2018年高考总复习知识导学案(文科)2.5指数与指数函数

第5讲 指数与指数函数最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.了解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.知 识 梳 理1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －m n＝1a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .3.指数函数及其性质(1)概念；函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.( )(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( )(3)函数y＝2x－1是指数函数.( )(4)函数y＝a x2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).()解析(1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错.(2)(－1)24＝4（－1）2＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y＝a x(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴a x2＋1≥a.故y＝a x2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A.－9B.7C.－10D.9解析原式＝(26)12－1＝8－1＝7.答案 B3.函数y＝a x－a－1(a>0，且a≠1)的图象可能是( )解析 函数y ＝a x－1a 是由函数y ＝a x的图象向下平移1a个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a>1，平移距离大于1，所以C 项错误，故选D. 答案 D4.(2015·山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <cD.b <c <a解析 根据指数函数y ＝0.6x 在R 上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c ＝1.50.6>1，∴b <a <c . 答案 C5.指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________. 解析 由题意知0<2－a <1，解得1<a <2. 答案 (1，2)6.(2017·金华模拟)设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.解析 由一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15，则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215.答案14 215考点一 指数幂的运算【例1】 化简：(1)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 解 (1)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】 化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5.解 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a－13－12－16·b 12＋13－56＝1a. 考点二 指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是()(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称， 又e |x |≥1，∴f (x )的值域为(－∞，0]， 因此排除B 、C 、D ，只有A 满足.(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]. 答案 (1)A (2)[－1，1]规律方法 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【训练2】 (1)(2017·福建五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是()(2)方程2x＝2－x 的解的个数是________.解析 (1)因为当x ≤0时，2x ≤1；当x >0时，2x >1.则f (x )＝1⊕2x＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，1，x >0，图象A 满足.(2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解. 答案 (1)A (2)1考点三 指数函数的性质及应用(易错警示) 【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73B.0.6－1>0.62C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1 (2)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值； ③若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值. (1)解析 A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确；C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B. 答案 B(2)解 ①当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).②令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.③由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0. 规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.【训练3】 (1)(2015·天津卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.c <a <b C.a <c <bD.c <b <a(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 13，x ≥8，2e x －8，x <8，则使得f (x )≤3成立的x 的取值范围是________.解析 (1)由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x >0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，所以log 25>|－log 23|>0， 所以b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )＝f (0)， 故b ＞a ＞c ，选B.(2)当x ≥8时，f (x )＝x 13≤3，∴x ≤27，即8≤x ≤27；当x <8时，f (x )＝2e x －8≤3恒成立，故x <8. 综上，x ∈(－∞，27]. 答案 (1)B (2)(－∞，27][思想方法]1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a 的大小，当底数a 与1的大小关系不确定时应分0<a <1和a >1两种情况分类讨论. [易错防范]1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·衡水中学模拟)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c的大小关系是( ) A.c <a <b B.c <b <a C.a <b <cD.a <c <b解析 当x >1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝log 23x <0，所以c <a <b .答案 A2.函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A.a >1，b <0 B.a >1，b >0 C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0解析 由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. 答案 D3.(2017·德州一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A.a <b <cB.c <b <aC.c <a <bD.b <c <a解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在R 上为减函数，35>25，∴b <c .又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a . 答案 D4.(2017·安阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于()A.1B.aC.2D.a 2解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1. 答案 A5.(2017·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减. 答案 B 二、填空题6.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.答案 27.(2017·温州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x >1，则f (f (2))＝________，不等式f (x －3)<f (2)的解集为________. 解析 f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12， ∴f (f (2))＝12，当x －3>1时，即x >4时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3－1<12，解得x >5， 当x －3≤1时，即x ≤4时，x －3<12，解得x <72， 综上所述不等式f (x －3)<f (2)的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <72或x >5. 答案 12 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <72或x >5 8.(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________.解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≥1，e|x －2|，x <1. 当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.答案 e三、解答题9.已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1). (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立.解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}.对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x ).∴f (x )是偶函数.(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0， 即1a x －1＋12>0，即a x ＋12（a x －1）>0，则a x >1. 又∵x >0，∴a >1.因此a >1时，f (x )>0.10.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数. (1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1， 所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数).又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1).因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13， 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t |t >1或t <－13. 能力提升题组(建议用时：25分钟)11.若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞) 解析 因为2x >0，所以由2x (x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1，所以a >－1. 答案 D12.已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A.a <0，b <0，c <0B.a <0，b ≥0，c >0C.2－a <2cD.2a ＋2c <2解析 作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示，∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知a <0，0<c <1，∴0<2a <1，1<2c <2，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2.答案 D13.(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解析 依题意，f (1)＝12，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0. ∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x . 答案 －2x (x <0)14.已知函数f (x )＝m ·6x －4x ，m ∈R .(1)当m ＝415时，求满足f (x ＋1)>f (x )的实数x 的范围； (2)若f (x )≤9x 对任意的x ∈R 恒成立，求实数m 的范围.解 (1)当m ＝415时，f (x ＋1)>f (x )， 则415·6x ＋1－4x ＋1>415·6x －4x ，整理得43·6x >3·4x ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >⎝ ⎛⎭⎪⎫322，解得x >2，即实数x 的取值范围是(2，＋∞). (2)因为对任意的x ∈R ，f (x )≤9x 恒成立，则m ·6x －4x ≤9x ，整理得m ≤4x ＋9x 6x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23x . 对任意的x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x >0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ≥2，则m ≤2，即实数x 的取值范围是(－∞，2]. 15.(2017·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数).(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ， ∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数.又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)存在.由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立，⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12.∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立.。

2.5 指数与指数函数典例精析题型一 指数及其运算 【例1】计算：(1)214- •2133231)()1.0()4(---b a ab ； (2)(0.027)31-－(－17)－2＋(279)21－(2－1)0.【解析】(1)原式＝100442321•-·32a ·32-a·32-b ·32b ＝125.(2)原式＝(271 00031)-－(－1)－2(17)－2＋(25921)－1＝103－49＋53－1＝－45. 【点拨】进行指数的乘除运算时，一般先化成相同的底数.【变式训练1】已知a ，b 是方程9x2－82x ＋9＝0的两根，求3131b a ba --－3131b a ba ++的值. 【解析】a ＋b ＝829，ab ＝1.原式＝231a 31b ＝2(ab)31＝2. 题型二 指数函数性质的应用【例2】已知函数f(x)＝2x －12x ＋1，其中x ∈R.(1)试判断函数f(x)的奇偶性； (2)证明f(x)是R 上的增函数.【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为x ∈R ，且f(－x)＝1212+---x x ＝1－2x 1＋2x＝－f(x)， 所以f(x)为R 上的奇函数. (2)证明：设x1，x2∈R ，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝121211+-x x －121222+-x x=)2()2(2211112121+++++-x x x x ＜0， 所以f(x)是R 上的增函数.【点拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于1还是小于1，如果不能确定底数的范围应分类讨论.【变式训练2】函数y＝ex ＋e －xex －e －x的图象大致为( )【解析】A.题型三 指数函数的综合应用 【例3】已知函数f(x)＝2x －12|x|.(1)若f(x)＝2，求x 的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】f(x)＝2x －12|x|＝⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,212x x x x(1)因为f(x)＝2，所以2x －12x＝2. 因为x≥0，所以2x ＝1＋2，解得x ＝log2(1＋2).(2)因为t ∈[1,2]，所以2tf(2t)＋mf(t)≥0可化为2t(22t －122t )＋m(2t －12t )≥0，即m(22t －1)≥－(24t －1).因为22t －1＞0，所以上式可化为m≥－(22t ＋1). 又因为－(22t ＋1)的最大值为－5，所以m≥－5.故使得2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t ∈[1,2]恒成立的实数m 的取值范围是[－5，＋∞). 【变式训练3】已知函数f(x)＝|2x －1|，a ＜b ＜c ，且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中一定成立的是( )A.a ＜0，b ＜0，c ＜0B.a ＜0，b≥0，c ＞0C.2－a ＜2cD.2a ＋2c ＜2 【解析】D. 总结提高1.增强分类讨论的意识，对于根式na 的意义及其性质要分清n 是奇数，还是偶数，指数函数的图象和性质与底数a 的取值范围有关，研究与指数函数有关的问题时，要注意分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论.2.深化概念的理解与应用，对于分数指数幂中幂指数为负数的情形，要注意底数a的取值限制.3.掌握指数函数的图象与性质，能利用数形结合的思想解决有关问题.。

2.5指数与指数函数考试要求1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数的图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.基础回顾1.指数幂的概念(1)根式如果一个数的ｎ次方等于a （ｎ＞１且ｎ∈*N ）那么这个数叫做a 的ｎ次方根.也就是，若a x n =，则x 叫做 ，其中ｎ＞1且ｎ∈*N .式子；叫做 ，这里ｎ叫做 ，a 叫做 ．(2)根式的性质①当ｎ为奇数时，正数的ｎ次方根是一个正数，负数的ｎ次方根是一个负数，这时，a 的ｎ次方根用符号 表示.②当ｎ为偶数时，正数的ｎ次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的ｎ次方根用符号 表示，负的ｎ次方根用符号 表示.正负两个ｎ次方根可以合写为 （a ＞０）. ③=n n a )( ． ④当ｎ为奇数时，=n n a ； 当ｎ为偶数时，=n n a ｜a ｜＝ ．⑤负数没有偶次方裉.⑥零的任何次方根都是零.(3)分数指数幂的意义 ①)1,,0________(*>∈>=n N n m a an m 且 ②)1,,0________(*>∈>=-n N n m a a n m且(4)有理数指数幂的运算性质 ①),.0( ________Q s Q r a a a s r∈∈>=⋅②),.0( ________Q s Q r a a a s r ∈∈>=÷③),.0( ________Q s Q r a a s r ∈∈>=）（④),0.0( ________)(Q r b a ab s ∈>>=2.指数函数(1)指数函数的定义：一般地，函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量(2)指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象及性质：基础自测1.下列运算正确的是（ ）A.2332)()(a a -=-B.532)(a a -=-C.532)(a a =-D.632)(a a -=-2.若函数x a a a y )33(2+-=是指数函数，则有（ ）A.a ＝1或a ＝2B.a ＝1C.a ＝2D.10≠>a a 且3.设指数函数)(x f )10(≠>=a a a x 且，则下列等式不正确的是( )A.)()()(y f x f y x f ∙=+B. )()())((y f x f xy f n n n ∙=C.)()()(y f x f y x f =- D. )()(x f nx f n = 4.R x x f x ∈=,)21()(||,那么)(x f 是( ) A.奇函数且在(0,+ ∞)上是增函数B.偶函数且在(0,+ ∞)上是增函数C.奇函数且在(0,+ ∞)上是减函数D.偶函数且在(0,+ ∞)上是减函数5.函数{2),2(2,2)(<+≥-=x x f x x x f ，则f (－3)的值为 .例题选讲例1已知a ，b 是方程0462=+-x x 的两根，且a ＞b ＞0，求b a +的值.例2巳知函数R x x f x ∈=+,)21()(|2| (1）作出图象；(2)指出该函数的单调递增区间；(3)求值域例3指数函数x aby )(=的图象如图所示，求二次函数bx ax y +=2的顶点横坐标的取值范围.例4已知定义在R 上的奇函数)(x f 有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，142)(+=x xx f . (1)求)(x f 在[－1,1]上的解析式；(2)求证：)(x f 在(0,1)上是减函数.。

第5讲 指数与指数函数, )1．根式 (1)根式的概念①若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n ＞1时，xn 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，n ＞1)．②n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mna >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a mn＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质1．辨明三个易误点(1)指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等．(2)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.(3)在解形如a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．2．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .1.教材习题改编 化简12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9B2.教材习题改编 设x ＋x －1＝3，则x 2＋x －2的值为( ) A ．9 B ．7 C ．5D ．3B 因为x ＋x －1＝3.所以(x ＋x －1)2＝9，即x 2＋x －2＋2＝9， 所以x 2＋x －2＝7. 3．函数f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x－1 D ．y ＝log 2(2x )A 由f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y ＝1－x 的图象上．4.教材习题改编 若a >1且a3x ＋1>a－2x，则x 的取值范围为________．因为a >1，所以y ＝a x为增函数， 又a3x ＋1>a－2x，所以3x ＋1>－2x ，即x >－15.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，＋∞ 5．若指数函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. (－2，－1)∪(1，2)指数幂的运算化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312. 【解】 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312 ＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.(1)原式＝0.32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100. (2)原式＝2（4ab －1）3210a 32b －32＝16a 32b－3210a 32b －32＝85.指数函数的图象及应用(1)函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)若方程|3x－1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________． 【解析】 (1)由f (x )＝a x －b的图象可以观察出函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝ax －b的图象是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)函数y ＝|3x－1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点， 所以方程有一解．【答案】 (1)D (2){0}∪上单调递减，则k 的取值范围如何？由本例(2)作出的函数y ＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k ∈(－∞，0]．指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．方程|a x－1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点．(1)当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜2a ＜1，即 0＜a ＜12；(2)当a ＞1时，如图②，而y ＝2a ＞1不符合要求．所以0＜a ＜12.⎝⎛⎭⎪⎫0，12指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下四个命题角度： (1)比较指数幂的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)研究指数型函数的性质；(4)求解指数型函数中参数的取值范围．(1)(2016·高考全国卷丙)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b(2)(2017·福州模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(3)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则不等式f (x －2)＞0的解集为________． 【解析】 (1)因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b ＜a ＜c .(2)当a ＜1时，41－a＝21，所以a ＝12；当a ＞1时，代入不成立． (3)f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝f (－x )＝2－x－4.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x －4，x ＜0，当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4＞0 或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0， 解得x ＞4或x ＜0.所以不等式的解集为{x |x ＞4或x ＜0}． 【答案】 (1)A (2)12(3){x |x ＞4或x ＜0}有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．角度一 比较指数幂的大小1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜aC 因为指数函数y ＝0.6x在(－∞，＋∞)上为减函数， 所以0.60.6＞0.61.5，即a ＞b ，又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，所以a ＜c ，故选C.角度二 解简单的指数方程或不等式 2．(2015·高考江苏卷)不等式2x 2－x<4的解集为________．因为2x 2－x<4，所以2x 2－x<22，所以x 2－x <2，即x 2－x －2<0，所以－1<x <2. {x |－1<x <2}(或(－1，2))角度三 研究指数型函数的性质3．(2017·太原模拟)函数y ＝2x －2－x是( ) A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减A 令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，排除C 、D.又函数y ＝－2－x，y ＝2x 均是R 上的增函数，故y ＝2x －2－x在R 上为增函数．角度四 求解指数型函数中参数的取值范围4．已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是，则a ＋b ＝________．当a ＞1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a＜1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b＝－32.－32, )——利用换元法求解指数型函数的值域问题函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在x ∈上的值域是________． 【解析】 因为x ∈，若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8.y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57(1)此题利用了换元法，把函数f (x )转化为y ＝t 2－t ＋1，其中t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值(值域)问题，从而减少了运算量．(2)对于同时含有a x 与a 2x (log a x 与log 2a x )(a >0且a ≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t ＝a x(t ＝log a x )进行换元巧解，但一定要注意新元的范围．已知函数f (x )＝2a ·4x－2x－1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x－2x－1＝2(2x )2－2x－1， 令t ＝2x，x ∈，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解．记g (m )＝2am 2－m －1， 当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立． 当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立，当a ＞0时，开口向上， 对称轴m ＝14a ＞0，过点(0，－1)必有一个根为正， 所以a >0.综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．, )1．化简（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD ．1aD 解析] 原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a－13－12－16·b 12＋13－56＝1a. 2．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( )A ．B ．C ．D ． 由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，可知C 正确．3．函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是()D 当a >1时函数单调递增，且函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为0<1－1a<1，故A ，B均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数图象恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为1－1a<0，所以选D.4．(2017·德州模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <aD 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x为减函数，所以b <c ，又因为y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，所以a >c ， 所以b <c <a ，故选D.5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a <1， 所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3，1)． 6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．B 由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在上递增，在，则实数a ＝________． 当a >1时，f (x )＝a x－1在上为增函数，则a 2－1＝2，所以a ＝±3，又因为a >1，所以a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x－1在上为减函数， 又因为f (0)＝0≠2，所以0<a <1不成立． 综上可知，a ＝ 3.38．已知函数f (x )＝e x－e －xe x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________．因为f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x ，f (a )＝－12，所以e a －e －ae a ＋e －a ＝－12.所以f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12.129．(2017·济宁月考)已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．(0，1)∪(2，＋∞)10．(2017·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．由于f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x ，x <1. 当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ； 当x <1时，f (x )>e. 故f (x )的最小值为f (1)＝e. e11．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3， 结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x.要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在x ∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56. 所以只需m ≤56即可．即m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.12．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B 函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立． 13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. 14．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |，(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈恒成立，求实数m 的取值范围． (1)当x <0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x>0，所以x ＝1.(2)当t ∈时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1＞0， 所以m ≥－(22t＋1)， 因为t ∈，所以－(22t＋1)∈， 故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．。

2.5指数与指数函数【学习目标】1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．【要点整合】1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna－＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质3.有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域与值域形如()xf y a =的函数的定义域就是()f x 的定义域．求形如()x f y a =的函数的值域，应先求出()f x 的值域，再由单调性求出()xf y a =的值域．若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论． 求形如()xy f a =的函数的值域，要先求出xu a=的值域，再结合()y f u =的性质确定出()xy f a=的值域．(2)判断复合函数()xy f a=的单调性令u =f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数uy a =与()u f x =的单调性相同，那么复合后的函数()xf y a =在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数()xf y a =在[m ，n ]上是减函数．(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子()f x 与f (−x )的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．【典例讲练】题型一 指数幂的运算【例1-1】若实数a >0，则下列等式成立的是( ) A ．(－2)－2＝4B ．2a －3＝12a3C ．(－2)0＝－1D ．144()a－＝1a答案 D解析 对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B,2a －3＝2a 3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；对于D ，144()a－＝1a ，故D 正确．【例1-2】化简：41223333322533338242a a bb a a a a a ab ab a -⎛⎫-⋅÷-⨯ ⎪⋅⎝⎭++＝ (a >0)．答案 a 2 解析 原式＝11111251111333333336223331111111111223333353362[()(2)]2()(2).()(2)(2)()2a a b a b a a a a a a b a aa ab b a a a b b --⋅÷⨯⨯⨯+⋅+⋅-＝－＝归纳总结：【练习1-1】【答案】解：原式2123232322[()]1[()]()233=--+3441299=--+ 12=．【练习1-2】下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是( )A 56a a -=-B ．24x =C ．332b =D ．52()a b --=【分析】根据各式是否有意义，是否符合根式与分数指数幂的互相转化规律进行判断．【答案】解：对于A ，0a ，而当0a <时，56a =无意义，故A 错误；对于B ，当0x <时，24x =B 错误；对于C ，31332224()b b ==，故C 错误．对于D ，52()a b --===D 正确． 故选：D ．题型二 指数函数的图象及应用 【例2-1】函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 答案 D 解析 由f (x )＝a x －b的图象可以观察出，函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1，函数f (x )＝a x－b的图象是在y ＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.【例2-2】若函数y ＝|4x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为____________． 答案 (－∞，0]解析 函数y ＝|4x －1|的图象是由函数y ＝4x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．归纳总结：【练习2-1】已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析如图，观察易知，a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.【练习2-2】方程2x＝2－x的解的个数是．答案1解析方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．题型三 指数函数的性质及应用 考点1 比较大小【例3-1】已知a ＝432，b ＝254，c ＝1325，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案 A解析 由a 15＝(243)15＝220，b 15＝(245)15＝212，c 15＝255>220，可知b 15<a 15<c 15，所以b <a <c . 归纳总结：【练习3-1】设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 （ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【解析】对于函数2()5x y =，在其定义域上是减函数，3255>，32552255⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b c <. 在同一平面直角坐标系中画出函数3()5x y =和函数2()5x y =的图象，a c >. 从而bc a <<. 故A 正确.【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分1a >与01a <<两种情况讨论. 考点2 解简单的指数方程或不等式【例4-1】已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为 ．答案 12解析 当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.【练习4-1】若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为 ． 答案 {x |x >4或x <0} 解析 ∵f (x )为偶函数，当x <0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x －4，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ≥0，2－x －4，x <0，当f (x －2)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0， 解得x >4或x <0.∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}．考点3 指数型函数性质综合应用【例5-1】函数2212x xy -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为________．【答案】(0，2]【解析】设222(1)11t x x x =-=--≥-，又由指数函数1()2ty =为单调递减函数，即可求解．由题意，设222(1)11t x x x =-=--≥-，又由指数函数1()2ty =为单调递减函数，知当1t ≥-时，02y <≤，即函数221()2x xy -=的值域为(0,2]．【例4-2】求函数17218212+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx y 的单调区间.解 设t ＝x⎪⎭⎫⎝⎛21>0，又y ＝t 2－8t ＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增.令x⎪⎭⎫⎝⎛21≤4，得x ≥－2. ∴当－2≤x 1<x 2时，4≥112x ⎛⎫ ⎪⎝⎭>212x⎛⎫⎪⎝⎭，即4≥t 1>t 2，∴t 21－8t 1＋17<t 22－8t 2＋17.∴17218212+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx y 的单调增区间是[－2，＋∞).同理可得减区间是(－∞，－2].归纳总结：【练习5-1】若关于x 的不等式1220x x a +--->的解集包含区间()0,1，则a 的取值范围为A ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],1-∞ C ．7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【答案】B【解析】由题得1222x xa <⋅-在（0,1）上恒成立， 设()2,1,2xt t =∈，所以()121,2a t t t<-∈，，由于函数()1()2,1,2f t t t t=-∈是增函数， 所以()12111a f ≤=⨯-=. 故选B ．【练习5-2】求函数176221+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的单调区间；解 176221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的定义域为R .在(－∞，3]上，y ＝x 2－6x ＋17是减函数，∴y ＝176221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 在(－∞，3]上是增函数.在[3，＋∞)上，y ＝x 2－6x ＋17是增函数，∴176221+-⎪⎭⎫⎝⎛=xxy在[3，＋∞)上是减函数.∴176221+-⎪⎭⎫⎝⎛=xxy的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞).【课后作业】A 组 基础题一、选择题1.化简()1111232240,0a b a b a b ⎛⎫⎛⎫÷>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结果为（ ） A. a B. b C.abD.b a【答案】：A 【分析】根据指数幂运算法则进行化简即可.【详解】1111311131112322424242244a b a b a b a b a b a --⎛⎫⎛⎫÷=÷== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确选项：A【点睛】本题考查指数幂的运算，属于基础题. 2.下下下下下下下下 A ．a = B ．01a =C ．4=- Dπ=-【答案】：D3.把(a -(a －1)移到根号内等于( )A.C.【答案】：C4.下下下下下下下下下下下( )A ．B ．C ．D ．【答案】：D5.已知集合{}|128xA x =<≤，{}0,1,2B =，则下列选项正确的是（ ）A. A B ⊆B. A B ⊇C. {}0,1,2AB = D. {}1,2AB =【答案】：D 【分析】计算{}03A x x =<≤，根据集合的包含关系，交集并集运算依次判断每个选项得到答案. 【详解】,{}{}|12803x A x x x =<≤=<≤，{}0,1,2B =，则A B ⊆/，A B ⊇/，AB 错误； {}03A B x x ⋃=≤≤，C 错误；{}1,2A B =，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查了解指数不等式，集合的包含关系，交集并集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6.若不等式()2223122x axx a -+<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (0,1)-B. 3(,)4+∞C. 3(0,)4D.3(,)4-∞【答案】：B7177)(m n mn =31243)3(-=-43433)(y x y x +=+3339=分析：首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为222(3)x ax x a ->-+恒成立，利用判别式22(32)40a a ∆=--<，从而求得实数a 的取值范围.详解：不等式22231()22x axx a -+<恒成立，即222(3)11()()22x ax x a --+<，即222(3)x ax x a ->-+恒成立，即22(32)0x a x a +-+>恒成立，所以22(32)40a a ∆=--<，解得34a >，所以实数a 的取值范围是3(,)4+∞，故选B.点睛：该题考查的是有关不等式恒成立，求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要明确指数式的运算法则，注意应用指数函数的单调性，得到指数所满足的大小关系，利用二次不等式恒成立问题，结合式子的判别式，求得结果.7. 已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|124,}x B x x N =<≤∈，则A ∩B =（ ） A. ∅ B. (1,2] C. {2} D. {1,2}【答案】：C 【分析】首先求出集合A 、B ，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：集合{}2430A x x x =-+<{|13}x x =<<，{}02{|124,}{|222,}{|02,}1,2x x B x x N x x N x x x N =<≤∈=<≤∈=<≤∈=.所以{}2A B ⋂=. 故选：C【点睛】本题考查交集的运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题.8.已知111222a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. a b b a a b >>B. a b b a b a >>C. b a b b a a >>D. b b a a b a >>【答案】：A 【分析】根据指数函数与幂函数的单调性比较大小即可得答案.【详解】解：因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，111222a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1a b >>， 由于函数()1xy aa =>和函数()1b y x b =>在第一象限为增函数，所以a b a a >，b b a b >，故a b b a a b >>. 故选：A.【点睛】本题考查利用指数函数与幂函数的单调性比较大小，考查运算能力，是基础题. 9.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A. ()1,1- B. ()(),11,-∞-+∞C. ()0,1D. ()(),01,-∞⋃+∞【答案】：D 【分析】不等式即21x x >+．由于函数2xy =和直线1y x =+的图象都经过点(0,1)、(1,2)，数形结合可得结论．【详解】解：不等式()0f x >，即21x x >+．由于函数2xy =和直线1y x =+的图象都经过点(0,1)、(1,2)，如图所示： 不等式()0f x >的解集是()(),01,-∞⋃+∞， 故选：D ．【点睛】本题主要考查其它不等式的解法，函数的图象和性质，属于中档题．10.函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A. B.C. D.【答案】：D 【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案. 【详解】根据01a <<(01)||xxa y a x =<<,0,0x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增 故选：D.【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11.已知全集U =R ，集合{|23}A x x =-≤<,1{|2,0}x B y y x -==≥，则()U A B C ⋂=（ ）A. {|20}x x -≤<B. 1{|2}2x x -≤<C. 1{|0}2x x ≤<D. {|03}x x ≤<【答案】：B 【详解】试题分析：111{|2,0},{|}{|}22x U B y y x B y y C B x x -==≥∴=≥∴=<，所以()U A B C ⋂= 1{|2}2x x -≤<． 考点：集合的交集、补集运算．12.设1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a c b >>B. a b c >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】：A 【分析】分别考查指数函数1()3xy =及幂函数13y x =在实数集R 上单调性，即可得出答案．【详解】∵2133＞，由幂函数13y x =在实数集R 上单调递增的性质得113321()()33＞，∴a ＞c ．又由指数函数1()3x y =在实数集R 上单调递减的性质得213311()()33＜，∴c ＞b ．∴a ＞c ＞b ． 故选：A ．【点睛】掌握指数函数和幂函数的单调性是解题的关键． 二、填空题13.=_________，220313e -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ .【答案】：1π-； 4-【分析】根据指对数的运算求解即可.【详解】(1)11ππ=-=-(2) ()222033323141(8314)29e -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭-+=-+=-. 故答案为：1π- ；4-【点睛】本题主要考查了指数的基本运算,属于基础题型.14.计算210.00013427-- 【答案】：134【分析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值.【详解】原式()()23123443339130.13109244-⎡⎤⎛⎫=-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：134. 【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题. 15.若2312a b ==，则21a b+= ． 【答案】：1试题分析：由题意得23log 12,log 12a b ==，则121211log 2,log 3a b==，所以()2121212212log 2log 3log 231a b+=+=⨯=. 考点：对数运算及其应用.16.已知函数()()(),01,0x e x f x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则不等式()()22f x f x <-的解集为______.【答案】：()2,1- 【分析】先判断函数单调性，再根据单调性化简不等式，解得结果.【详解】,1x y e y x ==+都为单调递增函数，且001e =+()f x ∴在R 上单调递增，()()22f x f x <-， 22x x ∴<-，即()()220210x x x x +-<+-<，∴21x -<< 故答案为：()2,1-17.若[1,)x ∈-+∞，不等式4210x x m -⋅+>恒成立，则实数m 的取值范围是______．【答案】：(,2)-∞【分析】设12,2xt ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭，将原不等式转化成11,,2m t t t⎡⎫<+∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，从而求出m 的范围．【详解】令2x t =，∵[1,)x ∈-+∞，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∵4210x x m -⋅+>恒成立，∴11,,2m t t t⎡⎫<+∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，∵12t t+≥，当且仅当1t =时，即0x =时，表达式取得最小值， ∴2m <， 故答案为(,2)-∞．【点睛】本题考查与指数函数有关不等式的恒成立问题，可换元后转为含参数的一元二次不等式的恒成立问题，再利用参变分离可求参数的取值范围，此题需要学生有较好的逻辑分析能力，难度不大，属于基础题． 三、解答题18.计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】：（1）4a （2）0.09 【分析】根据同底数幂、分数指数幂的运算性质即可求出（1）（2）答案. 【详解】（1）()()2115211115111033663262362226326344a b a b a b a b a b a +-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=⨯-÷-⨯== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()113232333250.359-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦550.090.0933=+-=.19.已知函数1()421x x f x a +=-⋅+．（1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值－8，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．【答案】：（1）5；（2）1718a ≤≤. 【分析】（1）2()(2)221x x f x a =-⋅+，[0x ∈，2]，2[1x ∴∈，4]，进而讨论a 与52的关系求解；（2）[1x ∈-，2]，∴令12[2x t =∈，4]，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，进而求解．【详解】解：（1）2()(2)221x x f x a =-⋅+，[0x ∈，2]，2[1x ∴∈，4]，①52a ≤时，2()42418max f x a =-⨯+=-，解得258a =（舍）②52a >时，2()12118max f x a =-⨯+=-，解得5a =， 5a ∴=；（2）[1x ∈-，2]，∴令12,42x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，1122t a t =+≥=当且仅当122t t=，即1t =时等号成立，此时函数2()21g t t t =-+的图象如图，4t ∴=时，a 取得最大值178， 综上[1a ∈，17]8． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，在特定区间的最值问题；以及复合函数在特定区间的上有解，转化为对勾函数的图象求解，属于中档题． 20.已知集合{}2(2)(1)(21)0A x x m x m m =-++-+≤.集合B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.（Ⅰ）当1m =时，求AB ；（Ⅱ）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】：（Ⅰ）{|24}A B x x ⋃=-≤≤（Ⅱ）(,3][3,)-∞-+∞【分析】（Ⅰ）把1m =代入，求出集合A ，再利用指数的单调性求解集合B ，根据集合的并运算即可求解.（Ⅱ）讨论m 的取值范围，求出集合A ，根据集合的包含关系可得12214m m -≤-⎧⎨+≥⎩ 或21214m m +≤-⎧⎨-≥⎩，解不等式组即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1m =时，{}2|30{|03}A x x x x x =-≤=≤≤，1||381{|24}9x B x y x x x ⎧⎪⎧⎫===≤≤=-≤≤⎨⎨⎬⎩⎭⎪⎩，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤.（Ⅱ）集合{}2|(2)(1)(21)0{|(1)(21)0}A x x m x m m x x m x m =-++-+≤=+---≤若0m ≥，则{|121}A x m x m =-≤≤+,∵B A ⊆,∴12214m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得3m ≥，若0m <，则{|211}A x m x m =+≤≤-.∵B A ⊆，∴21214m m +≤-⎧⎨-≥⎩，解得3m ≤-，∴m 的取值范围为(,3][3,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.21.已知函数32()31x x a a f x bx ⋅+-=++是定义在R 上的奇函数，a ，b R ∈（1）判断函数f (x )的单调性；（2）若对任意的k ∈R ，不等式22(2)(1)0f k t f kt t -+++≥恒成立，求实t 数的取值范围.【答案】：（1）()f x 是R 上的增函数.（2）2,[2,)3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）由()f x 是上R 的奇函数求出1a =，0b =，然后()3131221313131x x x x xf x -+-===-+++，即可判断出其单调性（2）由()()22210f k t f kt t -+++≥得()()()222211f k t f kt t f kt t -≥-++=---，然后得出2221k t kt t -≥---即可 【详解】（1）因为()f x 是上R 的奇函数 所以()00f =所以2031a a +-=+，所以1a =所以()3131x xf x bx -=++又()()11f f -=-所以111131313131b b ----=-+++ 所以0b =所以()3131-=+x xf x 因为()3131221313131x x x x xf x -+-===-+++ 所以()f x 是R 上的增函数（2）因为()f x 是R 上的增函数且是奇函数，由()()22210f k t f kt t -+++≥所以()()()222211f k t f kt t f kt t -≥-++=---所以2221k t kt t -≥---即22210k kt t t ++-+≥对任意k ∈R 恒成立只需()224210t t t ∆=--+≤，所以23840t t -+≥解之得2t ≥，或23t ≤所以实数t 的取值范围是[)2,2,3⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦【点睛】解抽象函数的不等式时，怎么利用函数的单调性和奇偶性将f 去掉是解题的关键.22.已知函数()11439x xm f x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当2m =-时，求函数f (x )在(－∞,0)上的值域；（2）若对任意[)0,x ∈+∞，总有()6f x ≤成立，求实数m 的取值范围. 【答案】：（1）()3,+∞ （2）(],1-∞ 【分析】（1）利用换元法，把函数转化为二次函数，根据二次函数的图像与性质即可求解.（2）由()6f x ≤在[)0,+∞上恒成立，采用分离参数法化为1233x x m ≤⋅-，然后求1233x x⋅-的最小值即可求解. 【详解】（1）当2m =-时，设13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵(),0x ∈-∞，∴()1,t ∈+∞， ∴()()222413t t t y g t -+=-=+=，对称轴1t =，图像开口向上， ∴()g t 在()1,t ∈+∞为增函数， ∴()3g t >，∴()f x 的值域为()3,+∞. （2）由题意知，()6f x ≤在[)0,+∞上恒成立，即11239xxm ⎛⎫⎛⎫⋅≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1233xxm ≤⋅-在[)0,x ∈+∞恒成立， 则只需当[)0,x ∈+∞时，min1233xx m ⎛⎫≤⋅-⎪⎝⎭， 设3x t =，()12h t t t=-，由[)0,x ∈+∞得1t ≥，设121t t ≤<，则()()()()12121212210t t t t h t h t t t -+-=<，所以()h t 在[)1,+∞上递增，即()h t 在[)1,+∞上的最小值为()11h =， 所以实数m 的取值范围为(],1-∞.【点睛】本题主要考查指数型复合函数的值域、不等式恒成立求参数的取值范围以及根据函数的单调性求最值，综合性比较强，属于中档题.B 组 能力提升能一、选择题1.设函数1()1,()22x f x x g x t =-=⋅-，若存在[],0,2m n ∈，使得()()f m g n =成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. 13,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 13,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 13,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】：D 【分析】将条件转化为值域有交集，然后分类讨论求出t 的范围． 【详解】∵[],0,2m n ∈，使得()()f m g n =成立，即()f x 和()g x 的值域有交集．[][]()1,0,2,()1,1f x x x f x =-∈∴∈-．∵()122xg x t =⋅-， 当0t =时，()11222xg x t =⋅-=，满足题意； 当0t >时，()122xg x t =⋅-在区间[]0,2上单调递增， []1110,2,()2,4222x x g x t t t ⎡⎤∈∴=⋅-∈--⎢⎥⎣⎦．∵()f x 和()g x 的值域有交集，∴112t -≤，即302t <<； ③0t <时，()122xg x t =⋅-在区间[]0,2上单调递减， 111[0,2],()24,222x x g x t t t ⎡⎤∈∴=⋅-∈--⎢⎥⎣⎦．∵()f x 和()g x 的值域有交集，∴112t -≥-，即102t <<； 综上：1322t -≤≤； 故选D ．【点睛】本题考查函数值域的求法及集合关系的讨论，注意根据等式关系转化为集合之间的关系，此类问题属于中档题.2.已知函数,1()(41)4,1x a x f x a x a x ⎧≥=⎨-+<⎩是(－∞, +∞)上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭C. 11,74⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,74⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】：D 【分析】根据函数的单调性,列出不等式,求解即可.【详解】由题意,函数()f x 是(,)-∞+∞上的减函数,则101410414a a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≤-+⎩,解得1174a ≤<. 故选:D.【点睛】本题考查了函数的单调性,考查了分段函数的性质,属于基础题. 3.下列四个结论中，正确结论的个数为（ ）个． （1）函数()f x x =与函数()g x =（2）若函数()xf x a a =-（0a >且1a ≠）的图象没有经过第二象限，则1a >； （3）当()1,2x ∈时，关于x 的不等式240x mx ++<恒成立，则实数m 的取值范围为5m <-；（4）若函数()()2211x f x x +=+的最大值为M ，最小值为m ，则2M m +=．（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】：B 【分析】（1）由函数相等的概念即可判断；（2）根据指数函数的图像即可判断；（3）根据二次函数图像与性质即可判断；（4）根据函数奇偶性即可判断 【详解】解：对于（1）两个函数的定义域相同，但()g x x ==，则两函数的对应关系不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以（1）错误；对于（2）由指数函数的图像可知，当1a >时，函数()xf x a a =-（0a >且1a ≠）的图像必不经过第二象限，所以（2）正确；对于（3），令2()4f x x mx =++，由于当()1,2x ∈时，关于x 的不等式240x mx ++<恒成立，则(1)0(2)0f f ≤⎧⎨≤⎩，解得5m ≤-，所以（3）错误；对于（4），()()22212111x x f x x x +==+++，令22()()1x g x x R x =∈+， 因为2222()()()11x xg x g x x x --==-=--++，所以()g x 为奇函数，所以max min ()()0g x g x +=，所以max min ()1()12M m g x g x +=+++=，所以（4）正确 故选：B【点睛】此题考查函数相等的判断，指数函数的图像，二次函数的图像和性质、函数的奇偶性及其应用，属于基础题4.已知函数7(13)10,(7)(),(7)x a x a x f x a x --+≤⎧=⎨>⎩是定义域R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. 11(,)32B. 16(,]311C. 12[,)23D. 16(,]211【答案】：B 【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解. 【详解】若f （x ）是定义域（-∞，+∞）上的减函数，则满足 ()7701130713101a a a a a -⎧⎪-⎨⎪-+≥⎩＜＜＜＝ 即0113611a a a ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪≤⎪⎩＜＜＞ ，整理得16311a <≤.故选B 【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，根据分段函数的性质建立不等式是解决本题的关键. 二、填空题5.已知函数(0)x y a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .【答案】：92试题分析：由图可知，a ＞1，点(1，3)在函数(0)xy a b b =+>的图象上，所以 a ＋b ＝3．1＜a ＜3，0＜b ＜2．4114114114192()[(1)]()(5)12121212b a a b a b a b a b a b -+=⨯+=⨯-++=⨯++≥----当且仅当72,33a b ==时取等号 考点：指数函数性质及图象，基本不等式，函数的最值 6.对任意x ∈R ，不等式()()442223x xxx a b --+++≤恒成立，则+a b 的最大值是______.【答案】【分析】设22x x t -+=，则2t ≥，()2223f t at bt a =+--，计算(10f ≤得到a b +≤，再验证等号成立得到答案. 【详解】设22x x t -+=，则2t ≥，()()442223x xxx a b --+++≤，即()2223a t bt -+≤恒成立，设()2223f t at bt a =+--，则((()1230f a b +=++-≤，解得a b +≤. 现在验证，存在,a b使等号成立，341a b b a⎧+=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，则3,42a b ==， 此时()2f t =1t =+()(max 10f x f ==. 满足条件，故+a b.故答案为：34.7.函数114x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为________；奇偶性为_________（填奇函数、偶函数或者非奇非偶函数）.【答案】：[)0,+∞ ；偶函数 【分析】(1)分0,0x x ≥<两种情况讨论即可. (2)将x 代换为x -再判断奇偶性即可.【详解】(1)当0x ≥时11144x x y -+-⎛⎫== ⎪⎝⎭为增函数,当0x <时()111144x x y --++⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为减函数.故单调增区间为[)0,+∞.(2)因为111144x x y --+-+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.且定义域为R .故奇偶性为偶函数.故答案为：(1) [)0,+∞; (2) 偶函数 三、解答题8.已知函数133()31x x f x +-=+.（1）判断函数f (x )的单调性并用定义法证明；（2）若对于任意的实数t ，不等式()()2240f t t f t k -++>恒成立，求实数k 的取值范围；（3）设关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，求实数m 的取值范围. 【答案】：（1）()f x 是R 上的增函数，证明见解析；（2）2k >；（3）3m ≤.【分析】（1）用定义法判断单调性即可,注意“作差”、“变形”、“定号”和“下结论”;（2）先判断函数的奇偶性,利用奇偶性可将不等式转化为()()224f t t f t k ->--,然后结合函数的单调性可得224t t t k ->--恒成立,结合二次函数的性质可求出实数k 的取值范围; （3）函数()g x 有零点,可得()()91430xxf m f ++-⋅=有解,结合函数的单调性和奇偶性可得方程9143x x m +=-+⋅有解,参变分离得9431x x m =-+⋅-,求出9431x x -+⋅-的取值范围即可.【详解】（1）由题意,1336()33131x x xf x +-==-++,且()f x 的定义域为R , 任取12,R x x ∈,且12x x <,则()()()()()122121121163366333131x x x x x x f x f x -++-=-=++, ∵12,R x x ∈,且12x x <,∴12033x x <<,12330x x -<,()()2131310xx++>, 故()()12f x f x <,所以函数()f x 是R 上的增函数.（2）由题意,113333()()3113x x x xf x f x -++----===-++, 又()f x 的定义域为R ,所以函数()f x 是R 上的奇函数.∴不等式()()2240f t t f t k -++>可化为()()()2224f t t f t k f t k ->-+=--,即()()224f t t f t k ->--恒成立,∵函数()f x 是R 上的增函数,∴224t t t k ->--,即对于任意的实数t ,2240t t k -+>恒成立, 则()2480k ∆=--<,解得2k >.（3）函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点,则()()91430xxf m f ++-⋅=有解,∵函数()f x 是R 上的奇函数, ∴()()()9143143xxxf m f f +=--⋅=-+⋅有解,∵函数()f x 是R 上的增函数,∴9143x x m +=-+⋅,即9431x x m =-+⋅-有解,令3x a =,则0a >,241m a a =-+-,令()2()410h a a a a =-+->,则()h a 在()0,2上单调递增,在[)2,+∞上单调递减,故()h a 的最大值为224213-+⨯-=,()h a 的值域为(],3-∞.所以,当3m ≤时,方程241m a a =-+-有解,即函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点.【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用,考查函数零点的应用,考查方程有解问题,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.9.已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>，在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设函数()()g x f x x=. （1）求a 、b 的值；（2）不等式(2)20x xf k -⋅≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）方程2(21)(3)021xx f k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围. 【答案】：（1）1,0a b ==；（2）0k ≤；（3）0k > 【分析】（1）利用二次函数闭区间上的最值，通过a 与0的大小讨论，列出方程，即可求a ，b 的值； （2）转化不等式f （2x ）﹣k •2x ≥0，为k 在一侧，另一侧利用换元法通过二次函数在x ∈[﹣1，1]上恒成立，求出最值，即可求实数k 的取值范围；（3）化简方程f （|2x﹣1|）+k （221x--3）＝0，转化为两个函数的图象的交点的个数，利用方程有三个不同的实数解，推出不等式然后求实数k 的取值范围． 【详解】解：（1）g （x ）＝a （x ﹣1）2+1+b ﹣a ， ∵a ＞0，∴g （x ）在[2，3]上为增函数，故()()3421g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得96144411a a b a a b -++=⎧⎨-++=⎩，⇔10a b =⎧⎨=⎩． ∴a ＝1，b ＝0（2）方程f （2x ）﹣k •2x ≥0化为2x 12x+-2≥k •2x ， k ≤1212(2)2x x+- 令12x=t ，k ≤t 2﹣2t +1， ∵x ∈[﹣1，1]，∴t 122⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，记φ（t ）＝t 2﹣2t +1， ∴φ（t ）min ＝φ（1）＝0，∴k≤0．（3）由f（|2x﹣1|）+k（221x--3）＝0得|2x﹣1|1221kx++--（2+3k）＝0，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|＝t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），∵方程|2x﹣1|1221kx++--（2+3k）＝0有三个不同的实数解，∴由t＝|2x﹣1|的图象（如图）知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2＝1，记φ（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则()()012010tkφφ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩＞＜或()()01201023012tkkϕϕ⎧⎪=+⎪=-=⎨⎪+⎪⎩＞＜＜∴k＞0．【点睛】本题考查函数恒成立，二次函数闭区间上的最值的求法，考查转化思想与数形结合的思想．。

一轮复习学案指数与指数函数☆学习目标：1．掌握指数函数的图象和性质；2．掌握指数形式的复合函数的图像、定义域、值域, 单调性、奇偶性．重点：指数函数的图象及性质的简单应用．☻基础热身：(1).如果函数2()(31)x x f x a a a =--(0a >且1a ≠)在区间[)0,+∞上是增函数，那么实数a 的取值范围为( ).A 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ .B ⎫⎪⎪⎣⎭ .C (0 .D 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. (2).设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是( ) .A )0,(-∞ .B ),0(+∞.C )3log ,(a -∞ .D ),3(l o g +∞a . (3).设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是( ) .A (01)， .B (12)， .C (23)， .D (34)，． ☻知识梳理：1．指数函数的定义：函数 叫做指数函数.2．指数函数的图象和性质：☆ 案例分析：例1.(1)设0x >，且1x x a b <<（0a >，0b >），则a 与b 的关系是( ) .A 1b a << .B 1a b << .C 1b a << .D 1a b <<(2) 若函数m y x +=+-12的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是( ).A 2-≤m .B 2-≥m .C 1-≤m .D 1-≥m 例2. 已知22x x +≤214x -⎛⎫ ⎪⎝⎭, 求函数22x x y -=-的值域.例3. 设函数f(x)=lg 1243x xa ++⋅,其中a ∈R,如果当x ∈(–∞,1)时，f(x)有意义，求a 的取值范围例4. 已知311()12x f x x a ⎛⎫=+⋅ ⎪-⎝⎭（0a >，且1a ≠）. (1)求()f x 的定义域；(2)讨论()f x 的奇偶性；(3)求a 的范围，使()0f x >在定义域恒成立.例5. 已知函数2()1x x f x a x -=++(1)a >，求证： （1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根参考答案基础热身：(1).B; (2).C; (3).B. 例1. (1)A; (2).A例2.]22,22[22161161----例3. )0,43(- 例4.(1)),0()0,(+∞⋃-∞; (2) 奇函数; (3)1>a 例5 证明：（1）设121x x -<<， 则1212121222()()11x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212121212223()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+++++， ∵121x x -<<，∴110x +>，210x +>，120x x -<， ∴12123()0(1)(1)x x x x -<++； ∵121x x -<<，且1a >，∴12x x a a <，∴120x x a a -<， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数； 另法：∵1a >，(1,)x ∈-+∞ ∴223()()ln 01(1)x x x f x a a a x x -''=+=+>++∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数； （2）假设0x 是方程()0f x =的负数根，且01x ≠-，则000201x x a x -+=+， 即00000023(1)31111x x x a x x x --+===-+++， ① 当010x -<<时,0011x <+<,∴0331x >+,∴03121x ->+, 而由1a >知01x a < ∴①式不成立； 当01x <-时，010x +<，∴0301x <+，∴03111x -<-+，而0x a > ∴①式不成立 综上所述，方程()0f x =没有负数根。