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《工程数学线性代数》教学大纲一、课程性质、地位和任务线性代数是一门重要的数学基础课程，已被广泛地应用于管理学科的各个领域，它是理工科大学生必备的基础知识。
本课程基本任务是学习行列式，矩阵及其运算，向量的线性相关性，矩阵的初等变换与线性方程组，相似矩阵及二次型，线性空间等理论及其有关知识。
在教学过程中注重培养学生逻辑思维和抽象思维能力，提高学生分析问题解决问题的能力。
通过本课程的学习，使学生具备有关线性代数的基本理论及方法，并能用它解决一些实际问题，为学生学习后续课程打下必要的数学基础。
二、课程基本要求理论和知识方面掌握本课程的基本知识和基本理论，如行列式的概念和性质、克拉默法则、矩阵的概念及线性运算、逆矩阵的概念、矩阵的初等变换、矩阵的秩、n维向量的概念、向量组线性相关性的概念、向量空间的概念、线性方程组的解的结构、线性方程组基础解系、特征值与特征向量的概念、相似矩阵的概念、正交变换、二次型、二次型的矩阵表示等。
能力和技能方面掌握本课程的基本技能，如行列式的计算、矩阵的运算、矩阵初等变换、逆矩阵的计算、矩阵及向量组秩的计算、向量组线性相关性的判别、线性方程组的求解、施密特正交化过程、矩阵特征值与特征向量的计算、实对称矩阵的相似变换、化二次型为标准形的方法等。
该课程基本要求的设置分三个层次，其中对概念与理论用“理解”、“了解”和“知道”表述，对方法和运算用“熟练掌握”、“掌握”和“会”表述，前者为较高的要求。
三、课程内容及学时分配第一章行列式（8学时）第一节二阶与三阶行列式第二节全排列及其逆序数第三节 n阶行列式的定义第四节对换第五节行列式的性质第六节行列式按行(列)展开第七节克拉默法则基本要求：一、了解n阶行列式的定义，掌握行列式的性质。
二、会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开的定理计算行列式。
三、了解克拉默(Gramer)法则，会用克拉默法则求解非齐次线性方程组。
重点：行列式的性质及行列式按行(列)展开定理。
矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。
二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。
例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。
例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0049201321、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10980201、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---50301000783013002 例题 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=35222232111*********A 秩及秩(TA )解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=35222232111*********A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−35222232110703312011,②① ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-+-+-+11200112003100012011)2()1()3(①④①③①② ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−→−-+00112003100012011)1(③④()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−00310001120012011,③② 所以，秩(A)=3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=3215327220021132113AT⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−-⨯++3211101220000002113)2(①④①②⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−0002113220032101101,,⑤②④① ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+00001210220032101101)3(①④ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+004400220032101101)1(②④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−→−⨯+0000002200321011012③④ 所以，()3A T=秩可以证明：对于任意矩阵A ，()()TAA 秩秩=；矩阵的秩是唯一的。
矩阵的秩教学设计方案一、教学目标1. 理解矩阵的秩的概念和基本性质；2. 掌握计算矩阵的秩的方法和步骤；3. 能够应用矩阵的秩解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学内容1. 矩阵的秩的定义和基本性质；2. 矩阵的秩的计算方法；3. 矩阵的秩和线性方程组的关系；4. 矩阵的秩在实际问题中的应用。
三、教学方法1. 探究式学习法：通过引导学生思考和探索，由浅入深地理解矩阵的秩及其运算规律；2. 案例分析法：通过实际问题案例，使学生能够运用矩阵的秩解决实际问题；3. 组织合作学习：让学生以小组形式合作讨论和解决问题，培养他们的团队合作意识和解决问题的能力。
四、教学步骤1. 引入阶段- 引入矩阵的概念并回顾行列式的性质；- 引导学生思考行列式和矩阵的关系。
2. 概念解释阶段- 引入矩阵的秩的概念和定义；- 解释矩阵的秩与行列式的关系；- 分析矩阵的秩对线性方程组解的影响。
3. 计算方法阶段- 介绍计算矩阵的秩的方法和步骤；- 分步骤演示矩阵的秩的计算过程；- 练习矩阵的秩的计算问题。
4. 应用拓展阶段- 运用矩阵的秩解决实际问题，如线性相关性的判断、平面方程的求解等；- 分组讨论和解决实际问题案例。
5. 总结反思阶段- 总结矩阵的秩的基本概念、计算方法和应用；- 让学生回答相关问题，对学习效果进行评价。
五、教学资源1. 教科书：提供相关理论知识和案例；2. 教学PPT：呈现关键概念、计算方法和应用案例；3. 实际问题案例：用于分组讨论和解决问题；4. 课堂练习题：巩固学生的计算和应用能力。
六、教学评价1. 定性评价：通过参与课堂讨论和解决实际问题的表现评价学生的活跃程度和思维能力；2. 定量评价：布置练习题和考试题，评价学生对矩阵秩的计算和应用的掌握程度。
七、教学反思1. 在教学过程中，要注重培养学生的探索和解决问题的能力，鼓励他们提出问题并尝试解决；2. 在设计案例分析时，应结合实际问题，使学生更好地理解矩阵秩的意义和应用；3. 在评价环节，要充分倾听学生的意见和建议，及时调整教学策略，确保教学效果的提高。
矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。
二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。
例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。
例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000049201321、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100980201、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---50000301000783013002例题 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A 秩及秩(TA ) 解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−35222232110703312011,②① ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-+-+-+11200112003100012011)2()1()3(①④①③①② ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−-+00000112003100012011)1(③④()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−00000310001120012011,③② 所以，秩(A)=3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32105327220021132113A T⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−-⨯++32101101220000002113)2(①④①②⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−00002113220032101101,,⑤②④①⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-⨯+00001210220032101101)3(①④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+00004400220032101101)1(②④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⨯+000000002200321011012③④所以，()3AT=秩可以证明：对于任意矩阵A ，()()TA A 秩秩=；矩阵的秩是唯一的。
教案头
教学详案
一、回顾导入（10分钟）
——复习线性方程组的消元解法引入新课。
二、主要教学过程（70分钟，其中学生练习20分钟）
一：矩阵的初等行变换
对矩阵实施下列三种变换，称为初等行变换：
（1） 互换矩阵两行的位置（交换第i,j 两行，记作j i r r ↔）；
（2） 以非零数k 乘矩阵某一行的所有元素（k 乘第i 行记作i kr ）；
（3） 把矩阵某一行的元素的k 倍加到另一行的对应得元素上（第i 行的k 倍加到第j 行上记作i j kr r +）
练习1：设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----=324751122413A ，将矩阵进行下列初等行变换： （1） 交换矩阵A 的第1行与第3行的位置；
（2） 用数3乘矩阵A 的第2行；
（3） 将矩阵A 的第3行的（-4）倍加到第4行上。
注意：对矩阵进行初等行变换以后，新矩阵与原来矩阵不再相等。
故元矩阵与新矩阵之间只能用箭头连接，而不能用等号连接。
练习2：用矩阵的初等行变换将矩阵A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=121011322化为简化阶梯形矩阵。
将矩阵化为简化阶梯型矩阵的程序为：
（1） 首先使第一行第一个非零元为1，然后将其下方的元素全部化为零；在将第二行第一个非零元的下
方元素全部化为零；以此类推，直到将矩阵化为阶梯型矩阵。
（2） 从非零行的最后一行起，将该行第一个非零元化为1，并将其上方的元素全部化为零：再将倒数第
二个非零行的第一个非零元化为1，并将其上方的元素全部化为零；直到矩阵化为阶梯型矩阵。
注:1）实际解题的时候，两步骤不用分开。
2）矩阵的阶梯型矩阵不唯一，但简化阶梯型矩阵是唯一的。
练习3：用矩阵的初等行变换将矩阵A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-------=11370030311111014321化为简化阶梯形矩阵 二：矩阵的秩
矩阵秩是矩阵本身的属性，是矩阵部分的一个重要概念。
需认真把握。
1） 矩阵秩的概念：
将一矩阵化为阶梯型矩阵后，阶梯型矩阵中非零行的行数，成为矩阵的秩，记作)(A r
例 求方程组的系数矩阵 的秩
练习4：求矩阵A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-------=111204244024023171033的秩。
注：矩阵秩的概念有许多定义，这些定义都是等价的。
三、归纳总结（10分钟）
对矩阵进行初等行变换以后，新矩阵与原来矩阵不再相等。
故元矩阵与新矩阵之间只能用箭头连接，而不能用等号连接；
矩阵的阶梯型矩阵不唯一，但简化阶梯型矩阵是唯一的；
矩阵秩的概念有许多定义，这些定义都是等价的。
四、课后作业 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---→00055012155055012113431
212123121324r r r r r r A 所以 2)(=A R ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=134312121A。
