工程数学教案25矩阵的初等行变换和矩阵的秩

《工程数学线性代数》教学大纲一、课程性质、地位和任务线性代数是一门重要的数学基础课程，已被广泛地应用于管理学科的各个领域，它是理工科大学生必备的基础知识。

本课程基本任务是学习行列式，矩阵及其运算，向量的线性相关性，矩阵的初等变换与线性方程组，相似矩阵及二次型，线性空间等理论及其有关知识。

在教学过程中注重培养学生逻辑思维和抽象思维能力，提高学生分析问题解决问题的能力。

通过本课程的学习，使学生具备有关线性代数的基本理论及方法，并能用它解决一些实际问题，为学生学习后续课程打下必要的数学基础。

二、课程基本要求理论和知识方面掌握本课程的基本知识和基本理论，如行列式的概念和性质、克拉默法则、矩阵的概念及线性运算、逆矩阵的概念、矩阵的初等变换、矩阵的秩、n维向量的概念、向量组线性相关性的概念、向量空间的概念、线性方程组的解的结构、线性方程组基础解系、特征值与特征向量的概念、相似矩阵的概念、正交变换、二次型、二次型的矩阵表示等。

能力和技能方面掌握本课程的基本技能，如行列式的计算、矩阵的运算、矩阵初等变换、逆矩阵的计算、矩阵及向量组秩的计算、向量组线性相关性的判别、线性方程组的求解、施密特正交化过程、矩阵特征值与特征向量的计算、实对称矩阵的相似变换、化二次型为标准形的方法等。

该课程基本要求的设置分三个层次，其中对概念与理论用“理解”、“了解”和“知道”表述，对方法和运算用“熟练掌握”、“掌握”和“会”表述，前者为较高的要求。

三、课程内容及学时分配第一章行列式（8学时）第一节二阶与三阶行列式第二节全排列及其逆序数第三节 n阶行列式的定义第四节对换第五节行列式的性质第六节行列式按行(列)展开第七节克拉默法则基本要求：一、了解n阶行列式的定义，掌握行列式的性质。

二、会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开的定理计算行列式。

三、了解克拉默(Gramer)法则，会用克拉默法则求解非齐次线性方程组。

重点：行列式的性质及行列式按行(列)展开定理。

基的唯一性
如果一个向量空间的基所张成的 子空间的秩等于整个向量空间的 秩，则该基是唯一的。
子空间的性质
通过研究矩阵的秩，可以得出关 于子空间的性质，如子空间的维 数、子空间的正交补空间等。
向量空间与初等变换的关系
初等变换
交换矩阵的两行、两列，或者用一个非零常数乘以矩阵的一行或一列。
向量空间与初等变换的关系
03
通过将线性方程组转化为增广矩阵，利用初等行变换化简，可
以得到方程组的解。
04
矩阵的秩与线性方程组的关系
线性方程组的解与矩阵的秩的关系
线性方程组的解与矩阵的秩有密切关 系，矩阵的秩决定了线性方程组解的 个数和性质。
若矩阵的秩等于未知数的个数，则线 性方程组有唯一解；若矩阵的秩小于 未知数的个数，则线性方程组有无穷 多解或无解。
通过矩阵的秩判断线性方程组解的情况
通过计算矩阵的秩，可以判断线性方 程组的解的情况，从而确定解的个数 和性质。
VS
若矩阵的秩小于未知数的个数，可以 通过增加或减少方程来使矩阵变为满 秩，从而得到唯一解。
线性方程组的解与初等变换的关系
01
初等变换是矩阵的一种基本操作，它可以改变矩阵的
秩和行列式值。
矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。
矩阵的秩与初等变换在解题中的应用
利用矩阵的秩判断方程组是否有解
01
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，方程组有解；否则，方
程组无解。
利用初等变换化简矩阵
02
通过初等行变换或初等列变换可以将一个复杂的矩阵化简为一
个简单的矩阵，从而方便计算。
利用矩阵的秩和初等变换求解线性方程组
秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足以下性质：若$A$是$m times n$矩阵，$B$是$n times p$矩阵，则$AB$的秩不大于$A$的秩和$B$的秩，即$text{rank}(AB) leq text{rank}(A) + text{rank}(B)$。

Matrix and determinant
教学目的与要求：掌握矩阵的初等变换，会求矩阵的 标准形，能应用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵，理 解矩阵秩的的概念，会求矩阵的秩 。 教学内容：初等变换,矩阵等阶,初等方阵,矩阵求逆,矩 阵的秩。
重点：矩阵的初等变换，矩阵求逆，矩阵的秩 。
难点：矩阵的秩 。 教学方式：讲授。
A

即对 n 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
1 例１ 设 A 2 3 1 解 A E 2 3
1 0 0 c5 4c1 3c2 3c3 0
c3 c4 c4 c1 c2
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形.
特点：F的左上角是一个单位矩 阵，其余元素全
为零.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
Er O F O O mn 此标准形由m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
A ~ E , 故 E 经有限次初等变换可变A,
即存在有限个初等方阵P1 , P2 ,, Pl , 使
P1 P2 Pr EPr 1 Pl A
即
A P1 P2 Pl .
推论 m n 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是 : 存在 m 阶可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q , 使 PAQ B.
1 2 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 3 6 9 7 B1 4 2 2 9
2 r2 31 1 1 r 1 r3 21 0 2 2r 1 B1 1 r4 21 0 5 3r 3 3 0 3 9 6
1 4 1 2 1 2 2 2 1 2 3 5 7 9 4 3

例2
已知
A


1 0
3 2
2 1
2 3
，求该矩阵的秩．
2 0 1 5
解
1
3 2 0,
计算A的3阶子式，
02
1 3 2 1 3 2 3 2 2 1 2 2
0 2 1 00, 2 3 20, 1 3 00, 1 3 0,
2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
相当于以数 k 乘 A 的第 i 行 (ri k)；
类似地，以 En (i(k)) 右乘 矩阵 A，其结果
设 n 阶可逆矩阵 A， A 0, A 的最高阶非零子式为 A, R( A) n, 故 A 的标准形为单位阵E, A ~ E.
可逆矩阵的秩等于阶数，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵.
1 2 2 1 1
例4
设A


2 2
4 4
8 2
1




1
E(i(k))
k


第i行

1




1

以 Em (i(k)) 左乘矩阵 A，
a11 a12 a1n


Em
(i(k
))
A


k
ai1
k ai 2

k ain




am1
am2

amn

第i 行
1 6 4 1 4
r3 3r2
0
4
3
1 1
r4 4r2

0
2 0
1
1
2
r2 1
0
2 0 1 2
2 0 6
1 0 1
0 2 3
0 2 3
1 r3r2(22)r3 r1r3r1 0
1
0 4
1
1
2
r3(1)
0
0 1
0
0 4
1 0 0
1 2 r3r3(24)r2r1r2r1 0 1 0 .
0 1
0 0 1
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
1.2 阶梯矩形与矩形的秩 定义2
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
定义1
矩阵的初等行变换是指对矩阵进行如下三种变换： （1）对换变换 . 对换矩阵某两行的位置（交换i ，j两行，记作ri rj）； （2）倍乘变换 . 用非零常数k与矩阵中某一行中各元素分别相乘（记作kri ri(k 0)）； （3）倍加变换 . 将矩阵中某一行中各元素分别乘以某个常数k再加到另一行上（第j行的k 倍加入到第i行上，记作kri rj rj）.
0
1 2 3 ，C 2 4 0 2
6
0 0 0 0 0
0 0 2 4 2
0 0 0 1 2
0 0
0
2
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
都不是阶梯矩阵 . 对于非阶梯矩阵来说，都可以通过初等行变换将它们转化为阶梯矩阵 .
矩阵的初等行变换与矩阵的秩
定义3
矩阵 Amn 经过有限次初等行变换后变成阶梯型矩阵，其非零行数称为矩阵 A 的
满足以下条件的矩阵称为阶梯矩阵： （1）如果矩阵中某一行中各元素均为零，那么该零行必须在矩阵的最下方； （2）非零行的第一个非零元素的表标随着行标的递增而严格增大 .

1 0 1 0 4


例如，B 5


0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4 c1 c2
1 0
0 c5 4c1 3c2 3c3 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 044
0 0 0
2 1 4
1 0 2

r2 2r1 r3 2r1
1 0 0
2 5 0
1 2 , 0
易看出A的行阶梯形有两个非零行，则rA 2.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
F Er O O O mn
等价关系的性质：
（1） 反身性 AA；
（2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
具有上述三条性质的关系称为等价．
用矩阵的初等行变换，化简下述矩阵：
2 1 1 1 2
B
Байду номын сангаас

1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj ri k ri krj
逆变换 逆变换 逆变换
rj

r; i
ri
(1) k
或
ri

k;
ri (k)rj 或 ri krj .
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
2

3 1
1 2 0
1 2 4

矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。

二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。

例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。

例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0049201321、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10980201、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---50301000783013002 例题 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=35222232111*********A 秩及秩(TA )解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=35222232111*********A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−35222232110703312011,②① ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-+-+-+11200112003100012011)2()1()3(①④①③①② ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−→−-+00112003100012011)1(③④()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−00310001120012011,③② 所以，秩(A)=3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=3215327220021132113AT⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−-⨯++3211101220000002113)2(①④①②⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−0002113220032101101,,⑤②④① ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+00001210220032101101)3(①④ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+004400220032101101)1(②④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−→−⨯+0000002200321011012③④ 所以，()3A T=秩可以证明：对于任意矩阵A ，()()TAA 秩秩=；矩阵的秩是唯一的。

矩阵的秩教学设计方案一、教学目标1. 理解矩阵的秩的概念和基本性质；2. 掌握计算矩阵的秩的方法和步骤；3. 能够应用矩阵的秩解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

二、教学内容1. 矩阵的秩的定义和基本性质；2. 矩阵的秩的计算方法；3. 矩阵的秩和线性方程组的关系；4. 矩阵的秩在实际问题中的应用。

三、教学方法1. 探究式学习法：通过引导学生思考和探索，由浅入深地理解矩阵的秩及其运算规律；2. 案例分析法：通过实际问题案例，使学生能够运用矩阵的秩解决实际问题；3. 组织合作学习：让学生以小组形式合作讨论和解决问题，培养他们的团队合作意识和解决问题的能力。

四、教学步骤1. 引入阶段- 引入矩阵的概念并回顾行列式的性质；- 引导学生思考行列式和矩阵的关系。

2. 概念解释阶段- 引入矩阵的秩的概念和定义；- 解释矩阵的秩与行列式的关系；- 分析矩阵的秩对线性方程组解的影响。

3. 计算方法阶段- 介绍计算矩阵的秩的方法和步骤；- 分步骤演示矩阵的秩的计算过程；- 练习矩阵的秩的计算问题。

4. 应用拓展阶段- 运用矩阵的秩解决实际问题，如线性相关性的判断、平面方程的求解等；- 分组讨论和解决实际问题案例。

5. 总结反思阶段- 总结矩阵的秩的基本概念、计算方法和应用；- 让学生回答相关问题，对学习效果进行评价。

五、教学资源1. 教科书：提供相关理论知识和案例；2. 教学PPT：呈现关键概念、计算方法和应用案例；3. 实际问题案例：用于分组讨论和解决问题；4. 课堂练习题：巩固学生的计算和应用能力。

六、教学评价1. 定性评价：通过参与课堂讨论和解决实际问题的表现评价学生的活跃程度和思维能力；2. 定量评价：布置练习题和考试题，评价学生对矩阵秩的计算和应用的掌握程度。

七、教学反思1. 在教学过程中，要注重培养学生的探索和解决问题的能力，鼓励他们提出问题并尝试解决；2. 在设计案例分析时，应结合实际问题，使学生更好地理解矩阵秩的意义和应用；3. 在评价环节，要充分倾听学生的意见和建议，及时调整教学策略，确保教学效果的提高。

矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。

二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。

例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。

例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000049201321、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100980201、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---50000301000783013002例题 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A 秩及秩(TA ) 解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35222232111201107033A ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−35222232110703312011,②① ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-+-+-+11200112003100012011)2()1()3(①④①③①② ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−-+00000112003100012011)1(③④()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−00000310001120012011,③② 所以，秩(A)=3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32105327220021132113A T⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−-⨯++32101101220000002113)2(①④①②⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−00002113220032101101,,⑤②④①⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−−→−-⨯+00001210220032101101)3(①④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−−→−-⨯+00004400220032101101)1(②④⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−⨯+000000002200321011012③④所以，()3AT=秩可以证明：对于任意矩阵A ，()()TA A 秩秩=；矩阵的秩是唯一的。

82矩阵的初等变换与矩阵的秩1理解阶梯型矩阵的定义以及如何运用矩阵的初等行变换求阶梯型矩阵教学重点矩阵的初等变换阶梯型矩阵教学方法例证法启发诱导法讲授法复习与导入矩阵的相等矩阵的和与差数乘矩阵以及矩阵的乘法
线性代数教案
周次
课题
课时
课型
教具
8.2矩阵的初等变换与矩阵的秩（1）
2
新授
教材
教学目的
1、理解矩阵的初等变换定义
对换④、⑤的位置得
对换④、⑤的位置得
(－4)×⑤+④得
⑥得
最后，将 代入⑤，得 ；再将 代入①得 ．因此，这个方程组的解为 ．
通过线性方程组与矩阵对比，总结出结论
一、矩阵的初等变换
1定义：①互换矩阵的某两行（列）的位置
②用一个非零数k遍乘矩阵的某一行（列）
③将矩阵中某一行（列）遍乘一个常数k加到另一行（列）上
2、理解阶梯型矩阵的定义以及如何运用矩阵的初等行变换求阶梯型矩阵
教学重点
矩阵的初等变换、阶梯型矩阵
教学方法
例证法、启发诱导法、讲授法
教学过程
一、复习与导入
矩阵的相等、矩阵的和与差、数乘矩阵以及矩阵的乘法。
数有加减乘除四则运算，矩阵有没有矩阵的除法？
3’
二、讲授新课
例1求下列线性方程组的解：
解用消元法求解，并采用分离系数法在右边写出求解过程中所相应的矩形数表(矩阵)：
3、问题：
4、解决措施：
2例1回顾、总结——矩阵经过若干步初等行变换化成阶梯型矩阵
3思考题：同一个矩阵的阶梯型矩阵是否唯一
4例3求矩阵的阶梯型矩阵
5练习p245 4（1）
39’
三、小结
1、矩阵的初等变换
2、阶梯型矩阵与行简化阶梯型矩阵

矩阵的初等变换教案一、教学目标1.理解矩阵的初等变换的概念和背后的数学原理；2.学会应用矩阵的初等变换解决线性方程组和矩阵的行列式问题；3.培养学生抽象思维和逻辑分析能力。

二、教学准备1.教学工具：黑板、彩色粉笔、投影仪；2.教学材料：教科书、课本、习题集。

三、教学过程1.导入（5分钟）通过举一个实际问题引导学生思考：如何用较少的步骤将一副扑克牌从一个排列变换到另一个排列？2.提出问题（10分钟）介绍矩阵的初等变换的概念和定义，然后提问：通过初等变换，能否将一个矩阵变换到另一个矩阵？如果可以，有哪些限制条件？3.讲授知识点（20分钟）根据学生提出的问题，介绍矩阵的初等变换的具体做法和步骤，包括行交换、行倍乘以非零常数、将其中一行的k倍加到另一行上。

然后讲解初等变换的数学原理和作用。

4.解答疑问（10分钟）根据学生提出的问题，解答矩阵的初等变换的相关疑问，强调初等变换的性质和应用。

5.练习训练（30分钟）给学生发放练习题，让学生通过矩阵的初等变换解答线性方程组和矩阵的行列式问题。

监督学生的解题过程，及时给予指导和回答疑问。

6.知识总结（10分钟）总结矩阵初等变换的基本步骤、应用及数学原理，帮助学生理清思路和掌握关键概念。

7.课堂小结和作业布置（5分钟）对本节课的教学内容进行小结，并布置相关作业，以便学生巩固和扩展所学内容。

四、教学反思通过本节课的教学，学生能够初步掌握矩阵的初等变换的概念和基本步骤。

但是教学时间有限，学生的动手能力和实际应用能力还需要进一步提高。

下节课应该增加更多的练习和例题，加强学生对初等变换的理解和应用。

矩阵初等变换法解方程组教案一、教学目标：1. 理解矩阵初等变换的概念及其作用。

2. 掌握矩阵初等变换的法则，能够进行矩阵的初等变换。

3. 学会运用矩阵初等变换法解方程组，提高解方程组的能力。

二、教学重点与难点：1. 重点：矩阵初等变换的概念、法则及应用。

2. 难点：矩阵初等变换的法则，运用矩阵初等变换法解方程组。

三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解矩阵初等变换的概念、法则及应用。

2. 采用案例分析法，分析并解决实际问题。

3. 采用练习法，巩固所学知识。

四、教学准备：1. 教案、PPT、黑板。

2. 教学素材（如方程组、矩阵等）。

3. 练习题。

五、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题，引出矩阵初等变换的概念。

2. 讲解：讲解矩阵初等变换的概念、法则及应用。

3. 案例分析：分析并解决实际问题，让学生理解矩阵初等变换在解方程组中的应用。

4. 练习：让学生运用所学知识，解决一些简单的方程组。

5. 总结：回顾本节课所学内容，强调矩阵初等变换在解方程组中的重要性。

6. 布置作业：布置一些有关矩阵初等变换和解方程组的练习题，巩固所学知识。

六、教学反思：在课后，对学生的学习情况进行总结，对自己的教学方法进行反思，以便改进教学，提高教学效果。

七、教学评价：通过课堂讲解、练习题和作业，评价学生对矩阵初等变换的概念、法则及应用的掌握程度。

关注学生在解决问题时的创新能力和合作精神。

八、课时安排：2课时九、教学内容：第一课时：1. 矩阵初等变换的概念。

2. 矩阵初等变换的法则。

3. 矩阵初等变换的应用。

第二课时：1. 运用矩阵初等变换法解方程组。

2. 案例分析与练习。

十、教学拓展：引导学生深入研究矩阵初等变换的性质，探讨矩阵初等变换在实际问题中的应用。

鼓励学生参加相关竞赛，提高自己的数学素养。

六、教学案例与实例分析1. 案例一：解二元一次方程组给定方程组：\[\begin{cases}ax + = c \\dx + ey = f\end{cases}\]通过矩阵表示方程组，并利用初等变换将其化为行最简形式，从而求解未知数。

2.矩阵秩的性质:
(1) 一个矩阵的秩数是唯一的;
(2) 若矩阵 A ( aij )mn 则 0 r ( A) min{m , n};
(3) 若矩阵A有一个r阶子式不为零， 则 r ( A) r;
(4) 若矩阵A的所有r阶子式都为零， 则 r ( A) r;
(5)若B是A的一个子阵,则 r ( B) r ( A)


a jn



amn
a1n
矩阵的初等行变换与列变换统称为矩阵的初等变换
注：三种初等变换都是可逆的，且其逆变
换是同一类型的初等变换．
初
等
变
换 逆
变
换
r i r j (c i c j )
r i r j (c i c j )
r i k (c i k )
1
1
r i (c i )
A

0 1 1 0 0 0
1 3 6 1 0 0


1 0 3 3 0 0
0
1
0
0
0
0
5
1
1

0
0

0
则
r ( A) 3
定理
对任何m×n 阶矩阵 A , 则
(1) 存在m阶初等方阵 R1 , R2 , , Rs
使得 Rs
如果r(A)=n, 则称 A为列满秩阵；
如果r(A)=m=n,则称 A为满秩阵；
定理：初等变换不改变矩阵的秩
3.求矩阵的秩数的一种方法:
将矩阵A用初等行变换化为阶梯形阵
则,
例
阶梯形的非零行数为A的秩数.
0 1 1 1 1 3

教案头教学详案一、回顾导入（10分钟）——复习线性方程组的消元解法引入新课。

二、主要教学过程（70分钟，其中学生练习20分钟）一：矩阵的初等行变换对矩阵实施下列三种变换，称为初等行变换：（1） 互换矩阵两行的位置（交换第i,j 两行，记作j i r r ↔）；（2） 以非零数k 乘矩阵某一行的所有元素（k 乘第i 行记作i kr ）；（3） 把矩阵某一行的元素的k 倍加到另一行的对应得元素上（第i 行的k 倍加到第j 行上记作i j kr r +）练习1：设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=324751122413A ，将矩阵进行下列初等行变换： （1） 交换矩阵A 的第1行与第3行的位置；（2） 用数3乘矩阵A 的第2行；（3） 将矩阵A 的第3行的（-4）倍加到第4行上。

注意：对矩阵进行初等行变换以后，新矩阵与原来矩阵不再相等。

故元矩阵与新矩阵之间只能用箭头连接，而不能用等号连接。

练习2：用矩阵的初等行变换将矩阵A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121011322化为简化阶梯形矩阵。

将矩阵化为简化阶梯型矩阵的程序为：（1） 首先使第一行第一个非零元为1，然后将其下方的元素全部化为零；在将第二行第一个非零元的下方元素全部化为零；以此类推，直到将矩阵化为阶梯型矩阵。

（2） 从非零行的最后一行起，将该行第一个非零元化为1，并将其上方的元素全部化为零：再将倒数第二个非零行的第一个非零元化为1，并将其上方的元素全部化为零；直到矩阵化为阶梯型矩阵。

注:1）实际解题的时候，两步骤不用分开。

2）矩阵的阶梯型矩阵不唯一，但简化阶梯型矩阵是唯一的。

练习3：用矩阵的初等行变换将矩阵A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=11370030311111014321化为简化阶梯形矩阵 二：矩阵的秩矩阵秩是矩阵本身的属性，是矩阵部分的一个重要概念。

需认真把握。

1） 矩阵秩的概念：将一矩阵化为阶梯型矩阵后，阶梯型矩阵中非零行的行数，成为矩阵的秩，记作)(A r例 求方程组的系数矩阵 的秩练习4：求矩阵A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=111204244024023171033的秩。

Ir 0
0 0,
I0n,
Im, 0,
In
代
数
(当 rm且 rn)(当rnm) (当rmn)(当rmn)
=
推推论论 同型矩阵A与B等价的充要条件是R(A)=R(B).
=
例
设
A
1 2
2 4
4 8
1 2,
求A的标准形.
解
3 6 2 0
线 性
1 A0
0
2 0 0
4 0 10
013001
2 0 0
4 10
代
所 |A * |以 0 ,即 R (A * ) n .
② R(A) < n-1: A中所有n-1阶子式均为零， 数
A*
A11
An1 O,
R(A*)0.
=
A1n Ann
=
例 证明 RAOR(A)R(B).
O B
证 设 R ( A ) r 1 ,R ( B ) r 2 .
线
存在可逆矩阵P1,P2,Q1,Q2使得
0 2 4 10
005
=
有 4阶子式
A 0
=
所以矩阵A的秩R(A)=3
由矩阵的秩概念可得
定理 3
线
m n 矩 阵 A 的 秩 为 R ( A ) r ,r m i n { m ,n }
A中 至 少 有 一 个 r阶 子 式 不 等 于 零 , 性
并 且 A中 阶 数 大 于 r的 子 式 (若 存 在
Mk Dk Dk'
若 M k 0 ,则 r(B ) k,若 M k 0 ,则 D k因 0 ,有 D k ' 0 性
故r 亦 (B ) k有 r(A )

事物的现象是外在的表现形式，可能是正确的，也可能是歪 曲的。——马克思
美丽的外表，并不一定有美丽的内在；台上的光辉，台下的 汗水；地球是一个球体，并非天圆地方；苹果落地的表象蕴含着 万有引例定律的奥秘。
透过生活的表象，认识其本质的真相，这会令我们更清晰、 的人，发现真正真、善、美的东西，建立正确的世界观。
0 0
3 0
1 0
所以 rA 3
思政小课堂 矩阵的秩是矩阵的基本性质，不论对矩阵做怎样的初等变换
矩阵的秩不变。——这就是透过现象看本质。 同学们要养成透过现象看本质的习惯，不要被事物的表象所
蒙蔽，要多看、多听、多思考、多看书、多学习，做一个大格局 的人，发现真正真、善、美的东西，建立正确的世界观。
1 0 0 8
0 1 0 3
如：
C
0
0
1
5
0 0 0 0
0
0
0
0
结论：
（1）矩阵A通过初等行（列）变换为行阶梯形矩阵B，则 rA rB n ；
（2）因为线性方程组与它的增广矩阵 A 一 一对应，当 A经初等行变换 变为行最简形矩阵 C 时，有rA rC n(n为C中不为零的行的个数），
2 2 1
解
A
E
1 1
1 1
1 2
1 0
0 1
0 0
1 ((32))2(1)(1) 0
1 2
1 3
1 1
0 1
0 0
2 2 1 0 0 1
0 0 3 2 0 1
13(3)
1 0
0
1 2 0
1 3 1
1
1 2
3
1 0 0 5
1 ( 2 )
6