312刚体转动动能转动惯量解析

刚体旋转知识点归纳总结1. 刚体旋转的基本概念刚体是指在一定时间内，其内部各点的相对位置不改变的物体。

刚体旋转是指刚体围绕固定点或固定轴发生的旋转运动。

在刚体旋转中，需要引入一些基本概念：1.1 刚体的转动刚体的旋转可以是定点转动，也可以是定轴转动。

在定点转动中，刚体绕固定点旋转，而在定轴转动中，刚体绕固定轴旋转。

定点转动和定轴转动都是刚体旋转运动的两种基本形式。

1.2 刚体的转动角度和角速度刚体的转动角度是刚体在单位时间内所转过的角度，通常用θ表示。

刚体的角速度是指刚体单位时间内转过的角度，通常用ω表示。

在刚体定点转动中，角速度是刚体绕定点旋转的角度速度；在刚体定轴转动中，角速度是刚体绕定轴旋转的角度速度。

1.3 刚体的转动惯量刚体的转动惯量是衡量刚体抵抗旋转的惯性大小，通常用I表示。

刚体转动惯量的大小取决于刚体形状、质量分布以及旋转轴的位置。

对于质点组成的刚体，其转动惯量可以通过对质点的质量进行积分得到。

1.4 刚体的角动量刚体的角动量是刚体旋转运动的物理量，通常用L表示。

角动量的大小和方向分别由角速度和转动惯量决定。

在定点转动中，如果刚体的角速度和转动惯量都不变，那么刚体的角动量也保持不变；在定轴转动中，如果刚体绕固定轴旋转，那么刚体的角动量也保持不变。

2. 刚体的转动力学刚体的转动力学研究刚体在旋转运动中所受的力和力矩，包括转动定律、角动量定理、动能定理等内容。

2.1 刚体的平衡刚体旋转平衡需要满足一定的条件，包括力矩平衡条件和动量平衡条件。

刚体力矩平衡条件是指刚体所受的合外力矩为零；刚体动量平衡条件是指刚体所受的合外力矩关于某一点的力矩为零。

2.2 刚体的角动量定理刚体的角动量定理描述了刚体在受到外力矩作用下，其角动量的变化规律。

根据角动量定理，刚体所受外力矩产生的角动量变化率等于刚体所受外力矩的矢量和。

2.3 刚体的动能定理刚体的动能定理描述了刚体在旋转运动中，其动能的变化规律。

根据动能定理，刚体所受外力矩产生的功率等于刚体动能的变化率。

一、力矩的功 1 力矩的定义若作用的质点上的力为F ,则将r ×F 定义为力F 对O 点的力矩，记为M 。

M r F =⨯M 、F 、r 三者的方向构成右手螺旋关系。

M大小：方向：右手法则2 力矩的功设：；转盘上的微小质量元Δm 在力F 作用下以R 为半径绕O 轴转动，在dt 时间内转过角度d ，对应位移d r,路程ds,此时F 所做的元功为则总功为二、转动惯量设初速为零，质量元Δm 的动能为转盘的总动能1 定义：为物体的转动惯量。

意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。

描述转动的惯性。

o z FtF nF tF ord rd θt t d d d d A F r F s F r θ=⋅==d d A M θ=21d A M θθθ=⎰αrsin t M Fr F rα==d θFtF ord r12ki i iE m v =212k ki i i i i E E m ==∆∑∑v 221()2i i i m r ω=∆∑2i i iI m r =∆∑单位：SI 制 kg m 22 定轴转动物体转动惯量的计算质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和2i i iI m r =∑质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。

2mI r dm =⎰转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。

例1 求小球m 的转动惯量。

解：m 看作质点 I = m R 2例2 质量为m 的细圆环，求I 。

解：把环分成无限多个质量为dm 的小段，对每个d m 有d J = R 2对整个环有I = R 2d m = mR 2例3质量m ，半径 R 的薄圆盘，求I 。

解：把盘分成无限多个环。

取其中的一个环(半径r ，宽d r ，质量 d m )， 其转动惯量 d I = r 2d m22mdm rdr Rππ=整个盘的转动惯量d rd md SrRd mRRm22322200002122R R R Rm m I dI r dm r rdr r dr mR R R ππ=====⎰⎰⎰⎰例4 长为L 、质量为m 的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为L,质量为m, 则密度为＝m / L 。

§6、刚体的动量矩及转动动能上次课我们将质点组的两个基本动力学定理，即质心运动定理和动量矩定理:M dtd dt J d M F r v m r Fre ii i i i e ic=⨯∑=⨯∑=∑=)(,)( 应用于刚体，于是就给出了描述刚体动力学规律的基本运动微分方程。

虽然上次课已经给出刚体动力学基本方程，但是对基本方程中的动量矩的具体形式并没有给出，这次课我们仍然以质点组的动量矩和动能定义为出发点推出刚体的动量矩以及刚体的转动动能。

下面我们先讨论：一、 刚体定点转动的动量矩：假设刚体在某一时刻以角速度ω转动。

取刚体上任一质点p i 的质量为m i 。

它相对固定点O 点的位矢量为i r。

那么根据质点组的动量矩定义式可得整个刚体对固定点0的动量矩是：)(v m r i i i iJ⨯=∑因为，r w v ii⨯= 所以，它就等于)(r w m r i i i i⨯⨯∑ 根据矢量多重叉积的基本公 式：c b a b c a c b a)()()(⋅-⋅=⨯⨯ 可得[]][r r m w r m r w r w r r m rw r m iiiiiiiiiiiiiiiiIiw i J)()()(2)(⋅=-⋅=⨯=∑-∑⋅∑⨯∑由此可以看出，动量矩J 一般不与角速度ω 共线，只有0≡⋅w r时， j 与w 才是共线的。

由于角动量是个矢量，如果我们确定了坐标系，那么就可以将它写成分量形式。

如图所示，建立直角坐标系O —X 、Y 、Z(并与绕定轴转动的刚体固连在一起，坐标这样取在目前的情况下比较方便。

因为刚体上任一点的坐标（x,y,z ）不管刚体怎样运动，它们相对刚体都是不随时间改变的常数，所以取与刚体固定的动坐标系比较方便。

)则i r 和w在三正交坐标轴的分量……则：kw jw i w wk z jy ix rz yxiiii++=++=,于是可得动量矩在x 轴上的分量：wz x m wy x m wzy m xw z wy wx m wz yx m Jxiiyiixii i iziyixii xi ii i zi i )()()()()(22222∑∑∑∑∑--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++-++=同理可得：wx ym w z y m wz x m J wz y m wz ym w y x m Jziiiyii xiiz ziiyi iixii yi i i i )()()()()()(2222++--=-++-=∑∑∑∑∑∑ 在这儿我们就令：)))222222(((x y m I z x m I z ym I iiizziiiyyiii xx +∑+∑+∑===∑∑∑======x z m II y z m I Iy x m IIii i xzzxi i i zyyzi i i yxxy则动量矩在直角坐标系中的分量式就可简写为：wI w I w I J w I w I w I J w I w I w I Jzzzyzyxzxzzyzyyyxyxy zxzyxyxxxx +---=-+=--=：由这些分量式也可以看出刚体绕固定点转动的动量矩的分量与角速度的三个分量 w w w z y x ,,都有关。