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用全等三角形研究“筝形”
作者：刘东升
来源：《初中生世界·八年级》2015年第10期
一、活动目的
1. 让学生运用已有的平面图形的学习经验，特别是利用三角形全等研究“筝形”的性质；
2. 在研究“筝形”性质时，引导学生充分利用已有的研究图形的经验，比如画图、测量、折纸等方法猜想图形的可能的性质，并通过推理论证证明图形的性质；
3. 通过对陌生图形性质的探索研究，培养学生探索未知领域的能力.
二、活动流程
（一）定义筝形
我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”.如图，已知AD=CD，AB=CB.
活动预设：定义之后，由学生画一个筝形，标注出相等的边，小组内展示、对比.
（二）研究筝形
带着问题去研究：筝形的边、角、对角线有哪些性质？建议同学们用测量、折纸等方法猜想，然后试着用全等三角形的知识证明自己的猜想.
活动预设：学生可能提出邻边之间的等量关系，有一组对角相等，对角线互相垂直，有一条对角线平分另一条对角线等等；先在小组内交流、完善、条理化，然后在大组汇报展示各组的成果.教师可在学生汇报某种性质之后，现场追问其他小组同学是否理解他们的探究心理.
（三）问题拓展
思考：若AC=6 cm，BD=8 cm，求筝形ABCD的面积.
预设：由前面的探索，学生已知道对角线互相垂直，则可以利用这一性质来求筝形的面积.
（四）完成小论文
在各组展示讨论之后，建议同学们选择研究筝形的心路历程写成数学小论文.。
数学活动课——《用全等三角形探究“筝形”》河北省沧州市东光县龙王李中学张兰兰教材分析：本节课内容一方面是让学生进一步感受全等形，另一方面是对全等三角形知识的灵活运用与有效提高，是在学生了解全等三角形概念、性质和判定方法的基础上，结合三角形章节复习而设计的。
这一知识既是前面所学全等三角形知识的继续，又为以后学习较复杂的几何问题及实际应用做准备，体现了教材螺旋式上升的特点。
本数学活动具有内容丰富、关注学生的生活经验、体现知识的形成过程、改变学生的学习方式，体现开放性的教学方法等特点。
故本节内容便于培养学生形成数学应用意识，适于提高学生应用数学的能力。
教学目标：知识与技能：1、让学生运用已有的平面图形的学习经验，特别是利用三角形全等研究"筝形"的性质；2、在研究"筝形"性质时，引导学生充分利用已有的研究图形的经验，比如画图、测量、折纸等方法猜想图形的可能的性质，并通过推理论证证明图形的性质；3、通过对陌生图形性质的探索研究，培养学生探索未知领域的能力。
过程与方法：1、使学生能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表述。
2、通过采取动手操作与合作学习的模式，使学生学会采用知识迁移、类比，培养学生学习的主动性，培养学生树立正确而又科学的合作学习的良好习惯，懂得相互补充和促进，达到共同提高的目的，同时通过数学探究中合理猜想培养学生的发散思维内力。
情感态度与价值观：通过探讨全等三角形在生活中应用的奥妙，激发学生学习数学的兴趣，促使学生体会数学的应用价值，提高学生解决实际问题的应用能力，激发他们勇于探索、热爱科学的精神。
教学重点：识别全等形，并能利用全等三角形性质和判定探究筝形的有关性质。
教学难点：筝形性质探究和应用。
教具准备：教师准备与教学设计相适应的课件，学案，学生准备筝形纸片、尺子等。
教学过程：一、故事导入：一日，狄仁杰与元芳来到郊外踏青，恰逢一男孩在放风筝。
元芳：大人，您看，那小儿所放风筝如何？狄仁杰：甚是美妙，如此美妙之图形，必有蹊跷，元芳，你怎么看？元芳：大人，待我回去研究研究，再来禀报。
人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册第12章《全等三角形》数学活动——用全等三角形研究“筝形”教学设计一、教材分析1、教材地位和作用：本节课是在学生了解全等三角形概念、性质和判定方法的基础上，结合三角形章节复习而设计的.这一知识既是前面所学全等三角形知识的继续，又为以后学习较复杂的几何问题及实际应用做准备，体现了教材螺旋式上升的特点.本数学活动具有内容丰富、关注学生的生活经验、体现知识的形成过程、改变学生的学习方式，体现开放性的教学方法等特点.故本节内容便于培养学生形成数学应用意识，适于提高学生应用数学的能力.2、教学目标：1.知识与技能：进一步巩固全等三角形的性质和判定；能利用全等三角形的性质和判定探究“筝形”的性质.2.数学思考：经历“筝形”性质的探究过程，在实验操作、观察猜想、推理论证的过程中发展学生合情推理和演绎推理能力.3.问题解决：通过对实际生活中问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的,激发学生学习数学的兴趣，初步了解在解决四边形问题时，我们常把它转化为三角形的问题来研究，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识.4.情感态度：积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，同时在学习新知识的过程中,渗透建模思想,体会数学的实际应用价值.3、教学重、难点：教学重点：利用全等三角形的性质和判定探究“筝形”的性质，并运用“筝形”的性质解决简单的问题.教学难点：利用全等三角形的判定和性质探究“筝形”的性质.突破重、难点的方法：通过折纸实验和几何画板的演示来突破重、难点.二、教学准备：多媒体课件、导学案、筝形模型、长方形纸片、剪刀.三、教学过程4、出示学习目标标.趣.再通过复习全等三角形的性质和判定，让学生理解新旧知识之间的联系. 二、自主探究 合作交流 建构新知概念学习：教师借助风筝模型引导学生归纳筝形的定义（请一名同学上台讲一讲） 1、筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形. 2、几何语言表示：活动1：折一折、剪一剪、动手操作如图，把一张长方形的纸按图中的实线对折，将蓝色和红色的三角形区域沿虚线剪掉，把它展开后得到一个筝形，并在纸片上标出字母A 、B 、C 、D ，连接对角线AC 、BD 交于点O （请同学们动手操作）.活动2：观察发现、猜想性质1、请同学们观察裁剪下的“筝形ABCD ”，试用测量、折叠等方法能猜想出哪些结论？ 把它记录在表格中.（在导学案上完成）2、老师借助几何画板演示来验证猜想结果. 活动3：证明猜想、得出性质 1、猜想：∠ABC =∠ADC ？ （1）已知：在四边形ABCD 中，AB =AD ， BC =DC. 求证：∠ABC =∠ADC. 如何进行证明呢？…… （2）得出性质：筝形至少有一组对角相等. 2、猜想：AC ⊥BD ，BO=DO ，∠BAC =∠DAC ， ∠ACB =∠ACD ？探究对象 猜想结果 对称性边角 对角线1名同学结合模型说一说筝形边的特点，全体学生概括出筝形的定义并用几何语言表示.同桌二人合作动手剪筝形.小组合作动手测量、折叠等猜想结果并汇报交流.看教师演示并思考.独立完成猜想证明，通过回顾折纸过程，得出添加辅助线的方法，进而证明猜想.先独立思考，有困难的小组内讨论交流，完成证明过通过学生亲手摸一摸、讲一讲，概括出筝形的定义，培养学生对几何图形的感性认识，进而能用文字语言去描述，同时培养学生思维的敏锐性.为学生提供参与数学活动的时间和空间，培养学生的动手操作能力.通过测量、折叠等方法，以小组合作的方式来解决这个问题有助于化解难点,培养学生积极参与合作的能力.通过几何画板演示的动态性和形象性，给学生一种耳目一新的视觉感受，在观察、探索、发现的过程中是学生增强对图形的感性认识，从而更有助于学生理解和证明.通过猜想证明培养学生独立思考的习惯和规范性做题的能力.培养合作意识，取长补短，共同进步，经历动手操作、观察猜想、推理论证等活动，感受几何的研究方法，D ABC O（1）已知：在四边形ABCD 中，AB =AD ， BC =DC. 求证：AC ⊥BD ，BO=DO ，∠BAC =∠DAC ，∠ACB =∠ACD. 如何进行证明呢？……（2）得出性质：筝形的一条对角线平分一组对角，并且垂直平分另一条对角线.3、归纳：（1）“筝形”的性质：①筝形是轴对称图形，它有—条对称轴； ②筝形两组邻边相等；③筝形至少有一组对角相等；④筝形的一条对角线平分一组对角，并且垂直平分另一条对角线. （2）方法提炼：“四边形”问题 转化为“三角形”的问题来研究.程，个别同学进行汇报.归纳总结筝形性质.培养学生的演绎推理能力.为今后性质的准确应用奠定基础，及时进行学法指导，注重方法规律的提炼总结.教学内容与教师活动学生活动 设计意图 三、巩固训练 拓展延伸 活动4：学以致用 应用性质 （一）基础训练：1、已知筝形ABCD 的周长是50cm ，AB=10cm ， 则BC=______cm.2、 如图：在筝形ABCD 中，已知∠ABC=100°, ∠DAC=60°,则∠ADC=_____,∠ACB=______.3、如图，筝形及对角线组成的图形中全等三角形有：______________________________.第1题 第2题 第3题 （二）能力提升4、四边形ABCD 是一个筝形，AC=9，BD=6，那么筝形ABCD 的面积为多少？学生独立完成,汇报交流.让学生自行思考方法，各抒己见，方法越多越好，活跃思维独立思考性质的简单应用，巩固所学知识，增强学生应用知识的能力.提炼方法：得出筝形的面积公式为：两条对角线乘积的一半.培养学生知识方法迁移运用的能力，拓宽了教材的外延，同时D A CBD CBAABCDO DABCO5、如图，四边形ABCD ，AB=AD+BC ，∠DAB 的平分线与DC 交于点E ，且点E 是DC 中点， 连接BE. 求证：∠ABE=∠CBE.尝试解答也为今后解决实际问题奠定基础，拓展学生的思维.四、反思小结 布置作业活动5：小结反思 布置作业1、小结反思：这节课我们主要学习哪些知识?你还有哪些收获？知识：(1)筝形的定义:有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形. (2)“筝形”的性质： ①筝形是轴对称图形，它有—条对称轴；②筝形两组邻边相等；③筝形至少有一组对角相等；④筝形的一条对角线平分一组对角，并且垂直平分另一条对角线.(3)筝形的面积：两条对角线乘积的一半.方法：（1）用观察、测量、折叠等方法研究筝形的性质； （2）把四边形问题转化成三角形问题来解决，体会转化的数学思想.2、作业布置：请同学们用今天所学的知识自己制作一个美丽的风筝.自由发言,相互借鉴，归纳知识及方法.独立完成培养学生归纳和语言表达能力，在总结回顾时，将知识、方法、思想再次巩固.培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，关注学生思维发展.板书设计：第十二章 数学活动——用全等三角形研究“筝形”1、筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.2、筝形的性质：（1）对称性：筝形是轴对称图形，它有—条对称轴； （2）边：筝形两组邻边相等； （3）角：筝形至少有一组对角相等；（4）对角线：筝形的一条对角线平分一组对角，并且垂直 平分另一条对角线.EDBACABCDO。
用全等三角形探究筝形筝形的定义筝形是一种几何形状，具有四边，并且对边平行的特点。
所谓对边平行，是指筝形的两对对边分别平行。
筝形的四边可以有不同的长度，因此筝形并不是正规的四边形。
筝形的特点是其对角线互相平分。
这意味着筝形的两个对角线的交点将位于对角线上的中点。
另外，筝形的两个对边也是互相平分的。
全等三角形的性质在几何学中，全等三角形是指具有相同三个角度和相同三个边长的三角形。
当两个三角形的对应的三个角度和三个边长分别相等时，这两个三角形就是全等三角形。
全等三角形具有一些重要的性质。
首先，全等三角形的所有对应的角度相等，这被称为角的对应性质。
其次，全等三角形的所有对应的边长相等，这被称为边的对应性质。
最后，全等三角形的所有对应的角的对应边也是相等的，这被称为边角对应性质。
用全等三角形探究筝形我们可以使用全等三角形的性质来探究筝形。
假设有一个筝形，我们可以画一条对角线将其分为两个三角形。
由于筝形的对角线互相平分，所以这两个三角形是全等的。
根据全等三角形的性质，筝形的两个对角线相等，以及筝形的两对对边平行，我们可以得出以下结论：1.筝形的两对对边长度相等。
根据全等三角形的边的对应性质，筝形的两对对边分别相等。
这意味着对边AB与对边CD相等，对边BC与对边DA 相等。
因此，筝形的两对对边长度相等。
2.筝形的对角线互相平分。
由于筝形的对角线互相平分，我们可以得知对角线AC和BD的交点E位于对角线上的中点。
这是因为，根据全等三角形的边角对应性质，筝形的两个对角线的交点E是两个对角线上的中点。
通过以上探究，我们可以得出筝形的性质。
筝形的两对对边相等，对角线互相平分。
应用筝形在建筑中筝形是一种几何形状，常常运用在建筑领域中。
它的独特设计可以给建筑物带来一些独特的视觉效果和稳定性。
筝形的平行对边可以提供建筑物更加稳定的结构。
在桥梁中，筝形的设计可以将桥梁的重量平均分散到两侧，增加桥梁的稳定性和安全性。
在建筑外墙的设计中，筝形的结构可以增加建筑物的抗风性能，减少因风力对建筑物的影响。
用全等三角形研究筝形
教学反思（人教版教材八年级（上）12章活动课）新课程标准中明确指出：“教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极自主探索、合作交流与实践创新。
”本节课最成功的地方是课题的引入，通过用一个简单的模型作为新课的引入点，很好地激发了学生的学习兴趣，学生热情高，回答问题踊跃。
其次课前准备充分，课件、简易教具利用得当，学生预习及学具的准备做得到位，学生配合默契为本节的顺利进行提供了保障。
在本节课的组织中始终注意：
（1）以问题为活动的核心。
在组织活动前，结合学习内容和学生实际，创设问题情境，让学生带着问题进行思考。
（2）探究是一个活动过程也是学生的思维过程，引导学生多角度思考问题，本节课能借助全等三角形的相关知识证明筝形的性质，经历“筝形”性质的探究过程，体会研究几何图形的基本思路和方法。
（3）促进学生发展是活动的目的。
让学生在参与“筝形”性质的探究过程的探究推导、归纳证明、验证应用的过程中促进学生几何推理能力、表达能力、数学思想方法等得方面的进一步发展。
本节课不足的地方是时间安排上不够好，定理的探究上用时偏多。
需要在今后的课堂设计中注意，另外对数学模型已提出，但对这种模型的强调还需加强。
通过这节课我认为今后的教学还需要备好教材，设计好自己的教案，注重学生的主体地位，渗透数学思想方法，把握
好知识的发生过程，不是机械的记忆、简单的叠加，而要做到在理解基础上记忆，符合认知规律的重新构建，设计时注意要有阶梯，且要适度，提高自己的点拨技巧，为上好每一节课而不懈努力。
