用和科学研究中发挥着重要作用的基础设施﹒近几年随着计算机技术的改进更新，北斗系统发展迅速，至2018年年底，北斗卫星导航系统将服务“一带一路”沿线国家和地区[2]﹒北斗卫星导航系统的功能有很多，其中获取卫星的位置是处理问题的关键，由于子午仪系统存在的卫星较少、不能实时定位和有间隔时间等影响，所以通过对国际卫星导航服务(Internation GPS Service for Geodynamics, IGS)等国际组织发布的精密星历(SP3格式)[3]进行内插，获取任意时刻的卫星坐标，从而进行卫星定位﹒北斗卫星星座是由中地球轨道卫星(Middle Earth Orbit, MEO)、倾斜地球同步轨道卫星(Inclined Geosynchronous Satellite Orbit, IGSO)、地球静止轨道卫星(The Geostationary Orbit, GEO)组成的混合星座[4]，而卫星轨道的不同也是影响拟合方法适用性的一个重要因素﹒本文采用2018年间隔5 min的不同轨道北斗卫星精密星历作为实验基础数据，根据多项式拟合法、切比雪夫拟合法和拉格朗日插值法的拟合原理，结合Matlab 软件编程[5]，并通过计算得出拟合误差，分析探讨各方法的优势与劣势，进而得出一些理论为今后的深入研究提供参考﹒多项式函数[6]是形式比较简单的函数，即从本质上讲，多项式拟合也是一个线性模型，其数学表达式为其中，n为多项式最高次数；代表的是x的i次幂；是的系数﹒对于卫星坐标，用拉格朗日插值法分别对X坐标、Y坐标和Z坐标进行拟合，已知函数的n+1个节点，，，，及其相应函数，，，，，对于插值区间任一点t，都可用如下公式计算[7-8]﹒其中t属于[0, 135]，并且在选取区间内满足所选取的卫星时刻至少为n+1个时刻，这里n为插值阶数，n+1为插值节点个数﹒利用公式计算切比雪夫多项式系数，设t属于[0, 135]，作以下变换[9-11]：切比雪夫多项式的递推公式为卫星坐标可用多项式表示为采用MEO、IGSO、GEO卫星2018年2月11日、2018年4月14日及2018年8月1日的144组精密星历作为实验数据，编写多项式拟合程序进行计算，得出残差表如表1~表3所示﹒从多项式拟合结果来看，MEO卫星和IGSO卫星，虽然2个轨道卫星的误差有所不同，但是总体走向大体一致﹒随着阶数增加，拟合误差明显减小；但阶数继续增加时，误差明显增大；拟合中间节点到两端节点呈逐渐增大的趋势；端点坐标的误差最大﹒对于MEO卫星，9阶和10阶误差较小，10阶Z轴误差较大，接近1 cm；IGSO卫星多项式拟合9阶误差最小；其它阶数拟合的误差含有异常值，拟合精度没有9阶高﹒GEO卫星与其它2个轨道的拟合误差有较大区别﹒在X轴上所有阶数误差都较大，从起始节点开始误差呈增大的趋势，末端节点的误差最大；Z轴所有阶数拟合误差相似，除去端点误差，其余节点拟合误差在5 mm内，误差较小；Y轴拟合误差随阶数增加而减小，但阶数到10以上时，误差增大，其9阶拟合误差较小，在2 dm内﹒综合3个坐标来看，拟合效果无法满足高精度卫星的定位要求，所以，多项式拟合法不适合GEO卫星坐标的拟合﹒采用MEO、IGSO、GEO卫星2018年2月11日、2018年4月14日及2018年8月1日的144组精密星历作为实验数据，利用拉格朗日插值程序进行计算，得出残差表如表4~表6所示﹒结果显示，拉格朗日插值法9阶及以下插值因实验数据较少，故拟合精度不高，误差值达到米级﹒MEO卫星9阶端点拟合误差在分米级，10阶以上拟合效果较好，拟合误差在4 mm内；IGSO卫星10阶以上拟合误差在8 mm内，11阶拟合误差小于2 mm，除去边缘误差，其余节点误差不超过1 mm，拟合效果最好，13阶拟合误差明显增大﹒其它所有阶数拟合效果相同的地方就是在首尾两端误差明显增大，出现不收敛的现象，这种现象叫做“龙格现象”，消除“龙格现象”的方法是尽可能使插值点位于插值区间的中间部分﹒GEO卫星X轴7~9阶右端节点处的拟合误差最大，随阶数增大整体误差逐渐减小，10~13阶拟合误差相对较小；Y轴10阶以上的拟合误差均在1 mm内；Z轴拟合误差没有明显的规律，7阶拟合实验数据较少，且误差较大﹒综合分析可知，11阶拟合误差趋于0，整体拟合效果最好﹒采用MEO、IGSO、GEO卫星2018年2月11日、2018年4月14日及2018年8月1日的144组精密星历作为实验数据，利用切比雪夫拟合程序进行计算，得出残差表如表7~表9所示﹒综合来看，切比雪夫拟合与拉格朗日拟合的效果相似，9阶误差达到厘米级，其它阶数拟合误差都在7 mm内，较大误差集中在端点﹒IGSO卫星与MEO卫星11阶拟合的X轴与Z轴拟合误差在1 mm内，与拉格朗日插值法11阶拟合效果相同，相比于其它阶数拟合，效果较好﹒GEO卫星坐标拟合9阶及以上与同卫星的拉格朗日法拟合效果相同，X轴上整体拟合效果较好，所有阶数拟合误差在8 mm内，11阶相对于其它阶数拟合效果较好，11阶的Y轴拟合误差在1 mm内﹒综合以上分析，11阶拟合效果可以满足高精度卫星的定位要求﹒通过在官网上下载SP3精密星历文件，选取起始历元在2018年2月11日0时0分0秒、2018年4月14日6时0分0秒以及2018年8月1日0时0分0秒的SP3精密星历文件作为实验基本数据﹒选取不同轨道卫星不同拟合方法的最优拟合阶数，即9阶多项式拟合、11阶拉格朗日插值拟合和11阶切比雪夫拟合，对其误差数据进行分析比对，通过以上3种方法，还可以拟合出任意时刻的卫星坐标﹒为了检查拟合的质量，选取量测时间间隔为5 min的北斗卫星PC10、PC11和PC01坐标，根据残差对其进行评定(在本文中，所得到的残差为相应时刻的卫星坐标减去所拟合的坐标)，然后将3种方法所得之最优精度拟合阶数的误差结果进行比较，得出最优拟合的方法，结果分别如表10~表12所示﹒群体标准偏差公式：其中，是各个坐标的误差；是3个坐标误差的平均值，即；N为样本个数﹒从以上结果看来，本次实验的综合结论是采用11阶的拉格朗日插值方法和11阶切比雪夫拟合法可以满足卫星坐标拟合的高精度要求，除去端点误差，拟合误差均在5 mm内﹒1)实验结果证明了MEO卫星轨道计算方法适用于IGSO卫星，但不适合GEO卫星(其轨道接近于0°)﹒2)多项式拟合法9阶拟合效果最好，但不适合GEO卫星的拟合，11阶拉格朗日插值法与真实卫星坐标最为接近，但拉格朗日法最大的不足是，当需要增加新的节点时，原有的编程公式要重新建立，此外还需要考虑节点间的距离与插值次数，若结点间距离很小但插值次数较高时就容易出现“龙格现象”，消除“龙格现象”的方法是尽可能使插值点位于插值区间的中间部分﹒3)切比雪夫拟合法在利用精密星历计算北斗卫星坐标的实践中，10阶拟合精度也比较好，但其数学模型相对复杂，计算中涉及矩阵求逆等运算，运算量较大，拟合效果次于拉格朗日10阶的拟合效果﹒从误差比较和实际操作来看，拉格朗日插值法最适合此次实例研究，且原理简单，可为生产实践提供参考﹒【相关文献】[1]赖山东, 王有亮, 黄河清. 利用精密星历计算卫星位置方法的比较[J]. 江西测绘, 2009(2): 35-37.[2]刘季. 北斗GEO卫星位置计算方法探究[J]. 测绘地理信息, 2012, 37(5): 33-36.[3]洪樱, 欧吉坤, 彭碧波. GPS卫星精密星历和钟差三种内插方法的比较[J]. 武汉大学学报: 信息科学版, 2006, 31(6): 516-518.[4]陈端阳, 王忠军, 陈洪卿. 北斗系统时间(BDT)的认知与应用[J]. 数字通信世界, 2013(8): 44-48.[5]万亚豪, 张书毕, 侯东阳. GPS精密星历插值法与拟合法的精度分析[J]. 全球定位系统, 2011(2): 40-44.[6]魏二虎, 柴华. GPS精密星历插值方法的比较研究[J]. 全球定位系统, 2006(5): 13-15.[7]赵辉, 张书毕, 张秋昭, 等. 基于质心拉格朗日插值的GPS轨道标准化方法[J]. 全球定位系统, 2011(2): 15-18.[8]彭泽泉. GPS精密星历拟合方法的研究[J]. 测绘科学, 2010, 35(增1): 63-65.[9]余鹏, 孙学金, 赵世军. GPS定位中卫星坐标计算的切比雪夫多项式拟合法[J]. 气象科技, 2004, 32(3): 198-200.[10]杨学锋, 程鹏飞, 方爱平, 等. 利用切比雪夫多项式拟合卫星轨道坐标的研究[J]. 测绘通报, 2008(12): 1-3.[11]孔巧丽. 用切贝雪夫多项式拟合GPS卫星精密坐标[J]. 测绘通报, 2006(8): 1-3.。
高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式解答：1.拉格朗日插值函数：function y=lagrange (a,b,x)y=0;if length(a)==length(b)n=length(a);else disp('ERROR!length(a)!=length(b)')return;endfor i=1:nk=1;for j=1:nif j~=ik=k.*(x-a(j))/(a(i)-a(j));endendy=y+k*b(i);end2.问题（a）：function Q_am=100;n=10;x=-1:2/n:1;y=1./(1+9*x.^2);x0=-1:2/m:1;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+9*x0.^2);plot(x0,y0,'--r');hold on;plot(x0,y1,'-b');end3.问题（b）：function Q_bm=100;n=10;x=zeros(1,n+1);for i=1:n+1x(i)=cos((2*i-1)*pi/(2*n+2)); endy=1./(1+9*x.^2);x0=-1:2/m:1;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+9*x0.^2);plot(x0,y0,'--r');hold on;plot(x0,y1,'-b');end4.问题（c）：main.m（m文件）figure(1)Q_a()figure(2)Q_b()syms xy=1/(1+9*x^2);I0=int(y,-1,1);%准确值n=10;x=-1:2/n:1;y=1./(1+9*x.^2);I1=trapz(x,y);%复合梯形x0=zeros(1,n);for i=1:nx0(i)=(x(i)+x(i+1))/2;endy0=2/n*1./(1+9*x0.^2);I2=I1/3+2*sum(y0)/3;%复合辛普森x1=[-0.5384693101 0.5384693101 -0.9061798459 0.9061798459 0];y1=1./(1+9*x1.^2);A=[0.4786286705 0.4786286705 0.2369268851 0.2369268851 0.5688888889]; I3=y1*A'; %高斯5总结：(1).使用等距节点构造的高次拉格朗日插值多项式在正负1附件，插值值与真实值偏差非常大，存在较大的震荡。
