利用算术平方根的非负性进行计算

(5)要使式子有意义，则4xx2500
即：注x意 哦1！ 任何数的2平方 即任都：13注 何是 意 数x非哦 的负23 ！ 绝数对 值也都是非负 即：x为 数任意数
注意哦！ 即：分x母为任不意能数为
零
即：x 5 4
x2 4x 5
例2： 已知y x 1 1 x 7,求y的值。
(1) 2x 1 (2) 3x 1 3 2x (3) (x 5)2 (4) x 2 (5)
解：(1)要使式子有意义，则 2x 1 0
(2)要使式子有意义，则33x21x00 (3)要使式子有意义，则 (x 5)2 0
(4)要使式子有意义，则x 2 0
，求a-20002的值。
a 2001
原式可化为：a 2000 a 2001 a
2000 a 2001 0
a 2001 2000 a 2001 20002 a 20002 2001
变式训练 已知实数a满足
。
例4：当a
时， a 1 2有最小值
(1) 3 2a （ 2） 1 3a 2 5a
2、 已知y 4 5 x x 5,求x y的值。
3、 已知(a b 1)2 2a 3b 4 0, 求a2 16b2的算术平方根。
第三课时：平方根的非负性
遂宁四中：陈珂
定义：如果一个正数x的平方等于a，即 x 2 =a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方
根，记为“ a ”，读作“ 根号 a ”。a叫
做被开方数
规定：0的算术平方根是0,即 0 0
非负数
a ≥0 （a≥0）
算术平方根具有双重非负性
当x为何值时， 下列式子有意义？

(P41)练习：1、求下列各数的算术平方根。
(P41)练习：2、求下列各式的值。
例2 下列各式是否有意义。
解： （1）无意义； （3）有意义；
（2）有意义； （4）有意义．
(P41)探究2
能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为 2 dm2的大正方形？
(P41)探究2
能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为 2 dm2的大正方形？
6.1.1 算术平方根
教学内容：(P40-41)
1、理解算术平方根的概念及其非负性； 2、会求一些数的算术平方根， 并用算术平方根的符号表示。
教师：黄春荣
复习 已知正方形的边长是5，你会求它的面积吗？
5
思考
已知正方形的面积是25，你会求它的边长吗？
问题1：若正方形的面积为1、4、9、16、9/16…呢？
问题2：若正方形的面积为7 8 9
边长 1
2
3
我们需要一种规则。
25
探究1 已知正方形的边长x，求正方形的面积a. a=x2 已知正方形的面积a，如何求正方形的边长x？ x2=a
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么 这个正数x叫做a的算术平方根。 a的算术平方根记做
(P41)探究2
拼成的这个面积为 2 dm2 的大正方形的边长应该是 多少呢？
解：设大正方形的边长为x dm， 则x2=2， 由算术平方根的定义，得：
【归纳】
（1）什么是算术平方根？ 如何求一个正数的算术平方根？
（2） 什么数才有算术平方根？
【布置作业】 P47 习题6.1 第1、2、3、11题
自学P42-43，探究
训练：读出下列各算术平方根，并指出被开方数。

专题15 巧用二次根式两个非负性解题【专题综述】 一般地，形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.注意到a 表示非负数a 的算术平方根，那么二次根式定义中隐含着两个非负数：一个是被开方数a 的值，另一个是二次根式a 的值.解答某些与二次根式有关的问题时，要注意灵活巧用这两个非负数. 【方法解读】例1：如果2211a a a +-+=，那么a 的取值范围是（ ）A.a ＝0B.a ＝1C.a ＝0或a ＝1D.a ≤1 .【举一反三】已知3233x x x x +=-+，那么（ ）A.x ≤0B.x ≥－3C.0＜x ＜3D.－3≤x ≤0．二、化简问题例2：当ab ＜0时，化简2ab ，得（ ）A.b a -B.b aC.b a -D.b a -- .【举一反三】把－a 1a -中根号外面的因式移到根号内的结果是( ) A.a - B. －a C. －a - D. a三、求值问题例3：若x 、y 都为实数，且21124x x y -+-+=，则xy 的值为（ ）A.0B.12C.2D.不能确定.【举一反三】已知5260x y x -++=，则31x y ++=______ .【强化训练】1．若21x x =，请写出一个符合条件的x 的值__________． 2．若1221n n -+-有意义，则（﹣n ）2的平方根是（ ）A. 14B. 12C. 14±D. 12± 3．若12x <<，则23(1)x x -+-的值为（ ）A. 24x -B. 2C. 42x -D. 2-4．化简2961x x -+－(35x -)2的结果是( )A. 6x －6B. －6x ＋6C. －4D. 45．已知xy ＜0，化简二次根式x 2y x-的正确结果为 ． 6．当x 取某一范围的实数时，代数式()()221613x x -+-的值是一个常数，该常数是（ ） A. 29 B. 16 C. 13D. 3 7．已知a 满足|2017﹣a |+2018a -=a ，则a ﹣20172的值是_____．8．若x 、y 满足y ＜2x - +2x -＋4，化简|y -4|－21025y y -+＝__________.9．实践与探索：（1）填空： 23＝ ； 25-（）＝ ； （2）观察第（1）的结果填空：当a ≥0时，2a ＝ ；当a ＜0时， 2a ＝ ； （3）利用你总结的规律计算： 2223x x -+-（）（），其中2＜x ＜3.10．阅读材料，解答下列问题：例：当错误!未找到引用源。

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自学检测（3分钟）
平方 绝对值 算术平方根 正负性
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交流小结（18分钟）
讨论一 根据上表，关于平方、绝对值、算术平方根的非负性 你得到什么结论？ 一个数的平方、绝对值、算术平方根都是非负数， 也就是它们都具有非负性。这也是算术平方的第二 重非负性。
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交流小结（18分钟）
讨论四
根据几个非负数的和为0， 这几个非负数就都等于0
根据几个非负数的和为0， 这几个非负数就都等于0
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注意：被开方数也要是非负数！
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交流小结（18分钟）
讨论二 如果两个非负相加，它们的结果是什么数（正负 性）？三个非负数相加呢？ 两个非负数的和一定是非负数，三个非负数的和也是 非负数，不管多少个非负数的和都一定是非负数。 讨论三
如果两个非负数的和为0，那么这两个非负数必须满足 什么条件？你可以用相反数的性质去进行解释吗？ 如果两个非负数的和为0，那么这两个非负数都必须等于0. 因为两个数相加为0，那么这两个数就应该是相反数，所 以要么是一正一负，要么两个数都是0，根据它们都是非 负数，所以只能都等于0.
算术平方根之双重 非负性（二）
太湖港中学七（3）班：张翠丽
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学习目标（2分钟解读）

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指导自学（5分钟）
大于等于0的数叫非负数。 一定是非负数的数就具有非负性 回想以前学习的知识中还学过类似的非负性吗？ 两个相反数具备什么性质？ 还有平方和绝对值具有非负性，两个相反数的和为0.

知识点 1 算术平方根的定义
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a， 即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平根． 规定：0的算术平方根是0.
表示方法：正数a的算术平方根表示为 a ,
读作 “根号a”．
例1 下列说法中,正确的是( A ) A．3是9的算术平方根 B．-2是4的算术平方根 C. (-2)2的算术平方根是-2 D．-9的算术平方根是3
方根是3，即 2x y 9 3.
总结
要使y＝ x 2＋ 2 x＋5有意义，
需满足x－2≥0，2－x≥0.只有它们都等 于0，这两个式子才都有意义．
(2)已知x，y为有理数，且 x 1＋3(y－2)2＝0，求x－y 的值．
导引：算术平方根和平方都具有非负性，即 a ≥0, a2≥0.
由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为 0，由此可求出x和y的值，进而求得答案． 解：由题意可得x－1＝0，y－2＝0. 所以x＝1，y＝2. 所以x－y＝1－2＝－1.
导引：要正确把握算术平方根的定义．因为3的平方等 于9，所以3是9的算术平方根；因为－2不是正数， 所以－2不是4的算术平方根；因为(-2)2＝4，而22 ＝4，所以2是(-2)2的算术平方根；负数没有算术 平方根．
总结
算术平方根具有双重非负性，这个数 是非负数，它的算术平方根也是非负数．
知识点 2 求算术平方根
8
即 49 7 ; 64 8
(4)14的算术平方根是 14.
（来自教材）
总结
(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数 的算术平方根，分清求 81 的算术平方根与81的算 术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．
(2)求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，因 此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．

√25的算术平方根过程算术平方根是指数的平方等于给定数的过程。

下面是√25的算术平方根过程的详细解释。

要求√25的算术平方根，我们首先要明确算术平方根的定义和性质。

算术平方根是一个非负实数，它的平方等于给定的数。

对于任意非负实数a，它的算术平方根可以表示为√a。

对于√25的算术平方根，我们可以通过多种方法来计算。

下面介绍一些基本的计算方法。

1.近似方法：要计算√25的算术平方根，我们可以通过近似的方式来得到一个值。

我们可以尝试1、2、3等等数值进行计算，直到找到一个数的平方等于25、我们可以发现√25的算术平方根是5，因为5的平方等于252.分解法：我们可以将25分解成5*5的形式，然后得到√(5*5)，进而得到√5*√5、根据算术平方根的性质，√5*√5等于53.迭代法：迭代法是一种近似计算算术平方根的方法。

我们可以从一个初始值开始，然后迭代计算直到得到一个足够接近于算术平方根的值。

对于√25的算术平方根，我们可以选择一个初始值，比如5、迭代计算的公式如下：xn+1 = (xn + 25 / xn) / 2我们可以根据上述公式计算出不同的近似值，直到计算出的值不再发生变化为止。

迭代计算的结果如下：第1次迭代：(5+25/5)/2=5.5这几种方法都可以得到√25的算术平方根，但是近似方法和迭代法是比较常用的方法。

近似方法适用于小数的计算，而迭代法适用于更精确的计算。

总结起来，√25的算术平方根是5、通过近似方法、分解法和迭代法等不同的计算方法，我们可以得到5这个结果。

当然，迭代法可以计算更精确的结果，但需要更多的计算步骤。

专题02平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）【题型目录】题型一平方根与算术平方根概念理解题型二求一个数的算术平方根题型三利用算术平方根的非负性解题题型四求算术平方根的整数部分与小数部分题型五与算术平方根有关的规律探索题题型六求一个数的平方根题型七已知一个数的平方根，求这个数题型八利用平方根解方程题型九平方根的应用【知识梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.特别说明：有意义时，aa ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥是a 的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.=.=0.25=25=， 2.5250【经典例题一平方根与算术平方根概念理解】【变式训练】平方差公式和完全平方公式，下，【经典例题二求一个数的算术平方根】【变式训练】A．3B．3±C．3【答案】A【分析】本题主要考查了有理数和无理数的识别，根据程序图及算术平方根的计算方法，依次计算即可，理解算术平方根是解题的关键．【点睛】本题主要考查了同类项、代数式求值、算术平方根等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．七年级统考期末）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为【经典例题三利用算术平方根的非负性解题】【变式训练】【经典例题四求算术平方根的整数部分与小数部分】【变式训练】8．（2022下·广东珠海·七年级统考期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【经典例题五与算术平方根有关的规律探索题】【答案】B【分析】根据算术平方根的定义解决此题．【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91，故选B．【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键．【变式训练】【经典例题六求一个数的平方根】n 【变式训练】∴x y+的平方根是2±，±．故答案为：2【点睛】本题考查根式的非负性，以及计算一个数的平方根，能够根据根式的非负性计算出未知数的值是解决本题的关键．【经典例题七已知一个数的平方根，求这个数】【变式训练】的值，再找出关系即可．【详解】（1）解：由题意得，6290a a ++-=，解得1a =，21649m +∴==（）；（2）当1a =时，2160x -=，216x ∴=，4x ∴=±．【点睛】本题考查平方根的意义及求平方根，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数．【经典例题八利用平方根解方程】【变式训练】1．（2023下·河北石家庄·七年级统考期中）问题：在一块面积为2400cm 的正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为2300cm ，且长宽之比为3：2的长方形纸片(不拼接)，能裁出吗？对于上述问题的解决，嘉嘉和琪琪进行如下对话：嘉嘉：可是不符合实际情况啊正方形纸片的面积为【经典例题九平方根的应用】【变式训练】1．（2023下·河南郑州·八年级统考期末）电流通过导线时会产生热量，满足2=，其中Q为产生的热量Q I Rt为通电时间（单位：，则乙的面积为【拓展培优】A．2B．【答案】C【分析】本题主要考查算术平方根的定义，准确求出阴影部分的面积是解题的关键．根据割补法求出阴影部分的面积即可得到答案．①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则±【答案】2【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，平方根，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．则3757.69的算术平方根为．【答案】61.3【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据题目所给的方法进行解答即可．；，由于10．（2023上·浙江丽水·七年级统考期中）如图角形和一个阴影小正方形（无缝隙、不重叠）折后得到图2所示的大正方形．（1）若阴影小正方形的边长为1，则图2中大正方形的面积为（2）若图2中大正方形的边长为正整数，则阴影小正方形的边长为【答案】7123或8【分析】（1）根据图1求出四个直角三角形的面积，根据翻折的性质，从而得到图可；（2）设小正方形的面积为x，从而得到图2大正方形的面积，再根据大正方形的边长为正整数，即可得到x的值．【详解】解：（1）∵一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形，阴影小正方形的边长为1，②∵3,2a b ==-，∴a b >，∴()()33228a b ⊕=⊕-=-=-，∵83-<，∴()()()8328313a b a ⊕⊕=-⊕=⨯-+=-．13．（2023上·湖北黄冈·七年级武穴市实验中学校考期中）如图，A 、B 、C 、D 四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过A B C D →→→顺序的运算，可列式为：2[(52)3]4⨯-+，8经过运算顺序B D A C →→→运算，可列式为2{[(83)4]2}-+⨯(1)请计算2[(52)3]4⨯-+；(2)列式计算2-经过C D A B →→→顺序的运算结果；(3)若数x 经过B C A D →→→顺序的运算，结果是12．则求初始数字x 是多少？【答案】(1)53(2)13(3)初始数字x 是5或1【分析】（1）根据有理数的运算法则和运算顺序计算即可；（2）根据题意可以列出算式2[(2)4]23-+⨯-，计算即可；（3）根据题意可以得到()223412x -+=，即可求解．【详解】（1）解：2[(52)3]4⨯-+()21034=-+274=+53=；（2）解：由题意得：2[(2)4]23-+⨯-(44)23=+⨯-2。

一般地说，若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则这个数x叫做a的算术平方根。

计算a的算术平方根可记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数。

1算术平方根的性质
（1）双重非负性
在x=√a中的a
①a≥0（若小于0，则为虚数）
②x≥0
（2）与平方根的关系
正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根。

2平方根的性质
（1）一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。

（2）负数在实数系内不能开平方。

只有在复数系内，负数才可以开平方。

（3）负数的平方根为一对共轭纯虚数。

3平方根和算术平方根的相同点
（1）前提条件相同：算术平方根和平方根存在的前提条件都是“只有非负数才有算术平方根和平方根”。

（2）存在包容关系：平方根包含了算术平方根，因为一个正数的算术平方根只是其两个平方根中的一个。

（3）0的算术平方根和平方根相同，都是0。

算术平方根之双重非负性（二）教学设计张翠丽一、教材分析：众所周知，算术平方根a具有双重非负性：1、被开方数具有非负性，即a ≥0；2、a本身具有非负性，即a≥0。

这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的性质。

在解决与此相关的问题时，如果能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，挖掘出题目中隐含的算术平方根的这两个非负性，并在解题过程中做到有机地配合，则可避免用常规方法造成的复杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果。

二、学情分析：不利因素：我校学生基础较差，两极分化较严重，部分学生对第五章平方根的知识掌握的不够扎实。

有利因素：小组合作学习在我校的全面开展为本节课教学任务的完成打下良好的基础。

三、教学目标：知识与技能：掌握的非负性，并且能使用非负性解决几个非负数的和为0的题目；过程与方法：小组之间进行观察和讨论，理解的非负性，找到与之类似的非负性，利用相反数的性质去探究几个非负数和为0的题目解决方法；情感、态度与价值观：通过自己探究以及和同学合作得到新知识，培养认真观察、逻辑推理以及举一反三的生活素养。

四、教学重点、难点：教学重点：利用非负性解决几个非负数和为0的题目。

教学难点：利用非负性解决几个非负数和为0的题目。

五、教学方法：合作、讨论、探究六、教学媒体：投影七、教学活动过程：【活动一】问题：知识回顾：什么是非负数？什么是非负性？的第一重非负性指哪个非负性？为什么？回想以前学习的知识中还学过类似的非负性吗？两个相反数具备什么性质？师生行为:（1）学生回顾讨论，解决问题。

（2）教师倾听学生的交流，指导学生回顾旧知识，引入新内容。

（设计意图：通过回顾旧知识来探索新知识，易激发学生的学习兴趣。

）【活动二】填写下列表格学生填表，观察算术平方根的正负性，总结算术平方根的特点。

教师关注：计算中教师要让学生体会到有理式的运算，平方、绝对值、算术平方根的共同特点。

（设计意图：通过学生自己计算，自己观察，总结规律，综合运用新旧知识，使知识能融会贯通，提高课堂效率，培养学生及时发现问题并解决问题的习惯，调动学生的主观能动性。

专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，a≥0．备注：20 ||00a aa a aa a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根练习1．（安徽四十二中中铁国际城校区初一期中）计算16的平方根为（）A．4±B．2±C．4 D．2±练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．3B．81C．3±D．81±例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）14的算术平方根是( )A．12±B．12-C．12D．116练习1．（六安市裕安中学初一期中）16的算术平方根是_____．练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。

例3．（·安徽初一期中）81的平方根是_________；364的算术平方根是_________.练习1．（·安徽初一月考）若2a-1和5-a是一个正数m的两个平方根，则m=_______练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.二. 立方根1．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果3x a=，那么x叫做a的立方根．记作：．2．立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3．求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．备注：①符号中的根指数“3”不能省略；②对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．例1．（·安徽初一期中）64的立方根是（）A ．4B ．±4C ．8D ．±8练习1．（·淮南初一期中）下列说法中，不正确的是（ ） A ．8的立方根是2 B ．﹣8的立方根是﹣2 C ．0的立方根是0D ．64的立方根是±4练习2．（·北京市昌平区阳坊中学初二期中）8-的立方根是__________．例2．（合肥市第四十五中学初一期中）已知a +3和2a ﹣15是某正数的两个平方根，b 的立方根是﹣2，c 算术平方根是其本身，求2a +b ﹣3c 的值．练习1．（·淮南初一期中）已知5a 2+的立方根是3，3a b 1+-的算术平方根是4，c （1） 求a ，b ，c 的值；（2）求3a b c -+的平方根．练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n 的值.例3．（安徽初一期中）求下列各式中x 的值：（1）2x 2＝4； （2）64x 3 + 27＝0专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，a≥0．备注：||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根A试题分析：A、B、C、D都可以根据平方根和算术平方根的定义判断即可．解：A、﹣5是25的平方根，故选项正确；B、25的平方根是±5，故选项错误；C、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误；D、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误．故选A．练习1的平方根为（）A．4±B．2±C．4 D．B，又∵(±2)2=4，∴4的平方根是±2±2，故选B．练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．3B．81C．3±D．81±C解：9的平方根是3±.故选：C.例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）14的算术平方根是( )A ．12± B ．12-C ．12D ．116C本题解析: ∵211()24=， ∴14的算术平方根为12+，故选C.练习1 _____． 2，4的算术平方根是2，2.练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是 。

你会用算术平方根的非负性吗？（初二、初三）
王远征
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2003(000)001
【摘要】算术平方根√a有双重的非负性：a≥0,并且√a≥0，由于它很重要，所以很多问题都是从此构思出来的。

【总页数】1页(P6)
【作者】王远征
【作者单位】深圳市蛇口中学518067
【正文语种】中文
【中图分类】G633.603
【相关文献】
1.算术平方根非负性的应用
2.一类非局部(p,q)-Laplace方程非负解的存在性
3.具非线性源和非局部边值条件的一维p-Laplace方程非负非平凡解的存在性
4.带负顾客的非空竭服务休假排队模型非负解的存在唯一性
5.信贷非均衡行为的负外部性及成因分析--简论国有商业银行负外部性的体制诱因
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=b+4，则 ab=
例 5 已知：
=0，求：代数式
的值．
【分析】右边为 0，左边分子是两个非负数的和，所以这两个非负数都必须为
0．同时
必须注意分母的 a 7 ，既是被开方数，又在分母上，故 a 7 0 ，这样避免多解。
3a b 0
【解答】解
a2
49
b 0∴
21
a770
a7 0
∴
=2 ．
【评注】根据几个非负数的和等于
的值最小， 最小值是
；当 x 取 时，
2﹣
的值最大，最大值是
．
【分析】依据算术平方根的非负性可知当
10+2x=0 时，
的值最小，当 5﹣ x=0
时， 2﹣
的值最大．
【解答】 当 10+2x=0 时，
的值最小， 解得 x= ﹣ 5，此时
的最小值为 0．
当 5﹣ x=0 时，即 x=5 时，
=0，此时 2﹣
a 20172 2018
【评注】 不要求去求字母的取值范围， 而又必须求字母的取值范围， 这就是被开方数为 非负数的隐含性，挖掘出这个隐含性，就是解题的关键。
【变式训练】化简 1 2x ( 2x 3)2 。
【提示】貌似与例题风马牛不相及，实质相同。 二、确定最大值或最小值
例 2 （ 2017 宁波）当 x 取 时，
2m
﹣6，它的平方根为±（ m﹣ 2），求这个数．小张的解法如下：
依题意可知， 2m﹣ 6 是 m﹣ 2 或者是﹣（ m﹣ 2）两数中的一个…（ 1）
当 2m﹣ 6=m﹣ 2，解得 m=4…（ 2）（ 2m﹣ 6） =（ 2× 4﹣ 6）=2…（ 3）
这个数为 4

二次根式双重非负性的运用
在实数范围内，我们知道式子表示非负数ａ的算术平方根，它具有双重
非负性：（１）；（２）ａ≥０．运用这两个简单的非负性，再结合非
负数的性质“若几个非负数的和等于０，则这几个非负数都等于０”可以解决一些似乎无从下手的算术平方根问题．
例１已知＋＝０，求ｘ，ｙ的值．
分析：因为≥０，≥０，根据几个非负数之和等于０，
则每个非负数都等于０，可知，从而，解之，得ｘ＝－１，ｙ＝４．
例２若实数ａ、ｂ满足＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿．
分析：因为≥０，≥０，故由非负数的性质，得
，两式相加，即得２ｂ－ａ＋１＝０．
例３已知实ａ满足，求ａ-2010的值．
解：由ａ-20110，得ａ2011。

故已知式可化为ａ-2010+=ａ，∴=2010，两边平方并整理，得：ａ-2010＝2011．
例４在实数范围内，求代数式的值．
解：考虑被开方数，得从而，又，故
＝０，ｘ＝４．∴原式＝１．
例５设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值．
解：由ａ（ｘ－ａ）≥０及ｘ－ａ≥０得ａ≥０；由ａ（ｙ－ａ）≥０及ａ
－ｙ≥０得ａ≤０，故ａ＝０，从而已知式化为，ｘ＝－ｙ≠０，故原式＝＝.。

又∵｜x｜=,∴x=或-.∵y是3的平方根，∴y=或-.
又-＜,-＜-，∴x=,y=或-.
当x=,y=时，x+y=+；当x=,y=-时，x+y=-，
故x+y的值为+或-.
5. 解：由条件，得a-1=0,ab-2=0，∴a=1,b=2，
∴原式＝＝1-＝.
练习册答案：
1. B
2. A
3. B
4. 1
5. 1
师：这个式子满足非负数的性质吗？思考一下，然后和同桌讨论一下.
2.教师指定学生汇报讲解，其他学生指正并补充.
生：由算术平方根的被开方数大于等于0可知1-y≥0，所以(1-y)≥0，这样就可以根据非负数的性质求解了……
答案：
解：∵-(y-1)=0,
∴+(1-y)=0.
∵1-y≥0，∴(1-y)≥0.
根据非负数的性质得x+1=0，1-y=0，
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师：怎么样？大家来尝试一下？
生：……
师：合理的运用数学知识，可以有效的帮助我们减少损失，今天我们来学习非负数的性质的应用.
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非负数：
定义：正数和零叫做非负数（记为a≥0).
常见非负数：｜a｜,a²,(a≥0).
性质：若几个非负数的和为0，则这几个数都为0.
二、合作探究
（一）探究类型之一 算术平方根的被开方数的非负性
生2：我们没有求x和y而是用第二个式子乘2减去第一个式子，这样就得到了关于x+y和m的关系，然后把x+y=199整体代入求出m的值.
答案：
解:∵x-199+y≥0,且199-x-y≥0,即x-199+y≤0,
∴x-199+y=0,∴x+y=199,