高考数学第8讲指数与指数函数(苏教版)

第8讲 指数与指数函数考试要求 1.有理指数幂的含义及运算，B 级要求；2.实数指数幂的意义，指数函数模型的实际背景，A 级要求；3.指数函数的概念、图象与性质，B 级要求．知 识 梳 理1．根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .3．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数． (2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)4(－4)4＝－4.()(2)(－1)＝(－1)＝－1.()(3)函数y ＝2x－1是指数函数．()(4)函数y＝a x2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．()2．(必修1P61例2改编)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为________．3．已知函数f(x)＝a x(0<a<1)，对于下列命题：①若x>0，则0<f(x)<1；②若x<0，则f(x)>1；③若f(x1)>f(x2)，则x1<x2.其中正确命题的个数为________．4．(2015·江苏卷)不等式2x2－x＜4的解集为________．5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．考点一指数幂的运算【例1】化简：(1)(a>0，b>0)；(2)＋－10(5－2)－1＋(2－3)0.规律方法(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 【训练1】 化简求值：(1)10220.5312+22(0.01)54--⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)12112133265a b a ba b---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅考点二 指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是________(填序号)．(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 规律方法 (1)画(判断)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .(2)①对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．②有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．【训练2】 (1)(2017·福建五校联考改编)定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象如图：其中正确的是________(填序号)． (2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________．考点三 指数函数的性质及应用(易错警示) 【例3】 (1)下列各式： ①1.72.5>1.73；②0.6－1>0.62； ③0.8－0.1>1.250.2；④1.70.3<0.93.1.其中比较大小正确的是________(填序号)． (2)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值； ③若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．【训练3】(1)(2015·天津卷改编)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为________．(2)设函数f(x)＝则使得f(x)≤3成立的x的取值范围是________．[思想方法]1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．3．指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0<a<1和a>1两种情况分类讨论．[易错防范]1．对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域．2．对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.1201334437282263-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．3．(2017·衡水中学模拟改编)若2232,,log 3xa b x c x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则当x >1时，a ，b ，c的大小关系是________(从小到大)．4.函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，给出下列结论：①a >1，b <0； ②a >1，b >0； ③0<a <1，b >0； ④0<a <1，b <0.其中判断正确的结论有________(填序号)． 5．(2017·南京、盐城一模)已知c ＝则a ，b ，c 的大小关系是________．6．(2017·南京调研)已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)＝________.7．(2017·南通调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．8．(2017·安徽江南十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．二、解答题9．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)． (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立．10．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．12．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论： ①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c ；④2a ＋2c <2.其中一定成立的是________(填序号)．13．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，g (x )，x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.14．(2017·常州市教育学会期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．。

2.2.2 指数函数整体设计教材分析本节主要学习指数函数的概念、图象、性质及性质的简单应用.学习过程中，可以让学生通过画出具体的指数函数的图象，观察其特征，将表达图象特征的通俗语言，归纳、转化为数学符号语言，从而得出指数函数的性质.在这一过程中，体现数形结合的数学思想，用到了分类讨论的数学方法及从特殊到一般的类比研究的方法.所以本节的教学重点是指数函数的图象与性质.根据前面的分析，对本节的学习提出如下的建议：指导学生在学习过程中注意对列表计算结果的分析；让学生自己动手，通过画指数函数的图象，来归纳指数函数的性质.可以根据学生探索新知的情况，在适当时机，利用现代化的教学设备演示，帮助学生理解指数函数的性质.让学生在自主学习、探究活动中，体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识，体会数学的美，同时激发学生对数学学习的兴趣.在应用性质的过程中，对学习有困难的学生，时时提醒他们注意底数a对指数函数的性质的影响.三维目标1.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性的特殊点.2.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.3.利用计算工具，比较指数函数增长差异；体会指数等不同函数的类型增长的含义.4.通过指数函数的图象和性质的教学，培养学生观察、分析、归纳等思维能力和数形结合的数学思想方法.5.利用计算机技术及相关的教学软件探讨指数函数的图象和性质，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识，培养学生良好的心理素质，优化学生个性品质，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质.重点难点教学重点：1.指数函数的图象和性质.2.通过数形结合，利用图象来认识、掌握函数的性质，增强学生分析问题、解决问题的能力.教学难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数的性质.课时安排3课时教学过程第一课时指数函数(一)导入新课设计思路一(实际问题导入)从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变.经过5 730年(14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半.经过科学测定，若14C的原始量为1，则经过x年后的残留量为y=a x这里a为常数，0＜a＜1.设计思路二(情境导入)相传达依尔是国际象棋的发明人，同时也是古印度的宰相，达依尔聪明能干，国王要奖赏他，问他需要什么，达依尔就对国王说：“国王，你只需在象棋的第一格放1粒麦子，在第二格放2粒麦子，在第三格放4粒麦子，以后按比例每一格是前一格的两倍，一直放到第64格，这就是我的要求，如能满足我的这个要求，我就感激不尽了，其他的我就什么都不要了.”国王心想，这有什么难的，不就是一点麦子吗，满足他就是了，于是下令，按照宰相的要求去做，谁知道，全国的粮食用完了还不够.国王很是奇怪，他怎么也想不明白，那么你能用数学知识帮助国王解决这个问题吗？另外按宰相达依尔的要求共需多少粒小麦？ 再看下面的一个例子： 背景(实际问题)：某细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第二次由2个分裂成4个，第三次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与分裂次数x 的函数关系式是什么？(答案：y=2x ) 推进新课 新知探究指数函数的概念根据上述例子，我们得到了形如y=a x 的函数，这些函数的自变量是指数，因此我们把这种函数称为指数函数.一般地，函数y=a x (a ＞0,a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，x 的取值范围是R .为了对指数函数的形式有较为深刻的印象，不妨请同学思考下面的问题： ①函数y=x 2与函数y=2x 有什么区别？(答：函数y=x 2与函数y=2x 的区别是：函数y=2x 的指数为自变量，底数为常数，而函数y=x 2的底数为自变量，指数为常数)②为什么要规定底数a 是一个大于零且不等于1的常数？(答：如果a=0,⎪⎩⎪⎨⎧≤>;,0,0,0无意义时当恒等于时当xxa x a x如果a ＜0，例如y=(-2)x ，这时对于x=21,41,…,y=(-2)x 在实数范围内函数值不存在； 如果a=1，y=1x 是一个常数1，对于常数1没有研究的必要.为了避免上述情况，所以规定a ＞0，a≠1)下面我们来研究指数函数的性质：(在初中学生已经学过描点法画函数的图象，因此先让学生按照描点法的一般步骤：列表—描点—连接来画函数的图象)在同一坐标系中画出下列函数的图象： (1)y=10x ; (2)y=2x ; (3)y=(21)x .我们通过观察函数图象的特征来研究函数的性质：图象特征 函数性质a ＞1 0＜a ＜1 A ＞1 0＜a ＜1 向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点(0，1) a 0=1自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降增函数 减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1x ＞0,a x ＞1 x ＞0,a x ＜1在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1x ＜0,a x ＜1 x ＜0,a x ＞1图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢利用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在[a,b]上，f(x)=a x (a ＞0且a≠1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]； (2)若x≠0，则f(x)≠1；f(x)取遍所有正数当且仅当x ∈R ； (3)对于指数函数f(x)=a x (a ＞0且a≠1)，总有f(1)=a ； (4)当a ＞1时，若x 1＜x 2，则f(x 1)＜f(x 2). 应用示例思路1例1 指数函数f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)的图象经过点(3,π)，求f(0)、f(1)、f(-3)的值.分析：要求f(0)、f(1)、f(-3)的值，我们需要先求出指数函数f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)的解析式，也就是要先求a 的值.根据函数图象经过定点(3,π)这一个条件，可以求得底数a 的值. 解：设f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)，因为f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)的图象经过点(3,π)， 所以f(3)=π，即a 3=π，解得a=π31， 于是f(x)=π3x ，所以，f (0)=π0=1，f(1)=π31=3π，f(-3)=π-1=π1. 点评：从本题看出，要想确定一个指数函数，只需一个条件即可，因为表达式中只有1个参数a.例2 比较下列各组数中两个值的大小.(1)1.52.5,1.53.2; (2)0.5-1.2,0.5-1.5; (3)1.50.3,0.81.2分析：比较数的大小，可以利用函数的单调性，所给的几组数都是指数式，所以考虑利用指数函数的单调性来解.解：(1)考察指数函数y=1.5x ，因为1.5＞1，所以指数函数y=1.5x 在R 上是单调增函数.又因为2.5＜3.2，所以1.52.5＜1.53.2.(2)考察指数函数y=0.5x ，因为0＜0.5＜1，所以指数函数y=0.5x 在R 上是单调减函数.又因为-1.2＞-1.5，所以0.5-1.2＜0.5-1.5.(3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50=1，0.81.2＜0.80=1，所以1.50.3＞0.81.2.点评：比较两数的大小，一般方法是将其转化为同一函数的两个不同的函数值，利用函数的单调性进行比较，如果出现不能直接看成同一函数的两个值时，通常可在这两个数之间找一个中间值比如数1，然后将这两个数与1进行比较，从而比较出两个数的大小. 例3 (1)已知5x ≥50.5，求实数x 的取值范围； (2)已知0.25x ＜16，求实数x 的取值范围.分析：因为5x 、50.5的底数相同，而0.25x 、16可以将底数化为相同的底数0.25，所以可以考虑用指数函数的单调性来求解.解：(1)因为5＞1，所以指数函数f(x)=5x 在R 上是单调增函数.由5x ≥50.5，可得x≥0.5，即x 的取值范围为[0.5,+∞).(2)因为0＜0.25＜1，所以指数函数f(x)=0.25x 在R 上是单调减函数. 因为16=(41)-2=0.25-2，所以0.25x ＜0.25-2，由此可得x ＞-2，即x 的取值范围为(-2,+∞). 点评：在解指数不等式(方程)时，可以考虑运用指数函数的单调性来解.对于(2)我们还可以将底数化为4来解.可参照课本第51页例2. 例4 求下列函数的定义域和值域： (1)y=241-x ；(2)y=(32)-|x|；(3)y=4x +2x+1+1；④(4)=10112-+x x .分析：由于指数函数y=a x (a ＞0,且a≠1)的定义域为R ，所以函数y=a f(x)与函数f(x)的定义域相同，利用指数函数的单调性求值域.解：(1)令x-4≠0，得x≠4，∴定义域为{x|x ∈R ,且x≠4}.∵41-x ≠0,∴241-x ≠1,∴y=241-x 的值域为{y|y ＞0,且y≠1}.(2)定义域为R . ∵|x|≥0，∴y=(32)-|x|=(23)|x|≥(23)0=1，故y=(32)-|x|的值域为{y|y≥1}. (3)定义域为R .∵y=4x +2x+1+1=(2x )2+2·2x +1=(2x +1)2，且2x ＞0，∴y ＞1. 故y=4x +2x+1+1的值域为{y|y ＞1}. (4)令12+x x ≥0，得11+-x x ≥0，解得x ＜-1或x≥1，故y=10112-+x x 函数定义域为{x|x ＜-1或x≥1}，值域为{y|y≥1,且y≠10}.点评：求与指数函数有关的函数的值域时，要注意充分考虑并利用指数函数本身的要求和所具有的性质，例如指数函数的单调性等.例5 作出下列函数的图象，并说明它们之间的相互关系. (1)y=3x ；(2)y=3x-1；(3)y=3x+1.分析：画函数的图象常用的方法是描点法，描点法的一般步骤是：列表—描点—连线. 当我们熟悉了一些基本的初等函数的图象特征后，可以考虑运用图象的变换的方法来实现作函数的图象.解：运用描点法可以作出函数(1)y=3x ;(2)y=3x-1;(3)y=3x+1的图象，如右图所示.由图象可以得知：函数y=3x+1的图象是由函数y=3x 的图象向左平移一个单位得到的；函数y=3x-1的图象是由函数y=3x 的图象向右平移一个单位得到的.点评：本题主要考查函数的图象及其平移变换，其变换的一般规律是：设a ＞0. (1)将函数y=f(x)的图象向左平移a 个单位，就得到函数y=f(x+a)的图象； (2)将函数y=f(x)的图象向右平移a 个单位，就得到函数y=f(x-a)的图象； (3)将函数y=f(x)的图象向下平移a 个单位，就得到函数y=f(x)-a 的图象； (4)将函数y=f(x)的图象向上平移a 个单位，就得到函数y=f(x)+a 的图象. 简单地说就是“左加右减，上加下减”.拓展思维：函数图象的变换除了平移变换外还有其他的变换，例如对称变换等，对于对称变换：一般地，函数y=f(x)的图象与函数y=f(-x)的图象关于y 轴对称；函数y=f(x)的图象与函数y=-f(x)的图象关于x 轴对称，函数y=f(x)的图象与函数y=-f(-x)的图象关于原点对称.思路2例1 指数函数y=f(x)的图象经过点(π,e)，求f(0)、f(1)、f(-π)的值. 分析：要求函数值，只要求出函数的解析式就可以了.解：设y=f(x)=a x (a ＞0,且a≠1)，因为y=f(x)的图象经过点(π,e)，所以e=a π，得a=e π1，于是f(x)=(e π1)x .所以，f(0)=(e π1)0=1，f(1)=(e π1)1=e π1，f(-π)=(e π1)-π=e1. 例2 将下列各数由小到大排列起来：(-3)32,(32)21,(32)31,(-32)32-,(-3)31,(31-)3,(23)34,(21-)-2.分析：这些数按从小到大的顺序排列起来，最好的方法是先将这些数进行分类：首先可考虑是正数还是负数，如果是负数，则再进一步分成小于-1还是介于-1与0之间，是正数的再进一步分成0与1之间的及大于1的，然后再将以上各类数中的每一类数作进一步的比较，最后将它们由小到大排列起来.解：在所给的数中，负数有:(-3) 31,(31-)3，且(-3) 31＜-1，-1＜(31-)3＜0，所以(-3)31＜(31-)3＜0. 正数有:(-3)32,(32)21,(32)31,(-32)32-,(23)34,(21-)-2，且(-3)32=332,(32)21,(32)31,(-32)32-=(23),(23)34,(21-)-2=(-2)2=4，其中大于0而小于1的有:(32)21,(32)31=(23)32，且(32)21＜(32)31，大于1的有：(-3)32=332,(-32)32-=(23)32,(23)34,(21-)-2=4.综上所述，所给的数由小到大排列的顺序为：(-3)31＜(31-)3＜(32)21＜(32)31＜(-32)32-＜(23)34＜(-3)32＜(21-)-2.点评：多个幂值的比较大小，常常采取先分组再比较的方法，即先将所给的各个数值进行分类，在每类数值中比较大小，若底数相同可利用指数函数的单调性进行比较；若底数、指数都不相同时，可以利用中间量搭建“桥梁”进行比较.若数值中含有字母，应对所含字母的取值进行讨论.例3 求下列函数的定义域和值域：(1)y=xx 212+;(2)y=2713-x. 解：(1)函数y=x x212+的定义域为R .∵y=xx212+，∴(y-1)2x =-y ，即(1-y)2x =y ， 显然，y≠1，∴2x =y y-1＞0，∴函数y=xx 212+的值域为(0,1). (2)∵3x -271≥0，∴3x ≥3-3，∴x≥-3.∴函数y=2713-x的定义域为{x|x≥-3|，函数y=2713-x值域为[0,+∞).点评：一般来说，函数y=a f(x)的定义域就是f(x)的定义域，其值域不但要考虑f(x)的值域，还要考虑a ＞1还是0＜a ＜1，例如f(x)∈[-4,+∞)时，若a ＞1，则a f(x)∈[a -4,+∞)，若0＜a ＜1，则a f(x)∈(0,a -4]. 例4 利用函数f(x)=(21)x的图象，作出下列函数的图象： (1)f(x-1);(2)f(x+1);(3)f(x)-1. 分析：作图前先分别探究每一个函数的定义域和值域以及单调性，再研究探索各个函数的图象间是否有对称性及平移的相互关系，从而掌握图象的大致变化趋势，利用函数图象的相应变化，作出相应的函数图象. 解：各函数的图象如下图：点评：利用熟悉的函数图象作图，主要是利用图象的平移变换,平移需分清平移的方向以及平移的量，即平移多少个单位. 知能训练课本第52页练习1、2、3、4、5. 解答：1.C(提示：0＜a-1＜1).2.(1)3.10.5＜3.12.3；(2)(32)-0.3＞(32)-0.24； (3)2.3-2.5＜0.2-0.1(提示：2.3-2.5＜2.30=1,0.2-0.1＞0.20=1).3.(1){x|x≠0,x ∈R }；(2){x|x≥0,x ∈R }.4.(1)x ＞3；(2)x ＜-3；(3)x ＜21；(4)x ＜0. 5.A(提示：y=2-x ，即y=(21)x ). 点评：进一步熟练掌握指数函数的图象及其性质的应用. 课堂小结指数函数是中学阶段所学的重要的初等函数之一，因此在学习中要特别注意，尤其是指数函数是新接触的函数，所以要特别加以重视.本节课的重点内容是指数函数的定义、图象和性质，要求能熟记指数函数的图象特征以及指数函数的基本性质，这是学好指数函数的关键.除此之外，还要学会根据指数函数的图象特征来探究指数函数的性质，并能根据实际需要，对指数函数的底数a 分两种情况加以讨论，体会其中的数形结合的思想和分类讨论的思想，通过图象变换的讨论研究，懂得世界上的万事万物之间存在必然的、内在的联系，因此，在研究图象的平移和对称变换的时候，注意对变换的方法和规律的总结，并能正确地运用这些方法和规律解决有关函数图象的问题，加深对指数函数的图象和性质的认识和理解. 作业一、习题2.2(2)第1、2、4、5题. 二、阅读课本第49页至第53页内容.设计感想在设计本节课的教学过程时，围绕以下几点进行：一是以《新课程标准》的基本理念为指导，着眼于培养学生自主学习的能力，因此在设计教学过程时，注意让学生多动手实践，使学生从动手操作的过程中体会函数问题研究的方法和过程；二是从学生现有的认知基础出发，在课堂教学中以本节课的知识结构为主线，充分发挥学生学习的主观能动性，让学生自主探索并获取新的知识和应用新的知识解决实际问题；三是采用层层深入的方式，分散学生学习时可能遇到的难点；四是教学中注意讲练结合，借助多媒体手段进行多方位教学，从而实现教学方式多样化，从实例出发，引用典故，激发学生的学习兴趣，使教与学做到有机结合，使课堂教学达到最佳状态.(设计者：赵家法)第二课时 指数函数(二)导入新课设计思路一(复习导入)在上一节课中，我们学习了指数函数的概念、图象以及性质，下面我们一起来回顾一下相关的内容.(由学生回答，再由教师归纳总结) 设计思路二(习题导入) 请同学们完成下列习题：1.形如y=a x 的函数叫做______________函数，其中底数a 满足的条件是_____________；2.已知函数y=(m 2-3m-3)·3x 为指数函数，则m=_________；3.若-1＜x ＜0，则2x ，(21)x，0.2x 由小到大的排列顺序是__________. 答案：1.指数，a ＞0,且a≠1；2.m=-1或4；3.2x ＜(21)x＜0.2x . 思考如何判断函数y=1212-+x x 的奇偶性以及单调性？推进新课 新知探究复习指数函数的相关知识： 1.指数函数的定义. 2.指数函数的性质：指数函数y=a x 的图象和性质a ＞10＜a ＜1图象性质(1)定义域：R (2)值域：(0，+∞) (3)图象过定点(0，1)(4)在(-∞，+∞)上是单调增函数 在(-∞，+∞)上是单调减函数应用示例思路1例1 求函数y=(21)232+-x x 的定义域、值域及单调区间.分析：这是一个求复合函数的单调性的问题，对于这类问题必须弄清楚函数是由哪几个函数复合而成，这些函数的单调性如何，这样才能正确求解.解：函数y=(21)232+-x x 的定义域为R . 设u=x 2-3x+2=(x-23)2-41，所以u=x 2-3x+2的值域为[-41,+∞)，减区间为(-∞,23]，增区间为[23,+∞).又因为函数y=(21)u 是减函数，所以函数y=(21)232+-x x 的值域为(0,42]，单调减区间为[23,+∞)，单调增区间为(-∞,23].点评：对于形如y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的函数，根据例题可以得出以下结论：①函数y=a g(x)的定义域与g(x)的定义域相同；②应先求函数的g(x)值域，再根据指数函数的单调性及其值域来求y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的值域；③对于函数y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的单调性有：当a ＞1时，函数y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的单调性与函数g(x)的单调性相同；当0＜a ＜1时，函数y=a g(x)(a ＞0,a≠1)的单调性与函数g(x)的单调性相反. 例2 设a 是实数，f(x)=a-122+x(x ∈R )，(1)试证明：对于任意实数a ，函数f(x)为增函数；(2)试确定a 值，使f(x)为奇函数. 分析：题中函数f(x)=a-122+x (x ∈R )的形式较为复杂，而题目要求证明函数的单调性和奇偶性，因此，只要严格按照函数的单调性、奇偶性的定义进行证明就能证得结论. (1)证明：设x 1,x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)=(a-1221+x )-(a-1222+x )=1222+x -1221+x =)12)(12()22(22121++-x x x x ，由于指数函数y=2x 在R 上是增函数,且x 1＜x 2,所以12x＜22x，即12x-22x＜0， 又由2x ＞0得12x+1＞0，22x+1＞0，所以f(x 1)-f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2). 因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，f(x)为增函数.(2)解：若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)即a-122+-x =-(a-122+x )，变形得：2a=xx x2)12(22+•-+122+x =12)12(2++x x ， 解得：a=1.所以当a=1时,f(x)为奇函数.点评：(1)在题(1)的证明过程中，在对作差的结果进行正、负号判断时，利用了指数函数的值域及单调性.这也提醒我们在解这类题目时，注意运用已经掌握的函数的奇偶性及单调性来解题.(2)解题时应要求学生注意不同题型采用不同的解题方法.如题(2)，此题并非直接确定a 值，而是由已知条件逐步推导得a 值. 例3 设函数f(x)=1+11-x ，g(x)=f(2|x|).(1)求函数f(x)和g(x)的定义域；(2)判断函数f(x)和g(x)的奇偶性；(3)求函数g(x)的单调递增区间.分析：对于函数g(x)，它是一个由f(x)与x=2|x|复合而成的函数，因此，可以通过这种复合关系得到函数g(x)的解析式，从而可以解决相应的问题；函数的单调区间也可以考虑用定义解决.解：(1)由x-1≠0得x≠1，所以函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞). 因为f(x)=1+11-x ，所以g(x)=f(2|x|)=1+121||-x ， 由于2|x|-1≠0，所以x≠0，所以函数g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).(2)因为函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)，它不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，即f(x)是非奇非偶函数.因为函数g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，它关于原点对称，且 g(-x)=1+121||--x =1+121||-x =g(x)，所以g(x)是偶函数. (3)设x 1、x 2∈(0,+∞)，且x 1＜x 2，则 g(x 1)-g(x 2)=(1+121||1-x )-(1+121||2-x )=121||1-x -121||2-x ==---12112121x x)12)(12(222112---x x x x . 因为0＜x 1＜x 2，所以22x-12x＞0，12x-1＞0，22x-1＞0，所以g(x 1)-g(x 2)＞0，所以g(x)在(0,+∞)上是减函数，又因为g(x)是偶函数，所以g(x)在(-∞,0)上是增函数.所以g(x)的单调增区间是(-∞,0).点评：(1)研究函数的单调性和奇偶性，不能忽视函数的定义域，特别是在研究函数的奇偶性时，如果函数的定义域不关于原点对称，则这个函数必定是非奇非偶函数；(2)本题(3)的解答过程中，在研究函数的单调性时，巧妙运用了函数的奇偶性，起到了事半功倍的效果；(3)本题是一个比较综合的问题，我们在解决这类问题时，要紧紧抓住题目条件，联系相关定义、概念以及公式等，环环相扣，步步为营，最终自然而然地解决问题. 例4 已知函数f(x)=x(131-x+21). (1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)证明：函数f(x)在定义域上恒大于0.分析：本题中求函数的定义域从分母不为0入手；对于函数奇偶性的讨论可以直接由函数奇偶性的定义来判断.解：(1)定义域为{x|x≠0}.(2)因为f(x)=x(131-x +21)，所以f(x)=x(131-x +21)=13132-+•x x x .因为f(-x)=131323131213132-+•=-+•-=-+•---x x x x x x x x x =f(x)， 所以函数f(x)为偶函数.(3)当x ＞0时，3x ＞1，所以3x -1＞0.所以131-x ＞0，从而有131-x+21＞21.所以x(131-x +21)＞2x ＞0，即当x ＞0时，f(x)＞0； 当x ＜0时，1＞3x ＞0，所以0＞3x -1＞-1.所以131-x ＜-1，从而有131-x +21＜21-. 所以x(131-x +21)＞-2x ＞0，即当x ＜0时，f(x)＞0. 综上所述，函数f(x)在定义域上恒大于0.点评：(1)判断函数的奇偶性可以直接运用定义来判断，也可以运用函数奇偶性定义的等价形式：若函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0，则函数f(x)为奇函数；函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0，则函数f(x)为偶函数.因此对于本题中的(2)还有以下解法：因为f(x)-f(-x)=x(131-x +131--x +1)=x(1331--x x +1)=0. 所以得f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数.(2)证明函数在定义域上恒大于0的问题，可以运用分类讨论来逐步求解，也可以转化为先证明函数f(x)在(0,+∞)上值域为(0,+∞)，再根据函数是偶函数得到函数f(x)在(-∞,0)上值域为(0,+∞)，从而证得结论.思路2例1 对于函数f(x)=(31)122--x x ，(1)求函数f(x)的定义域、值域； (2)确定函数f(x)的单调区间.分析：这是一个复合函数的问题，因此，可以将函数分解成为我们熟悉的函数如二次函数、指数函数、对数函数等，利用这些熟悉的函数相应的性质来解决问题.解：函数f(x)=(31)122--x x 可以看成是由函数u ＝x 2－2x －1与函数y ＝(31)u 复合而成. (1)由u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x ∈R 时，u≥－2，此时函数y ＝(31)u 总有意义，所以函数f(x)定义域为R ；又由u≥－2，所以0＜(31)u ≤9，所以原函数的值域为(0，9]. (2)因为函数u ＝x 2－2x －1在[1，＋∞)上递增， 所以对于任意的1≤x 1＜x 2都有u 1＜u 2，所以有(31)1u ＞(31)1u ，即y 1＞y 2. 所以函数f(x)=(31)122--x x 在[1，＋∞)上递减. 同理可得函数f(x)=(31)122--x x 在(－∞，1]上递增. 点评：形如y ＝a f(x)(a ＞0，a≠1)的函数有如下性质：(1)定义域与函数f(x)定义域相同；(2)先确定函数u ＝f(x)的值域，然后以u 的值域作为函数y ＝a u (a ＞0，a≠1)的定义域求得函数y ＝a f(x)(a ＞0，a≠1)的值域；(3)函数y ＝a f(x)(a ＞0，a≠1)的单调性，可以由函数u ＝f(x)与y ＝a u (a ＞0，a≠1)按照“同增异减”即“单调性相同为增函数，单调性相异为减函数”的原则来确定.(4)从本题中的解答过程，可以体会到换元法在解决复合函数问题时的作用.例2 若函数f(x)=1212---•x x a a 为奇函数， (1)确定a 的值；(2)求函数f(x)的定义域；(3)求函数f(x)的值域；(4)讨论函数f(x)的单调性.分析：这是一个研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的问题，可以由函数的单调性、奇偶性的定义来解决相应的问题.解：先将函数f(x)=1212---•x x a a 化简为f(x)= a-121-x . (1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，即a-121--x ＋a-121-x ＝0，因为2a ＋x x 2121--＝0，所以a ＝－21. (2)因为f(x)＝－21－121-x ，所以2x －1≠0，即x≠0. 所以函数f(x)＝－21－121-x 的定义域为{x|x≠0}. (3)方法一：(逐步求解法)因为x≠0，所以2x －1＞－1.因为2x -1≠0，所以0＞2x －1＞－1或2x －1＞0.所以－21－121-x ＞21，－21－121-x ＜－21， 即函数的值域为(-∞,21-)∪(21,+∞). 方法二：(利用函数的有界性)由y=f(x)＝－21－121-x ≠－21，可得2x ＝2121+-y y . 因为2x ＞0，所以2121+-y y ＞0，可得y ＞21或y ＜-21,即f(x)＞21或f(x)＜－21， 所以函数的值域为(-∞,21-)∪(21,+∞). (4)当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)=a-1211-x -(a-1212-x )=1212-x -1211-x =)12)(12(221221---x x x x . ∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x ＜22x.∴12x －22x ＜0，12x －1＜0，22x －1＜0.∴f(x 1)-f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)，因此f(x)＝－21－121-x 在(0，＋∞)上递增. 同样可以得出f(x)＝－21－121-x 在(－∞，0)上递减. 点评：本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识.在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法.例3 若不等式3x +6x +9x ·a ＞-1对(-∞,1]上任意的x 恒成立，求实数a 的取值范围.分析：本题可以将不等式变形为a ＞f(x)或a ＜f(x)的形式，因为所给不等式恒成立，因此，实数a 的取值范围为a ＞[f(x)]max 或a ＜[f(x)]min ，这样就将问题转化为求f(x)的最大值或最小值.解：将不等式3x +6x +9x ·a ＞-1化为a ＞-[(31)x +(32)x +(91)x ]， 因为函数y=(31)x ,y=(32)x ,y=(91)x 在(-∞,1]上都是减函数，所以函数y=-[(31)x +(32)x +(91)x ]在(-∞,1]上是增函数.所以当x=1时，函数y=-[(31)x +(32)x +(91)x ]有最大值910-，所以，所求实数a 的取值范围为a ＞910-. 点评：(1)在解决有关恒成立问题时的常用方法之一是“变量分离法”，即将变量x 与参数a 分离后分别放在不等式或等式的两边，然后，再来求相关函数的最值.(2)在求函数的最值时，运用函数的单调性来求解是常用的方法之一.例4 已知函数f(x)=a x +12+-x x (a ＞1).(1)证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数；(2)证明：方程f(x)=0没有负数根.分析：要证明函数在某一个区间上的单调性，常用的方法是应用函数单调性的定义来证明.要证明方程没有负数根，可以先假设方程存在负数根，然后根据题目条件推出矛盾，从而证得结论.证明：(1)设x 1、x 2∈(-1,+∞)，且x 1＜x 2，f(x 2)-f(x 1)=)1)(1()(31212121211221112++-+-=+---+-+x x x x a a x x a x x a x x x x ， 因为x 1＜x 2，a ＞1，所以12x x a a >，又因为x 1、x 2∈(-1,+∞)，所以x 2+1＞0，x 1+1＞0.从而有f(x 2)-f(x 1)＞0，所以函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)设x 0(x 0＜0)是方程f(x)=0的根，则0x a +1200+-x x =0， 即0x a =1200+-x x .因为x 0＜0，所以0x a ∈(0,1). 又因为1200+-x x =130+x -1，若x 0＜-1，则130+x ＜0，所以130+x -1＜-1，即1200+-x x ＜-1； 若-1＜x 0＜0，则0＜x 0+1＜1，所以130+x ＞3，即1200+-x x ＞2. 所以1200+-x x ∈(-∞,-1)∪(2,+∞). 综上所述，满足0x a =1200+-x x 的x 0不存在，即方程f(x)=0没有负数根. 所以，方程f(x)=0没有负数根.点评：(1)对于函数单调性的证明或判断，利用函数单调性的定义是常用的证明或判断方法，另外，还有其他的方法，例如可以通过复合函数来判断或证明.(2)对于方程是否在某一个区间的根的存在性的判断，除了用本题的方法之外，还可以运用函数的单调性求出区间上的最值的方法来解决.知能训练1.已知函数f(x)是偶函数，且当x ＞0时，f(x)=10x ，则当x ＜0时，f(x)等于( )A.10xB.10-xC.-10xD.-10-x解答：B2.已知函数f(x)=a x 在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于( )A.251+B.251+-C.251±D.215+ 解答：D3.函数y=2x 与y=x 2的图象的交点个数为( )A.0B.1C.2D.3解答：D4.函数y=π-|x|是( )A.奇函数，且在(-∞,0]上是增函数B.偶函数，且在(-∞,0]上是减函数C.奇函数，且在[0,+∞)上是增函数D.偶函数，且在[0,+∞)上是减函数解答：D5.函数f(x)=(31)22++-x x 的单调增区间为____________. 解答：[21,2] 6.函数y=(41)2122+-x x 的值域为____________. 解答：(0,2]7.已知函数y=a+141+x 为奇函数，则a=____________.解答：21- 点评：进一步掌握指数函数的图象与性质.课堂小结1.指数函数y=a x (a ＞0,a≠1)是在定义域上的单调函数，复合函数y=a u [其中u 是关于x 的函数u(x)]的单调性，由函数y=a u 和u=u(x)的单调性综合确定.2.通过观察指数函数y=a x (a ＞0,a≠1)，不难发现：当⎩⎨⎧<<<<⎩⎨⎧>>10,101,1y a y a 或时，均有x ＞0；当⎩⎨⎧<<>⎩⎨⎧><<10,101,10y y a 或时，均有x ＜0.这一性质可以归结为“底幂同，大于零；底幂异，小于零”.熟悉这一性质，对于解决有关指数函数的问题非常有用.作业课本第55页习题2.2(2)第6、7、8题.设计感想本节课的内容主要是结合指数函数的性质来研究一些复合函数的性质，譬如研究复合函数的单调性和奇偶性，研究复合函数的单调区间以及函数的最值等等.其中复合函数的性质对于学生来说是难点，因此，在研究复合函数的性质时，注意归纳总结.一般地，函数y=f(u)和u=g(x)，设函数y=f[g(x)]的定义域为A ，如果在A 或A 的某个子区间上函数y=f(u)(称为外函数)与u=g(x)(称为内函数)的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在该区间上为递增函数，如果单调性相反，则复合函数y=f[g(x)]在该区间上为递减函数.这一个结论可以简记为“同增异减”.另外，在研究复合函数的性质时必须在函数y=f[g(x)]的定义域内研究.(设计者：王银娣)第三课时 指数函数(三)导入新课设计思路一(实际问题导入)当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5 730年衰减为原来的一半.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系P=(21)5730t，考古学家根据上面的这个式子依据生物体内的碳14含量P 的值，可以知道生物死亡的年数t.式子P=(21)5730t 是一个生物体内碳14含量P 关于生物死亡年数t 的函数，而且是一个指数函数形式的函数.这一节课我们来研究与指数函数相关的实际问题，也就是指数函数的实际应用问题.设计思路二(情境导入)请看下面的问题：某厂引进一个产品的生产线，第一个月这种产品的产量是100件，由于技术的不断熟练和更新，第二个月这种产品的产量是150件，第三个月这种产品的产量是225件，按照这样的生产速度，问第十个月这种产品的产量是多少件？问题的解决：因为第一个月这种产品的产量是100件，第二个月这种产品的产量是150件，第三个月这种产品的产量是225件，所以，可以得出这样的结论：后一个月的产量是前。

指数函数及其性质：：【学习目标】1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；2.掌握指数函数图象：(1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质；(2)掌握底数对指数函数图象的影响；(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别．3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题．【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.要点诠释：1（1）形式上的严格性：只有形如y=a x(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像y=2⋅3x，y=2x，y=3x+1等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：⎧⎪x>0时，a x恒等于0，①如果a=0，则⎨⎪⎩x≤0时,a x无意义.②如果a<0，则对于一些函数，比如y=(-4)x，当x=11,x=,⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在．24③如果a=1，则y=1x=1是个常量，就没研究的必要了．要点二、指数函数的图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质①定义域R，值域（0，+∞）②a0=1,即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点③a x=a，即x=1时，y等于底数a④在定义域上是单调减函数⑤x<0时，a x>1x>0时，0<a x<1⑥既不是奇函数，也不是偶函数④在定义域上是单调增函数⑤x<0时，0<a x<1x>0时，a x>1要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“a>1”和“0<a<1”两种情形讨论。

第8讲指数与指数函数1．根式(1)根式的概念(2)两个重要公式①na n＝⎩⎨⎧！！！a###(n为奇数)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧！！！a###(a≥0)，！！！－a###(a<0)(n为偶数)；②(na )n＝__a __(注意：a 必须使na 有意义)． 2．有理数的指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mna >0，m ，n ∈N *，且n >1)；②负分数指数幂：a －mn ＝！！！ 1a n###＝！！！ 1 ###(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于__0__,0的负分数指数幂__无意义__. (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s＝__ar ＋s__(a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝__a rs__(a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝__a r b r__(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)na n与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( × ) (2)2a·2b＝2a b ．( × )(3)函数y ＝3·2x与y ＝2x ＋1都不是指数函数．( √ )(4)若a m<a n(a >0且a ≠1)，则m <n .( × ) (5)函数y ＝2－x在R 上为单调减函数．( √ ) 解析 (1)错误．当n 为偶数，a <0时，na 不成立．(2)错误.2a ·2b ＝2a ＋b≠2ab.(3)正确．两个函数均不符合指数函数的定义． (4)错误．当a >1时，m <n ；而当0<a <1时，m >n .(5)正确．y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，根据指数函数的性质可知函数在R 上为减函数．2．函数f (x )＝1－2x的定义域是( A ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析 ∵1－2x≥0，∴2x≤1，∴x ≤0. 3．已知函数f (x )＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( A )A ．(1,5)B ．(1,4)C ．(0,4)D ．(4,0)解析 当x ＝1时，f (x )＝5.4．不等式2x 2－x <4的解集为__{x |－1<x <2}__.解析 不等式2x 2－x <4可化为2x 2－x <22，由指数函数y ＝2x 的性质可得，x 2－x <2，解得－1<x <2，故所求解集为{x |－1<x <2}．5．若函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a解析 由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2，得－2<a <－1或1<a < 2.一 指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．【例1】 计算：(1)3a 92 a －3÷3a －73a 13；(2)(0.027) －13 －⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912 －(2－1)0；(3)已知m 12 ＋m －12＝4，求m 32 －m －32m 12 －m －12 .解析 (1)原式＝(a 92 a －32 )13 ÷(a －73 a 133 )12 ＝(a 3)13 ÷(a 2)12 ＝a ÷a ＝1．(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－13 －72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45.(3)∵m 12 ＋m －12 ＝4，∴m ＋m －1＋2＝16，∴m ＋m －1＝14， ∴m 32 －m －32 m 12 －m －12 ＝(m 12 －m －12 )(m ＋m －1＋1)m 12 －m －12＝m ＋m －1＋1＝14＋1＝15.二 指数函数的图象及应用指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a 和一条渐近线y ＝0.(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换，得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． 【例2】 (1)函数y ＝a x－1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( D )(2)若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是__[－1,1]__.解析 (1)函数y ＝a x－1a(a >0，且a ≠1)的图象必过点(－1,0)，故选D ．(2)曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．三 指数函数的性质及应用指数函数性质问题的类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．【例3】 已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R ，且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解析 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数．∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x－e x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)存在，由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12，∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立．1．(2018·山东德州一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 ，则( D ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <c <a解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x为减函数，∴b <c ，又∵y ＝x 25 在(0，＋∞)上为增函数，∴a >c ，∴b <c <a ，故选D ．2．(2018·北京模拟)已知函数f (x )＝a x，其中a >0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)＝( A )A ．1B ．aC ．2D ．a 2解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0，又∵f (x )＝a x，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A ．3．函数y ＝4x＋2x ＋1＋1的值域为( B )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析 令2x＝t (t >0)，则函数y ＝4x＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)．∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y >1．∴所求值域为(1，＋∞)，故选B ．4．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( B )A ．14 B ．12 C ．2D ．4解析 ∵在[0,1]上y ＝a x与y ＝log a (x ＋1)具有相同的单调性，∴f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上单调，∴f (0)＋f (1)＝a ，即a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ，化简得1＋log a 2＝0，解得a ＝12.易错点 忽视对含参底数的讨论错因分析：对数函数、指数函数的底数含字母参数时，要分底数大于1和大于0小于1讨论．【例1】 已知函数f (x )＝|a －1|a 2－9(a x －a －x)(a >0且a ≠1)在R 上为增函数，求a 的取值范围．解析 ①当a >1时，a x 在R 上为增函数，y ＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 在R 上为减函数，∴y ＝a x －a－x为增函数．∵f (x )为增函数，∴|a －1|a 2－9>0，解得a >3或a <－3，又∵a >1，∴a >3.②当0<a <1时，y ＝a x 在R 上为减函数，y ＝a －x在R 上为增函数， ∴y ＝a x－a －x在R 上为减函数．∵f (x )为增函数，∴|a －1|a 2－9<0，解得－3<a <1或1<a <3.又∵0<a <1，∴此时0<a <1．综上，a 的取值范围为(0,1)∪(3，＋∞)．【跟踪训练1】 (2018·东北三校联考)若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( D )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 方程|a x－1|＝2a (a >0，且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图①，∴0<2a <1，即0<a <12；②当a >1时，如图②， 而y ＝2a >1不符合要求．∴0<a <12.课时达标 第8讲[解密考纲]本考点主要考查指数的运算、指数函数的图象与性质、简单的复合函数的单调性等，通常以选择题、填空题的形式呈现，题目难度中等或中等偏上．一、选择题1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243 ，b ＝425 ，c ＝2513 ，则( A ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析 因为a ＝243 ＝1613 ，b ＝425 ＝1615 ，c ＝2513 ，且幂函数y ＝x 13 在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b <a <c .2．(2018·河南洛阳模拟)已知函数f (x )＝2x－2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( B )解析 |f (x )|＝|2x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≥1，2－2x，x <1，易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1， 且过点(1,0)，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，故选B ．3．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( C )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，故选C ．4．(2018·山西太原模拟)函数y ＝2x －2－x是( A ) A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减解析 令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，排除C 项，D 项．又函数y ＝－2－x，y ＝2x 均是R 上的增函数，故y ＝2x －2－x在R 上为增函数，故选A ．5．(2018·浙江丽水模拟)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是( C )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)解析 原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2，故选C ．6．(2018·山东济宁模拟)已知函数f (x )＝|2x－1|，a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，一定成立的是( D )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ≥0，c ＞0C ．2－a＜2cD ．2a＋2c＜2解析 作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图，∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )， 结合图象知0<f (a )<1，a <0，c >0， ∴0<2a<1．∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a<1， ∴f (c )<1，∴0<c <1，∴1<2c<2， ∴f (c )＝|2c －1|＝2c－1， 又∵f (a )>f (c )，∴1－2a >2c－1， ∴2a ＋2c<2，故选D ． 二、填空题7．已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是__(0,1)__.解析 因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ，且f (－2)>f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a>1，解得0<a <1．8．已知函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a ＝__3__.解析 y ＝a 2x ＋2a x －1(a >1)，令a x ＝t ，则y ＝t 2＋2t －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a≤t ≤a ，此二次函数图象开口向上，对称轴为t ＝－1，又a >1，所以当t ＝a ，即x ＝1时取最大值，所以a 2＋2a －1＝14， 解得a ＝3.9．(2018·皖南八校联考)对于给定的函数f (x )＝a x－a －x(x ∈R ，a >0，a ≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是__①③④__(只需写出所有真命题的编号)．①函数f (x )的图象关于原点对称； ②函数f (x )在R 上不具有单调性； ③函数f (|x |)的图象关于y 轴对称； ④当0<a <1时，函数f (|x |)的最大值是0； ⑤当a >1时，函数f (|x |)的最大值是0.解析 ∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，f (x )的图象关于原点对称，①真；当a >1时，f (x )在R 上为增函数，当0<a <1时，f (x )在R 上为减函数，②假；y ＝f (|x |)是偶函数，其图象关于y 轴对称，③真；当0<a <1时，y ＝f (|x |)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x ＝0时，y ＝f (|x |)取最大值为0，④真；当a >1时，f (|x |)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x ＝0时，y ＝f (|x |)取最小值为0，⑤假．综上，真命题是①③④.三、解答题10．化简：(1)a 3b 23ab 2(a 14 b 12 )4a －13 b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278 －23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 解析 (1)原式＝(a 3b 2a 13b 23 ) 12ab 2a －13 b 13＝a 32 ＋16 ＋13 －1·b 1＋13 －2－13 ＝ab －1．(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12 －105－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723 ＋50012 －10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a x 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解析 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a 2＋3－4a，∵f (x )有最大值，∴g (x )应有最小值，且g (x )min ＝3－4a(a >0)， ∴f (x )max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133－4a ＝3，∴3－4a ＝－1，∴a ＝1． 12．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解析 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得解集为t ⎪⎪⎪⎭⎬⎫t >1或t <－13.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

函数与导数第8课时　指数函数、对数函数及幂函数(2) (对应学生用书(文)、(理)22～23页) 考情分析考点新知高考对指数函数的考查近三年有所升温重点是指数函数的图象和性质以及指数函数的实际应用问题在复习时要特别重视对指数函数性质的理解与应用． ① 了解指数函数模型的实际背景. 理解指数函数的概念并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点. 知道指数函数是一类重要的函数模型. 1. (必修1复习9改编)函数y＝a－3＋3恒过定点________．答案：(3) 解析：当x＝3时(3)＝a－3＋3＝4(x)必过定点(3)．(必修1复习3改函数y＝的定义域是________．答案：解析：由8－16所以2即4x≤3定义域是(必修1练习3)函数f(x)＝(a1)x是R上的减函数则a的取值范围是________________．答案：(－－1)∪(1) 解析：由0＜a－1＜1得＜a＜2所以1＜|a|＜即－＜a＜－1或＜a＜(必修1习题13改编)已知函数f(x)＝a＋是奇函数则常数a＝________.答案：－解析：由f(－x)＋f(x)＝0得a＝－(原创)函数y＝1＋－1|的值域为__________. 答案：(1] 解析：设y′＝＝|x－1|.由于且y′＝是减函数故00，a≠1)叫做指数函数函数的定义域是R．指数函数的图象与性质 a>101；x＜0时(x)<1(2) 当x＞0时(x)1(3) 在(－∞，＋∞)上是增函数(3) 在(－∞＋∞)上是减函数 [备课札记] 题型1　指数型函数的定义域、值域例1　已知x∈[－3]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值．解：f(x)＝－＋1＝4－x－2－x＋1＝2－2x－2－x＋1＝＋[－3], ∴ ≤2－x则当2－x＝即x＝1时(x)有最小值；当2－x＝8即x＝－3时(x)有最大值57. 已知9－103x＋9≤0求函数y＝－4＋2的最大值和最小值．解：由9－10·3＋9≤0得(3－1)(3－9)≤0解得1≤3令()＝t则＝4t－4t＋2＝4(t－)＋1当t＝即x＝1时＝1；当t＝1即x＝0时＝2.题型2　指数型函数的图象例2　已知函数f(x)＝|2－1－1|.1) 作出函数y＝f(x)的图象；(2) 若af(c)求证：2＋2(1) 解：f(x)＝其图象如图所示． (2) 证明：由图知(x)在(－∞]上是减函数在[1＋∞)上是增函数故结合条件知必有a1则由f(a)>f(c)得1－2－1－1－1即2－1＋2－1所以2＋2综上知总有2＋2 画出函数y＝的图象并利用图象回答：k为何值时方程＝k无解？有一个解？有两个解？解： 由图知当k<0时方程无解；当k＝0或k≥1时方程有一个解；当0<k0且a≠1)．(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 讨论函数f(x)的奇偶性；(3) 求a的取值范围使f(x)>0在定义域上恒成立．解：(1) 由于ax－1≠0则a所以x≠0所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}．(2) 对于定义域内任意的x有(－x)＝(＋)(－x)＝－＝－＝＝(x)，　所以f(x)是偶函数．(3) ① 当a>1时对x>0所以a即a－1>0所以＋又x>0时所以x>0， 即当x>0时(x)>0. 由(2)知(x)是偶函数即f(－x)＝f(x)则当x0有f(－x)＝f(x)>0成立．综上可知当a>1时(x)>0在定义域上恒成立．当00时此时f(x)<0不满足题意；当x0有f(－x)＝f(x)1. 设a＞0(x)＝＋是R上的偶函数．(1) 求a的值；(2) 判断并证明函数f(x)在[0＋∞)上的单调性；(3) 求函数的值域．解：(1) 因为f(x)为f(1)＝(－1)于是＋＝＋3a即＝因为＞0故a＝1.(2) 设x＞x(x1)－f(x)＝(3－)(－1)．因为3为增函数且x＞x故3－3＞0.因为x＞0故x＋x＞0于是＜1即－1＜0所以f(x)－(x2)＜0所以(x)在[0＋∞)上为增函数．(3) 因为函数为偶函数且f(x)在[0＋∞)上为增函数故f(0)＝2为函数的最小值于是函数的值域为[2＋∞)． 1. (2013·西安一检)函数y＝a－(a>0)的图象可能是________．(填序号) 答案：④解析：当a>1时＝a－为增函数且在y轴上的截距－故①②不正确；当时＝a－为y轴上的截距1－故④正确．(2013·温州二模)以下函数中满足f(x＋1)>f(x)＋1的是________．(填序号)(x)＝；② f(x)＝；③ f(x)＝－x；④f(x)＝＋x.答案：④解析：若f(x)＝＋x则f(x＋1)＝＋1＋x＋1＝x＋1>＋x＋1＝f(x)＋1.(2013·天津)设函数f(x)＝＋x－2(x)＝＋x－3.若实数a、b满足f(a)＝0(b)＝0则g(a)、f(b)、0三个数的大小关系为________．答案：g(a)<0<f(b)解析：易知f(x)是增函数(x)在(0＋∞)上也是增函数由于f(a)＝0而(0)＝－10所以0<；又g(1)＝－20所以1<b0(a)<0，故g(a)<0a>0(1) 记集合M＝{(a)|a、b、c不能构成一个三角形的三条边长且a＝b}则(a)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________．(2) 若a、b、c是△ABC的三条边长则下列结论正确的是________．(填序号)(－∞)，f(x)>0；使a、b、c不能构成一个三角形的三条边长；若△ABC为钝角三角形则(1，2)，使f(x)＝0.答案：(1) {x|0a>0＝b且a、b、c不能构成一个三角形的三条边长所以0<2a≤c所以令f(x)＝0得2a＝c即＝2即x＝2，＝≥1， 所以0c因为c>所以0<cx＝>0，①正确；令a＝2＝3＝4则a、b、c可以构成三角形而a＝4＝9＝16不能构成三角形正确；由c>a且△ABC为钝角三角形则a＋b－c因为(1)＝a＋b－c>0(2)＝a＋b－c所以f(x)在(1)上存在零点正确． 1. 已知函数f(x)＝a－是定义在(－∞－1]∪[1＋∞)上的奇函数则f(x)的值域是________．答案： 解析：因为f(x)是奇函数1)＋f(1)＝0解得a＝－所以f(x)＝－－易知f(x)在(－∞－1]上为增函数在[1＋∞)上也是增函数．当x∈[1＋∞)时(x)∈.又f(x)是奇函数所以f(x)的值域是. 2. 已知f(x)＝(－1)＋(－x－1)则f(x)的最小值为________．答案：－2解析：将f(x)展开重新配方得f(x)＝(＋－x)－2(＋－x)－2令t＝＋－x则g(t)＝t－2t－2＝(t－1)－3[2，＋∞)所以最小值为－2.设函数y＝f(x)在(－∞＋∞)内有定义对于给定的正数K定义函数f(x)＝取函数f(x)＝2－|x|当K＝时函数f(x)的单调递增区间为________答案：(－∞－1)解析：函数f(x)＝2－|x|＝作图易知f(x)≤K＝(－∞－1]∪[1＋∞)故在(－∞－1)上是单调递增的．若函数f(x)＝a(a>1)的定义域和值域均为[m]，求实数a的取值范围．解：由题意即方程a＝x有两个不同的解设(x)＝a－x(x)＝a－1令f′(x)＝0得x＝＝－na，分析得f(－)0，a≠1)的图象进行平移、翻折可作出y－y＝f(x－x)，y＝|f(x)|＝f(|x|)等函数的图象要善于灵活应用这类函数图象变换画图和解题．对可转化为a＋b·a＋c＝0或a＋b·a＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式常借助 [备课札记]。