刚体的转动惯量专题

实验三刚体转动惯量的测定转动惯量是物体转动惯性的量度。

物体对某轴的转动惯量的大小，除了与物体的质量有关外，还与转轴的位置和质量的分布有关。

正确测量物体的转动惯量，在工程技术中有着十分重要的意义。

如正确测定炮弹的转动惯量，对炮弹命中率有着不可忽视的作用。

机械装置中飞轮的转动惯量大小，直接对机械的工作有较大影响。

有规则物体的转动惯量可以通过计算求得，但对几何形状复杂的刚体，计算则相当复杂，而用实验方法测定，就简便得多，三线扭摆就是通过扭转运动测量刚体转动惯量的常用装置之一。

实验目的1、理解并掌握根据转动定律测转动惯量的方法；2、学习用三线摆法测定物体的转动惯量。

3、测定二个质量相同而质量分布不同的物体的转动惯量，进行比较。

4、验证转动惯量的平行轴定理。

实验仪器介绍本实验采用新型转动惯量测定仪测定转动惯量。

该仪器采用激光光电传感器与计数计时仪相结合，测定悬盘的扭转摆动周期。

通过实验使学生掌握物体转动惯量的物理概念及实验测量方法，了解物体转动惯量与哪些因素有关。

本实验仪的计数计时仪具有记忆功能，从悬盘扭转摆动开始直到设定的次数为止，均可查阅相应次数所用的时间，特别适合实验者深入研究和分析悬盘振动中等周期振动及周期变化情况。

仪器直观性强，测量准确度高。

本仪器是传统实验采用现代化技术的典型实例，不仅保留了经典实验的内容和技能，又增加了现代测量技术和方法，可以激发学生学习兴趣，提高教学效果。

图1 新型转动惯量实验装置新型转动惯量测定仪平台、米尺、游标卡尺、计数计时仪、水平仪，样品为圆盘、圆环及圆柱体3种。

上海复旦天欣科教仪器有限公司图1 新型转动惯量测定仪结构图1.启动盘锁紧螺母2.摆线调节锁紧螺栓3.摆线调节旋钮4.启动盘5.摆线（其中一根线挡光计时）6.悬盘7.光电接收器8.接收器支架9. 悬臂 10. 悬臂锁紧螺栓11. 支杆 12. 半导体激光器 13.调节脚14. 导轨 15. 连接线 16. 计数计时仪 17. 小圆柱样品 18. 圆盘样品19. 圆环样品20.挡光标记实验原理三线摆是将一个匀质圆盘，以等长的三条细线对称地悬挂在一个水平的小圆盘下面构成的。

常见刚体转动惯量刚体转动惯量是描述刚体围绕某一轴旋转时所表现出的惯性特性。

研究刚体转动惯量的目的是为了更好地理解刚体的运动规律和性质。

在物理学中，刚体转动惯量通常用I表示，它是刚体质量分布在旋转轴周围的离散点上的质量分布和离转轴距离的平方乘积之和。

刚体转动惯量的大小与刚体的形状、质量分布和旋转轴的位置有关。

对于具有均匀质量分布的刚体，其转动惯量可用简单的公式进行计算。

例如，对于一个球体，其转动惯量可表示为2/5 * m * r^2，其中m为球体的质量，r为球体的半径。

对于其他形状的刚体，如长方体或圆柱体，可以通过相应的公式计算其转动惯量。

刚体转动惯量在物理学中有着广泛的应用。

在工程领域，研究刚体转动惯量可以帮助设计合适的机械系统，确保其运动的稳定性和平衡性。

在运动学和动力学领域，刚体转动惯量是分析刚体旋转运动的重要参数。

在天文学中，研究天体的转动惯量可以帮助科学家理解宇宙中的星系和行星的运动规律。

除了了解刚体转动惯量的物理意义，我们还可以从中体会到自然界的奥秘和美妙。

刚体转动惯量的大小不仅取决于其形状和质量分布，还取决于旋转轴的位置。

这意味着刚体的旋转运动是一种既复杂又精确的过程。

正是由于刚体转动惯量的存在，我们才能观察到日常生活中的许多有趣现象，如陀螺的旋转、滚筒的滚动和车辆的转弯等。

当我们试图推动一个旋转的陀螺或转动的滚筒时，我们会感受到转动惯量的作用。

由于转动惯量的存在，我们需要施加更大的力才能改变刚体的旋转状态。

这也是为什么陀螺和滚筒在旋转时保持稳定的原因。

刚体转动惯量的概念使我们能够更好地理解和解释这些现象。

刚体转动惯量是描述刚体围绕某一轴旋转时所表现出的惯性特性。

它与刚体的形状、质量分布和旋转轴的位置有关，具有重要的物理意义和广泛的应用。

通过研究刚体转动惯量，我们可以更好地理解和解释刚体旋转运动的规律，并体会到自然界的奥秘和美妙。

希望这篇文章能够使读者对刚体转动惯量有更深入的了解，并对物理学产生更大的兴趣。

第四章刚体的转动习题（一）教材外习题一、选择题：1．关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是（A）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。

（B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。

（C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。

（D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关。

（）2．两个均质圆盘A和B的密度分别为ρA和ρB，若ρA>ρB，但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为J A和J B，则（A）J A>J B（B）J B>J A（C）J A=J B（D）J A、J B哪个大，不能确定（）3．花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J0角速度为ω0，然后她将两臂收回，使转动惯量减少J0/3。

这时她转动的角速度变为（A）ω0/3 （B）（1/3）ω0（C）3ω0 （D）3ω0（）4．如图所示，一水平刚性轻杆，质量不计，杆长l =20cm，其上穿有两个小球。

初始时，两小球相对杆中心O对称放置，与O的距离d=5cm，二者之间用细线拉紧。

现在让细杆绕通过中心O的竖直固定轴作匀角速的转动，转速为ω0，再烧断细线让两球向杆的两端滑动。

不考虑转轴的和空气的摩擦，当两球都滑至杆端时，杆的角速度为（A）ω0 （B）2ω0（C）ω0/2 （D）ω0/4（）二、填空题：1．半径为r =1.5m的飞轮，初角速度ω0=10rad·s-1，角加速度β = -5rad·s-2，则在t=_______ _________时角位移为零，而此时边缘上点的线速度v= _______________________。

2．半径为30cm的飞轮，从静止开始以0.50rad·s-2的匀角加速度转动，则飞轮边缘上一点在飞轮转过240︒时的切向加速度a t =______________，法向加速度a n =_______________。

各类刚体转动惯量公式在物理学中，刚体是指具有固定形状和大小的物体，其各个部分相对位置不会发生改变。

刚体的转动惯量是描述了刚体对绕某一轴旋转的运动抵抗能力的物理量。

在本文中，我们将介绍各类刚体的转动惯量公式，并深入探讨其应用。

一、点质量的转动惯量公式对于一个质量为m，距离轴距离为r的点质量，其转动惯量可以用以下公式表示：I = m * r^2其中，I表示转动惯量，m表示质量，r表示距离轴的距离。

这个公式表明，质量越大或者距离轴越远，转动惯量就越大。

二、细长杆的转动惯量公式对于一个质量为m，长度为L的细长杆绕通过其质心的轴旋转，其转动惯量可以用以下公式表示：I = (1/12) * m * L^2这个公式表明，细长杆的转动惯量与其质量和长度的平方成正比。

如果杆的质量或长度增加，转动惯量也会增加。

三、圆盘的转动惯量公式对于一个质量为m，半径为R的圆盘绕通过其质心的轴旋转，其转动惯量可以用以下公式表示：I = (1/2) * m * R^2与细长杆类似，圆盘的转动惯量与其质量和半径的平方成正比。

圆盘的质量或半径增加，转动惯量也会增加。

四、刚体的复合体的转动惯量公式对于一个由多个质点组成的刚体，其转动惯量可以通过对各个组成部分的转动惯量进行求和来计算。

I = Σmᵢrᵢ^2其中，Σ表示对所有组成部分进行求和，mᵢ表示第i个组成部分的质量，rᵢ表示该部分到转轴的距离。

总结：以上是各类刚体转动惯量的公式，这些公式在物理学中被广泛应用于解决与刚体相关的问题。

通过了解转动惯量的计算方法，我们可以更好地理解刚体的旋转运动特性，并在实际问题中应用这些公式进行计算。

掌握这些公式的应用，可以帮助我们更好地理解刚体的运动规律，提高物理学的学习和应用能力。

通过本文的介绍，我们了解了各类刚体转动惯量的公式及其应用。

这些公式在解决刚体旋转问题时非常有用，同时也为进一步研究和理解刚体运动提供了基础。

希望本文能为读者对于刚体转动惯量的理解提供帮助，同时也能促进对物理学的学习兴趣与探索精神的培养。

10种常见刚体转动惯量公式
10种常见刚体转动惯量公式
10种常见刚体转动惯量公式
刚体转动惯量是指刚体在转动运动时所需要的转动势能。

它可以衡量刚体转动时所需要的力的大小。

常见的刚体转动惯量公式有以下10种：
1.圆柱体转动惯量公式：I=1/2mr^2
2.圆锥体转动惯量公式：I=1/3mr^2
3.球体转动惯量公式：I=2/5mr^2
4.圆筒体转动惯量公式：I=1/2mr^2
5.正方体转动惯量公式：I
6.三棱锥体转动惯量公式：I=1/3mr^2
7.六棱锥体转动惯量公式：I=1/4mr^2
8.五棱锥体转动惯量公式：I=1/5mr^2
9.四棱锥体转动惯量公式：I=1/6mr^2
10.八棱锥体转动惯量公式：I=1/8mr^2
在上述公式中，m表示刚体的质量，r表示刚体的转动半径。

第 1 页 共 127 页刚体的转动惯量专题1.刚体的转动惯量的三要素刚体对某轴的转动惯量，是描述刚体在绕该轴的转动过程中转动惯性的物理量. 有转动惯量的定义式2i iI m r =∑可看出，刚体的转动惯量是与下列三个因素有关的.（1）与刚体的质量有关. 例如半径相同的两个圆柱体，而它们的质量不同，显然，对于相应的转轴，质量大的转动惯量也较大.（2）在质量一定的情况下，与质量的分布有关. 例如，质量相同、半径也相同的圆盘与圆环，二者的质量分布不同，圆环的质量集中分布在边缘，而圆盘的质量分布在整个圆面上，所以，圆环的转动惯量较大.（3）还与给定转轴的位置有关，即同一刚体对于不同的转轴，其转动惯量的大小也是不等的. 例如，同一细长杆，对通过其质心且垂直于杆的转轴和通过其一端且垂直于杆的转轴，二者的转动惯量不相同，且后者较大. 这是由于转轴的位置不同，从而也就影响了转动惯量的大小.第 2 页共127 页第 3 页 共 127 页刚体的转动惯量的三要素：刚体的总质量、刚体的质量分布情况、转轴的位置.2.转动惯量的普遍公式 （1）转动惯量的定义式2i iI m r =∑ ·········○1可知，对于形状规则、质量均匀分布的连续刚体，其对特殊轴的转动惯量的计算可借助于定积分. 这是，可设想将刚体分成许多小线元、面元、体元.第 4 页 共 127 页d d d d d d m x m S m Vλσρ===于是222222d d d d d d lSVI r m r xI r m r SI r m r Vλσρ======⎰⎰⎰⎰⎰⎰一般说来，这是个三重的体积分，但对于有一定对称性的物体，积分的重数可以减少，甚至不需要积分. （2）刚体对某轴的转动惯量刚体对z 轴的转动惯量()()2222d d zIr z m x y m=-=+⎰⎰ (2)第 5 页 共 127 页刚体对x 轴的转动惯量()()2222d d xIr x m y z m=-=+⎰⎰ (2)刚体对y 轴的转动惯量()()2222d d yIr y m x z m=-=+⎰⎰ (2)仿照刚体对某轴的转动惯量来定义刚体对于某点的转动惯量：刚体中各质点的质量各自与其至某（参考）点的距离的平方的乘积，所得总和称为刚体对该点的转动惯量. （3）刚体对某点的转动惯量刚体对坐标原点O 的转动惯量可表示为第 6 页 共 127 页()222d OIx y z m=++⎰ ·········○3 由式○2、○3，得()12Ox y z II I I =++ ·········○4即，质点系（刚体）对于坐标原点的转动惯量（或极转动惯量），等于它对于三个坐标轴的转动惯量之和的一半.3.刚体的平行轴定理（许泰乃尔定理）2C I I md =+ ·········○5即，刚体对于任何一轴的转动惯量，等于刚体对于通过它的质心并与该轴平行的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.注意：平行轴定理与刚体对质心轴的转动惯量紧密联系在一起，应用此定理的参考点是刚体对质心轴的转动惯量.根据平行轴定理，可得到如下关系：（1）刚体绕通过质心的轴的转动惯量小于绕另一平行轴的转动惯量，二者之差为2md.（2）设有两条平行轴'PP与'QQ均不通过质心C. 如果'PP比'QQ靠第7 页共127 页近C，则刚体绕'PP轴的转动惯量小于绕'QQ轴的转动惯量（如图7.52(a)所示）.Q P·C ·CQ′P′(a) (b)图7.52 平行轴定理的应用 (a) 在不同圆上；(b)同一圆上第8 页共127 页第 9 页 共 127 页（3）如果有一簇与质心C 的距离相等的平行轴，那么，刚体绕这些轴的转动惯量均相等（如图7.52(b)所示）.4.刚体的垂直轴定理（正交轴定理、薄片定理）设想刚体为平面薄片，即厚度可以略去不计，因而刚体为平面图形.z x yI I I =+ ·········○6即，平面图形对于图形内的两条正交轴的转动惯量之和，等于这第 10 页 共 127 页个图形对过二轴交点．．．．且垂直．．于图形平面的那条转轴的转动惯量. 注意：正交轴定理对于有限厚度的板不成立.5.转动惯量的叠加原理实际上，有些物体是由几种形状不同的刚体的组合. 它对于某轴的转动惯量，可视为各部分对于同一转轴的转动惯量之和，因而，123I I I I =+++ ·········○7即，由几个部分组成的刚体对某轴的转动惯量，等于各部分对同轴的转动惯量之和. 此即转动惯量的叠加原理．．．．.叠加原理是根据加法的组合定则，把属于各部分的项分别相加，然后求和而得.同理，设有一物体挖去若干部分，则剩余部分的转动惯量，等于原物体的转动惯量，减去挖去部分的转动惯量.[例题1]在质量为m，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔，圆孔中心在半径R的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量.第11 页共127 页第 12 页 共 127 页图7.53 转动惯量的叠加原理的应用[解] 大圆盘对过圆盘中心O 且与盘面垂直的轴线（以下简称O 轴）的转动惯量 为 212I mR. 由于对称放置，两个小圆盘对O 轴的转动惯量相等，设第 13 页 共 127 页为'I ，圆盘质量的面密度2=πm Rσ，根据平行轴定理，有 ()()242222211'ππ2224R mr I r r r mrR σσ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭设挖去两个小圆盘后，剩余部分对O 轴的转动惯量为''I442222221112"2'222r r I I I mR m mr m R r R R ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭6.转动惯量的标度变换法转动惯量的标度变换法．．．．．是计算转动惯量的一种简便的方法. 由于在几何上具有相似性的均匀物体，它们对相应转轴的转动惯量的表达式也具有相似性，在根据转动惯量的平行轴定理、叠加原理等，确定彼此关系，比较系数，从而获得物体对该轴的转动惯量. 故这种方法可以不用积分即能求得某些特殊形状的物体的转动惯量.[例题2] 求均匀立方体绕通过面心的中心轴的转动惯量I.C第14 页共127 页O′O图7.54 标度变换法用于计算立方体对通过面心的中心轴的转动惯量[解]令立方体的总质量为m，边长为l，设均匀立方体绕通第15 页共127 页第 16 页 共 127 页过面心的中心轴的转动惯量为2C I kml =其中，系数k 是无量纲的量. 因为一切立方体在几何上都是相似的，它们应该具有同样的k . 中心轴到棱边的距离为d =根据平行轴定理，立方体绕棱边的转动惯量为22212D I kml m k ml ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭现将立方体等分为8个小立方体，每个小立方体的质量为8m ，边长为2l ，绕棱边的转动惯量为第 17 页 共 127 页22'111282322D m l I k k ml ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8个立方体绕棱边的转动惯量之和应等于大立方体绕中心轴的转动惯量，即C '8D I I = 比较系数，得11322k k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭于是，求得16k =所以，2C 16I ml =下面介绍利用定积分法计算质量均匀分布、图形具有对称性．．．．．．．．．．．．．．的刚体．．．．.．．．对于一些特殊的转轴的转动惯量匀质细杆[例题3] 质量为m、长为l的匀质细杆，绕其质心且垂直于杆的轴旋转，杆的转动惯量是多少？[解] 设杆的线密度为λ，则m lλ=. 选择如图所示的坐标轴，杆的质心位于原点，取一个长度为d x、与质心的距离为x的微元，第18 页共127 页第 19 页 共 127 页则l OxOxd x图7.55 匀质细杆对质心轴的转动惯量22d d d I x m x x λ== /2232/211d 1212l O l I x x l ml λλ-===⎰根据平行轴定理，杆对通过其一端且垂直于杆的轴的转动惯量为第 20 页 共 127 页222211121243O l I I m ml ml ml ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭当然用定积分也可得相同的结果.232011d 33l I x x l ml λλ===⎰匀质正方形薄板[例题4] 求质量为m 、边长为a 的匀质正方形薄板对其边为轴的转动惯量.[解] 匀质薄板可视为细长条的组合. 根据叠加原理可得对刚体力学一边的转动惯量.y aaOdxx图 7.56 匀质正方形薄板对一边为轴的转动惯量1 1 I x   mi a 2  ma 2 3 3第 21 页 共 127 页刚体力学同理，可得1 1 I y   mi a 2  ma 2 3 3或利用定积分，a 1 1 I y   x 2 adx   a 4  ma 2 0 3 3其中，   am 为面密度.2对 z 轴的转动惯量Iz  Ix  I y  2 ma 2 3对质心轴的转动惯量 2  2 2 1 2 1 2 IC  I z  m   2 a   3 ma  2 ma  6 ma  2第 22 页 共 127 页刚体力学对以对角线为轴的转动惯量Ix'  I y'  1 1 1 1 I C   ma 2  ma 2 2 2 6 12当然，对 z 轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.a a a a 2 2 I z    x 2  y 2  dxdy    dy  x 2 dx    dx  y 2dy   a 4  ma 2 0 0 0 0 3 3匀质矩形薄板 [例题 5] 求质量为 m 、长和宽分别为 a 和 b 的匀质矩形薄板对第 23 页 共 127 页刚体力学其边为轴的转动惯量.[解] 方法同上，不难得到z y a bOx图 7.57 匀质矩形薄板对一边为轴的转动惯量第 24 页 共 127 页刚体力学1 I x  mb 2 , 31 I y  ma 2 3由垂直轴定理， 可以进一步求得矩形薄板对通过顶点且垂直于板 平面的轴的转动惯量（如图 7.57）为1 I z  I x  I y  m  a 2  b2  3当然，对 z 轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.b a a b 1 1 I z    x 2  y 2  dxdy    dy  x 2 dx    dx  y 2 dy    a 4  b 4   m  a 2  b 2  0 0 0 0 3 3矩形薄板对通过质心且垂直于板平面的轴的转动惯量为第 25 页 共 127 页刚体力学 a 2  b2 1 I '  m  a 2  b2   m   3 2  1   m  a 2  b2   12 2b/2b/2a· O1·O·O2ab/2b/2图 7.58 匀质矩形薄板对过中心且垂直于板面的轴的转动惯量另解：第 26 页 共 127 页刚体力学从量纲上考虑，所求的转动惯量可表示为IO  c1ma2  c2mab  c3mb2其中， c i  1, 2,3 为待定系数.i将 a 和 b 转置后，IO  c1mb2  c2mba  c3ma2但 I 不会因为 a 和 b 转置而发生变化，比较系数，有Oc1  c2则I O  c1m  a 2  b 2   c2 mba利用匀质矩形板可等分为两个小匀质矩形板的特点，如图 7.54第 27 页 共 127 页刚体力学所示，有I O1  I O 22  m 2  b   m b  c1    a      c2   a    2  2   2  2  2 2  mb   mb  I O   I O1       I O 2     2 4  2 4       b  2 I O1  m   4 2 2  b  b b  c1m  a 2      c2 ma    m   2  2 4   2比较系数，有c1 1   c1 , 4 16 1 c2  c2 2得，c1  1 , 12 c2  0因而，第 28 页 共 127 页刚体力学IO 1 m  a2  b2  12匀质长方体 [例题 6] 求质量为 m 、长、宽和高分别为 a 、b 和 c 的匀质长方 体对其棱边为轴的转动惯量.第 29 页 共 127 页刚体力学zP′O a y Pcx b图 7.59 匀质长方体对其棱边为轴的转动惯量[解] 由叠加原理，不难得到第 30 页 共 127 页刚体力学以棱边 c 为轴的转动惯量1 1 I z   mi  a 2  b 2   m  a 2  b 2  3 3同理可得，以棱边 a 为轴的转动惯量1 1 I x   mi  b 2  c 2   m  b 2  c 2  3 3以棱边 b 为轴的转动惯量1 1 I y   mi  a 2  c 2   m  a 2  c 2  3 3当然，对 z 轴的转动惯量也可用三重积分计算得到.第 31 页 共 127 页刚体力学I z    x 2  y 2   dxdydz    dz  dy  x 2dx    dz  dx  y 2dy0 0 0 0 0 0 c b a c a b1 1   a 3bc   ab3c 3 3 1 1  ma 2  mb 2 3 3 1  m  a 2  b2  3对 x 轴的转动惯量也可用三重积分计算得到.I x    y 2  z 2   dxdydz    dx  dz  y 2 d y    d x  d y  z 2 d z0 0 0 0 0 0 a c b a b c1  m b2  c2  3对 x 轴的转动惯量也可用三重积分计算得到.I y    x 2  z 2   dxdydz    d z  d y  x 2 d x    d x  d y  z 2 dz0 0 0 0 0 0 c b a a b c1  m  a2  c2  3第 32 页 共 127 页刚体力学根据平行轴定理，对通过长方体面心为轴的转动惯量I PP '  a 2  b2  Iz  m  2   1 1 1   m  a 2  b2   m  a 2  b2   m  a 2  b2   3 4 12 2如果将上述长方体换成边长为 a 的立方体，则绕其棱边的转动惯 量均相等，且I 2 2 ma 3对通过正方体面心为轴的转动惯量I PP '  1 ma 2 6第 33 页 共 127 页刚体力学余此类推.对于特殊刚体，线（线段）面（矩形）体（长方体）第 34 页 共 127 页刚体力学匀质细圆环 [例题 7] 求质量为 m 、半径为 R 的匀质细圆环对通过中心并 与环面垂直的轴的转动惯量.第 35 页 共 127 页刚体力学R·O图 7.60 匀质细圆环对通过中心并与环面垂直的轴的转动惯量[解] 细圆环的质量可以认为全部分布在半径为 R 的圆周上， 即在距离中心小于或大于 R 的各处，质量均为零，所以转动惯量 为I z   mi R2  R2  mi  mR2第 36 页 共 127 页刚体力学或I z   R 2 dm  mR 2又由垂直轴定理，可以得到其对直径为转轴的转动惯量为ID  1 mR 2 2再利用平行轴定理， 可得细圆环对其任意切线为转轴的转动惯量 为It  1 3 mR 2  mR 2  mR 2 2 2.第 37 页 共 127 页刚体力学O2dθO · RθxO1图 7.61 匀质细圆环对任意切线为轴的转动惯量m  2 πR其中，  为细圆环的线密度，则dm   Rd细圆环对切线的转动惯量第 38 页 共 127 页刚体力学I 2π0 R  R cos    Rd2π 02  R3 1  2 cos   cos  d2  R3  2π+π   3π R3  3 mR 2 2匀质中空薄圆盘 [例题 8] 求质量为 m 、内半径为 R 、外半径为 R 的匀质中空薄1 2圆盘对通过中心并与盘面垂直的轴的转动惯量.第 39 页 共 127 页刚体力学dr r· OR1 R2图 7.62 匀质中空薄圆盘对通过中心并与盘面垂直的轴的转动 惯量[解] 匀质中空薄圆盘可视为无限多个同心的细圆环的组合，第 40 页 共 127 页第 41 页 共 127 页所以，根据叠加原理可以得到该中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量. 中空薄圆盘的质量为()2221πm R R σ=-其中，σ为中空薄圆盘的面密度，则d 2πd m r r σ=⋅中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量()()()()21212344212222212122212πd 2πd 1 π21 π21 2R O R R R I r r rr rR R R R R R m R R σσσσ=⋅==-=-+=+⎰⎰第 42 页 共 127 页当然，中空薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.()22112π233222101d d d d 2πd 2R R O R R I r r r r r r r m R R σθσθσ====+⎰⎰⎰⎰⎰匀质薄圆盘[例题9] 求质量为m 、半径为R 的匀质薄圆盘对通过中心并与环面垂直的轴的转动惯量.图7.63 匀质薄圆盘对通过中心并与环面垂直的轴的转动惯量[解] 匀质薄圆盘可视为无限多个同心的细圆环的组合，所以，根据叠加原理可以得到该厚圆环对通过中心且垂直于环面的第43 页共127 页第 44 页 共 127 页转轴的转动惯量. 薄圆盘的质量为2πm R σ=其中，σ为薄圆盘的面密度，则d 2πd m r rσ=⋅薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量23420112πd 2πd π22RRO I r r r r r R mR σσσ=⋅===⎰⎰当然，薄圆盘对通过中心且垂直于盘面的转轴的转动惯量也可用二重积分计算得到.2π233201d d d d 2πd 2RRO I r r r r r r r mR σθσθσ====⎰⎰⎰⎰⎰第 45 页 共 127 页可见，薄圆盘是中空圆盘的特例.同样，根据垂直轴定理，得其对直径为转轴的转动惯量为214D I mR =再利用平行轴定理，可得其对切线为转轴的转动惯量为222t 1544I mR mR mR =+=匀质薄壁圆筒[例题10] 求质量为m 、半径为R 的匀质薄壁圆筒对中心轴线第 46 页 共 127 页的转动惯量.[解] 匀质薄壁圆筒可视为半径相同，圆心在同一条直线上且各个环面均垂直于该直线的一系列细圆环的组合. 根据叠加原理，由圆环对该直线的转动惯量较易求出此圆筒对该直线为转轴的转动惯量22O i I m R mR ==∑图7.64 匀质薄壁圆筒对中心轴线的转动惯量当然，也可定积分法求解.匀质中空圆柱体[例题11] 求质量为m、内半径为R、外半径为2R的匀质中空圆1第47 页共127 页柱体对中心轴线的转动惯量.图7.65 匀质中空圆柱体对中心轴线的转动惯量[解] 匀质中空圆柱体可视圆心在同一条直线上且环面均垂第48 页共127 页第 49 页 共 127 页直于该直线的一系列中空圆盘的组合. 根据叠加原理，由中空圆盘对该直线的转动惯量较易求出此中空圆柱体对该直线为转轴的转动惯量()()22222121O i I m R R m R R =-=-∑当然，也可定积分法求解.()2221πm R R Lρ=-其中，ρ为体密度.d 2πd m rL rρ=⋅第 50 页 共 127 页()()()()21212344212222212122212πd 2πd 1 π21 π21 2R O R R R I r rL rL r rL R R L R R R R m R R ρρρρ=⋅==-=-+=+⎰⎰匀质实心圆柱体[例题12] 求质量为m 、半径为R 的匀质实心圆柱体对中心轴线的转动惯量.。

各类刚体转动惯量公式的推导刚体转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，它反映了刚体对于旋转运动的惯性大小。

在不同的转动轴上，刚体的转动惯量是不同的。

下面将介绍各类刚体转动惯量公式的推导。

1. 点质量转动惯量公式对于质点，其转动惯量为$I=mr^2$，其中$m$为质量，$r$为质点到转轴的距离。

2. 细杆转动惯量公式对于一根长度为$L$，质量为$m$的细杆，绕过其中心垂直于杆的轴转动，其转动惯量为$I=\frac{1}{12}mL^2$。

3. 圆环转动惯量公式对于一个质量为$m$，半径为$R$的圆环，绕过其中心垂直于环面的轴转动，其转动惯量为$I=mr^2$。

4. 球体转动惯量公式对于一个质量为$m$，半径为$R$的球体，绕过其中心垂直于球面的轴转动，其转动惯量为$I=\frac{2}{5}mR^2$。

5. 圆柱转动惯量公式对于一个质量为$m$，半径为$R$，高度为$h$的圆柱，绕过其中心垂直于轴线的轴转动，其转动惯量为$I=\frac{1}{2}mR^2+\frac{1}{12}mh^2$。

6. 圆锥转动惯量公式对于一个质量为$m$，半径为$R$，高度为$h$的圆锥，绕过其中心垂直于轴线的轴转动，其转动惯量为$I=\frac{3}{10}mR^2+\frac{3}{20}mh^2$。

7. 球壳转动惯量公式对于一个质量为$m$，内半径为$R_1$，外半径为$R_2$的球壳，绕过其中心垂直于轴线的轴转动，其转动惯量为$I=\frac{2}{3}m(R_1^2+R_1R_2+R_2^2)$。

以上是各类刚体转动惯量公式的推导。

需要注意的是，这些公式都是在理想情况下推导出来的，实际情况下可能存在误差。

2 刚体定轴转动转动惯量1. 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （A ）只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关． （B ）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关． （C ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置． （D ）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关．答案：（C ） 参考解答：首先明确转动惯量的物理意义，从转动定律与牛顿第二定律的对称关系可以看出，与质量m 是平动惯性大小的量度相对应，转动惯量I 则是刚体转动惯性大小的量度。

从转动惯量的的公式∑=∆=ni ii r m I12可以看出，其大小除了与刚体的形状、大小和质量分布有关外，还与转轴的位置有关。

凡选择回答错误的，均给出下面的进一步讨论：1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。

参考解答：不能．因为刚体的转动惯量∑∆i i m r 2与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀质圆盘对过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为221mR ，若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴的转动惯量为零．2. 一刚体由匀质细杆和匀质球体两部分构成，杆在球体直径的延长线上，如图所示．球体的半径为R ，杆长为2R ，杆和球体的质量均为m ．若杆对通过其中点O 1，与杆垂直的轴的转动惯量为J 1，球体对通过球心O 2的转动惯量为J 2，则整个刚体对通过杆与球体的固结点O 且与杆垂直的轴的转动惯量为 (A) J ＝J 1＋J 2． (B) J ＝mR 2＋mR 2．(C) J ＝(J 1＋mR 2)＋(J 2＋mR 2)．(D) J ＝[J 1＋m (2R )2]＋[J 2＋m (2R )2]． 答案：(C) 参考解答：根据转动惯量具有叠加性，则整个刚体对通过杆与球体的固结点0且与杆垂直的轴的转动惯量为细杆和球体分别对该轴转动惯量之合。

10种常见刚体转动惯量公式研究刚体的运动状态，刚体的转动惯量是非常重要的物理量之一、它描述了刚体绕其中一轴线旋转时所具有的惯性特性。

转动惯量的大小和刚体质量的分布以及轴线的位置有关。

下面将介绍十种常见的刚体转动惯量公式，并对每一种情况进行详细的说明。

1.关于轴线的质量均匀分布若沿轴线方向均匀分布有质量m的刚体，则其转动惯量公式为：I=m*r^2其中I表示转动惯量，m表示刚体的质量，r表示刚体质量均匀分布点到轴线的距离。

2.点状物体绕轴线转动对于一个点状物体质量为m，绕与通过该点的轴线转动，则其转动惯量公式为：I=m*r^2其中r表示点状物体到轴线的距离。

3.均匀细杆绕一端轴线转动若沿杆的一端作为轴线，质量为m，长度为L的均匀细杆绕该轴线转动，则其转动惯量公式为：I=(1/3)*m*L^24.空心球绕直径轴线转动对于一个质量为m，外半径为R，内半径为r的空心球绕直径轴线转动，则其转动惯量公式为：I=(2/3)*m*R^25.均质球体绕直径轴线转动对于一个均匀密度的球体，质量为m，直径为d，绕直径轴线转动，则其转动惯量公式为：I=(2/5)*m*(d/2)^26.长方体绕通过质心的轴线转动对于一个质量为m，长为L，宽为W，高为H的长方体绕通过质心的轴线转动，则其转动惯量公式为：I=(1/12)*m*(L^2+W^2)7.绕一个边的正方体绕通过质心的轴线转动对于一个边长为a，质量为m的正方体绕通过质心和垂直于一条边的轴线转动，则其转动惯量公式为：I=(1/6)*m*a^28.绕对角线的长方体转动对于一个质量为m，长为L，宽为W，高为H的长方体绕对角线转动，则其转动惯量公式为：I=(1/12)*m*(L^2+W^2+H^2)9.圆环绕垂直于轴线的直径转动对于半径为R，质量为m的环绕垂直于轴线的直径旋转，则其转动惯量公式为：I=m*R^210.圆盘绕轴线转动对于半径为R，质量为m的圆盘绕瞬心轴线转动，则其转动惯量公式为：I=(1/2)*m*R^2以上是十种常见的刚体转动惯量公式。

刚体的转动惯量知识点总结一、刚体的定义和特点1. 刚体的定义：刚体是指在外力作用下形状和大小都不发生变化的物体，它具有固有的形状和大小。

2. 刚体的特点：a. 刚体的形状和大小不会发生变化，即使受到外力的作用。

b. 刚体的各个部分在外力的作用下可以相对运动，但它们的相对位置关系保持不变。

c. 刚体的质点运动的加速度与相对位移成正比，即a=ω^2r，其中a为质点的加速度，ω为刚体的角速度，r为质点到轴的距离。

二、刚体的转动运动1. 刚体的角位移和角速度：a. 刚体绕固定轴的转动可以通过角位移和角速度来描述。

b. 角位移是描述刚体一段时间内绕轴转过的角度，单位是弧度。

c. 角速度是描述刚体单位时间内绕轴转过的角度，单位是弧度/秒。

2. 变角速度：旋转刚体因外力作用而角速度不断变化，这种现象称为变角速度。

a. 变角速度是描述刚体在运动过程中角速度时刻改变的情况。

b. 变角速度可以通过角加速度描述，即角加速度是角速度随时间的变化率。

3. 刚体的转动轴：a. 刚体的转动轴是指绕着旋转的固定位置。

b. 转动轴可以是物体表面上的一点，例如圆盘绕着圆心转动；也可以是一个轴线，例如棒绕着一端转动。

三、转动惯量的概念和计算1. 转动惯量的意义：a. 转动惯量描述了刚体对转动的惯性。

转动惯量越大，刚体对转动的抵抗力越大。

b. 转动惯量可以用来描述刚体对于绕一个轴转动的惯性大小。

2. 转动惯量的计算：a. 点质量的转动惯量：对于质量为m的点质量，绕距离为r的轴转动的转动惯量为I=mr^2。

b. 刚体的转动惯量：对于由多个点质量组成的刚体，可以通过对所有点质量的转动惯量求和来计算刚体的转动惯量。

3. 转动惯量的性质：a. 质量分布的影响：对于相同的质量，如果质量分布在轴的附近，则转动惯量较小；如果质量分布离轴较远，则转动惯量较大。

b. 转动惯量的叠加原理：刚体对不同轴的转动惯量可以通过叠加原理求和。

c. 轴对称体：轴对称体的转动惯量在其主轴上是最小的。

常见刚体转动惯量刚体转动惯量是描述刚体旋转惯性的物理量，它与刚体的形状和质量分布有关。

在刚体转动过程中，转动惯量的大小和方向对物体的旋转运动产生了重要影响。

本文将以常见刚体转动惯量为题，通过人类的视角来描述刚体转动的原理和相关概念。

刚体转动惯量是刚体旋转运动中的重要物理量，它描述了刚体对于旋转运动的惯性。

对于各种常见形状的刚体，它们的转动惯量是不同的。

下面我们将以一些常见的刚体为例，来介绍它们的转动惯量。

考虑一个绕某一轴旋转的长直棒。

对于这个长直棒，它的转动惯量与它的质量和长度有关。

当长直棒绕与其垂直的轴旋转时，转动惯量为1/3 * m * l^2，其中m为棒的质量，l为棒的长度。

这个转动惯量表明了长直棒对于绕该轴的旋转运动具有一定的惯性，需要施加一定的力矩才能改变它的旋转状态。

接下来，考虑一个绕其一端固定轴旋转的均匀圆盘。

对于这个圆盘，它的转动惯量与它的质量和半径有关。

当圆盘绕与其垂直轴旋转时，转动惯量为1/2 * m * r^2，其中m为圆盘的质量，r为圆盘的半径。

这个转动惯量表明了圆盘对于绕该轴的旋转运动具有一定的惯性，需要施加一定的力矩才能改变它的旋转状态。

对于一个绕其对称轴旋转的均匀球体，它的转动惯量与它的质量和半径有关。

当球体绕与其对称轴旋转时，转动惯量为2/5 * m * r^2，其中m为球体的质量，r为球体的半径。

这个转动惯量表明了球体对于绕该轴的旋转运动具有一定的惯性，需要施加一定的力矩才能改变它的旋转状态。

通过以上几个例子，我们可以看出，常见刚体的转动惯量与其形状和质量分布有关。

不同形状的刚体具有不同的转动惯量，这也决定了它们对于旋转运动的惯性大小。

在实际应用中，我们经常利用转动惯量来分析刚体的旋转运动，例如计算转动惯量可以帮助我们确定所需的力矩大小，以实现刚体的旋转控制。

刚体转动惯量是描述刚体旋转惯性的重要物理量，它与刚体的形状和质量分布有关。

通过对常见刚体的转动惯量进行描述和分析，我们可以更好地理解和应用刚体的旋转运动。