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第三章 函数逼近与曲线拟合1． ()sin 2f x x π=，给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式1(,)B f x 及3(,)B f x 。
解：()sin ,2f x π=[0,1]x ∈伯恩斯坦多项式为0(,)()()nn k k kB f x f P x n==∑其中()(1)k n k k n P x x x k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭当1n =时，01()(1)0P x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1101()(,)(0)()(1)()1(1)sin(0)sin 022P x xB f x f P x f P x x x xππ=∴=+⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭=当3n =时，302212223331()(1)01()(1)3(1)03()(1)3(1)13()3P x x P x x x x x P x x x x x P x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭3302232233223(,)()()03(1)sin 3(1)sin sin 6323(1)(1)225632221.50.4020.098k k k B f x f P x n x x x x x x x x x x x x x x x x πππ=∴==+-+-+=-+-+-=++≈--∑ 2． 当()f x x =时，求证(,)n B f x x =证明：若()f x x =，则(,)()()nn k k k B f x f P x n ==∑ 00111(1)(1)11(1)(1)(1)(1)!(1)[(1)(1)1](1)(1)!1(1)11(1)1[(1)]n k n kk n k n kk n k n kk n k n k k n k n k k n n k x x k n k n n n k x x nk n n k x x k n x x k n x x x k x x x x-=-=-=-=----=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭--+=-----+=---⎛⎫=- ⎪-⎝⎭-⎛⎫=- ⎪-⎝⎭=+-=∑∑∑∑∑3．证明函数1,,,n x x 线性无关 证明：若20120,n n a a x a x a x x R ++++=∀∈ 分别取(0,1,2,,)k x k n =，对上式两端在[0,1]上作带权()1x ρ≡的内积，得0101010211111n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭++ 此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异，∴只有零解a=0。
第三章 函数逼近与曲线拟合1 函数的逼近与基本概念1.1问题的提出多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()k k k f x a x ∞==∑，()(0)!k k f a k =在[1,1]-上收敛。
当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。
这个误差分布是不均匀的。
当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。
为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。
插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。
更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。
如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。
由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。
如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。
实验数据真函数插值多项式逼近精确的线性逼近图11.2范数与逼近一、线性空间及赋范线性空间要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间.最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构成线性空间.例如将所有实n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线性空间，记作n R ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间.所有定义在[,]a b 上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R 上的线性空间，记作[,]C a b .类似地，记[,]p C a b 为具有p 阶连续导数的函数空间.在实数的计算问题中，对实数的大小、距离及误差界等是通过绝对值来度量的.实践中，我们常常会遇到对一般线性空间中的向量大小和向量之间的距离进行度量的问题，因此有必要在一般线性空间上，赋予“长度”结构，使线性空间成为赋范线性空间.定义1 设X 是数域K 上一个线性空间，在其上定义一个实值函数，即对于任意,x y X ∈及K α∈，有对应的实数x 和y ，满足下列条件(1) 正定性：0x ≥，而且0x =当且仅当0x =；(2) 齐次性：x x αα=；(3) 三角不等式：x y x y +≤+；称为X 上的范数，定义了范数的线性空间就称为赋范线性空间.以上三个条件刻划了“长度”、“大小”及“距离”的本质，因此称为范数公理.对n X 上的任一种范数，n X ∀∈x,y ，显然有±≥-x y x y .n R 上常用的几种范数有：(1) 向量的∞-范数：1max i i nx ∞≤≤=x(2) 向量的1-范数：11n i i x ==∑x(3) 向量的2-范数：12221()n i i x ==∑x (4) 向量的p -范数：11()n p pi p i x ==∑x其中[1,)p ∈∞，可以证明向量函数()p N x x ≡是nR 上向量的范数. 前三种范数是p -范数的特殊情况（lim p p ∞→∞=x x ）.我们只需表明(1).事实上1111111max max max n n p pp p i i i i i n i n i n i i x x x x ≤≤≤≤≤≤==⎛⎫⎛⎫≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑及max 1p →∞=，故由数学分析的夹逼定理有1l i m ma x i p p i nx ∞→∞≤≤==x x 。
实验三 函数逼近与曲线拟合实验3.1（曲线逼近方法的比较） 问题提出：曲线的拟合和插值，是逼近函数的基本方法，每种方法具有各自的特点和特定的适用范围，实际工作中合理选择方法是重要的。
实验内容：考虑实验2.1中的著名问题。
下面的MATLAB 程序给出了该函数的二次和三次拟合多项式。
x=-1:0.2:1;y=1/(1+25*x.*x); xx=-1:0.02:1; p2=polyfit(x,y,2); yy=polyval(p2,xx); plot(x,y,’o’,xx,yy); xlabel(‘x’); ylabel(‘y’); hold on;p3=polyfit(x,y,3); yy=polyval(p3,xx); plot(x,y,’o’,xx,yy); hold off;适当修改上述MATLAB 程序，也可以拟合其他你有兴趣的函数。
实验要求：（1）将拟合的结果与拉格朗日插值及样条插值的结果比较。
（2）归纳总结数值实验结果，试定性地说明函数逼近各种方法的适用范围，及实际应用中选择方法应注意的问题。
实验3.2：（最小二乘拟合的经验公式和模型）1.（已知经验公式）：某类疾病发病率为y ‰和年龄段x (每五年为一段，例如0~5岁为第一段，6~10岁为第二段……)之间有形如bxae y =的经验关系，观测得（1）用最小二乘法确定模型bxae y =中的参数a 和b (提示函数：lsqcurvefit ，lsqnonlin )。
（2）利用MATLAB 画出离散数据及拟合函数bxae y =图形。
（3）利用MATLAB 画出离散点处的误差图，并计算相应的均方误差。
2．（最小二乘拟合模型未知） 某年美国轿车价格的调查资料如表，其中i x 表示轿车的使用年数，i y 表示相应的平均价格，实验要求：试分析用什么形式的曲线来拟合表中的数据，并预测实验3.3（研究最佳平方逼近多项式的收敛性质）实验内容和要求：取函数xe xf =)(，在[-1，1]上以勒让德多项式为基函数，对于10,,1,0 =n 构造最佳平方逼近多项式)(x p n ，令)()()(x p x f x n n -=ε，将x x n ~)(ε的曲线画在一个图上。
西安科技大学《数值分析》实验报告题目：函数逼近与曲线拟合院系（部）：计算机科学与技术学院专业及班级：姓名：学号日期：2019/11/11一、实验名称函数逼近与曲线拟合二、实验目的及要求实验目的：⑴学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。
实验要求：⑴编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，做出离散函数（）和拟合函数的图形；⑵用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB的内部函数plot作出其图形，并与（1）结果进行比较。
三、实验中的算法描述1.设拟合多项式为：2.给点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和：3.为了求得到符合条件的a的值，对等式右边求偏导数，因而我们得到了：4.将等式左边进行一次简化，然后应该可以得到下面的等式5.把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====n i i n i n i i k n i k i ni k ini k i n i k i ni in i ini k ini iy y y a a x xx x xxx x 11i 110121111112111a n6. 将这个范德蒙得矩阵化简后得到⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k n n k k y y y a a a x x x x x x 21102211111 7.因为Y A X =*,那么X Y A /=,计算得到系数矩阵，同时就得到了拟合曲线。
四、课程设计内容⑴实验环境：MATLAB2010b⑵实验内容：给定的数据点（ ）1) 用最小二乘法求拟合数据的多项式； 2) 用MATLAB 内部函数polyfit 函数进行拟合。
数值分析实验报告一、实验题目：函数逼近与曲线拟合二、目的和意义：1.掌握曲线拟合的最小二乘法2.最小二乘法亦可用于解超定线性代数方程组3.探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系三、计算公式（算法）：由已知的离散数据点选择与实验点误差最小的曲线)(...)()()(1100x a x a x a x S n n ϕϕϕ+++= 称为曲线拟合的最小二乘法。
若记),()()(),(0i k i j m i i k j x x x ϕϕωϕϕ∑==k i k i mi i k d x x f x f ≡=∑=)()()(),(0ϕωϕ 上式可改写为),...,1,0(;),(n k d a k j no j j k -=∑=ϕϕ这个方程成为法方程，可写成矩阵形式.d Ga =其中,),...,,(,),...,,(1010T n T n d d d d a a a a ==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(),()(),(),(),(),(),(101110101000n n n n n n G ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 。
它的平方误差为：.)]()([)(||||2022i i mi i x f x S x -=∑=ωδ 1） 按照最小二乘法的性质构造Gram 矩阵G ，并求解Ga=d ；构造的时候首先构造一个零矩阵A ；2）然后开始构造Gram 矩阵（在下面程序里我们把克莱姆矩阵用A来表示）3）然后求列矩阵b，因为Aa=b，所以求a=A\b；（d就是列矩阵b）; 4）然后找对应数据的最小二乘拟合方程和画出它的图像；四、结构程序设计：n=3M=zeros(n,12)%三行十二列的零矩阵M(1,:)=[0:5:55];%输入x值for i=2:nM(i,:)=power(M(1,:),i);end%内积求φiA=zeros(n,n);%n行n列零矩阵for i=1:nfor j=1:nA(i,j)=M(i,:)*M(j,:)'endend%Gram矩阵y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64];y=y.*10.^(-4);b=[];for i=1:nb(i)=M(i,:)*y';endformat long;c=[];b=b'c=A\b%输出系数d=[];for i=1:nd(i)=c(n-i+1);endd(n+1)=0plot(M(1,:),y,'*');hold on x1=[0:1:55];plot(x1,polyval(d,x1)); legend('数据点','二次拟合') title('二次拟合')set(gcf,'color','w');%画图error=0,e=[];e=polyval(d,M(1,:))-y; error=e*e';e=sqrt(error)%求误差五、输出结果：首先是关于原问题的拟合拟合图像再考虑四次项时的拟合，即当n=4时输出结果如图所示可见四次拟合时误差会更小一些六、讨论和分析：拟合方程的选取至关重要，它决定了最大误差、平均误差的大小，即拟合曲线的接近程度。
