2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 平面向量专题解析版 (可下载)

专题01集合历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科01】已知集合M＝{|﹣4＜＜2}，N＝{|2﹣﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{|﹣4＜＜3} B．{|﹣4＜＜﹣2} C．{|﹣2＜＜2} D．{|2＜＜3}【解答】解：∵M＝{|﹣4＜＜2}，N＝{|2﹣﹣6＜0}＝{|﹣2＜＜3}，∴M∩N＝{|﹣2＜＜2}．故选：C．2．【2018年新课标1理科02】已知集合A＝{|2﹣﹣2＞0}，则∁R A＝（）A．{|﹣1＜＜2} B．{|﹣1≤≤2} C．{|＜﹣1}∪{|＞2} D．{|≤﹣1}∪{|≥2}【解答】解：集合A＝{|2﹣﹣2＞0}，可得A＝{|＜﹣1或＞2}，则：∁R A＝{|﹣1≤≤2}．故选：B．3．【2017年新课标1理科01】已知集合A＝{|＜1}，B＝{|3＜1}，则（）A．A∩B＝{|＜0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{|＞1} D．A∩B＝∅【解答】解：∵集合A＝{|＜1}，B＝{|3＜1}＝{|＜0}，∴A∩B＝{|＜0}，故A正确，D错误；A∪B＝{|＜1}，故B和C都错误．故选：A．4．【2016年新课标1理科01】设集合A＝{|2﹣4+3＜0}，B＝{|2﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【解答】解：∵集合A＝{|2﹣4+3＜0}＝（1，3），B＝{|2﹣3＞0}＝（，+∞），∴A∩B＝（，3），故选：D．5．【2014年新课标1理科01】已知集合A＝{|2﹣2﹣3≥0}，B＝{|﹣2≤＜2}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[﹣1，1] C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【解答】解：由A中不等式变形得：（﹣3）（+1）≥0，解得：≥3或≤﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B＝[﹣2，2），∴A∩B＝[﹣2，﹣1]．故选：D．6．【2013年新课标1理科01】已知集合A＝{|2﹣2＞0}，B＝{|}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：∵集合A＝{|2﹣2＞0}＝{|＞2或＜0}，∴A∩B＝{|2＜或＜0}，A∪B＝R，故选：B．7．【2012年新课标1理科01】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（，y）|∈A，y∈A，﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【解答】解：由题意，＝5时，y＝1，2，3，4，＝4时，y＝1，2，3，＝3时，y＝1，2，＝2时，y＝1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．8．【2010年新课标1理科01】已知集合A＝{∈R|||≤2}}，，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【解答】解：A＝{∈R|||≤2，}＝{∈R|﹣2≤≤2}，故A∩B＝{0，1，2}．应选D．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：集合关系及其运算，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：交并补运算，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.最新高考模拟试题1．若集合{}5|2A x x =-<<，{}|||3B x x =<，则A B =I （ ） A ．{}|32x x -<< B ．{}|52x x -<< C ．{}|33x x -<< D ．{}|53x x -<<【答案】A 【解析】解：{}{}333||B x x x x =<=-<<， 则{}|32A B x x ⋂=-<<， 故选：A ．2．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =I （ ） A ．[2,3] B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C 【解析】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤Q ，{}23A x x ∴=≤≤， 又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.3．已知集合{3,2,1,0,1,2,3}A =---，{}2|450B x x x =∈--≤R ，则A B =I （ ） A ．{3,2,1,0}--- B ．{}1,0,1,2,3- C ．{}3,2-- D ．{}3,2,1,0,1,2,3---【答案】B 【解析】因为{}2|450B x x x =∈--≤R {|15}x x =-≤≤，{3,2,1,0,1,2,3}A =---∴{}1,0,1,2,3A B ⋂=-． 故选B ．4．已知全集U =R ，集合{}|24,{|(1)(3)0}xA xB x x x =>=--<，则()U A B =I ð（ ）A ．(1,2)B ．(]1,2 C ．(1,3) D ．(,2]-∞【答案】B 【解析】由24x >可得2x >， (1)(3)0x x --<可得13x <<，所以集合(2,),(1,3)A B =+∞=,(,2]U A =-∞ð，所以()U A B =I ð(]1,2，故选B. 5．已知集合{}(,)|1,A x y y x x R ==+∈，集合{}2(,)|,B x y y x x R ==∈，则集合A B ⋂的子集个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】由题意得，直线1y x =+与抛物线2y x =有2个交点，故A B ⋂的子集有4个. 6．已知集合{}2log (1)2M x x =+＜，{1,0,1,2,3}N =-，则()R M N ⋂ð=（ ） A ．{-1，0，1，2，3} B ．{-1，0，1，2} C ．{-1，0，1} D ．{-1，3}【答案】D 【解析】由题意，集合{}2log (1)2{|13}M x x x x =+<=-<<，则{|1R M x x =≤-ð或3}x ≥ 又由{1,0,1,2,3}N =-，所以(){1,3}R M N ⋂=-ð，故选D.7．已知集合{}lg(1)A x y x ==-，{}1,0,1,2,3B =-，则()R A B I ð=( ) A ．{}1,0- B ．{}1,0,1-C ．{}1,2,3D ．{}2,3【答案】B 【解析】因为{}{}lg(1)1A x y x x x ==-=>，所以{}1R C A x x =≤， 又{}1,0,1,2,3B =-，所以{}()1,0,1R C A B =-I . 故选B8．已知R 是实数集，集合{}1,0,1A =-，{}210B x x =-≥，则()A B =R I ð（ ）A ．{}1,0-B ．{}1C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】1|2B x x 禳镲=?睚镲铪Q1|2R C B x x 禳镲\=<睚镲铪即(){1,0}R A C B ?-故选A 。

专题10立体几何与空间向量解答题历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科18】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD ＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．【解答】（1）证明：如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1，且，又MB∥AA1，MB，∴四边形NMBH为平行四边形，则NM∥BH，由NH∥AA1，N为A1D中点，得H为AD中点，而E为BC中点，∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE，∴NM∥DE，∵NM⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，∴MN∥平面C1DE；（2）解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为轴建立空间直角坐标系，则N（，，2），M（，1，2），A1（，﹣1，4），，，设平面A1MN的一个法向量为，由，取，得，又平面MAA1的一个法向量为，∴cos．∴二面角A﹣MA1﹣N的正弦值为．2．【2018年新课标1理科18】如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则，，由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC．由于PF⊥BF，EF∩PF＝F，则BF⊥平面PEF．又因为BF⊂平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．（2）在平面PEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH，由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH，因为DE∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又因为△PDF≌△CDF，所以∠FPD＝∠FCD＝90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD＝D，则PF⊥平面PDE，故V F﹣PDE，因为BF∥DA且BF⊥面PEF，所以DA⊥面PEF，所以DE⊥EP．设正方形边长为2a，则PD＝2a，DE＝a在△PDE中，，所以，故V F﹣PDE，又因为，所以PH，所以在△PHD中，sin∠PDH，即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：．3．【2017年新课标1理科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面P AB⊥平面P AD；（2）若P A＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP＝∠CDP＝90°，∴P A⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵P A∩PD＝P，且P A⊂平面P AD，PD⊂平面P AD，∴AB⊥平面P AD，又AB⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面P AD；（2）解：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面P AD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由P A＝PD，∠APD＝90°，可得△P AD为等腰直角三角形，设P A＝AB＝2a，则AD．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为、y、轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y＝1，得．∵AB⊥平面P AD，AD⊂平面P AD，∴AB⊥PD，又PD⊥P A，P A∩AB＝A，∴PD⊥平面P AB，则为平面P AB的一个法向量，．∴cos．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．4．【2016年新课标1理科18】如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD＝90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF＝F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE＝∠CEF＝60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD＝CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD＝a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴（0，2a，0），（，﹣2a，a），（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为（1，y1，1），则，则，取（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为（2，y2，2），则，则，取（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．5．【2015年新课标1理科18】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG、EF、FG，在菱形ABCD中，不妨设BG＝1，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC，BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC，又AE⊥EC，所以EG，且EG⊥AC，在直角△EBG中，可得BE，故DF，在直角三角形FDG中，可得FG，在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE，FD，可得EF，从而EG2+FG2＝EF2，则EG⊥FG，（或由tan∠EGB•tan∠FGD••1，可得∠EGB+∠FGD＝90°，则EG⊥FG）AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC，由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣y，由（Ⅰ）可得A（0，，0），E（1，0，），F（﹣1，0，），C（0，，0），即有（1，，），（﹣1，，），故cos，．则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为．6．【2014年新课标1理科19】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC＝AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10＝CO，∴AC＝AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO＝CO，又∵AB＝BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1＝60°，∴△CBB1为正三角形，又AB＝BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴（0，，），（1，0，），（﹣1，，0），设向量（，y，）是平面AA1B1的法向量，则，可取（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量（1，，），∴cos，，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为7．【2013年新课标1理科18】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA＝CB，所以OC⊥AB，由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则（1，0，），（﹣1，，0），（0，，），设（，y，）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y＝1，可得（，1，﹣1），故cos，，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．8．【2012年新课标1理科19】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD＝AC，∴∠ADC＝45°同理：∠A1DC1＝45°，∴∠CDC1＝90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD＝D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1＝C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1＝B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD＝A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH＝O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC＝a，则，，∴sin∠C1DO∴∠C1DO＝30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°9．【2011年新课标1理科18】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB ＝2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：P A⊥BD；（Ⅱ）若PD＝AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD，从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面P AD．故P A⊥BD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣y，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．（﹣1，，0），（0，，﹣1），（﹣1，0，0），设平面P AB的法向量为（，y，），则即，因此可取（，1，）设平面PBC的法向量为（，y，），则，即：可取（0，1，），cos故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：．10．【2010年新课标1理科18】如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（Ⅰ）证明：PE⊥BC（Ⅱ）若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线P A与平面PEH所成角的正弦值．【解答】解：以H为原点，HA，HB，HP分别为，y，轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m，n＝1，故C（），设（，y，）为平面PEH的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线P A与平面PEH所成角的正弦值为．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线、平面平行、垂直的判定与性质，空间向量及其运算，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线、平面平行、垂直的判定与性质，空间向量及其运算，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线、平面平行、垂直的判定与性质，空间向量及其运算，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等为重点较佳.最新高考模拟试题1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC =.（1）证明：1//CB 面1A EF ；（2）若CA CB ⊥，面CAB ⊥面11ABB A ，求二面角1F A E A --的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2529. 【解析】解：（1）连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ． 因为11AGA B GE ∆∆:，所以1112AA AG GB EB ==，又因为2AF FC =，所以1AF AGFC GB =，所以1//FG CB ， 又1CB ⊄面1A EF ，FG ⊂面1A EF ，所以1//CB 面1A EF .（2）过C 作CO AB ⊥于O ，因为CA CB =，所以O 是线段AB 的中点．因为面CAB ⊥面11ABB A ，面CAB I 面11ABB A AB =，所以CO ⊥面1ABA ．连接1OA ， 因为1ABA ∆是等边三角形，O 是线段AB 的中点，所以1OA AB ⊥.如图以O 为原点，OA u u u v ，1OA u u ur ，OC u u u r 分别为x 轴，y 轴，轴的正方向建立空间直角坐标，不妨设2AB =，则(1,0,0)A ，13,0)A ，(0,0,1)C ，(1,0,0)B -，12(,0,)33F ， 由11AA BB =u u u v u u u v ，得(3,0)B -，1BB 的中点33(2E -，133(,2A E =-u u u r ，112(,3,)33A F =--u u u u r . 设面1A FE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =u v ，则111100A E n A F n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u v u u u u v u v ，即1111230333302x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得方程的一组解为111135 xyz=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，即1(1,3,5)n=-u r.面1ABA的一个法向量为2(0,0,1)n=u u r，则121212529cos,29n nn nn n⋅<>==u r u u ru r u u ru r u u r，所以二面角1F A E A--的余弦值为529.2．如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，EF P 平面ABCD．（1）求证：平面ACF⊥平面BDF；（2）若60CBA∠=︒，求二面角A BC F--的大小．【答案】(1)见证明；(2)4π【解析】（1）∵菱形ABCD，∴AC BD⊥，∵FD⊥平面ABCD，∴FD AC⊥，∵BD FD D⋂=，∴AC⊥平面BDF，∵AC⊂平面ACF，∴平面ACF⊥平面BDF．（2）设AC BD O=I，以O为原点，OB为x轴，OA为y轴，过O作平面ABCD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则(3,0,0)B ，()0,1,0C -，(3,0,3)F -，(3,1,0)BC =--u u u r ，(23,0,3)BF =-u u u r，设平面BCF 的法向量(,,)n x y z =r，则302330n BC x y n BF x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，得(1,3,2)n =-r ， 平面ABC 的法向量(0,0,1)m =u r，设二面角A BC F --的大小为θ，则||2cos ||||28m n m n θ⋅===⋅r r r r ， ∴4πθ=．∴二面角A BC F --的大小为4π． 3．如图，在几何体1111ACD A B C D -中，四边形1111ADD A CDD C ，为矩形，平面11ADD A ⊥平面11CDD C ，11B A ⊥平面11ADD A ，1111,2AD CD AA A B ====，E 为棱1AA 的中点.（Ⅰ）证明：11B C ⊥平面1CC E ；（Ⅱ）求直线11B C 与平面1B CE 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）7. 【解析】（Ⅰ）因为11B A ⊥平面11ADD A ， 所以111B A DD ⊥，又11111111DD D A B A D A A ⊥⋂=，， 所以1DD ⊥平面1111D C B A ， 又因为11//DD CC ，所以1CC ⊥平面1111D C B A ，11B C ⊂平面1111D C B A ，所以111CC B C ⊥，因为平面11ADD A ⊥平面11CDD C ， 平面11ADD A ⋂平面111CDD C DD =，111C D DD ⊥，所以11C D ⊥平面11ADD A ，经计算可得1111B E BC EC = 从而2221111B E B C EC =+，所以在11B EC V 中，111B C C E ⊥，又11CC C E ⊂，平面1111CC E CC C E C ⋂=，， 所以11B C ⊥平面1CC E .（Ⅱ）如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得()()()10001,0,00,2,2A C B ，，，，， ()()11,2,10,1,0C E ，.∵1(1,1,1)(1,2,1)CE B C =--=--u u u r u u u r，，设平面1B CE 的一个法向量(,,)m x y z =则100m B C m CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vu u u v ，， 即200x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩，，消去x 得20y z +=， 不妨设1z =，可得()3,2,1m =--，又()111,0,1B C =-u u u u r，设直线11B C 与平面1B CE 所成角为θ，于是111111427sin cos ,142||m B C m B C m B C θ⋅-====⨯⋅u u u u ru u u u r u u u u r ，故直线11B C 与平面1B CE 所成角的正弦值为77. 4．如图，在四凌锥P ABCD -中，PC ABCD ⊥底面，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB CD ∥，222AB AD CD ===,4PC =,E 为线段PB 上一点（1）求证：EAC PBC ⊥平面平面； （2）若二面角P AC E --的余弦值为63，求BE BP 的值【答案】（1）见解析（2）13BE BP = 【解析】 （1）如图，由题意，得2AC BC ==，且2AB =，∴BC AC ⊥∵ABCD PC ⊥底面，∴PC AC ⊥又∵PC BC C ⋂=，∴AC ⊥底面PBC∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC（2）如图，以C 为原点，取AB 中点M ，以CM ，CD ，CP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系则()1,1,0B -，()0,0,4P ，()1,1,0A ，设(),,E x y z ，且()01BE BP λλ=<<u u u r u u u r ，得()()1,1,1,1,4x y z λ-+=-，即()1,1,4E λλλ--()()1,1,0,1,1,4CA CE λλλ==--u u u r u u u r ,设平面EAC 的法向量为(),,n x y z =r， 由00CE n CA n u u u r r u u u r r ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()()11400x y z x y λλλ⎧-+-+=⎨+=⎩，令1x =，得11,1,2n r λλ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 又BC AC ⊥，且BC PC ⊥，所以BC ⊥平面PAC故平面PAC 的法向量为()1,1,0m BC u u u r r ==-，由二面角P AC E --6 ()226cos ,312114m n m n m n λλ⋅===⋅-++r r r r r r ，解得1λ=-或13，由01λ<<得13λ=，即13BE BP = 5．如图，在三棱锥P ABC -中，20{ 28x x ->-≥，2AB BC =，D 为线段AB 上一点，且3AD DB =，PD ⊥平面ABC ，PA 与平面ABC 所成的角为45o .（1）求证平面PAB ⊥平面PCD ；（2）求二面角P AC D --的平面角的余弦值。

专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π【解答】解：如图，由P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC于G，则AC⊥BG，又PO⊥AC，PO∩BG＝O，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC，∵E，F分别是P A，AB的中点，∴EF∥PB，又∠CEF＝90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面P AC，∴正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为D．半径为，则球O的体积为．故选：D．2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3 D．2【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：2．故选：B．3．【2018年新课标1理科12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长，α截此正方体所得截面最大值为：6．故选：A．4．【2017年新课标1理科07】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形2×（2+4）＝6，∴这些梯形的面积之和为6×2＝12，故选：B．5．【2016年新课标1理科06】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：，R＝2．它的表面积是：4π•2217π．故选：A．6．【2016年新课标1理科11】平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD ＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABA1B1＝n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1＝60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．7．【2015年新课标1理科06】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r＝8，解得r，故米堆的体积为π×（）2×5，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴ 1.62≈22，故选：B．8．【2015年新课标1理科11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r＝（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：4πr2πr22r×2πr+2r×2rπr2＝5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2＝16+20π，解得r＝2，故选：B．9．【2014年新课标1理科12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6 C．4D．4【解答】解：几何体的直观图如图：AB＝4，BD＝4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC6，AD＝4，显然AC最长．长为6．故选：B．10．【2013年新课标1理科06】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2＝（R﹣2）2+42，解出R＝5，∴根据球的体积公式，该球的体积V．故选：A．11．【2013年新课标1理科08】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积＝4×2×2＝16，半个圆柱的体积22×π×4＝8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．12．【2012年新课标1理科07】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V6×3×3＝9．故选：B．13．【2012年新课标1理科11】已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1，∴OO1，∴高SD＝2OO1，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC，∴V三棱锥S﹣ABC．故选：C．14．【2011年新课标1理科06】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：D．15．【2010年新课标1理科10】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C．D．5πa2【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选：B．16．【2017年新课标1理科16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△F AB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△F AB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG＝，则BC＝2，DG＝5﹣，三棱锥的高h，3，则V，令f（）＝254﹣105，∈（0，），f′（）＝1003﹣504，令f′（）≥0，即4﹣23≤0，解得≤2，则f（）≤f（2）＝80，∴V4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为，则OG，∴FG＝SG＝5，SO＝h，∴三棱锥的体积V，令b（）＝54，则，令b′（）＝0，则430，解得＝4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．17．【2011年新课标1理科15】已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：8．故答案为：818．【2010年新课标1理科14】正视图为一个三角形的几何体可以是（写出三种）【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质，空间向量及其运算，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质等为重点较佳.最新高考模拟试题1．在四棱锥P ABCD -中，所有侧棱都为42，底面是边长为26的正方形，O 是P 在平面ABCD 内的射影，M 是PC 的中点，则异面直线OP 与BM 所成角为（ ） A ．30o B ．45oC ．60oD ．90o【答案】C 【解析】由题可知O 是正方形ABCD 的中心， 取N 为OC 的中点，所以OP MN P ， 则BMN ∠是异面直线OP 与BM 所成的角. 因为OP ⊥平面ABCD ， 所以MN ⊥平面ABCD ，因为在四棱锥P ABCD -中，所有侧棱都为42，底面是边长为26的正方形， 所以23OC =，所以321225OP =-=，因此5MN =，又在PBC ∆中，2223232245cos 22328PB PC BC BPC PB PC +-+-∠===•⨯，所以22252cos 32824222208BM PB PM PB PM BPC =+-••∠=+-⨯⨯⨯=， 即25BM =， 所以1cos 2MN BMN MB ∠==， 则异面直线OP 与BM 所成的角为60o . 故选C2．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A ．若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβPB ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβPC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m αP ，n β⊥，则αβ⊥ 【答案】B 【解析】A 选项，若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβP 或α与β相交；故A 错；B 选项，若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP ，故B 正确；C 选项，若m n ⊥，m α⊂，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊂，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故C 错；D 选项，若m n ⊥，m αP ，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故D 错； 故选B3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN平行于对角面11A ACC ，则||MN 的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．3 【答案】D 【解析】作1MM AD ⊥，垂足为1M ，作1NN CD ⊥，垂足为1N ，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，根据面面垂直的性质定理，可得11,MM NN ,都垂直于平面ABCD ，由线面垂直的性质，可知11MM NN P ，易知：1111//M M A N N ACC 平面，由面面平行的性质定理可知：//11M N AC ，设11DM DN x ==，在直角梯形11MM N N 中，222211(2)(12)633MN x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，当13x =时，||MN 的最小值为33， 故本题选D.4．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．3B ．23C ．3D ．3【答案】A 【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：故：V 11321332=⨯⨯⨯=故选：A ．5．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，2PA AB ==，则球O 的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π【答案】C 【解析】解：∵正四棱锥P ﹣ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，P A ＝AB ＝2， ∴连结AC ，BD ，交于点O ，连结PO ， 则PO ⊥面ABCD ，OA ＝OB ＝OC ＝OD 221122222AC ==+=， OP 22422PB OB =-=-=，∴O 是球心，球O 的半径r 2=，∴球O 的表面积为S ＝4πr 2＝8π． 故选：C ．6．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（ ） A ．4 B 29C ．223D ．17【答案】B 【解析】设长方体的三条棱的长分别为：,,x y z ， 则2()524()36xy yz zx x y z ++=⎧⎨++=⎩，22222()2()95229x y z x y z xy yz zx ++=++-++=-=．故选：B ．7．如图所示，边长为a 的空间四边形ABCD 中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD ，则异面直线AD 与BC所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】由题意得BC＝CD＝a，∠BCD＝90°，∴BD＝2a，∴∠BAD＝90°，取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BC＝CD＝DA＝a，∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC＝22a，又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD，延长CO至点E，使CO＝OE，连结ED，EA，EB，则四边形BCDE为正方形，即有BC∥DE，∴∠ADE（或其补角）即为异面直线AD与BC所成角，由题意得AE＝a，ED＝a，∴△AED为正三角形，∴∠ADE＝60°，∴异面直线AD与BC所成角的大小为60°．故选：C．8．鲁班锁起于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 下图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为A ．334000mmB ．333000mmC ．332000mmD ．330000mm【答案】C 【解析】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V ＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm 3）．故选：C ．9．在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积( )A ．与,x y 都有关B ．与,x y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关【答案】B 【解析】因为V O －AEF ＝V E －OAF ，所以，考察△AOF 的面积和点E 到平面AOF 的距离的值， 因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以，点E 到平面AOE 的距离为定值， 又AO∥A 1C 1，所以，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值， 即△AOF 的面积是定值，所以，四面体O AEF -的体积与,x y 都无关，选B 。

专题03 平面向量【母题来源一】【2019年高考全国II 卷理数】已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A ．−3B ．−2C ．2D ．3【答案】C【母题来源二】【2018年高考全国II 卷理数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B【母题来源三】【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值是A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【命题意图】高考对本部分内容的考查以运算求解和数形结合为主,重点考查平面向量数量积定义和坐标运算以及相关的参数取值问题.【命题规律】主要以选择或者填空的形式，考查平面向量数量积的定义、转化法、坐标运算等内容．【答题模板】解答本类题目,以2017年高考真题为例,一般考虑如下三步：第一步：根据已知条件建立平面直角坐标系第二步：用坐标表示向量；第三步：利用坐标表示平面数量积进而求范围．【方法总结】（一）平面向量的概念及线性运算1. 解决向量的概念问题应关注六点：（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.（2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.（3）共线向量即平行向量，它们均与起点无关.相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量.（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.（5）非零向量a 与||a a 的关系：||a a 是a 方向上的单位向量. （6）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.2. 平面向量线性运算问题的求解策略.（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来.（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.3. 共线向量定理的应用（1）证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线.（2）证明三点共线：若存在实数λ，使AB u u u r =λAC u u u r ，则A ，B ，C 三点共线.（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值.（4）对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA u u u r 、OB uuu r 不共线，满足OP uuu r =x OA u u u r ＋y OB uuu r （x ，y ∈R ），则P 、A 、B 共线⇔x ＋y =1.（二）平面向量基本定理及坐标表示1. 对平面向量基本定理的理解（1）平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.（2）平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.（3）用平面向量基本定理可将任一向量分解成形如a =λ1e 1＋λ2e 2的形式，是向量线性运算知识的延伸.2. 平面向量共线的坐标表示（1）两向量平行的充要条件若a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是a =λb ，这与x 1y 2－x 2y 1=0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.（2）三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.（三）平面向量的数量积1. 计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2. 求向量模的常用方法：利用公式|a |2=a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3. 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.4. 在解题时，注意数形结合、方程思想及转化与化归数学思想的运用.（四）平面向量的应用1. 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量与函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.2. 以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.3. 向量的两个作用：（1）载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；（2）工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.4. 向量中有关最值问题的求解思路：一是“形化”，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是“数化”，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.1．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测数学试题】若向量(1,1)=a ，(1,3)=-b ，(2,)x =c 满足(3)10+⋅=a b c ，则x =A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A2．【重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学试题】已知O 为V ABC 内一点且满足OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，若AOC △2AB BC ⋅=-u u u r u u u r ，则ABC ∠= A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π 【答案】A3．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷（六)数学试题】向量(2,1), (1,1), (, 2)k ==-=a b c ，若()-⊥a b c ，则k 的值是A ．4B ．-4C ．2D ．-2 【答案】B4．【四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学试题】等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a =a ，()76,a a =b ，且4⋅=a b ，则2122210log log log a a a ++⋯+=A ．12B ．10C ．5D ．22log 5+ 【答案】C5．【东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等2019届高三联合模拟考试数学试题】已知平面向量a ,b 的夹角为3π，且2=a ，1=b ，则2-=a b A ．4B ．2C ．1D ．166．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试数学试题】已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r ，若2AB =u u u r ，则()AP AB AC u u u v u u u v u u u v ⋅+=A ．B ．3C ．6D ．与λ有关的数值【答案】C7．【甘、青、宁2019届高三5月联考数学试题】在ABC △中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u r u u u r ，13CE AB AC μ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+= A ．13 B ．13- C ．76 D ．76- 【答案】B8．【黑龙江省大庆市实验中学2019届高三下学期数学二模考试数学试题】在矩形ABCD 中，AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在CD ，若AB AF ⋅=u u u r u u u r AE BF ⋅u u u r u u u r 的值为AB ．2C ．0D ．1【答案】A 9．【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第二次模拟考试数学试题】已知向量()1,1=a ，()2,x =b ，若()-∥a a b ，则实数x 的值为A ．2-B ．0C ．1D ．2【答案】D10．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学试题】已知非零向量a ,b 的夹角为60o ,且满足22-=a b ,则⋅a b 的最大值为A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B11．【新疆维吾尔自治区2019年普通高考第二次适应性检测数学】O 是ABC △的外接圆圆心，且OA AB AC ++=0u u u r u u u r u u u r ，1OA AB ==u u u r u u u r ，则CA u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为A ．12-B ．C ．12D 【答案】B12．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)数学试题】已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u r u u u rA ．4B ．6C ．D ．【答案】B13．【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题】已知单位向量a ，b 的夹角为3π4，若向量2=m a ，4λ=-n a b ，且⊥m n ，则=nA ．2-B ．2C ．4D ．6 【答案】C。

A． B．
C． D．
16．（2014浙江）设 为两个非零向量 ， 的夹角，已知对任意实数 ， 是最小值为1
A．若 确定，则 唯一确定B．若 确定，则 唯一确定
C．若 确定，则 唯一确定D．若 确定，则 唯一确定
17．(2014重庆)已知向量 , , ,且 ,则实数
A． B． C． D．
18．（2013福建）在四边形 中， ,则该四边形的面积为
A． B． C． D．
8．（2012天津）在△ABC中， ，AB=1，设点P，Q满足 ， ， ．若 ，则
A． B． C． D．2
9．(2012安徽)在平面直角坐标系中， ，将向量 绕点O按逆时针旋转 后得向量 ，则点 的坐标是
A． B． C． D．
10．（2012广东）对任意两个非零的平面向量α和β，定义 ．若平面向量 满足 ， 与 的夹角 ，且 和 都在集合 中，则 =
58．（2012安徽）若平面向量 ， 满足： ；则 的最小值是 ．
59．（2011浙江）若平面向量 ， 满足| |=1，| |≤1，且以向量 ， 为邻边的平行四边形的面积为 ，则 与 的夹角 的取值范围是．
60．（2011江苏）已知 ， 是夹角为 的两个单位向量， ， ，若 ，则 的值为．
61．（2011新课标）已知 与 为两个不共线的单位向量， 为实数，若向量 + 与向量 - 垂直，则 =_____________．
6.（2019江苏12）如图，在 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点 .若 ，则 的值是.
7.（2019浙江17）已知正方形 的边长为1，当每个 取遍 时，
的最小值是________，最大值是_______.
2010-2018

专题11平面解析几何选择填空题历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科10】已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．y2＝1 B． 1C． 1 D． 1【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|，∴|AF2|＝a，|BF1|a，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得0，解得a2＝3，∴a．b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．所以椭圆C的方程为：1．故选：B．2．【2018年新课标1理科08】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为的直线为：3y＝2x+4，联立直线与抛物线C：y2＝4x，消去x可得：y2﹣6y+8＝0，解得y1＝2，y2＝4，不妨M（1，2），N（4，4），，．则•（0，2）•（3，4）＝8．故选：D．3．【2018年新课标1理科11】已知双曲线C：y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（）A．B．3 C．2D．4【解答】解：双曲线C：y2＝1的渐近线方程为：y，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y，则：解得M（，），解得：N（），则|MN|3．故选：B．4．【2017年新课标1理科10】已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y＝x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4＝0，∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，∴|DE|•|y1﹣y2|8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为θ，根据焦点弦长公式可得|AB||DE|∴|AB|+|DE|，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ＝45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．5．【2016年新课标1理科05】已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c＝2，当焦点在x轴上时，可得：4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝1，∵方程1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝﹣1，无解．故选：A．6．【2016年新课标1理科10】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：设抛物线为y2＝2px，如图：|AB|＝4，|AM|＝2，|DE|＝2，|DN|，|ON|，x A，|OD|＝|OA|，5，解得：p＝4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．7．【2015年新课标1理科05】已知M（x0，y0）是双曲线C：1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，（x0，﹣y0）•（x0，﹣y0）＝x02﹣3+y02＝3y02﹣1＜0，所以y0．故选：A．8．【2014年新课标1理科04】已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m【解答】解：双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为0，∴点F到C的一条渐近线的距离为．故选：A．9．【2014年新课标1理科10】已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|＝（）A．B．3 C．D．2【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|＝d，∵4，∴|PQ|＝3d，∴不妨设直线PF的斜率为2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y＝﹣2（x﹣2），与y2＝8x联立可得x＝1，∴|QF|＝d＝1+2＝3，故选：B．10．【2013年新课标1理科04】已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y B．y C．y＝±x D．y【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e，即4b2＝a2，故渐近线方程为y＝±x x，故选：D．11．【2013年新课标1理科10】已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，．∴，化为a2＝2b2，又c＝3，解得a2＝18，b2＝9．∴椭圆E的方程为．故选：D．12．【2012年新课标1理科04】设F1、F2是椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x 上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|＝|F2F1|∵P为直线x上一点∴∴故选：C．13．【2012年新课标1理科08】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于点A和点B，|AB|＝4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．8【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2＝a2（a＞0），y2＝16x的准线l：x＝﹣4，∵C与抛物线y2＝16x的准线l：x＝﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得4，∴a＝2，2a＝4．故选：C．14．【2011年新课标1理科07】设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A．B．C．2 D．3【解答】解：不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），对称轴y＝0，由题设知，，∴，b2＝2a2，c2﹣a2＝2a2，c2＝3a2，∴e．故选：B．15．【2010年新课标1理科12】已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k＝k PN＝1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2＝﹣24，y1+y2＝﹣30得，从而k 1即4b2＝5a2，又a2+b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，故选：B．16．【2019年新课标1理科16】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，•0，则C的离心率为．【解答】解：如图，∵，且•0，∴OA⊥F1B，则F1B：y，联立，解得B（，），则，，∴4c2，整理得：b2＝3a2，∴c2﹣a2＝3a2，即4a2＝c2，∴，e．故答案为：2．17．【2017年新课标1理科15】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b 为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为．【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：b cos30°，可得：，即，可得离心率为：e．故答案为：．18．【2015年新课标1理科14】一个圆经过椭圆1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．【解答】解：一个圆经过椭圆1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x）2+y2．故答案为：（x）2+y2．19．【2011年新课标1理科14】在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F1的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．【解答】解：根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1＝16；根据椭圆的性质，有4a＝16，即a＝4；椭圆的离心率为，即，则a c，将a c，代入可得，c＝2，则b2＝a2﹣c2＝8；则椭圆的方程为1；故答案为：1．20．【2010年新课标1理科15】过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y＝1相切于点B（2，1），则圆C的方程为．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，则（4﹣a ）2+（1﹣b ）2＝r 2，（2﹣a ）2+（1﹣b ）2＝r 2，1，解得a ＝3，b ＝0，r，故所求圆的方程为（x ﹣3）2+y 2＝2．故答案为：（x ﹣3）2+y 2＝2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳. 最新高考模拟试题1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若3AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D 【答案】A 【解析】由题意得直线l 的方程为bx y c a=+，不妨取1a =，则x by c =+，且221b c =-. 将x by c =+代入2221y x b-=，得()4234120b y b cy b -++=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则312421b c y y b +=--，41241b y y b =-.由3AF FB =，得123y y =-，所以324422422131b c y b by b ⎧-=-⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩，得22431b c b =-，解得214b =，所以2c ===，故该双曲线的离心率为c e a ==，故选A 。

专题15 平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理十年大数据*全景展示平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件主要考查平面向量的线性运算及向量共线的充要条件平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件考点47平面向量的概念与线性运算1．（2014新课标I ，文6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA. BC B ． 12AD C ． AD D ． 12BC 【答案】C【解析】=+FC EB 11()()22CB AB BC AC +++=1()2AB AC +=AD ，故选C ． 2．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)==e eB ．12(1,2),(5,2)=-=-e eC ．12(3,5),(6,10)==e eD ．12(2,3),(2,3)=-=-e e【答案】B【解析】对于A ，C ，D ，都有1e ∥2e ，所以只有B 成立．考点48平面向量基本定理及其应用1．（2020江苏13）在ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是 ．【答案】185【解析】由向量系数33()22m m +-=为常数，结合等和线性质可知321PAPD =，故263PD PA ==，3AD PA PD AC =-==，故C CDA ∠=∠，故2CAD C π∠=-． 在ABC ∆中，3cos 5AC C BC ==；在ADC ∆中，由正弦定理得sin sin CD ADCAD C=∠， 即sin(2)sin 23182cos 23sin sin 55C C CD AD AD C AD C C π-=⋅=⋅=⋅=⨯⨯=．2．（2018•新课标Ⅰ，理6文7）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB = ) A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】A【解析】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，∴12EB AB AE AB AD =-=- 11()22AB AB AC =-⨯+3144AB AC =-，故选A ．3．（2015新课标Ⅰ，理7）设D 为?ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =- 【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 4．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数和，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数，总存在单位向量c 和实数，使λμ=+a b c ； ④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题．综上，本题选B ．5．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45．若OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），则m n += ．λμμλλμa μλb =+λμλμ+≥b c a【答案】3【解析】由可得72sin 10α=，，由OC =m OA +n OB 得22OC OA mOA nOB OA OC OB mOB OA nOB⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩，即2cos cos(45)2cos 45cos(45)m n m n ααα⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，两式相加得，2(cos cos 45)()(1cos(45))m n αα+=+++，所以22222cos 2cos 4510231cos(45)227221102102m n αα⨯+⨯++===+++⨯-⨯，所以． 6．（2013北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (λ，μ∈R )，则= ．【答案】4【解析】 如图建立坐标系，则()1,1a =-，()6,2b =，()1,3c =-．由c a b λμ=+，可得12,2λμ=-=-，∴4λμ=7．(2015北京)在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =，若MN x AB y AC =+，则x =tan 7α=2cos 10α=3m n +=λμ；y = ．【答案】12 16【解析】由1111()3232MN MC CN AC CB AC AB AC =+=+=+-1126AB AC =- =x AB y AC +．所以12x，16y ． 考点49平面向量的坐标运算及平面向量共线的充要条件1．（2019•新课标Ⅱ，文3）已知向量(2,3)a =，(3,2)b =，则||(a b -= ) AB ．2C ．D ．50【答案】A【解析】(2,3)a =，(3,2)b =，∴(2a b -=，3)(3-，2)(1=-，1)，2||(1)a b ∴-=-故选A ． 2．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】，所以，这样同方向的单位向量是． 3．（2011广东）已知向量a =（1，2），b =（1，0），c =（3，4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=124．（2018•新课标Ⅲ，理13）已知向量(1,2)a =，(2,2)b =-，(1,)c λ=．若//(2)c a b +，则λ= ． 【答案】12【解析】向量(1,2)a =，(2,2)b =-，∴2(4,2)a b +=，(1,)c λ=，//(2)c a b +，∴142λ=，解得12λ=．5．(2016新课标，文13) 已知向量a =(m ，4)，b =(3，−2)，且a ∥b ，则m =___________．【答案】6-3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3,4)AB =-||5AB =134(,)555AB =-【解析】因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．6．（2015•新课标Ⅱ，理13）设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ= ． 【答案】12【解析】向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，(2)2a b t a b ta tb λ∴+=+=+， ∴12t tλ=⎧⎨=⎩，解得实数12λ=．7．(2015江苏)已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n - 的值为___． 【答案】－3【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-8．(2014北京)已知向量a 、b 满足1=a ，(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则λ=__．【解析】∵||1=a ，∴可令(cos ,sin )θθ=a ，∵0λ+=a b ，∴cos 20sin 10λθλθ+=⎧⎨+=⎩，即2cos 1sin θλθλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得25λ=得||λ=9．（2014陕西）设20πθ<<，向量()sin 2cos θθ=，a ，()cos 1θ，b ，若∥a b ，则=θtan _______．【答案】12【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cosθθ=，∴22sin cos cos θθθ=，∵(0,)2πθ∈，∴1tan 2θ=．。

10．（2015 陕西）对任意向量 a, b ，下列关系式中不恒成立的是
A．| a b |≤| a || b |
B．| a b |≤|| a | | b ||
C． (a b)2 | a b |2
D． (a b)(a b) a2 b2
11．（2015 安徽） ΑΒC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a ， b 满足 ΑΒ 2a ，
⑤若| b
|
2|
a
|，
Smin
8|a
|2
，则 a
与b
的夹角为
4
．
45．(2014 北京)已知向量 a 、b 满足 a 1，b (2,1) ，且 a b 0 ( R )，则 __．
46．（2014 陕西）设 0 ，向量 a sin 2 ，cos ， bcos ，1 ，若 a ∥b ，则
28．（2011 广东）已知向量 a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）．若 为实数， (a b)∥c ，
则 =
A． 1 4
B． 1 2
C．1
D．2
29．（2011 辽宁）已知向量 a (2,1) ， b (1, k) ， a (2a b) 0 ，则 k
A． 12
B． 6
uuv BA
(
1
,
3)
uuuv , BC (
3 , 1), 则 ABC =
22
22
A． 30
B． 45
C． 60
D．120
9．(2015 重庆)若非零向量 a ， b 满足 a 2 2 b ，且 (a b) (3a 2b) ，则 a 与 b 的夹 3
角为
A． 4
B． 2
C． 3 4

求 y g x 的单调递增区间．
32．（2014 辽宁）在 ABC 中，内角 A, B,C 的对边 a,b, c ，且 a c ，已知 BA BC 2 ， cos B 1 ， b 3 ，求： 3 （Ⅰ） a 和 c 的值；
（Ⅱ） cos(B C) 的值．
33．（2013 江苏）已知 a (cos,sin) ， b (cos ,sin ) ， 0 ．
{P | 0 r ≤| PQ |≤ R, r R}．若 C 为两段分离的曲线，则
A．1 r R 3 B．1 r 3 R C． r 1 R 3 D．1 r 3 R
13．（2014 天津）已知菱形 ABCD 的边长为 2，? BAD 120 ，点 E, F 分别在边 BC, DC
存在定点 P(0,t)(t 0) ，使得 l 与 PA, PB 都相交，交点分别为 D, E ，且 QAB 与 PDE 的面积之比是常数？若存在，求 t 的值．若不存在，说明理由． 37．（2011 安徽）设 ，点 A 的坐标为 (1,1) ，点 B 在抛物线 y x 上运动，点 Q 满足
36．（2012 江西）已知三点 O(0, 0) ， A(2,1) ， B(2,1) ，曲线 C 上任意一点 M (x, y) 满足
| MA MB | OM (OA OB) 2 ． （1）求曲线 C 的方程； （2）动点 Q(x0, y0 )(2 x0 2) 在曲线 C 上，曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 。问：是否
（II）若点 M 到直线 l 的距离的最小值为 7 5 ，求抛物线 E 的方程． 5
35．（2013 辽宁）设向量 a
3 sin x,sin x
,
b
cos
x,
sinx
,

专题五 平面向量第十四讲 向量的应用答案部分2019年1.解析 因为()-⊥a b b ,所以()22cos ,0-⋅⋅-=⋅<>-=a b b =a b b a b a b b ,所以22cos ,2<>===⋅bba b a bb又因为0,]π[<>∈，a b ,所以,<>=a b 2.解析 因为(2,3)=a ,(3,2)=b ,所以-(1,1)=-a b ,所以-==a b 故选A.3.解析 ()8264⋅⨯-+⨯=-a b =2,==a10==b,cos ,10==-a b . 4.解析 因为⊥a b ,所以()4630m ⋅=-⨯+⨯=a b ,得8m =.5.解析 因为AB BE =,//AD BC ,30A ∠=,所以在等腰三角形ABE 中,120BEA ∠=, 又AB =2AE =,所以25BE AD =-. 因为AE AB BE =+,所以25AE AB AD =-. 又BD BA AD AB AD =+=-+, 所以()22272555BD AE AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-+⋅-=-+⋅-= ⎪⎝⎭2272cos55AB ABAD A AD -+⋅-=72125251525-+⨯⨯-⨯=-. 6.解析 设()2AD AB A AO C λλ==+,1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB AC μμμμμμ-=+=+=+-=-+=+,所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以11()24AO AD AB AC ==+,13EC AC AE AB AC =-=-+, 221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=221322AB AB AC AC -+⋅+, 因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+,所以221322AB AC =,所以223AB AC=,所以ABAC= 7.解析：正方形ABCD 的边长为1,可得AB AD AC +=,BD AD AB =-,0AB AD ⋅=,123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++- 13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++=由于(1,2,3,4,5,6)i i λ=2,3,4,5,取遍1±,可得13560λλλλ-+-=,24560λλλλ-++=,可取5613241,1,1,1λλλλλλ=====-=,可得所求最小值为0；由13564λλλλ-+-=,24564λλλλ-++=,可取2456131,1,1,1,1,λλλλλλ==-====-可得所求最大值为2010-2018年1.A 【解析】解法一 设O 为坐标原点,OA =a ,(,)OB x y ==b ,=(1,0)e ,由2430-⋅+=b e b 得22430x y x +-+=,即22(2)1x y -+=,所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心,l 为半径的圆.因为a 与e 的夹角为3π,所以不妨令点A 在射线y =(0x >)上,如图,数形结合可知min ||||||31CA CB -=-=-a b .故选A.解法二 由2430-⋅+=b e b 得2243()(3)0-⋅+=-⋅-=b e b e b e b e .设OB =b ,OE =e ,3OF =e ,所以EB -=b e ,3FB -b e =,所以0EB FB ⋅=,取EF 的中点为C .则B 在以C 为圆心,EF 为直径的圆上,如图.设OA =a ,作射线OA ,使得3AOE π∠=,所以|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b|(2)||(2)|||||31CA BC ---=-≥a e e b .故选A.2.C 【解析】如图所示,四边形ABCE 是正方形,F 为正方形的对角线的交点,易得AO AF <,而90AFB ∠=,∴AOB ∠与COD ∠为钝角,AOD ∠与BOC ∠为锐角.根据题意12()I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA -=⋅-⋅=⋅-=⋅=||||cos 0OB CA AOB ∠<,∴12I I <,同理23I I >.做AG BD ⊥于G ,又AB AD =.∴OB BG GD OD <=<,而OA AF FC OC <=<,∴||||||||OA OB OC OD ⋅<⋅,而cos cos 0AOB COD ∠=∠<, ∴OA OB OC OD ⋅>⋅,即13I I >, ∴312I I I <<,选C.EBC3.B【解析】建立平面直角坐标系如图所示,则((0,3)B C A ,则点P 的轨迹方程为22(3)1x y +-=.设(,)P x y ,00(,)M x y ,则02x x =,02y y =,代入圆的方程得220031(()24x y -+-=,所以点M 的轨迹方程为2231(()24x y -+-=, 它表示以3)2为圆心,以12为半径的圆,所以max 17||22BM ==,所以2max49||4BM =.4.A 【解析】由(3,1)AC AB AD =+=-,得(2,1)(3,1)5AD AC ⋅=⋅-=.5.B 【解析】由题意,AC 为直径,所以24PA PB PC PO PB PB ++++==,已知B 为(1,0)-时,4PB +取得最大值7,故选B.6.A 【解析】设(1,0),(0,1)a b ==,则(cos ,sin)OP θθ=,(2,OQ =所以曲线C 是单位元,区域Ω为圆环（如图）∵||2OQ =,∴13r R <<<.7.C 【解析】因为120BAD?,所以cos1202AB AD AB AD ?鬃=-.因为BE BC l =,所以AE AB AD l =+,AF AB AD m =+. 因为1AE AF?,所以()()1AB AD AB AD l m +?=,即3222l m l m +-=① 同理可得23l m l m --=-②,①+②得56l m +=. 8.B 【解析】如图,设,AB b AC c == ,ACB则1,2,0b c b c ==∙=,又(1)BQ BA AQ b c λ=+=-+-,CP CA AP c b λ=+=-+,由2-=∙得22[(1)]()(1)4(1)2b c c b c b λλλλλλ-+-∙-+=--=--=-,即32,23==λλ,选B.9.A 【解析】方法一 设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55OP θθθθ=⇒==则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=-. 方法二 将向量(6,8)OP =按逆时针旋转32π后,可知Q 点落在第三象限,则可排除B 、D,代入A,由向量的夹角公式可得cos 2QOP ∠=-,∴34QOP π∠=. 10.C 【解析】首先观察集合113{|},1,,0,,1,,2,2222nn Z ⎧⎫∈=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭,从而分析a b和b a 的范围如下：∵(0,)4πθ∈,∴cos 12θ<<,而||cos ||θ⋅==⋅b a b b a a a a , 且||||0>…a b ,可得||0cos 1||θ<<b a ,又∵∈b a {|}2∈nn Z 中,∴||1cos ||2θ=b a , 从而||1||2cos θ=b a ,∴ 2||cos 2cos ||θθ⋅===⋅a b a a b b b b ,所以12<<a b , 且a b 也在集合{|}2∈nn Z 中,故有32=a b . 11.D 【解析】根据已知得(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]c λ-=-,即(,0)(1,0)c λ=,从而得c λ=；(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]d μ-=-,即(,0)(1,0)d μ=,得d μ=,根据112λμ+=,得112c d +=.线段AB 的方程是0y =,[0,1]x ∈.若C 是线段AB 的中点,则12c =,代入112c d +=,得10d=.此等式不可能成立,故选项A 的说法不成立；同理选项B 的说法也不成立；若,C D 同时在线段AB 上,则01c <≤,01d <≤,此时11c ≥,11d≥,112c d +≥,若等号成立,则只能1c d ==,根据定义,,C D 是两个不同的点,故矛盾,故选项C 的说法也不正确,若,C D同时在线段AB 的延长线上,若1c >,1d >,则112c d +<,与112c d+=矛盾, 若0,0c d <<,则11c d +是负值,与112c d +=矛盾,若1c >,0d <,则11c<,10d <,此时111c d +<,与112c d+=矛盾,故选项D 的说法是正确的. 12.3-【解析】设(0,)E t ,(0,2)±F t ,所以(1,)(2,2)⋅=⋅-±AE BF t t222(2)22(1)3=-+±=±-=±-t t t t t ,当1=±t 时,AE BF ⋅取得最小值3-.13.6【解析】||||cos ||||2(21) 6.AO AP AO AP AO AP θ⋅=⋅≤⋅≤⨯+=所以最大值是6.14.4,,a b 的夹角为θ,由余弦定理有：212a b -=+=,212a b +=+=则：54cosa b ab ++-=+令y =则[]21016,20y =+,据此可得：()()maxmin2025,164a b a ba b a b++-==++-==,即a b a b ++-的最小值是4,最大值是15.[-【解析】设(,)P x y ,由20PA PB ⋅≤,得250x y -+≤,x如图由250x y -+≤可知,P 在MN 上,由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩,解得(1,7)M ,(5,5)N --, 所以P 点横坐标的取值范围为[-.1⋅=a b ,||1,||2==a b 可得两向量的夹角为60,建立平面直角坐标,可设(1,0)=a ,=b ,(cos ,sin )θθ=e ,则|||||cos ||cos |θθθ⋅+⋅=++≤a e b e|cos ||cos |sin |sin ||cos |θθθθθ+=+,所以||||⋅+⋅a e b e 的最大. 17.32【解析】在平面直角坐标系xOy 中,作出圆221x y +=及其切线,PA PB ,如图所示,连结,OA OP ,由图可得||||1OA OB ==,||2OP =,||||3PA PB ==,6APO BPO π∠=∠=,则,PA PB 的夹角为3π, 所以3||||cos32PA PB PA PB π⋅==. 18.3-【解析】由题意得：29,282,5,3m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-. 19.2918【解析】在等腰梯形ABCD 中,由AB ∥DC ,2AB =,1BC =,60ABC ∠=, 得12AD BC ⋅=,1AB AD ⋅=,12DC AB =,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+21312AB BC AD AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221131218AB AD BC AD AB BC AB =⋅+⋅++⋅111291331818=++-=.20.①④⑤【解析】∵等边三角形ABC 的边长为2, 2AB =a ＝21=⇒,故①正确；∵BC a BC AB AC +=+=2 ∴2=⇒=b BC ,故②错误,④正确；由于2AB =a ,BC =b ,则a 与b 的夹角为120,故③错误；又∵21(4)(4)4|412()402BC +⋅=+⋅=⋅=⨯⨯⨯-+=a b a b b a b+|b ∴(4)BC +⊥a b ,故⑤正确 因此,正确的编号是①④⑤. 21.2【解析】因为120BAD?,菱形的边长为2,所以2AB AD?-. 因为113AE AFAB AD AD AB λ骣骣鼢珑?+?鼢珑鼢珑桫桫,由1AE AF?,所以4412(1)133λλ+-+=,解得2λ=.22.1+(,)D x y ,由||1CD =,得22(3)1x y -+=,向量OA OB OD ++(1,x y =-+,故||(OA OB OC x ++=的最大值为圆22(3)1x y -+=上的动点到点(1,距离的最大值,其最大值为圆22(3)1x y -+=的圆心(3,0)到点(1,的距离加上圆的半径,11=23.2【解析】以A 为坐标原点,AB ,AD 所在的直线分别为x ,y 轴建立直角坐标系,BAC ED则B (2,0),E (2,1),D (0,2),C (2,2).设(,2)F x (0≤x ≤2), 由21AB AF x ⋅=⇒=,∴(1,2)F ,AE BF =()1,2∙(1–2,2)=2.24.(2sin 2,1cos 2)--【解析】如图过P 作x 轴的垂线,垂足为E ,过C 作y 轴的垂线,垂足为A ,根据题意可知圆滚动了2个单位的弧长,∴2PCD ∠=, 可知22PCB π∠=-,此时点P 的坐标为2cos(2)2sin 2,2P x π=--=-1sin(2)1cos 2,2P y π=+-=-另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ,且223,2-==∠πθPCD ,则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x , 即)2cos 1,2sin 2(--=OP . 25.14-【解析】根据已知得1()2AD AB AC =+,23BE AC AB =-,所以AD BE ⋅= 1()2AB AC +⋅（23AC AB -）=1211(1)2334AB AC --⋅=-. 26.【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a,(3,=b ,∥a b ,所以3sin x x =.若cos 0x =,则sin 0x =,与22sin cos 1x x +=矛盾,故cos 0x ≠.于是tan 3x =-. 又[0,]x π∈,所以56x π=. （2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为[0,]x π∈,所以ππ7π[,]666x +∈,从而π1cos()6x -≤+≤. 于是,当ππ66x +=,即0x =时,()f x 取到最大值3； 当π6x +=π,即5π6x =时,()f x取到最小值-.27.【解析】（Ⅰ）因为m ∥n ,所以sin cos 0a B A =,由正弦定理,得sin sin cos 0A B B A = 又sin 0B ≠,从而tan A =,由于0<A <π,所以A =3π. （Ⅱ）解法一 由余弦定理,得2222cos a b c bc A =+-,而a,b =2,A =3π,得2742c c =+-,即2230c c --=, 因为0c >,所以 3c =.故ΔABC的面积为1sin =2bc A . 解法二 由正弦定理,2sin sin3B=,从而sin B=7,又由a b >,知A >B ,所以cos B=7, 故sin C =sin()A B +=sin +3B π⎛⎫⎪⎝⎭=sin coscos sin33B B ππ+=14. 所以ΔABC的面积为1sin 2ab C =. 28.【解析】（Ⅰ）由已知,点C ,D 的坐标分别为(0,－b ),(0,b ) .又点P 的坐标为(0,1),且PC PD ⋅＝－1,于是2222112b caa b c ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩,解得a ＝2,b.所以椭圆E 方程为22142x y +=. （Ⅱ）当直线AB 斜率存在时,设直线AB 的方程为1y kx =+. A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0, 其判别式22(4)8(21)0k k ∆=++>, 所以12122242,2121k x x x x k k +=-=-++, 从而12121211=[(1)(1)]OA OB PA PB x x y y x x y y λλ⋅+⋅+++--21212(1)(1)()1k x x k x x λ=+++++＝22(24)(21)21k k λλ--+--+＝－21221k λλ---+所以,当1λ=时,－212321k λλ----=-+,此时,3OA OB PA PB λ⋅+⋅=-为定值.当直线AB 斜率不存在时,直线AB 即为直线CD .此时213OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅=--=-, 故存在常数1λ=-,使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值－3. 29.【解析】（Ⅰ）已知()sin2cos2f x m x n x =⋅=+a b ,)(x f 过点)2,32(),3,12(-ππ,∴()sin cos 1266f m n πππ=+= 234cos 34sin )32(-=+=πππn m f∴1221222m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩解得⎩⎨⎧==13n m（Ⅱ）由（Ⅰ）知)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f由题意知()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x由题意知2011x +=.所以00x =,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入()y g x =得sin 216πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 又∵0ϕπ<<,所以6πϕ=,因此()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭由222,k x k k Z πππ-+≤≤∈, 得z k k x k ∈≤≤+-,2πππ∴()f x 的单调增区间为z k k k ∈+-],,2[πππ.30.【解析】（Ⅰ）∵1cos ,3,cos 233acB b BA BC ca B ==∙===, 且222cos 2a c b B ac+-=,∴c 6,5a a c =+=,∵a c >,∴解得3,2a c ==.所以3,2a c ==.（Ⅱ）∵1cos 3B =,∴sin 3B =,∵3,3,2a b c ===,2227cos 29a b c C ab +-==,sin 9C =,∴23cos()cos cos sin sin 27B C B C B C -=+=,故23cos()27B C -=. 31.【解析】（1）-a b ＝(cos cos ,sin sin )αβαβ--,2||-a b ＝22(cos cos )(sin sin )αβαβ-+-＝22(cos cos sin sin )2αβαβ-⋅+⋅=.所以,cos cos sin sin 0αβαβ⋅+⋅=,所以,b a ⊥.（2）⎩⎨⎧=+=+②1sin sin ①0cos cos βαβα,①2＋②2得：1cos()2αβ-=-.所以,αβ-＝π32,α＝π32＋β, 带入②得：sin (π32＋β)＋sin β＝23cos β＋12sin β＝sin (3π＋β)＝1, 所以,3π＋β＝2π.所以,α＝65π,β＝6π.32.【解析】由题意,抛物线E 的焦点为(0,)2p F ,直线1l 的方程为12py k x =+.由1222p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22120x pk x p --=.设A ,B 两点的坐标分别为11(,)A x y ,22(,)B x y , 则1x 、2x 是上述方程的两个实数根.从而1212x x pk +=,212121()2y y k x x p pk p +=++=+.所以点M 的坐标为211(,)2ppk pk +,211(,)FM pk pk =. 同理可得点N 的坐标为222(,)2p pk pk +,222(,)FN pk pk =. 于是2221212()FM FN p k k k k ⋅=+.由题设,有k 1＋k 2＝2,k 1>0,k 2>0,k 1≠k 2, 所以212120()12k k k k +<<=. 故222(11)2FM FN p p ⋅<+=.(2)【解析】由抛物线的定义得1||2p FA y =+,2||2p FB y =+, 所以2121||22AB y y p pk p =++=+,从而圆M 的半径211r pk p =+.故圆M 的方程为22222111()()()2p x pk y pk pk p -+--=+. 化简得22221132(21)04x y pk x p k y p +--+-=. 同理可得圆N 的方程为22222232(21)04x y pk x p k y p +--+-=. 于是圆M ,圆N 的公共弦所在直线l 的方程为222121()()0k k x k k y -+-=.又k 2－k 1≠0,k 1＋k 2＝2,则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p >0,所以点M 到直线l 的距离222117[2()]p k d ++===故当114k =-时,d. 由题设,,解得8p =.故所求的抛物线E 的方程为216x y =.33.【解析】（I）由2222)(sin )4sin x x x =+=a ,222(cos )(sin )1x x =+=b ,及2,4sin 1x ==得a b又1[0,],sin 22x x π∈=从而,所以6x π=.（II）2()cos sin f x x x x =⋅=⋅+a b=1112cos 2sin(2)22262x x x π-+=-+. 当[0.]sin 2 1.326x x πππ=∈-时，（）取最大值所以3().2f x 的最大值为 34.【解析】（1）由(2,1)MA x y =---,(2,1)MB x y =--,(MA MB +=-()(,)(0,2)2OMOA OB x y y ⋅+=⋅=,=22y +. 化简得曲线C 的方程：24x y =.（2）假设存在点(0,)(0)P t t >满足条件,则直线PA 的方程是12t y x t -=+,PB 的方程是12ty x t -=+. 曲线C 在Q 处的切线l 的方程是20024x x y x =-,它与y 轴的交点为2(0,)4x F - 由于022x -<<,因此0112x -<<. ①当10t -<<时,11122t --<<-,存在0(2,2)x ∈-,使得0122x t -=.即l 与直线PA 平行,故当10t -<<时不符合题意. ②1t -…时,011,22x t --< (01122)x t ->…,所以l 与直线,PA PB 一定相交. 分别联立方程组0201224t y x t x x y x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得,D E 的横坐标分别是 20042(1)D x t x x t +=+-,20042(1)E x t x x t +=+-,则202204(1)(1)E D x tx x t x t +-=--- 又204x FP t =--,有220220(4)1128(1)PDE E D x t t S FP x x t x ∆+-=⋅⋅-=⋅--,又2200414(1)242QABx x S ∆-=⋅⋅-=, 于是22200220(4)(1)41(4)QAB PDEx x t S S t x t ∆∆⎡⎤---⎣⎦=⋅-+=422200422004(1)4(1)41816x t x t t x tx t⎡⎤-+-+-⎣⎦⋅-++, 对任意0(2,2)x ∈-,要使QAB PDES S ∆∆为常数,即只需t 满足2224(1)84(1)16t tt t ⎧---=⎨-=⎩,解得1t =-,此时2QAB PDES S ∆∆=,故存在1t =-,使得QAB ∆与PDE ∆的面积之比是常数2.35.【解析】（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-,则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=所以||210,||4 2.AB AC ABAC +=-=故所求的两条对角线的长分别为。

D． 1 |a |2| b |2 +(a ⋅ b)2 2
30．（2010 山东）定义平面向量之间的一种运算“ e ”如下：对任意的 a = (m, n) ，b = ( p, q) ， 令 a e b = mq − np ，下面说法错误的是
A．若 a 与 b 共线，则 a e b = 0 B． a e b = b e a C．对任意的 λ ∈ R ，有 (λa) e b = λ(a e b)
22
22
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
8．(2015 重庆)已知非零向量 a, b 满足|b|=4|a| ，且 a ⊥ (2a+b) ，则 a 与 b 的夹角为
A． π 3
B． π 2
C． 2π 3
D． 5π 6
9．（2015 陕西）对任意向量 a, b ，下列关系式中不恒成立的是
A．| a ⋅ b |≤| a || b |
B． π 3
C． π 6
D．0
15．（2014 福建）在下列向量组中，可以把向量 a = (3, 2) 表示出来的是
A． e1 = (0,0),e2 = (1,2)
B． e1 = (−1,2),e2 = (5,−2)
C． e1 = (3,5),e2 = (6,10) D． e1 = (2,−3),e2 = (−2,3)
D． − 3 15 2
22．（2013 湖南）已知 a, b 是单位向量， a ⋅ b = 0 ．若向量 c 满足 c − a − b = 1，则 c 的最
大值为
A． 2 −1
B． 2
C． 2 +1
D． 2 + 2
uuur 23．（2013 重庆）在平面上，AB1

专题11平面解析几何选择填空题历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 椭圆2019年新课标1理科10单选题2018 抛物线2018年新课标1理科08单选题2018 双曲线2018年新课标1理科11单选题2017 抛物线2017年新课标1理科10单选题2016 双曲线2016年新课标1理科05单选题2016 抛物线2016年新课标1理科10单选题2015 双曲线2015年新课标1理科05单选题2014 双曲线2014年新课标1理科04单选题2014 抛物线2014年新课标1理科10单选题2013 双曲线2013年新课标1理科04单选题2013 椭圆2013年新课标1理科10单选题2012 椭圆2012年新课标1理科04单选题2012 双曲线2012年新课标1理科08单选题2011 双曲线2011年新课标1理科07单选题2010 双曲线2010年新课标1理科12填空题2019 双曲线2019年新课标1理科16填空题2017 双曲线2017年新课标1理科15填空题2015 圆的方程2015年新课标1理科14填空题2011 椭圆2011年新课标1理科14填空题2010 圆的方程2010年新课标1理科15历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科10】已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．y2＝1 B． 1C． 1 D． 1【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|，∴|AF2|＝a，|BF1|a，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得0，解得a2＝3，∴a．b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．所以椭圆C的方程为：1．故选：B．2．【2018年新课标1理科08】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为的直线为：3y＝2x+4，联立直线与抛物线C：y2＝4x，消去x可得：y2﹣6y+8＝0，解得y1＝2，y2＝4，不妨M（1，2），N（4，4），，．则•（0，2）•（3，4）＝8．故选：D．3．【2018年新课标1理科11】已知双曲线C：y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（）A．B．3 C．2D．4【解答】解：双曲线C：y2＝1的渐近线方程为：y，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y，则：解得M（，），解得：N（），则|MN|3．故选：B．4．【2017年新课标1理科10】已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y＝x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4＝0，∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，∴|DE|•|y1﹣y2|8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为θ，根据焦点弦长公式可得|AB||DE|∴|AB|+|DE|，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ＝45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．5．【2016年新课标1理科05】已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c＝2，当焦点在x轴上时，可得：4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝1，∵方程1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝﹣1，无解．故选：A．6．【2016年新课标1理科10】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：设抛物线为y2＝2px，如图：|AB|＝4，|AM|＝2，|DE|＝2，|DN|，|ON|，x A，|OD|＝|OA|，5，解得：p＝4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．7．【2015年新课标1理科05】已知M（x0，y0）是双曲线C：1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，（x0，﹣y0）•（x0，﹣y0）＝x02﹣3+y02＝3y02﹣1＜0，所以y0．故选：A．8．【2014年新课标1理科04】已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m【解答】解：双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为0，∴点F到C的一条渐近线的距离为．故选：A．9．【2014年新课标1理科10】已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|＝（）A．B．3 C．D．2【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|＝d，∵4，∴|PQ|＝3d，∴不妨设直线PF的斜率为2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y＝﹣2（x﹣2），与y2＝8x联立可得x＝1，∴|QF|＝d＝1+2＝3，故选：B．10．【2013年新课标1理科04】已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y B．y C．y＝±x D．y【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e，即4b2＝a2，故渐近线方程为y＝±x x，故选：D．11．【2013年新课标1理科10】已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，．∴，化为a2＝2b2，又c＝3，解得a2＝18，b2＝9．∴椭圆E的方程为．故选：D．12．【2012年新课标1理科04】设F1、F2是椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x 上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|＝|F2F1|∵P为直线x上一点∴∴故选：C．13．【2012年新课标1理科08】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于点A和点B，|AB|＝4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．8【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2＝a2（a＞0），y2＝16x的准线l：x＝﹣4，∵C与抛物线y2＝16x的准线l：x＝﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得4，∴a＝2，2a＝4．故选：C．14．【2011年新课标1理科07】设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A．B．C．2 D．3【解答】解：不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），对称轴y＝0，由题设知，，∴，b2＝2a2，c2﹣a2＝2a2，c2＝3a2，∴e．故选：B．15．【2010年新课标1理科12】已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k＝k PN＝1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2＝﹣24，y1+y2＝﹣30得，从而k 1即4b2＝5a2，又a2+b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，故选：B．16．【2019年新课标1理科16】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，•0，则C的离心率为．【解答】解：如图，∵，且•0，∴OA⊥F1B，则F1B：y，联立，解得B（，），则，，∴4c2，整理得：b2＝3a2，∴c2﹣a2＝3a2，即4a2＝c2，∴，e．故答案为：2．17．【2017年新课标1理科15】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b 为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为．【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：b cos30°，可得：，即，可得离心率为：e．故答案为：．18．【2015年新课标1理科14】一个圆经过椭圆1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．【解答】解：一个圆经过椭圆1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x）2+y2．故答案为：（x）2+y2．19．【2011年新课标1理科14】在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F1的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．【解答】解：根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1＝16；根据椭圆的性质，有4a＝16，即a＝4；椭圆的离心率为，即，则a c，将a c，代入可得，c＝2，则b2＝a2﹣c2＝8；则椭圆的方程为1；故答案为：1．20．【2010年新课标1理科15】过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y＝1相切于点B（2，1），则圆C的方程为．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，则（4﹣a ）2+（1﹣b ）2＝r 2，（2﹣a ）2+（1﹣b ）2＝r 2，1，解得a ＝3，b ＝0，r，故所求圆的方程为（x ﹣3）2+y 2＝2．故答案为：（x ﹣3）2+y 2＝2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳. 最新高考模拟试题1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若3AF FB =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（ ）A 5B 6C 23D 3【答案】A 【解析】由题意得直线l 的方程为bx y c a=+，不妨取1a =，则x by c =+，且221b c =-. 将x by c =+代入2221y x b-=，得()4234120b y b cy b -++=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则312421b c y y b +=--，41241b y y b =-.由3AF FB u u u r u u u r =，得123y y =-，所以324422422131b c y b by b ⎧-=-⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩，得22431b c b =-，解得214b =，所以2c ===2c e a ==，故选A 。

专题11平面解析几何解答题历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 椭圆2019年北京文科19解答题2018 椭圆2018年北京文科20解答题2017 椭圆2017年北京文科19解答题2016 椭圆2016年北京文科19解答题2015 椭圆2015年北京文科20解答题2014 椭圆2014年北京文科19解答题2013 椭圆2013年北京文科19解答题2012 椭圆2012年北京文科19解答题2011 椭圆2011年北京文科19解答题2010 椭圆2010年北京文科19历年高考真题汇编1．【2019年北京文科19】已知椭圆C：1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|＝2，求证：直线l经过定点．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．可得b＝c＝1，a，则椭圆方程为y2＝1；（Ⅱ）证明：y＝kx+t与椭圆方程x2+2y2＝2联立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），△＝16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，x1+x2，x1x2，AP的方程为y x+1，令y＝0，可得y，即M（，0）；AQ的方程为y x+1，令y＝0，可得y．即N（，0）．（1﹣y1）（1﹣y2）＝1+y1y2﹣（y1+y2）＝1+（kx1+t）（kx2+t）﹣（kx1+kx2+2t）＝（1+t2﹣2t）+k2•（kt﹣k）•（），|OM|•|ON|＝2，即为|•|＝2，即有|t2﹣1|＝（t﹣1）2，由t≠±1，解得t＝0，满足△＞0，即有直线l方程为y＝kx，恒过原点（0，0）．2．【2018年北京文科20】已知椭圆M：1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若k＝1，求|AB|的最大值；（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D 和点Q（，）共线，求k．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c＝2，则c，椭圆的离心率e，则a，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设直线AB的方程为：y＝x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3＝0，△＝（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理得：m2＜4，x1+x2，x1x2，∴|AB|，∴当m＝0时，|AB|取最大值，最大值为；（Ⅲ）设直线PA的斜率k PA，直线PA的方程为：y（x+2），联立，消去y整理得：（x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y12﹣3x12﹣12x1﹣12）＝0，由代入上式得，整理得：（4x1+7）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）＝0，x1•x C，x C，则y C（2），则C（，），同理可得：D（，），由Q（，），则（，），（，），由与共线，则，整理得：y2﹣x2＝y1﹣x1，则直线AB的斜率k1，∴k的值为1．3．【2017年北京文科19】已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：（a＞b＞0），则a＝2，e，则c，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：设D（x0，0），（﹣2＜x0＜2），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0＞0，则直线AM的斜率k AM，直线DE的斜率k DE，直线DE的方程：y（x﹣x0），直线BN的斜率k BN，直线BN的方程y（x﹣2），，解得：，过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN，则|EH|，则，∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．4．【2016年北京文科19】已知椭圆C：1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．【解答】（1）解：∵椭圆C：1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a＝2，b＝1，则，∴椭圆C的方程为，离心率为e；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y，取x＝0，得；，PB所在直线方程为，取y＝0，得．∴|AN|，|BM|＝1．∴．∴四边形ABNM的面积为定值2．5．【2015年北京文科20】已知椭圆C：x2+3y2＝3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆C：x2+3y2＝3，∴椭圆C的标准方程为：y2＝1，∴a，b＝1，c，∴椭圆C的离心率e；（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，∴可设A（1，y1），B（1，﹣y1），∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1＝（1﹣y1）（x﹣2），令x＝3，得M（3，2﹣y1），∴直线BM的斜率k BM1；（3）结论：直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知k BM＝1，又∵直线DE的斜率k DE1，∴BM∥DE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k（x﹣1）（k≠1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y﹣1（x﹣2），令x＝3，则点M（3，），∴直线BM的斜率k BM，联立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3＝0，由韦达定理，得x1+x2，x1x2，∵k BM﹣1＝0，∴k BM＝1＝k DE，即BM∥DE；综上所述，直线BM与直线DE平行．6．【2014年北京文科19】已知椭圆C：x2+2y2＝4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2＝4化为标准方程为，∴a＝2，b，c，∴椭圆C的离心率e；（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则∵OA⊥OB，∴0，∴tx0+2y0＝0，∴t，∵，∴|AB|2＝（x0﹣t）2+（y0﹣2）2＝（x0）2+（y0﹣2）2＝x02+y024＝x0244（0＜x02≤4），因为4（0＜x02≤4），当且仅当，即x02＝4时等号成立，所以|AB|2≥8．∴线段AB长度的最小值为2．7．【2013年北京文科19】直线y＝kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．【解答】解：（I）∵点B的坐标为（0，1），当四边形OABC为菱形时，AC⊥OB，而B（0，1），O（0，0），∴线段OB的垂直平分线为y，将y代入椭圆方程得x＝±，因此A、C的坐标为（，），如图，于是AC＝2．（II）欲证明四边形OABC不可能为菱形，利用反证法，假设四边形OABC为菱形，则有OA＝OC，设OA＝OC＝r，则A、C为圆x2+y2＝r2与椭圆的交点，故，x2（r2﹣1），则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．从而得到点B是W的顶点．这与题设矛盾．于是结论得证．8．【2012年北京文科19】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A（2，0），离心率为，∴∴b∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y＝k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4＝0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2，∴|MN|∵A（2，0）到直线y＝k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S∵△AMN的面积为，∴∴k＝±1．9．【2011年北京文科19】已知椭圆G：1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c，，解得a，又b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆G的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，由得4x2+6mx+3m2﹣12＝0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0，y0＝x0+m，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k，解得m＝2．此时方程①为4x2+12x＝0．解得x1＝﹣3，x2＝0，所以y1＝﹣1，y2＝2，所以|AB|＝3，此时，点P（﹣3，2）．到直线AB：y＝x+2距离d，所以△PAB的面积s|AB|d．10．【2010年北京文科19】已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y ＝t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为，且，所以所以椭圆C的方程为（Ⅱ）由题意知p（0，t）（﹣1＜t＜1）由得所以圆P的半径为，则有t2＝3（1﹣t2），解得所以点P的坐标是（0，）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x2+（y﹣t）2＝3（1﹣t2）．因为点Q（x，y）在圆P上．所以设t＝cosθ，θ∈（0，π），则当，即，且x＝0，y取最大值2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.【答案】（1）22113y x +=； （2）见解析. 【解析】（1）解：因为1C， 所以22619b a=-，解得223a b =.①将点⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 联立①②，得21a =，213b =，故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. （2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213x y +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =，所以11122NAB S MN AB ∆=⋅==. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 将y kx m =+代入椭圆1C 的方程 得()222136310kxkmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m∆=-+-=，整理得22313m k =+.将y kx m =+代入椭圆2C 的方程， 得()222136330kxkmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k-=+， 所以AB ===. 设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=u u u vu u u u v，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得3λ=（3λ=-舍去）， 所以3ON MO =u u uvu u u u v，从而()31NM OM =+.又因为点O 到直线l 的距离为21m d k=+，所以点N 到直线l 的距离为()(231311m d k+⋅+=+，所以()()221126131312231NABmk S d AB m k∆+=+⋅=+⋅⋅+ 62=+，综上，NAB ∆的面积为定值62+. 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(0，3-)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．【答案】（1）22143x y +=；（25250x y ±=；（3）见解析. 【解析】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b 3，由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当直线l 与x 轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意； 当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝my+1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．△＝36m 2+36（m 2+4）＞0．122634m y y m +=-+ ①，1229y y 3m 4=-+②，由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③， 联立①③得，1222126,3434m my y m m =-=++， 代入②得，()22227293434m m m-=-++，解得m =20y ±=；（3）当直线l 的斜率为0时，则M （2，0），N （﹣2，0），设P （x 0，y 0）， 则PM•PN＝|（x 0﹣2）（x 0+2）|，∵点P 在椭圆外，∴x 0﹣2，x 0+2同号， 又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=-∴-+=-，解得052x =． 当直线l 的斜率不为0时，由（2）知，1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=-=-++，10200PM y ,PN y ,PF =-=-=．∵点P 在椭圆外，∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号，∴PM•PN＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝()()221201201my yy y y y ⎡⎤+-++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝⎭，整理得032y m =，代入直线方程得052x =．∴点P 在定直线52x =上． 3．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点． （1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点． 【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）(2,0). 【解析】解：（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)-， 此时4AB =，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线l 方程为(1)=-y k x 与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y =.||AB ==()241m ==+，由8AB =，解得1m =±， 所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b --=，可得124y y m +=，124y y b =-. 由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =，即121222y yx x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=， 整理得12122(2)()0my y b y y +++=， 即84(2)0bm b m -++=，即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).4．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=u u u r u u u r ，||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r． （1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．【答案】(1) 223144x y += (2)3【解析】（1）∵0AC BC ⋅=u u u r u u u r，∴90ACB ∠=︒，∵||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r．即||2||BC AC =u u u r u u u r ，∴AOC △是等腰直角三角形， ∵()2,0A ，∴()1,1C ， 而点C 在椭圆上，∴22111a b +=，2a =，∴243b =， ∴所求椭圆方程为223144x y +=．（2）对于椭圆上两点P ，Q ， ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，PC k k =，则CQ k k =-，∵()1,1C ，∴PC 的直线方程为()11y k x =-+，①QC 的直线方程为()11y k x =--+，②将①代入223144x y +=，得()()22213613610k x k k x k k +--+--=，③∵()1,1C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴2236113P k k x k--=+， 以k -替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+． ∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-， ∵90ACB ∠=o ，()2,0A ，()1,1C ，弦BC 过椭圆的中心O ， ∴()2,0A ，()1,1B --，∴13AB k =， ∴PQ AB k k =，∴PQ AB ∥，∴存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r，||PQ =u u ur 3=≤， 当2219k k =时，即k =时取等号，max ||3PQ =u u u r ，又||AB =u u u r，maxλ==，∴λ取得最大值时的PQ的长为3． 5．已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B （自上而下顺次）四点.（1）求证：||||AC BD ⋅为定值； （2）求||||AB AF ⋅的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108 【解析】（1）有题意可知，(4,0)F可设直线l 的方程为4x my =+，1122(,),(,)A x y B x y联立直线和抛物线方程2164y x x my ⎧=⎨=+⎩，消x 可得216640y my --=，所以1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义可知，112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+， 又||||4,||||4AC AF BD BF =-=-，所以2221212264||||(||4)(||4)16161616y y AC BD AF BF x x ⋅=--==⋅==，所以||||AC BD ⋅为定值16.（2）由（1）可知，12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，212111212||||(8)(4)12432AB AF x x x x x x x x ⋅=+++=++++，由1216x x =，可得2116x x =， 所以211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++（其中1>0x ）， 令264()1248f x x x x =+++，222642(2)(4)()212x x f x x x x -+'=+-=， 当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增， 所以()(2)108f x f ≥=. 所以||||AB AF ⋅的最小值为108.6．已知O 为坐标原点，点()()2,02,0A B -，，()01AC AD CB CD λλ===<<u u u r u u u r，过点B 作AC的平行线交AD 于点E .设点E 的轨迹为τ. （Ⅰ）求曲线τ的方程；（Ⅱ）已知直线l 与圆22:1O x y +=相切于点M ，且与曲线τ相交于P ，Q 两点，PQ 的中点为N ，求三角形MON 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）()22105x y y +=≠；.【解析】（Ⅰ）因为,AD AC EB AC =∥， 故EBD ACD ADC ∠=∠=∠， 所以EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+==由题设得()()2,02,04A B AB -=，，，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：()22105x y y +=≠.（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y kx m =+， 因为直线l 与圆O 相切，1=，∴221m k =+，由221,5,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2221510550k x kmx m +++-=. 设()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理知：()1212122210221515km mx x y y k x x m k k +=-+=++=++，. 所以PQ 中点N 的坐标为225,1515kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 所以弦PQ 的垂直平分线方程为22151515m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，即 24015kmx ky k++=+.所以MN =.将m =MN =得2441155||||kMNk kk====++…（当且仅当k=，即m=取等号）.所以三角形MON的面积为11122S OM MN=⨯⨯⨯≤，综上所述，三角形MON.7．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为2，F是椭圆C的一个焦点．点(02)M,，直线MF的．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M的直线l与椭圆C交于A B，两点，线段AB的中点为N，且AB MN＝．求l的方程．【答案】（1）22182x y+=；（2）2y x=+【解析】（1）由题意，可得23cac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得ac⎧=⎪⎨=⎪⎩，则222=2b a c=-，故椭圆C的方程为22182x y+=．（2）当l 的斜率不存在时，=2AB MN AB MN≠=，，，不合题意，故l的斜率存在．设l的方程为2y kx=+，联立221822x yy kx⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(14)1680k x kx+++＝，设1122(()A x yB x y，)，，，则12122216k8,14k14kx x x x+=-=++，()222(16)3214128320k k k∆=-+=->即214k>，设00()N x y ，，则12028214x x kx k+==-+，120||||,0AB MN x =-=-Q0x =，即28||14k k =+整理得21124k =>．故k =，l 的方程为2y x =+．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(，右焦点F 是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立?若存在求出点Q 的坐标:若不存在，说明理由.【答案】(1) 2211612x y += (2)见解析【解析】（1）因为椭圆C 过点，所以221231a b +=， 又抛物线的焦点为()2,0，所以2c =. 所以2212314a a +=-，解得23a =（舍去）或216a =. 所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r .①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3)QM m =-u u u u r ，(2,3)QN m =--u u u r， 由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-u u u u r u u u r ，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0)M -，(4,0)N ，(4,0)QM m =--u u u u r ，(4,0)QN m =-u u u r， 由21351616QM QN m ⋅=-=-u u u u r u u u r ，解得114m =-或114m =.由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11,04⎛⎫ ⎪⎝⎭. 下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.当直线l 的斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y .直线与椭圆联立得()()222234161630kxk x k +-+-=，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且21221643k x x k +=+，()212216343k x x k -=+. ()()()222121212122224y y k x k x k x x k x x k =-•-=-++，所以()1122121212111111121,,44416QM QN x y x y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫•=-•-=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ()()()()222222221212221631112111161211241244164344316k k k x x k x x k k k k k k -⎛⎫⎛⎫=+-++++=+-+++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭13516-恒成立 综上所述，在x 轴上存在点11,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.9．关于椭圆的切线由下列结论：若11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22:143x y C +=.(1)利用上述结论，求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程；(2)若M 是直线4x =上任一点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），设椭圆的右焦点为F ，求证：MF AB ⊥.【答案】（1）240x y +-=（2）见证明 【解析】(1)由题意，将1x =代入椭圆方程22:143x y C +=，得32y =，所以3(1,)2P ，所以过椭圆C 上的点3(1,)2P 的切线方程为32143yx +=，即240x y +-=.(2)设(4,)M t ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则过A ，B 两点的椭圆C 的切线MA ，MB 的方程分别为11143x x y y +=，22143x x y y+=， 因为(4,)M t 在两条切线上，114143x y t ⨯∴+=，224143x y t⨯+=， 所以A ，B 两点均在直线4143x yt +=上，即直线AB 的方程为13tyx +=， 当0t ≠时，3AB k t=-，又(1,0)F ，0413MF t t k -==-，313AB MF tk k t ⋅=-⨯=-，所以MF AB ⊥， 若0t =，点(4,0)M 在x 轴上，A ，B 两点关于x 轴对称，显然MF AB ⊥.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为12，P 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若12AF F △． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点1F 交椭圆C 于,A B 两点，问在x 轴上是否存在一点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）由题意，当P 在上或下顶点时，12PF F ∆的面积取值最大值，即最大值为bc = 又12c a =，且222a c b =+，解得24a =，23b =， 故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）易知()11,0F -，设直线l 的方程为1x my =-，()()()11220,,,,,0A x y B x y Q x ，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得22(34)690m y my +--=， 则122634my y m +=+，122934y y m =-+， ()()()()10120200212,,y QA QB x x y x x y x x x x y y ⋅=-⋅-=--+u u u r u u u r()212001212x x x x x x y y =+-++，∵111x my =-，221x my =-，∴()()()2212121212215111134m x x my my m y y m y y m =--=+-+=-+， ()()()212122226112234m x x my my m y y m +=-+-=+-=-+， ∴222000222156912343434m m QA QB x x x m m m ⋅=-+-+-+++u u u r u u u r 2202281253434m x x m m +=+-++()222000231248534x m x x m -++-=+， 要使QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值，则2200031248534x x x -+-=，解得0118x =-， 所以在x 轴上存在点11,08Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值． 11．已知点()1,0F ，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线y kx b =+与轨迹C 交于两点，()11,A x y 、()22,B x y ，且12y y a -= (0a >，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD 、BD .试判断ABD ∆的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由 【答案】(1) 24y x = (2)见解析 【解析】（1）设(,)P x y ，则(1,)Q y -，QP QF FP FQ •=•u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，(1,0)(2,)(1,)(2,)x y x y y ∴+•-=-•-，即22(1)2(1)x x y +=--+，即24y x =， 所以动点P 的轨迹的方程24y x =.（2）联立方程组2,4,y kx b y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440ky y b -+=， 依题意，0k ≠，且124y y k+=，124b y y k =，由12y y a -=得()2212124y y y y a +-=， 即221616ba k k-=， 整理得：221616kb a k -=，所以2216(1)a k kb =-，① 因为AB 的中点222,bk M k k -⎛⎫⎪⎝⎭，所以点212,D k k ⎛⎫⎪⎝⎭，依题意， 122111||22BD bkS DM y y a k∆∆-=-=， 由方程2440ky y b -+=中的判别式16160kb ∆=->，得10kb ->，所以2112ABD bkS a k∆-=••， 由①知22116a k kb -=，所以23121632MBDa a S a ∆=••=，又a 为常数，故ABD S ∆的面积为定值. 12．已知点P 在抛物线()220C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =． （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值．【答案】(1) 24x y = (2)4 【解析】（1）将点P 横坐标2P x =代入22x py =中，求得2P y p=， ∴P （2，2p），2244OP p =+，点P 到准线的距离为22p d p =+， ∴222||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴22222212p p p ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得24p =，∴2p =，∴抛物线C 的方程为：24x y =；（2）抛物线24x y =的焦点为F （0，1），准线方程为1y =-，()01H -，； 设()()1122A x y B x y ，，，， 直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=，∴121244x x k x x +==-，，…① 由AB HB ⊥，可得1AB HB k k ⋅=-， 又111AB AF y k k x -==，221HB y k x +=， ∴1212111y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=，即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴()22221212121110164x x x x x x +--+=，…② 把①代入②得，221216x x -=，则()22121211||||1116444AF BF y y x x -=+--=-=⨯=． 13．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义:()PFd P FQ=. （1）当8(1)3P --，时，求()d P ； （2）证明:存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系. 【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）()()()1322d P d P d P +>. 【解析】 （1）因为8443(1)233PFk y x ==⇒=-. 联立方程24(1)1344Qy x x y x ⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩， 则1083()534PF d P QF ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩. （2）当()1,0P -，易得2()2a d P PF =-=， 不妨设()1,P P y -，0P y >， 直线:1PF x my =+，则2P my =-，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，2440y my --=，2Q y m ==+()222212()||212221P P Q y m d P PF m y y m m m +-=-+=+++ 2212122m m m m m+-+=-+=.（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()13224d P d P d P +-⎡⎤⎣⎦1322PF P F P F =+-2221324424y y y =+++222131344242y y y y +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()22213134416y y y y =++++因为()222213134416y y y y ⎡⎤++-++⎣⎦22131224428y y y y =++-，又因()()()()2222213131313444480y y y y y y y y ++-+=+->，所以()()()1322d P d P d P +>.14．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线距离为2. （1）若点(1,1)E ，且点P 在抛物线C 上，求||||PE PF +的最小值；（2）若过点(0,)N b 的直线l 与圆22:(2)4M x y +-=相切，且与抛物线C 有两个不同交点,A B ，求AOB ∆的面积.【答案】(1)2(2) 2ABC S b ∆=【解析】解：（1）根据题意可知2p =所以抛物线方程为24x y =则抛物线C 焦点为(0,1)F ，准线为1y =-；记点,P E 到抛物线C 准线的距离分别为12,d d ，故12||||||2PE PF PE d d +=+≥=，等号成立当且仅当PE 垂直于准线，故||||PE PF +的最小值为2（2）设()11,A x y ，()22,B x y由题意知，直线l 斜率存在，设直线l 的方程为：y kx b =+将y kx b =+与24x y =联立得2440x kx b --=，由韦达定理得12124,4x x k x x b +==-，由()0,2M 到直线l 的距离为12d ==得：2244b b k -=，又||AB ==点O 到直线l 的距离为2d =所以2|ABC S b b ∆=== 15．已知曲线C 上的任意一点到直线l ：x=-12的距离与到点F （102，）的距离相等． （1）求曲线C 的方程； （2）若过P （1，0）的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，Q （-1，0）为定点，设直线AQ 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，直线AB 的斜率为k ，证明：22212112k k k +-为定值． 【答案】（1）y 2=2x ；（2）见解析【解析】 （1）由条件可知，此曲线是焦点为F 的抛物线，p 122=，p=1． ∴抛物线的方程为y 2=2x ； （2）根据已知，设直线AB 的方程为y=k （x -1）（k ≠0）， 由()2y k x 1y 2x ⎧=-⎨=⎩，可得ky 2-2y -2k=0．设A （211y y 2，），B （222y y 2，），则122y y k +=，y 1y 2=-2． ∵1112211y 2y k y y 212==++，2222222y 2y k y y 212==++． ∴22221222221212(y 2)(y 2)11k k 4y 4y +++=+=22222212212212(y 2)y (y 2)y 4y y +++ =()42422222122112122212y y y y 8y y 4y y 4y y ++++=()2221212128y y 32(y y )2y y 4162+++-+= =22482k 42k +=+．∴222121124k k k +-=．。

专题01集合历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科01】已知集合M＝{|﹣4＜＜2}，N＝{|2﹣﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{|﹣4＜＜3} B．{|﹣4＜＜﹣2} C．{|﹣2＜＜2} D．{|2＜＜3}【解答】解：∵M＝{|﹣4＜＜2}，N＝{|2﹣﹣6＜0}＝{|﹣2＜＜3}，∴M∩N＝{|﹣2＜＜2}．故选：C．2．【2018年新课标1理科02】已知集合A＝{|2﹣﹣2＞0}，则∁R A＝（）A．{|﹣1＜＜2} B．{|﹣1≤≤2} C．{|＜﹣1}∪{|＞2} D．{|≤﹣1}∪{|≥2}【解答】解：集合A＝{|2﹣﹣2＞0}，可得A＝{|＜﹣1或＞2}，则：∁R A＝{|﹣1≤≤2}．故选：B．3．【2017年新课标1理科01】已知集合A＝{|＜1}，B＝{|3＜1}，则（）A．A∩B＝{|＜0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{|＞1} D．A∩B＝∅【解答】解：∵集合A＝{|＜1}，B＝{|3＜1}＝{|＜0}，∴A∩B＝{|＜0}，故A正确，D错误；A∪B＝{|＜1}，故B和C都错误．故选：A．4．【2016年新课标1理科01】设集合A＝{|2﹣4+3＜0}，B＝{|2﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【解答】解：∵集合A＝{|2﹣4+3＜0}＝（1，3），B＝{|2﹣3＞0}＝（，+∞），∴A∩B＝（，3），故选：D．5．【2014年新课标1理科01】已知集合A＝{|2﹣2﹣3≥0}，B＝{|﹣2≤＜2}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[﹣1，1] C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【解答】解：由A中不等式变形得：（﹣3）（+1）≥0，解得：≥3或≤﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B＝[﹣2，2），∴A∩B＝[﹣2，﹣1]．故选：D．6．【2013年新课标1理科01】已知集合A＝{|2﹣2＞0}，B＝{|}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：∵集合A＝{|2﹣2＞0}＝{|＞2或＜0}，∴A∩B＝{|2＜或＜0}，A∪B＝R，故选：B．7．【2012年新课标1理科01】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（，y）|∈A，y∈A，﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【解答】解：由题意，＝5时，y＝1，2，3，4，＝4时，y＝1，2，3，＝3时，y＝1，2，＝2时，y＝1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．8．【2010年新课标1理科01】已知集合A＝{∈R|||≤2}}，，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【解答】解：A＝{∈R|||≤2，}＝{∈R|﹣2≤≤2}，故A∩B＝{0，1，2}．应选D．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：集合关系及其运算，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：交并补运算，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.最新高考模拟试题1．若集合{}5|2A x x =-<<，{}|||3B x x =<，则A B =I （ ） A ．{}|32x x -<< B ．{}|52x x -<< C ．{}|33x x -<< D ．{}|53x x -<<【答案】A 【解析】解：{}{}333||B x x x x =<=-<<， 则{}|32A B x x ⋂=-<<， 故选：A ．2．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =I （ ） A ．[2,3] B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C 【解析】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤Q ，{}23A x x ∴=≤≤， 又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.3．已知集合{3,2,1,0,1,2,3}A =---，{}2|450B x x x =∈--≤R ，则A B =I （ ） A ．{3,2,1,0}--- B ．{}1,0,1,2,3- C ．{}3,2-- D ．{}3,2,1,0,1,2,3---【答案】B 【解析】因为{}2|450B x x x =∈--≤R {|15}x x =-≤≤，{3,2,1,0,1,2,3}A =---∴{}1,0,1,2,3A B ⋂=-． 故选B ．4．已知全集U =R ，集合{}|24,{|(1)(3)0}xA xB x x x =>=--<，则()U A B =I ð（ ）A ．(1,2)B ．(]1,2 C ．(1,3) D ．(,2]-∞【答案】B 【解析】由24x >可得2x >， (1)(3)0x x --<可得13x <<，所以集合(2,),(1,3)A B =+∞=,(,2]U A =-∞ð，所以()U A B =I ð(]1,2，故选B. 5．已知集合{}(,)|1,A x y y x x R ==+∈，集合{}2(,)|,B x y y x x R ==∈，则集合A B ⋂的子集个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】由题意得，直线1y x =+与抛物线2y x =有2个交点，故A B ⋂的子集有4个. 6．已知集合{}2log (1)2M x x =+＜，{1,0,1,2,3}N =-，则()R M N ⋂ð=（ ） A ．{-1，0，1，2，3} B ．{-1，0，1，2} C ．{-1，0，1} D ．{-1，3}【答案】D 【解析】由题意，集合{}2log (1)2{|13}M x x x x =+<=-<<，则{|1R M x x =≤-ð或3}x ≥ 又由{1,0,1,2,3}N =-，所以(){1,3}R M N ⋂=-ð，故选D.7．已知集合{}lg(1)A x y x ==-，{}1,0,1,2,3B =-，则()R A B I ð=( ) A ．{}1,0- B ．{}1,0,1-C ．{}1,2,3D ．{}2,3【答案】B 【解析】因为{}{}lg(1)1A x y x x x ==-=>，所以{}1R C A x x =≤， 又{}1,0,1,2,3B =-，所以{}()1,0,1R C A B =-I . 故选B8．已知R 是实数集，集合{}1,0,1A =-，{}210B x x =-≥，则()A B =R I ð（ ）A ．{}1,0-B ．{}1C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】1|2B x x 禳镲=?睚镲铪Q1|2R C B x x 禳镲\=<睚镲铪即(){1,0}R A C B ?-故选A 。

专题五 平面向量第十三讲 平面向量的概念与运算2019年1.（2019全国Ⅱ理3）已知AB u u u r=(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC u u u r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A ．-3B ．-2C ．2D ．32.（2019全国Ⅲ理13）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=-c a ，则cos ,<>=a c ___________.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r2．(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．04．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2016年山东）已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为A ．4B ．–4C ．94D ．–946．（2016年天津）已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅u u u r u u u r的值为A ．85-B ．81 C ．41 D ．8117．（2016年全国II ）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()+⊥a b b ，则m = A ．8-B ．6-C ．6D ．88．（2016年全国III ）已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则ABC ∠= A ．30oB ．45oC ．60oD ．120o9．(2015重庆)若非零向量a ，b 满足=a ，且()(32)-⊥+ab a b ，则a 与b 的夹角为 A ．4π B ．2πC ．34πD ．π10．（2015陕西）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是A ．||||||⋅≤a b a bB ．||||||||--≤a b a bC ．22()||+=+a b a b D ．22()()+-=-a b a b a b11．（2015安徽）ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ=u u u ra ，2ΑC =+u u u ra b ，则下列结论正确的是A ．1=bB ．⊥a bC ．1⋅=a bD ．()4ΒC -⊥u u u ra b12．（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA ．B ． AD 21C ． BC 21D ．13．（2014新课标2）设向量a ,b 满足|+a b |-a b ，则⋅=a bA ．1B ．2C ．3D ．514．(2014山东)已知向量(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =A ．B C ．0D ．15．（2014安徽）设,a b 为非零向量，2=b a ，两组向量1234,,,x x x x u r u u r u u r u u r 和1234,,,y y y y u u r u u r u u r u u r均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为 A ．23π B ．3π C ．6πD ．0 16．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出的是A ．12(0,0),(1,2)==e eB ．12(1,2),(5,2)=-=-e eC ．12(3,5),(6,10)==e e D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e17．（2014浙江）设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||t +b a 是最小值为1A ．若θ确定，则||a 唯一确定B ．若θ确定，则||b 唯一确定C ．若||a 确定，则θ唯一确定D ．若||b 确定，则θ唯一确定18．（2014重庆）已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ，则实数k =A ．92-B ．0C ．3D ．15219．（2013福建）在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==BD AC ，则该四边形的面积为A ．5B ．52C ．5D ．1020．（2013浙江）设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014PB AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ≥．则A ．090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =21．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB u u u r同方向的单位向量为A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 22．（2013湖北）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB u u u r在CD u u u r 方向上的投影为A B C ． D ． 23．（2013湖南）已知,a b 是单位向量，0⋅a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则c 的最大值为A 1BC 1D 224．（2013重庆）在平面上，12AB AB ⊥u u u r u u u u r ，121OB OB ==u u u r u u u u r ,12AP AB AB =+u u u r u u u r u u u u r．若12OP <u u u r ，则OA u u u r的取值范围是A ．⎛ ⎝⎦B ． ⎝⎦C ． ⎝D ．⎝ 25．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．426．（2012陕西）设向量a =（1,cos θ）与b =（1,2cos θ）垂直，则cos2θ等于A ．2 B ．12C ．0D ．－1 27．（2012浙江）设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a bC ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b aD ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b28．（2011广东）已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=A ．14B ．12C ．1D ．229．（2011辽宁）已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，(2)0⋅-=a a b ，则=kA ．12-B ．6-C ．6D ．1230．（2010辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA=u u u r a ，OB =u u u rb ，则△OAB 的面积等于A BC D 31．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“e ”如下：对任意的(,)m n =a ，(,)p q =b ，令mq np =-e a b ，下面说法错误的是 A ．若a 与b 共线，则0=e a b B ．=e e a b b aC ．对任意的R λ∈，有()()λλ=e e a b a bD ．2222()()||||+•=e a b a b a b 二、填空题32．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若(2)+∥c a b ，则λ= ．33．(2017新课标Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b = ． 34．(2017浙江)已知向量a ,b 满足||1=a ,||2=b ,则||||++-a b a b 的最小值是 ，最大值是 ．35．(2017山东)已知1e ，2e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60o ，则实数λ的值是 ．36．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r的模分别为1，1，OA u u u r 与OC u u u r 的夹角为α，且tan 7α=，OB uuu r 与OC u u u r的夹角为45o ．若OC u u u r =m OA u u u r +n OB uuu r（m ，n ∈R ），则m n += ．37．(2016全国I)设向量(,1)m =a ，(1,2)=b ，且222||||||+=+a b a b ，则m = . 38．(2015江苏)已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n - 的值为___．39．（2015湖北）已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r ．40．(2015新课标Ⅰ)设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ___． 41．（2015浙江）已知12,e e 是空间单位向量，1212⋅=e e ，若空间向量b 满足12⋅=b e ，252⋅=b e ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)x y x y x y R -+-+=∈≥b e e b e e ，则0x =____，0y =_____，=b _____．42．（2014新课标Ⅰ）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则AB u u u r 与AC u u u r的夹角为 ． 43．(2014山东)在ABC V 中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uuu r ，当6A π=时，ABC V 的面积为 ．44．（2014安徽）已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量12345,,,,x x x x x u r u u r u u r u u r u u r和12345,,,,y y y y y u u r u u r u u r u u r u u r 均由2个a 和3个b 排列而成．记112233S x y x y x y =⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r4455x y x y +⋅+⋅u u r u u r u u r u u r，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是____（写出所有正确命题的编号）． ①S 有5个不同的值． ②若⊥a b 则min S 与||a 无关． ③若∥a b 则min S 与||b 无关． ④若||4||>b a ，则0min >S ．⑤若||2||=b a ，2min 8||S =a ，则a 与b 的夹角为4π．45．(2014北京)已知向量a 、b 满足1=a ，(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则λ=__．46．（2014陕西）设20πθ<<，向量()sin 2cos θθ=，a ，()cos 1θ，b ，若∥a b ，则=θtan _______．47．（2014四川）平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，m =+c a b （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =____________．48．（2013新课标Ⅰ）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60o，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =_____．49．（2013新课标Ⅱ）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ⋅=u u u r u u u r ． 50．（2013山东）已知向量AB u u u r 与AC u u u r 的夹角120o ，且|AB u u u r |=3，|AC u u u r |=2，若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，且AP BC ⊥u u u r u u u r，则实数λ的值为_____．51．（2013浙江）设1e ，2e 为单位向量，非零向量12x y =+b e e ，,x y ∈R ，若1e ，2e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于________．52．（2013天津）在平行四边形ABCD 中，AD = 1，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若·1AC BE =u u u r u u u r， 则AB 的长为 ．53．（2013北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (λ，μ∈R )，则λμ= ．54．（2013北京）已知向量a ，b 夹角为o45，且||1=a ，|2|10-=a b ||=b．55．（2012湖北）已知向量a =（1，0），b =（1，1），则（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为____________； （Ⅱ）向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为____________。