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八年级数学《线段的垂直平分线与角平分线》知识点1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD∴ AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。
4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.图1图2定理的数学表示：如图4，∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5，∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ， ∴点P 在∠AOB 的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.墮赙諷魯搀鯡贳应粜训彦组屉阒鍺紋谯撵詒习橋贄襝继濕脶綣磚鍵抟谤渐虾龟懸图4鏝瀝绦缢劝赣較澮箦購綿覽桩倫錒碜呛縫闷烦绫啸婴諍迹。
八年级垂直平分线知识点垂直平分线是初中数学重要的知识点之一，其在几何问题中有着广泛的应用。
本篇文章将为大家详细介绍关于八年级垂直平分线的知识点。
一、垂直平分线的定义垂直平分线是指一条线段将另一条线段垂直平分的直线。
简单来说，就是把一条线段分成两段长度相等且垂直的线段。
二、如何求垂直平分线1、传统方法传统方法是一种利用勾股定理进行求解的方法。
假设线段AB 的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），垂直平分线上的点为P（x，y）。
则有以下公式：(x - (x1+x2)/2)² + (y - (y1+y2)/2)² = ((x2-x1)/2)² + ((y2-y1)/2)²该公式中等号右边是线段AB长度的一半，等号左边是线段AP 长度的平方与线段PB长度的平方之和。
2、向量法向量法是一种可以简化计算的方法。
如果线段AB的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则垂直于AB的向量为(-（y2-y1），x2-x1)。
具体操作如下：首先，将线段AB的中点的坐标求出来，记为C(xc,yc)然后，将AB的两个端点坐标作为一个向量，记为u(x2-x1,y2-y1)接着，求出u的一个垂直向量v，记为v(-（y2-y1），x2-x1)最后，直线的方程为(PC)·v=0，即[(x-xc)(-（y2-y1）)+(y-yc)(x2-x1)]=0三、垂直平分线的性质1、垂直平分线上的点到AB两个端点的距离相等。
2、垂直平分线上任意一点与AB两个端点之间的两条线段的长度相等。
3、垂直平分线将线段AB分成的两个线段长度相等。
4、线段垂直平分线的两个部分互为相反数。
四、垂直平分线的应用垂直平分线在几何问题中有着广泛的应用。
举例如下：1、判断点C是否在直线AB的逆时针方向我们可以通过垂直平分线来解决。
如果点C在直线AB的逆时针方向，则垂直AB且平分AB的线段的中点在C的左侧。
《线段的垂直平分线》contents •定义与性质•定理与推论•垂直平分线的判定•垂直平分线的作法•垂直平分线的应用•垂直平分线的扩展知识目录定义与性质CATALOGUE 01垂直平分线中垂线定义垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
性质定理与推论CATALOGUE 02定理定理1三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。
定理2定理3推论1推论2推论垂直平分线的判定CATALOGUE03三角形中的垂直平分线总结词在三角形中，垂直平分线通过三角形中垂足，并且与三角形两边相交，形成两个对称的点。
详细描述在三角形ABC中，从A点引出的垂直平分线与BC边相交于点D。
AD是垂直平分线，那么AB和AC两条边被AD所垂直平分。
因此，点D是线段BC的垂直平分点。
总结词详细描述在菱形中，垂直平分线通过菱形中垂足，并且与菱形四边相交，形成四个对称的点。
详细描述在菱形ABCD中，从A点引出的垂直平分线与BC边相交于点F。
AF是垂直平分线，那么AB和AD两条边被AF所垂直平分。
因此，点F是线段BC的垂直平分点。
同时，垂直平分线AF还将菱形划分为两个全等的三角形，即△ABF和△ADF。
总结词VS垂直平分线的作法CATALOGUE04通过已知点作垂直平分线总结词详细描述通过两点作线段的垂直平分线总结词详细描述总结词通过一条已知直线段作其垂直平分线的方法有多种，其中一种是利用中垂线的性质。
要点一要点二详细描述首先，需要明确直线段的中点，然后过该中点作一条与原直线段垂直的直线，即为所求的垂直平分线。
通过已知直线段作垂直平分线垂直平分线的应用CATALOGUE05确定对称性线段的垂直平分线是该线段上所有点关于线段中点的对称轴。
因此，在几何作图中，可以利用垂直平分线来构造对称图形。
求解角度在几何图形中，有时需要求解两个点之间的角度。
第十一讲 线段垂直平分线定理
【学习目标】
1、掌握线段垂直平分线的定理和逆定理。
2、能应用线段的垂直平分线的定理和逆定理进行作图和证明。
3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。
【典型例题】
例1、如图，在△ABC 中，∠C = 90°，DE 是AB 的垂直平分线。
1）则BD = 。
2）若∠B = 40°，则∠BAC = °，∠DAB = °， ∠DAC = °，∠CDA = °。
3）若AC= 4， BC = 5，则DA + DC = ，△ACD 的周长为 。
10、（2007·日照）如图6，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF. （1）求证：AD ⊥CF ；
（2）连接AF ，试判断△ACF 的形状，并说明理由。
例2、已知：如图(1)，在Rt △ABC 中，∠
A=90°，AB=3，AC=5，BC 边的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E 。
求△ABE 的周长。
E
D A
B
C
例3、公路边要建一个家乐福超市，使它到A 、B 两居民点的距离相等，如何确
定家乐福超市的位置？
例4、如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线交B C 于点D ，如果BD=8 cm ，求AC 的长。
例5、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABC 的周长为12cm ，△ABD 的周长为9cm ，求AC 的长度。
例6、已知在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE = 3cm ，△ABD 的周长是13cm ，求△ABC 的周长。
M
N
B
A
B
D C
A
C
B
A D
E
E
D
A
B
C
经典练习
一、填空题
1、如图，△ABC 中，AB = AC ，∠A = 40°，DE 为AB 的中垂线，则∠1 = °，∠C = °，∠3 = °，∠2 = °；若△ABC 的周长为16cm ，BC = 4cm ，则AC = ，△BCE 的周长为 。
2、三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________.
3、已知线段AB 外两点P 、Q ，且PA=PB ，QA=QB ，则直线PQ 与线段AB 的关系是_________.
4、底边AB=a 的等腰三角形有_________个，符合条件的顶点C 在线段AB 的_________上.
5、直线 l 上一点Q 满足QA=QB ，则Q 点是直线l 与_________的交点
.
6、在△ABC 中，AB=AC=6 cm ，AB 的垂直平分线与AC 相交于E 点，△BCE 周长为10 cm ，则BC=___ cm.
7、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC ＞BC ，AB 的垂直平分线与AC 相交于E 点，连结BE ，若∠CBE ∶∠EBA=1∶4，则∠A=______度，∠ABC=_________度. 二、选择题
1、下列命题中正确的命题有（ ）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA=PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、下列作图语句正确的是（ ）
A.过点P 作线段AB 的中垂线
B.在线段AB 的延长线上取一点C ，使AB=BC
C.过直线a ，直线b 外一点P 作直线MN 使MN ∥a ∥b
D.过点P 作直线AB 的垂线
C
B
A D
E
13
2
3、△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于（ ） A.37.5° B.67.5°
C.37.5°或67.5°
D.无法确定
三、解答题
1、已知，在△ABC 中，AB=AC ，O 是△ABC 内一点，且OB=OC ，求证：AO ⊥
BC.
2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N.求证：
CM=2BM.
9．已知：如图1-3-21，△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 延长线上一点，E 是AB •上一点，•且在BD 的垂直平分线EG 上，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上．
10．如图1-3-22，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BD ，D 为△ABC 外一点，且AD=BD ，DE ⊥AC 交CA 的延长线于E ，求证：DE=AE+BC ．
图1-3-21 图
1-3-22
(第8题）E D
C
B
A
【课后作业】
一、选择：
1、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ） A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点； C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。
2、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，则△ABC 的形状为（ ） A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不能确定 二、填空：
1、已知：线段AB 及一点P ，PA=PB ，则点P 在 上。
2、已知：如图，∠BAC=1200
,AB=AC,AC 的垂直平分线交BC 于D 则∠ADC= 。
3、△ABC 中，∠A=500
，AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 于D 则∠DBC 的度数 。
4、如图，△ABC 中，DE 、FG 分别是边AB 、AC 的垂直平分线，则∠B ∠BAE ，∠C ∠GAF ，若∠BAC=1260
，则∠EAG= 。
5、如图，△ABC 中，AB=AC=17,BC=16,DE 垂直平分AB ，则△BCD 的周长是 。
第2题 第4题 第5题
6、在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线相交于点P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 。
7、在△ABC 中,AB=AC, ∠B=580
,AB 的垂直平分线交AC 于N,则∠NBC= 三、解答：
1、有特大城市A 及两个小城市B 、C ，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B 、C 两城市的距离相等，且使A 市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。
2.如下图,在直线AB 上找一点P ,使PC =PD
.
8.如右图，△ABC 中，AB=AC=16cm ，AB 的垂直平分线ED 交AC 于D 点. （1）当AE=13cm 时，BE= cm ；
（2）当△BEC 的周长为26cm 时，则BC= cm ； （3）当BC=15cm ，则△BEC 的周长是 cm.。
