数值分析4 函数逼近与曲线拟合

常用函数的逼近和曲线拟合在数学中，函数逼近和曲线拟合都是常见的问题。

函数逼近是指找到一个已知函数，尽可能地接近另一个函数。

而曲线拟合则是给定一组数据点，找到一条曲线来描述这些数据点的分布。

本文将讨论常用的函数逼近和曲线拟合方法。

一、函数逼近1. 插值法插值法是最简单的函数逼近方法之一。

它的基本思想是：给定一组已知点，通过构造一个多项式，使得该多项式在这些点处的函数值与已知函数值相等。

插值法的优点是精度高，缺点是易产生龙格现象。

常用的插值多项式有拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。

拉格朗日插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}\prod_{j=i,j\neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$其中，$x_{i}$是已知点的横坐标，$y_{i}$是已知点的纵坐标，$n$是已知点的数量。

牛顿插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]\prod_{j=0}^{i-1}(x-x_{j})$其中，$f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]$是已知点$(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...,(x_{i},y_{i})$的差商。

2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的函数逼近方法。

它的基本思想是：给定一组数据点，找到一个函数，在这些数据点上的误差平方和最小。

通常采用线性模型，例如多项式模型、指数模型等。

最小二乘法的优点是适用性广泛，缺点是对于非线性模型要求比较高。

最小二乘法的一般形式为：$F(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x)$其中，$a_{i}$是待求的系数，$\varphi_{i}(x)$是一组已知的基函数，$n$是基函数的数量。

最小二乘法的目标是使得$\sum_{i=1}^{m}[f(x_{i})-F(x_{i})]^{2}$最小，其中$m$是数据点的数量。

曲线拟合实验报告[优秀范文5篇]第一篇：曲线拟合实验报告数值分析课程设计报告学生姓名学生学号所在班级指导教师一、课程设计名称函数逼近与曲线拟合二、课程设计目的及要求实验目的: ⑴学会用最小二乘法求拟合数据的多项式,并应用算法于实际问题。

⑵学会基本的矩阵运算,注意点乘与叉乘的区别。

实验要求: ⑴编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式,并求平方误差,做出离散函数与拟合函数的图形;⑵用MATLAB 的内部函数polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差,并用MATLAB的内部函数plot作出其图形,并与(1)结果进行比较。

三、课程设计中的算法描述用最小二乘法多项式曲线拟合,根据给定的数据点,并不要求这条曲线精确的经过这些点,而就是拟合曲线无限逼近离散点所形成的数据曲线。

思路分析 : 从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点）（i iy x , 误差i i iy x p r -=)(的大小,常用的方法有三种:一就是误差i i iy x p r -=)(绝对值的最大值im ir≤≤ 0max ,即误差向量的无穷范数;二就是误差绝对值的与∑=miir0,即误差向量的 1成绩评定范数;三就是误差平方与∑=miir02的算术平方根,即类似于误差向量的 2 范数。

前两种方法简单、自然,但不便于微分运算,后一种方法相当于考虑 2 范数的平方,此次采用第三种误差分析方案。

算法的具体推导过程: 1、设拟合多项式为:2、给点到这条曲线的距离之与,即偏差平方与:3、为了求得到符合条件的 a 的值,对等式右边求偏导数,因而我们得到了:4、将等式左边进行一次简化,然后应该可以得到下面的等式5、把这些等式表示成矩阵的形式,就可以得到下面的矩阵:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====niininiiknikinikinikinikiniiniinikiniiyyyaax x xx x xx x11i11012111111211 1an MMΛM O M MΛΛ 6.将这个范德蒙得矩阵化简后得到⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n kkn nkkyyyaaax xx xx x M MΛM O M MΛΛ21102 21 1111 7、因为 Y A X = * ,那么 X Y A / = ,计算得到系数矩阵,同时就得到了拟合曲线。

数值分析实验三：函数逼近与曲线拟合1曲线逼近方法的比较1.1问题描述曲线的拟合和插值，是逼近函数的基本方法，每种方法具有各自的特点和特定的适用范围，实际工作中合理选择方法是重要的。

考虑实验2.1中的著名问题。

下面的MATLAB程序给出了该函数的二次和三次拟合多项式。

x=-1:0.2:1;y=1./(1+25*x.*x);xx=-1:0.02:1;p2=polyfit(x,y,2);yy=polyval(p2,xx);plot(x,y,’o’,xx,yy);xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);hold on;p3=polyfit(x,y,3);yy=polyval(p3,xx);plot(x,y,’o’,xx,yy);hold off;实验要求：(1) 将拟合的结果与拉格朗日插值及样条插值的结果比较。

(2) 归纳总结数值实验结果，试定性地说明函数逼近各种方法的适用范围，及实际应用中选择方法应注意的问题。

1.2算法设计对于曲线拟合，这里主要使用了多项式拟合，使用Matlab的polyfit函数，可以根据需要选用不同的拟合次数。

然后将拟合的结果和插值法进行比较即可。

本实验的算法比较简单，此处不再详述，可以参见给出的Matlab脚本文件。

1.3实验结果1.3.1多项式拟合1.3.1.1多项式拟合函数polyfit和拟合次数N的关系1 / 13首先使用polyfit函数对f(x)进行拟合。

为了便于和实验2.1相比较，这里采取相同的参数，即将拟合区间[-1,1]等分为10段，使用每一段区间端点作为拟合的数据点。

分别画出拟合多项式的次数N=2、3、4、6、8、10时，f(x)和多项式函数的图像，如图1所示。

Matlab 脚本文件为Experiment3_1_1.m。

Figure 1 多项式拟合与拟合次数N的关系可以看出，拟合次数N=2和3时，拟合效果很差。

增大拟合次数，N=4、6、8时，拟合效果有明显提高，但是N太大时，在区间两端附近会出现和高次拉格朗日插值函数类似的龙格现象。

函数逼近与曲线拟合3.１函数逼近的基本概念3.1.1 函数逼近与函数空间在数值计算中常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其他特殊函数；当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的简单表达式，这些都涉及到在区间上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题．上章讨论的插值法就是函数逼近问题的一种．本章讨论的函数逼近，是指“对函数类Ａ中给定的函数，记作，要求在另一类简单的便于计算的函数类Ｂ中求函数，使与的误差在某种度量意义下最小”．函数类Ａ通常是区间上的连续函数，记作，称为连续函数空间，而函数类Ｂ通常为n次多项式，有理函数或分段低次多项式等．函数逼近是数值分析的基础，为了在数学上描述更精确，先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识．数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将为样的集合称为空间．例如将所有实n维向量组成集合，按向量加法及向量与数的乘法构成实数域上的线性空间，记作，称为n维向量空间．类似地，对次数不超过n（n为正整数）的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域上的一个线性空间，用表示，称为多项式空间．所有定义在上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域上的线性空间，记作．类似地，记为具有p阶的连续导数的函数空间．定义１设集合Ｓ是数域Ｐ上的线性空间，元素，如果存在不全为零的数，使得， (3.1.1)则称线性相关．否则，若等式(3.1.1)只对成立，则称线性无关．若线性空间Ｓ是由n个线性无关元素生成的，即对都有则称为空间Ｓ的一组基，记为，并称空间Ｓ为n维空间，系数称为x在基下的坐标，记作，如果Ｓ中有无限个线性无关元素，…，则称Ｓ为无限维线性空间．下面考察次数不超过n次的多项式集合，其元素表示为， (3.1.2）它由个系数唯一确定．线性无关，它是的一组基，故，且是的坐标向量，是维的．对连续函数，它不能用有限个线性无关的函数表示，故是无限维的，但它的任一元素均可用有限维的逼近，使误差（为任给的小正数），这就是著名的Weierstrass定理．定理１（Weierstrass）设，则对任何，总存在一个代数多项式，使在上一致成立．这个定理已在“数学分析”中证明过．这里需要说明的是在许多证明方法中，伯恩斯坦１９１２年给出的证明是一种构造性证明．他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式， (3.1.3)其中，其中，并证明了在上一致成立；若在上阶导数连续，则．这不但证明了定理１，而且由(3.1.3)给出了的一个逼近多项式．它与拉格朗日插值多项式很相似，对，当＝１时也有关系式． (3.1.4)这只要在恒等式中令就可得到．但这里当时还有，于是是有界的，因而只要对任意成立，则有界，故是稳定的．至于拉格朗日多项式，由于无界，因而不能保证高阶插值的稳定性与收敛性．相比之下，多项式有良好的逼近性质，但它收敛太慢，比三次样条插值效果差得多，实际中很少被使用．更一般地，可用一组在上线性无关的函数集合来逼近，元素，表示为． (3.1.5) 函数逼近问题就是对任何，在子空间中找一个元素，使在某种意义下最小．3.1.2 范数与赋范线性空间为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数定义，它是空间中向量长度概念的直接推广．定义2.1.2 设为线性空间，，若存在唯一实数，满足条件：（1）正定性：，（2）当且仅当时，（3）；（4）齐次性：，（5）；（6）三角不（7）等式：，（8）．则称为线性空间上的范数，与一起称为赋范线性空间，记为．例如，在上的向量，三种常用范数为类似地对连续函数空间，若可定义三种常用范数如下：可以验证这样定义的范数均满足定义3.1.2中的三个条件．3.1.3 内积与内积空间在线性代数中，中两个向量及的内积定义为．若将它推广到一般的线性空间，则有下面的定义．定义3.1.3设是数域上的线性空间，对，有中一个数与之对应，记为，它满足以下条件：（１）；（２）；（３）；（４），当且仅当时，．则称为上与的内积．定义了内积的线性空间称为内积空间．定义中（１）的右端称为的共轭，当为实数域时．如果＝０，则称与正交，这是向量相互垂直的概念的推广．关于内积空间性质有以下重要定理．定理3.1.2设为一个内积空间，对，有(3.1.6) 称为Cauchy-Schwarz不等式．［证明］当时(3.1.6)式显然成立．现设，则，且对任何数有．取，代入上式右端，得，即得时．定理证毕定理3.1.2设为一个内积空间，，矩阵（3.1.7）称为Gram矩阵，则Ｇ非奇异的充分必要条件是线性无关．［证明］Ｇ非奇异等价于，其充分必要条件是齐次方程组(3.1.8) 只有零解．而(3.1.9) 从以上的等价关系可知，等价于从(3.1.8)推出．而后者等价于从(3.1.9)推出，即线性无关．定理证毕在内积空间上可以由内积导出一种范数，即对于，记(3.1.10) 容易验证它满足范数定义的三条性质，其中三角不等式(3.1.11)可由定理3.1.2直接得出，即两端开方即得(3.1.11）．例１与的内积．设，，，则其内积定义为(3.1.12)由此导出的向量２－范数为．若给定实数，称为权系数，则在上可定义加权内积为(3.1.13)相应的范数为．不难验证(3.1.13)给出的满足内积定义的４条性质，当时，(3.1.13)就是(3.1.12)．如果，带权内积定义为(3.1.14) 这里仍为正实数序列，为的共轭．在上也可以类似定义带权内积，为此先给出权函数的定义．定义３.1.4 设是有限或无限区间，在上的非负函数满足条件：（１）存在且为有限值；（２）对上的非负连续函数，如果，则．则称为上的一个权函数．例２上的内积．设，是上给定的权函数，则可定义内积． (3.1.15)容易验证它满足内积定义的４条性质，由此内积导出的范数为． (3.1.16)称(3.1.15)和(3.1.16)为带权的内积和范数．特别常用的是的情形，即若是中的线性无关函数族，记，它的Gram矩阵为(3.1.17)根据定理3.1.3可知线性无关的充分必要条件是．3.2 正交多项式正交多项式是函数逼近的重要工具，在数值积分中也有着重要的应用．3.2.1 正交函数族与正交多项式定义3.2.1 若，为上的权函数且满足， (3.2.1)则称与在上带权正交．若函数族满足关系(3.2.2)则称是上带权的正交函数族；若，则称之为标准正交函数族．例如，三角函数族就是在区间上的正交函数族．因为对有，而对，当时有定义3.2.2 设是上首项系数的次多项式，为上权函数，如果多项式序列满足关系式(3.2.2)，则称多项式序列为在上带权正交，称为上带权的次正交多项式．只要给定区间及权函数，均可由一族线性无关的幂函数，利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列；，(3.2.3) 这样得到的正交多项式序列有以下性质：（１）是具有最高次项系数为１的次多项式．（２）任何次多项式均可表示为的线性组合．（３）当时，，且与任一次数小于的多项式正交．（４）成立递推关系．其中这里．（５）设是在上带权的正交多项式序列，则的个根都是在区间内的单重实根．3.2.2 勒让德多项式当区间为［－１，１］，权函数时，由正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式，并用表示．这是勒让德于１７８５年引进的，１８１４年罗德利克(Rodrigul)给出了简单的表达式由于是２次的多项式，求阶导数后得，于是得首项系数为，显然最高项系数为１的勒让德多项式为．(3.2.6) 勒让德多项式有下述几个性质：性质１正交性(3.2.7) ［证明］令，则．设是在区间[-1,1]上的阶连续可微的函数，由分部积分知下面分两种情况讨论：（１）若是次数小于的多项式，则，故得（２）若，则，于是由于，故，于是(3.2.7)得证．性质２奇偶性（3.2.8）［证明］由于是偶次多项式，经过偶次求导仍为偶次多项式，经过奇次求导则为奇次多项式，故为偶数时为偶函数，为奇数时为奇函数，于是(3.2.8)成立．性质３递推关系(3.2.9) ［证明］考虑＋１次多项式，它可表示为两边乘以，并从－１到１积分，得．当时，的次数小于－１，上式左端积分为０，故得．当时．为奇函数，左端积分仍为０，故．于是．其中，代入上式整理可得(3.2.9)．例１由利用性质３可得性质４在区间[-1,1]内有个不同的实零点．3.2.3 切比雪夫多项式当权函数，区间为[-1,1]时，由序列正交化得到的多项式就称为切比雪夫(Chebyshev)多项式，它可表示为(3.2.10)若令，则．切比雪夫多项式有很多重要性质：性质１递推关系(3.2.11) 这只要由三角不等式．令即得．由(3.2.11)就可推出由递推关系(3.2.11)还可得到的最高次项系数是．性质６切比雪夫多项式在区间［－１，１］上带权正交，且(3.2.12) 事实上，令，则，于是性质７只含的偶次幂，只含有的奇次幂．这性质由递推关系直接得到．性质８在区间［－１，１］上的个零点此外，实际计算中时常要求用的线性组合，其公式为． (3.2.13) 例如：结果如下：3.2.4 其他常用的正交多项式一般说，如果区间及权函数不同，则得到的正交多项式也不同．除上述两种最重要的正交多项式外，下面再给出三种较常用的正交多项式．第二类切比雪夫多项式在区间［－１，１］上带权的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式，其表达式为． (3.2.14)令，可得即是［－１，１］上带权的正交多项式族．还可得到递推关系式．拉盖尔多项式在区间上带权的正交多项式称为拉盖尔（Laguerre）多项式，其表达式为. (3.2.15)其正交性为和递推关系．３. 埃尔米特多项式在区间上带权的正交多项式称为埃尔米特多项式．其表达式为， (3.2.16)其正交性为递推关系为．3.3 最佳一致逼近多项式3.3.1 基本概念及其理论本节讨论，在中求多项式，使其误差．这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题．为了说明这一概念，先给出以下定义．定义3.3.1 设，，称． (3.3.1) 为与在上的偏差．显然，的全体组成一个集合，记为｛｝，它有下界０．若记集合的下确界为(3.3.2)则称之为在上的最小偏差．定义3.3.2 假定，若存在，使得， (3.3.3)则称是在上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式．注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存在，但可证明下面的存在定理．定理４若，则总存在，使．为了研究最佳逼近多项式的特性，先引进偏差点的定义．定义3.3.3设，，若在上有，就称是的偏差点．若，称为“正”偏差点．若，称为“负”偏差点．由于函数在上连续，因此，至少存在一个点，使，也就是说的偏差点总是存在的．下面给出反映最佳逼近多项式特征的切比雪夫定理．定理3.3.2是的最佳逼近多项式的充分必要条件是在上至少有个轮流为“正”、“负”的偏差点，即有个点，使． (3.3.4) 这样的点组称为切比雪夫交错点组．［证明］只证充分性．假定在上有个点使(3.3.4)成立，要证明是在上的最佳逼近多项式．用反证法，若存在，使．由于在点上的符号与一致，故也在个点上轮流取“＋”、“－”号．由连续性质，它在内有个零点，但因是不超过次的多项式，它的零点不超过．这矛盾说明假设不对，故就是所求最佳逼近多项式．充分性得证，必要性证明略，可参看［５］．定理５说明用逼近的误差曲线是均匀分布的．由这定理还可得以下重要推论．推论１若，则在中存在唯一的最佳逼近多项式．证明略．利用定理５可直接得到切比雪夫多项式的一个重要性质，即定理3.3.3 在区间［－１，１］上所有最高次项系数为１的次多项式中与零的偏差最小，其偏差为．［证明］由于，且点是的切比雪夫交错点组，由定理５可知，区间［－１，１］上在中最佳逼近多项式为，即是与零的偏差最小的多项式．定理证毕例３求在［－１，１］上的最佳２次逼近多项式．解由题意，所求最佳逼近多项式应满足由定理3.3.3可知，当时，多项式与零偏差最小，故就是在［－１，１］上的最佳２次逼近多项式．3.3.2 最佳一次逼近多项式定理3.3.2给出了最佳逼近多项式的特性，但要求出却相当困难．下面讨论的情形．假定，且在内不变号，我们要求最佳一次逼近多项式．根据定理3.3.2可知至少有３个点，使由于在内不变号，故单调，在内只有一个零点，记为，于是，即．另外两个偏差点必是区间端点，即，且满足由此得到(3.3.5) 解出， (3.3.6) 代入(3.3.5)得． (3.3.7)这就得到了最佳一次逼近多项式，其几何意义如图３－３所示．直线与弦MN平行，且通过MQ的中点D，其方程为．图３－３一次最佳一致逼近多项式几何意义例4 求在上的最佳一次逼近多项式。

函数的逼近—拟合函数的逼近是数学中一个重要的概念，它是指通过一组已知的数据点来近似描述一个未知函数的过程。

拟合则是指通过选择合适的函数形式和参数，使得拟合函数尽可能地接近已知数据点。

在实际应用中，函数的逼近和拟合在数据分析、信号处理、机器学习等领域中起着重要的作用。

1. 函数的逼近函数的逼近通常包括两个步骤：选择逼近函数的形式和确定逼近函数的参数。

通常，我们将已知数据点表示为(x x,x x)的形式，其中x x是自变量的取值，x x是因变量的取值。

我们的目标是找到一个逼近函数x(x)来近似表示这些已知数据点的关系。

选择逼近函数的形式是一个关键的步骤。

常见的逼近函数包括多项式函数、指数函数、对数函数等。

选择逼近函数的形式通常需要考虑已知数据点和逼近函数的特点。

例如，如果已知数据点呈现线性关系，可以选择线性函数作为逼近函数。

如果已知数据点呈现指数增长或衰减的趋势，可以选择指数函数作为逼近函数。

确定逼近函数的参数是通过最小化逼近函数与已知数据点之间的差距来实现的。

常用的方法有最小二乘法和最大似然法。

最小二乘法是通过最小化逼近函数与已知数据点之间的残差平方和来确定逼近函数的参数。

最大似然法则是选择使得逼近函数生成已知数据点的概率最大的参数。

2. 拟合拟合是函数的逼近的一种具体应用，它通过选择合适的函数形式和参数，使得拟合函数能够在整个自变量的取值范围内都能够较好地逼近已知数据点。

拟合函数的目标是通过适当的调整函数的参数，使得拟合函数能够尽可能地与已知数据点吻合。

在实际应用中，拟合函数的选择通常需要根据已知数据点的特点来进行。

例如，如果已知数据点呈现多项式关系，可以选择多项式拟合。

多项式拟合可以使用最小二乘法来确定多项式的系数。

如果已知数据点呈现指数增长或衰减的趋势，可以选择指数拟合。

指数拟合可以通过对数变换来转化为线性拟合的问题。

拟合函数的参数可以通过优化算法来确定。

常见的优化算法包括梯度下降法、牛顿法等。

数值分析函数逼近与曲线拟合第三章函数逼近和曲线拟合 1 函数的逼近和基本概念1.1问题的提出多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有分析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()kk k f x a x ∞==∑，()(0)!k k f a k =在[1,1]-上收敛。

当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。

这个误差分布是不均匀的。

当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。

为了使[1,1]-的所有x 满足()()nf x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。

插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。

更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。

如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。

由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。

如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。

1.2范数和逼近一、线性空间及赋范线性空间要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。

最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构成线性空间.例如将所有实n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线性空间，记作nR ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式和多项式加法及数和多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间。

数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础，它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。

下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。

1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。

常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。

其中，最为重要的是多项式逼近，它可以用来近似任意函数，并且具有较好的数学性质。

2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。

常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。

其中，辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来估计任意函数的积分值，并且具有较好的数值稳定性。

3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。

常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。

而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据，常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。

4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。

常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。

而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。

5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。

常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。

而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。

6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。

常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。

其中，牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法，它具有收敛速度快的特点。

7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。

其中，龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来求解各种类型的常微分方程。