七桥问题——一笔画

七桥问题与一笔画的通解（论文拟稿）在柯尼斯堡的一个公园里，有七座桥将一条河上的两座岛和两岸相连接。

当时有人提出了这么一个问题：如何一次性不重复不遗漏走完七座桥。

后来，数学家欧拉将它变成了一个一笔画问题（如图）。

从欧拉的简化图来看，似乎我们无论如何，也不能一笔画完图形。

但是，这是为什么呢?在这个图中，有ABCD 4个点，有五条线汇聚到A点，三条线汇聚到B,C,D 点，我们可以把这种有奇数条线（3条及以上）汇聚的点称为奇点，作为对应，把有偶数条线（4条及以上）汇聚的点称为偶点。

那么，我们不难发现，在任意封闭图形中，奇点的个数一定是偶数。

因为一条线定连接两个点（或重合），若存在奇数个奇点，则此图形定不符合封闭图形定义。

从一个奇点来看，若要一笔画成，则此奇点定是起笔点或停笔点。

起笔点，停笔点只有两个，所以说，奇点为两个或没有奇点的封闭图形可以一笔画。

回来看七桥问题，图中有四个奇点，以任意两个作为起笔点和落笔点，则还有两个奇点无法连接。

故七桥问题无解。

从上面总结出以下结论：■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

■⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点)，一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

■⒊其他情况的图都不能一笔画出。

(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。

)我们可以把得到的结论推广到所有一笔画解法存在问题，如汉字“田”，我们观察到，它有四个奇点，故不可以一笔画。

而汉字“日”，只有两个奇点，则可以一笔画。

早在1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，就阐述了这种方法，也为后来的数学新分支--拓扑学的建立奠定了基础。

从这里我们可以看出，伟大的创造一开始可能并不像我们想象的那么高深莫测，仔细观察生活，我们也会有了不起的发现。

从哥尼斯堡七桥问题谈起Ⅰ（一笔画问题）故事发生在18世纪的哥尼斯堡城.流经那里的一条河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸联系起来，那里风景优美，游人众多.在这美丽的地方，人们议论着一个有趣的问题：一个游人怎样才能不重复地一次走遍七座桥，最后又回到出发点呢？/对于这个貌似简单的问题，许多人跃跃欲试，但都没有获得成功.直到1836年，瑞士著名的数学家欧拉才证明了这个问题的不可能性。

欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线.这样，一个实际问题就转化为一个几何图形（如下图）能否一笔画出的问题了.那么，什么叫一笔画？什么样的图可以一笔画出？欧拉又是如何彻底证明七桥问题的不可能性呢？①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

②凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

③其他情况的图，都不能一笔画出。

下面我们就来研究一笔画问题的具体应用：例1观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.分析与解答例2下图是国际奥委会的会标，你能一笔把它画出来吗？分析与解答例3下图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？分析与解答例4 下图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？分析与解答例5一张纸上画有如下图所示的图，你能否用剪刀一次连续剪下图中的三个正方形和两个三角形？分析与解答例6下图是一个公园的平面图.要使游客走遍每条路而不重复，问出入口应设在哪里？分析与解答练习题1.请一笔画出下列各图2.判断下列各图能否一笔画出，并说明理由.3.下图是一公园的平面图，要使游客走遍每一条路且不重复，问出入口应设在哪里？4.下图是一个商场的平面图，顾客可以从六个门进出商场（阴影部分为各商品部，空白处为通道），请你设计一种能够一次走遍各通道而又不必走重复路线的进出方法.。

一笔画问题
1.瑞士大数学家欧拉在七桥问题的过程中，发现了一笔画原理，这一原理被命名为“欧拉定理”：
（1）能一笔画的图形必须是连通的。

（2）凡是只由偶顶点组成的连通图形，一定可以一笔画出，画时可以由任一偶顶点为起点，最后仍回到这点。

(3)凡是只有两个奇顶点的连通图形一定可以一笔画出，画时必须以一个奇顶点为起点，以另一个奇顶点为终点。

（4）奇顶点个数超过两个的图形不能一笔画出。

2.能一笔画出的图形的奇顶点数目是2或0，如果图形有奇顶点2N（n为正整数）个，那么图形最少要用N笔画出。

世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题请你做下面的游戏：一笔画出如图1的图形来。

规则：笔不离开纸面，每根线都只能画一次。

这就是古老的民间游戏——一笔画。

你能画出来吗？如果你画出来了，那么请你再看图2能不能一笔画出来？虽然你动了脑筋，但我相信你肯定不能一笔画出来！为什么我的语气这么肯定？我们来分析一下图2。

我们把图2看成是由点和线组成的一种集合。

图里直线的交点叫做顶点，连结顶点的线叫做边。

这个图是联通的，即任何二个顶点之间都有边。

很显然，图中的顶点有两类：一类是有偶数条边联它的，另一类是有奇数条边联它的。

一个顶点如果有偶数条边联它的，这点就称为偶点；如果有奇数条边联它的，就称它为奇点。

我们知道，能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。

另一类是只有二个奇点的图形。

图2有六个奇点，四个偶点，当然不能一笔画出来了。

为什么能一笔画的图形只有上述两类呢？有关这个问题的讨论，要追溯到二百年前的一个著名问题：哥尼斯堡七桥问题。

十八世纪东普鲁士哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河，它有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图3所示。

由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。

渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。

这就是七桥问题，一个著名的图论问题。

图3这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到答案。

因此，一群大学生就写信给当时年仅20岁的大数学家欧拉。

欧拉从千百人次的失败，以深邃的洞察力猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。

欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图4所示。

图4 图5于是“七桥问题”就等价于图5中所画图形的一笔画问题了。