下载文档原格式
2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理1．归纳推理与类比推理[提示]归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．合情推理合情推理→从具体问题出发――――――――――――经过观察、分析、比较、联想再进行归纳、类比1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )A ．归纳推理B ．类比推理C ．没有推理D ．以上说法都不对B [推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．]2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形的面积S 扇＝( )A.r 22B.l 22C.lr 2D ．不可类比C [结合类比推理可知S 扇＝lr2.]3．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，每个图形总的点数记为a n ，则a 6＝________，a n ＝________(n >1，n ∈N *)．15 3n －3 [依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a 6＝3×6－3＝15.由n ＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得a n ＝3n －3(n >1，n ∈N *)．]数、式中的归纳推理【例1】 (1)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为________． (2)已知：f (x )＝x1－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n >1，且n ∈N *)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________．(3)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，满足S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)． ①求a 2，a 3，a 4的值； ②猜想a n 的表达式．(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2 (2)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x 1－2n －1x[(1)12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2 ＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n ) ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. (2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x 1－x.又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x 1－x 1－x 1－x＝x1－2x ， f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x 1－2x1－2×x 1－2x ＝x 1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x 1－4x 1－4×x 1－4x ＝x 1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x 1－8x 1－8×x 1－8x＝x 1－16x， 根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.](3)解：①因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)， 所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32， 又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34， 又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34， 解得a 4＝38.②由①知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322， a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．进行数、式中的归纳推理的一般规律 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点； ④运用归纳推理得出一般结论.(2)数列中的归纳推理,在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和公式.①通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；②根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式.1．(1)数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________． (2)已知下列各式： 1＞12， 1＋12＋13＞1，1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＞32， 1＋12＋13＋…＋115＞2， …，请你归纳出一般性结论：________.(1)65 (2)1＋12＋13＋…＋12n －1＞n2 [(1)因为4＋1＝5, 8＋1＝9, 16＋1＝17,32＋1＝33，猜测x ＝64＋1＝65.(2)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增加1，且终止项为2n －1，不等式右边依次为12，22，32，42，…，从而归纳得出一般结论：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2.]几何图形中的归纳推理【例2】 (1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．(2)根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．(1)5n＋1(2)509[(1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.]利用归纳推理解决几何问题的两个策略(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式.(2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再求通项公式.2．如图所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根．163n＋1[数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第5个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．]类比推理及其应用三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成下列探究点： [探究问题]1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．2．三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高的乘积的13. 【例3】 (1)在等差数列{a n }中，对任意的正整数n ，有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －12n －1＝a n .类比这一性质，在正项等比数列{b n }中，有________．(2)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A -BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，写出△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间的关系，并给予必要证明．思路探究：(1)类比等差数列及等比数列的性质求解．(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . [解] (1)由a 1＋a 2＋…＋a 2n －1类比成b 1·b 2·b 3…b 2n －1，除以2n －1，即商类比成开2n －1次方，即在正项等比数列{b n }中，有2n －1b 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n .(2)△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 证明如下：如图，设直线OD 与BC 相交于点E ，∵AD ⊥平面ABE ， ∴AD ⊥AE ，AD ⊥BC ， 又∵AO ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥DE ，AO ⊥BC . ∵AD ∩AO ＝A ， ∴BC ⊥平面AED ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE . ∴S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·OE, S △BCD ＝12BC ·DE .在Rt △ADE 中，由射影定理知AE 2＝OE ·DE ，∴S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD . 1．(变条件1·cos α＋类比推理的一般步骤1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．2．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想1．判断正误(1)利用合情推理得出的结论都是正确的．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．()(3)由个别到一般的推理为归纳推理．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．把3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，如图所示，则第六个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30B [第一个三角形数是1＋2＝3， 第二个三角形数是1＋2＋3＝6， 第三个三角形数是1＋2＋3＋4＝10.因此，归纳推理得第n 个三角形点数是1＋2＋3＋4＋…＋n ＋1＝(n ＋1)(n ＋2)2(个)．由此可以得出第六个三角形点数是28.] 3．等差数列{a n }中有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，且n ∈N *)，类比以上结论，在等比数列{b n }中类似的结论是________．b 2n ＝b n －1b n ＋1(n ≥2，且n ∈N *) [类比等差数列，可以类比出结论b 2n ＝b n －1b n＋1(n ≥2，且n ∈N *)]4．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．[解] 如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b2c 2＝1.于是把结论类比到四面体P -A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P -A ′B ′C ′中，若三个侧面P A ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.。
![数学：2[1].1《合情推理与演绎证明--合情推理》PPT课件(新人教A版-选修1-2)](https://img.taocdn.com/s1/m/33509701bd64783e08122b1f.png)
2．1.1合情推理填一填1.归纳推理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．(2)特征：由部分到整体，由个别到一般．2．类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：由特殊到特殊的推理．3．合情推理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．简言之，合情推理就是“合乎情理”的推理．(2)推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想判一判1.解析：符合归纳推理的特征，故正确．2．类比推理得到的结论可作为定理应用．(×)解析：类比得到的结论不一定是正确的，故错误．3．统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．(√) 解析：符合由特殊到一般的特征，故正确．4．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)解析：平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适，故错误．5.23<2＋13＋1，23<2＋23＋2，23<2＋33＋3，…由此猜想：23<2＋m3＋m(m为正实数)．上述推理是归纳推理．(√)解析：符合归纳推理的由特殊到一般的特征，故正确．6．由平面内平行于同一直线的两直线平行，猜想：空间中平行于同一平面的两个平面平行．此推理是类比推理．(√)解析：符合由特殊到特殊的特征，故正确．想一想1.提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．合情推理的作用提示：合情推理主要包括归纳推理和类比推理．在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．思考感悟：练一练1．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，….猜想第n (n ∈N *)个等式应为( )A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ．9(n －1)＋n ＝10n －9C ．9n ＋(n －1)＝10n －1D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10解析：9×0＋1＝1＝10－9,9×1＋2＝11＝10×2－9,9×2＋3＝21＝10×3－9,9×3＋4＝31＝10×4－9，…，猜想第n (n ∈N *)个等式应为9(n －1)＋n ＝10n －9，故选B. 答案：B2．三角形的面积S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4为四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)解析：设△ABC 的内心为O ，连接OA ，OB ，OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a ，b ，c .类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，半径为r ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .故选C.答案：C3．观察下列各式：m ＋n ＝1，m 2＋n 2＝3，m 3＋n 3＝4，m 4＋n 4＝7，m 5＋n 5＝11，…，则m 11＋n 11＝________.解析：由m ＋n ＝1，m 2＋n 2＝3，m 3＋n 3＝4，m 4＋n 4＝7，m 5＋n 5＝11，…，可以发现从第3个等式开始，等式右边的数字等于前两个等式的右边的数字之和，依次计算可得m 11＋n 11＝199.答案：1994．若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn(n ∈N *)构造的新数列{b n }也是等差数列．类比上述性质可得，若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n >0，则由d n ＝________(n ∈N *)构造的新数列{d n }也是等比数列．解析：由等差、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性．等差数列与等比数列的类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比．由此猜想d n ＝nc 1c 2c 3…c n (n ∈N *)．答案：nc 1c 2c 3…c n知识点一归纳推理1.数列A ．28B ．32C ．33D ．27解析：由前几个数字可归纳出此列数字为：2,5,11,20,32,47，∴答案为B 项． 答案：B2．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A 项正确．答案：A3．如图所示，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层，第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题：(1)按照要求填表：(2)S 10＝________解析：S 1＝1，S 2＝3＝1＋2，S 3＝6＝1＋2＋3， 推测S 4＝1＋2＋3＋4＝10，…S 10＝1＋2＋3＋…＋10＝55. 答案：(1)10 (2)554．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n 边形有几条对角线？解析：因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，…，于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线，由此凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)，由等差数列求和公式可得12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．所以凸n 边形的对角线条数为1n (n －3)(n ≥4，n ∈N *).5.①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”； ②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab ”．其中类比结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故选B. 答案：B6．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边；(2)中位线长等于底边长的一半； (3)三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的有( ) A ．(1) B ．(1)(2)C ．(1)(2)(3)D ．都不对解析：以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．答案：C7．我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.通过类比的方法，可求得在空间中，点(2,4,1)到平面x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5C.5217D ．3 5解析：类比点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，可知在空间中，点P (x 0，y 0，z 0)到平面Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2.点(2,4,1)到平面x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离d ＝|2＋8＋2＋3|1＋4＋4＝5.答案：B8．在矩形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．解析：如图①，在矩形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c2＝1. 于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1，证明如下：如图②，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.基础达标一、选择题1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形的面积S 扇＝( )A.r 22B.l 22C.lr2D ．不可类比 答案：C2．由“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”得到“若a ＞b ，则ac ＞bc ”采用的是( ) A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．数学证明 答案：C3．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应图中的①②③④，那么图中的⑤⑥所对应的运算结果是( )A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D解析：由图中①②③④得，A表示“|”，B表示“□”，C表示“—”，D表示“○”，故图中⑤⑥所对应的运算结果分别为B*D和A*C.故选B.答案：B4．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 018的末两位数字为()A．01 B．43C．07 D．49解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2 018＝4×504＋2，所以72 018的末两位数字与72的末两位数字相同，为49.答案：D5．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26 B．31C．32 D．36解析：方法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.方法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6块有纹正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.答案：B6．n个连续自然数按规律排列(如图所示)．根据规律，从2 016到2 018，箭头的方向依次是()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓解析：观察数字排列的规律知，位置相同的数字是以4为公差的等差数列，故可知从2 016到2 018的箭头的方向依次为↓→.故选A.答案：A7．设n 棱柱有f (n )个对角面，则(n ＋1)棱柱的对角面的个数f (n ＋1)等于( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1 D ．f (n )＋n －2解析：对于n 棱柱，由于过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能确定一个对角面，所以过每一条侧棱可确定(n －3)个对角面，所以过n 条侧棱可确定n (n －3)个对角面，又因为这些对角面相互之间重复计算了，所以过n 条侧棱共可确定n (n －3)2个对角面，所以可得f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋1)(n ＋1－3)2－n (n －3)2＝n －1，故f (n ＋1)＝f (n )＋n －1.故选C.答案：C 二、填空题8．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD →＝12AB →＋AC →，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：________________________________.解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．答案：在四面体A -BCD 中，G 是△BCD 的重心，则AG →＝13()AB →＋AC →＋AD →9．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O -xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示________．解析：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，因此应得到：在空间直角坐标系O -xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示过原点的平面． 答案：过原点的平面10．观察由火柴棒拼成的一系列图形(如图所示)，第n 个图形是由n 个正方形组成．通过观察可以发现：在第4个图形中，火柴棒有________根；第n 个图形中，火柴棒有________根．解析：第1个图形有4根火柴棒，第2个图形有7根火柴棒，第3个图形有10根火柴棒，第4个图形有13根火柴棒，…，猜想第n 个图形有(3n ＋1)根火柴棒．答案：13 3n ＋111．蜜蜂被认为是自然界中杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第1个图有1个蜂巢，第2个图有7个蜂巢，第3个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则f (n )＝________.解析：由题可得，f (4)＝37，f (5)＝61.由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，f (4)－f (3)＝37－19＝3×6，f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…，因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1.答案：3n 2－3n ＋112．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 8三、解答题13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )， 试计算f (1)，f (2)，f (3)的值，并推测出f (n )的表达式．解析：因为a 1＝14，a 2＝19，a 3＝116，所以f (1)＝1－a 1＝34，f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝⎝⎛⎭⎫1－14×⎝⎛⎭⎫1－19＝34×89＝23， f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝34×89×1516＝58，推测f (n )＝n ＋22(n ＋1)(n ∈N *)．14．在Rt △ABC 中，若C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 外接圆半径r ＝a 2＋b 22.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，求其外接球的半径R .解析：通过类比可得R ＝a 2＋b 2＋c 22. 证明过程为：作一个在同一个顶点处棱长分别为a ，b ，c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长是a 2＋b 2＋c 2，故这个长方体的外接球的半径是a 2＋b 2＋c 22，这也是所求的三棱锥的外接球的半径.能力提升15.图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1)＋…＋1f (n )－1的值．解析：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …由上面规律，得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒ f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n .所以1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n. 16．如图(1)，在三角形ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC ，则AB 2＝BD ·BC .若类比该命题，如图(2)，三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是不是真命题．解析：命题是：三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有S 2△ABC ＝S △BCM ·S △BCD .此命题是一个真命题． 证明如下：在图(2)中，延长DM 交BC 于E ， 连接AE ，则有DE ⊥BC .因为AD ⊥平面ABC ， 所以AD ⊥AE . 又AM ⊥DE ，所以AE 2＝EM ·ED .于是S 2△ABC ＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AE 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·EM ·⎝⎛⎭⎫12BC ·ED ＝S △BCM ·S △BCD .。
