第八章 多元函数微分学第一节 多元函数的基本概念教学目的：了解平面点集的相关概念；理解并掌握多元函数的概念，会求简单的二元函数的极限，会证明简单的二元函数的极限不存在问题.了解二元函数连续的性质以及二元初等函数连续的性质.重点：理解并掌握多元函数的概念，会求简单的二元函数的极限，会证明简单的二元函数的极限不存在问题. 难点：二元函数的极限不存在问题的证明. 教学方法：启发式讲授 教学过程：一、多维空间的点集 (区域)1、n 维欧氏空间},,,|),,,{(2121R R ∈=n n nx x x x x x . 2、n R 中两点),,,(21n x x x P =与),,,(21n y y y Q =的距离∑=∆-=ni i ix yPQ 12)(||.3、邻域(1) 点P 的δ的邻域}|| | {),(δδ<=PQ Q P U . 简记为)(P U .(2) 点P 的δ的去心邻域}||0 | {),(δδ<<=PQ Q P U.简记为)(P U.4、集合n E R ⊂中的点P(1) P 为E 的内点：E P U ⊂∃)(. 的内点集}|{的内点为E P P E = . (2) P 为E 的边界点：)(P U ∀, φ≠E P U )(且φ≠E P U )(. 的边界}|{的边界点为E P P E =∂.PPP)(P U E)(P U EP(3)P 为E 的聚点：0(),()U P U P E φ∀≠,但P 不一定在E 内.例如： 点集2222{(,)|04}x y x y or x y +=+≥，224x y +=和0为点集的边界，224x y +≥面上的每一个点都是聚点（极限点）. 结论：内点是聚点；边界点不一定是聚点；聚点也不一定是边界点.例如：集合E 的孤立点是边界点但不是聚点. 5、点集n E R ⊂(1) 开集E :2E R ⊂且P E ∀∈均有()U P E ∃⊂，则E 为开集.22{(,)|14}x y x y <+<，22{(,)|2}x y x y +<均为开集.(2) 闭集E :E E ⊂∂.（开集E 并上其边界构成闭集c E ，或开集的余集为闭集）22{(,)|14}x y x y ≤+≤，22{(,)|3}x y x y +≤ 22{(,)|3}x y x y +≥都是闭集.22{(,)|14}x y x y ≤+<既不是开集也不是闭集.(3) 有界集E :),( .. ,0K O U E t s K ⊂>∃. 22{(,)|14}x y x y ≤+≤，22{(,)|3}x y x y +≤都是有界集.(4) 无界集E :φ≠>∀),( ,0K O U E K .22{(,)|3}x y x y +≥，{(,)|3}x y x ≤是无界集.E EE ),(K O U E ),(K O U(5) 连通集E :E 中任意两点均可用E 中折线连结起来.22{(,)|3}x y x y +≥，22{(,)|14}x y x y ≤+≤， 22{(,)|3}x y x y +≤，22{(,)|14}x y x y <+<{(,)|3}x y x ≤，{(,)|13}x y x <≤ {(,)|13,}x y x y R <≤∈都是连通集. {(,)|3}x y x >不具有连通性.6、区域n D R ⊂(1) 开区域D :连通开集,简称区域.例如 22{(,)|14}x y x y <+<为区域，它的边界{}2222(,)|1,4x y x y x y +=+=，边界上的点都是聚点，但边界 点都不是内点.(2) 闭区域∙D :D D D ∂=∙,其中 D 为开区域. 例如 22{(,)|14}x y x y ≤+≤ 为闭区域，边界为{}2222(,)|1,4x y x y x y +=+=，边界上的点都是聚点且又都是内点.例如：点集E ＝2222{(,)|01}x y x y or x y +=+≥为闭区域，(0,0)为E 的点，但(0,0)为边界点，且(0,0)不是聚点. {}(,)|1,x y x y R <∈是无界区域. {}(,)|1,x y x y R ≤∈是无界闭区域.22{(,)|14}x y x y <+<是有界区域.二、多元函数的概念1、【定义】：nn D x x x P R ⊂∈=∀),,,(21 ,|y ∃∈R （存在惟一y R ∈）按法则f 与P 对应,称y 为P 的函数（定义在D 上的一个n 元（实值）函数.其中集合D 为非空集合.记作EPQxyOxyO:n f D R R ⊂→ 或 12()(,,),n y f x f x x x x D ==∈. (1)D 称为函数的定义域, 记作)(f D .(2)n x x x ,,,21 称为函数的自变量, 12(,,,)n y f x x x =称为函数的因变量.(3){|(),}y y f P P D =∈称为函数的值域, 记作)(D f . 说明：1.二元或二元以上的函数均称为多元函数.2.二元函数(,)z f x y =定义域为：曲面(,)z f x y =在xoy平面上的投影. 3.n R ---实n 维空间，2R ---实2维空间. 例1(1 )求2222(,)1ln(9)f x y x y x y =+-+--的定义域．解：2229010x y x y ⎧-->⎪⎨+-≥⎪⎩2219x y ⇒≤+< 所以2222(,)1ln(9)f x y x y x y =+-+--的定义域为{}22(,)|19x y xy ≤+<.（2）22222(,)arccos(3)3x f x y x y x y =++-+-的定义域为{}2222(,)|243D x y x y x y =≤+≤+≠且.（3）2221(,)114f x y x x y =-++-的定义域为22(,)|1D x y x y ⎧⎫=+>≤⎨⎬⎩⎭1且x 4.{}222()(,)|24D f x y x y x y =≤+≤>且．5）求函数1(,)ln()arcsin()2f x y x y x y =+-++的定域.(4)求222)3arcsin(),(yx y x y x f ---=的定义．解：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--013222y x y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤+≤22242y x y x ， 所求函数定义域为yOx提示：1()(,)|12D f x y x y ⎧⎫=<+≤⎨⎬⎩⎭. （6）2221(,)114f x y x x y =-++-的定义域为22(,)|1D x y x y ⎧⎫=+>≤⎨⎬⎩⎭1且x 4说明：１）．在未加说明情况下，函数的定义域均指自然定义域． 如ln()z x y =+定义域是{}(,)|0x y x y +>，22arcsin()z x y =+定义域是{}22(,)|1x y x y +≤．2）．一元函数的单调性、奇偶性、周期性定义在多元函数中不在适用．但有界性定义仍然成立．多元函数有界定义：设有n 元函数12(,,)n z f x x x =，其定义域为n D R ⊂，集合X D ⊂，若存在正数M ..(),s t f x M x X ≤∀∈，则称()f x 在X 上有界．M 称为()f x 在X 上的一个界．例2判断正误(1)在球02222=-++z z y x 内部的点有( ).(a ))2,0,0( (b ))2,0,0(- (c ))21,21,21( (d ))21,0,21(-答 (c ,d ).将球面方程写成标准形式 1)1(222=-++z y x ,球内部的点应满足不等式1)1(222<-++z y x . (2)点)1,1,1(-在曲面( )上.(a )0222=-+z y x （旋转抛物面）(b )z y x =-22（双曲抛物面马鞍面）(c )222=+y x （圆柱面） (d ))ln(22y x z += 答 (a ,c ).曲面上的点应满足曲面方程, (3)点( )在平面052=+y x 上.(a ))3,0,0( (b ))0,3,0( (c ))0,2,5(- (d ))1,2,5(- 答 (a ,c ,d ).平面上的点应满足平面方程,(4)函数)ln(1y x z +=的定义域是( ).(a )0≠+y x (b )0>+y x (c )1≠+y x (d )0>+y x 且1≠+y x答 (d ).⎩⎨⎧≠+>+0)ln(0y x y x ⇒0>+y x 且1≠+y x ⇒选(d ).例3 复合函数（1） 已知3(,)23,(,)2()x xf x y x y f x y x y y y =++=++则.（2） 已知2222(,),(,)()()y y f x y x y f x y x y x x=-+=+-则.（3） 已知2221(,),(,)1y y f x y x y f x y x x y-+=-=+则. 提示：22221(,)()()1y y x y x f x y x y x y x y y x x y x--+=-=+=+++. （4）已知22(,),(,)f x y x y x y f x y xy +-=-=则.2、多元函数(1) 二元函数：2=n 时,函数)(P f u =称为二元函数. 常写成),(y x f z =. (2) 三元函数：3=n 时,函数)(P f u =称为二元函数. 常写成),,(z y x f u =.(3)多元函数：2≥n 时,函数)(P f u =称为多元函数. 另外, 1=n 时,函数)(P f u =称为一元函数.3、二元函数图形——}),(),,(|),,{(D y x y x f z z y x ∈=. 表现为空间中的一个曲面.三、多元函数极限O x yz D ),(y x f z =x yPM1、多元函数极限(1)【定义】：设区域)(f D D ⊂,∙∈D P 0（0P 为区域D 的聚点， 可以不在区域D 内）,A 是一个常数.若0>∀ε,0δ∃> ..s t δ<<||00P P ,D P ∈时,恒有 ε<-|)(|A P f , 则称A 为)(P f 当0P P →时的极限.记作A P f P P =→)(lim 0, 或 A P f →)(, )0(→ρ. 其中||0P P =ρ.（2）特别情况：2=n 时,极限为二元函数极限,常称为二重极限, 记作Ay x f y y x x =→→),(lim 00（22000||()()P P x x y y ρ==-+-）. 例4 求证 01sin)(lim 22220=++→→yx y x y x . 证明:01sin)(2222-++y x y x 22221sin yx y x +⋅+=22y x +≤ ,0>∀ε取,0>=εδ当δ<-+-<22)0()0(0y x 时, 恒有ε<-++01sin)(2222y x y x .所以 01sin )(lim 222200=++→→y x y x y x . 另证：因为22221lim()0,sin1x y x y x y→→+=≤+又因为 所以 01sin)(lim 222200=++→→y x y x y x .(3)0P P →必需具有任意性.多元函数极限的存在，是指P 在D 内以任何方式趋近于0P 时，函数)(P f 都无限接近于A反过来，如果当P 以不同方式趋近于0P 时，函数)(P f 趋近于不同的值，那末就可以断定这函数的极限不存在. 还句话说：要说极限不存在，只需举一个反例就够了.例5 讨论 2200limy x xyy x +→→ 的收敛性.解:令,kx y = 则2200limy x xyy x +→→22220lim 1x y kx x kx k x k x k →=⋅=++＝，极限值随k 的变化而变化所以极限2200limy x xyy x +→→是发散的．例6证明下列极限不存在（１）23300lim x y x y x y →→-：2233333000lim lim 1x x y y kxx y x y kx y x y k →→→===--- 结果随k 变化． （２）00limx y xy x y →→+：00lim x y xyx y →→+20011lim lim x x y kx xxy xk x y k k →→=--===-+结果随k 变化．其极限值随k 的不同而变化，故极限不存在． 2、二重极限计算多元函数极限同样具有一元函数极限类似的运算法则和性质（四则运算、复合函数的极限、两个重要极限、等价无穷小、夹逼原理仍成立）,但罗必达法则不再成立. 例7计算下列极限 解：（１）221lim )sin(lim )sin(lim )sin(lim20202020=⋅=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→→→→→→→→y xy xy y xy xy x xy y x y x y x y x . （２）22(,)(0,1)1lim sinx y xy x y→+ 因为22(,)(0,1)1sin1lim 0x y xy x y→≤=+且 所以22(,)(0,1)1lim sin x y xy x y→+＝０ （３）20lim 11x y xyxy →→+-＝20lim(11)2x y xy →→++=（４）2001limlim111011lim(1)[lim(1)]x x y y xx x y y x x yxx x y ee e x x→∞→∞→→++⋅+→∞→∞→+=+===（５）2222222222222200020002(sin )1cos()112lim lim lim 2()4()2x y x y x x x y y y x y x y x y x y e e→→→→→→+-+=⋅=++ （６）sin 1sin lim110sin 0011lim(1sin )lim(1sin )1x y xyxy yy xy xy xyxx x y y xy xy e e →∞→⋅⋅⋅⋅→→→→+=+===（7）3322220000lim lim()(1)x x y y x y xyx y x y x y →→→→+=+-++ 又22223112xy xy x y x y -≤+≤++ 且0lim()0x y x y →→+=， 故 332200lim 0x y x y x y →→+=+.（根据：有界变量与无穷小量的积还是无穷小量）.3333333222222200000(1)(1)lim lim lim lim 0(1)(1)x x x x y y kxx y x y x k x k x y x y x k k →→→→→=++++====++++ 计算为什么不正确？（因为只考虑了一种方式向原点趋进.）（8）求 4422lim y x y x y x ++∞→∞→.解：因 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+≤++≤2222224422112120y x y x y x y x y x , 由于 01121lim 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→y x y x , 于是 0lim 4422=++∞→∞→y x y x y x ．例8(06.7) 设xyxy xy y y x f arctan sin11),(π--+=,0>x ,0>y , 求 (Ⅰ)),(lim )(y x f x g y +∞→=; (Ⅱ) )(lim 0x g x +→.解 (Ⅰ))arctan sin11(lim ),(lim )(xyxy xy y y x f x g y y π--+==+∞→+∞→x x x yx yx x xx y y arctan 11)]sin1(arctan 111[lim ππππ--=--+=+∞→. (Ⅱ)0011lim ()lim()arctan x x xg x x xπ++→→-=-0arctan (1)0lim (arctan 0x x x x x x π+→--=型）20arctan (1)0lim (0arctan 0x x x x x x x x π+→--=→型,时，～）22200212(12)(1)1lim lim 22x x x x x x x πππ++→→-+--++===.例9 用极限定义证明 12lim(4)6x y x y →→+=．证明：(,)6464125f x y x y x y ρ-=+-≤-+-≤221)(2)x y ρ=-+-其中（，对于0ε∀>,05εδρδ=<<取则当时恒有(,)65f x y ρε-≤= 故12lim(4)6x y x y →→+=．四、多元函数的连续性 １．【定义】： １）设()(,)f P f x y =则)(P f 在点0P 处连续：)()(lim 00P f P f P P =→．其中, 区域)(f D D ⊂,D P ∈0且0P 为D 的聚点.2）)(P f 在点0P 间断：)(P f 在点0P 处不连续．3）)(P f 在D 内连续：)(P f 在区域D 内每一点连续．例10 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=.0 ,0 ,0 ,1sin )(),(22222222y x y x yx y x y x f 在)0,0(点连续．例11 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=.0 ,0 ,0 ,),(222222y x y x y x xy y x f 在)0,0(点间断．（函数在原点处的极限不存在）例12 函数11sin ),(22-+=y x y x f 在圆周122=+y x 上没有定义,因此),(y x f 在此圆周上的每一点都间断．（注意：多元函数的间断点可以是一条曲线）显然, 例10中的函数),(y x f 在整个2R 内连续．而函数221),(y x y x f --=在闭区域}1|),{(22≤+y x y x 上连续． ２．结论：多元连续函数的和、差、积、商(分母不为零)及复合函数均为连续函数． 一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的．从而在定义区域内有)()(lim 00P f P f P P =→， 如：(,)(1,2)22lim 2x y xy xy →++= ，22(,)(1,0)ln()lim ln 2y x y x e x y→+=+ 221(,)(0,)23lim arcsin 1arcsin 23x y x y π→--==． 五、有界闭区域上连续函数的性质【性质1】（有界性）：设)(P f u =在有界闭区域D 上连续，则u在D 上必有界．【性质2】（最大值和最小值定理）：设)(P f u =在有界闭区域D上连续，则u 在D 上必有最大值和最小值．【性质3】（介值定理）：设)(P f u =在有界闭区域D 上连续，ba ,是u 取得的两个不同的函数值,则u 在D 上取得介于b a ,之间的任何值．证明： 设)()(b a P f b P f a =≤=,连续折线βα≤≤=t t P P L ),(:连接b a P P ,．由于对于任一],[b a c ∈,因],[)]([βαC t P f u ∈=,故存在],[*βαC t ∈,使得c t P f P f ==)]([)(**，而D L P ⊂∈*．六、初等函数1、多元初等函数(1) 多元多项式: ∑n n n i i i i ni i i i i x x x a ,,,21,,,212121 例如: xz z y yz x 8532342-+．(2) 多元初等函数：多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子表示的函数称为多元初等函数．例如：y z x y x xy y x 4)(cos )ln()3sin(322++++ 2、性质(1) 一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的.(2) 设)(P f u =在区域D 内为初等函数, D P ∈0,则)()(lim 00P f P f P P =→.注: 0P 为)(f D 的内点时,也有)()(lim 00P f P f P P =→.例13 求 .lim 21xy y x y x +→→ 解: 因xyy x y x f +=),(为初等函数,}0,0|),{()(≠≠=y x y x f D , 而)2,1(是)(f D 的内点,所以有.232121)2,1(),(lim lim 2121=⋅+===+→→→→f y x f xy y x y x y x 例14 )11(11lim 11lim 11lim 000000++-+=-+=-+→→→→→→xy xy xy xy xy xy xy y x y x y x .2111001111lim 00=++⋅=++=→→xy y x 小结：１．多元函数：2≥n 时,函数)(P f u =称为多元函数.另外,1=n 时,函数)(P f u =称为一元函数．一元函数图象为平面图形.二元函数图形——}xyxfzx∈yy=.表现为空z),(,){(D,,(,|)间中的一个曲面．２．一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的．３．多元连续函数的和、差、积、商(分母不为零)及复合函数均为连续函数．多元连续函数在闭区域上仍具有有界性、最大值和最小值定理、介值定理仍成立．4．一元函数的无穷小性质、重要极限、极限的四则运算在多元函数求极限时仍成立，但罗必达法则不再成立．课后记：存在的问题：（1）多元函数极限不存在证明不知从何下手．（2）计算多元函数极限时乱用罗必达法则，另外用证明极限不存在的方法沿一条曲线极限存在就说函数极限存D f的集合表示写不好，在，运算错误较多．（3）定义域()D f的图形画不出来．二元函数的定义域()。
