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3.复合函数的微分及微分形式不变性 性质3.9 设y f(u),u g(x)可微,则y f[g(x)]关于x可微, 且df[g(x)] f [g(x)] g(x)dx
微分形式的不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量t的可 微函数x g(t), 则 dy f (x)g(t)dt
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x),
y A o(x) ,
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
微分 dy叫做函数增量y的线性主部.
y A x o(x) dy o(x)(其中A与x无关)
y与dy的关系 (1) y dy o(x);(dy为y的线性主部) (2) 当A 0时,y ~ dy; (3) 当x很小时,y dy .
3.可微的条件
性质3.7 函数f (x)在点x0可微 f (x)在点x0处可导, 且 A f (x0 ).
d(secx) _s_e_c_x_ta_n__x__dx d(cscx) _-c_s_c_x_c_o_t_x_dx
d(_a_x_) ax lnadx 1
d(loga x) _x__ln__a1dx
d(_e_x_) exdx
1
d(l_n_x_) 1 dx,
x
d(lnx1) _x___dx
x 0.02
x 0.02
4.微分的几何意义
tan f (x) PQ x
PQ f (x)x dy y NQ ,dy PQ NP o(x)
y
T
N
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x Q
）
o
x0 x0 x
x
几何意义: dy f (x)x就是在f (x)在x处切线纵坐标的改变量.
f ( x0 ),
即
y x
f
(x0 )
o(1),
从而 y f (x0 ) x o(1) (x),
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
可导 可微. A f ( x0 ). 函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
四 函数的微分
(一) 、微分的定义 (二) 、微分的计算 (三) 、微分在近似计算中的应用
(一) 、微分的定义
1.引例 2.微分的定义 3.可微的条件 4.微分的几何意义
1.引例
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积 s x02,
s (x0 x)2 x02 2x0 x (x)2 .
当y=x时, dy=dx dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫"微商".
例1 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解 dy ( x3 )x 3x2x.
dy x2 3 x 2x x2 0.24.
x0
x0x
x (x)2
x
A x02
x0x x0
(1)
(2)
(1) : x的线性函数,且为s的主部;
(2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
2.微分的定义
定义 设函数 y f (x)在x0的某一邻域内有定义, 当x在x0处取增量x时, 如果y可写成 y f (x0 x) f (x0 ) A x o(x)(其中A与x无关), 则称 y f (x)在点x0可微, A x称为y f (x)在点x0的微分, 记作dy xx0 或df (x0 ), 即dy xx0 A x.
例9 证当x很小时,ex 1 x
d(f (x)g(x)) g(x)df (x) f (x)dg(x)
d(f (x)) g(x)
g(x)df
(x) f (x)dg(x) g(x)2
例2 设 y ln( x e x2 ), 求dy. 例3 设 y e13x cosx, 求dy及dy(0). 例4 y f(e-x ),求dy 例5 :由x y2 exy确定y f (x),求dy
解 (1) costdt d(sint),
cos tdt 1 cos td(t) 1 d(sin t) d( 1 sin t);
d( 1 sin t C ) cos tdt.
(2) d(sin x 2 ) 2x cos x 2dx
d( x)
1 dx
4x
x cos x 2 ,
2x
d(sin x 2 ) (4x x cos x 2 )d( x).
g(t)dt dx,
dy f ( x)dx.
结论：无论 x是自变量还是中间变量, 函数 y f ( x)的微分形式总是 dy f ( x)dx
微分形式的不变性
例5 设 y sin( 2x 1), 求dy. 解 y sin u, u 2x 1. dy cos udu cos(2x 1)d(2x 1)
d(arcsinx) __1___x_2dx
d(_a_r_c_ta_n__x_)
11Leabharlann x2dxd(arccosx) _1___x_2_dx d(arccot x) _1__1_x__2 dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(f (x) g(x)) df (x) dg(x)
d(Cf (x)) Cdf (x)
(三) 、微分在近似计算中的应用 计算公式
(1)当x很小时, y dy f (x0 )x (2)当x很小时,f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x 取 | x | 1 (3)当x很小时,f (x) f (0) f (0)x
例8 正方体的棱长x0 10cm,若棱长增加0.1cm,求正方体 体积增加的近似值,精确值.
(二) 、微分的计算
dy f ( x)dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C) __0_
d(x ) _x___1_dx
d(sin x) _c_o_s_x_dx
d(cosx) _-s_i_n_x_dx
d(tanx) _s_e_c_2_x____dx d(cot x) ___c_sc_2_x___dx
cos(2x 1) 2dx 2cos(2x 1)dx.
例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
(1) d( ) cos tdt; (2) d(sin x2 ) ( )d( x).
例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
(1) d( ) cos tdt; (2) d(sin x2 ) ( )d( x).
