八年级数学直角三角形教师讲义带答案资料

自学资料一、直角三角形【知识探索】1．如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等．（简记为：H.L）．【错题精练】例1．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1.0，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=______．【解答】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S2+S3=1.21，S3+S4=1.44，∴S1+S2+S3+S4=2.44．第1页共41页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训故填：2.44．【答案】2.44例2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，将边AB沿AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿AF翻折，使点C落在AD延长线上的点C′处，两条折痕与斜边BC分别交于点E，F，则线段C′F的长为（）A. 85B. √32C. 35D. 45【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，∴BC=10，∵将边AB沿AE翻折，使点B落在BC上的点D处，∴∠AEC=∠AEB，∠BAE=∠DAE，∵∠BED=180°，∴∠CEA=90°，即CE⊥AE，∵S△ABC=12AB×AC=12AE×BC，∴AE=4.8，在Rt△ACE中，CE=√AC2−AE2=6.4，∵将边AC沿AF翻折，使点C落在AD延长线上的点C′处，∴CF=C'F，∠CAF=∠C'AF，∵∠BAE+∠DAE+∠CAF+∠C'AF=∠BAC=90°，∴∠EAF=45°，且CE⊥AE，∴∠EAF=∠EFA=45°，∴AE=EF=4.8，∵CF=CE-EF=6.4-4.8=1.6，∴C'F=1.6=85，故选：A．【答案】A第2页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训例3．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【答案】解：（1）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．又∵∠ADE=45°，∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．∴∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=22，AE=AC-EC=2-BD=2-（22-2）=4-22，③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．第3页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=12AC=1．例4．△ABC是⊙O的内接三角形；（1）如图1，若BC=4√2，AC=7，∠ACB=45°，求⊙O的半径．（2）如图2，若AB=7，BC=5，AC=8，求∠C的度数及⊙O的半径．（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，BE是AC边上的高，连结BO．①请证明：∠CBE=∠ABO；②若AB=7，BC=6，AC=8，请求出⊙O的半径．【答案】解：（1）作直径BD，BH⊥AC于H，连结AD，如图1，在Rt△BCH中，CH=BH=√22BC=√22•4√2=4，∴AH=AC-CH=7-4=3，在Rt△ABH中，AB=√AH2+BH2=5，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，第4页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∵∠D=∠ACB=45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD=√2AB=5√2，∴⊙O的半径为5√22；（2）作直径BD，BH⊥AC于H，连结AD，如图2，设CH=a，BH=b，则AH=AC-CH=8-a，在Rt△BCH中，a2+b2=52①，在Rt△BAH中，（8-a）2+b2=72②，①-②得-64+16a=-24，解得a=52，在Rt△BCH中，∵BC=5，CH=52，∴∠CBH=30°，∴∠C=60°，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，∵∠D=∠ACB=60°，∴AD=√33AB=7√33，∴BD=2AD=14√33∴⊙O的半径为7√33；（3）①证明：作直径BD，连结AD，如图3，∵BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=90°，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，∴∠D+∠ABD=90°，∵∠D=∠ACB，∴∠CBE=∠ABO；②设CE=a，BE=b，则AE=AC-CE=8-a，在Rt△BCE中，a2+b2=62①，第5页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训在Rt△BAE中，（8-a）2+b2=72②，①-②得-64+16a=-13，解得a=5116，在Rt△BCE中，∵BC=6，CE=5116，∴BE=√BC2−CE2=21√1516，∵∠CBE=∠ABD，∴Rt△ABD∽Rt△EBC，∴BDBC =AB BE，∴BD=6×721√1516=32√1515，∴⊙O的半径为16√1515．例5．如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）若∠A=48°，求∠OCE的度数；（2）若CD=4√2，AE=2，求圆O的半径．【答案】解：（1）∵CD⊥AB，∠A=48°，∴∠ADE=42°．∴∠AOC=2∠ADE=84°，∴∠OCE=90°-84°=6°；（2）解：因为AB是圆O的直径，且CD⊥AB于点E，所以CE=12CE=12×4√2=2√2，在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，设圆O的半径为r，则OC=r，OE=OA-AE=r-2，所以r2=（2√2）2+（r-2）2，解得：r=3．所以圆O的半径为3．第6页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训例6．如图，点D在半圆O上，半径OB=√61，AD=10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC=90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD=90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD=√（2√61）2−102=12，BM=√BD2+DM2=√122+52=13，∴BH的最小值为BM-MH=13-5=8．故选：D．【答案】D例7．如图所示，P、Q分别是Rt△ABC两直角边AB、AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM⊥QM，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E．求证：（1）△MPD∽△MQE；（2）AD•PD=AE•EQ：（3）PB2+QC2=PM2+QM2．【答案】证明：（1）∵MD⊥AB于点D，ME⊥AC，∠A=90°，∴∠MDP=∠MEA=∠A=90°，∴四边形ADME是矩形，∴AD=EM，AE=DM，∠DME=90°，∵PM⊥QM，第7页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训∴∠PMQ=90°，∴∠DMP=∠EMQ，∴△MPD∽△MQE；（2）∵△MPD∽△MQE，∴PDEQ =DMEM，∵AD=EM，AE=DM，∴PDEQ =AEAD，∴AD•PD=AE•EQ；（3）如图，以M点为中心，△MCQ顺时针旋转180°至△MBN，∴△MCQ≌△MBN，∴BN=QC，MN=MQ，∠MBN=∠C，连接PN，PQ，∵PM⊥QM，∴PM垂直平分NQ，∴PN=PQ，∵△ABC是直角三角形，BC是斜边，∴∠ABC+∠C=90°，∴∠ABC+∠MBN=90°，即△PBN是直角三角形，根据勾股定理可得，PN2=PB2+BN2，∴PQ2=PB2+QC2，∵PQ2=PM2+QM2，∴PB2+QC2=PM2+QM2．例8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为（）cm2．A. 3cm2B. 4cm2C. 7cm2D. 49cm2第8页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49cm2．故选：D．【答案】D例9．如图，点E是Rt△ABC、Rt△ABD的斜边AB的中点，AC=BC，∠DBA=20°，那么∠DCE的度数是______．【解答】解：∵点E是Rt△ABD的斜边AB的中点，AB，∴ED=EB=12∴∠EDB=∠DBA=20°，∴∠DEA=∠EDB+∠DBA=40°，∵点E是Rt△ABC的斜边AB的中点，AC=BC，AB，CE⊥AB，∴EC=12∴∠DEC=130°，ED=EC，∴∠DCE=25°，故答案为：25°．【答案】25°例10．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值．第9页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=12EF=12AP．当AP⊥BC时，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高125，∴AM的最小值是65．例11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则CD的长为______．【解答】解：连接CD，∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，第10页共41页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∴∠B=60°，BC=12AB=2，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，∴△BCD是等边三角形，∴CD=BC=2，故答案为：2．【答案】2例12．（1）如图1是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；（2）一个长宽高分别为l，b．h的长方体纸箱装满了一层高为h的圆柱形易拉罐如图2．求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）；（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？【答案】解：（1）由题意，⊙O是△ABC内接圆，D为切点，如图1，连结OD，OC．设⊙O半径为r，纸盒长度为h'，则CD=√3r，BC=2√3r则圆柱型唇膏和纸盒的体积之比为：πr2ℎ′√34（2√3r）2ℎ′=√39π（若设△ABC的边长为a,则圆柱型唇膏和纸盒的体积比为112πa2ℎ′√34a2ℎ′=√39π）（2）易拉罐总体积和纸箱容积的比：l2r•b2r•πr2ℎlbℎ=π4；（3）∵√39ππ4=4√39=√4881＜1∴第二种包装的空间利用率大．例13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【答案】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=12AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=12AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=12AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=12AC=1，∴BN=√2例14．如图，点D为线段AB延长线上一点，△ABC和△BDE分别是以AB，BD为斜边的等腰直角三角形．连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆圆O交CF与点M．若AB=6，BD=2．（1）求CE长度；（2）证明：AC2=CM•CF；【答案】解：（1）∵△ABC 和△BDE 等腰直角三角形，AB=6，BD=2．∴BC=√22AB=3√2，BE=√22BD=√2，∠ABC=∠EBD=45°，∴∠CBE=90°，∴CE=√CB 2+BE 2=2√5；（2）证明：连接AM ，则∠AMC=∠ABC=∠CAF=45°，∵∠ACM=∠FCA∴△ACM ∽△FCA ，∴AC CF =CM AC ，∴AC 2=CM•CF ；（3）∵∠ABC=∠BDE ，∴DE ∥BC ，∴△EDF ∽△CBF ，∴DF BF =DE BC =EF CF ，∴EF EF+CE =DF BD+DF =√23√2=13，∴BF=3，CF=3√5，∵BF•AF=FM•CF ，∴FM=9√55， ∴CM=3√5-9√55=6√55．例15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 在第一象限，点B ，C 的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC ，直线AB 交x 轴于点P ．若△ABC 与△A'B'C'关于点P 成中心对称，则点A'的坐标为______．【解答】解：如图：点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得BC=4．由∠BAC=90°，AB=AC，得AB=2√2，∠ABD=45°，∴BD=AD=2，A（4，3），设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得{2k+b=14k+b=3，解得{k=1b=−1，AB的解析式为y=x-1，当y=0时，x=1，即P（1，0），由中点坐标公式，得x A′=2x P-x A=2-4=-2，y A′=2y A′-y A=0-3=-3，A′（-2，-3）．故答案为：（-2，-3）．【答案】（-2，-3）例16．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为______．【解答】解：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=2+2=4；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°，又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴CE=DE=2×√2=√2，2在Rt△BAC中，BC=√22+22=2√2，∴BD=√BE2+DE2=√（2√2+√2）2+（√2）2=2√5；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=ACsin45°=2×√2=√2，2又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°，又∵在Rt△ABC中，BC=√22+22=2√2，∴BD=√BC2+CD2=√（2√2）2+（√2）2=√10．故BD的长等于4或2√5或√10．【答案】4或2√5或√10【举一反三】1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，BC=4√3，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B'DE的位置，B'D交AB于点F．若△AB'F为直角三角形，则AE的长为______．【解答】解：①如图1中，当∠AFB′=90°时．在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=4，∴AB=2AC=8，∵BD=CD，∴BD=CD=12BC=2√3，由折叠的性质得：∠BFD=90°，B'E=BE，∴∠BDF=60°，∴∠EDB=∠EDF=30°，∴∠B=∠EDB=30°，∴BE=DE=B'E，∵∠C=∠BFD=90°，∠DBF=∠ABC=90°，∴△BDF∽△BAC，∴BFBC =BDAB，即BF4√3=2√38，解得：BF=3，设BE=DE=x，在Rt△EDF中，DE=2EF，∴x=2（3-x），②如图2中，当∠AB′F=90°时，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．设AE=x．∵AD=AD，CD=DB′，∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），∴AC=AB′=4，∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°，∴∠EB′H=60°，在Rt△EHB′中，B′H=12B′E=12（8-x），EH=√3B′H=√32（8-x），在Rt△AEH中，∵EH2+AH2=AE2，∴[√32（8-x）]2+[4+12（8-x）]2=x2，解得：x=285，综上所述，满足条件的AE的值为6或285．故答案为：6或285．【答案】6或2852．如图，已知∠ACB=90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB，BC，CA为一边向△ABC外作正方形ABDE，正方形BCMN，正方形CAFG，连接EF，GM，设△AEF，△CGM的面积分别为S1，S2，则下列结论正确的是（）A. S1=S2B. S1＜S2C. S1＞S2D. S1≤S2【解答】解：过E作ER⊥AF，交FA的延长线于R，设△ABC的三边BC，AC，AB的长分别为a、b、c，∵分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，∵AE=AB，∠ARE=∠ACB=90°，∠EAR=∠CAB，∴△AER≌△ABC，∴ER=BC=a，而FA=b，1∵CG=b ，CM=a ，∴S 2=12ab ，∴S 1=S 2，故选：A ．【答案】A3．如图，在△AOB 中，已知∠AOB=90°，AO=3，BO=4．将△AOB 绕顶点O 按顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）到△A 1OB 1处，此时线段OB 1与边AB 的交点为点D ，则在旋转过程中，线段B 1D 长的最大值为（ ）A. 4.5B. 5C. 125D. 85【解答】解：因为OB 1的长度是定值，所以当OD 最短即可OD ⊥AB 时，B 1D 长的取最大值．∵如图，在△AOB 中，已知∠AOB=90°，AO=3，BO=4，∴AB=√OA 2+OB 2=√32+42=5，则12OA•OB=12AB•OD ，OD=OA•OB AB =3×45=125． 由旋转的性质知：OB 1=OB=4，∴B 1D=OB 1-OD=4-125=85．即线段B 1D 长的最大值为85．【答案】D4．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：PD=PF；（3）连接CD，若CD=3，BD=4，求⊙O的半径和DE的长．【答案】（1）证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA，∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，∴∠ADB=∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，∴∠ADE=∠DBA，∴∠DAC=∠ADE，∴∠DAC=∠DBA；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，∴∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DAC=90°，又∵∠ADE=∠DAP，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF；（3）解：连接CD，∵∠CBD=∠DBA，∵CD=3，∴AD=3，∵∠ADB=90°，∴AB=5，故⊙O的半径为2.5，∵DE×AB=AD×BD，∴5DE=3×4，∴DE=2.4．即DE的长为2.4．5．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=1BC．2（1）求∠BAC的度数；（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的长．【答案】（1）解：连接OB和OC；∵OE⊥BC，∴BE=CE；BC，∵OE=12∴∠BOC=90°，∴∠BAC=45°；（2）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°；由折叠可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；∴四边形AFHG是正方形；（3）解：由（2）得，∠BHC=90°，GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4；设AD的长为x，则BH=GH-GB=x-6，CH=HF-CF=x-4．在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2，∴（x-6）2+（x-4）2=102；解得，x1=12，x2=-2（不合题意，舍去）；∴AD=12．6．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm，则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为______cm2．【解答】解：如右图所示，根据勾股定理可知，S正方形2+S正方形3=S正方形1，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形3，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=S正方形1=122=144．故答案是144．【答案】1447．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=√2，点D位于边BC的中点上，点E在AB上，点F 在AC上，∠EDF=45°．（1）求证：∠DFC=∠EDB；（2）求证：CF•BE=1；（3）当BE=1时，求△FCD的面积．【答案】（1）证明：∵∠EDF=45°，∴∠EDB+∠FDC=135°，∵∠B=∠C=45°，∴∠DFC+∠FDC=135°，∴∠BDE=∠DFC；（2）证明：∵∠B=∠C，∠BED=∠FDC，∴△BDE∽△CFD，∴BDFC =BECD，∴CF•BE=BD•CD=1，（3）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=√2，∴BC=2，∵点D位于边BC的中点上，∴BD=DC=BE=1，∠B=∠C=45°，∴∠BDE=67.5°，∠EDF=45°，∴∠FDC=∠DFC=67.5°，CF=CD=1，∴DC边上的高是√22，∴S△CDF=12×1×√22=√24．8．如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，E为AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在对角线BD上的点F处，则折线BE的长为（）A. 2√5B. 3√3C. 3√5D. 6√3【解答】解：在Rt△BCD中，利用勾股定理得BD=10，设AE=x，则EF=x，DE=8-x，在Rt△DEF中，∵BF=AB=6，∴DF=10-6=4．则（8-x）2=x2+42，解得x=3，在Rt△ABE中，BE=√AB2+AE2=√32+62=3√5．故选：C．【答案】C9．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若CF=6，AC=AF+2，则四边形BDFG的周长为（）A. 9.5B. 10C. 12.5D. 20【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，AC，∴BD=DF=12∴四边形BGFD是菱形，设AF=x，则AC=x+2，FC=6，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即x2+62=（2+x）2，解得：x=8，故AC=10，故四边形BDFG的周长=4BD=2×10=20．故选：D．【答案】D10．如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，CE=√5，CD=2．（1）求直径BC的长；（2）求弦AB的长．【答案】解：（1）∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC=90°，由CE=√5，CD=2，得DE=1，∵△ADE∽△BCE，∴ADBC =DECE，∴BC=2√5．（2）∵△ABE∽△DCE，∴AEAB =DEDC=12，设AE=x，∵AB2+AC2=BC2，∴（x+√5）2+（2x）2=（2√5）2，解得：x=−2√5±8√510，∵x＞0，∴x=35√5，∴AB=2x=65√5．11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB 于点D，则CD̂的长为（）A. 16π B. 13πC. 23π D. 2√33π【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，∴∠B=60°，BC=2∴CD̂的长为60π×2180=2π3， 故选：C ．【答案】C12．如图，△ABC 中，∠C=90°，CA=CB ，E 、F 分别为CA 、CB 上一点，CE=CF ，M 、N 分别为AF 、BE 的中点．求证：AE=√2MN ．【答案】证明：如图，取AB 的中点G ，连接MG 、NG ，∵M 、N 分别为AF 、BE 的中点，∴NG=12AE ，NG ∥AE ，MG=12BF ，MG ∥BF ，∵CE=CF ，∠C=90°，∴AE=BF ，∠MGN=∠C=90°，∴MG=NG ，∴△MNG 是等腰直角三角形，∴NG=√22MN ，∴AE=2NG=NG=√22×2MN=√2MN ，即AE=√2MN ．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，点D 是BC 上一动点，连接AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点E 处，连接DE 交AB 于点F ，当△DEB 是直角三角形时，DF 的长为______．【解答】解：①如图1中，当∠EDB=90°，四边形ACDE是正方形，此时CD=AC=6，∵BC=√AB2−AC2=8，∴BD=BC-CD=8-6=2，∵tan∠ABC=DFBD =AC BC，∴DF2=6 8，∴DF=32．②如图2中，当∠DEB=90°时，AC=AE=6，则BE=4，设CD=DE=x，在Rt△BDE中，（8-x）2=x2+42，∴x=3，综上所述，满足条件的DF的值为3或32．故答案为3或32．【答案】3或3214．在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，则斜边中线长为______．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，①AB为斜边时，斜边中线长为12AB=2.5；②AB和BC为直角边长时，由勾股定理得：斜边长=√52+32=√34，则斜边中线长为12AC=√342；故答案为：2.5或√342．【答案】2.5或√34215．已知如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，D是线段AC延长线上的一点，连结DB、DE，DE与BC交于点G．给出下列结论：①若AD=BD，则AC•AD=AE•AB；②若AB=BD，则DG=2GE；③若CD=BE，则∠A=2∠ADE．其中正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【解答】解：①∵AD=BD，E是斜边AB的中点，∴DE⊥AB，又∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴ACAE =ABAD，即AC•AD=AE•AB，①正确；②∵AB=BD，∠ACB=90°，∴BC是△ABD的中线，又DE是△ABD的中线，∴点G是△ABD的重心，∴DG=2GE，②正确；③连接CE，∵∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，∴EC=EA=EB，∴∠A=∠ECA，CD=CE，∴∠CDE=∠CED，∵∠ECA=∠CDE+∠CED=2∠ADE，∴∠A=2∠ADE，③正确；故选：D．【答案】D16．已知：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、AC上，将△AMN沿直线MN折叠，点A落在点P处，且点P在射线CB上，当△PNC为直角三角形时，PN的长为______．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=√32+42=5，设AN=PN=x，则CN=5=x①当∠NPC=90°时，如图1，∵∠NPC=∠B=90°，∠C=∠C，∴△NPC ∽△ABC ，∴PN AB =CNAC ，∴x 4=5−x 5， x=209，即PN=209；②当∠PNC=90°时，如图2，∵∠PNC=∠ABC=90°，∠C=∠C∴△NPC ∽△ABC ，∴PN AB =NC AC ，∴x 4=5−x 3， x=207，即PN=207；综上，PN 的长为209或207．故答案为：209或207．【答案】209或207．1．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB=90°，求证：a 2+b 2=c 2证明：连接DB ，过点D 作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，则DF=b-aS四边形ADCB=S△ADC+S△ABC=-12b2+12abS四边形ADCB=S△ADB+S△BCD=12c2+12a（b-a）∴12b2+12ab=12c2+12a（b-a）化简得：a2+b2=c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明如图（2）中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2【答案】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab，又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a（b-a），∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a（b-a），∴a2+b2=c2．2．如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE=13AB，AF=13AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A. S1+S3=2S2B. S1+S3=4S2C. S1=S3=S2D. S2=13（S1+S3）【解答】解：∵在Rt△ABC中，AE=13AB，AF=13AC，∴AE=12BE，AF=12CF，EF2=AE2+AF2，∴EF2=14BE2+14CF2．∴12π•14EF2=18π•（14BE2+14CF2），即S2=14（S1+S3）．∴S1+S3=4S2．故选：B．【答案】B3．如图，沿折痕AE叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，且△ABF的面积为24，求EC的长．【答案】解：∵S△ABF=24，AB=8，∴BF=6．∴AF=10=AD．∴FC=4．设EC=x，则EF=DE=8-x．根据勾股定理，得CF2+CE2=EF2即16+x2=（8-x）2，∴x=3．即EC=3．4．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，且∠AOB与∠COD互补，弦CD=8，则弦AB的长为（）A. 6B. 8C. 5√2D. 5√3【解答】解：解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴AB=√AE2−BE2=√102−82=6，故选：A．【答案】A5．△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）A. 95B. 125C. 185D. 365【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC=3，BC=4，∴AB=√32+42=5．过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，由垂径定理可得M为AE的中点，∵S△ABC=12AC•BC=12AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，∴CM=125，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（125）2，解得：AM=95，∴AE=2AM=185．故选：C．【答案】C6．如图，已知平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF交于H，BF、AD的延长线交于G，下面结论正确的是（）①DB=√2BE；②∠A=∠BHE；③连CG，则四边形BCGD为平行四边形；④AD2+DH2=2DC2．A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④【解答】解：∵∠BDE=45°，DE⊥BC，∴DB=√2BE，BE=DE．∵DE⊥BC，BF⊥CD，∴∠BEH=∠DEC=90°．∵∠BHE=∠DHF，∴∠EBH=∠CDE，∴△BEH≌△DEC，∴∠BHE=∠C，BH=CD，EH=EC，∵▱ABCD中，∴AD=BC，∠A=∠C，∴∠A=∠BHE，∴AD2+DH2=BC2+DH2=（BE+EC）2+（DE-HE）2=（BE+HE）2+（BE-HE）2=2BE2+2HE2=2（BE2+HE2）=2BH2=2DC2，∴正确的有①②④．故选：C．【答案】C7．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若FG=5，CF=6，则四边形BDFG的面积为______．【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CE⊥BD，∴CE⊥AG，又∵BD为AC的中线，AC，∴BD=DF=12∴四边形BDFG是菱形，过点B作BH⊥AG于点H，∵四边形BDFG是菱形，∴GF=DF=5，∵∠BEF=∠EFH=∠BHF=90°，∴四边形BHFE是矩形，∴BH=EF=1CF=3，2∴S菱形BDFG=GF•BH=15．故答案为：15．【答案】158．已知△ABC中，∠BAC=60°，D是线段BC上一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E、F．（1）如图1，若AD=4，求EF的长；（2）如图2，若∠ABC=45°，AB=2√2，求EF的最小值．【答案】解：（1）作直径EP，连结PF，如图1，∵EP为⊙O的直径，∴∠EFP=90°，∵∠P=∠EAF=60°，∴∠PEF=30°，∴PF=12PE，EF=√3PF=√32EP，∵EP=AD=4，∴EF=√32×4=2√3；（2）∵EF=√32EP=√32AD，∴当AD最小时，EF最小，当AD⊥BC时，AD最小，如图2，∵∠ABC=45°，AB=2√2，∴AD=√2AB=2，2∴EF=√3×2=√3，2即EF的最小值为√3．9．如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，求BD的长．【答案】解：∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，∴BD=DB′，AB′=AB=10．如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8-x．在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，即（6+x）2+（8-x）2=102．解得：x1=2，x2=0（舍去）．∴BD=2．如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．∵AB′=10，AC=6，∴B′E=4．设BD=DB′=x，则CD=8-x．在Rt△′BDE中，DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8-x）2+42．解得：x=5．∴BD=5．综上所述，BD的长为2或5．10．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB 上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连结CD交AB于点E．点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（）A. 一直减小B. 一直不变C. 先变大后变小D. 先变小后变大【解答】解：连接OC，OD，PD，CQ．设PC=x，OP=y．延长CP 与圆交于点F，∵PC⊥AB，QD⊥AB，∴∠CPO=∠OQD=90°，∵PC=OQ，OC=OD，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴∠FOD=90°，∴∠PCE=45°，∴OP=DQ=y，∴△CEP与△DEQ的面积和为S=（x2+y2）÷2=OD2÷2=12.5．故选：B．【答案】B11．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD=AN；（2）若AB=8，ON=1，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB∴∠CEB=90°∴∠C+∠B=90°，同理∠C+∠CNM=90°∴∠CNM=∠B∵∠CNM=∠AND∴∠AND=∠B，∵AĈ=AĈ，∴∠D=∠B，∴∠AND=∠D，∴AN=AD；（2）解：设OE的长为x，连接OA∵AN=AD，CD⊥AB∴DE=NE=x+1，∴OD=OE+ED=x+x+1=2x+1，∴OA=OD=2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2=OA2，∴x2+42=（2x+1）2．解得x=53或x=-3（不合题意，舍去），∴OA=2x+1=2×53+1=133，即⊙O的半径为133．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．（1）若∠A=28∘，求∠ACD的度数．（2）设BC=a，AC=b．①线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根吗？说明理由．②若AD=EC，求ab的值．【解答】（1）解：∵∠ACB=90∘，∠A=28∘，∴∠B=62∘，∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=59°，∴∠ACD=90∘−∠BCD=31∘；（2）解：①由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√a2+b2，∴AD=√a2+b2−a，解方程x2+2ax−b2=0得，x=−2a±√4a2+4b22=±√a2+b2−a，∴线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根；②∵AD=AE，∴AE=EC=b2，由勾股定理得，a2+b2=（12b+a)2，整理得，ab =34．【答案】（1）∠ACD=31∘；（2）①线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根；②ab =34．13．（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上，且CE=CA，求∠DAE的度数；（2）如果把第（1）题中“AB=AC”条件删去，其余条件不变，那么∠DAE的度数改变吗？试证明；（3）如果把（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，试探究∠DAE与∠BAC非学科培训∠BAC．理由：设∠CAE=x，∠BAD=y，则∠B=180°-2y，∠E=∠CAE=x，∴∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x，∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x，∴∠DAE=12∠BAC．第41页共41页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训。

解直角三角形一、知识点讲解：1．解直角三角形的依据在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么（1）三边之间的关系为（勾股定理）（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系为2．其他有关公式面积公式：（hc为c边上的高）3．解直角三角形的条件在除直角C外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。

4．解直角三角形的关键是正确选择关系式在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？（1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数（2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。

（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。

5．解直角三角形时需要注意的几个问题（1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。

（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。

（3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算二、例题解析：例1、已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm，另一条直角边为8cm，求它的面积，解：设斜边为c，一条直角边为a，另一条直角边b=8cm，由勾股定理可得，由题意，有c+a=16 ，b=8例2、在△ABC中，求：a、b、c的值及∠A。

解：，由直角三角形的边角关系，得，即又∵a+b=3+例3、已知△ABC中，∠C=90°，若△ABC的周长为30，它的面积等于30，求三边长。

第三部分直角三角形一、知识梳理：1.直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：222+=a b c （5）勾股数：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．2.直角三角形的判定：（1）有一个角是90°的三角形是直角三角形；（2）有两个角的三角形是直角三角形；（3）如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（4）勾股定理逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c满足关系式：222+=a b c，那么这个三角形是直角三角形．二、题型练题型一直角三角形的两锐角互余例1.若直角三角形的一个锐角为15︒，则另一个锐角等于________．75°【分析】根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵另一个锐角为15°，∴另一个锐角为180°－90°－15°＝75°，故答案为：75°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两锐角互余．变式11.如图，直线a ∥b ，直线l 与a 、b 分别相交于A 、B 两点，过点A 作直线l 的垂线交直线b 于点C ，若∠1＝60°，则∠2的度数为（）A.30°B.35°C.40°D.60°【答案】A【解析】【分析】由AC l ⊥及160∠=︒，可求得ACB ∠的度数，再由//a b 即可求出2∠的度数．【详解】∵AC l ⊥，160∠=︒∴90130ACB ∠=︒-∠=︒∵//a b∴230ACB ∠=∠=︒故选：A【点睛】本题主要考查了平行线的性质及直角三角形的性质．题型二直角三角形斜边上的中线例2.如图在ABC ∆中，CF AB ⊥于F ，BE AC ⊥于E ，M 为BC 的中点，5EF ＝，EFM ∆的周长为13，则BC 的长是（）A .6B .8C .10D .12B 【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC ＝2MF ＝2EM ，所以MF ＝EM ，然后列式整理得到△EFM的周长＝BC＋EF，代入数据进行计算即可．【详解】解：∵在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，∴BC＝2MF，BC＝2EM．∴MF＝EM．∴△EFM的周长＝MF＋EM＋EF＝BC＋EF．∵EF＝5，△EFM的周长为13，∴BC＝13－5＝8故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握性质是解题的关键．变式22.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB=90°，且AB=8，BC=14，则EF的长是（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC=14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，∴DF=12AB=4，∵BC=14，D、E分别是AB，AC的中点，∴DE=12BC=7，∴EF=DE-DF=3，故选：B【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．题型三直接考查勾股定理例3.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为（）A.4B.5C.4或5D.5C【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边长和直角边长两种情况讨论．【详解】解： 直角三角形的两边长分别为3和4，∴①4是此直角三角形的斜边长；②当45=．综上所述，斜边长为4或5故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．变式33.如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=（）A. 2.5B.3C.2D.3.5【答案】C【解析】【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再根据题意可得到AD=AC，根据BD=AB-AD即可算出答案．【详解】解：∵AC =3，BC =4，∴AB =5，∵以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，∴AD =AC ，∴AD =3，∴BD =AB -AD =5-3=2．故选C ．【点睛】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．题型四勾股数例4.下列数组是勾股数的是（）A .2、3、4B .0.3、0.4、0.5C .6、8、10D .7、12、15C【分析】根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可．【详解】A ．22223134+=≠，此数组不是勾股数；B ．0.3、0.4、0.5不是整数，此数组不是勾股数；C ．222 6810+=，此数组是勾股数；D ．222 71219315+=≠，此数组不是勾股数；故选：C ．【点睛】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC 的三边满足222+=a b c ，则△ABC 是直角三角形．变式44.如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的边长是3、5、2、3，则最大正方形E 的边长是（）A.13B.C.47D.【答案】B【解析】【分析】设中间两个正方形的边长分别为x 、y ，最大正方形E 的边长为z ，根据勾股定理进行求解．【详解】设中间两个正方形的边长分别为x 、y ，最大正方形E 的边长为z ，由勾股定理得：x 2＝32+52＝34，y 2＝22+32＝13，z 2＝x 2+y 2＝47，即最大正方形E 的面积为：z 2＝47，边长为z 故选B ．【点睛】本题考查勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解题的关键．题型五勾股定理的证明例5.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止己有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中b a >，点E 在线段AC 上，点B D 、在边AC 两侧，试证明：222+=a b c ．见解析．【分析】首先连结BD ，作DF BC ⊥延长线于F ，则AE b a =-，根据Rt ABC Rt DAE D @D ，易证90DAB ︒∠=，再根据ADE ABC ADFB DFCE S S S S D D =++四边形四边形，ADB DFB ADFB S S S ∆∆=+四边形，两者相等，整理即可得证．【详解】证明：连结BD ，作DF BC ⊥延长线于F ，则AE b a=-ADE ABC ADFB DFCES S S S D D =++四边形四边形()1122ab ab b a b =++-⋅2ab b ab=+-2b =Rt ABC Rt DAE∆≅∆ AB AD c\==ADE BAC∴∠=∠90ADEDAE °??Q 90BAC DAE °\??即90DAB ︒∠=，∴AD AB⊥∴ADB DFBADFB S S S ∆∆=+四边形()()21122c a b b a =++⋅-222111222c b a =+-即有：2222111222b c b a =+-∴222+=a b c 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ADFB 的面积是解本题的关键．变式55.勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦c 为边长所得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形EFGH 组成的，其中BF a =，AF b =．（1）请利用面积相等证明勾股定理；（2）在图1中，若大正方形ABCD 的面积是13，2BF =，求小正方形EFGH 的面积；（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形MNKT 由八个全等的直角三角形和正方形EFGH 拼接而成，记图中正方形MNKT ，正方形ABCD ，正方形EFGH 的面积分别为1S ，2S ，3S ．若12348S S S ++=，求边AB 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）4【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积证明可得结论；（2）由勾股定理可得AF 的长，从而可得小正方形的边长，进一步可求出小正方形的面积；（3）分别求出正方形MNKT ，正方形ABCD ，正方形EFGH 的边长，求出其面积，代入12348S S S ++=，进一步整理可得解．【详解】解：（1）∵Rt ABF Rt DAE Rt CDH Rt BCG∆≅∆≅∆≅∆∴BF AF DH CG a ====，AF DE CH BG b====∴小正方形EFGH 的边长=b a-又大正方形的边长为c∴正方形ABCD 的面积为2c ，4个全等直角三角形的面积和为2ab ，正方形EFGH 的面积为()2b a -，由“大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积”得;2214()2c ab b a =⨯+-∴()222c ab b a =+-经过整理可得222c a b =+（2）∵大正方形ABCD 的面积是13，∴213c =∵2BF =，且222BF AF AB +=∴2221349AF AB BE =-=-=∴3AF =(负值舍去)∴321EF =-=∴小正方形EFGH 的面积为1；（3）∵正方形MNKT 由八个全等的直角三角形和正方形EFGH 拼接而成，∴AM AF b ==，MB BF a ==，∴正方形MNKT 的边长为a b +，∴正方形MNKT 的面积为()2a b +．而正方形ABCD 的边长为c ，正方形EFGH 的边长为()b a -，∴正方形ABCD 的面积为2c ，正方形EFGH 的面积为()2b a -，∴()()22248a b c b a +++-=，整理得，2348c =，∴4c =（负值舍去）【点睛】此题考查的是勾股定理的证明和应用，能够准确识图是解答本题的关键．题型六勾股定理的实际应用例6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m ，顶端距离地面2m ，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m ，那么小巷的宽度为（）A .3.2mB .3.5mC .3.9mD .4mC【分析】如图，在Rt △ACB 中，先根据勾股定理求出AB ，然后在Rt △A ′BD 中根据勾股定理求出BD ，进而可得答案．【详解】解：如图，在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，BC ＝1.5米，AC ＝2米，∴AB 2＝1.52＋22＝6.25，∴AB ＝2.5米，在Rt △A ′BD 中，∵∠A ′DB ＝90°，A ′D ＝0.7米，BD 2＋A ′D 2＝A ′B 2，∴BD 2＋0.72＝6.25，∴BD 2＝5.76，∵BD＞0，∴BD＝2.4米，∴CD＝BC＋BD＝1.5＋2.4＝3.9米．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．变式66.小明想知道学校旗杆多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开10m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A.16mB.20mC.24mD.28m【答案】C【解析】【分析】根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【详解】解：如图：设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，在Rt△ABC中，BC=10米，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，∴x2+102=（x+2）2，解得：x=24，∴AB=24．∴旗杆的高24米，故选：C ．【点睛】本题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，解题关键是构造直角三角形利用勾股定理列出方程．题型七勾股定理的逆定理例7.下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（）A .4，5，6B .7，24，25C .5，12，13D .1，2A【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．【详解】解：A 、∵222456+≠，∴三条线段不能组成直角三角形，故A 选项符合题意；B 、∵22272425+=，∴三条线段能组成直角三角形，故B 选项不符合题意；C 、∵22251213+=，∴三条线段能组成直角三角形，故C 选项不符合题意；D 、∵22212+=，∴三条线段能组成直角三角形，故D 选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟悉定理是关键．变式77.在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 三点均在正方形格点上，若AD 是ABC 的高，则AD 的长为（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】结合格点的特点利用勾股定理求得AB 2，AC 2，BC 2，然后利用勾股定理逆定理判定△ABC 的形状，从而利用三角形面积求解．【详解】解：由题意可得：2222420AB =+=222215AC =+=2223425BC =+=∵222+AB AC BC =∴△ABC 是直角三角形又∵AD 是ABC 的高∴1122AC AB BC AD ⋅=⋅，11522AD ⨯，解得：=2AD 故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理，利用网格特点，准确计算是解题关键．题型八勾股定理的逆定理的应用例8.如图所示的网格是正方形网格，ABC ∆是（）三角形．A .锐角B .直角C .钝角D .等腰A【分析】根据勾股定理求出三边的长，再利用勾股定理逆定理可作判断．【详解】解：根据网格图可得：2224117AC =+=，2223110AB =+=，2224325CB =+=，222171025AC AB CB +=+>= ，ABC ∆∴是锐角三角形，故选：A ．【点睛】本题考查了三边的关系，会利用三边关系确定三角形的形状：若三角形的三边分别为a 、b 、c ，①当a 2＋b 2＞c 2时，△ABC 为锐角三角形；②当a 2＋b 2＜c 2时，△ABC 为钝角三角形；③当a 2＋b 2＝c 2时，△ABC 为直角三角形．变式88.甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75︒的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（）A.北偏西15︒B.南偏西75°C.南偏东15︒或北偏西15︒D.南偏西15︒或北偏东15︒【答案】C【解析】【分析】先求出出发1.5小时后，甲乙两船航行的路程，进而可根据勾股定理的逆定理得出乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，进一步即可得出答案．【详解】解：出发1.5小时后，甲船航行的路程是16×1.5=24海里，乙船航行的路程是12×1.5=18海里；∵222241857632490030+=+==，∴乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，∵甲船的航行方向是北偏东75°，∴乙船的航行方向是南偏东15°或北偏西15°．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和方位角，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．题型九勾股定理与折叠问题例9.如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝CD ＝4，AD ＝BC ＝8，∠BAD ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，使点G 与点D 重合．（1）求证：AE ＝AF ；（2）求GF 的长．（1）详见解析；（2）3【分析】（1）根据翻折的性质可得AEF CEF ∠=∠，根据两直线平行，内错角相等可得∠=∠AFE CEF ，然后求出AEF AFE ∠=∠，根据等角对等边可得AE AF =；（2）根据翻折的性质可得AE CE =，设AE CE x ==，则8BE x =-，再根据勾股定理有：2224(8)x x =+-，于是有5AE AF ==，进而得到3GF FD ==．【详解】解：（1）由翻折的性质得，AEF CEF ∠=∠，矩形ABCD 的对边//AD BC ，AFE CEF ∴∠=∠，AEF AFE ∴∠=∠，AE AF ∴=；（2）由翻折的性质得，AE CE =，设AE CE x ==，则8BE x =-，在Rt ABE ∆中，222AE AB BE =+，2224(8)x x ∴=+-，解得：5x =，5AE ∴=，又由（1）可知，5AF =，853FD AD AF ∴=-=-=，由翻折的性质得，3GF FD ==．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出AE 的长度是解题的关键．变式99.如图，在Rt ABC 中，90,5,8ACB AC BC ∠=︒==，点D 是边BC 的中点，点E是边AB 上的任意一点（点E 不与点B 重合），沿DE 翻折DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 长的最小值是（）A.2B.4-C.3D.4-【答案】B【解析】【分析】连接AD ，以D 为圆心，以CD 为半径画圆，交AD 于G ，根据题意可知点F 在D 上，当G 和F 重合时AF 有最小值，然后利用勾股定理计算长度即可．【详解】解：连接AD ，以D 为圆心，以CD 为半径画圆，交AD 于G ，根据题意可知点F 在D 上，当G 和F 重合时AF 有最小值，∵点D 是边BC 的中点，∴142CD GD BC ===,在Rt △ACD 中AD =∴4AG AD GD =-=．故选：B【点睛】本题主要考查圆的性质和勾股定理，能够找到点F 的运动轨迹是解题的关键．题型十最短距离问题例10.如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，它爬的最短距离是_____．25【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：如图所示：台阶平面展开图为长方形，根据题意得：20AC =，55515BC =++=，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：222AB AC BC =+，即2222015AB =+，∴25AB =，故答案为：25【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．变式1010.如图，正方形ABCD ，AB 边上有一点E ，3AE =，1EB =，在AC 上有一点P ，使为EP BP +最短．则最短距离EP BP +为_________．【答案】5【解析】【分析】连接DE ，交直线AC 于点P ，根据四边形ABCD 是正方形可知B 、D 关于直线AC 对称，所以DE 的长即为EP+BP 的最短距离，再根据勾股定理即可得出结论．【详解】连接DE，交直线AC于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于直线AC对称，∴DE的长即为EP+BP的最短距离，∵AE=3，EB=1，∴AD=AB=AE+BE=4，∴5==．故答案为：5．【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题、正方形的性质以及勾股定理的运用，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．实战练11.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（）A0.5km A.0.6km B.0.9km C.1.2km【答案】D【解析】【详解】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得距离为1.2km.故选D视频12.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90︒，AC ＝4，BC ＝3，把Rt △ABC 绕着点A 逆时针旋转，使点C 落在AB 边的C ′上，C'B 的长度是（）A.1B.32C.2D.52【答案】A【解析】【分析】首先由勾股定理求出AB =5，再由旋转的性质得出4AC AC '==，从而可求出BC '的长．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90︒，AC ＝4，BC ＝3，∴222AB AC BC =+∴5AB ===由旋转的性质得，4AC AC '==∴541C B AB AC ''=-=-=故选：A ．【点睛】此题主要考查了旋转的性质和勾股定理的运用，运用勾股定理求出AB =5是解答此题的关键．13.下列各组数中不是勾股数的是（）A.3，4．5B.6．8．10C.5，12．13D.4，5，6【答案】D【解析】【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方．【详解】解：A 、32+42=25=52，是勾股数，此选项不符合题意；B 、62+82＝100=102，是勾股数，此选项不符合题意；C 、52+122＝169=132，是勾股数，此选项不符合题意；D 、42+52=41≠62，不是勾股数，此选项符合题意．故选：D ．【点睛】此题主要考查了勾股数：满足a 2+b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数．注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a 2+b 2＝c 2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…14.满足下列条件的三角形：①三边长之比为3：4：5；②三内角之比为3：4：5；③n 2﹣1，2n ，n 2+1；1+1-，6．其中能组成直角三角形的是（）A.①③B.②④C.①②D.③④【答案】A【解析】【分析】欲求证是否为直角三角形，若已知三边长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方；若已知三个角的度数，只要验证是否存在直角即可．【详解】①三边长之比为3:4:5；则有222(3)(4)(5)x x x +=，为直角三角形；②三个内角度数之比为3:4:5，则各角度数分别为31804512︒⨯=︒，41806012︒⨯=︒，51807512︒⨯=︒，不是直角三角形；③22222(1)(2)(1)n n n -+=+ ，∴是直角三角形；④116++=<，∴构不成三角形．故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．15.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈10=尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为（）A.2223(1)x x -=- B.2223(10)x x -=-C.2223(1)x x +=- D.2223(10x)x +=-【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理列方程解答．【详解】解：设折断处离地面的高度为x 尺，则斜边为（10-x ）尺，根据勾股定理得：2223(10x)x +=-，故选：D ．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意得到直角三角形确定三边的关系式是解题的关键．16.如图所示，将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm ，则h 的取值范围是（）A.0＜h ≤11B.11≤h ≤12C.h ≥12D.0＜h ≤12【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图形，先找出h的值为最大和最小时筷子的位置，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝13cm，∴h＝24﹣13＝11cm．∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用问题，解答此题的关键是根据题意画出图形找出何时h有最大及最小值，同时注意勾股定理的灵活运用，有一定难度．17.某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿()方向航行．A.西南B.东北C.西北D.东南【答案】C【解析】【分析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而进行分析求解．【详解】解：根据题意得PQ=16×1.5=24(海里)，PR=12×1.5=18(海里)，QR=30(海里)．∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．由“远航号”沿东北方向航行可知，∠1=45°，则∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答．18.如图，在 ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（）A.5B. 4.8C.3D.2.4【答案】B【解析】【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形EDFB是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=BD，则EF的最小值即为BD的最小值，根据垂线段最短，知：BD的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．【详解】如图，连接BD．∵在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，∴AB 2+BC 2=AC 2，即∠ABC =90°．又∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，∴四边形EDFB 是矩形，∴EF =BD ．∵BD 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，即4.8，∴EF 的最小值为4.8，故选：B ．【点睛】此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．19.如图，在四边形ABCD 中，1AB BC ==，CD =，AD =，AB BC ⊥，则四边形ABCD 的面积是()A. 2.5B.3C. 3.5D.4【答案】A【解析】【分析】如下图，连接AC ，在Rt △ABC 中先求得AC 的长，从而可判断△ACD 是直角三角形，从而求得△ABC 和△ACD 的面积，进而得出四边形的面积．【详解】如下图，连接AC∵AB=BC=1，AB ⊥BC∴在Rt △ABC 中，，111122ABC S =⨯⨯=∵，又∵(222+=∴三角形ADC 是直角三角形∴122ADC S == ∴四边形ABCD 的面积=12+2=52故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，遇到此类题型我们需要敏感一些，首先就猜测△ADC 是直角三角形，然后用勾股定理逆定理验证即可．20.某高速公路的同一侧有A ，B 两个城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为2km AE =，3km BF =，12km EF =，要在高速公路上E 、F 之间建一个出口Q ，使A 、B 两城镇到Q 的距离之和最短，在图中画出点Q 所在位置，并求出这个最短距离．【答案】见解析，13km【解析】【分析】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点Q ，连接QB ，此时QA+QB 的值最小．作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ACD 中，利用勾股定理求出AC 即可；【详解】解：作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点Q ，则点Q 为所建的出口；此时A 、B 两城镇到出口Q 的距离之和最短，最短距离为AC 的长．作AD BC ⊥于D ，则90ADC ∠=︒，AE ⊥MN ，BF ⊥MN∴四边形AEFD 为矩形∴12AD EF ==，2DF AE ==在t R ADC 中，12AD =，5DC DF CF =+=，∴由勾股定理得：13AC ===∴这个最短距离为13km ．【点睛】本题考查作图-应用与设计，轴对称-最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．培优练21.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB 由点A 行驶向点B ，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上两点A ，B 的距离分别为300km 和400km ，又AB=500km ，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．（1）海港C 受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有小时．【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解析；（2）7．【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用等面积法得出CD的长，从而可得海港C是否受台风影响；（2）根据勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【详解】解：（1）海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2＋BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC•BC＝CD•AB∴CD＝240（km）∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受到台风影响．（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，∵ED＝70（km）∴EF＝140km∵台风的速度为20km/h，∴140÷20＝7（小时）即台风影响该海港持续的时间为7小时．故答案为：7．【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，解答此类题目的关键掌握勾股定理及其逆定理并构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．。

八年级数学直角三角形之手拉手模型和半角模型专题讲义引言直角三角形是初中数学中的重要概念，其中手拉手模型和半角模型是两种常见的解题方法。

本讲义将重点介绍这两种方法及其应用。

手拉手模型手拉手模型又称拇指定理，是由勾股学派刘徽发现的。

其基本思想是，直角三角形两个锐角的正切值相乘等于1。

我们可以用手指的姿势模拟这个过程：将拇指和食指分别竖直和水平伸出，拇指代表一个锐角的正切值，食指代表另一个锐角的正切值，那么当两根手指合并时所得的掌心面积就代表直角边上的长度，也就是拇指和食指的正切值之积。

根据手拉手模型，我们可以很方便地求解直角三角形中所有角和边的长度。

例如，已知直角三角形斜边长度为5，一个锐角的正切值为1/2，那么另一个锐角的正切值就为2，直角边上的长度也就是2×1/2=1。

因此，该直角三角形的三个角分别为30°、60°和90°，另外两条边长分别为1和√3。

半角模型半角模型是一种更加直观的解法，其基本思想是将直角三角形内的一条角平分为两个角，使其变为两个相似三角形。

具体方法是，连一条从直角顶点出发经过斜边中点的直线，将直角三角形分为两个全等的直角三角形，然后根据正弦、余弦和正切的定义计算各个角的值和三条边的长度。

半角模型的优点在于能够直观地理解三角形内各条边和角的关系，并且不依赖特定的公式和计算器。

但是它也有缺点，即对于较为复杂的三角函数运算，可能需要更多的时间和细心的推导。

应用实例手拉手模型和半角模型在初中数学中都有广泛的应用，例如：- 求解直角三角形内的各个角度和边长；- 利用正弦、余弦和正切计算斜率、角度、距离等物理量；- 确定平行线、垂线、角平分线等几何关系；- 求解三角函数方程和不等式等。

结论手拉手模型和半角模型是初中数学教学中常用的解题方法，它们能够帮助学生加深对直角三角形及其三角函数的理解，培养数学思维和解决实际问题的能力。

但是，应当注意避免机械使用公式和方法，要灵活运用不同的思路和技巧，提高数学素养和创造力。

八年级数学第11讲.特殊三角形之直角三角形.提高班.教师版11特别三角形之直角三角形满分晋级三角形 10 级勾股定理与逆定理三角形 11 级特别三角形之直角三角形三角形 12 级成比率线段漫画释义秋天班第十讲秋天班第十一讲暑期班第四讲知识互联网题型一：直角三角形的性质及判断思路导航有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，这是初中阶段研究的一个特别三角形，它的性质和判断是常考内容，也是解决初中几何问题的常用手段．一、直角三角形1.直角三角形的性质：⑴ 两锐角互余；⑵ 三边知足勾股定理；⑶ 斜边上的中线等于斜边的一半；⑷30 角所对的直角边等于斜边的一半．此外，直角三角形中还有一个重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab ch ．2.直角三角形的判断：⑴ 有一个角是直角；⑵ 两锐角互余；⑶ 勾股定理的逆定理；⑷ 一条边上的中线等于这条边的一半．二、等腰直角三角形等腰直角三角形是集等腰三角形和直角三角形为一体的特别图形，除具备等腰三角形和直角三角形的全部性质以外，它的底边中线也同时具备了“三线合一”和“斜边中线”的共同特色，堪称“集大成者”．另外，等腰直角三角形还能够当作是正方形的“半成品”，所以“复原正方形”也是等腰直角三角形常用的辅助线做法之一．例题精讲【引例】如图，正方形ABCD 的边长为 4 ，E、F分别在BC、CD上，且A B A B图1BE CF 3 ， AE、BF 订交于M，求BM的长．【分析】∵ ABCD 是正方形，∴ AB BC 4 ，ABC C 90 ，∵ BE CF 3 ，∴ △ ABE ≌△ BCF ，∴BAE CBF ，∴BME 90又由勾股定理可知AE 5 ，在 Rt△ ABE 中，BM AE ，∴AB BE AE BM ，∴ BM AB BE12 ．AE5典题精练【例 1】 1.在△ ABC 中，若 A35，B55，则这个三角形是__________三角形．C2.如图，在△ ABC 中，ACB90， CD AB ，若 A 28，则 B _______，ACD________，BCD ________．A BDA3.如图，已知图中每个小正方形的边长为1，则点 C 到AB所在直线的距离等于．（十三中分校期中）BC4.如图，在四边形 ABCD 中，∠ A＝ 60°，∠ B＝∠ D＝ 90°，BC ＝2，CD＝ 3，则 AB ＝．A ADDB C B C E5.已知 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AB 边上的中线长为2，且 AC＋ BC＝ 6，则 S△ABC＝．【分析】 1.直角2.62 ； 62 ； 283.24.8 3 ．经过向外补形，将四边形问题转变为三角形问题来解决．35.∵AB 边上的中线长为 2，∴ AB=4，∴ AC2+BC2=AB2=16∵ AC＋ BC＝ 6，∴ AC BC 22+BC2+2AC BC=3636 ，即 AC1∴S △ ABCAC BC 52【例 2】 若直角三角形的两条直角边长为 a 、 b ，斜边为 c ，斜边上的高为 h ，求证：⑴ 1 1 1 ；⑵ a b c h ．2 2 2a b h【分析】 ⑴ ∵ a 2 b 2 c 2 ， ab ch ，∴ c ab 2 2a 2b 2 ，h ， 代入得 a b2h1 1 1∴ 2 b 2h 2．a⑵ 由 a 2b 2c 2 ， ab ch ，则 a 22ab b 2 c 2 2ch ，22∴ 22ab222ch2，即 aabch bc h ，∴ a b ch ．题型二：特别直角三角形的边角关系思路导航特别的直角三角形是指30 ，60 ，90 和 45 ，45 ，90 的直角三角形，它们的三条边之间有特殊的比率关系， 分别是 1: 3 : 2 和 1:1: 2 ，娴熟运用这类特别的比率关系， 能够在解题过程中大幅提升解题的速度与正确率．例题精讲【引例】 已知， Rt △ ABC 中， C 90 ， A 30， AC6 ，求 BC 、AB 的长．【分析】 解法一： ∵ C90 ，A30 ，∴ BC1AB ，2设 BC x ，则 AB 2x ，那么 x 2 622x 22 （舍负），解得 x ∴ BC2 ， AB2 2 ．解法二： ∵ C 90 ，A 30 ，∴ BC : AC : AB1: 3 :2 ，∴ BCAC 62 ， ∴ AB 2BC 22 ．33典题精练【例 3】⑴在△ ABC中，a、b、c分是A、B、C的，且A :B :C 1 : 2 ，: a 与 c 的关系是____________．⑵如，把两同样的含30 角的三角尺如搁置，A E若 AD 6 6 cm，三角尺的最．DBC（四中期中）⑶ 如，以等腰直角三角形AOB 的斜直角向外作第 2 个等腰直角三B 2角形 ABA1，再以等腰直角三角形 ABA1的斜直角向外作第 3 个等腰直角三角形 A1BB1，⋯，这样作下去，若OA OB 1 ，第8个等腰直A1角三角形的面是．A【分析】⑴ c 2a ；⑵12cm ；⑶64 ．O BB 1【例 4】如，点D、E是等△ ABC的BC、AC上的点，且点， BQ ⊥ AD 。

2.8直角三角形全等的判定知识点梳理直角三角形全等的判定1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．题型一“HL”证全等1．如图所示，∠C＝∠D＝90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD 2．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF3．如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD 全等．以下给出的条件适合的是（）A．∠ABC＝∠ABD B．∠BAC＝∠BAD C．AC＝AD D．AC＝BC4．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是．5．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE ≌Rt△BEC．6．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．7．如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．8．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF．求证：AB＝AC．题型二直角三角形全等的辨别1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．一个锐角和斜边对应相等B．两条直角边对应相等C．两个锐角对应相等D．斜边和一条直角边对应相等2．下列条件中：①两条直角边分别相等；②两个锐角分别相等；③斜边和一条直角边分别相等；④一条边和一个锐角分别相等；⑤斜边和一锐角分别相等；⑥两条边分别相等．其中能判断两个直角三角形全等的有（）A．6个B．5个C．4个D．3个3．下列条件不能证明两个直角三角形全等的是（）A．斜边和一直角边对应相等B．一直角边和一角对应相等C．两条直角边对应相等D．斜边和一锐角对应相等4．下列说法正确的有（）①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．A．1B．2C．3D．45．下列结论正确的是（）A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等B．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等C．两个等边三角形全等D．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等题型三一般三角形全等的判定方法证直角三角形1．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A．1B．2C．5D．无法确定2．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（）A．1B．2C．3D．43．如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③∠BAC ＝∠BAD；④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（）A．1B．2C．3D．44．已知：AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2，问：△ABC≌△ADC吗？说明理由．答案与解析题型一“HL”证全等1．如图所示，∠C＝∠D＝90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL 证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC ＝BD 或AC ＝AD ．【解答】解：需要添加的条件为BC ＝BD 或AC ＝AD ，理由为：若添加的条件为BC ＝BD ，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∵{BC =BD AB =AB， ∴Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ）；若添加的条件为AC ＝AD ，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∵{AC =AD AB =AB， ∴Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ）．故选：A ．2．如图，BE ＝CF ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，要根据“HL ”证明Rt △ABE ≌Rt △DCF ，则还要添加一个条件是（ ）A ．AB ＝DC B ．∠A ＝∠D C ．∠B ＝∠C D ．AE ＝BF【分析】根据垂直定义求出∠CFD ＝∠AEB ＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【解答】解：条件是AB ＝CD ，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，{AB=CDBE=CF，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选：A．3．如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD 全等．以下给出的条件适合的是（）A．∠ABC＝∠ABD B．∠BAC＝∠BAD C．AC＝AD D．AC＝BC【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：A．∵∠ABC＝∠ABD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；B．∵∠BAC＝∠BAD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；C．∵∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝AD，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故本选项符合题意；D．根据∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝BC不能推出Rt△ABC≌Rt△ABD，故本选项不符合题意；故选：C．4．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是AC＝DE．【分析】先求出∠ABC＝∠DBE＝90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．【解答】解：AC＝DE，理由是：∵AB⊥DC，∴∠ABC＝∠DBE＝90°，在Rt△ABC和Rt△DBE中，{AC=DEBE=BC，∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．故答案为：AC＝DE．5．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE ≌Rt△BEC．【分析】根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE．∵∠A＝∠B＝90°，∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）6．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE＝BF．【分析】先根据直角三角形全等的判定方法证得Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），则BC＝EF，即CE＝BF．【解答】证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°．在Rt△ABC和Rt△DEF中，{AC=DFAB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．∴BC＝EF．∴BC﹣BE＝EF﹣BE．即：CE＝BF．7．如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．【分析】先利用HL定理证明△ACE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因为∠EAC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根据平角定义可得∠ACB＝90°．【解答】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，{AC=BCAE=CF，∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC＝∠BCF，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．8．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF．求证：AB＝AC．【分析】利用“HL”证明△BED和△CFD全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B ＝∠C，然后根据等角对等边即可得证．【解答】证明：∵D是BC的中点，∴BD ＝CD ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴△BED 和△CFD 都是直角三角形，在△BED 和△CFD 中，{BD =CD BE =CF， ∴△BED ≌△CFD （HL ），∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC （等角对等边）．题型二 直角三角形全等的辨别1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）A ．一个锐角和斜边对应相等B ．两条直角边对应相等C ．两个锐角对应相等D ．斜边和一条直角边对应相等【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【解答】解：A 、一个锐角和斜边对应相等，正确，符合AAS ，B 、两条直角边对应相等，正确，符合判定SAS ；C 、不正确，全等三角形的判定必须有边的参与；D 、斜边和一条直角边对应相等，正确，符合判定HL ．故选：C ．2．下列条件中：①两条直角边分别相等；②两个锐角分别相等；③斜边和一条直角边分别相等；④一条边和一个锐角分别相等；⑤斜边和一锐角分别相等；⑥两条边分别相等．其中能判断两个直角三角形全等的有（）A．6个B．5个C．4个D．3个【分析】画出两直角三角形，根据选项条件结合图形逐个判断即可．【解答】解：①两条直角边分别相等；正确；②两个锐角分别相等；错误；③斜边和一条直角边分别相等，正确；④一条边和一个锐角分别相等；错误；⑤斜边和一锐角分别相等；正确；⑥两条边分别相等，错误；其中能判断两个直角三角形全等的有3个．故选：D．3．下列条件不能证明两个直角三角形全等的是（）A．斜边和一直角边对应相等B．一直角边和一角对应相等C．两条直角边对应相等D．斜边和一锐角对应相等【分析】此题需用排除法，对各个选项进行分析从而确定答案．【解答】A、符合HL，正确；B、仅知道一条直角边和一角也不能确定确定其它各边的长，从而不能判定两直角三角形相等，错误；C、知道两直角边，可以求得第三边．从而利用SSS，正确；D、知道斜边和一锐角，可以推出另一角的度数．从而可以确定其它边，正确．故选：B．4．下列说法正确的有（）①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．A．1B．2C．3D．4【分析】根据直角三角形全等的判定方法逐条判定即可得到结论，【解答】解：①两个锐角分别相等的的两个直角三角形不一定全等，故该说法错误；②如图，已知：∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，AM＝BM，DN＝EN，CM＝FN，求证：△ABC≌△DEF，证明：∵∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM＝FN，∴Rt△BCM≌Rt△EFN（HL），∴BM＝EN∵AM＝BM，DN＝EN，∴AB＝DE，∴Rt△ABC≌Rt△EFN（SAS），故一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等的说法正确；③两对应边分别相等的两个直角三角形全等，如果是一个直角三角形的两条直角边和另一个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；④一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形不一定全等，如果一个直角三角形的一条直角边和另一个直角三角形的一条斜边相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；故选：A．5．下列结论正确的是（）A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等B．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等C．两个等边三角形全等D．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．【解答】解：A、由于判断两个三角形全等，必须要一组边相等，所以有两个锐角相等的两个直角三角形全等的说法错误；B、由于直角三角形除了直角，还需两个条件才能判断这两个直角三角形全等，所以一条斜边对应相等的两个直角三角形全等的说法错误；C、由于判断两个三角形全等，必须要一组边相等，所以两个等边三角形全等的说法错误；D、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，说法正确；故选：D．题型三一般三角形全等的判定方法证直角三角形1．已知如图，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，CD ⊥DE ，CD ＝ED ，AD ＝2，BC ＝3，则△ADE 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．5D ．无法确定【分析】因为知道AD 的长，所以只要求出AD 边上的高，就可以求出△ADE 的面积．过D 作BC 的垂线交BC 于G ，过E 作AD 的垂线交AD 的延长线于F ，构造出Rt △EDF ≌Rt △CDG ，求出GC 的长，即为EF 的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：过D 作BC 的垂线交BC 于G ，过E 作AD 的垂线交AD 的延长线于F ， ∵∠EDF +∠FDC ＝90°，∠GDC +∠FDC ＝90°，∴∠EDF ＝∠GDC ，于是在Rt △EDF 和Rt △CDG 中，{∠F =∠DGC ∠EDF =∠GDC DE =DC，∴△DEF ≌△DCG ，∴EF ＝CG ＝BC ﹣BG ＝BC ﹣AD ＝3﹣2＝1，所以，S △ADE ＝（AD ×EF ）÷2＝（2×1）÷2＝1．故选：A ．2．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】共有3对，分别为△ADC≌△AEB、△BOD≌△COE、Rt△ADO≌Rt△AEO；做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找即可．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∵在△ADC和△AEB中，{∠ADC=∠AEB ∠DAC=∠EAB AC=AB，∴△ADC≌△AEB（AAS）；∴AD＝AE，∠C＝∠B，∵AB＝AC，∴BD＝CE，在△BOD和△COE中，{∠B=∠C∠BOD=∠COE BD=CE，∴△BOD ≌△COE （AAS ）；∴OB ＝OC ，OD ＝OE ，在Rt △ADO 和Rt △AEO 中，{OA =OA OD =OE， ∴Rt △ADO ≌Rt △AEO （HL ）；∴共有3对全等直角三角形，故选：C ．3．如图所示，∠C ＝∠D ＝90°，添加下列条件①AC ＝AD ；②∠ABC ＝∠ABD ； ③∠BAC ＝∠BAD ； ④BC ＝BD ，能判定Rt △ABC 与Rt △ABD 全等的条件的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论．【解答】解：①当AC ＝AD 时，由∠C ＝∠D ＝90°，AC ＝AD 且AB ＝AB ，可得Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ）；②当∠ABC ＝∠ABD 时，由∠C ＝∠D ＝90°，∠ABC ＝∠ABD 且AB ＝AB ，可得Rt △ABC ≌Rt △ABD （AAS ）；③当∠BAC ＝∠BAD 时，由∠C ＝∠D ＝90°，∠BAC ＝∠BAD 且AB ＝AB ，可得Rt △ABC ≌Rt △ABD （AAS ）；④当BC ＝BD 时，由∠C ＝∠D ＝90°，BC ＝BD 且AB ＝AB ，可得Rt △ABC ≌Rt △ABD （HL ）；20 故选：D ．4．已知：AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∠1＝∠2，问：△ABC ≌△ADC 吗？说明理由．【分析】根据全等三角形的判定定理AAS 进行证明．【解答】解：△ABC ≌△ADC ．理由如下：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°．在△ABC 与△ADC 中，{∠B =∠D ∠1=∠2AC =AC，∴△ABC ≌△ADC （AAS ）．。

直角三角形与勾股定理【复习目标】1．掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，掌握勾股定理以及逆定理。

2．熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题． 3．掌握直角三角形常用的判定方法。

【直击考点】1．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝ 。

c 2 2．若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2＋b 2＝c 2，则∠C= 。

90° 3．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________． 1694．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ；三角形中一条边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角 。

5．直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半 ；一直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角等于 30 度。

【名题点拔】考点1 “双垂图”中的计算问题例1 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，求线段AB 的长。

点拨：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，对图形及性质应熟练掌握，能够灵活应用。

“双垂图”中有：3个直角三角形， 6条线段，4个锐角。

知道其中的任意两条线段，或一条线段和一个锐角，总可以求出其余的线段。

欲求AB ，可由AB=BD+CD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。

或欲求AB ，可由22BC AC AB +=，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，CD求出AC=2和BC=23。

因此AB=4。

考点2 勾股定理在轴对称问题中的应用例2 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6c m ，BC =8c m ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长。

点拨：设CD =x ，在Rt △BDE 中使用勾股定理列方程即可。

1 B 初中数学解直角三角形综合讲义一、理解概念1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系2 明确概念：解直角三角形阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形定对象：特殊的求解过程定角度：已知元素新事物：求出未知元素举例：在△举例：在△ABC ABC 中，∠中，∠C C 为直角，∠为直角，∠A A ，∠，∠B B ，∠，∠C C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=287.4c=287.4，，∠B=42B=42°°6′，解这个直角三角形。

解：（1）∠）∠A=90A=90A=90°°- 42- 42°°6′=47=47°°5454′′（2）∵）∵ cosB= cosB=c a, , ∴∴a=c cosB=287.4a=c cosB=287.4××0.74200.7420≈≈213.3 （3）∵）∵ sinB= sinB=cb, , ∴∴b=c sinB=287.4b=c sinB=287.4××0.67040.6704≈≈192.7二、研究概念1.1.条件：条件：直角三角形2.2.构成和本质构成和本质 [ [边边] ] 两条直角边两条直角边 [ [角角] ] 有一个直角有一个直角 [ [角角]] 两锐角互余两锐角互余3.3.特征：特征： [[角角] ] 两锐角互余，∠两锐角互余，∠两锐角互余，∠A+A+A+∠∠B=90B=90°°[边] ] 勾股定理，勾股定理，勾股定理，a a 2+b 2=c2[等式的性质等式的性质] a ] a 2 =c 2—b2b 2=c 2—a2勾股定理逆定理[ [边、角边、角边、角] ] ] 锐角三角函数锐角三角函数 [ [重要线段重要线段重要线段] ] ] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半[圆] ] 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 [ [特殊角特殊角特殊角] 30] 30] 30°角所对的直角边是斜边的一半°角所对的直角边是斜边的一半 45 45°角所对的直角边是斜边的°角所对的直角边是斜边的22倍4.4.下位下位无5.5.应用：应用：三、例题讲解1、在R t R t△△ABC 中，中，AD AD 是斜边BC 上的高，如果BC= a BC= a，∠，∠，∠B=B=α，那么AD 等于等于 （（ ）） （（A 级）级） A A、、 asin 2α B B、、acos 2α C C、、asin αcos α D D、、asin αtan α 对象：对象：对象：R t R t R t△△ABC 中，中，AD AD AD 角度：角度：角度： 三角函数三角函数三角函数分析：分析：R t R t R t△△ABC cosB=BC AB cos α= aAB AB= a AB= a··cos αR t R t△△ABD sin α=ABADAD= sin α·AB AD= asin αcos α2、 正方形ABCD 中，对角线BD 上一点P ，BP∶PD=1∶2，且P 到边的距离为2，则正方形的边长是，则正方形的边长是 ，BD=对象：正方形ABCD 对角线BD 上的点P P 角度：角度：角度： 直角三角形直角三角形 分析：设P 到边的距离为PE PE。

初二直角三角形复习同步讲义-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN授课类型T(知识点梳理) C 直角三角形的复习T （学法与能力主题）授课日期及时段教学内容一、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半二、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形三、勾股定理和它的逆定理：1、勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形注意：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、、2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半（请画图）3、在Rt三角形中，30°的边所对的角是斜边的一半。

（请画图）4、直角三角形的边角关系与几种特殊的三角形边角线判定直角 三角形222c b a =+两锐角互余CD=AD=BD (斜边上的中线等于斜边的一半)应用：①斜边上的中线把Rt △分成两等腰三角形；②等腰Rt △斜边上的中线把它分为两个全等的等腰Rt △。

①若∠A+∠B=90°，则△ABC 为Rt △; ②若222c b a =+， 则△ABC 为Rt △;③若CD=AD=BD ， 则△ABC 为Rt △;黄金 直角 三角形2:3:1::=c b a等腰 直角 三角形2:1:1::=c b a四、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义： 一条线段且 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到 得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在4、角的平分线性质：角平分线上的点到 的距离相等5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在注意：1、线段的垂直平分可以看作是 的点的集合，角平分线可以看作是 的点的集合。

第01讲_等腰三角形与直角三角形知识图谱等腰三角形知识精讲一、等腰三角形二、思路点拨等腰三角形边或者周长的计算注意三边关系的隐含条件等腰、角平分线、平行（1）△ABC是等腰三角形，（2）AD∥BC（3）∠1=∠2以上三个结论知二推一（需简单证明）三角形中角的2倍关系三点剖析重难点12B CDA12AB CEDααβββ2αααβ2βα2ββ等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形性质1．两个底角相等，两条腰相等．2．三线合一：（1）顶角角平分线、（2）底边上的中线、（3）底边上的高（可直接使用）判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等三线合一逆定理：一个三角形（1）对角角平分线、（2）该边上的中线、（3）该边上的高有两条互相重合，则是等腰三角形（需简单证明）1．等腰三角形的三线合一及其逆定理2．角平分线、平行线、等腰三角形知二推一 3．等腰三角形与全等三角形综合问题 考点1．等腰三角形的性质和判定2．等腰三角形的三线合一及其逆定理3．角平分线、平行线、等腰三角形知二推一 4．等腰三角形与全等三角形综合问题易错点1．等腰三角形边或者周长的计算问题容易忽略“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”这个隐含的限制条件2．等腰三角形的三线合一及可以直接使用，但是三线合一的逆定理需要证明之后才能用3．角平分线、平行线、等腰三角形知二推一要非常熟练，在使用的时候是需要简单证明的，不可直接得出结论等边对等角例题1、 如图，ABC 中，,,18,12==∠=︒∠=︒AB AC AD DE BAD EDC ，则∠DAE 的度数为( )A.58︒B.52︒C.62︒D.60︒ 【答案】 C【解析】 暂无解析随练1、 如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，∠A=36°，则∠1的度数为（ ）A.36°B.60°C.72°D.108° 【答案】 C【解析】 ∵∠A=36°，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C=72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=36°， ∴∠1=∠A+∠ABD=72°随练2、 一个等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个等腰三角形的周长是________． 【答案】 22【解析】 暂无解析等角对等边例题1、 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ． 求证：AD=BC ．【答案】 见解析【解析】 ∵AB=AC ，∠A=36°， ∴∠ABC=C=72°，∵BD 平分∠ABC 交AC 于点D ， ∴∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°， ∴∠A=∠ABD ，∠BDC=∠C ， ∴AD=BD=BC ．例题2、 如图，在ABC ∆中，5BC cm =，BP 、CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线，且PD AB ∥，PE AC ∥，则PED ∆的周长是_______cm【答案】 5【解析】 ∵BP 、CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线， ABP PBD ∴∠=∠，ACP PCE ∠=∠．PD AB ∥，PE AC ∥，ABP BPD ∴∠=∠，ACP CPE ∠=∠， PBD BPD ∴∠=∠，PCE CPE ∠=∠，BD PD ∴=，CE PE =， ∴PDE ∆的周长5PD DE PE BD DE EC BC cm =++=++==．随练1、 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE //AB 交AC 于点E ，若7DE =，5CE =，则AC =（ ）A.11B.12C.13D.14【答案】 B【解析】 该题考查的是等腰三角形的判定． ∵DE //AB ，∴BAD ADE ∠=∠，又∵BAD DAE ∠=∠ ∴DAE ADE ∠=∠ ∴7AE DE ==∴7512AC AE EC =+=+= ∴该题的答案是B ．三线合一例题1、 如图，△ABC 中，AB AC =，100BAC ∠=︒，AD 是BC 边上的中线，且BD BE =，则ADE ∠的度数为（ ）A.10︒B.20︒C.40︒D.70︒【答案】 B【解析】 该题考查的是三角形的性质． ∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∵100BAC ∠=︒， ∴40B C ∠=∠=︒，∵AD 是BC 边上的中线， ∴AD BC ⊥， ∴90ADB ∠=︒， ∵BD BE =，∴70BDE BED ∠=∠=︒， ∴20ADE ∠=︒， 故该题答案为B ．例题2、 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于D ，∠BAC 的平分线AF 交CD 于E ，交BC 于F ，CM ⊥AF 于M ，求证：EM FM =．【答案】 见解析【解析】 ∵90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ， ∴90ADC ∠=︒，∴90AED DAE ∠+∠=︒，90CFE CAE ∠+∠=︒， 又∵∠BAC 的平分线AF 交CD 于E ， ∴DAE CAE ∠=∠， ∴AED CFE ∠=∠， 又∵AED CEF ∠=∠， ∴CEF CFE ∠=∠， 又∵CM ⊥AF ， ∴EM FM =．随练1、 如图，在△ABC 中，54B ∠=︒，72ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠，ME AD ⊥于G ，交AB 、AC 及BC 的延长线于E 、M 、F ，则BFE ∠=______________．ABC D E【答案】 9︒【解析】 该题考查的是等腰三角形三线合一． ∵54B ∠=︒，72ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠∴1805472272BAD CAD ︒-︒-︒∠=∠==︒又∵AD ⊥EF 即90AGM ∠=︒∴902763CMF AMG ∠=∠=︒-︒=︒ 又∵△CFM 的外角72ACB ∠=︒∴72639CFM ACB CMF ∠=∠-∠=︒-︒=︒角平分线，平行线，等腰三角形知二推一例题1、 如图，D 为ABC △内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若5AC =，3BC =，则BD 的长为（ ）A.2B.1C.52D.32【答案】 B【解析】 该题考查的是等腰三角形三线合一逆定理． 延长BD 与AC 交于点E ，∵A ABD ∠=∠， ∴BE AE =， ∵BD CD ⊥， ∴BE CD ⊥， ∵CD 平分ACB ∠， ∴BCD ECD ∠=∠， ∴EBC BEC ∠=∠，MAB CD（第6题）∴△BEC为等腰三角形，∴BC CE=，∵BE CD⊥，∴2BD BE=，∵5BC=，AC=，3∴3CE=，∴532=-=-=，AE AC EC∴2BE=，∴1BD=．所以答案选A例题2、(2013初二上期末怀柔区)如图所示，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O作EF∥BC，若△AEF的周长为12，则AB+AC等于____．【答案】12【解析】该题考查的是平行线的性质．∵BO平分CBA∠，CO平分ACB∠，∴OBC OBA∠=∠，∠=∠，OCB OCA∵EF∥BC，∴OBA BOE∠=∠，OCA COF∠=∠，∴BE OE=，=，CF OF∴△AEF的周长AE OE OF AF AE BE CF AF AB AC=+++=+++=+，∵△AEF的周长为12，∴12+=．AB AC例题3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形．【解析】（1）如图所示：（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=12∠EAC+12∠BAC=12×180°=90°，即△ADF是直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．随练1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？【答案】（1）见解析（2）70°（3）△DEF不可能是等腰直角三角形，见解析【解析】（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C，在△BDE与△CEF中BD CEB C BE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE≌△CEF．∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．（2）解：由（1）知△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF∵∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠B ∴∠DEF=∠B∵AB=AC ，∠A=40°∴∠DEF=∠B=18040702︒︒︒-=（3）解：△DEF 不可能是等腰直角三角形． ∵AB=AC ，∴∠B=∠C ≠90° ∴∠DEF=∠B ≠90°，∴△DEF 不可能是等腰直角三角形等腰三角形与全等三角形综合例题1、 如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝∠C ＝40°．点D 在线段BC 上运动（点D 不与B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE ＝40°，DE 交线段AC 于E ．（1）当∠BAD ＝20°时，∠EDC ＝________°；（2）当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ？试说明理由；（3）△ADE 能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出此时∠BAD 的度数；若不能，请说明理由．【答案】 （1）20（2）当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE ，证明见解析 （3）∠BAD ＝30°或∠BAD ＝60°【解析】 （1）∵∠BAD ＝20°，∠B ＝40°， ∴∠ADC ＝60°， ∵∠ADE ＝40°，∴∠EDC ＝60°－40°＝20°（2）当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE ； 理由：∵∠ADE ＝40°，∠B ＝40°，又∵∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ． ∴∠BAD ＝∠EDC ． 在△ABD 和△DCE 中， B C AB DCBAD EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩． ∴△ABD ≌△DCE （ASA ）； （3）当∠BAD ＝30°时，∵∠B ＝∠C ＝40°，∴∠BAC ＝100°， ∵∠ADE ＝40°，∠BAD ＝30°， ∴∠DAE ＝70°，∴∠AED ＝180°－40°－70°＝70°，∴DA ＝DE ，这时△ADE 为等腰三角形；当∠BAD ＝60°时，∵∠B ＝∠C ＝40°，∴∠BAC ＝100°， ∵∠ADE ＝40°，∠BAD ＝60°，∠DAE ＝40°， ∴EA ＝ED ，这时△ADE 为等腰三角形．例题2、 如图1，在ABC △中，2ACB B ∠=∠，BAC ∠的平分线AO 交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过点H 作直线l AO ⊥于H ，分别交直线AB 、AC 、BC 于点N 、E 、M ．（1）当直线l 经过点C 时（如图2），证明：BN CD =；（2）当M 是BC 中点时，写出CE 和CD 之间的等量关系，并加以证明； （3）请直接写出BN 、CE 、CD 之间的等量关系．【答案】 （1）见解析（2）2CD CE =（3）当点M 在线段BC 上时，CD BN CE =+；当点M 在BC 的延长线上时，CD BN CE =-；当点M 在CB 的延长线上时，CD CE BN =-【解析】 该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质． （1）证明：连接ND ． ∵AO 平分∠BAC ， ∴12∠=∠， ∵直线l ⊥AO 于H ， ∴4590∠=∠=︒， ∴67∠=∠， ∴AN AC =， ∴NH CH =，∴AH 是线段NC 的中垂线， ∴DN DC =， ∴89∠=∠． ∴AND ACB ∠=∠，∵3AND B ∠=∠+∠，2ACB B ∠=∠， ∴3B ∠=∠， ∴BN DN =． ∴BN DC =；（2）如图，当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为2CD CE = 证明：过点C 作CN '⊥AO 交AB 于N '．由（1）可得BN CD '=，AN AC '=，AN AC '=． ∴43∠=∠，NN CE '=． 过点C 作CG ∥AB 交直线l 于G ． ∴42∠=∠，1B ∠=∠． ∴23∠=∠．ABC M ElNHD O lNH A ABBC CD O O D 图1图2图3∴CG CE =． ∵M 是BC 中点， ∴BM CM =在△BNM 和△CGM 中， 1B BM CMNMB GMC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BNM ≌△CGM ．（ASA ） ∴BN CE =．∴2CD BN NN BN CE ''==+=．（3）BN 、CE 、CD 之间的等量关系： 当点M 在线段BC 上时，CD BN CE =+； 当点M 在BC 的延长线上时，CD BN CE =-； 当点M 在CB 的延长线上时，CD CE BN =-．随练1、 如图，已知线段AC ∥y 轴，点B 在第一象限，且AO 平分∠BAC ，AB 交y 轴于G ，连OB 、OC ． （1）判断△AOG 的形状，并予以证明；（2）若点B 、C 关于y 轴对称，求证：AO ⊥BO ．【答案】 （1）等腰三角形；证明见解析 （2）见解析【解析】 （1）△AOG 是等腰三角形； ∵AC ∥y 轴，∴∠CAO=∠AOG ， ∵AO 平分∠BAC ， ∴∠CAO=∠GAO ， ∴∠GAO=∠AOG ， ∴AG=GO ，∴△AOG 是等腰三角形；（2）连接BC 交y 轴于K ，过A 作AN ⊥y 轴于N ，∵AC ∥y 轴，点B 、C 关于y 轴对称， ∴AN=CK=BK ，在△ANG 和△BKG 中，AGN BGK ANG BKG AN BK ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ANG ≌△BKG ，（AAS ） ∴AG=BG ， ∵AG=OG ，（1）中已证， ∴AG=OG=BG ，∴∠BOG=∠OBG ，∠OAG=∠AOG ，∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG=180°， ∴∠AOG+∠BOG=90°， ∴AO ⊥BO ．等边三角形知识精讲等边三角形 （1）三条边都相等的三角形 （2）是一种特殊的等腰三角形性质三个内角都等于60︒判定判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形判定2：有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形直角三角形性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半证明：延长BC 至'B 使'CB CB =∴AC 垂直平分'BB ，∴'AB AB =，60B ∠=︒，∴'ABB △是等边三角形，∴'2AB BB BC ==，∴12BC AB =二．思路点拨90°60°60°30°A BCDB'CBA三点剖析一．考点：1．等边三角形的性质与判定；2．直角三角形性质定理；3．等边三角形与全等三角形综合．二．重难点：1．等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质．做题时常作为隐藏条件考察．2．等边三角形的判定用定义判断的不多，一般都是利用有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形来判定，所以在构造全等是要注意同时兼顾边相等，并且可以推导出有一个角为60°．3．等边三角形的性质非常特殊，在证明或计算中要注意边角之间的转化，尤其是含30°角的直角三角形中边的关系．4．在解决建立在等边三角形基础上的全等综合问题时，关键是抓住边相等，角度都是特殊角．三．易错点：在利用直角三角形性质定理的过程中，需要注意两点：一是必须在直角三角形中才能运用，锐角三角形和钝角三角形均不存在上述关系；二是一定要注意是30︒所对的直角边等于斜边的一半．等边三角形的性质例题1、(2013初二上期末怀柔区)如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE=DB，则CE的长为____．【答案】3 2【解析】该题考查的是∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，BD为ABC∠的平分线，∴60ABC∠=︒，30DBE∠=︒，又DE DB=，∴30E DBE∠=∠=︒，∴30CDE ACB E∠=∠-∠=︒，即CDE E∠=∠，∴CD CE=；∵等边△ABC的周长为9，∴3AC=，∴1322 CD CE AC===，即32 CE=．例题2、如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为___________．【答案】60°．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°．∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，∴∠BDE=∠AFD=90°．∵∠AED是△BDE的外角，∴∠AED=∠B+∠BDE=60°+90°=150°，∴∠EDF=180°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=360°﹣60°﹣150°﹣90°=60°．例题3、在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A.AE∥BCB.∥ADE=∥BDCC.∥BDE是等边三角形D.∥ADE的周长是9【答案】B【解析】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．首先由旋转的性质可知∥AED=∥ABC=60°，所以看得AE∥BC，先由∥ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∥EBD=60°，BE=BD即可判断出∥BDE是等边三角形，故DE=BD=4，故∥AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．∥∥ABC是等边三角形，∥∥ABC=∥C=60°，∥将∥BCD绕点B逆时针旋转60°，得到∥BAE，∥∥EAB=∥C=∥ABC=60°，∥AE∥BC，故选项A正确；∥∥ABC是等边三角形，∥AC=AB=BC=5，∥∥BAE∥BCD逆时针旋旋转60°得出，∥AE=CD，BD=BE，∥EBD=60°，∥AE+AD=AD+CD=AC=5，∥∥EBD=60°，BE=BD，∥∥BDE是等边三角形，故选项C正确；∥DE=BD=4，∥∥AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，故选项D正确；而选项B没有条件证明∥ADE=∥BDC，∥结论错误的是B，故选：B．随练1、如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（）A.150°B.160°C.130°D.60°【答案】A【解析】∵AB∥ED，∴∠E=180°﹣∠EAB=180°﹣120°=60°，∵AD=AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠EAD=60°，∴∠BAD=∠EAB﹣∠DAE=120°﹣60°=60°，∵AB=AC=AD，∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠ADC，在四边形ABCD中，∠BCD=12（360°﹣∠BAD）=12（360°﹣60°）=150°．随练2、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A.25°B.30°C.35°D.40°【答案】B【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；随练3、 如图，△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC=___________．【答案】 2．【解析】 ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC ， ∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC=∠E=30°，BD ⊥AC ， ∴∠BDC=90°， ∴BC=2DC ，∵∠ACB=∠E+∠CDE ， ∴∠CDE=∠E=30°， ∴CD=CE=1， ∴BC=2CD=2．等边的判定例题1、 △ABC 中，①若AB ＝BC ＝CA ，则△ABC 是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 D【解析】 ①三边相等的三角形是等边三角形，正确；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形，正确； ③有三条对称轴的三角形是等边三角形，正确； ④有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确； 则正确的有4个．例题2、 如图所示，AD 是ABC △的中线，60ADC ∠=°，8BC =，把ADC △沿直线AD 折叠后，点C 落在C '位置，则BC '的长为________.【答案】 4【解析】 本题考察的是等边三角形．由题意，60ADC ADC '∠=∠=︒，DC DC DB '==． 180606060BDC '∠=︒-︒-︒=︒，有一个角为60︒的等腰三角形为等边三角形，118422BC BD BC '===⋅=．故本题的答案是4．例题3、 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆，CBN ∆都是等边三角形，AN 交MC 于点E ，BM 交CN 于点F ．（1）求证：AN BM =；（2）求证：CEF ∆为等边三角形．【答案】 见解析【解析】 （1）ACM ∆，CBN ∆是等边三角形， AC MC ∴=，BC NC =，60ACM NCB ∠=∠=︒，ACM MCN NCB MCN ∴∠+∠=∠+∠，即ACN MCB ∠=∠．在ACN ∆和MCB ∆中，AC MC =，ACN MCB ∠=∠，NC BC =， ACN MCB ∴∆≅∆，AN BM ∴=．（2）ACN MCB ∆≅∆，CAN CMB ∴∠=∠，又18060MCF ACM NCB ∠=︒-∠-∠=︒，MCF ACE ∴∠=∠，在CAE ∆和CMF ∆中，CAE CMF ∠=∠，CA CM =，ACE MCF ∠=∠， CAE CMF ∴∆≅∆，CE CF ∴=，CEF ∴∆为等腰三角形， 又60ECF ∠=︒，CEF ∴∆为等边三角形．随练1、 已知：如图，△AOB 的顶点O 在直线l 上，且AO AB =．（1）画出△AOB 关于直线l 成轴对称的图形△COD ，且使点A 的对称点为点C ； （2）在（1）的条件下，AC 与BD 的位置关系是_________； （3）在（1）、（2）的条件下，联结AD ，如果2ABD ADB ∠=∠，求∠AOC 的度数．【答案】 （1）如图1（2）平行（3）60AOC ∠=︒ 【解析】 该题考查的是轴对称与全等三角形． （1）如图1； （2）平行．AC DB∵AC与BD是对应点的连线，l为对称轴，∴AC l⊥，⊥，BD l∴AC∥BD．（3）如图2，∵由（1）可知，△AOB与△COD关于直线l对称，∴△AOB≌△COD．∴AO AB CO CD===，∵2∠=∠=∠，ABD CDB ADB而ADB DAC∠=∠，∴CDA CAD∠=∠，∴CD CA=，∴CA CO OA==，∴△COA为等边三角形，∴60∠=︒．AOC直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一边例题1、如图，已知ABC⊥，则下列关系式正确的为（）∠=︒，AB AD∆中，AB AC=，30CA.BD CDBD CD= D.4=BD CDBD CD= B.2= C.3【答案】B【解析】该题考查的是特殊的直角三角形．C CAD∠=∠=︒，30∴DAC∆为等腰三角形，∴CD AD=，在Rt BAD∆中，30∠=︒，B∴22==BD AD CD故选B．例题2、如图，30∥交OA于C.若10PC=，则OC=__________，⊥于D，PC OBAOB∠=︒，OP平分AOB∠，PD OBPD=__________.【答案】10；5【解析】该题考查的是角平分线的性质定理和含30°直角三角形的性质．∵OP平分AOB∠，∴AOP BOP ∠=∠， ∵PC OB ∥，∴CPO BOP ∠=∠， ∴CPO AOP ∠=∠， ∴PC OC =， ∵10PC =，∴10OC PC ==，过P 作PE OA ⊥于点E ，∵PD OB ⊥，OP 平分AOB ∠， ∴PD PE =，∵PC OB ∥，30AOB ∠=︒ ∴30ECP AOB ∠=∠=︒在Rt ECP ∆中，152PE PC ==∴5PE PD ==随练1、 如图，ABC △中，90A ∠=︒，30C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，12AC =，则BCD △中BC 边上的高是____【答案】 6【解析】 该题考察的是三角形的高． 过A 做BC 的高AE ， 在Rt △AEC 中，30C ∠=︒，由在直角三角形中30︒所对直角边等于斜角边的一半得：11=12622AE AC =⨯=．等边三角形与全等三角形综合例题1、 如图△ABC 为等边三角形，直线a ∥AB ，D 为直线BC 上任一动点，将一60°角的顶点置于点D 处，它的一边始终经过点A ，另一边与直线a 交于点E ．（1）若D 恰好在BC 的中点上（如图1）求证：△ADE 是等边三角形；ODB P CA E BA DCBA DCE（2）若D 为直线BC 上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案】 见解析【解析】 （1）证明：∵a ∥AB ，且△ABC 为等边三角形， ∴60ACE BAC ABD ∠=∠=∠=︒，AB AC =， ∵BD CD =，∴AD ⊥BC∵60ADE ∠=︒，∴30EDC ∠=︒，∴18090DOC EDC ACB ∠=︒-∠-∠=︒， ∴30DEC DOC ACE ∠=∠-∠=︒，∴EDC DEC ∠=∠，∴EC CD DB ==，∴△ABD ≌△ACE ．∴AD AE =，且60ADE ∠=︒， ∴△ADE 是等边三角形；（2）在AC 上取点F ，使CF CD =，连结DF ， ∵60ACB ∠=︒，∴△DCF 是等边三角形， ∵60ADF FDE EDC FDE ∠+∠=∠+∠=︒， ∴ADF EDC ∠=∠，∵DAF ADE DEC ACE ∠+∠=∠+∠，∴DAF DEC ∠=∠， ∴△ADF ≌△EDC （AAS ），∴AD ED =， 又∵60ADE ∠=︒，∴△ADE 是等边三角形．例题2、 在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC=10cm ，等腰直角三角形DEF 的顶点D 为AB 的中点．（1）如图（1）所示，DE ⊥AC 于M ，BC ⊥DF 于N ，则DM 与DN 在数量上有什么关系？两个三角形重叠部分的面积是多少？（2）在（1）的基础上，将三角形DEF 绕着点D 旋转一定的角度，且AC 与DE 相交于M ，BC 与DF 相交于N ，如图（2），则DM 与DN 在数量上有什么关系？两个三角形重叠部分的面积是多少？【答案】 （1）DM=DN ；25cm 2（2）DM=DN ；25cm 2【解析】 （1）连接DC ，∵AC=BC ，D 为AB 的中点，∠ACB=90°，∴CD ⊥AB ，∠ACD=∠BCD=45°，∠A=∠B=45°， ∴∠A=∠DCN ，AD=DC ， ∵DM ⊥AC ，DN ⊥BC ， ∴∠DMA=∠DNC ，∴△ADM ≌△CDN （AAS ）， ∴DM=DN ，则S 重叠=S △DNC +S △DMC =S △DMA +S △DMC =S △ADC =12S △ABC =12×12×10×10=25（cm 2）； （2）连接CD ，则CD ⊥AB ，∠A=∠DCB=45°，AD=CD ，∵∠ADM+∠MDC=∠MDC+∠CDF=90°， ∴∠ADM=∠CDN ，∴△AMD ≌△CND （ASA ）， ∴DM=DN ， 同（1）可得S 重叠=12S △ABC =12×12×10×10=25（cm 2）．随练1、 如图，已知∥ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：∥ABE∥∥CAD ；（2）求∥BFD 的度数．【答案】 （1）见解析（2）60° 【解析】（1）证明：∥∥ABC 为等边三角形， ∥∥BAE=∥C=60°，AB=CA ， 在∥ABE 和∥CAD 中， AB CA BAE C AE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∥∥ABE∥∥CAD （SAS ）．（2）∥∥BFD=∥ABE+∥BAD ， 又∥∥ABE∥∥CAD ， ∥∥ABE=∥CAD ．∥∥BFD=∥CAD+∥BAD=∥BAC=60°．随练2、 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是三角形外一点，且60ABD ∠=︒，BD DC AB +=．求证：60ACD ∠=︒．【答案】 见解析 【解析】 延长BD 至E ，使CD DE =，连接AE ，AD ，BD CD AB +=，BE BD DE =+，BE AB ∴=，60ABD ∠=︒，ABE ∴∆是等边三角形，AE AB AC ∴==，60E ∠=︒，在ACD ∆和AED ∆中，AC AE CD DE AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ACD AED SSS ∴∆≅∆，60ACD E ∴∠=∠=︒．随练3、 已知：90A ∠=︒，AB AC =，BD 平分ABC ∠，CE ⊥BD ，垂足为E ．求证：2BD CE =．【答案】 见解析【解析】 本题考查全等三角形的判定与性质． 证明：延长CE 、BA 交于点F ． ∵CE ⊥BD 于E ，90BAC ∠=︒， ∴ABD ACF ∠=∠．又∵AB AC =，90BAD CAF ∠=∠=︒， ∴△ABD ≌△ACF （AAS ）， ∴BD CF =．∵BD 平分ABC ∠， ∴CBE FBE ∠=∠． 有BE BE =， ∴CE EF =，∴12CE BD =，∴2BD CE =．勾股定理的证明知识精讲一．勾股定理定理如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么222a b c+=．举例如图，在Rt ABC△中，A B C∠∠∠、、的对边分别用字母a、b、c来表示，则有：222a b c+=其中，当34a b==，时，则有斜边222223425c a b=+=+=变形22c a b=+，22a c b=-，22b c a=-．二．勾股定理的证明证明方法一：（赵爽弦图）22 2222222214()214()222ABCDS c ab b a c ab b ac ab b a abc b a==⨯+-∴=⨯+-=++-=+正方形证明方法二：（等面积法）()2222222214222ABCDS a b ab ca b ab ab ca b c=+=⨯+∴++=+∴+=正方形cbaCBA cabAFDCBEHG证明方法三：（总统证法）()()222222211222222ABCD a b a b S ab c a ab b ab c a b c ++==⨯+∴++=+∴+=梯形三．易错点：1. 运用勾股定理求直角三角形边长时，注意分清直角边和斜边，采用正确的计算公式。

直角三角形一、直角三角形的性质1. 直角三角形的两个锐角互余。

2. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4. 勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。

5. 射影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。

6. 常用关系式AB×CD=AC×BC二、直角三角形的判定1. 有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3. 勾股定理的逆定理如果三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，那么这个三角形是直角三角形。

1．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（）A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等解：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A、C；而B构成了AAA，不能判定全等；D构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等．故选：D．2．不能使两个直角三角形全等的条件（）A．一条直角边及其对角对应相等B．斜边和一条直角边对应相等C．斜边和一锐角对应相等 D．两个锐角对应相等解：A、符合AAS，正确；B、符合HL，正确；C、符合ASA，正确；D、因为判定三角形全等必须有边的参与，错误．故选D．3．下列说法中正确的是（）A．斜边相等的两个直角三角形全等B．腰相等的两个等腰三角形全等C．有一边相等的两个等边三角形全等D．两条边相等的两个直角三角形全等解：A、全等的两个直角三角形的判定只有一条边对应相等不行，故本选项错误；B、只有两条边对应相等，找不出第三个相等的条件，即两三角形不全等，故本选项错误；C、有一边相等的两个等边三角形全等，根据SSS均能判定它们全等，故此选项正确；D、有两条边对应相等的两个直角三角形，不能判定两直角三角形全，故选项错误；故选：C．4．下列说法中，正确的个数是（）①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．A．1个B．2个C．3个D．4个解：①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等，正确；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，错误；故选C．5．如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．证明：∵BF=EC，∴BF+FC=FC+EC，即BC=EF，∵∠A=∠D=90°，∴△ABC和△DEF都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．6．如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt △ABF≌Rt△DCE．证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．7．在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF=AE，BC=DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．解：如图，在Rt△ADC与Rt△CBA中，，∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL），∴DC=BA．又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，在Rt△ABE与Rt△CDF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．8．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°AC=BD，BC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形∵Rt△ABC≌Rt△DCB∴∠ACB=∠DCB∴OB=OC∴△OBC是等腰三角形9．如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．基础演练1．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（）A．35° B．55° C．60° D．70°解：∵CD⊥BD，∠C=55°，∴∠CBD=90°﹣55°=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°．故选D．2．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（）A．图中有三个直角三角形 B．∠1=∠2C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2=∠A解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∴△ACD∽△CBD∽△ABC．A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；B、应为∠1=∠B、∠2=∠A；故本选项错误；C、∵∠1=∠B、∠2=∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；D、∵∠2=∠A；故本选项正确．故选B．3．直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个锐角的度数是（）A．18° B．36° C．54° D．72°解：设这个锐角度数是x，则另一个锐角度数是（90﹣x）°，由题意得，x=4（90﹣x），解得x=72°，所以，这个锐角的度数是72°．故选D．4．在△ABC中，若∠B与∠C互余，则△ABC是（）三角形．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解：∵∠B与∠C互余，∴∠B+∠C=90°，在△ABC中，∠A=180°﹣（∠B+∠C）=180°﹣90°=90°，∴△ABC是直角三角形．故选B．5．如图所示，已知AC⊥BC，CD⊥AB，∠2与∠A有什么关系？请说明理由．解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠2+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠2=∠A．巩固提高6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，F是AC延长线上一点，FD⊥AB，垂足为D，FD与BC相交于点E，∠BED=55°．求∠A的度数．解：∵FD⊥AB于D，∴∠BED+∠B=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠BED=55°．7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC上一点，且∠BAD=2∠C．求证：∠ABD=∠ADB．证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余）；又∠BAD=2∠C（已知），∴∠BAD+∠DAC=2∠C+∠DAC=∠B+∠C，即∠B=∠C+∠DAC，∵∠ADB=∠C+∠DAC（三角形外角性质），∴∠ABD=∠ADB（等量代换）．8．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，ED垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，EC=2．求AE的长．解：如图，连接BE，，∵ED垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=30°，∵∠ABC=90°﹣30°=60°，∴∠EBC=60°﹣30°=30°，∴BE=2CE=2×2=4，∴AE=4．9．如图，△ABC中，AB=AC，D点在BC上，∠BAD=30°，且∠ADC=60°．请完整说明为何AD=BD与CD=2BD的理由．解：∵∠4=60°，∠1=30°，根据三角形外角定理可得：∠ABD=∠4﹣∠1=60°﹣30°=30°=∠1．∴BD=AD．∵∠ABD=30°，又∵AB=AC，∴∠C=∠ABD=30°，∴∠2=180°﹣∠4﹣∠C=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠C=30°，∴CD=2AD=2BD．1．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，∴斜边的长为2×2=4cm．故选B．2．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥BC，过A作AD⊥BD于D，已知△ABC周长为M，则AD=（）A．B．C．D．解：∵△ABC周长为M，在等边三角形ABC中，∴AB=，∵BD⊥BC，过A作AD⊥BD于D，∴∠ABD=30°，∴AD=．故选B．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E．若CE=2，则AB的长是（）A．4 B．4 C．8 D．8解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，ED⊥AB，∴∠A=∠EBA=30°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠EBA=30°，又∵BC⊥AC，ED⊥AB，∴DE=CE=2．在直角三角形ADE中，DE=2，∠A=30°，∴AE=2DE=4，∴AD==2，∴AB=2AD=4．故选B．4．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A．4m B．8m C．m D．4m解：作CE⊥AB交AB 的延长线于E，∵∠ABC=150°，∴∠CBE=30°，∴CE=BC=4cm，故选：D．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=1，求AD的长．解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，∴∠BCD=∠A=30°，∵BD=1，∴BC=2，∴AB=4，∴AD=AB﹣BD=3．6．如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DE⊥AB于E，FD⊥BC于D，G是FC的中点，连接GD．求证：GD⊥DE．证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，FD⊥BC，∴∠BED=∠FDC=90°，∴∠1+∠B=90°，∠3+∠C=90°，∴∠1=∠3，∵G是直角三角形FDC的斜边中点，∴GD=GF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵∠FDC=∠2+∠4=90°，∴∠1+∠4=90°，∴∠2+∠FDE=90°，∴GD⊥DE．1．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF=2，则AC的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6解：如图，连结AF．∵AB=AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD．∵在Rt△ACF中，∠AFC=90°，E是AC的中点，EF=2，∴AC=2EF=4．故选B．2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为（）A．15° B．25° C．35° D．45°解：∵△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，∴CD=BD=AB，∴∠B=∠DCB=55°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°﹣55°=35°，故选：C．3．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（）A．30° B．15° C．45° D．25°解：∵∠DBC=90°，E为DC中点，∴BE=CE，∵∠BCD=60°，∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，∴∠ABF=75°，∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，故选B．4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（）A．2a B．2 a C．3a D．解：∵CD⊥AB，CD=DE=a，∴CE=a，∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点，∴AB=2CE=2a，故选B．5．如图，△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=2cm，求BC的长．解：∵AB=AC，∠C=30°，∴∠B=∠C=30°，∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∴∠DAC=120°﹣90°=30°=∠C，∴AD=DC=2cm，∵∠BAD=90°，∠B=30°，AD=2cm，∴BD=2AD=4cm，∴BC=4cm+2cm=6cm．6．如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．（1）求证：DC=BE；（2）若∠AEC=66°，求∠BCE的度数．解：（1）如图，∵G是CE的中点，DG⊥CE，∴DG是CE的垂直平分线，∴DE=DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE=BE=AB，∴DC=BE；（2）∵DE=DC，∴∠DEC=∠BCE，∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，∵DE=BE，∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠BCE，∴∠AEC=3∠BCE=66°，则∠BCE=22°．7．已知，∠BAC=∠BDC=90°，点E在BC上，且BE=EC，P点为AD外一点，且PA=PD，求证：PE垂直平分AD．证明：连接AE和DE，∵∠BAC=∠BDC=90°，点E在BC上，BE=EC，∴AE=BC，DE=BC，∴AE=DE，即E在AD的垂直平分线上，∵PA=PD，∴P在AD的垂直平分线上，∴PE垂直平分AD．8．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E为AC中点，点F为BD中点．求证：EF⊥BD．证明：如图，连接BE、DE，∵∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E是AC的中点，∴BE=DE=AC，∵点F是BD的中点，∴EF⊥BD．。

与三角形有关的角1.掌握三角形的内角及内角和、外角及外角和的性质，并能够进行相关的计算；2.掌握直角三角形的各个角的特点，并能够进行相关的角度计算；3.掌握折叠的规律，并能够在几何计算中熟练应用；4.会根据角的特点判断三角形的形状.1.三角形中，角的度数的综合计算问题；2.三角形形状的判断；3.几何找规律问题的理解.三角形的内角及其内角和1、三角形内角的概念三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．2、三角形内角和定理：三角形内角和是180°．3、三角形内角和定理的证明证明方法不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中一般需要借助平行线．4、三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数．（1）直接根据两已知角求第三个角；（2）依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角.例1.如图，△ABC中，△A=60°，△B=40°，则△C等于（）A．100°B．80°C．60°D．40°【答案】B【解析】解：由三角形内角和定理得，△C=180°﹣△A﹣△B=80°，故选：B．练习1.已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B－∠C＝40°，则∠B＝____，∠C＝____.【答案】90°；50°【解析】解：由∠B－∠C＝40°得∠B＝40°＋∠C.根据三角形内角和是180°，列出等式∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋40°＋∠C＋∠C＝180°，把∠A＝40°代入，求得∠C＝50°，进而求得∠B＝90°.练习2.在△ABC中，△A+△B=134°，△B+△C=136°，则△ABC的形状是（）【答案】B【解析】解：△在△ABC中，△A+△B=134°，△B+△C=136°，△△A+△B+△B+△C=134°+136°=270°△，△△A+△B+△C=180° △，△﹣△得，△B=90°，△△ABC的形状是直角三角形，故选：B．已知一个三角形其中某两个角或者某一个角及其另外两个角的关系即可利用三角形内角和等于180°求解各个角的具体度数，其核心思想是三角形内角和等于180°为求解角度提供了一个等量关系.例2.一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，则x+2x+3x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，△这个三角形一定是直角三角形，故选：B．练习1.在△ABC中，△A，△B，△C的度数之比为2：3：4，则△B的度数为（）A．120°B．80°C．60°D．40°【答案】C【解析】解：△△A：△B：△C=2：3：4，△设△A=2x，△B=3x，△C=4x，△△A+△B+△C=180°，△2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，△△B的度数为：60°．故选C．练习2.如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形【答案】A【解析】解：设三个内角分别为2k、3k、4k，则2k+3k+4k=180°，解得k=20°，所以，最大的角为4×20°=80°，所以，三角形是锐角三角形．故选A．已知三角形三个内角之间的比例关系，即可设出三个内角的度数（用未知数表示），体现了“见比设参”的思想，再利用三角形内角和等于180°，即可解出相应的未知数，从而求出各个内角的具体度数.例3.下列说法正确的是（）A．三角形的内角中最多有一个锐角B．三角形的内角中最多有两个锐角C．三角形的内角中最多有一个直角D．三角形的内角都大于60°【答案】C【解析】解：A、直角三角形中有两个锐角，故本选项错误；B、等边三角形的三个角都是锐角，故本选项错误；C、三角形的内角中最多有一个直角，故本选项正确；D、若三角形的内角都大于60°，则三个内角的和大于180°，这样的三角形不存在，故本选项错误．故选C．练习1.任何一个三角形的三个内角中至少有（）A．一个角大于60°B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角【答案】B【解析】解：根据三角形的内角和是180°，知：三个内角可以都是60°，排除A；三个内角可以都是锐角，排除C和D；三角形的三个内角中至少有两个锐角，不可能有两个钝角或两个直角．故选B．考查三角形各个内角的特点及限定，需要根据三角形内角和对三个内角之间的影响进行分析推理，重点考查分析推理能力.三角形的外角及其外角和1、三角形外角的定义三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．在计算三角形外角和时，只计算其中的三个，即每个顶点取一个.2、三角形的外角性质（1）三角形的外角和为360°．（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（3）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．3、若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质（2）将它们转化到一个三角形中去．4、探究角度之间的不等关系，多用外角的性质（3），先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．例1.如图所示，在△ABC中，下列说法正确的是（）A．△ADB＞△ADE B．△ADB＞△1+△2+△3C．△ADB＞△1+△2D．以上都对【答案】C【解析】解：A错误，△ADB+△ADE=180°，无法判断其大小关系；B错误，△ADB=△1+△2+△3；C正确，△△ADB=△1+△2+△3，△ADB＞△1+△2；D错误．故选C．练习1.下列图形中一定能说明△1＞△2的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：A中△1=△2，故错误；B中△1和△2的关系不能确定，故错误；C中△1＞△2，故正确；D中△1和△2的关系不能确定，故错误；故选：C．练习2.已知△2是△ABC的一个外角，那么△2与△B+△1的大小关系是（）A．△2＞△B+△1B．△2=△B+△1C．△2＜△B+△1D．无法确定【答案】A【解析】解：△△2＞△ADC，△ADC=△B+△1，△△2＞△B+△1，故选A．在判断角的不等关系时，常会用到“三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角”这一性质.例2.知，如图，△ABC中，△B=△DAC，则△BAC和△ADC的关系是（）A．△BAC＜△ADC B．△BAC=△ADC C．△BAC＞△ADC D．不能确定【答案】B【解析】解：由三角形的外角性质，△ADC=△B+△BAD，△△BAC=△BAD+△DAC，△B=△DAC，△△BAC=△ADC．故选B．练习1.如图，在△ABC中△A=80°．点D是BC延长线上一点，△ACD=150°，则△B=（）A．60°B．50°C．70°D．165°【答案】C【解析】解：由三角形的外角的性质可知，△B=△ACD﹣△A=70°，故选：C．练习2.如图，在△ABC中，AB=AC，△A=140°，延长BC至点D，则△ACD等于（）A．130°B．140°C．150°D．160°【答案】D【解析】解：△AB=AC，△A=140°，△△B=△ACB=（180°﹣140°）=20°，△△ACD=180°﹣△ACB=180°﹣20°=160°．故选D．在三角形中“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”这一性质是计算角的度数中比较常用的一个典型知识，只要三角形中有外角出现，都有可能会用到这一性质.例3.如果三角形三个外角度数之比是3：4：5，则此三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】B【解析】解：△三角形三个外角度数之比是3：4：5，设三个外角分别是α，β，γ，则α=360°×=90°，△此三角形一定是直角三角形．故选：B．练习1.如果一个三角形的三个外角的度数之比是2：3：4，那么与之对应的三个内角的度数之比是（）A．1：3：5B．2：3：4 C．4：3：2D．5：3：1【答案】D【解析】解：设三个外角的度数分别是2x°，3x°，4x°，由题意得：2x+3x+4x=360，解得：x=40，则2x=80，3x=120，4x=160，故三个内角分别为：100°，60°，20°，而100°：60°：20°=5：3：1，故选：D．练习2.如图所示：△1=110°，△2=125°，那么△3=（）A．55°B．65°C．75°D．85°【答案】A【解析】解：根据三角形的外角和可得，∠3的邻补角等于125°，所以∠3=55°，故选A.在三角形的角度计算中，如果涉及到的外角比较多时，常会考虑用“三角形的外角和等于360°”这一性质.直角三角形的性质1、有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．2、在直角三角形中，两个锐角互余．注：在进行角度的计算时，直角三角形锐角互余的性质也是一个常用的倒角方法.反之，我们也常用“两锐角互余”的性质来判定一个三角形是否是直角三角形.3、目前通用的三角板是最典型的直角三角形，同时两个三角板的四个锐角的度数是固定的，分别为：45°、45°、30°、60°，在三角板中的角度计算类问题中要将以上度数当成已知度数来使用.例1.在Rt△ABC中，△C=90°，△A﹣△B=70°，则△A的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°【答案】A【解析】解：△△C=90°，△△A+△B=90°，又△A﹣△B=70°，△△A=（90°+70°）=80°．故选A．练习1.AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，△C=50°，求△BHD．【答案】解：△AD是△ABC的高，△△BHD+△HBD=90°，△BE是△ABC的高，△△HBD+△C=90°，△△BHD=△C，△△C=50°，△△BHD=50°．练习2.如图，在△ABC中，△BAC=90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE△AC，DF△AB，垂足分别为E、F，则图中与△C（△C除外）相等的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【解析】解：△AD是斜边BC上的高，DE△AC，DF△AB，△△C+△B=90°，△BDF+△B=90°，△BAD+△B=90°，△△C=△BDF=△BAD，△△DAC+△C=90°，△DAC+△ADE=90°，△△C=△ADE，△图中与△C（除之C外）相等的角的个数是3，故选：A．在进行角度的计算时，直角三角形锐角互余的性质也是一个常用的倒角方法.例2.在下列条件中，△△A+△B=△C；△△A：△B：△C=1：2：3；△△A=△B=△C；△△A=△B=2△C；△△A=2△B=3△C，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】解：△、△△A+△B=△C=90°，△△ABC是直角三角形，故小题正确；△、△△A：△B：△C=1：2：3，△△A=30°，△B=60°，△C=90°，△ABC是直角三角形，故本小题正确；△、设△A=x，△B=2x，△C=3x，则x+2x+3x=180°，解得x=30°，故3x=90°，△ABC是直角三角形，故本小题正确；△△设△C=x，则△A=△B=2x，△2x+2x+x=180°，解得x=36°，△2x=72°，故本小题错误；△△A=2△B=3△C，△△A+△B+△C=△A+△A+A=180°，△△A=°，故本小题错误．综上所述，是直角三角形的是△△△共3个．故选B．练习1.给定下列条件，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．△A=△B=2△C B．△A+△B=△CC．△A：△B：△C=1：4：5D．△A=37°，△B=53°【答案】A【解析】解：A、△△A=△B=2△C，△A+△B+△C=180°，△△A=△B=72°，△C=36°，△此时△ABC为锐角三角形；B、△△A+△B=△C，△A+△B+△C=180°，△△C=90°，△此时△ABC为直角三角形；C、△△A：△B：△C=1：4：5，△A+△B+△C=180°，△△A=18°，△B=72°，△C=90°，△此时△ABC为直角三角形；D、△△A=37°，△B=53°，△A+△B+△C=180°，△△C=90°，△此时△ABC为直角三角形．故选A．判断一个三角形是不是直角三角形的方法很多，就现学的知识而言，主要有：（1）两个内角之和为90°；（2）其中两个内角的和等于第三个内角；（3）其中某一个角等于90°；（4）三个内角的比例关系中，两个内角比例之和等于第三个内角所占的比例等.例3.将一副三角尺按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则△α的度数是．【答案】75°【解析】解：△△DAC+△ACB=180°，△AD△BC，△△B=△DAE=30°，△△DEB=△D+△DAE=45°+30°=75°，即△α的度数是75°．故答案为：75°．练习1.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则△α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°【答案】A【解析】解：给图中标上△1、△2，如图所示．△△1+45°+90°=180°，△△1=45°，△△1=△2+30°，△△2=15°．又△△2+△α=180°，△△α=165°．故选A．练习2.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则△1的度数为（）A．60°B．75°C．65°D．70°【答案】B【解析】解：△△2=90°﹣45°=45°（直角三角形两锐角互余），△△3=△2=45°，△△1=△3+30°=45°+30°=75°．故选B．目前通用的三角板是最典型的直角三角形，同时两个三角板的四个锐角的度数是固定的，分别为：45°、45°、30°、60°，在三角板中的角度计算类问题中要将以上度数当成已知度数来使用.三角形倒角计算综合在三角形中计算角的度数是非常重要的一种题型，其中涉及到的知识点主要包括：角平分线的性质、两直线平行的性质、对顶角的性质、邻补角的性质、三角形的外角及其外角和、三角形的内角和等一系列倒角相关的知识，在分析此类几何题时，要首先从这些知识入手.通过倒角，可以计算角的度数，从而判断三角形的形状.折叠问题，也是倒角中常会考到的一个典型知识，其本质特征是：折叠前后的边和角的大小是完全相同的.例1.已知△ABC中，△A=20°，△B=△C，那么三角形△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形【答案】A【解析】解：△△A=20°，△△B=△C=（180°﹣20°）=80°，△三角形△ABC是锐角三角形．故选A．练习1.若一个三角形三个内角度数的比为2：7：4，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】C【解析】解：依题意，设三角形的三个内角分别为：2x，7x，4x，△2x+7x+4x=180°，△7x≈97°，x=13.85°，7x=97°，△这个三角形是钝角三角形．故选：C．练习2.三角形的外角大于和它相邻的这个内角，这个三角形为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定【答案】D【解析】解：△三角形的一个内角和相邻的外角互补，三角形的外角大于和它相邻的这个内角，△这个三角形是锐角三角形，但是无法确定其他内角大小，故此三角形形状无法确定．故选：D．按照角度的大小来分类，三角形分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种类型.要判断三角形的具体形状，只需要找到三角形中最大的角是哪种类型的角（锐角、直角、钝角）即可.例2.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则△A与△1+△2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．△A=△1+△2B．2△A=△1+△2C．3△A=2△1+△2D．3△A=2（△1+△2）【答案】B【解析】解：2△A=△1+△2，理由：△在四边形ADA′E中，△A+△A′+△ADA′+△AEA′=360°，则2△A+180°﹣△2+180°﹣△1=360°，△可得2△A=△1+△2．故选：B．练习1.如图，在△ACB中，△ACB=100°，△A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则△ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】D【解析】解：△△ACB=100°，△A=20°，△△B=60°，由折叠的性质可知，△ACD=△BCD=50°，△△B′DC=△BDC=70°，△△ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°，故选：D．练习2.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分△ABC，A'C平分△ACB，若△BA'C=110°，则△1+△2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】A【解析】解：连接AA′．△A'B平分△ABC，A'C平分△ACB，△BA'C=110°，△△A′BC+△A′CB=70°，△△ABC+△ACB=140°，△△BAC=180°﹣140°=40°，△△1=△DAA′+△DA′A，△2=△EAA′+△EA′A，△△DAA′=△DA′A，△EAA′=△EA′A，△△1+△2=2（△DAA′+△EAA′）=2△BAC=80°，故选A．折叠问题是初中几何中最典型的一种几何变换类型，折叠问题的典型特点是折叠前后的边和角的大小是完全相同的，而本节中只涉及到“折叠前后角的大小相同”这一性质的应用.例3.如图，在△ABC中，△BAC=56°，△ABC=74°，BP、CP分别平分△ABC和△ACB，则△BPC=（）A．102°B．112°C．115°D．118°【答案】D【解析】解：△在△ABC中，△BAC=56°，△ABC=74°，△△ACB=180°﹣△BAC﹣△ABC=50°，△BP、CP分别平分△ABC和△ACB，△△PBC=37°，△PCB=25°，△△BCP中，△P=180°﹣△PBC﹣△PCB=118°，故选：D．练习1.在△ABC中，△B，△C的平分线相交于点P，设△A=x°，用x的代数式表示△BPC的度数，正确的是（）A．B．C．90+2x D．90+x【答案】A【解析】解：△△A=x°，△△ABC+△ACB=180°﹣x°，△△B，△C的平分线相交于点P，△△PBC+△PCB=（180°﹣x°），△△BPC=180°﹣（180°﹣x°）=90°+x°，故选A．练习2.如图，在△ABC中，△A=40°，△B=60°，CD△AB于点D，CE平分△ACD，DF△CE 于点F，则△CDF的度数为（）A．70°B．80°C．85°D．78°【答案】B【解析】解：△△A=40°，△B=60°，△△ACB=180°﹣△A﹣△B=80°，△CE平分△ACB，△△ACE=△ACB=40°，△CD△AB于D，△△CDA=90°，△ACD=180°﹣△A﹣△CDA=50°，△△ECD=△ACD﹣△ACE=10°，△DF△CE，△△CFD=90°，△△CDF=180°﹣△CFD﹣△DCE=80°．故选B．练习3.如图，△ABC=△ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角△EAC、内角△ABC、外角△ACF．以下结论：△AD△BC；△△ACB=2△ADB；△△ADC=90°﹣△ABD；△△BDC=△BAC．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：△△AD平分△ABC的外角△EAC，△△EAD=△DAC，△△EAC=△ACB+△ABC，且△ABC=△ACB，△△EAD=△ABC，△AD△BC，故△正确．△由（1）可知AD△BC，△△ADB=△DBC，△BD平分△ABC，△△ABD=△DBC，△△ABC=2△ADB，△△ABC=△ACB，△△ACB=2△ADB，故△正确．△在△ADC中，△ADC+△CAD+△ACD=180°，△CD平分△ABC的外角△ACF，△△ACD=△DCF，△AD△BC，△△ADC=△DCF，△ADB=△DBC，△CAD=△ACB，△△ACD=△ADC，△CAD=△ACB=△ABC=2△ABD，△△ADC+△CAD+△ACD=△ADC+2△ABD+△ADC=2△ADC+2△ABD=180°，△△ADC+△ABD=90°，△△ADC=90°﹣△ABD，故△正确；△△△BAC+△ABC=△ACF，△△BAC+△ABC=△ACF，△△BDC+△DBC=△ACF，△△BAC+△ABC=△BDC+△DBC，△△DBC=△ABC，△△BAC=△BDC，即△BDC=△BAC．故△错误．故选C．三角形中角的度数的计算是本节中的一个重要题型，其中涉及到角的大小的计算问题常会用到的知识有：角平分线的性质、两直线平行的性质、三角形内角和、三角形的外角的性质、三角形的外角和、互余与互补、对顶角的性质等与角的大小相关的性质及定理.较难的题型会涉及到多个知识的结合考查，需要在平时的练习中逐步建立几何分析能力.例4.如图，在△ABC中，△A=m°，△ABC和△ACD的平分线交于点A1，得△A1；△A1BC 和△A1CD的平分线交于点A2，得△A2；…△A2016BC和△A20l6CD的平分线交于点A2017，则△A2017=°．【答案】【解析】解：△A1B平分△ABC，A1C平分△ACD，△△A1BC=△ABC，△A1CA=△ACD，△△A1CD=△A1+△A1BC，即△ACD=△A1+△ABC，△△A1=（△ACD﹣△ABC），△△A+△ABC=△ACD，△△A=△ACD﹣△ABC，△△A1=△A，△A2=△A1=△A，…，以此类推可知△A2017=△A=（）°，故答案为：．练习1.（1）如图1，在△ABC中，点O是△ABC和△ACB平分线的交点，若△A=α，则△BOC=90°+；如图2，△CBO=△ABC，△BCO=△ACB，△A=α，则△BOC=（用α表示）（2）如图3，△CBO=△DBC，△BCO=△ECB，△A=α，请猜想△BOC=（用α表示）．【答案】120°+α 120°﹣α【解析】解：（1）如图2，在△OBC中，△BOC=180°﹣（△OBC+△OCB）=180°﹣（△ABC+△ACB）=180°﹣（180°﹣△A）=120°+△A=120°+α；（2）如图△，在△OBC中，△BOC=180°﹣（△OBC+△OCB）=180°﹣（△DBC+△ECB）=180°﹣（△A+△ACB+△A+ABC）=180°﹣（△A+180°）=120°﹣α；故答案为：120°+α；120°﹣α．练习2.如图，在△ABC中，△A=64°，△ABC与△ACD的平分线交于点A1，则△A1=；△A1BC与△A1CD的平分线相交于点A2，得△A2；…；△A n﹣1BC与△A n﹣1CD的平分线相交于点A n，要使△A n的度数为整数，则n的值最大为．【答案】32°6【解析】解：由三角形的外角性质得，△ACD=△A+△ABC，△A1CD=△A1+△A1BC，△△ABC的平分线与△ACD的平分线交于点A1，△△A1BC=△ABC，△A1CD=△ACD，△△A1+△A1BC=（△A+△ABC）=△A+△A1BC，△△A1=△A=64°=32°；△A1B、A1C分别平分△ABC和△ACD，△△ACD=2△A1CD，△ABC=2△A1BC，而△A1CD=△A1+△A1BC，△ACD=△ABC+△A，△△A=2△A1，△△A1=△A，同理可得△A1=2△A2，△△A2=△A，△△A=2n△A n，△△A n=（）n△A=，△△A n的度数为整数，△n=6．故答案为：32°，6．几何找规律问题，除了要从代数的角度理解数列的变化规律、找到通项公式，还需要能够从几何的角度发现几何图形的变化特点，找到几何变化规律，所以几何规律问题是初中找规律问题的重点，也是难点问题.本节主要的考查重点是与三角形相关的角度计算，其中倒角的常用方法是重中之重，倒角的技巧贯穿在整个初中的几何证明及计算中，是非常重要的几何知识.。

三角形的定义 ;三角形的三边关系 与三角形有关的线段H 三角形的中线、高线、角平分线 r"三角形的稳定性三角形的内角及内角和三角形的外角与三角联刖卜：相等关系三角形外角的性质0. -------不等关系 多边形的概念多边形的相关概念 [ 凸多边形的概念 '正多边形的概念多边形的对角浅及其计箕公式多边形内角的定义多边形的内角及内角和o/————— — —----------------------------- 多边形内角和公式及其推导过程多边形外角的定义多边形的外角及外角和e ------------------------------------------- 多边形外角和―1读嵌原理锚森何遨• ---------------»考点说明：三角形中与线相关的计算问题,主要包括三角形的三边关系、高线的熟悉、中 线对三角形的面积和周长的影响等.参考课课练套卷中的第1、5、7、14、20题.例L 以长为13cm 、10cm 、5cm 、7cm 的四条线段中的三条线段为边,可以画出三角形的个 数是〔 〕多边形及其内角和 类型一：三角形中线的相关计算A.1个 B ・2个 C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：首先可以组合为13, 10, 5； 13, 10, 7： 13, 5, 7； 10, 5, 7.再根据三角形的三边关系,发现其中的13, 5, 7不符合,那么可以画出的三角形有3个.应选：C.例2.一个三角形的两边长为8和10,那么它的最短边a的取值范围是,它的最长边b的取值范惘是【答案】2<a<8, 10<b<18【解析】解：口三角形的三边长分别为8, 10, a,且a是最短边,二10-8VaW8, RP 2<a<8：二三角形的三边长分别为8, 10, b,且b是最长边,二104<8+10,即10W〕V18.故答案为：2VaW8, 10<b<18.例3.不一定在三角形内部的线段是〔〕A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高D.三角形的中位线【答案】C【解析】解：由于在三角形中,它的中线、角平分线一定在三角形的内部,而钝角三角形的高在三角形的外部.应选C.例4.一块三角形的实验田,平均分成四份,由甲、乙、丙、丁四人种植,你有几种方法？〔至少要用三种方法〕.【答案】解：作图如下：【解析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形,先分成两个面积相等的三角形, 进而继续即可.剩下方法可根据此根本图形进行变形.例5.以下说法错误的选项是〔〕A.锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点B.钝角三角形有两条高线在三角形外部C.直角三角形只有一条高线D.任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线【答案】C【解析】解：A、解：A、锐角三角形的三条高线、三条角平分线分别交于一点,故本选项说法正确；B、钝角三角形有两条高线在三角形的外部,故本选项说法正确；C、直角三角形也有三条高线,故本选项说法错误：D、任意三角形都有三条高线、中线、角平分线,故本选项说法正确；应选：C.例6.给出以下命题：二三条线段组成的图形叫三角形；二三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角：二三角形的角平分线是射线：二三角形的高所在的直线交于一点,这一点不在三角形内就在三角形外；二任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线：二三角形的三条角平分线交于一点,且这点在三角形内.正确的命题有〔〕A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形,故二错误；三角形的角平分线是线段,故二错误：三角形的高所在的直线交于一点,这一点可以是三角形的直角顶点,故二错误；所以正确的命题是二、口、共3个.应选C.例7.如图,在二ABC中,D, E分别为BC上两点,且BD=DE=EC,那么图中而积相等的三角形有〔〕对.【答案】A【解析】解：等底同高的三角形的面积相等,所以二二ADE, Z.1EC三个三角形的而积相等,有3对,又二ABE与二＜8的面积也相等,有1对,所以共有4对三角形面积相等.故选A.隼类型二：三角形中角的计算k考点说明：在三角形章节,对于角度的计算是非常重要的一个考点,倒角过程中主要用到的知识有：角平分线平分角〔非常重要〕、三角形的内角和、三角形的外角的性质、直角三角形中角的特点〔一个角为90.,两锐角之和为90.〕、高的特点〔得到90.的角和直角三角形〕、两直线平行的性质、对顶角、折卷特征等.其中对直角三角形的判定也是很重要的一个内容.在复习过程中要帮助学生梳理相关知识,这也为倒角的计算提供了思考角度. 参考课课练套卷中的第4、8、9、10、12、15、17、19、23、24、26、27、28、30 题.例1.二ABC中,匚A,匚B,二C三个角的比例如下,其中能说明二ABC是直角三角形的是〔〕A. 2： 3： 4B. 1： 2： 3C. 4： 3： 5D. 1： 2： 2【答案】B【解析】解：A、设三个角分别为2x, 3x, 4x,根据三角形内角和定理得三个角分别为：40.,60.,80.,所以不是直角三角形；B、设三个角分别为x, 2x, 3x,根据三角形内角和定理得三个角分别为：30.,60.,90., 所以是直角三角形；C、设三个角分别为3x, 4x, 5x,根据三角形内角和定理得三个角分别为：45.,60.,75., 所以不是直角三角形：D、设三个角分别为x, 2x, 2x,根据三角形内角和定理得三个角分别为：36.,72% 72., 所以不是直角三角形.应选B.例2.如图：AB二CD,二ABD,二BDC的平分线交于E,试猜测二BED的形状并说明理由.【答案】解：匚BED为直角三角形.理由如下：ZABZCD,二二ABD+二CDB=180.〔两直线平行,同旁内角互补〕,又二二ABD,匚BDC的平分线交于E,二二EBD▲匚ABD,二EDB」二BDC,22二二EBD+二EDB上〔ZABD+ZBDC〕 =ixl80°=90°,二二BED 为直角三角形. 2 2【解析】根据平行线的性质,求出二ABD+二CDB=180.,然后根据角平分线的性质,求二EBD十二EDB的度数,然后根据三角形内角和定理解答.例3.如图,二ABC 中,BD 是二ABC 的角平分线,DE二BC,交AB 于EqA=60.,二BDC=95.,那么二BED的度数是( )A. 35.B. 70°C. 110° D, 130°【答案】C【解析】解：匚二BDC=CA+二ABD, □匚ABD=950 - 60.=35.,二BD 是二ABC 的角平分线,二二ABC=2二ABD=70.,ZDEZBC, □CBED+ZABC=180°, □□BED=180° - 70°=110°,应选C.例4,：如图,二ABC为直角三角形,匚B=90.,假设沿图中虚线剪去二B,那么二1+二2【答案】270【解析】解：匚二ABC为直角三角形,二B=90,二口1=90.+二BNM,匚2=90.+二BMN,二L1+匚2=270,故答案为：270.B Jr c例5.如图,Rt二ABC中,二ACB=90.,匚4=55.,将其折卷,使点A落在边CB上A,处,折痕为CD,那么二ADB=( )【答案】C【解析】解：在Rt匚ABC 中,匚ACB=90.,DA=55% 二二B=180.- 90.- 550=35.,由折叠可得：匚CAD="=55.,又二二CA'D 为二A'BD 的外角,二二CA'D=：B-二A'DB,贝lj二ADB=55.- 35.=20..应选：C.例6.如图,AD是二ABC的角平分线,BE是二ABC的高,ZBAC=40°,那么二AFE的度数为70.,【解析】解：匚AD平分二BAC,匚BAC=40.,□二EAF=200.Z BE ZAC, □匚AEF=90.,□CAFE=90° - 20°=70°.故答案为：70..例7.如图,在直角三角形ABC中,AC壬AB, AD是斜边上的高,DE二AC, DFCAB,垂足分别为E、F,那么图中与DC 〔二C除外〕相等的角的个数是〔〕【答案】A【解析】解：匚AD是斜边BC上的高,DE二AC, DFZAB,二二C+二B=90.,=BDF+二B=90..二BAD+二B=90.,=二C=：BDF=：BAD.二二DAC+二C=90.,二DAC+二ADE=90°, ZZC=ZADE,二图中与二C 〔除之C外〕相等的角的个数是3,应选：A.例8.如图,二ABC 中,二A=40.,匚B=72.,CE 平分二ACB, CDDAB 于D, DFZCE,那么nCDF= 74度.【解析】解：□二A=40.,ZB=72°, □CACB=68°,二CE 平分二ACB, CD匚AB 于D,二匚BCE=34°, ZBCD=90 - 72=18%二DF二CE, aZCDF=90° - 〔34.- 18.〕=740.故答案为：74.例9.如图,把二ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,匚A与二1+二2之间有一种数量关系始终保持不变,请试着找一找这个规律,你发现的规律是什么？试说明你找出理由是：延长BD和CE交于A",二把二ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部,二二ADE=CADE,二AED二：AED,二2二ADE=180.-匚1, 2=AED=180.-口2, □□ADE=90.义二1, 口3口=90.-三二2,22二在二ADE 中,二A=180.-〔二AED-匚ADE〕,二二A」二二2,即2二庆=二1+二2.2 2【解析】根据折叠得出二ADE=CADE,二AED=：A,ED,求出2二ADE=180.- Zh2ZAED=180°-匚2 ,推出口ADE=90.-1 H , ZAED=90°-上口2 ,在HADE 中,二A=180.-2 2〔ZAED+ZADE〕,代入求出即可.例10.(1)如图1,点P为二ABC的内角平分线BP与CP的交点,求证：匚BPC=90.总二A：(2)如图2,点P为二ABC内角平分线BP与外角平分线CP的交点,请直接写出二BPC与二A的关系：(3)如图3,点P是二ABC的外角平分线BP与CP的交点,请直接匚BPC与二A的关系.A【答案】证实：(1)二二PBC+二BCP+二BPC=180.,二二BPC=120.,ZZABC+ZACB=60%二BP、CP 是角平分线,□二ABC=2二PBC,匚ACB=2：：BCP,二二ABC+二ACB+匚A=180.,口二BPC=9(T+工二A；2(2)匚P总二A,理由如下：二二ABC的内角平分线BP与外角平分线CP交于P,二二PBC」•二ABC,匚PCD=±ACD,2 2二二ACD=CA+二ABC, □PCD=ZPBC+nP,Z— (ZA+ZABC) =：：PBC十二P」二ABC+匚P, □二P上二A：2 2 2(3)匚P=90.-!二A,理由如下：2二BP、CP是匚ABC的外角平分线,二匚PBC」(口A+匚人©8),匚PCB」(ZA+DABC),2 2又二二PBC+ 二PCB+ 二P= 180.,二匚P=180°-〔匚PBC+匚PCB〕=180° -—〔二A+匚ACB+I2A+口ABC 〕2=180.W〔180+二A〕2=90° - -ZA.2【解析】〔1〕先根据三角形内角和定理求出二PBC十二PCB的度数,再根据角平分线的性质求出匚ABC+二ACB的度数,由三角形内角和定理即可求出答案.〔2〕根据角平分线的定义WZPBC=—ZABC, ZPCD=—□ ACD,再根据三角形外角性质得二ACD=CA+二ABC,2 2ZPCD=ZPBC+ZP,所以工〔二A+：：ABC〕 =：：PBC+二P2二ABC+二P,然后整理可得二P八2 2 2二A：〔3〕根据题意得二PBC=[•〔匚A+二ACB〕, 2PCB1〔2A+：：ABC〕,由三角形的内角乙乙和定理以及三角形外角的性质,求得二P与二A的关系,从而计算出二P的度数.隼类型三：多边形相关的边、角计算方考点说明：多边形相关的计算问题主要的考查点在于相关公式的理解,包括：多边形内角和公式、多边形外角和公式、多边形的对角线公式及推导.相关的典型题除了对根本的应用公式进行计算外,还包括截角问题、少〔多〕计算角问题、凹多边形的内角和计算等.老师可以提前帮助学生归纳相关题型的典型处理方法.参考课课练套卷中的第2、3、16、18、21、22题.例1.从n边形的一个顶点作对角线,把这个n边形分成三角形的个数是〔〕A. 11B. 〔n - 1〕C. 〔n - 2〕D. 〔n - 3〕【答案】C【解析】解：从n边形的一个顶点作对角线,把这个n边形分成三角形的个数是〔11-2〕. 应选C.例2.正多边形的一个内角等于135.,那么该多边形是正〔〕边形.A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】A【解析】解：外角是180- 135=45度,360-45=8,那么这个多边形是八边形.应选A.例3.六边形的对角线的条数是〔〕A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】解：六边形的对角线的条数=6〔67〕=9.应选C.例4.如图,在五边形ABCDE中,二A+二B+二E=a, DP、CP分别平分匚EDC、匚BCD,那么二P 的度数是〔〕A2 2 2 2【答案】A【解析】解:匚五边形的内角和等于540.,r A+ZB+ZE=a,ZnBCD+ZCDE=540°-a,二匚BCD、二CDE的平分线在五边形内相交于点O,二匚PDC十二PCD」?〔OBCD+ZCDE〕 =270°-L,2 2二匚P=180°- 〔270°--a〕 =ia-90°.应选：A.2 2例5.一个多边形切去一个角后,形成的另一个多边形的内角和为1080.,那么原多边形的边数为〔〕A. 7B. 7 或8C. 8 或9D. 7 或8 或9【答案】D【解析】解：设内角和为1080.的多边形的边数是n,那么〔n-2〕-180.=1080.,解得：n=8.那么原多边形的边数为7或8或9.应选：D.例6.小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了,得其和为2260..::求这个多加的外角的度数.二求这个多边形对角线的总条数.【答案】解：匚解：设多边形的边数为n,多加的外角度数为a,贝ij 〔n-2〕・1800=2260.- a,Z2260°=12xl80o+100°,内角和应是1800的倍数,二同学多加的一个外角为100.,二这是12+2=14边形的内角和.二多边形的对角线的条数是14=上3〕=77 〔条〕.即共有77条对角线.【解析】匚根据多边形的内角和公式〔n-2〕-180.可知,多边形的内角和是180.的倍数,然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解：二根据n边形的对角线的条数是n(n-3)2-.例7.小贝在进行多边形内角和的计算时,求得一多边形的内角和为1500.,当她发现错了之后,重新检查,发现少加一个内角,你知道她少加的这个内角是多少度吗？她求的这个多边形是几边形？【答案】解：那么1500+180=*那么边数n=8+2+l=ll：即少加的内角是：(11 -2) X180 - 1500=120°.【解析】n边形的内角和是Gi-2)-180.,多边形的内角一定大于0度,小于180度,因而多边形中,除去一个内角外,其余内角和与180度的商加上2,以后所得的数值,比这个数值大的且最接近的整数就是多边形的边数.例8.如下图五角星,试求匚A+二B+二C+二D+二E.【答案】解：由三角形的外角性质,口1=二8+二D ,Z2=^A+ZC,二2 1+二 2+2E=180.,二二 A+二 B+二 C+二 D+二 E=180°.【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得二1=DB+：：D, Z2=ZA+ZC,然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解.%考点说明：镶嵌问题的本质是对多边形内角和的考查,由于跟实际生活相关,一般会涉及 到镶嵌方案的选择问题,同时对于单一图形的镶嵌和多图形的镶嵌思考的难度是不同的,其 分类讨论思想的应用也是非常典型的.参考课课练套卷中的第6、24题.例1.以下多边形材料中,不能单独用来铺满地面的是〔〕A.三角形B.四边形C.正五边形D.正六边形 【答案】C【解析】解：A 、三角形内角和为180.,能整除360.,能密铺,故此选项不合题意：B 、角形内角和为360.,能整除360.,能密铺,故此选项不合题意：C 、正五边形每个内角是180.- 360.+5=108.,不能整除360.,不能密铺,故此选项合题意：类型四：镶嵌问题D、正六边形每个内角为180.- 360.+6=120.,能整除360.,能密铺,故此选项不合题意：应选：C.例2.某人到瓷砖商店去买一种多边形形状的瓷砖用来铺设无缝地板,他购置的瓷砖形状不可以是〔〕A.正三角形B.长方形C.正八边形D.正六边形【答案】C【解析】解：A、正三角形的内角是60.,6个正三角形可以密铺,故A可以；B、长方形的内角是90.,4个长方形可以密铺,故B可以：C、正八边形的内角是135.,2个正八边形有缝隙,3个正八边形重叠,故C不可以：D、正六边形的内角是120.,3个正六边形可以密铺,故D可以：应选：C.例3.如图的四边形是某地板厂加工地板时剩下的边角余料,用这种四边形的木板可以进行镀嵌吗？请说明理由.【答案】解：能进行镶嵌；理由：由镶嵌的条件知,在一个顶点处各个内角的和为360.时,就能镶嵌.而任意四边形的内角和是360.,只要放在同一顶点的4个内角和为360.,故能进行镶嵌.【解析】由镶嵌的条件知,在一个顶点处各个内角的和为360.时,就能镶嵌.根据任意四边形的内角和是360.,只要放在同一顶点的4个内角和为360.,即可得出答案.例4.一幅图案,在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成.其中的两个分别是正方形和正六边形,那么第三个正多边形的边数是.【答案】12【解析】解：匚正方形和正六边形内角分别为90.、120.,根据平面镶嵌的条件可知第三个正多边形的度数=360.- 90.- 120°=150°,二第三个正多边形的边数是12.例5. 〔1〕一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,那么它是几边形？〔2〕某学校想用地砖铺地,学校已准备了一批完全相同的正n边形［n为〔1〕中的所求值］, 如果单独用这种地砖能密铺吗？〔3〕如果不能,请你自己只选用一种同〔2〕边长相同的正方形地砖搭配能密铺吗？如果能, 请你画出一片密铺的示意图.【答案】解：〔1〕设为n边形,由题意得：〔n-2〕 180.=3*360.,二n=8：〔2〕正八边形的每个内角为：180.- 360.+8=135.,不能整除360.,不能密铺；〔3〕所画图形如下：【解析】〔1〕根据多边形的内角和公式及外角的特征计算.〔2〕几何图形镶嵌成平面的关键是：闱绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角.〔3〕可选择正四边形进行画图.例6.在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下一丝空白,又不互相重叠〔在几何里叫做平面镶嵌〕.这显然与正多边形的内角大小有关.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角〔360.〕时,就拼成了一个平而图形.〔1〕请根据以下图形,填写表中空格:正多边形边数正多边形每个内角的度数60°90°120°(180108360n -〔2〕如果只限于用一种正多边形镶嵌, 哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?【答案】解：〔1〕正三角形每个内角的度数是60., 正四边形每个内角的度数是90% 正五边形每个内角的度数是108., 正六边形每个内角的度数是120.,正n边形每个内角的度数是〔180-2圾〕.. n故答案为:60.,90°, 108°, 120°, 〔180-足处〕.：n〔2〕如限于用一种正多边形镶嵌,那么由一顶点的周围角的和等于360.得正三角形、正四边形〔或正方形〕、正六边形都能镶嵌成一个平面图形.【解析】〔1〕利用正多边形一个内角=180.-刎二一求解即可：〔2〕进行平面镶嵌就是在同n一顶点处的几个多边形的内角和应为360%因此我们只需验证360.是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可.当堂总结〕本节内容是对三角形章节的综合复习,需要掌握的知识板块有与边相关的计算、与角相关的计算及多边形相关的计算,其中倒角问题是所有问题的重中之重,是贯穿初中整个几何内容的基石.-Jg.________ s6/课后作业〕。

第十一章三角形11．1与三角形有关的线段11．1.1三角形的边1．会用符号表示三角形，了解按边的大小关系对三角形进行分类；理解掌握三角形三边之间的不等关系，并会初步应用它们来解决问题．2．进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系．重点：三角形的三边之间的不等关系．难点：应用三角形的三边之间的不等关系判断3条线段能否组成三角形．一、自学指导自学1：自学课本P2－3页，掌握三角形的概念、表示方法及分类，完成填空．(5分钟)总结归纳：(1)由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；其中这三条线段叫做三角形的边；相邻两边组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．(2)三边都相等的三角形叫做等边三角形，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．(3)三角形按内角大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．(4)三角形按边的大小关系可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形；等腰三角形可分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形．点拨精讲：等边三角形是特殊的等腰三角形．自学2：自学课本P3－4页“探究与例题”，掌握三角形三边关系．(5分钟)总结归纳：一般地，三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．如图①，以A，B，C为顶点的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”，它的边分别是AB，AC，BC(或a，b，c)，内角是∠A，∠B，∠C，顶点是点A，B，C．点拨精讲：三角形的边也可以用边所对顶点的小写字母表示．2．图②中有5个三角形，分别是△ABE，△ABC，△BEC，△CDE，△BCD，以E为顶点的三角形是△ABE，△BEC，△CDE，以∠D为角的三角形是△CDE，△BCD，以AB为边的三角形是△ABE，△ABC．3．下列长度的三条线段能组成三角形的有②：①3，4，11；②2，5，6；③3，5，8.小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1一个等腰三角形的周长为28cm.(1)已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；(2)已知其中一边的长为6cm，求其他两边的长．解：(1)设底边长为x cm，则腰长为3x cm，依题意得2×3x＋x＝28，解得x＝4，3x＝12，∴三边长分别为4cm，12cm，12cm.(2)设另一边长为x cm，依题意得，当6cm为底边时，2x＋6＝28，∴x＝11；当6cm为腰长时，x＋2×6＝28，∴x＝16.∵6＋6＜16，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长为6cm的等腰三角形，∴其他两边的长为11cm，11cm.探究2某同学有两根长度为40cm，90cm的木条，他想钉一个三角形的木框，那么第三根应该如何选择？(40cm，50cm，60cm，90cm，130cm)解：设第三根木条长为x cm，依题意得90－40＜x＜40＋90，∴50＜x＜130，∴第三根应选60cm或90cm.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．图中有6个三角形，以E为顶点的三角形有△ABE，△ADE，△ACE；以AD为边的三角形有△ABD，△ADE，△ACD．2．下列长度的三条线段能组成三角形的是C．A．3，4，8B．5，6，11C．2，4，53．等腰三角形一条边等于3cm，一条边等于6cm，则它的周长为15_cm．点拨精讲：注意三角形三边关系．(3分钟)(3分钟)1.等边三角形是特殊的等腰三角形．2．在进行等腰三角形的相关计算时，要注意分类思想的运用，同时要注意运用三角形三边关系判断所求三条线段长能否构成三角形．3．已知三角形的两边长，可依据三边关系求出第三边的取值范围．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．1.2三角形的高、中线与角平分线1．了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念．2．掌握三角形的高、中线与角平分线的画法；了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点．重点：三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达．难点：钝角三角形的高的画法．一、自学指导自学1：自学课本P4页，掌握三角形的高的画法，完成下列填空．(4分钟)作出下列三角形的高：如图①，AD是△ABC的边BC上的高，则有∠ADB＝∠ADC ＝90°．总结归纳：三角形的高有3条，锐角三角形的三条高都在三角形的内部，相交于一点，直角三角形的三条高相交于三角形的直角顶点上；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部．自学2：自学课本P4－5页，掌握三角形的中线的画法，理解重心的概念，完成下列填空．(5分钟)作出下列三角形的中线，回答下面问题：如图①，AD是△ABC的边BC上的中线，则有DB＝DC＝BC；总结归纳：三角形的中线有3条，相交于一点，且在三角形的内部，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．取一块质地均匀的三角形木板，试着找出它的重心．自学3：自学课本P5页，掌握三角形的角平分线的画法，理解三角形的角平分线与角的平分线的区别，完成下列填空．(3分钟)作出下列三角形的角平分线，回答下列问题：如图①，AD是△ABC的角平分线，则有∠BAD＝∠DAC＝∠BAC；总结归纳：三角形的角平分线有3条，相交于一点，且在三角形的内部．三角形的角平分线是线段，而角的角平分线是射线．点拨精讲：三角形的高、中线和角平分线都是线段．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)完成课本P5页的练习题1，2.小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)探究1如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：(1)∵AE是△ABC的中线，∴BE＝CE＝BC；(2)∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC；(3)∵AF是△ABC的高，∴∠AFB＝∠AFC＝90°；(4)∵AE是△ABC的中线，∴BE＝CE，又∵S△ABE＝BE·AF，S△AEC＝CE·AF，∴S△ABE＝S△ACE.点拨精讲：三角形的高、中线和角平分线的概念既是性质，也可以做为判定定理用．探究2如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，△ABC的高AD与CE的比是多少？解：∵AB·CE＝BC·AD，AB＝2，BC＝4，∴CE＝2AD，∴AD∶CE＝1∶2.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是(C)A．直线B．射线C．线段D．射线或线段2．一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是(D)A．中线B．高C．角平分线D．以上都正确4．如图，D，E是边AC的三等分点：(1)图中有6个三角形，BD是三角形ABE中AE边上的中线，BE是三角形DBC中CD边上的中线，AD＝DE＝EC＝AC，AE ＝DC＝AC；(2)S△ABD＝S△DBE＝S△EBC＝S△ABC；(3)S△ABE＝S△DBC＝S△ABC．(1分钟)1．三角形的高、中线和角平分线都是线段．2．三角形的高、中线和角平分线的概念既可得到角与线段的数量关系，也可做为判定三角形高、中线和角平分线的判定定理．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．1.3三角形的稳定性通过观察和操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的应用．重、难点：了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用.一、自学指导自学：自学课本P6－7页，掌握三角形的稳定性及应用，完成下列填空．(5分钟)将准备好的木条做成的三角形木架、四边形木架取出进行操作并观察：(1)如图①，扭动三角形木架，它的形状会改变吗？(2)如图②，扭动四边形木架，它的形状会改变吗？总结归纳：由上面的操作我们发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变．(3)如图③，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．想一想其中的道理是什么？总结归纳：三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．课本P7页练习题第1题．2．请例举生活中关于三角形的稳定性与四边形的不稳定性的应用实例．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)探究1要使四边形不变形，最少需要加1条线段，五边形最少需要加2条线段，六边形最少需要加3条线段……n边形(n ＞3)最少需要加(n－3)条线段才具有稳定性．点拨精讲：过一点把一个多边形分成若干个三角形最少需要几条线段．探究2等腰三角形一腰上的中线将此等腰三角形分成9cm，15cm两部分，求此等腰三角形的周长是多少？解：设等腰三角形的腰长为x cm，底边长为y cm，依题意得，当x＞y时，解得当x＜y时，解得∵6＋6＝12，不符合三角形的三边关系，故舍去．∴此三角形的周长为10＋10＋4＝24(cm)．答：此等腰三角形的周长为24cm.点拨精讲：此题用到分类思想，同时要考虑三角形的三边关系．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．课本P9页第10题．2．下列图形具有稳定性的有(C)A．梯形B．长方形C．三角形D．正方形3．体育馆屋顶的横梁用钢筋焊出了无数个三角形，是因为：三角形具有稳定性．4．已知AD，AE分别是△ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则△ABD与△ADC的周长之差为2_cm；△ABD与△ADC的面积关系是相等．5．如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC交AB 边于E，DF∥AB交AC边于F，且∠ADE＝∠ADF.求证：AD是△ABC的角平分线．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠ADE＝∠DAC，∠ADF＝∠DAB，又∵∠ADE＝∠ADF，∴∠DAC＝∠DAB，∴AD是△ABC 的角平分线．(1分钟)三角形的稳定性与四边形的不稳定性在日常生活中非常常用．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(12分钟)11．2与三角形有关的角11．2.1三角形的内角(1)1．会用不同的方法证明三角形的内角和定理．2．能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题．重点：三角形内角和定理的应用．难点：三角形内角和定理的证明．一、自学指导自学1：自学课本P11－12页“探究”，掌握三角形内角和定理的证明方法，完成下列填空．(5分钟)归纳总结：三角形内角和定理——三角形三个内角的和等于180°．已知：△ABC．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．点拨精讲：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线．作辅助线是几何证明过程中常用到的方法，辅助线通常画成虚线．证明：延长BC到点D，过点B作BE∥AC，∵BE∥AC，∴∠1＝∠A，∠2＝∠C，∵∠1＋∠2＋∠ABC＝180°，∴∠A＋∠ABC ＋∠C＝180°．自学2：自学课本P12－13“例1、例2”，掌握三角形内角和的应用．(5分钟)你可以用其他方法解决例2的问题吗？点拨精讲：可过点C作CF∥AD，可证得CF∥BE，同时将∠ACB分成∠ACF与∠BCF，求出这两个角的度数，就能求出∠ACB.解：过点C作CF∥AD，∵AD∥BE，∴CF∥BE，∵CF∥AD，CF∥BE，∴∠ACF＝∠DAC＝50°，∠FCB＝∠CBE＝40°，∴∠ACB ＝∠ACF＋∠FCB＝50°＋40°＝90°，∵∠CAB＝∠DAB－∠DAC ＝80°－50°＝30°，∴∠ABC＝180°－∠CAB－∠ACB＝180°－30°－90°＝60°.答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)完成课本P13页的练习题1，2.点拨精讲：仰角是当视线在视平线上方时视线与视平线所夹的角．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(7分钟)探究1①一个三角形中最多有1个直角；②一个三角形中最多有1个钝角；③一个三角形中至少有2个锐角；④任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为60°．为什么？点拨精讲：三角形的内角和为180°.探究2如图，在△ABC中，EF与AC交于点G，与BC的延长线交于点F，∠B＝45°，∠F＝30°，∠CGF＝70°，求∠A 的度数．解：在△CGF中，∠GCF＝180°－∠CGF－∠F＝180°－70°－30°＝80°，∴∠ACB＝180°－∠GCF＝180°－80°＝100°，在△ABC中，∠A＝180°－∠B－∠ACB＝180°－45°－100°＝35°.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．课本P16页复习巩固第1题．2．在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝43°，则∠C＝102°．3．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝80°．4．在△ABC中，如果∠A＝∠B＝∠C，那么△ABC是什么三角形？解：∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＋2∠A＋3∠A＝180°，∴∠A＝30°，∴∠B ＝60°，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．(3分钟)(3分钟)为了说明三角形的内角和为180°，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．2.1三角形的内角(2)1．掌握直角三角形的表示方法，并理解直角三角形的性质与判定．2．能运用直角三角形的性质与判定解决实际问题．重、难点：理解和运用直角三角形的性质与判定．一、自学指导自学：自学课本P13－14页，掌握直角三角形的表示方法及其性质，完成下列填空．(5分钟)总结归纳：(1)直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．(2)直角三角形的两个锐角互余．(3)有两个角互余的三角形是直角三角形．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(10分钟)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，求出∠A，∠B的度数．解：Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角互余)．∵∠A＝2∠B，∴2∠B＋∠B＝90°，∴∠B＝30°，∠A＝60°.2．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？解：结论：∠ACD＝∠B.理由如下：在Rt△ACB中，∠A＋∠B＝90°，在Rt△ACD中，∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B.点拨精讲：利用同角的余角相等可以方便地证出两角的相等关系．3．如图，∠C＝90°，∠AED＝∠B，△ADE是直角三角形吗？为什么？解：结论：△ADE是直角三角形．理由如下：在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角相等)．∵∠AED＝∠B，∴∠A＋∠AED＝90°，∴△ADE是直角三角形(有两个角互余的三角形是直角三角形)．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)探究1如图，AB∥CD，AE，CE分别平分∠BAC，∠ACD.求证：△ACE是Rt△.证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∵AE，CE分别平分∠BAC，∠ACD，∴∠EAC＝∠BAC，∠ACE＝∠ACD，∴∠EAC＋∠ACE＝∠BAC＋∠ACD＝90°，∴△ACE是Rt△(有两个角互余的三角形是直角三角形)．探究2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD，BD是∠CAB，∠CBA的角平分线，求∠D的度数．解：在Rt△ABC中，∠CAB＋∠CBA＝90°，∵AD，BD是∠CAB，∠CBA的角平分线，∴∠DAB＝∠CAB，∠DBA＝∠CBA，∴∠DAB＋∠DBA＝∠CAB＋∠CBA＝45°，在△ADB中，∠D＝180°－(∠DAB＋∠DBA)＝180°－45°＝135°.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则此三角形是直角三角形．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B.求证：△ACD是Rt△.证明：在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角互余)．∵∠ACD＝∠B，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴△ACD是Rt△(有两个角互余的三角形是直角三角形)．(3分钟)(3分钟)1.直角三角形的性质：两个锐角互余．2．直角三角形的判定：①有一个角是直角；②两边互相垂直；③有两个角互余；(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．2.2三角形的外角1．探索并了解三角形的外角的两条性质，利用学过的定理证明这些性质．2．能利用三角形的外角性质解决实际问题．重点：三角形外角的性质．难点：运用三角形外角的性质解决有关角的计算及证明问题．一、自学指导自学1：自学课本P14页，掌握三角形外角的定义，完成下列填空．(3分钟)如图1，把△ABC的边BC延长到D，我们把∠ACD叫做三角形的外角．思考：①在△ABC中，除了∠ACD外，还有那些外角？请在图2中分别画出来；②以点C为顶点的外角有2个，所以△ABC 共有6个外角；③外角∠ACD与内角∠ACB的关系是：互为邻补角．总结归纳：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角；每一个三角形都有6个外角；每一个顶点相对应的外角都有2个；每个外角与它相邻的内角互为邻补角．自学2：自学课本P15页“探究与例4”，理解三角形外角的性质并学会运用．(7分钟)如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠ACD是△ABC 的一个外角．能由内角∠A，∠B求出外角∠ACD吗？如果能，外角∠ACD与内角∠A，∠B有什么关系？认真思考，完成下面的填空：(1)∠ACB＝50°，∠ACD＝130°，∠A＋∠B＝130°，∠ACD＝∠A＋∠B；(填“＞”“＜”或“＝”)(2)∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.(填“＞”“＜”或“＝”)总结归纳：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．如图，是△BFD的外角有∠CDA，∠BFC，∠DFE，以∠AEB为外角的三角形是△CEF，△CEB．2．如图，∠1，∠2，∠3是△ABC不同的三个外角，求∠1＋∠2＋∠3.解：∵∠1＝∠ABC＋∠ACB，∠2＝∠BAC＋∠ACB，∠3＝∠ABC＋∠CAB，∴∠1＋∠2＋∠3＝2(∠ABC＋∠ACB＋∠BAC)，∵∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝2×180°＝360°.3．课本P15页练习题．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)探究1如图，在△ABC中，∠A＝α，△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P，且∠P＝β，试探求下列各图中α与β的关系，并选一个结论加以证明．解：①β＝α＋90°；②β＝α；③β＝90°－α.证明：(略)探究2如图，∠A＝50°，∠B＝40°，∠C＝30°，求∠BPC 的度数．解：连接AP并延长到点E，∵∠BPE＝∠B＋∠BAP，∠CPE ＝∠C＋∠CAP，又∵∠BPC＝∠BPE＋∠CPE，∴∠BPC＝∠B＋∠BAP＋∠C＋∠CAP＝∠BAC＋∠B＋∠C＝50°＋40°＋30°＝120°.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是(C)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定2．已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数为(C)A．90°B．110°C．100°D．120°3．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°．,第4题图)4．如图，BE∥CF，∠B＝50°，∠C＝75°，求∠A的度数．解：∵BE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∵∠ADE＝∠B＋∠A，∴50°＋∠A＝75°，∴∠A＝25°.(3分钟)(3分钟)1.三角形的每个顶点处都有2个外角，这两个外角互为对顶角，外角与它相邻的内角互为邻补角．2．在三角形的每个顶点处各取一个外角，这三个外角的和为360°.3．三角形外角的性质是三角形有关角的计算与证明的常用依据．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11．3多边形及其内角和11．3.1多边形1．理解多边形的相关概念．2．认识凸多边形及正多边形，掌握正多边形的定义及判定．重点：理解多边形的相关概述．难点：掌握正多边形的定义及判定．一、自学指导自学1：自学课本P19页，掌握多边形的相关概念，完成下列填空．(5分钟)总结归纳：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．自学2：自学课本P20页，掌握多边形的相关概念，完成下列填空．(5分钟)总结归纳：(1)连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．(2)画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．(3)各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．四边形有4条边，4个顶点，4个内角，8个外角；五边形有5条边，5个顶点，5个内角，10个外角；n边形有n条边，n个顶点，n个内角，2n个外角．2．画出下列多边形的全部对角线：3．四边形的一条对角形将四边形分成2个三角形，从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形．小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)探究1：过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，求mn的平方根．解：由题意可得m－3＝7，∴m＝10，n＝3，∴±＝±.探究2：填表……………n边形n n－3 n－2学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．下列图形中，是正多边形的是(D)A．直角三角形B．等腰三角形C．长方形D．正方形2．过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是10.3．一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的边数．解：设这是一个n边形，依题意得＝4n，∵n≥3且为整数，∴n＝11.(3分钟)1.在初中阶段所讲的多边形指的都是凸多边形．2．已知多边形的边，可以推导出其对角线的条数和分成的三角形的个数；反过来，已知过一点所画对角线的条数或分成的三角形的个数可以推导出多边形的边数．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)11.3.2多边形的内角和探索多边形的内角和公式及外角和，会利用多边形的内角和公式解决问题．重点：掌握多边形的内角和公式．难点：探索多边形的内角和公式．一、自学指导自学1：自学课本P21－22页，掌握多边形内角和公式的推导方法，完成下列填空．(5分钟)填写下列表格：总结归纳：三角形的内角和为180度；任意四边形的内角和为360度；任意五边形的内角和等于540度；六边形的内角和等于720度；n边形的内角和等于(n－2)·180°；多边形的边数每增加一条，那么它的内角和就增加180°．点拨精讲：多边形可分成若干个三角形，将多边形内角和转化成三角形知识(如图1，2)．自学2：自学课本P22－23例1，例2和探究，掌握多边形外角和应用．(5分钟)如图3，根据前面三角形的有关知识，探索在每个五边形顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和，五边形的外角和等于360度，六边形的外角和是360度．总结归纳：n边形的外角和是360°．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．课本P24页练习题1，2，3.2．七边形的内角和900°，十边形的内角和是1440°；如果一个多边形的内角和等于1260°，那么它是九边形．3．已知四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4，则∠C＝108°．4．求出正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角的度数．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1(1)一个多边形的内角和是外角和的一半，它是几边形？(2)一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？解：(1)设它是n边形，则有180°·(n－2)＝×360°，∴n＝3.(2)设它是n边形，则有180°·(n－2)＝2×360°，∴n＝6.探究2如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB＝60°，AB与DE有怎样的位置关系？BC与FE有这种关系吗？解：结论：AB∥DE，BC∥FE.证明：(略)学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．一个多边形的每个内角都等于150°，则它的边数为12．2．一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？3．已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，求这个多边形的边数．解：设这个边多形的边数为n，则有180°(n－2)＝2×180°×(5－2)，∴n＝8.(3分钟)1.已知多边形的边数可以求出其内角和，根据其内角和也可以求出其边数．2．内角和的推理要用到转化的思想，将多边形的知识转化为三角形的知识．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)第十二章全等三角形12．1全等三角形1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素．2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．重点：掌握全等三角形的对应元素和性质的应用．难点：全等三角形性质的应用．一、自学指导自学：自学课本P31－32页“探究、思考1、思考2”，理解“全等形”“全等三角形”的概念及其对应元素，掌握全等三角形的性质及应用，完成填空．(5分钟)总结归纳：(1)形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(2)全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(7分钟)1．下列图形中的全等图形是d与g，e与h.2．如图，△ABC与△DEF能重合，则记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF，对应顶点是：点A与点D，点B与点E，点C与点F；对应边是：AB与DE，AC与DF，BC与EF；对应角是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F．,第2题图),第3题图) 3．如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，相等的边有AC＝DB，AO＝DO，CO＝BO，相等的角有∠A＝∠D，∠C＝∠B，∠COA＝∠BOD．点拨精讲：通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．4．已知△OCA≌△OBD，若OC＝3cm，BD＝4cm，OD＝6cm.则△OCA的周长为13_cm；若∠C＝110°，∠A＝30°，则∠BOD＝40°．点拨精讲：全等三角形的对应边、对应角、周长分别对应相等．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1如图，下面各图的两个三角形全等，指出它们的对应顶点、对应边、对应角，其中△ABC可以经过怎样的变换得到另一个三角形？点拨精讲：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是寻求全等的一种策略．解：①△ABC≌△DEF，A和D，B和E，C和F是对应顶点，AB与DE，AC与DF，BC与EF是对应边，∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F是对应角，△DEF是△ABC经过平移得到的．②△ABC≌△DBC，A和D，B和B，C和C是对应顶点，AB 与DB，AC与DC，BC与BC是对应边，∠A与∠D，∠ABC与∠DBC，∠ACB与∠DCB是对应角，△DBC是△ABC沿BC所在直线向下翻折得到的．③△ABC≌△AED，A和A，B和E，C和D是对应顶点，AB 与AE，AC与AD，BC与ED是对应边，∠BAC与∠EAD，∠B 与∠E，∠C与∠D是对应角，△AED是△ABC绕点A旋转180°得到的．探究2如图，△ABC≌△DEF，AB＝DE，AC＝DF，且点B，E，C，F在同一条直线上．(1)求证：BE＝CF，AC∥DF；(2)若∠D＋∠F＝90°，试判断AB与BC的位置关系．解：(1)证明：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF，BC－EC＝EF－EC，∴BE＝CF.(2)结论：AB⊥BC.证明：∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D，∠ACB＝∠F，∵∠D ＋∠F＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°，∴∠B＝90°，∴AB⊥BC.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．如图，△ABC≌△CDA，求证：AB∥CD.证明：∵△ABC≌△CDA，。

直角三角形一、直角三角形的性质重点：直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理及其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的判断重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。

三、角平分线的性质定理1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴ CF＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2.关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ ABC、∠ACB的平分线，那么：① AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：图4（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.四、勾股定理的证明及应用１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =，b，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直cb aH G F E DCBAbacbac cabcab a bcc baE D CBA角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。