振动力学第三讲 单自由度系统

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内容总结
第四课 单自由度系统： 阻尼自由振动。库仑阻尼与结构阻尼。库仑阻尼与结构阻尼。比如汽车上常用的液压筒式减振器，其内部的工 作缸被活塞分成上下两腔，并充满液体。当活塞与工作缸有相对运动时，强迫液体经过活塞上的阀在上下腔运 动，液体经脱阀时产生的阻力，使运动能量变为热能耗散掉。在理论分析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性 阻尼，它是由于气体或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的热量等能量耗散的度量。例 题
(2.3-2)
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粘性阻尼振动系统
s1,2
c 2m
c
c
2
k
2m 2m m
c
2
2m
k m
c 2m
c
i
2m
k c 2 m 2m
k
c
c
2
k
2m m
c
2
k
2m m
c 2 k 2m m
x m
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粘性阻尼振动系统
考虑 x Aest Aeσ iω ( Aeσ )eiω ，如果 0 ，则物体的运动将不
fd jx
式中 为结构阻尼系数，它与刚度 k 成正比，
gk
式中 g 为结构阻尼损耗因子，或称结构阻尼比。结构阻尼系统运动
方程为
mx kx jx f
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Homework
▪ Write the differential equation of motion for the system in the following figure and determine the natural frequency of damped oscillation and critical damping coefficient.

kx H sin(t ) m x
2 令 n k , h H 则 m m 2 x x h sin(t ) n
无阻尼受迫振动微分方程的标准形式 ，二阶常系数非齐次线性微分方程。
x x1 x2
x1 A sin( n t ) 为对应齐次方程的通解 x2 b sin(t ) 为特解 h h b 2 , x sin(t ) 2 2 2 2 n n h x A sin( t ) sin(t ) 全解为 n 2 2 n ：
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。
2 f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T，T 。 n n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
n 1 c fn 2 2 a
n反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
则自由振动的微分方程的标准形式 ： 2
q q 0
其解为 也可以写成 有
q A sin(nt ) q C1 cos nt C2 sin nt
2 1 2 2
A C C
C1 tg C2
1
6
对于初始扰动引起的自由运动
=q 0 设 t = 0 时， q = q0 , q
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的例子

J
k
实验确定转动惯量装置
5
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
c a, c是与系统的物理参数有关的常数，令 a
2 n

3.1.2 几个概念和定义
图 3.1 弹簧连 接 的两个物体
研究系统的振动问题时，常常把它简化成由若干个“无质量”的弹簧和“无弹性”
3-2
的质量所组成的模型，称为弹簧－质量系统（spring mass system）。如图 3.2，就是最简 单的振动系统，只包含一个弹簧 和一个质量 。
图 3.2 弹簧－质量体系
如果要取 个数字才能确定一个机械系统的位置，这个机械系统就叫做具有 个自由 度的系统。例如：在自身平面无约束地运动的一个圆盘具有三个自由度：重心的 位移 和 位移，以及绕重心的转动角。
一个系统究竟有多少个自由度，常常是很复杂的问题，这不仅取决于系统本身的结 构特性，还要根据所研究问题的性质、要求的精度以及振动的实际情况来确定。简化的 结果是否正确，还要经过实验来检验。
用一根弹簧把一个质量 悬挂在刚性天花板上。弹簧的刚度由弹性系数 表示。在质 量和刚性天花板之间有油或者空气缓冲器机构。质量静止时，缓冲器不传递力，质量运 动时，缓冲器的阻尼力与速度成正比，即 。 叫做阻尼常数或粘性阻尼常数。
在实际机械系统中所发生的阻尼常数并不按照 这个关系这样简单，而往往是非常 复杂的情况，但是使用这个关系进行分析是很简单的，因此得到大量的应用。
Contents
第 3 章 单自由度系统自由振动 ........................................................................................... 3-2 3.1 引言 .......................................................................................................................... 3-2 3.1.1 自由度 ........................................................................................................... 3-2 3.1.2 几个概念和定义 ........................................................................................... 3-2 3.2 振动微分方程的推导 .............................................................................................. 3-3 3.2.1 单自由度弹簧线振动 ................................................................................... 3-3 3.2.2 单自由度扭转系统 ....................................................................................... 3-4 3.2.3 单自由度电路的微分方程 ........................................................................... 3-5 3.2.4 直线、扭转和电路的比拟关系 ................................................................... 3-5 3.2.5 弹簧顶部运动导致的振动 ........................................................................... 3-7 3.3 单自由度无阻尼自由振动 ...................................................................................... 3-9 3.3.1 一般解 ........................................................................................................... 3-9 3.3.2 静变形法 ..................................................................................................... 3-10 3.3.3 能量法 ......................................................................................................... 3-10 3.3.4 瑞利法 ......................................................................................................... 3-12 3.3.5 等效刚度 ..................................................................................................... 3-13 3.3.6 单摆和复摆 ................................................................................................. 3-16 3.4 有粘性阻尼的自由振动 ........................................................................................ 3-17 3.4.1 阻尼 ............................................................................................................. 3-17 3.4.2 有阻尼的自由振动 ..................................................................................... 3-18 3.5 对数衰减 ................................................................................................................ 3-21 3.6 习题 ........................................................................................................................ 3-25

第三章
单自由度体系振动
R(t )
讨论2：共振反应
4
0

tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3

无阻尼体系
D
2

R(t )
1 2
1

0 0.0

0.5
1.0

1.5
2.0

0
t
1 2
阻尼体系
中南大学桥梁工程系
第三章
单自由度体系振动
讨论3：相位角与阻尼、频率的关系


vp vg 0 [k 2 (c ) 2 ]sin(t ) [k (k m 2 ) (c ) 2 ]2 (mc 3 ) 2 sin(t )
3 mc 1 tan k (k m 2 ) (c )2
问题：实测地震荷载，如何解？
分析自由振动的目的---确定体 系的动力特性：频率、周期。
第三章
单自由度体系振动
•无阻尼自由振动
（1）振动方程
kv 0 mv
静力变位 vst
k
静力 平衡位置
m
t 时刻的 振动位移 v(t )
2 v v 0
（2）方程通解
v(t ) c1 cos t c2 sin t
sin cos e sin D t sin cos D t D sin( t )
t
说明：第1部分为瞬态响应，逐渐衰减消失； 第2部分为伴生自由振动，逐渐衰减消失； 第3部分为稳态响应，持续振动。
中南大学桥梁工程系
第三章
第三章 单自由度体系振动

运动方程的建立 自由振动 简谐荷载作用下的强迫振动 周期荷载作用下的强迫振动

0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18

l，
如图所示的物理摆，悬 挂点和质心的距离为S，对 O点转动惯量为J，求其微 分方程和固有频率
能量法原理
在阻尼可以略去不计的条件下，振动系统 自由振动时的机械能（动能+势能）保持常 值。
T U const
d T U 0 dt
对上式两端求导，可得
自由振动系统性质
对一个振动系统，如在动能最大时，取势 能为零，则在动能为零时，势能取最大值。
0
x
1 K 2 2
K 为抗扭弹簧系数
3. 刚体的重力势能
U mgzc
势能参考点的选取
势能是一个参考值，和其具体值的大小和 参考点选取有关
d T U 0 时，要注意，势 在使用 dt 能基准值的选取，应使振动系统在动能最大 时，势能为零。
例一
如图的系统，使其 偏转 角后放手，求 系统的微分方程和 固有频率
1 2 Tm my 2
1 33 T Tb Tm l m y 2 系统总动能： 2 140
系统的方程

1 2 1 3EI 2 系统的势能： U ky 3 y 2 2 l
根据：
d T U 0 dt
33 3EI 系统微分方程： 140 l m y l 3 y 0
固有频率： n
3EI 33 3 l m l 140
结论
可见，悬臂梁的质量对振动系统的固有频 率的影响相当于在自由端加上梁的等值质 33 量 l ，此值稍小于全梁质量的 1
140
4
思考：梁自重造成梁端部的位移，会不会影 响本题的精度。
等值刚度
弹簧的并联 若使刚度为 k1 ，k 2 的两根 弹簧的下端都伸长s ，所 需要统总响应

ωd与相应的无阻尼自由振动的T 、f和ω0的关系：
Td
T 1
2
d 0 1
2
fd f 1
2
表明：由于阻尼的存在，使系统自由振动的周期增大，频 率减小。当空气中的振动系统阻尼比比较小时，可认为：
ωd =ω0 ， Td =T
阻尼对振幅的影响
nt 2 2 x Ae sin( n t ) 由衰减振动运动规律： 0
时间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能 量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力与速度一次方成正 比，这种阻尼称为粘性阻尼。这种阻尼实际上较多，这里将以此 研究。
1 2ml 2 4kmb 2l 2 c 2 a 4
k b
l m
阻尼固有频率： 1 2 d 0
1
2bl cc 2 a
mk
k=2000 N/m。使系统发生自由振动，测得其相邻两个振幅之比为： Ai / Ai 1 100/ 98 ,求系统的临界阻尼系数和阻尼系数各为多少？
解：
求出对数减缩率:
Ai ln Ai 1
100 ln 0.0202 98
k
c
O
Fk
Fc
阻尼比为:
0.003215 2
sin(d t )
0;可求得有阻尼自 当初瞬时t=0，质点的坐标为x=x0 速度v= x
由振动中的振幅和相位：
A
2 ( x nx ) 2 x0 0 2 02 0 n

= 1 1 (ka 2θ 2 − mglθ 2 ) = ( ka 2 − mgl )θ 2 2 2 ka 2 − mgl ω0 = ml 2
x(t ) = A sin( ω0t + ϕ )
Tmax = U max
θ&max = ω0θ max
单自由度系统的自由振动-能量法
•
单自由度系统的自由振动-能量法
2
振动初始条件：
kx0 = mg × sin 30
0
考虑方向
x0 = −0.1 (cm)
& 初始速度： x0 = 0
运动方程： x(t ) = −0.1 cos( 70t ) (cm)
x(t ) = x0 cos(ω0t ) +
ω0
& x0
sin( ω0t )
单自由度系统的自由振动-无阻尼系统 • 例题
概述
• 时不变系统：指系统的物理特征或性质恒定，不随时间变 化。反之，则称为时变系统。 • 线性系统：指系统的运动规律可由线性方程描述。反之， 则称为非线性系统。线性系统满足如下的叠加原理，即
f表示激励，x表示响应。 • 一般而言，非线性系统不适用叠加原理。 • 实际的机械系统往往是非线性的，但多数系统在特定范围 或条件下，可以近似为线性系统。
ω0
A = x0 + (
2
ω0
& x0
) , ϕ = arctan
ω0 x0
& x0
• 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是 以为振动频率的简谐振动，并且永无休止 • 初始条件的说明 初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即传 入了弹性势能，有初始速度即传入了动能
单自由度系统自由振动

整理得：
2W 2 2 T1 T gAT 1 T
μ的物理意义是单位面积的阻尼系数。
23
第2章 单自由度系统--阻尼自由振动
24
第2章 单自由度系统--阻尼自由振动
25
第2章 单自由度系统--阻尼自由振动
例
习题课—单自由度系统阻尼简谐振动
解
26 Theory of Vibration with Applications
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--阻尼自由振动 第 2章 --阻尼自由振动 第 2章 单自由度系统 单自由度系统 引言
粘性阻尼－若物体以较大速度在空气或液体中运 动，阻尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在粘 性介质中运动（包括两接触面之间有润滑剂时）可以 认为阻尼与速度成正比。
物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系
Fc cx
4 Theory of Vibration with Applications
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--阻尼自由振动 第 2章 --阻尼自由振动 第 2章 单自由度系统 单自由度系统 引言
• 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。 如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在 无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有 阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。 • 最常见的阻尼是
2 2
xe
nt
(C1e
n2 - p2 t
C2 e
n2 - p2 t
)
临界阻尼(n = p )情形 r1 r2 n
Theory of Vibration with Applications
x e nt (C1 C2 t )
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第2章
单自由度系统--阻尼自由振动 运动微分方程