七年级数学相交线与平行线(教师讲义带答案)之欧阳语创编

七年级下数学相交线与平行线专题总结(含答案)[1]相交线与平行线专题总结一、知识点填空1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为_____________.2.对顶角的性质可概括为：3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______.4.垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，5.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做6.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中:⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.7.在同一平面内，不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系只有________与_________两种.8.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________.9.平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：________________________________________.10.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ .11.平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：________________________________ .12.判断一件事情的语句，叫做_______.命题由________和_________两部分组成.题设是已知事项，结论是______________________.命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是，“那么”后接的部分是_________. 如果题设成立，那么结论一定成立.像这样的命题叫做___________.如果题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题叫做___________.定理都是真命题.13.把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称_______.图形平移的方向不一定是水平的.14.平移的性质：⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全___ ___.⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________.二：典型题型训练15.如图，,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm⊥===那么点A到BC的距离是_____，点B到AC的距离是_______，点A、B两点的距离是_____，点C到AB的距离是________．16.设a、b、c为平面上三条不同直线，若//,//a b b c，则a与c的位置关系是_________；若,a b b c⊥⊥，则a与c的位置关系是_________；若//a b，b c⊥，则a与c的位置关系是________．17.如图，已知AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°，求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数．18.如图，AOC∠与BOC∠是邻补角，OD、OE分别是AOC∠与BOC∠的平分线，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由．19.如图，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系．解：∠B＋∠E＝∠BCE过点C作CF∥AB，则B∠=∠____（）又∵AB∥DE，AB∥CF，∴____________（）∴∠E＝∠____（）∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2即∠B＋∠E＝∠BCE．20.⑴如图，已知∠1＝∠2 求证：a∥b．⑵直线//a b，求证：12∠=∠．21.阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，试说明EP∥FQ．证明：∵AB∥CD，∴∠MEB＝∠MFD（）又∵∠1＝∠2，∴∠MEB－∠1＝∠MFD－∠2，即∠MEP＝∠______∴EP∥_____．（）22.已知DB∥FG∥EC，A是FG上一点，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，求：⑴∠BAC的大小；⑵∠PAG的大小.23.如图，已知ABC∆，AD BC⊥于D，E为AB上一点，EF BC⊥于F，//DG BA交CA于G.求证12∠=∠24.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，问∠A与∠F相等吗？试说明理由．三：兴趣拓展平行线问题：平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段．正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识．正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用．现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用．例1 如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90°例2 如图1－21所示，AA1∥BA2求∠A1=∠B1+∠A2．例3如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．例4求证：三角形内角之和等于180°．例5求证：四边形内角和等于360°．例6如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证： A，B，C三点在同一条直线上．例7如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．求证：∠3=∠B．四，课后思考题1．如图1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．2．如图1－32所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．3．如图1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？4．证明：五边形内角和等于540°．5．如图1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求证：EF平分∠DEB．参考答案一：1.邻补角2.对顶角，对顶角相等3.垂直有且只有垂线段最短 4.点到直线的距离 5.同位角内错角同旁内角 6.平行相交平行7.平行这两直线互相平行8.同位角相等两直线平行； 内错角相等 两直线平行； 同旁内角互补 两直线平行. 9.平行 10.两直线平行 同位角相等；两直线平行 内错角相等；两直线平行 同旁内角互补.11.命题 题设 结论 由已知事项推出的事项 题设 结论 真命题 假命题 12.平移 相同平行且相等 13.6cm 8cm 10cm 4.8cm. 14.平行 平行 垂直 15.28° 118° 59° 16. OD ⊥OE 理由略 17. 1（两直线平行，内错角相等）DE ∥CF （平行于同一直线的两条直线平行） 2 （两直线平行，内错角相等）. 18.⑴∵∠1＝∠2 ，又∵∠2＝∠3（对顶角相等），∴∠1＝∠3∴a ∥b （同位角相等 两直线平行） ⑵∵a ∥b ∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)又∵∠2＝∠3（对顶角相等） ∴∠1＝∠2. 19. 两直线平行，同位角相等 MFQ FQ 同位角相等两直线平行 20. 96°，12°.21.,AD BC FE BC ⊥⊥Q 90EFB ADB ∴∠=∠=o //EF AD ∴23∴∠=∠//,31DG BA ∴∠=∠Q 1 2.∴∠=∠ 22. ∠A ＝∠F.∵∠1＝∠DGF（对顶角相等）又∠1＝∠2 ∴∠DGF ＝∠2 ∴DB ∥EC （同位角相等，两直线平行） ∴∠DBA ＝∠C （两直线平行，同位角相等）又∵∠C ＝∠D ∴∠DBA ＝∠D ∴DF ∥AC （内错角相等，两直线平行）∴∠A ＝∠F (两直线平行,内错角相等).三 例1 如图 1－18，直线a ∥b ，直线AB 交 a 与 b 于 A ，B ，CA 平分∠1，CB 平分∠ 2，求证：∠C=90°分析 由于a ∥b ，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2=过C 点作直线 l ，使 l ∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移．证过C点作直线l，使l∥a(图1－19)．因为a∥b，所以b∥l，所以∠1+∠2=180°(同侧内角互补)．因为AC平分∠1，BC平分∠2，所以又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(内错角相等)，所以∠3+∠4=∠CAE+∠CBF说明做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立，即“两条直线a，b被直线AB所截(如图1－20所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF 的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？”由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置)，因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解．例2 如图1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2．分析本题对∠A1，∠A2，∠B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关．也就是说，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案应是确定的．我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即∠A1+∠A2=∠B1．①猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明．①式给我们一种启发，能不能将∠B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2．这就引发我们过B1点引AA1(从而也是BA2)的平行线，它将∠B1一分为二．证过B1引B1E∥AA1，它将∠A1B1A2分成两个角：∠1，∠2(如图1－22所示)因为AA1∥BA2，所以B1E∥BA2．从而∠1=∠A1，∠2=∠A2(内错角相等)，所以∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即∠A1-∠B1+∠A2=0．说明(1)从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA1∥BA2，它与连接A1，A2两点之间的折线段的数目无关，如图1－23所示．连接A1，A2之间的折线段增加到4条：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．进一步可以推广为∠A1-∠B1+∠A2-∠B2＋…-∠B n-1+∠A n=0．这时，连结A1，A n之间的折线段共有n段A1B1，B1A2，…，B n-1A n(当然，仍要保持 AA1∥BA n)．推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况．(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题．问题1 如图1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，问AA1与BA2是否平行？问题2 如图1－25所示．若∠A1+∠A2+…+∠A n=∠B1+∠B2+…+∠B n-1，问AA1与BA n是否平行？这两个问题请同学加以思考．例3如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．分析利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能将∠1，∠2，∠C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标．解过F到 FG∥CB，交 AB于G，则∠C=∠AFG(同位角相等)，∠2=∠BFG(内错角相等)．因为 AE∥BD，所以∠1=∠BFA(内错角相等)，所以∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG=∠1-∠2=3∠2-∠2=2∠2=50°．说明(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧．(2)在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．例4求证：三角形内角之和等于180°．分析平角为180°．若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决，下面方法是最简单的一种．证如图1－27所示，在△ABC中，过A引l∥BC，则∠B=∠1，∠C=∠2(内错角相等)．显然∠1+∠BAC+∠2=平角，所以∠A+∠B+∠C=180°．说明事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论．如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦．同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法．例5求证：四边形内角和等于360°．分析应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角．在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程．证如图1－28所示，四边形ABCD中，过顶点B引BE∥AD，BF∥CD，并延长 AB，CB到 H，G．则有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(内错角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．∠C=∠4(同位角相等)，又∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等)．由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°．说明(1)同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变．(2)总结例3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：三角形内角和=180°=(3-2)×180°，四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．人们不禁会猜想：五边形内角和=(5-2)×180°=540°，…………………………n边形内角和=(n-2)×180°．这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．(3)在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．例6如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证： A，B，C三点在同一条直线上．分析A，B，C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC为平角，即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可，考虑到以直线l上任意一点为顶点，该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角，结合所给平行条件，过B作与l相交的直线，就可将l上的平角转换到顶点B处．证过B作直线 BD，交l于D．因为AB∥l，CB∥l，所以∠1=∠ABD，∠2=∠CBD(内错角相等)．又∠1+∠2=180°，所以∠ABD+∠CBD=180°，即∠ABC=180°=平角．A，B，C三点共线．思考若将问题加以推广：在l的同侧有n个点A1，A2，…，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，…，n-1)．是否还有同样的结论？例7如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．求证：∠3=∠B．分析如果∠3=∠B，则应需EF∥BC．又知∠1=∠2，则有BC ∥AD．从而，应有EF∥AD．这一点从条件EF⊥CD及∠D=90°不难获得．证因为∠1=∠2，所以AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．因为∠D=90°及EF⊥CD，所以AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．所以 BC∥EF(平行公理)，所以∠3=∠B(两直线平行，同位角相等)．。

相交线与平行线解析含答案一、选择题1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠2－∠1=15°，∠3=130°．则∠2的度数是()A．37.5°B．75°C．50°D．65°【答案】D【解析】【分析】先根据条件和邻补角的性质求出∠1的度数，然后即可求出∠2的度数．【详解】）∵∠3=130°，∠1+∠3=180°，∴∠1=180°-∠3=50°，∵∠2-∠1=15°，∴∠2=15°+∠1=65°；故答案为D.【点睛】本题考查角的运算，邻补角的性质，比较简单.2．如图1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为A．80°B．50°C．30°D．20°【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°，再根据三角形的外角的性质∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°．故答案选D．考点：平行线的性质;三角形的外角的性质．3．如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB交BD于点O，且∠EOD+∠OBF＝180°，∠F＝∠G，则图中与∠ECB相等的角有( )A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】B【解析】【分析】由对顶角关系可得∠EOD=∠COB，则由∠COB+∠OBF=180°可知EC∥BF，再结合CE是角平分线即可判断.【详解】解：由∠EOD+∠OBF=∠COB+∠OBF=180°可知EC∥BF，结合CE是角平分线可得∠ECB=∠ACE=∠CBF，再由EC∥BF可得∠ACE=∠F=∠G，则由三角形内角和定理可得∠GDC=∠CBF.综上所得，∠ECB=∠ACE=∠CBF=∠F=∠G=∠GDC，共有5个与∠ECB相等的角，故选择B.【点睛】本题综合考查了平行线的判定及性质.4．如图AD∥BC,∠B=30o,DB平分∠ADE,则∠DEC的度数为（）A．30o B．60o C．90o D．120o【答案】B【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵DB平分∠ADE，∴∠ADB=∠ADE，∵∠B=30°，∴∠ADB=∠BDE=30°，则∠DEC=∠B+∠BDE=60°．故选B．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ADB的度数是解题关键．5．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p,q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2,1)的点共有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】到l1距离为2的直线有2条，到l2距离为1的直线有2条，这4条直线有4个交点，这4个交点就是“距离坐标”是（2，1）的点．【详解】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是2，1的点，即距离坐标是（2，1）的点，因而共有4个．故选：D．【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解题时注意：到一条已知直线距离为定值的直线有两条．6．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是72°，第二次拐弯处的角是∠B，第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B等于()A．81°B．99°C．108°D．120°【答案】B【解析】试题解析：过B 作BD ∥AE ，∵AE ∥CF ，∴BD ∥CF ，∴72,180A ABD DBC C ∠=∠=∠+∠=o o，∵153C ∠=o ，∴27DBC ∠=o ，则99.ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o 故选B.7．如图，AB ∥EF ，设∠C ＝90°，那么x 、y 和z 的关系是（ ）A ．y ＝x+zB ．x+y ﹣z ＝90°C ．x+y+z ＝180°D ．y+z ﹣x ＝90°【答案】B【解析】【分析】 过C 作CM ∥AB ，延长CD 交EF 于N ，根据三角形外角性质求出∠CNE ＝y ﹣z ，根据平行线性质得出∠1＝x ，∠2＝∠CNE ，代入求出即可．【详解】解：过C 作CM ∥AB ，延长CD 交EF 于N ，则∠CDE ＝∠E+∠CNE ，即∠CNE ＝y ﹣z∵CM ∥AB ，AB ∥EF ，∴CM ∥AB ∥EF ，∴∠ABC ＝x ＝∠1，∠2＝∠CNE ，∵∠BCD ＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴x+y ﹣z ＝90°．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．8．如图，ABCD为一长方形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为( )A．75°B．72°C．70°D．65°【答案】B【解析】【分析】如图，由折叠的性质可知∠3=∠4，已知AB∥CD，根据两直线平行,内错角相等可得∠3=∠1，再由∠1=2∠2，∠3+∠4+∠2=180°，可得5∠2=180°，即可求得∠2=36°，所以∠AEF=∠3=∠1=72°【详解】如图，由折叠的性质可知∠3=∠4，∵AB∥CD，∴∠3=∠1，∵∠1=2∠2，∠3+∠4+∠2=180°，∴5∠2=180°，即∠2=36°，∴∠AEF=∠3=∠1=72°故选B．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键．9．如图，下列条件中能判定//DE AC 的是( )A ．EDC EFC ∠=∠B ．AEF ACD ∠=∠C ．34∠=∠D ．12∠=∠【答案】C【解析】【分析】 对于A ，∠EDC=∠EFC 不是两直线被第三条直线所截得到的，据此进行判断；对于B 、D ，∠AFE=∠ACD ，∠1=∠2是EF 和BC 被AC 所截得到的同位角和内错角，据此进行判断；对于C ，∠3=∠4这两个角是AC 与DE 被EC 所截得到的内错角，据此进行判断.【详解】∠EDC=∠EFC 不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行；∠AFE=∠ACD,∠1=∠2是EF 和BC 被AC 所截得到的同位角和内错角,因而可以判定EF ∥BC,但不能判定DE ∥AC ；∠3=∠4这两个角是AC 与DE 被EC 所截得到的内错角,可以判定DE ∥AC.故选C.【点睛】本题考查平行线的判定，掌握相关判定定理是解题的关键.10．如图，直线 a ∥b ∥c ，直角三角板的直角顶点落在直线 b 上，若∠1＝30°，则∠2 等于（ ）A ．40°B ．60°C ．50°D ．70° 【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行内错角相等得1324==∠∠，∠∠，再根据直角三角板的性质得341290+=+=︒∠∠∠∠，即可求出∠2的度数．【详解】∵a ∥b ∥c∴1324==∠∠，∠∠∵直角三角板的直角顶点落在直线 b 上∴341290+=+=︒∠∠∠∠∵∠1＝30°∴290160=︒-=︒∠∠故答案为：B ．【点睛】本题考查了平行线和三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角板的性质是解题的关键．11．若a ⊥b ，c ⊥d ，则a 与c 的关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都不对【答案】D【解析】【分析】分情况讨论：①当b ∥d 时；②当b 和d 相交但不垂直时；③当b 和d 垂直时；即可得出a 与c 的关系．【详解】当b ∥d 时a ∥c ；当b 和d 相交但不垂直时，a 与c 相交；当b 和d 垂直时，a 与c 垂直；a 和c 可能平行，也可能相交，还可能垂直．故选：D ．【点睛】本题考查了直线的位置关系，掌握平行、垂直、相交的性质是解题的关键．12．如图，下列说法一定正确的是（ ）A ．∠1和∠4是内错角B ．∠1和∠3是同位角C ．∠3和∠4是同旁内角D ．∠1和∠C 是同位角【答案】D【解析】【分析】根据内错角、同位角以及同旁内角的定义进行判断即可．【详解】解：A 、∠2和∠4是内错角，故本选项错误；B 、∠1和∠C 是同位角，故本选项错误；C 、∠3和∠4是邻补角，故本选项错误；D 、∠1和∠C 是同位角，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．13．如图所示，某同学的家在P 处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C 路线，用几何知识解释其道理正确的是（ ）A ．两点确定一条直线B ．垂直线段最短C ．两点之间线段最短D ．三角形两边之和大于第三边【答案】B【解析】【分析】根据垂线段的定义判断即可.【详解】 解：Q 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短,∴ 选:B.【点睛】直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称“垂线段最短”．14．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，若P 是BD 上的一个动点，则PB PC PD ++的最小值是（ ）A ．16B ．15.2C ．15D ．14.8【答案】D【解析】【分析】 根据题意，当PC ⊥BD 时，PB PC PD ++有最小值，由勾股定理求出BD 的长度，由三角形的面积公式求出PC 的长度，即可求出最小值.【详解】解：如图，当PC ⊥BD 时，PB PC PD BD PC ++=+有最小值，在矩形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，由勾股定理，得226810BD +=，∴=10PB PD BD +=，在△BCD 中，由三角形的面积公式，得11=22BD PC BC CD ••， 即1110=8622PC ⨯⨯⨯⨯， 解得： 4.8PC =， ∴PB PC PD ++的最小值是：10 4.814.8PB PC PD BD PC ++=+=+=； 故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P 的位置，得到PC 最短.15．下列命题错误的是（ ）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．两直线平行，内错角相等C ．等腰三角形的两个底角相等D ．若两实数的平方相等，则这两个实数相等【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：A 、平行四边形的对角线互相平分，正确；B 、两直线平行，内错角相等，正确；C 、等腰三角形的两个底角相等，正确；D 、若两实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数，故D 错误；故选：D.【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.16．下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识一一判断即可．【详解】解：①两点之间，线段最短，正确．②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离，错误，应该是连接两点之间的线段的距离叫做这两点间的距离．③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确．④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确．故选C ．【点睛】本题考查线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．如图，直线//a b ，将一块含45︒角的直角三角尺（90︒∠=C ）按所示摆放．若180︒∠=，则2∠的大小是（ ）A ．80︒B ．75︒C ．55︒D ．35︒【答案】C【解析】【分析】 先根据//a b 得到31∠=∠，再通过对顶角的性质得到34,25∠=∠∠=∠，最后利用三角形的内角和即可求出答案.【详解】解：给图中各角标上序号，如图所示：∵//a b∴3180︒∠=∠=（两直线平行，同位角相等），又∵34,25∠=∠∠=∠（对顶角相等），∴251804180804555A ∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.故C 为答案.【点睛】本题主要考查了直线平行的性质（两直线平行，同位角相等）、对顶角的性质（对顶角相等），熟练掌握直线平行的性质是解题的关键.18．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ）A ．115°B ．120°C ．145°D ．135°【答案】D【解析】【分析】由三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角定义，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°，∵∠1=45°（已知），∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），∵EF∥MN（已知），∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．故选D．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．19．如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（）A．34°B．56°C．66°D．54°【答案】B【解析】试题分析：∵AB∥CD，∴∠D=∠1=34°，∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=180°﹣90°﹣34°=56°．故选B．考点：平行线的性质．20．如图，在下列四组条件中，不能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠ABD＝∠BDC D．∠ABC+∠BCD＝180°【答案】A【解析】【分析】根据各选项中各角的关系，利用平行线的判定定理，分别分析判断AB、CD是否平行即可．【详解】A、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故A不能判断；B、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故B能判断；C、∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故C能判断；D、∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故D能判断，故选A．【点睛】本题考查了平行线的判定．掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．。

第五章相交线与平行线知识导航看看我们的课程目标⒈知识与技能⑴知道对顶角、邻补角的意义，能找出图形中一个角的对顶角和邻补角．⑵理解两条直线互相垂直的意义；会经过一点画出和已知直线垂直的直线，会画出三角形的高；了解点到直线的距离的意义.⑶了解同一平面内，两条直线的位置关系有相交与平行两种，与相交线，平行线有关的概念及性质，会用这些概念和性质进行简单的推理和计算．⑷掌握平行线的性质，并且会运用它们进行简单推理和计算.⑸了解平行线的性质和判定的区别．掌握平行线的性质，并且会运用它们进行简单推理和计算.⑹通过具体实例认识平移，理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等、对应线段和对应角分别相等的性质.⒉过程与方法⑴经历探索“对顶角相等”的性质，并会用它进行有关的简单推理和计算．.⑵经历平行线的画法，总结出平行公理及其推论．.⑶经历探索图形平移基本性质的过程以及与他人合作交流的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识.⒊情感态度与价值观⑴理解平行线是用“不相交”这种否定的方式定义的，这种否定的方式包含了对空间的想象．.⑵领会数形结合、转化、对比的数学思想和方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.⑶经历观察、分析、欣赏和画图等活动,促进评价学生空间观念的形成.人教版七下《5.1.1 相交线》同步辅导课前感悟1．如果∠α＝110°，那么∠α的补角等于__________________．2．如图，直线EF 与AB 相交于G ，与CD 相交于H ， 则∠AGH 的对顶角是___________；∠AGF 与_______是 对顶角.∠AGH 与_______是邻补角,∠GHD 的邻补角 是________. 3．下列说法正确的是 （ ）． A ． 有公共顶点的两个角是邻补角B ． 有公共顶点且相等的两个角是对顶角C ． 两条直线相交所得的四个角中的任意两个角不是邻补角就是对顶角D ． 相等的两个角一定是对顶角4．互补的两个角中，一个是另一个的2倍，则这两个角中较大的角是（ ）． A ．60° B ．90° C ．120° D ．150° 举一反三【例1】如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE 是射线，则: ⑴∠1的对顶角是________,∠1的邻补角是______. ⑵∠5的对顶角是________,∠3的邻补角是______. 分析 抓住对顶角,邻补角的概念来回答. 解 ⑴∠1的对顶角是∠2,∠1的邻补角是∠5 和∠AOD.⑵∠5的对顶角是∠AOD, ∠3的邻补角是∠BOE. 评注 两条直线相交时,一个角的邻补角有两个,它们是对顶角,不能漏掉其中任何一个.【例2】如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠COB,且∠COE=500. 求∠AOC 和∠AOD 的度数.分析 由OE 平分∠COB,且∠COE=500.得∠COE=∠BOE=500,由邻补角定义,得∠AOC=800，由对顶角定义，得∠AOD=1000．【例3】如图，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，∠AOF=4∠FOB ，∠AOC=900，求∠EOC 的度数．分析 由已知可知，∠EOC 和∠AOE 互余，所以求∠EOC 的度数可先求∠AOE 的度数，观察图形可知，∠AOE 和∠BOF 是对顶角，∠BOF 和∠AOF 是邻补角，利用它们的性质和已知条件，本题可解．解 设∠BOF= x 0,则∠AOF=4x 0, 1804=+x x ， (邻补角定义)解得x=360,即∠BOF=360．所以∠AOE=∠BOF=360．所以∠EOC=∠AOC-∠AOE=540．第2题 例 1 例 2 例3评注 几何计算题，常用到几何图形中的性质，因此解也要有根有据，另外几何计算题也常得用代数方法达到解题目的．潜能开发5．一个角的两边分别是另一个角的两边的_______，这两个角叫做对顶角．对顶角的性质是 ．6．如图，三条直线AB ，CD ，MN 相交于O 点，图中∠CON 的对顶角是 ，邻补角是________________．7．若∠α与∠β是对顶角，∠α=76°，则21∠β= ． 8．一个角的补角比它的余角的2倍还多10°，则这个的度数是__________．9．关于对顶角，下列说法正确的是（ ）． A ．有公共顶点的两个角 B ． 一个角的两边分别是另一个角的两边延长线C ．有公共顶点的且相等的角D ．一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线 10．如图，已知直线AB.CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，∠EOC=70°， 则∠BOD 的度数等于（ ）．A.30°B.35°C.20°D.40°11．如图，AB 交CD 于O ，OE 是顶点为O 的一条射线，图中的对顶角和邻补角各有（ ）． A ．1组，3组 B ．2组，4组 C ．2组，6组 D ．3组，8组12．如图,三条直线AB,CD,EF 交于一点O,且OF 平分∠DOB,试问:OE 是不是∠AOC 的平分线?为什么?13．如图,直线AB,CD 相交于点O,OE 平分∠BOD,OF 平分∠COE, ∠AOD:∠BOE=4:1, 求∠EOF 的度数. 第6题 第12题第13题14．如图，已知：O 是直线AB 上一点，把直角三角板的直角顶点放在点O ，此时三角板可绕着点O 旋转，请观察在运动过程中，∠AOC 和∠BOD 始终保持什么关系？为什么？15．如图，直线AB 与直线CD 相交于O ，OE 平分∠AOD ，∠BOC ＝∠BOD －30°，求∠COE 的度数?探究创新16．2条直线相交于一点,有多少对不同的对顶角? 3条直线相交于一点,有多少对不同的对顶角? 4条直线相交于一点,有多少对不同的对顶角? n 条直线相交于一点,有多少对不同的对顶角?A B O C D 第14题第16题 O A BCD E 第15题多彩生活第一个算出地球周长的埃拉托色尼2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长．这个人就是古希腊的埃拉托色尼(约公元前275—前194)．埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长．细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子．但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子．他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成．从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角．按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长．埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几．他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近．这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧．埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著．书中描述了地球的形状、大小和海陆分布．埃拉托色尼还用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学．参考答案1．70 2．∠FGB，∠HGB，∠AGF，∠HGB，∠CHB，∠EHB 3．C 4．C5．反向延长线，对顶角相等 6．∠DOM，∠DON，∠COM 7．3808．100 9．D 10．B 11．C 12．是 13．750 14．互余15．142.5 16．2，6，12，n（n—1）。

第二章 相交线与平行线培优讲义如果直线a 与直线b 只有一个公共点，则称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的相交线． 相交线的性质：两直线相交只有一个交点．邻补角的概念：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角. 如图中，1∠和3∠，1∠和4∠，2∠和3∠，2∠和4∠互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。

对顶角的概念及性质：（1）对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对4321D CBA顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，1∠和2∠，3∠和4∠是对顶角.（2）对顶角的性质：对顶角相等。

垂线的概念及性质：（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.如图所示，可以记作“AB CD ⊥于O ”（2）垂线的性质：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.5.同位角、内错角、同旁内角的概念：①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角 叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角.DCBA看图识角：（1）“F ”型中的同位角.如图.（2）“Z ”字型中的内错角，如图.（3）“U”字型中的同旁内角.如图.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 。

第5章 相交线与平行线一、单选题1．下面四个图形中，1Ð与2Ð是对顶角的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据对顶角的定义，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角，分别判断即可．【详解】解：A 、两角两边没有互为反向延长线，选项错误；B 、两角两边没有互为反向延长线，选项错误；C 、有公共顶点，且两角两边互为反向延长线，选项正确.D 、没有公共顶点，两角没有互为反向延长线，选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查对顶角的定义，根据定义解题是关键．2．如图所示，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断//AB CD 的是（ ）A ．34Ð=ÐB ．12Ð=Ð C ．D DCE Ð=Ð D.180D ACD Ð+Ð=°【答案】B 【分析】根据平行线的判定判断即可；【详解】当34Ð=Ð时，BD AC P ，故A 不符合题意；当12Ð=Ð时，//AB CD ，故B 符合题意；当D DCE Ð=Ð时，BD AE P ，故C 不符合题意；当180D ACD Ð+Ð=°时，BD AE P ，故D 不符合题意；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，准确分析判断是解题的关键．3．如图，若////,//,AB CD EF BC AD AC 为BAD Ð的平分线，则与AOF Ð相等的角有（ ）个．A．2B．3C．4D．5【答案】D【分析】根据角平分线定义可得∠BAC=∠DAC，利用平行线性质与对顶角性质可得∠DCA=∠FOA=∠BAC=∠COE，∠BCA=∠DAC，即可得出结论．【详解】解：∵AC为BADÐ的平分线，∴∠BAC=∠DAC，AB CD EF BC AD，∵////,//∴∠DCA=∠FOA=∠BAC=∠COE，∠BCA=∠DAC，∴∠AOF=∠DCA=∠BAC=∠COE=∠BCA=∠DAC．故选项D．【点睛】本题考查角平分线定义，平行线性质，对顶角性质，掌握角平分线定义，平行线性质，对顶角性质是解题关键．4．下列图形中，线段PQ能表示点P到直线l的距离的是（）．A．B．C．D．【答案】D【分析】根据点到直线的距离的定义“从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离”，即可直接选择．^，故D选项中线段PQ能表示点P到直线l的距离．【详解】只有D选项PQ l故选：D．【点睛】本题考查点到直线的距离的定义，理解并掌握点到直线的距离的定义是解答本题的关键．5．下列现象中，属于平移现象的是（）A．方向盘的转动B．行驶的自行车的车轮的运动C．电梯的升降D．钟摆的运动【答案】C【分析】根据平移的定义：把一个图形整体沿着某一直线方向移动，会得到一个新的图形，这种移动就叫做平移，进行判断即可．【详解】解：A、方向盘的转动，不是平移，不符合题意；B、行驶的自行车的车轮的运动，不是平移，不符合题意；C、电梯的升降，是平移，符合题意；D、钟摆的运动，不是平移，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，解题的关键在于能够熟练掌握平移的定义．6．如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON 的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C【分析】由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON-∠MOC得出答案．【详解】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，∴∠MOC=35°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-35°=55°．故选：C．【点睛】本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系．7．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（）A ．30°B ．32°C ．42°D ．58°【答案】B 【详解】试题分析：如图，过点A 作AB ∥b ，∴∠3=∠1=58°，∵∠3+∠4=90°，∴∠4=90°﹣∠3=32°，∵a ∥b ，AB ∥B ，∴AB ∥b ，∴∠2=∠4=32°，故选B ．考点：平行线的性质．8．如图，P 是直线l 外一点，A ，B ，C 三点在直线l 上，且PB l ^于点B ，90APC Ð=°，则下列结论：①线段AP 是点A 到直线PC 的距离；②线段BP 的长是点P 到直线l 的距离；③PA ，PB ，PC 三条线段中，PB 最短；④线段PC 的长是点P 到直线l 的距离．其中正确的是（ ）A ．②③B ．①②③C ．③④D ．①②③④【答案】A 【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”；“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．【详解】解：①线段AP 是点A 到直线PC 的距离，错误；②线段BP 的长是点P 到直线l 的距离，正确；③PA ，PB ，PC 三条线段中，PB 最短，正确；④线段PC 的长是点P 到直线l 的距离，错误，故选：A ．【点睛】此题主要考查了垂线的两条性质：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．9．如果A Ð与B Ð的两边分别平行，A Ð比B Ð的3倍少36o ，则A Ð的度数是( )A ．18oB ．126oC ．18o 或126oD ．以上都不对【答案】C【分析】由∠A 与∠B 的两边分别平行，即可得∠A 与∠B 相等或互补，然后分两种情况，分别从∠A 与∠B 相等或互补去分析，即可求得∠A 的度数．【详解】解：∵∠A 与∠B 的两边分别平行，∴∠A 与∠B 相等或互补．分两种情况：①如图1，当∠A+∠B=180°时，∠A=3∠B-36°，解得：∠A=126°；②如图2，当∠A=∠B ，∠A=3∠B-36°，解得：∠A=18°．所以∠A=18°或126°．故选：C ．【点睛】此题考查的是平行线的性质，如果两角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．此题还考查了方程组的解法．解题要注意列出准确的方程组．10．下列说法中正确的有（ ）①在同一平面内，不重合的两条直线若不相交，则必平行；②在同一平面内，不相交的两条线段必平行；③相等的角是对顶角；④两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等；⑤两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，据此进行判断．【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线必平行，故说法①正确．②在同一平面内，不相交的两条线段可能平行，也可能不平行，故说法②错误．③相等的角不一定是对顶角，故说法③错误．④两条直线被第三条直线所截，所得同位角不一定相等，故说法④错误．⑤两条平行直线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行，故说法⑤正确．∴说法正确的有2个，故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的概念，平行线的性质以及对顶角的概念的运用，同一平面内的两条直线的位置关系为：平行或相交，对于这一知识的理解过程中，要注意：①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．二、填空题11．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：（1）内错角相等，两直线平行．_________．（2）同角的补角相等．_____．【答案】如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线互相平行如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等【分析】找出原命题的条件和结论即可得出答案．【详解】（1）“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是命题的条件，“这两条直线互相平行”是条件的结论．（2）“两个角是同一个角的补角”是命题的条件，“这两个角相等”是条件的结论．故答案为：（1）如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线互相平行．（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．Ð+Ð+Ð=________度．12．如图，三条直线1l、2l、3l相交于一点O，则123【答案】180【分析】根据对顶角相等得到∠1=∠4，再根据平角的定义即可得到结果．【详解】∵∠1=∠4，∴∠1+∠2+∠3=∠4+∠2+∠3=180°．故答案为：180．【点睛】本题考查了对顶角的性质及平角，熟记对顶角相等是解题的关键．13．将直角梯形ABCD 平移得梯形EFGH ，若10,2,4HG MC MG ===，则图中阴影部分的面积为_________平方单位．【答案】36【分析】根据图形可知图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积减去梯形EFMD 的面积，恰好等于梯形EFGH 的面积减去梯形EFMD 的面积．【详解】根据平移的性质得S 梯形ABCD =S 梯形EFGH ，Q DC = HG = 10，MC = 2，MG = 4，\DM = DC - MC = 10 - 2 = 8，\S 阴影= S 梯形ABCD -S 梯形EFMD=S 梯形EFGH -S 梯形EFMD=S 梯形HGMD =()12DM HG MG +g =12×(8+10)×4= 36．故答案为：36．【点睛】主要考查了梯形的性质和平移的性质，要注意平移前后图形的形状和大小不变，本题的关键是能得到：图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积减去梯形EFMD 的面积，恰好等于梯形EFGH 的面积减去梯形EFMD 的面积．14．如图，AB ∥EF ，设∠C ＝90°，那么x ，y ，z 的关系式为______．【答案】y=90°-x+z．【分析】作CG∥AB，DH∥EF，由AB∥EF，可得AB∥CG∥HD∥EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．【详解】解：作CG∥AB，DH∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CG∥HD∥EF，∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z∵∠BCD＝90°∴∠1+∠2=90°，∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，∴∠y=∠z+90°-∠x．即y=90°-x+z．【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键．15．如图，在一块长为a米、宽为b米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是2米，其他部分都是草地，则草地的面积为__________平方米．【答案】（ab ﹣2b ）【分析】根据图形的特点，可以把小路的面积看作是一个底是2米，高是b 米的平行四边形，根据平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽，用长方形的面积减去小路的面积即可．【详解】解：由题可得，草地的面积是(ab ﹣2b )平方米．故答案为：(ab ﹣2b )．【点睛】本题考查了平移的实际应用．化曲为直是解题的关键．16．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE AB ^，O 为垂足，如果38EOD Ð=°，则AOC Ð=________，COB Ð=________．【答案】52o 128o【分析】根据对顶角相等可知AOC BOD Ð=Ð，根据余角的定义求得BOD Ð，根据邻补角的定义求得COB Ð．【详解】Q OE AB ^，38EOD Ð=°，90903852BOD EOD \Ð=°-Ð=°-°=°，Q AOC BOD Ð=Ð，52AOC \Ð=°，\180********COB AOC Ð=°-Ð=°-°=°，故答案为：52,128°°．【点睛】本题考查了垂线定义的理解，对顶角相等，求一个角的余角，求一个角的补角，掌握以上知识是解题的关键．17．如图所示，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路旁选一点来建火车站（位置已选好），说明理由：_____．【答案】垂线段最短【详解】根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短可知，要选垂线段．18．如图，给出下列条件：①180B BCD Ð+Ð=°；②12Ð=Ð；③34Ð=Ð；④5B Ð=Ð；⑤B D Ð=Ð．其中，一定能判定AB ∥CD 的条件有_____________（填写所有正确的序号）．【答案】①③④【分析】根据平行线的判定方法对各小题判断即可解答．【详解】① ∵180B BCD Ð+Ð=°，∴AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行），正确；② ∵12Ð=Ð，∴AD ∥BC ，错误；③ ∵34Ð=Ð，∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），正确；④ ∵5B Ð=Ð，∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行），正确；⑤ B D Ð=Ð不能证明AB ∥CD ，错误，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键．三、解答题19．根据下列语句画出图形：（1）过线段AB 的中点C ，画CD ⊥AB ；（2）点P 到直线AB 的距离是3cm ，过点P 画直线AB 的垂线PC ；（3）过三角形ABC 内的一点P ，分别画AB ，BC ，CA 的平行线．【答案】见解析【分析】（1）根据线段中点和垂直的定义画图；（2）根据点到直线的距离画图；（3）根据平行线的性质画图．【详解】解：（1）如图所示，AC =CB ，CD ⊥AB ；（2）如图所示，点P到直线AB的距离是3cm，AB⊥PC；（3）如图所示，PD∥AB，PE∥BC，PF∥CA．．【点睛】本题考查了基本作图，在作垂线、平行线时可以不用直尺和圆规作图，可以利用三角板．20．一个台球桌的桌面如图所示，一个球在桌面上的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B 后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚向点D．如果PQ//RS，AB，BC，CD 都是直线，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCD的平分线CM垂直于RS，那么，球经过两次反弹后所滚的路径CD是否平行于原来的路径AB？【答案】球经过两次反弹后所滚的路径CD平行于原来的路径AB．【分析】根据平行线的判断与性质以及角平分线的定义解答即可．【详解】解：球经过两次反弹后所滚的路径CD平行于原来的路径AB．理由如下：∵PQ∥RS，∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCD的平分线CM垂直于RS，∴BN∥CM，∴∠CBN =∠BCM ，又∵∠ABC =2∠CBN ，∠BCD =2∠BCM ，∴∠ABC =∠BCD ，∴CD ∥AB ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂线，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．21．完成下面的证明：如图，BE 平分ABD Ð，DE 平分BDC ∠，且90a b Ð+Ð=°，求证//AB CD ．证明：∵BE 平分ABD Ð（已知），∴2ABD a Ð=Ð（ ）．∵DE 平分BDC ∠（已知），∴BDC Ð=________（ ）．∴22)2(ABD BDC a b a b Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð（ ）．∵90a b Ð+Ð=°（已知），∴Ð+Ð=ABD BDC ________（）．∴//AB CD （ ）．【答案】角的平分线的定义；2b Ð；角的平分线的定义；等式性质；180°；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【分析】根据角平分线的性质,等式性质，等量代换，平行线判定逐个求解即可．【详解】解：BE Q 平分ABD Ð（已知）∴2ABD a ÐÐ＝（角平分线的定义）DE Q 平分BDC ∠（已知）∴BDC Ð＝2∠β（角平分线的定义）∴222()ABD BDC a b a b Ð+ÐÐ+ÐÐ+Ð＝＝（等式性质）90a b °Ð+ÐQ ＝（已知）∴ABD BDC Ð+Ð＝180°（等量代换）∴//AB CD （同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：角的平分线的定义；2b Ð；角的平分线的定义；等式性质；180°；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【点睛】本题考查平行线的判定、角平分线的定义，等式性质等，熟练掌握平行线的判定是解决本题的关键．22．已知直线AB 和CD 相交于O 点，射线OE ⊥AB 于O ，射线OF ⊥CD 于O ，且∠BOF ＝25°，求∠AOC 与∠EOD 的度数．【答案】∠AOC ＝115°，∠EOD ＝25°【分析】由OF ⊥CD ，得∠DOF =90°，根据条件可求出∠BOD 的度数，即可得到∠AOC 的度数；由OE ⊥AB ，得∠BOE =90°，可以推出∠EOF 和∠EOD 的度数．【详解】解：∵OF ⊥CD ，∴∠DOF ＝90°，又∵∠BOF ＝25°，∴∠BOD ＝∠DOF+∠BOF=90°+25°＝115°，∴∠AOC ＝∠BOD ＝115°，又∵OE ⊥AB ，∴∠BOE ＝90°，∵∠BOF ＝25°，∴∠EOF ＝∠BOE -∠BOF =65°，∴∠EOD ＝∠DOF ﹣∠EOF ＝90°－65°=25°．【点睛】此题考查的知识点是垂线、角的计算及对顶角知识，关键是根据垂线的定义得出所求角与已知角的关系．23．如图，A 、B 、C 三点在同一直线上，12,3D Ð=ÐÐ=Ð，试说明 //BD CE ．证明：∵12Ð=Ð（已知）∴________//________（________________）∴D Ð=Ð________（________________）又∵3D Ð=Ð（________）∴Ð________=Ð________（________________）∴//BD CE （________________）．【答案】,AD BE ，内错角相等，两直线平行；DBE ，两直线平行，内错角相等；已知，DBE ，3，等量代换；内错角相等，两直线平行．【分析】由12Ð=Ð，根据内错角相等，两直线平行，可证得//AD BE ，继而证得D DBE Ð=Ð，又由3D Ð=Ð，可证得3DBE Ð=Ð，继而证得//BD CE ．【详解】证明：12(Ð=ÐQ 已知)，//AD BE \ ( 内错角相等，两直线平行)，(D DBE \Ð=Ð 两直线平行，内错角相等 )，又∵3D Ð=Ð（已知），3(DBE \Ð=Ð等量代换)，//(BD CE \ 内错角相等，两直线平行)．故答案为：AD ，BE ，内错角相等，两直线平行；DBE ，两直线平行，内错角相等；已知，DBE ，3，等量代换；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟悉相关证明过程是解题的关键．24．如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草．（1）求种花草的面积；（2）若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？【答案】（1）种花草的面积为42平方米；（2）每平方米种植花草的费用是110元【分析】（1）将道路直接平移到矩形的边上，进而根据长方形的面积公式得出答案；（2）根据（1）中所求，代入计算即可得出答案．【详解】解：（1）()()8281-´-67=´42=（平方米）答：种花草的面积为42平方米；（2）462042110¸=（元）答：每平方米种植花草的费用是110元．【点睛】此题考查了生活中的平移现象，解题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有道路平移到矩形的边上进行计算．25．如图，某工程队从A 点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD ，在BD 路段出现塌陷区，就改变方向，在B 点沿北偏东23°的方向继续修建BC 段，到达C 点又改变方向，使所修路段//CE AB ，求ECB Ð的度数.【答案】90°【分析】先根据平行线的性质求出∠2的度数，再由平角的定义求出CBA Ð的度数，根据CE ∥AB 即可得出结论．【详解】∠ECB=90°．理由：∵∠1=67°，∴∠2=67°．∵∠3=23°，∴∠CBA=180°-67°-23°=90°．∵CE ∥AB ，∴∠ECB=∠CBA=90°．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．26．探究题：（1）已知：三角形ABC ，求证：180A B ACB Ð+Ð+Ð=°；小明同学经过认真思考，他过点C 作//CE AB ，利用添加辅助线的方法成功解决了这个问题．你能说出小明是怎么解决这个问题的吗？写出论证过程．（2）利用以上结论或方法，解决如下问题：已知：六边形ABCDEF ，满足A B C D E F Ð+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð，求证：//AF CD ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行线的性质及平角的性质即可求解；（2）连结,,AC FC FD ，利用三角形内角和将A B C D E F Ð+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð转化为AFC DCF Ð=Ð，从而得出//AF CD ．【详解】（1）∵//CE AB∴1A Ð=Ð，2B Ð=Ð∵B 、C 、D 在同一直线上∴∠ACB +∠1+∠2=180°∴180A B ACB Ð+Ð+Ð=°；（2）如图，连结,,AC FC FD ，得到△ABC 、△ACF 、△CDF 、△DEF∴∠B +∠BAC +∠ACB =∠ACF +∠AFC +∠CAF =∠FCD +∠CDF +∠CFD =∠E +∠EDF +∠DFE =180°∵BAF B BCD CDE E EFAÐ+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð∴BAC ACB ACF F F B CD CA Ð+Ð+ÐÐ+Ð+Ð+=CDF EDF E CFD AFCEFD +Ð+ÐÐ+Ð+Ð+Ð化解得360°-∠AFC +∠FCD =360°-∠FCD +∠AFC∴2∠FCD =2∠AFC则∠FCD =∠AFC∴//AF CD ．【点睛】此题主要考查平行线的判断与性质，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°．。

四川省渠县崇德实验学校北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线暑假培训讲义集体备课教案（授课内容：平行线、平行线的构造）知识梳理 一、平行线1．平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“//”表示． 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【例】如图1，过直线a 外一点A 作b//a ，c//a ，则b 与c 重合．3．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 简记为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【例】如图2，若b//a ，c//a ，则b//c ．图1 图2 图34．平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等．如图3，若a//b ，则Ð1=Ð2． （2）两直线平行，内错角相等．如图3，若a//b ，则Ð2=Ð3． （3）两直线平行，同旁内角互补．如图3，若a//b ，则Ð3+Ð4=180°． 5．平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行．如图3，若Ð1=Ð2，则a//b ． （2）内错角相等，两直线平行．如图3，若Ð2=Ð3，则a//b ． （3）同旁内角互补，两直线平行．如图3，若Ð3+Ð4=180°，则a//b ． 二、平行的构造1．如图4，若a//b ，则Ð1=Ð2+Ð3 2．如图5，若a//b ，则Ð1+Ð2+Ð3=360°(c )b aAcba b a4321a b` 213`a b213图4 图5例题讲解 一、平行线下列说法中：下列说法中：①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ②过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交；②过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交； ③如果同一平面内的两条直线不相交，那么它们互相平行；③如果同一平面内的两条直线不相交，那么它们互相平行； ④过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．④过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 正确的是__________．【解析】①③④．【提示】这道题主要考查平行线的概念和平行公理．（1）如图2-1，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若125Ð=°，则2Ð的度数是（的度数是（ ） A ．155° B ．135° C ．125° D ．115°（2）如图2-2，已知AB//CD ，EF 分别交AB 、CD 于M 、N ，EMB Ð=50°，MG 平分BM BMF F Ð，交CD 于G ，MGN Ð的度数为__________．FE AMBC N G D12图2-1 图2-2（3）证明：三角形三个内角的和等于180°．【解析】（1）D ；（2）65°；（3）证法1：如右图，过△ABC 的顶点A 作直线l//BC ． 则B Ð1=Ð，C Ð2=Ð（两直线平行，内错角相等）． 又因为BAC Ð1+Ð+Ð2=180°．（平角的定义） 所以B BAC C Ð+Ð+Ð=180°（等量代换）． 即三角形三个内角的和等于180°． 证法2：如右图，延长BC ，过C 作CE//AB ， 则A Ð1=Ð（两直线平行，内错角相等），B Ð2=Ð（两直线平行，同位角相等）．又∵BCA Ð+Ð1+Ð2=180°， ∴BCA A B Ð+Ð+Ð=180°， 即三角形三个内角的和等于180°．【提示】这道题主要考查平行线的性质，（3）题证明方法老师可以自行补充，这个结论和平行公理是等价的．平行公理是等价的．另外，另外，这种证明题需要学生先转化成常规的已知和求证，这种证明题需要学生先转化成常规的已知和求证，然后然后再证明，重点强调格式．（1）根据图在（）根据图在（ ）内填注理由：）内填注理由： ①∵B CEF Ð=Ð（已知），（已知），∴AB//CD （ ）；）； ②∵B BED Ð=Ð（已知），（已知），∴AB//CD （ ）；）； ③∵B CEB Ð+Ð=180°（已知），（已知），l21CB A 21DCEBAA CDBFE∴AB//CD （ ）．）．（2）已知：如图所示，ABC ADC Ð=Ð，BF 和DE 分别平分ABC Ð和ADC Ð，AED EDC Ð=Ð．求证：ED//BF ．证明：∵BF 和DE 分别平分ABC Ð和ADC Ð（已知）（已知）∴EDC Ð=__________ADC Ð，FBA Ð=__________ABC Ð（ ）， 又∵ADC ABC Ð=Ð（已知），（已知）， ∴Ð__________FBA =Ð（等量代换）．（等量代换）． 又∵AED EDC Ð=Ð（已知），（已知），∴Ð__________=Ð__________（等量代换），（等量代换）， ∴ED//BF （ ）．）．【解析】（1）①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行． （2）12；12；角平分线定义；EDC ；AED ；FBA ；同位角相等，两直线平行. 【提示】这道题主要考查平行的判定，这道题主要考查平行的判定，也通过这道题规范孩子们的书写过程，也通过这道题规范孩子们的书写过程，也通过这道题规范孩子们的书写过程，这种题型也是这种题型也是各学校的必考题型．如图，已知EF BC ^，C Ð1=Ð，Ð2+Ð3=180°．证明：AD BC ^．【解析】C Ð1=ÐQ ，（已知）\GD//AC ，（同位角相等，两直线平行） \CAD Ð=Ð2．（两直线平行，内错角相等）A CD BF EABCDEFG123又Ð2+Ð3=180°Q ，（已知）\CAD Ð3+=Ð180°．（等量代换）\AD//EF ，（同旁内角互补，两直线平行） \ADC EFC Ð=Ð．（两直线平行，同位角相等）EF BC ^Q ，（已知） ADC \Ð=90°，\AD BC ^．【提示】平行的性质和判定结合，时间可以留长点．请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明． （1）如图5-1，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AME Ð，CNE Ð．求证：MG//NH ．从本题我能得到的结论是：_____________．（2）如图5-2，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分BMF Ð，CNE Ð．求证：MG//NH ．从本题我能得到的结论是：_____________．（3）如图5-3，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AMF Ð，CNE Ð，相交于点O ．求证：MG NH ^．从本题我能得到的结论是：_____________________．图5-1 图5-2 图5-3【解析】（1）两直线平行，同位角的角平分线平行．A CG EB M H NDFOACGEB MHNDF A CG EBMHNDF（2）证明：∵AB//CD ，∴BMF CNE Ð=Ð，又∵MG ，NH 分别平分BMF Ð，CNE Ð，∴GMF BMFCNE HNM 11Ð=Ð=Ð=Ð22，∴MG//NH ， 从本题我能得到的结论是：两直线平行，内错角的角平分线平行． （3）证明：∵AB//CD ，∴AMF CNE Ð+Ð=180°，又∵MG ，NH 分别平分AMF Ð，CNE Ð， ∴GMF HNE AMF CNE 11Ð+Ð=Ð+Ð=90°22，∴MON GMF HNE Ð=180°-Ð-Ð=90°，∴MG NH ^．从本题我能得到的结论是：两直线平行，同旁内角的角平分线垂直．【提示】平行线的性质和判定相结合，练习平行线倒角．二、平行线的构造（1）如图6-1，已知直线a//b ，Ð1=40°，Ð2=60°，则Ð3等于_________．（2）如图6-2，l 1//l 2，Ð1=120°，=Ð2100°，则Ð3=_________．（3）如图6-3，AB//CD ，ABE Ð=120°，ECD Ð=25°，则E Ð=_________．图6-1 图6-2 图6-3【解析】（1）100°；（2）40°；（3）85°．321b aED CBAl 1l 2321【提示】练习基础的平行线倒角模型：铅笔模型和猪蹄模型．（1）如图7-1，AB//CD ，BAFEAF 1Ð=Ð3，FCD ECF 1Ð=Ð3，AEC Ð=128°，则AFC Ð的度数为________．（2）如图7-2，已知：AB//CD ，ABP Ð和CDP Ð的平分线相交于点E ，ABE Ð和CDE Ð的平分线相交于点F ，BFD Ð=54°，则BPD Ð=________，BED Ð=________．图7-1 图7-2【解析】（1）58°；（2）144°；108°． 【提示】铅笔模型和猪蹄模型综合．（1）如图8-1，AB//CD ，A Ð=32°，C Ð=70°，则F Ð=________．（2）如图8-2，AB//CD ，E Ð=37°，C Ð=20°，则EAB Ð的度数为________．图8-1 图8-2【解析】（1）38°；（2）57°． 【提示】铅笔模型和猪蹄模型的变形．EF A BPCDFD CBEAED CBA如图，直线AC//BD ，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分，规定线上各点不属于任何部分，当动点当动点P 落在某个部分时，落在某个部分时，连结连结P A 、PB ，构成PAC Ð，APB Ð，PBD Ð三个角。

第一讲相交线与平行线◆了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等．◆了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义．◆知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．◆知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．◆知道两直线平行的条件并会正确判断．◆知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质．◆体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离．◆利用相关知识会进行有关推理和计算．◆会借助长方体了解直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．➢点、线、角1．点、直线、面（不定义概念）及其表示；2．射线、线段、线段的中点及其表示；3．两点确定一条直线；4．两点之间线段最短（两点之间的距离）；5．角、角的顶点、边、角平分线的表示及其性质；6．角的分类（锐角、直角、钝角、平角、周角）、度量（度、分、秒）及计算．➢关系角及其性质1．对顶角、余角、补角（邻补角）、同位角，内错角、同旁内角；2．对顶角相等；3．同角（或等角）的余角（或补角）相等．➢相交线、平行线1．垂线、垂线段最短（点到直线的距离）；2．过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线和已知直线垂直；3．会过一点画（作）已知直线的垂线；（一落，二靠，三画）4．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；5．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．6．三线八角与平行线的关系；①判定公理：同位角相等，两直线平行．∵∠1=∠2，∴a∥b．②判定定理1：内错角相等，两直线平行．∵∠1=∠2，∴a∥b．③判定定理2：同旁内角互补，两直线平行．∵∠1+∠2=1800，∴a∥b．④性质公理：两直线平行，同位角相等．∵a∥b，∴∠1=∠2．⑤性质定理1：两直线平行，内错角相等．∵a∥b，∴∠1=∠2．⑥性质定理2：两直线平行，同旁内角互补．∵a∥b，∴∠1+∠2=1800．7．平行线之间的距离.8．会过直线外一点，画已知直线的平行线．【例题1】（06南通）已知∠α=35°19′，则∠α的余角等于（）A．144°41′ B．144°81′ C．54°41′ D．54°81′【例题2】（05南通）已知，如图（1）直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角是（） A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END【例题3】（06南通）如图（2），AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF的平分线交CD于G，若∠EFG=72°，则∠EGF等于（）A．36° B．54° C．72° D．108°【例题4】（04南通）如图（3），在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列棱中与面CC1D1D垂直的棱（）A．A1B1 B．CC1 C．BC D．CD【例题5】如图所示，已知∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB=40°．在OB上有一点P，从P 点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（）A．60° B．80° C．100° D．120°【例题6】如图，已知∠C=∠AOC，OC平分∠AOD，OC⊥OE，∠D=54°．求∠C、∠BOE的度数．【例题7】探究：如图所示，已知： AB∥CD，分别探究下面三个图形中∠A、∠C、∠P之间的数量关系，并选一个给予证明．【精练1】如图，如果AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于（）A．∠1+∠2 B．∠2-∠1图（3）图（1）图（2）例5图C．180°-∠2 +∠1 D．180°-∠1+∠2【精练2】如图1，小明要由A村去B村，现有三条路可走，走路最近理由是．【精练3】如图2，要从水渠向水池C引水，在哪里开沟可使水渠最短，请画出图形．理由是．【精练4】如图3，已知，∠1=35°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．则∠2= 度，∠3= 度，∠4= 度．【精练5】（05年临汾）如图4，将一副三角板的直角顶点重合，•摆放在桌面上，•若∠AOD=145°，则∠BOC=_______度．【精练6】（05年烟台）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过；如果第一次拐的角∠A是120○，第二次拐的角∠B是150○，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是【精练7】判断题：（1）和为180°的两个角是邻补角．（）（2）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．（）（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．（）（4）邻补角的角平分线所在的两条直线互相垂直．（）（5）两条直线相交，所成的四个角中，一定有一个是锐角．（）【精练8】如图1，直线AB、CD相交于点O，∠1＝∠2．则∠1的对顶角是_____，∠4的邻补角是______．∠2的补角是_________．图3图4图3图1图2【精练9】如图2，OA⊥OB，OC⊥OD．若∠AOD＝144°，则∠BOC＝_____．【精练10】如图3，∠1＝82°，∠2＝98°，∠3＝80°，则∠4＝．【精练11】下列语句中，正确的是（）A．有一条公共边且和为180°的两个角是邻补角 B．互为邻补角的两个角不相等C．两边互为反向延长线的两个角是对顶角 D．交于一点的三条直线形成3对对顶角．【精练12】如图，AB∥CD．若∠2是∠1的两倍，则∠2等于（）A．60°B． 90°C． 120°D． 150°【精练13】一学员在广场上练习驾驶汽车，若其两次拐弯后仍沿原方向前进，则两次拐弯的角度可能是（） A．第一次向左拐30○，第二次向右拐 30○B．第一次向右拐30○，第二次向左拐130○C．第一次向右拐50○，第二次向右拐130○D．第一次向左拐50○．第二次向左拐130○【精练14】如图，已知：AB∥CD，∠1=55°∠2=80°，求∠3的度数．【精练15】如图，已知： AB∥CD，BE∥CF．求证：∠1=∠4．。

七年级下册第二章相交线与平行线知识点一：对顶角与邻补角一、对顶角1、定义：2、性质：二、邻补角1、定义：2、性质：特别说明：在图形中若出来了上述的两种现象，可以直接当条件来用．典例1：（1）如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1：∠2：∠3=6:1:2，求∠DOE的度数．（2）如图，∠2+∠3=153o，且∠3=2∠2，求∠1和∠4的度数．变式训练：1、按下面的方法折纸，然后回答问题：（1）∠2= o.2、已知直线AB、CD、EF相交于点O，OG是∠AOC的平分线，若∠EOB=2∠COE，∠GOE=70，求∠DOF的度数．知识点二：垂线及其性质应用1、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；2、两条直线垂直是位置关系，两条直线的夹角为90o，是数量关系，它们之间可以互相转化；3、垂线段最短．典例2：1、已知直线AB⊥CD，垂足为O，OE在∠BOD内部，∠COE＝125°，OF⊥OE于点O，求∠AOF的度数.2、下列说法正确的个数是（）①连接两点的线中，垂线段最短；②两条直线相交，有且只有一个交点；③若两条直线有两个公共点，则这两条直线重合；④若AB+BC=AC，则A、B、C三点共线．A．2 B．3 C．4 D．5变式训练：1、如图所示，已知直线AB、CD交于点O，OE⊥AB于点O，且∠1比∠2大20 o，则∠AOC=______.第1题图第2题图第3题图2、如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOC=70°，则∠CON的度数为（）A．65°B．55°C．45°D．35°3、如图，CA⊥BE于A，AD⊥BF于D，下列说法正确的是（）A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DAC C．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补4、下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（）A．B．C．D．5、如图：AB，CD，EF相交于O点，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=30o，求∠BOE及∠AOG的度数．4、如图所示,直线AB、CD、EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70 o，求∠DOG的度数．知识点三：三线八角八个角依照其相对位置有不同的名称(如右图) 三线八角同位角:∠1和∠5、∠2和∠6、∠3和∠7、∠4和∠8相对位置相同，称为"同位角"．同位角的形状似字母F．内错角:∠2和∠8、∠3和∠5相互交错，且均在内部，称为"内错角"．内错角的形状似字母Z．同旁内角:∠2和∠5、∠3和∠8在截线同旁，且均在内部，称为"同旁内角"．同旁内角的形状似字母U或门框形．典例3：看图填空：（1）如图①，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对；（2）如图②，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对；（3）如图③，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对；（4）如图④，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对．变式训练：1、如图，∠1与∠4是______角，∠1与∠3是______角，∠3与∠5是______角，∠3与∠4是______角．第1题图第2题图2、如图,按各组角的位置判断错误的是（）A. ∠1与∠A是同旁内角B. ∠3与∠4是内错角C. ∠5与∠6是同旁内角D. ∠2与∠5是同位角知识点四：平行线的性质与判定1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a//b2、平行公理：经过直线外一点，有且只有．3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行．即“”．4、两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：（1）；（2）．5、两条直线的判定方法（1）定义法：（2）平行公理的推论：（3）同位角，两直线；（4）内错角，两直线；（5）同旁内角，两直线；6、平行线的性质：（1）两直线，同位角，；（2）两直线，内错角；（3）两直线，同旁内角；典例4：1、如图，下列条件中，能判断直线a∥b的是（）A．∠3=∠2 B．∠1=∠3 C．∠4+∠5=180°D．∠2=∠42、下列各图中，已知∠1=∠2．则能判断AB∥CD的是（）A．B．C．D．变式训练：1、如图所示，下列推理中正确的数目有（）①因为∠1=∠4，所以BC∥AD．②因为∠2=∠3，所以AB∥CD．③因为∠BCD+∠ADC=180°，所以AD∥BC．④因为∠1+∠2+∠C=180°，所以BC∥AD．A．1个B．2个C．3个D．4个2、如图，点A、C、F、B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA为α度，则∠GFB为度（用关于α的代数式表示）．第2题图第3题图第4题图3、如图所示，AD∥BC，点O在AD上，BO，CO分别平分∠ABC，∠DCB，若∠A+∠D=m°，则∠BOC=．4、如图所示，已知a∥b，∠1=72°，∠2=40°，则∠3=．5、如图，DH∥EG∥BC，且EF∥DC，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）的个数（）A．2 B．4 C．5 D．6第5题图第6题图第7题图第8题图6、如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为()A． 26°B． 36°C． 46°D． 56°7、如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE等于______．8、如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，则∠F= ．9、一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°第10题图10、如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过；如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是度．11、如图所示，已知∠ADE=∠B，∠1=∠2，GF⊥AB，求证：CD⊥AB．证明：因为∠ADE=∠B( )，所以DE∥BC( )．所以∠1=∠3( )．因为∠1=∠2(已知)，如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，求证：∠AED=∠C．证明：∵∠1+∠4=180°（），∠1+∠2=180°（）∴EF∥AB（）∴∠3=∠ADE（）又∵∠B=∠3（已知）∴∠ADE=∠B（）∴∥（）∴∠AED=∠C（）14、如图，已知∠ADE=∠B，∠EDC=∠FGB，GF⊥AB．试说明CD⊥AB．∴DE∥BC∴∠EDC=∠DCB∵∠EDC=∠FGB（已知）∴∠DCB=∠FGB（）∴∥（）∴∠CDB=∠GFB（）∵GF⊥AB( )∴∠=90°（）∴∠CDB=90°∴CD⊥AB．15、如图，已知AD⊥BC，EG⊥BC，D、G分别是垂足，∠GEC=∠3．求证：AD平分∠BAC．16、如图，GC交AB于点M，GH分别交AB、EF于点N、H两点，HD平分∠GHF，∠1+∠C=180°，∠2=∠3=60°，求证：CD∥EF．17、如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．知识点五：光的反射与平行线典例、如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（）A．75°36′B．75°12′C．74°36′D．74°12′典例图第1题图第2题图变式训练：1、如图，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到口上，经两次反射后的出射光线O′B 平行于α，则角θ等于度．2、实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n 与光线m平行，且∠1=50°，则∠2=，∠3=．（2）在（1）中，若∠1=55°，则∠3=．（3）由（1）、（2），试猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=时，可以使任何射到平面镜a上的光线m（m一定能够被反射到平面镜b上）经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．请用本学期学过的数学知识证明你的结论的正确性．知识点六：拐点问题1、如图所示，直线a∥b，直线c和直线a、b分别交于C、D两点，点A、B分别是直线a、b上的点，点M是直线CD上的一点，连接AM，BM，（1）若点M在C、D之间，且∠1=25°，∠3=35°，求∠2的度数；（2）如果点M在直线CD上运动，问∠1、∠2、∠3之间有怎样的数量关系？请写出来，不必说明理由．变式训练：1、如图，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是．2、如图，已知AB∥CD，请完成下列填空：①在图（1）中，∠1+∠2=；②在图（2）中，∠1+∠2+∠3=；③在图（3）中，∠1+∠2+∠3+∠4=；④在图（4）中，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5有什么关系呢？也请直接写出来．3、已知，AB∥CD，分别探讨四个图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系．（1）请说明图1、图2中三个角的关系，并任选一个加以证明．（2）猜想图3、图4中三个角的关系，不必说明理由．（提示：注意适当添加辅助线吆！）4、已知如图射线AB∥CD，P为一动点，∠BAP与∠DCP的平分线AE与CE交于点E（1）当P运动到线段AC上时，∠APC=180°（图1），此时∠AEC为多少度？（不要求证明）（2）当P运动到如图2的位置时，猜想∠AEC与∠APC 的关系，并说明理由？（3）当P运动到如图3的位置时，上述结论还成立吗？（不要求说明理由）。

七年级初一数学 第五章 相交线与平行线(讲义及答案)及答案一、选择题1．如图，O 是直线AB 上一点，OE 平分∠BOD ，OF ⊥OE ，∠D ＝110°，添加一个条件，仍不能判定AB ∥CD ，添加的条件可能是（ ）A ．∠BOE ＝55°B ．∠DOF ＝35°C ．∠BOE +∠AOF ＝90°D ．∠AOF ＝35°2．如图，AB ∥CD ∥EF ，AF ∥CG ，则图中与∠A （不包括∠A ）相等的角有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个3．如图，AB ∥EF ，设∠C ＝90°，那么x 、y 和z 的关系是（ ）A ．y ＝x+zB ．x+y ﹣z ＝90°C ．x+y+z ＝180°D ．y+z ﹣x ＝90°4．如图，五边形ABCDE 中，AE ∥BC ，则∠C +∠D +∠E 的度数为（ ）A ．180°B ．270°C ．360°D ．450° 5． 如图，a ∥b ，点A 在直线a 上，点B ，C 在直线b 上，AC ⊥b ，如果AB=5cm ，BC=3cm ，那么平行线a ，b 之间的距离为（ ）A ．5cmB ．4cmC ．3cmD ．不能确定6．如图，ABC 的角平分线CD 、BE 相交于F ，90A ∠=︒，//EG BC ，且CG EG⊥于G ，下列结论：①2CEG DCB ∠=∠；②CA 平分BCG ∠；③ADC GCD ∠=∠；④12DFB CGE ∠=∠.其中正确的结论是( )A ．①③④B ．①②③C ．②④D ．①③ 7．如图，////OP QR ST 下列各式中正确的是（ ）A ．123180∠+∠+∠=B ．12390∠+∠-∠=C ．12390∠-∠+∠=D ．231180∠+∠-∠=8．已知∠A 的两边与∠B 的两边互相平行，且∠A=20°，则∠B 的度数为（ ）. A ．20° B ．80° C ．160° D ．20°或160° 9．如图，直线,a b 被直线c 所截，下列条件中不能判定a//b 的是（ ）A ．25∠=∠B ．45∠=∠C ．35180∠+∠=︒D ．12180∠+∠=︒ 10．如图，将ABC 沿BC 的方向平移1cm 得到DEF ，若ABC 的周长为6cm ，则四边形ABFD 的周长为（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm二、填空题11．如图，已知AB 、CD 相交于点O,OE ⊥AB 于O ，∠EOC=28°，则∠AOD=_____度；12．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ∥MN．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．13．100条直线两两相交于一点，则共有对顶角（不含平角）_______对，邻补角________对.14．如图，a∥b，∠2＝∠3，∠1＝40°，则∠4的度数是______度．15．如图，请你添加一个条件．．．．使得AD∥BC，所添的条件是__________．16．如图，长方形ABCD的周长为30，则图中虚线部分总长为____________．17．如图,点A、B为定点,直线l∥AB,P是直线l上一动点，对于下列各值:①线段AB的长；②△PAB的周长；③△PAB的面积；④∠APB的度数，其中不会随点P的移动而变化的是(填写所有正确结论的序号)______________.18．如图，CB∥OA，∠B＝∠A＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，若平行移动AC，当∠OCA的度数为_____时，可以使∠OEB＝∠OCA．19．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOD=120°，则∠BOD=__________°．20．如图,AC∥BD,AE平分∠BAC交BD于点E,若∠1=62°，则∠2=______.三、解答题21．问题情境（1）如图1，已知AB∥CD，∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，求∠BPC的度数．佩佩同学的思路：过点P作PG∥AB，进而PG∥CD，由平行线的性质来求∠BPC，求得∠BPC＝问题迁移（2）图2．图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB＝90°，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED＝∠α，∠PAC＝∠β．①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；拓展延伸（3）当点P在C，D两点之间运动时，若∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，请直接写出∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系．22．已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．23．已知AB∥CD，点C在点D的右侧，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE相交于点E．（1）如图1，当点B在点A的左侧时，①若∠ABC=50º，∠ADC=70º，求∠BED的度数；②请直接写出∠BED与∠ABC，∠ADC的数量关系；（2）如图2，当点B在点A的右侧时，试猜想∠BED与∠ABC，∠ADC的数量关系，并说明理由．24．直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点．(1)如图①，探究∠AME，∠MEN，∠ENC的数量关系，并说明理由；(2)如图②，∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度数；（3）如图③，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，直接写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系(用含m的式子表示)．25．已知：∠1＝∠2，EG 平分∠AEC．(1)如图1，∠MAE＝50°，∠FEG＝15°，∠NCE＝80°．试判断EF 与CD 的位置关系，并说明理由．(2)如图2，∠MAE＝135°，∠FEG＝30°，当AB∥CD 时，求∠NCE 的度数；(3)如图2，试写出∠MAE、∠FEG、∠NCE 之间满足什么关系时，AB∥CD．26．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．（1）求∠AEC的度数；（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC 的度数．（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据平行线的判定定理判断即可．【详解】解：∵OE平分∠BOD，∠BOE=55°，∴∠BOD=2∠BOE=110°，∵∠D=110°，∴∠BOD=∠D，∴CD∥AB，故A不符合题意；∵OF⊥OE，∴∠FOE=90°，∠DOF=35°，∴∠DOE=55°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOB=2∠DOE=110°，∵∠D=110°，∴∠DOB=∠D，∴AB∥CD，故B不符合题意；∵∠BOE+∠AOF=90°，∴∠EOF=90°，但不能判断AB∥CD，故C符合题意；∵OF⊥OE，∴∠FOE=90°，∠AOF=35°，∴∠BOE=55°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOB=2∠BOE=110°，∵∠D=110°，∴∠DOB=∠D，∴AB∥CD，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质和平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理即可得到结论．2．B解析：B【分析】由平行线的性质，可知与∠A相等的角有∠ADC、∠AFE、∠EGC、∠GCD．【详解】∵AB∥CD，∴∠A=∠ADC；∵AB∥EF，∴∠A=∠AFE；∵AF∥CG，∴∠EGC=∠AFE=∠A；∵CD∥EF，∴∠EGC=∠DCG=∠A；所以与∠A相等的角有∠ADC、∠AFE、∠EGC、∠GCD四个，故选B．3．B解析：B【分析】过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，根据三角形外角性质求出∠CNE＝y﹣z，根据平行线性质得出∠1＝x，∠2＝∠CNE，代入求出即可．【详解】解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，则∠CDE＝∠E+∠CNE，即∠CNE＝y﹣z∵CM∥AB，AB∥EF，∴CM∥AB∥EF，∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，∵∠BCD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴x+y﹣z＝90°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．4．C解析：C【分析】首先过点D作DF∥AE，交AB于点F，由AE∥BC，可证得AE∥DF∥BC，然后由两直线平行，同旁内角互补，证得∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，继而证得结论．【详解】过点D作DF∥AE，交AB于点F，∵AE∥BC，∴AE∥DF∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，∴∠C+∠CDE+∠E＝360°，故选C．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题时掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．5．B解析：B【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，并由勾股定理可得出答案．【详解】解：∵AC⊥b，∴△ABC是直角三角形，∵AB=5cm，BC=3cm，∴22-22AB BC53-（cm），∴平行线a、b之间的距离是：AC=4cm．故选：B．【点睛】本题考查了平行线之间的距离，以及勾股定理，关键是掌握平行线之间距离的定义，以及勾股定理的运用．6．A解析：A【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】解：①∵EG∥BC，∴∠CEG＝∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故本选项正确；②无法证明CA平分∠BCG，故本选项错误；③∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ADC+∠BCD＝90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，∴∠ADC＝∠GCD，故本选项正确；④∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，∴∠AEB+∠ADC＝90°+12（∠ABC+∠ACB）＝135°，∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠DFB＝45°＝12∠CGE，故本选项正确．故选：A．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．7．D解析：D【解析】试题分析：延长TS，∵OP∥QR∥ST，∴∠2=∠4，∵∠3与∠ESR互补，∴∠ESR=180°﹣∠3，∵∠4是△FSR的外角，∴∠ESR+∠1=∠4，即180°﹣∠3+∠1=∠2，∴∠2+∠3﹣∠1=180°．故选D．考点：平行线的性质．8．D解析：D【解析】试题分析：如图，∵∠A=20°，∠A的两边分别和∠B的两边平行，∴∠B 和∠A 可能相等也可能互补，即∠B 的度数是20°或160°，故选：D.9．D解析：D【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可．【详解】解：A. 由2∠和5∠是同位角，则25∠=∠ ，可得a//b ，故该选项不符合题意；B. 由4∠和5∠是内错角，则45∠=∠，可得a//b ，故该选项不符合题意；C. 由∠3和∠1相等，35180∠+∠=︒，可得a//b ，故该选项不符合题意；D. 由∠1和∠2是邻补角，则12180∠+∠=︒不能判定a//b ，故该选项满足题意． 故答案为D ．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答本题的关键．10．B解析：B【分析】先根据平移的性质得出AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC ，再根据四边形ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF 即可得出结论．【详解】∵将周长为6的△ABC 沿边BC 向右平移1个单位得到△DEF ，∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC ，又∵AB+BC+AC=6，∴四边形ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=8．故选：B ．【点睛】本题考查了平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键．二、填空题11．62【详解】∵，，∴∠BOC=90°-28°=62°∵∠BOC=∠AOD∴∠AOD=62°.解析：62【详解】∵OE AB ⊥，28EOC ∠=，∴∠BOC=90°-28°=62°∵∠BOC=∠AOD∴∠AOD=62°.12．30或110【分析】分两种情况讨论：两束光平行；两束光重合之后（在灯B 射线到达BQ 之前）平行，然后利用平行线的性质求解即可．【详解】解：设灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，即AC ∥BD ，①当解析：30或110【分析】分两种情况讨论：两束光平行；两束光重合之后（在灯B 射线到达BQ 之前）平行，然后利用平行线的性质求解即可．【详解】解：设灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，即AC ∥BD ，①当0＜t ≤90时，如图1所示：∵PQ ∥MN ，则∠PBD ＝∠BDA ，∵AC ∥BD ，则∠CAM ＝∠BDA ，∴∠PBD ＝∠CAM有题意可知：2t ＝30＋t解得：t ＝30，②当90＜t ＜150时，如图2所示：∵PQ∥MN，则∠PBD＋∠BDA＝180°，∵AC∥BD，则∠CAN＝∠BDA，∴∠PBD＋∠CAN＝180°，∴30＋t＋（2t－180）＝180解得：t＝110综上所述，当t＝30秒或t＝110秒时，两灯的光束互相平行．故答案为：30或110【点睛】本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分两种情况谈论．13．19800【解析】100条直线两两相交，最多有个交点，每个交点处有两组对顶角，4对邻补角，故100条直线两两相交于一点共有4950×2＝9900（对）对顶角，有4950×4＝19800解析：19800【解析】100条直线两两相交，最多有100(1001)49502-=个交点，每个交点处有两组对顶角，4对邻补角，故100条直线两两相交于一点共有4950×2＝9900（对）对顶角，有4950×4＝19800（对）邻补角，故答案为：9900，19800.14．40【解析】试题分析：如图，分别作a、b的平行线，然后根据a∥b，可得∠1=∠5，∠6=∠7，∠8=∠4，然后根据∠2=∠3，即∠5+∠6=∠7+∠8，然后由∠1=40°，可求得∠4=40°.解析：40【解析】试题分析：如图，分别作a、b的平行线，然后根据a∥b，可得∠1=∠5，∠6=∠7，∠8=∠4，然后根据∠2=∠3，即∠5+∠6=∠7+∠8，然后由∠1=40°，可求得∠4=40°.故答案为：40.15．∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C【解析】当∠EAD＝∠B时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC；当∠DAC＝∠C时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC；当∠DAB+∠B解析：∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C【解析】当∠EAD＝∠B时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC；当∠DAC＝∠C时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC；当∠DAB+∠B=180°时，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得AD//BC，故答案是：∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C或∠DAB+∠B=180°（答案不唯一）.16．15【分析】由长方形的性质和平移的性质，即可求出答案．【详解】解：根据题意，虚线部分的总长为：．故答案为：15．【点睛】本题考查了长方形的性质，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，解析：15【分析】由长方形的性质和平移的性质，即可求出答案．【详解】解：根据题意，虚线部分的总长为：130152AB BC+=⨯=．故答案为：15．【点睛】本题考查了长方形的性质，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．①③【分析】求出AB长为定值，P到AB的距离为定值，再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出PA+PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化．【详解】解：∵A、B为定点，∴AB长解析：①③【分析】求出AB长为定值，P到AB的距离为定值，再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出PA+PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化．【详解】解：∵A、B为定点，∴AB长为定值，∴①正确；∵点A，B为定点，直线l∥AB，∴P到AB的距离为定值，故△APB的面积不变，∴③正确；当P点移动时，PA+PB的长发生变化，∴△PAB的周长发生变化，∴②错误；当P点移动时，∠APB发生变化，∴④错误；故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的运用，熟记定理是解题的关键．18．60°【分析】设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答. 【详解】解：设∠OCA=a,∠AOC=x,已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，即a+x=80解析：60°【分析】设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答.【详解】解：设∠OCA=a,∠AOC=x,已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，即a+x=80°，又因为∠OEB=∠EOC+∠ECO=40°+x.当∠OEB=∠OCA，a=80°-x,40°+x=a,解得∠OCA=60°.【点睛】本题考查角度变换和平行线定理的综合运用，熟悉掌握是解题关键. 19．30°【分析】先利用补角的定义求出∠EOC=60°，再根据角平分线的性质计算．【详解】解：∵∠EOD=120°，∴∠EOC=60°（邻补角定义）．∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=∠EOC=解析：30°【分析】先利用补角的定义求出∠EOC=60°，再根据角平分线的性质计算．【详解】解：∵∠EOD=120°，∴∠EOC=60°（邻补角定义）．∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=12∠EOC=30°（角平分线定义），∴∠BOD=30°（对顶角相等）．故答案为：30．【点睛】本题考查由角平分线的定义，结合补角的性质，易求该角的度数．20．121°【分析】由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外角的性质即解析：121°【分析】由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外角的性质即可求得∠2的度数．【详解】∵AC∥BD，∴∠B=∠1=64°，∴∠BAC=180°-∠1=180°-62°=118°，∵AE平分∠BAC交BD于点E，∴∠BAE=12∠BAC=59°，∴∠2=∠BAE+∠B=62°+59°=121°．故答案为121°．【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义以及三角形外角的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．三、解答题21．（1）80°；（2）①∠APE＝∠α+∠β；②∠APE＝∠β﹣∠α，理由见解析；（3）∠ANE＝12（∠α+∠β）【分析】（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，由平行线的性质可得∠BPC的度数；（2）①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；②过P作PQ∥DF，依据平行线的性质可得∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，即可得到∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；（3）过P和N分别作FD的平行线，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE＝12（∠α+∠β）．【详解】解：（1）如图1，过点P作PG∥AB，则PG∥CD，由平行线的性质可得∠B+∠BPG＝180°，∠C+∠CPG＝180°，又∵∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，∴∠BPC＝360°﹣125°﹣155°＝80°，故答案为：80°；（2）①如图2，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠α+∠β；理由如下：作PQ∥DF，∵DF∥CG，∴PQ∥CG，∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，∴∠APE＝∠APQ+∠EPQ＝∠β+∠α；②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠β﹣∠α；理由如下：过P作PQ∥DF，∵DF∥CG，∴PQ∥CG，∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，∴∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；（3）如图4，∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE＝12（∠α+∠β）．理由如下：作NQ∥DF，∵DF∥CG，∴NQ∥CG，∴∠DEN＝∠QNE，∠CAN＝∠QNA，∵EN平分∠DEP，AN平分∠CAP，∴∠DEN＝12∠α，∠CAN＝12∠β，∴∠QNE＝12∠α，∠QNA＝12∠β，∴∠ANE＝∠QNE +∠QNA＝12∠α+12∠β=12（∠α+∠β）；【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得出结论．22．（1）∠BPC＝65°；（2）∠BPC＝155°；（3）∠BPC＝155°【分析】（1）如图1，过点P作PE∥MN，根据题意结合平行线的性质和角平分线的性质可以得出：∠BPE=∠DBP=40°，1CPE PCA DCA252︒∠=∠=∠=，据此进一步求解即可；（2）如图2，过点P作PE∥MN，根据平角可得∠DBA=100°，再由角平分线和平行线的性质得∠BPE＝130°，1PCA CPE DCA252︒∠=∠=∠=，据此进一步求解即可；（3）如图3，过点P作PE∥MN，根据角平分线性质得出∠DBP＝∠PBA=40°，由此得出∠BPE=∠DBP=40°，然后根据题意得出1PCA DCA652︒∠=∠=，由此再利用平行线性质得出∠CPE度数，据此进一步求解即可.【详解】（1）如图1，过点P作PE∥MN．∵PB平分∠DBA，∴∠DBP=∠PBA=40°，∵PE∥MN，∴∠BPE=∠DBP=40°，同理可证：1CPE PCA DCA252︒∠=∠=∠=，∴∠BPC＝40°+25°＝65°；（2）如图2，过点P作PE∥MN．∵∠MBA＝80°．∴∠DBA＝180°−80°＝100°．∵BP平分∠DBA．∴1DBP DBA502︒∠=∠=，∵MN∥PE，∴∠BPE＝180°−∠DBP＝130°，∵PC平分∠DCA．∴1PCA DCA252︒∠=∠=，∵MN∥PE，MN∥GH，∴PE∥GH，∴∠EPC=∠PCA=25°，∴∠BPC＝130°+25°＝155°；（3）如图3，过点P作PE∥MN．∵BP平分∠DBA．∴∠DBP＝∠PBA=40°，∵PE∥MN，∴∠BPE=∠DBP=40°，∵CP平分∠DCA，∠DCA＝180°−∠DCG＝130°，∴1PCA DCA652︒∠=∠=，∵PE∥MN，MN∥GH，∴PE∥GH，∴∠CPE＝180°−∠PCA＝115°，∴∠BPC＝40°+115°＝155°．【点睛】本题主要考查了平行线性质与角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.23．（1）①∠BED=60º；②∠BED=12∠ABC+12∠ADC；（2）∠BED=180º-1 2∠ABC+12∠ADC，理由见解析．【分析】（1）①过点E作EF∥AB，然后说明AB∥CD∥EF，再运用平行线的性质、角平分线的性质和角的和差即可解答；②利用平行线的性质和角平分线的性质即可确定它们的关系．（2）过点E作EF∥AB，再运用平行线的性质、角平分线的定义和角的和差即可确定它们的关系．【详解】（1）①如图1，过点E作EF∥AB．∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF∴∠ABE=∠BEF，∠EDC=∠DEF．∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABC=50º，∠ADC=70º∴∠ABE=12∠ABC=150252⨯=°°，∠EDC=12∠ADC=170352⨯︒=︒，∴∠BEF=25º，∠DEF=35º，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=25º+35º=60º；②∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF∴∠ABE=∠BEF=12∠ABC，∠EDC=∠DEF=12∠ADC；．∴∠BED=∠BEF +∠DEF =12∠ABC+12∠ADC∴∠BED=12∠ABC+12∠ADC（2）如图2，过点E作EF∥AB．∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF∴∠EDC=∠DEF，∵∠ABE+∠BEF=180º，∴∠BEF=180º-∠ABE．∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC，∠DEF=12∠ADC，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180º-12∠ABC+12∠ADC．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线构造平行线并灵活利用平行线的性质是解答本题的关键．24．（1）∠MEN=∠AME+∠ENC，见解析；（2）∠FEQ=15°；（3）∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．【分析】（1）过点E作l∥AB，利用平行线的性质可得∠1=∠BME，∠2=∠DNE，由∠MEN=∠1+∠2，等量代换可得结论；（2）利用角平分线的性质可得∠NEF=12∠MEN，∠ENP=12∠END，由EQ∥NP，可得∠QEN=∠ENP=12∠ENC，由（1）的结论可得∠MEN=∠AME+∠ENC，等量代换得出结论；（3）由已知可得∠EMN=1m∠BMN，∠GEN=1m∠GEK，由EH∥MN，可得∠HEM=∠ENM=1m∠AMN，因为∠GEH=∠GEM-∠HEM，等量代换得出结论．【详解】解：(1)过点E作l∥AB，∵AB ∥CD ，∴l ∥AB ∥CD∴∠1=∠AME ，∠2=∠CNE ．∵∠MEN =∠1+∠2，∴∠MEN =∠AME +∠ENC ；（2）∵EF 平分∠MEN ，NP 平分∠ENC ，∴∠NEF =12∠MEN ，∠ENP =12∠ENC ． ∵EQ ∥NP ，∴∠QEN =∠ENP =12∠ENC ． 由（1）可得∠MEN =∠AME +∠ENC ，∴∠MEN -∠ENC =∠AME =30°．∴∠FEQ =∠NEF -∠NEQ =12（∠MEN -∠ENC ）=12×30°=15°； (3)∠BMN +∠GEK -m ∠GEH =180°．理由如下：∵∠AMN =m ∠EMN ，∠GEK =m ∠GEM ，∴∠EMN =1m ∠AMN ，∠GEM =1m ∠GEK ． ∵EH ∥MN ，∴∠HEM =∠EMN =1m ∠AMN ． ∵∠GEH =∠GEM -∠HEM =1m ∠GEK -1m∠AMN ， ∴m ∠GEH =∠GEK -∠AMN ．∵∠BMN +∠AMN =180°，∴∠BMN +∠GEK -m ∠GEH =180°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理以及角平分线的定义等知识点，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键．25．（1）//EF CD ，证明见解析 （2）75° （3）2FEG NCE MAE +=∠∠∠，证明见解析【分析】（1）根据12∠=∠可得//MB EF ，根据角的和差关系和角平分线的性质可得80CEF NCE ==︒∠∠，从而得证//EF CD ；（2）根据12∠=∠可得//MB EF ，根据平行线的性质以及角平分线的性质可得18075NCE GEC FEG =︒--=︒∠∠∠；（3）根据12∠=∠可得//MB EF ，根据平行线的性质可得180AEG FEA FEG MAE FEG =+=︒-+∠∠∠∠∠，再根据角平分线的性质可得1802FEC MAE FEG =︒-+∠∠∠，再根据平行线的性质即可得2FEG NCE MAE +=∠∠∠．【详解】（1）//EF CD∵12∠=∠∴//MB EF∴50AEF MAE ==︒∠∠∴501565AEG AEF FEG =+=︒+︒=︒∠∠∠∵EG 平分∠AEC∴65CEG AEG ==︒∠∠∴651580CEF CEG FEG =+=︒+︒=︒∠∠∠∴80CEF NCE ==︒∠∠∴//EF CD ；（2）∵12∠=∠∴//MB EF∵∠MAE ＝135°∴18045AEF MAE =︒-=︒∠∠∵∠FEG ＝30°∴75AEG AEF FEG =+=︒∠∠∠∵EG 平分∠AEC∴75GEC =︒∠∵//AB CD∴18075NCE GEC FEG =︒--=︒∠∠∠；（3）2FEG NCE MAE +=∠∠∠∵12∠=∠∴//MB EF∴180MAE FEA +=︒∠∠∴180FEA MAE =︒-∠∠∴180AEG FEA FEG MAE FEG =+=︒-+∠∠∠∠∠∵EG 平分∠AEC∴GEC AEG =∠∠∴FEC GEC FEG =+∠∠∠∴180FEC MAE FEG FEG =︒-++∠∠∠∠∴1802FEC MAE FEG =︒-+∠∠∠∵//,//AB CD AB EF∴//EF CD∴180FEC NCE +=︒∠∠∴1802180MAE FEG NCE ︒-++=︒∠∠∠∴2FEG NCE MAE +=∠∠∠．【点睛】本题考查了平行线的综合问题，掌握平行线的性质以及判定定理、角平分线的性质、角的和差关系是解题的关键．26．（1）∠AEC＝130°；（2）∠A1EC＝130°；（3）∠A1EC＝40°．【解析】【分析】(1)由直线PQ∥MN，∠ADC=∠QAD=30°，可得∠PAD=150°，再求∠PAE=75°，可得∠CAE=25°；由∠PAC=∠ACN，求得∠ECA=25°，故∠AEC=180°﹣25°﹣25°；(2)先求出∠QA1D1=30°，∠PA1D1=150°，再求出∠PA1E=∠EA1D1=75°，再求出∠CAQ=130°，∠ACN=50°，根据平分线定义得∠ACE=25°，再利用四边形内角和性质可求∠CEA1；(3)根据平行线性质和角平分线定义可求得∠QA1E=∠2=15°，∠ACE=∠ECN=∠1=25°，再由∠CEA1=∠1+∠2即可求得答案.【详解】(1)如图1所示：∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，∴∠ADC＝∠QAD＝30°，∴∠PAD＝150°，∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，∴∠PAE＝75°，∴∠CAE＝25°，可得∠PAC＝∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECA＝25°，∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；(2)如图2所示：∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∴∠PA1D1＝150°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝25°，∴∠CEA1＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；(3)如图3所示：过点E作FE∥PQ，∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠QA1E＝∠2＝15°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．【点睛】本题考查了平行线性质，角平分线定义，熟练运用平行线性质和角平分线定义推出角的度数是解题的关键.。

第17讲平行线的性质知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初一，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，主要学习平行线的性质，掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论.知识梳理讲解用时：15分钟平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．课堂精讲精练【例题1】如图是大众汽车的标志图案，其中蕴含着许多几何知识，根据下面的条件完成证明．已知：如图，BC∥AD，BE∥AF．（1）求证：∠A=∠B；（2）若∠DOB=135°，求∠A的度数．【答案】C．【解析】解：（1）∵BC∥AD，∴∠B=∠DOE，又BE∥AF，∴∠DOE=∠A，3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.要点诠释：（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．∴∠A=∠B．（2）∵∠DOB=∠EOA，由BE∥AF，得∠EOA+∠A=180°又∠DOB=135°，∴∠A=45°．讲解用时：6分钟解题思路：（1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得∠A=∠B．（2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得∠A=180°﹣∠DOE．教学建议：考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习1.1】如图，∠AOB的边OA为平面反光镜，一束光线从OB上的C点射出，经OA上的D点反射后，反射光线DE恰好与OB平行，若∠AOB=40°，则∠BCD的度数是（）A．60°B．80°C．100°D．120°【答案】B．【解析】解：∵DE∥OB，∴∠ADE=∠AOB=40°，由反射光线得，∠ADE=∠ODC=40°，∴∠CDE=180°﹣∠ADE﹣∠ODC=180°﹣40°﹣40°=100°，∵DE∥OB，∴∠BCD=180°﹣∠CDE=180°﹣100°=80°．故选：B．讲解用时：5分钟解题思路：根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE=∠AOB，根据反射光线的性质可得∠ADE=∠ODC，然后求出∠CDE，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．教学建议：考查平行线的性质，反射角等于入射角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【练习1.2】将对边平行的纸带折叠成如图所示，已知∠1=52°，则∠α=．【答案】64°．【解析】解：∵对边平行，∴∠2=∠α，由折叠可得，∠2=∠3，∴∠α=∠3，又∵∠1=∠4=52°，∴∠α=（180°﹣52°）=64°，故答案为：64°．讲解用时：5分钟解题思路：依据∠α=∠3，以及∠1=∠4=52°，即可得到∠α=（180°﹣52°）=64°．教学建议：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题2】如图，A、B、C三点在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠D，试判断BD与CF的位置关系，并说明理由．【答案】（1）平行；（2）相交.【解析】解：BD∥CF，理由如下：∵∠1=∠2，∴AD∥BF，∴∠D=∠DBF，∵∠3=∠D，∴∠3=∠DBF，∴BD∥CF．讲解用时：5分钟解题思路：首先根据∠1=∠2，可得AD∥BF，进而得到∠D=∠DBF，再由∠3=∠D，可以推出∠3=∠DBF，进而根据平行线的判定可得DB∥CF．教学建议：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是熟练掌握平行线的判定定理与性质定理．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习2.1】如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（）A．∵∠1=∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）B．∵AB∥CD，∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）D．∵∠DAM=∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）【答案】D．【解析】解：A．∵∠1=∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），正确；B．∵AB∥CD，∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等），正确；C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），正确；D．∵∠DAM=∠CBM，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），错误；故选：D．讲解用时：5分钟解题思路：依据内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行进行判断即可．教学建议：本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【练习2.2】如图，∠1=120°，∠2=60°，∠3=100°，则∠4=时，AB∥EF．【答案】100°.【解析】解：当∠4=100°时，AB∥EF；理由：∵∠3=100°，∠4=100°，∴DC∥EF，∵∠1=120°，∴∠5=60°，∵∠2=60°，∴AB∥CD，∴AB∥EF．讲解用时：5分钟解题思路：当∠4=100°时，AB∥EF，首先证明DC∥EF，再证明AB∥CD，进而得到AB∥EF．教学建议：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题3】如图，已知∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，试说明∠E=∠F．【答案】证明：∵∠BAP与∠APD互补（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠BAP=∠APC（两直线平行，内错角相等），又∵∠1=∠2（已知），∴∠BAP﹣∠1=∠APC﹣∠2，即∠3=∠4，∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行），∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）．【解析】证明：∵∠BAP与∠APD互补（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠BAP=∠APC（两直线平行，内错角相等），又∵∠1=∠2（已知），∴∠BAP﹣∠1=∠APC﹣∠2，即∠3=∠4，∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行），∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）．讲解用时：6分钟解题思路：根据已知可得出AB∥CD，进而由∠1=∠2可证得∠3=∠4，故能得出AE∥FP，即能推出要证的结论成立．教学建议：本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习3.1】如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，则∠3=°．【答案】110．【解析】解：∵∠2=∠MEN，∠1=∠2=40°，∴∠1=∠MEN，∴AB∥CD，∴∠3+∠BMN=180°，∵MN平分∠EMB，∴∠BMN=，∴∠3=180°﹣70°=110°．故答案为：110．讲解用时：5分钟解题思路：根据对顶角相等得出∠2=∠MEN，利用同位角相等，两直线平行得出AB∥CD，再利用平行线的性质解答即可．教学建议：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【例题4】已知：在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是3；直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a到直线b的距离为．【答案】2或8．【解析】解：①，则直线a到直线b的距离为5﹣3=2；②，则直线a到直线b的距离为5+3=8．故答案为2或8．讲解用时：5分钟解题思路：分两种情况：①直线b在直线a和c的上方；②直线b在直线a和直线c的下方．教学建议：此题考查了两条平行线间的距离，注意思维的严密性，应分情况考虑．难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（）A．变大B．变小C．不变D．变大变小要看点P向左还是向右移动【答案】C．【解析】解：设平行线AB、CD间的距离为h，=CD•h，则S△PCD∵CD长度不变，h大小不变，∴三角形的面积不变．故选：C．讲解用时：5分钟解题思路：根据两平行线间的平行线段相等，可以推出点P在AB上运动时到CD 的距离始终相等，再根据三角形PCD的面积等于CD与点P到CD的距离的积的一半，所以三角形的面积不变．教学建议：本题主要考查两平行线间的平行线段相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无（1）请将命题“等腰三角形的底角相等”改写为“如果…，那么…”的形式．（2）“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是．【答案】（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．（2）如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．【解析】解：（1）此命题可写成：如果是对顶角，那么这两个角相等．因此条件是“两个角是对顶角”结论是“这两个角相等”故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．（2）命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“两腰上的高相等”．将条件和结论互换得逆命题为：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．讲解用时：6分钟解题思路：（1）命题中的条件是一个三角形是等腰三角形，放在“如果”的后面，结论是它的两个底角相等，应放在“那么”的后面；（2）把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．教学建议：考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论；同时考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无把命题“相等的角是对顶角”改写成“如果…，那么…”的形式是．【答案】如果两个角是对顶角，那么两个角相等．【解析】解：∵原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，∴命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么两个角相等”，故答案为：如果两个角是对顶角，那么两个角相等．讲解用时：4分钟解题思路：对顶角相等的条件是两个角是对顶角，结论是两角相等，据此即可改写成“如果…，那么…”的形式．教学建议: 本题考查了确定一个命题的条件与结论的方法是首先把这个命题写成：“如果…，那么…”的形式，难度适中．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【练习5.2】阅读下列语句：①对顶角相等；②同位角相等；③画∠AOB的平分线OC；④这个角等于30°吗？在这些语句中，属于真命题的是（填写序号）【答案】①．【解析】解：①对顶角相等是真命题；②只有两直线平行，才可得到同位角相等，所以，本小题错误；③画∠AOB的平分线OC，不是命题；④这个角等于30°吗？不是命题；所以，属于真命题的是①．故答案为：①．讲解用时：5分钟解题思路：根据对顶角相等，平行线的性质以及命题的定义对各小题分析判断即可得解．教学建议: 本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题6】某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是（）A．甲、丙B．甲、丁C．乙、丁D．丙、丁【答案】D．【解析】解：导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个，；③丙、丁要么都去，要么都不去”，①假设要去甲，就得去乙，就不能去丙，不去丙，就不能去丁，因此可以只去甲和乙；②假设去丙，就得去丁，就不能去乙，不去乙也不能去甲，因此可以只去丙丁；故选：D．讲解用时：6分钟解题思路：根据导游说的分两种情况进行分析：①假设要去甲；②假设去丙；然后分析可得答案．教学建议：此题主要考查了推理与论证，关键是正确分情况，进行讨论．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习6.1】A，B，C，D，E五名同学猜测自己的数学成绩．A说：“如果我得优，那么B也得优．”B说：“如果我得优，那么C也得优．”C说：“如果我得优，那么D也得优．”D说：“如果我得优，那么E也得优．”大家都没说错，如果A得优，那么他们之中有人得优．【答案】5．【解析】解：由如果A得优，那么B也得优．如果B得优，那么C也得优．如果C得优，那么D也得优．如果D得优，那么E也得优．根据以上条件．可以由A是优，则B就是优，所以C是优，所以D是优，所以E 是优，这样以来就5人都是优．故答案为：5．讲解用时：5分钟解题思路：根据大家都没说错，如果A得优，由此进行推理即可得到结论．教学建议：此题主要考查了推理与论证，利用已知条件进行推理才能正确得出结论．难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无【练习6.2】从甲、乙、丙三人中选取2人去参加运动会有甲和乙、甲和丙、乙和丙3种不同的选法．抽象成数学模型，即：从3个元素中选取2个元素的组合，记作；一般地，从m个元素中选取n个元素（n≤m）的组合，记作．根据以上分析从8人中选取5人去参加运动会的不同选法有种．【答案】56．【解析】解：由题意，得=56种，因此共有56种不同的选法．讲解用时：4分钟解题思路：将m=8，n=5代入题目所给出的公式中求解即可．教学建议：解决问题的关键是读懂题意，能够根据题意中的定义进行计算．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题7】如图，有三个论断①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．【答案】已知：∠B=∠D，∠A=∠C．求证：∠1=∠2．证明：∵∠A=∠C，∴AB∥CD．∴∠B=∠BFC．∵∠B=∠D，∴∠BFC=∠D．∴DE∥BF．∴∠DMN=∠BNM．∵∠1=∠DMN，∠2=∠BNM，∴∠1=∠2．【解析】已知：∠B=∠D，∠A=∠C．求证：∠1=∠2．证明：∵∠A=∠C，∴AB∥CD．∴∠B=∠BFC．∵∠B=∠D，∴∠BFC=∠D．∴DE∥BF．∴∠DMN=∠BNM．∵∠1=∠DMN，∠2=∠BNM，∴∠1=∠2．讲解用时：8分钟解题思路：根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明．教学建议：证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习7.1】判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；（2）若ab=0，则a+b=0．【答案】（1）假命题；（2）假命题．【解析】解：（1）假命题．如：两条直线平行，内错角相等．（2）假命题．如：a=5和b=0．讲解用时：5分钟解题思路：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．教学建议：主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【练习7.2】下列四个命题中，真命题有①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2．③如果x2＞0，那么x＞0．【答案】②．【解析】解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，所以②正确；如果x2＞0，那么x≠0，所以③错误．故答案为：②．讲解用时：8分钟解题思路：根据平行线的性质对①进行判断；根据对顶角的性质对②进行判断；根据非负数的性质对③进行判断．教学建议：难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无课后作业【作业1】如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．120°【答案】D．【解析】解：如图，∵∠1=70°，∴∠2=∠1=70°，∵CD∥BE，∴∠B=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°．故选：C．讲解用时：4分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无【作业2】如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2=．【答案】140°．【解析】解：如图，∵l1∥l2，∴∠3=∠1=40°，∵∠α=∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°=140°．故答案为140°．讲解用时：5分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无【作业3】下列句子中不是命题的是（）A．两直线平行，同位角相等B．直线AB垂直于CD吗？C．若|a|=|b|，则a2=b2D．同角的补角相等【答案】B．【解析】解：A、两直线平行，同位角相等，是命题；B、直线AB垂直于CD吗？不是命题；C、若|a|=|b|，则a2=b2，是命题；D、同角的补角相等，是命题；故选：B．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无【作业4】4个人进行游泳比赛，赛前A、B、C、D等4名选手进行预测．A说：“我肯定得第一名．”B说：“我绝对不会得最后一名．”C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名．”D说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误．预测错误的人是【答案】A．【解析】解：先考虑B和D，如果B错，则B最后，D也错如果D错，则A第一，B不是最后，C不是最后，D不是最后矛盾，则B和D都对；再考虑A和C，如果C错，则A第一，B中间，D最后，C就对了，矛盾；若A错，则C中间D最后，A中间B第一，成立所以A是错的．故应填A．讲解用时：5分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无。

专题十四相交线与平行线考纲点金内容通览1.了解对顶角的概念及其性质；2.了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义；3.知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；4.了解线段垂直平分线及其性质；5.知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质；6.知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；7.体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。

能力举要1.掌握平行线的性质，平行线间的距离；2.会画平行线，会画任意三角形的角平分线、中线、高；3.会利用垂直、垂线段、点到直线的距离解决问题；4.会利用线段垂直平分线及性质进行推理；5.会利用平行线的性质进行推理论证.1.对顶角的意义及其性质：两条直线相交所得到的四个角中，有公共顶点，且一个角的两边在另一个角的反向延长线上的两个角叫做对顶角；其性质是对顶角相等.2.垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是90度时，就说这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足.(1)与垂线有关的两个性质：①在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.②连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. (2)点与直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 3.理解同位角、内错角、同旁内角. 如图12-1，如何识别同位角、内错角、同旁内角主要是从两个方面去观察，一是从截线的角度，二是从被截线的角度.(1)同位角的位置特征：两个角都在截线的同旁；分别在两条被截线的同一方.例如图12-1中的∠1与∠5、∠3与∠7。

（写两对）(2)内错角的位置特征：两个角分别处在截线的两侧；都在两条被截线之间.例如图12-1中的∠4与∠6、∠3与∠5.（写两对）(3)同旁内角的特征：两个角都在截线的同侧；都在两条被截线之间。

基础训练1.[单选题] 如图，已知AB ∥FE ∥DC ，AF ∥ED ∥BC ，∠B ＝65°，则∠F+∠D 等于（ ）A ．130° B．120° C ．115° D ．90°2.[单选题]如图，若AB ∥CD ，∠C 用含α，β，γ的式子表示为（ ）A ．α+β﹣γ B ．β+γ﹣α C ．180°+α+β﹣γ D ．180°﹣α+β﹣γ3.[单选题]如图1，∠DEF ＝20°，将长方形纸片ABCD 沿直线EF 折叠成图2，再沿折痕为BF 折叠成图3，则∠CFE 的度数为（ ）A ．100° B ．120° C ．140° D ．160°1.[单选题]如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝46°，则∠1的大小为（ ）A ．14° B ．16° C ．90°﹣α D ．α﹣44°2.[单选题]如图，已知AB ∥ED ，设∠A+∠E ＝α，∠B+∠C+∠D ＝β，则（ ）A ．α﹣β＝0 B ．2α﹣β＝0 C ．α﹣2β＝0 D ．3α﹣2β＝0内容提要平行线的性质与角平分线的综合运用例题基础训练3.[单选题]如图，某江段江水流向经过B 、C 、D 三点拐弯后与原来方向相同，若∠ABC ＝125°，∠BCD ＝75°，则∠CDE 的度数为（ ）A ．20° B ．25° C ．35° D ．50°1.[单选题] 如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，∠BFD 的度数为（ ）A ．60° B ．70° C ．110° D ．140°2.如图，已知PM ∥AN ，且∠A ＝50°，点C 是射线AN 上一动点（不与点A 重合），PB ，PD 分别平分∠APC 和∠MPC ，交射线AN 于点B ，D ．（1）求∠BPD 的度数；（2）当点C 运动到使∠PBA ＝∠APD 时，求∠APB 的度数；（3）在点C 运动过程中，∠PCA 与∠PDA 之间是否存在一定数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例．1.如图，已知BC ∥GE ，AF ∥DE ，∠1＝50°．（1）求∠AFG 的度数；（2）若AQ 平分∠FAC ，交BC 于点Q ，且∠Q ＝15°，求∠ACB 的度数．模块二平行线的判定与性质内容提要平行线的性质和判定的综合应用例题基础训练1.如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，试判断ED 与FB 的位置关系，并说明为什么．2.如图，已知DC ∥FP ，∠1＝∠2，∠FED ＝30°，∠AGF ＝80°，FH 平分∠EFG ．（1）说明：DC ∥AB ；（2）求∠PFH 的度数．1.如图，已知点E ，F 为四边形ABDC 的边CA 的延长线上的两点，连接DE ，BF ，作∠BDH 的平分线DP 交AB 的延长线于点P ．若∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠C ．（1）判断DE 与BF 是否平行？并说明理由；（2）试说明：∠C ＝2∠P ．内容提要平行线中的拐角问题例题2. △ABC 中，三个内角的平分线交于点O ，过点O 作OD ⊥OB ，交边BC 于点D ．（1）如图1，猜想∠AOC 与∠ODC 的关系，并说明你的理由；（2）如图2，作∠ABC 外角∠ABE 的平分线交CO 的延长线于点F ．①求证：BF ∥OD ；②若∠F ＝40°，求∠BAC 的度数．1. 如图，已知AB ∥CD ，（一）尝试：（1）在图1中，若∠A ＝110°，∠C ＝130°，则∠E 的度数为 ；（2）在图2中，若∠A ＝20°，∠C ＝50°，则∠E 的度数为 ．（二）探索：(3)在图3中，探索∠E 与∠A ，∠C 的数量关系，并说明理由．（三）猜想：（4）如图4，∠B 、∠D 、∠E 、∠F 、∠G 之间有什么关系？（直接写出结论）（5）如图5，你可以得到什么结论？（直接写出结论）基础训练2. 已知：如图，AB ∥CD ，求：（1）在图（1）中∠B+∠D ＝ ；（2）在图（2）中∠B+∠E +∠D ＝ ；（3）在图（3）中∠B+∠E +∠E +…+∠E +∠E +∠D ＝ .112n ﹣1n 1. 如图1，点A 是直线HD 上一点，C 是直线GE 上一点，B 是直线HD 、GE 之间的一点，∠DAB+∠ABC+∠BCE ＝360°（1）求证：AD ∥CE ；（2）如图2，作∠BCF ＝∠BCG ，CF 与∠BAH 的平分线交于点F ，若2∠B ﹣∠F ＝90°，求∠BAH 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，若点P 是AB 上一点，Q 是GE 上任一点，QR 平分∠PQG ，PM ∥QR ，PN 平分∠APQ ，下列结论：①∠APQ+∠NPM 的值不变；②∠NPM 的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出正确的结论并求其值．内容提要探究角的数量关系例题1.如图1，直线AG与直线BH和DI分别相交于点A和点G，点C为DI上一点，且CE⊥AG，垂足为点E，∠DCE﹣∠HAE＝90°．（1）求证：BH∥DI．（2）如图2：直线AF交DC于F，AM平分∠EAF，AN平分∠BAE，证明：∠AFG＝2∠MAN．2. 如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且BE⊥DE．（1）求证：AB∥CD；（2）射线BF、DF分别在∠EBD、∠BDE内部交于点F，且∠BFD＝150°，当∠ABE：∠EBF＝3：2时，试探究∠BDF与∠EDC的数量关系；（补全图形，并说明理由）（3）H为射线BA上一动点（不与点B重合），DK平分∠BDH，直接写出∠EDK与∠DHB的数量关系： .基础训练模块三命题与定理内容提要命题的概念例题基础训练1.（1）如图1，要使AB ∥CD ，∠B 、∠P 、∠C 应满足的数量关系是 ．（2）AB ∥CD ，直线MN 分别与AB 、CD 交于点M 、N ，平面内一点P 满足∠AMP ＝2∠AMN ＝2α，①如图2，若NP ⊥MP 于点P ，判断∠PNC 与∠PMB 的数量关系，并说明理由；②若0＜α＜40°，∠MPN ＝60°，求∠PND （用含α的式子表示）．1.[单选题]下列语句中，是命题的是（ ）A ．正数大于负数 B ．作线段AB ∥CDC ．连接A 、B 两点D ．今天的天气好吗2.把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式是 ；该命题的条件是 ，结论是 ．内容提要真命题与假命题例题基础训练1.[单选题]下列语句不是命题的是（ ）A．两点之间，线段最短 B．不平行的两条直线有一个交点 C．x与y的和等于0吗？ D．两个锐角的和一定是直角2.“垂直同一条直线的两条直线互相平行”这个命题的条件是 ．3.改写命题“平行于同一直线的两直线平行”：如果 ，那么 ．4.“同角的余角相等”，这个命题改写成如果…那么…形式应该为 ．1.[单选题]下列命题：真命题的个数是（ ）①相等的角是对顶角；②同位角相等；③同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；④邻补角的平分线互相垂直A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.[单选题]下列命题为假命题的是（ ）A．直角都相等 B．对顶角相等 C．同位角相等 D．同角的余角相等1.[单选题]下面命题中是真命题的有（ ）①一个角的补角大于这个角 ②直角三角形两锐角互余模块四生活中的平移现象内容提要平移的识别例题基础训练内容提要利用平移解决实际问题例题③三角形内角和等于180°④两直线平行内错角相等A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2.试说明命题“任何数a 的平方都是正数”是假命题，可以举的反例是a ＝ ．3.命题“如果ab ＝0，那么a ＝0”是 命题（填“真”或“假”）1.[单选题] 下列现象属于数学中平移变换的是（ ）A ．把打开的书本合上 B ．电梯从底楼升到顶楼 C ．碟片在光驱中运行 D ．闹钟钟摆的运动1.[单选题] 下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）A ． B ． C ． D ．1.[单选题] 如图是6级台阶侧面示意图，如果要在台阶上铺红地毯，那么地毯长度至少需要（ ）基础训练A ．8米 B ．5米 C ．4米 D ．3米2.[单选题] 如图，某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD ，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米．若AB ＝50米，BC ＝25米．小明沿着小路的中间从入口E 处走到出口F 处，则他所走的路线（图中虚线）长为（ ）A ．75米 B ．96米 C ．98米 D ．100米3.[单选题] 如图所示，一块白色正方形板，边长是18cm ，上面横竖各有两道彩条，各彩条宽都是2cm ，问白色部分面积（ ）A ．220cm B ．196cm C ．168cm D ．无法确定2221.[单选题] 在手工制作模型折铁丝活动中，同学们设计出模型如图所示，则所用铁丝长度为（ ）A ．a+b B ．a+2b C ．2a+6 D ．2a+2b2.[单选题]如图，由起点A 到终点B 有多条路径，其中一条路径为线段AB ，长度为a ，第二条路径为折线ADEFGHIJKLB ，其长度为b ，第三条路径为折线ADLB ，其长度为c，第四条路径为折线ADOLB ，其长度为d ，则这四条路径的长短关系为（ ）A ．a ＞b ＞c ＞d B ．a ＜b ＜c ＜d C ．a ＜b ＝d ＜c D ．a ＜c ＜b ＝d模块五平移内容提要平移的性质例题3.[单选题]根据图中数据可求阴影部分的面积和为（ ）A ．12 B ．10 C ．8 D ．74.[单选题] 如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为2m ，则两条小路的总面积是（ ）m A ．108 B ．104 C ．100 D ．9821.[单选题]如图，两个形状、大小完全相同的三角形ABC 和三角形DEF 重叠在一起，固定三角形ABC 不动，将三角形DEF 向右平移，当点E 和点C 重合时，停止移动，设DC 交AC 于G ．给出下列结论：①四边形ABEG 的面积与CGDF 的面积相等；②AD ∥EC ，且AD ＝EC ，则（ ）A ．①，②都正确 B ．①正确，②错误 C ．①，②都错误 D ．①错误，②正确基础训练2.[单选题]如图，将△ABC 沿直线AB 向右平移后到达△BDE 的位置，连接CD 、CE ，若△ACD 的面积为10，则△BCE 的面积为（ ）A ．5 B ．6 C ．10 D ．43.[单选题]如图，将△DCF 向左平移3cm 得到△ABE ，如果△DCF 的周长是16cm，那么四边形ABFD 的周长是（ ）A ．20cm B ．21 cm C ．22cm D ．23 cm4.[单选题]如图，将直角△ABC 沿斜边AC 的方向平移到△DEF 的位置，DE 交BC 于点G ，BG ＝4，EF ＝10，△BEG 的面积为4，下列结论：①∠A ＝∠BED ；②△ABC 平移的距离是4；③BE ＝CF ；④四边形GCFE的面积为16，正确的有（ ）A ．②③ B ．①②③ C ．①③④ D ．①②③④1.[单选题]如图，直角△ABC 沿射线BC 的方向平移3个单位长度，得到△DEF ，线段DE 交AC 于点H ，已知AB ＝5，DH ＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．12 B ．24 C ．48 D ．不能确定2.[单选题] 如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，AI 平分∠BAC ，CI 平分∠ACB ，将∠BAC 平移，使其顶点与点I 重合，则图中阴影部分的周长为（ ）内容提要平移与几何图形的综合例题A ．5 B ．8 C ．10 D ．73.[单选题]如图，∠1＝68°，直线a 平移后得到直线b ，则∠2﹣∠3的度数为（ ）A ．78° B ．132° C ．118° D ．112°4.直角三角形ABC 从B 点出发沿着BC 方向匀速平移得到三角形EDF （如图1），当E 点平移至C 点时停止运动（如图2）．若AB ＝6，当点H 恰好将DE 分为1：2两部分时，四边形DHCF 的面积为20，那么平移的距离是 ．5.[单选题]如图，长方形ABCD 中，AB ＝8，第一次平移长方形ABCD 沿AB 的方向向右平移6个单位，得到长方形A B C D ，第2次平移将长方形A B C D 沿A B 的方向向右平移6个单位，得到长方形A B C D ，……第n 次平移将长方形A B C D 的方向平移6个单位，得到长方形A B ∁ D （n ＞2），若AB 的长度为2018，则n 的值为（ ）A ．334 B ．335 C ．336 D ．33711111111112222n ﹣1n ﹣1n ﹣1n ﹣1n n n n n 1.已知l ∥l ，点A ，B 在l 上，点C ，D 在l 上，连接AD ，BC ．AE ，CE 分别是∠BAD ，∠BCD 的角平分线，∠α＝70°，∠β＝30°．（1）如图①，求∠AEC 的度数；1212基础训练（2）如图②，将线段AD 沿CD 方向平移，其他条件不变，求∠AEC的度数．2.如图，直线CB ∥OA ，∠C ＝∠A ＝112°，E ，F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF ．（1）求∠EOB 的度数；（2）若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．1.如图，已知，BC ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，试回答下列问题：（1）如图1，求证：OC ∥AB ；（2）如图2，点E 、F 在线段BC 上，且满足∠EOB ＝∠AOB ，并且OF 平分∠BOC ：①若平行移动AB ，当∠BOC ＝6∠EOF 时，求∠ABO ；②若平行移动AB ，那么的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．2. 如图（1），MN ∥PQ ，点A ，B 在MN 上，点C ，D 在PQ 上，点A 在点B 的左侧，点C 在点D 的左侧，∠CDE ＝∠ADE ，∠ABE ＝∠CBE ，DE ，BE 交于点E ，∠CBN ＝100°．（1）若∠ADQ ＝130°，求∠BED 的度数；模块六作图—平移变换内容提要平移作图问题例题基础训练（2）将线段AD向左平移，使点D在点C的左侧，其他条件不变，如图（2）．若∠ADQ＝n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．1.[单选题] 下列平移作图错误的是（ ）A． B． C． D．2. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，点A′的坐标是（﹣2，2），现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．（1）请画出平移后的△A′B′C′（不写画法），并直接写出点B′、C′的坐标：B′ 、C′ ；（2）若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P′的坐标是 ．（3）连接A′B，CC′，并求四边形A′BCC′的面积．1. 如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC向左平移5个单位得到△DEF．（1）在正方形网格中，作出△DEF；自主评价自主探究自主探究题目（2）设网格小正方形的边长为1，求平移过程中线段AC 所扫过的图形面积．2.如图，在平面直角坐标系中有三个点A （0，﹣1）、B （2，0）、C （3，﹣2），P （a ，b ）是△ABC 的边AC 上一点，△ABC 经平移后得到△A B C ，点P 的对应点为P （a ﹣4．b+2）．（1）画出平移后的△A B C ，写出点A 、B 、C 的坐标：（2）△ABC 的面积为______；（3）若点Q （m ，0）是x 轴上一动点，△B C Q 的面积为s ，求s 与m 之间的关系式（用含m 的式子表示s ）111111111111.[单选题]如图，平移△ABC 得到△DEF ，其中点A 的对应点是点D ，则下列结论中不成立的是（ ）A ．AD ∥BE B ．AD ＝BE C ．∠ABC ＝∠DEF D ．AD ∥EF2.[单选题]如图，若a ∥b ，∠1＝58°，则∠2的度数是（ ）A ．58° B ．112° C ．122° D ．142°3.[单选题]如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是（ ）A．x+y+z＝180° B．x﹣z＝y C．y﹣x＝z D．y﹣x＝x﹣z4. 如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，∠1＝∠2＝80°，求∠BGF的度数．解：因为∠1＝∠2＝80°（已知），所以AB∥CD（ ）所以∠BGF+∠3＝180°（ ）因为∠2+∠EFD＝180°（邻补角的性质）．所以∠EFD＝ ．（等式性质）．因为FG平分∠EFD（已知）．所以∠3＝ ∠EFD（角平分线的性质）．所以∠3＝ ．（等式性质）．所以∠BGF＝ ．（等式性质）．5.命题“相等的两个角是内错角”是 命题（填“真”或“假”）．6.直线l∥l，∠A＝125°，∠B＝105°，则∠1+∠2=__________；127. 实践操作：如图，平移三角形ABC，使点A平移到点A′，画出平移后的三角形A′B′C′（点B平移到B′，点C平移到C′，保留作图痕迹，在图中标明相应字母，不写作法）；猜想结论：猜想∠A′AB，∠ABC，∠BCC′的数量关系 （直接写出答案，不需证明）．8.如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF．（1）求证：EA平分∠BEF；（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．9. 综合与实践操作发现如图，在平面直角坐标系中，已知线段AB两端点的坐标分别为A（2，6），B（5，2），点M的坐标为（﹣3，6），将线段AB沿AM方向平移，平移的距离为AM的长度．（1）画出AB平移后的线段MN，直接写出点B对应点N的坐标；（2）连接MA，NB，AN，已知AN平分∠MAB，求证：∠MNA＝∠BNA；拓展探索（3）若点P为线段AB上一动点（不含端点），连接PM，PN，试猜想∠AMP，∠MPN和∠BNP之间的关系，并说明理由．10.（1）如图1，a∥b，则∠1+∠2＝ （2）如图2，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝ ，并说明理由（3）如图3，a∥b，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ （4）如图4，a∥b，根据以上结论，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ （直接写出你的结论，无需说参考答案明理由）模块一平行线的性质例题1.A解析:解：延长DE交AB于G，∵AF∥ED∥BC，∠B＝65°，∴∠AGD＝∠B＝65°，∵AB∥FE∥DC，∴∠FED＝∠AGD＝65°，∠D＝∠FED＝65°，∵AF∥ED∥BC，∴∠F＝∠FED＝65°，∴∠F+∠D＝65°+65°＝130°，故选：A．2.D解析:解：延长FE交DC的延长线于G，延长EF交AB于H，如图所示：∵AB∥CD，∴∠G＝∠AHF＝∠AFE﹣∠A＝β﹣α，∵∠CEG＝180°﹣γ，∴∠ECD＝∠G+∠CEG＝β﹣α+180°﹣γ＝180°﹣α+β﹣γ；故选：D．3.B解析:解：∵矩形对边AD∥BC，∴CF∥DE，∴图1中，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣20°＝160°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝20°，∴图2中，∠BFC＝160°﹣20°＝140°，由翻折的性质得，图3中∠CFE+∠BFE＝∠BFC，∴图3中，∠CFE+20°＝140°，∴图3中，∠CFE＝120°，故选：B．基础训练基础训练题目1.B解析:解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2＝∠3＝46°，根据三角形外角性质，可得∠3＝∠1+30°，∴∠1＝46°﹣30°＝16°，故选：B．2.B解析:解：∵AB∥ED，∴∠α＝∠A+∠E＝180°，∵∠A+∠E+∠B+∠C+∠D＝540°∴∠β＝∠B+∠C+∠D＝360°，∴2α＝360°，∴∠β＝2∠α，∴2α﹣β＝0，故选：B．3.A解析:解：由题意得，AB∥DE，如图，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，∴∠BCF+∠ABC＝180°，∴∠BCF＝180°﹣125°＝55°，∴∠DCF＝75°﹣55°＝20°，∴∠CDE＝∠DCF＝20°．故选：A．例题1.C解析:解：过点E作EG∥AB，如图所示．则可得∠ABE+∠BEG＝180°，∠GED+∠EDC＝180°，∴∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°；又∵∠BED＝140°，∴∠ABE+∠CDE＝220°．∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∴∠FBE+∠EDF＝（∠ABE+∠CDE）÷2＝110°，∵四边形的BFDE的内角和为360°，∴∠BFD＝110°．故选：C．2.解：（1）∵PM∥AN，∴∠A+∠APM＝180°，∵∠A＝50°，∴∠APM＝130°，∵PB，PD分别平分∠APC和∠MPC，∴∠BPC ∠APC，∠DPC ∠MPC，∴∠BPD＝∠BPC+∠DPC （∠APC+∠MPC）130°＝65°；（2）∵PM∥AN，∴∠PBA＝∠BPM，∵∠PBA＝∠APD，∴∠BPM＝∠APD，∴∠APB＝∠MPD，由（1）得：∠APM＝130°，∠BPD＝65°，∴∠APB＝∠MPD 65°＝32.5°；（3）存在，∠PCA＝2∠PDA，理由如下：∵PM∥AN，∴∠ACP＝∠CPM，∠PDA＝∠DPM，∵PD平分∠MPC，∴∠CPM＝2∠DPM，∴∠PCA＝2∠PDA．解析:基础训练基础训练题目1.解：（1）∵BC∥EG，∴∠E＝∠1＝50°．∵AF∥DE，∴∠AFG＝∠E＝50°；（2）作AM∥BC，∵BC∥EG，∴AM∥EG，∴∠FAM＝∠AFG＝50°．∵AM∥BC，∴∠QAM＝∠Q＝15°，∴∠FAQ＝∠FAM+∠QAM＝65°．∵AQ平分∠FAC，∴∠QAC＝∠FAQ＝65°，∴∠MAC＝∠QAC+∠QAM＝80°．∵AM∥BC，∴∠ACB＝∠MAC＝80°．解析:模块二平行线的判定与性质例题1.解：BF、DE互相平行；理由：如图；∵∠3＝∠4，∴BD∥CF，∴∠5＝∠BAF，又∵∠5＝∠6，∴∠BAF＝∠6，∴AB∥CD，∴∠2＝∠EHA，又∵∠1＝∠2，即∠1＝∠EHA，∴BF∥DE．另解：BF、DE互相平行；理由：如图；∵∠3＝∠4，∴BD∥CF，∴∠5＝∠BAF，∵∠5＝∠6，∴∠BAF＝∠6，∵△BFA、△DEC的内角和都是180°∴△BFA＝∠1+∠BFA+BAF；△DEC＝∠2+∠4+∠6∵∠1＝∠2；∠BAF＝∠6∴∠BFA＝∠4，∴BF∥DE．另解：BF、DE互相平行；∵∠3＝∠4，∴BD∥CF，∵∠2+∠3+∠6＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠1＝∠2，∠5＝∠6，∴∠1+∠3+∠5＝180°（等量代换），∴BF∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．解析:2.解：（1）∵DC∥FP，∴∠3＝∠2，又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠1，∴DC∥AB；（2）∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF＝30°，∴∠DEF＝∠EFP＝30°，AB∥FP，又∵∠AGF＝80°，∴∠AGF＝∠GFP＝80°，∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝80°+30°＝110°，又∵FH平分∠EFG，∴∠GFH＝∠GFE＝55°，∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝80°﹣55°＝25°解析:基础训练基础训练题目1.解：（1）DE∥BF，理由是：∵∠3＝∠4，∴BD∥CE，∴∠5＝∠FAB，∵∠5＝∠C，∴∠C＝∠FAB，∴AB∥CD，∴∠2＝∠BGD，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BGD，∴DE∥BF；（2）∵AB∥CD，∴∠P＝∠PDH，∵DP平分∠BDH，∴∠BDP＝∠PDH，∴∠BDP＝∠PDH＝∠P，∵∠5＝∠P+∠BDP，∴∠5＝2∠P，∵∠C＝∠5，∴∠C＝2∠P．解析:2.解：（1）∠AOC＝∠ODC，理由：∵三个内角的平分线交于点O，∴∠OAC+∠OCA（∠BAC+∠BCA）（180°﹣∠ABC），∵∠OBC∠ABC，∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°∠ABC＝90°+∠OBC，∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，∴∠ODC＝90°+∠OBD，∴∠AOC＝∠ODC；（2）①∵BF平分∠ABE，∴∠EBF∠ABE（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO，∵∠ODB＝90°﹣∠OBD，∴∠FBE＝∠ODB，∴BF∥OD；②∵BF平分∠ABE，∴∠FBE ABE（∠BAC+∠ACB），∵三个内角的平分线交于点O，∴∠FCB ACB，∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF（∠BAC+∠ACB）∠ACB BAC，∵∠F＝40°，∴∠BAC＝2∠F＝80°．解析:例题1.解：（一）（1）过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD．∵EF∥AB，∴∠A+∠AEF＝180°，∵∠A＝110°，∴∠AEF＝70°．∵EF∥CD，∴∠C+∠CEF＝180°，∵∠C＝130°，∴∠CEF＝50°．∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝70°．+50°＝120°．（2）∵AB∥CD，∴∠EOB＝∠C＝50°∵∠EOB+∠EOA=180°，∠A+∠E+∠EOA=180°∴∠EOB＝∠A+∠E，∵∠E＝∠EOB﹣∠A＝50°﹣20°＝30°．答案：120°，30°．（二）(3)∠A EC＝∠E AB﹣∠C．理由：过E作EF∥AB．∵AB∥CD，∴EF∥CD∥AB∴∠FEA+∠EAB=180°，∠FEC+∠ECD=180°，∴∠FEA+∠EAB=∠FEC+∠ECD=180°，∵∠FEC＝∠FEA+∠AEC∴∠FEA+∠EAB=∠FEA+∠AEC +∠C，∴∠EAB＝∠AEC +∠C，∴∠AEC ＝∠EAB﹣∠C．（三）（4）可通过过点E、F、G分别做AB的平行线，得到结论．∠E+∠G＝∠B+∠F+∠D．（5）同上道理一样，可得到结论：∠E +∠E +…+∠E ＝∠F +∠F +…∠F +∠B+∠D．12n12n﹣1解析:2.解：（1）∵AB ∥CD ，∴∠B+∠D ＝180°．（2）在图（2）中，过点E 作E F ∥CD ，则E F ∥AB ，∴∠B+∠BE F ＝180°，∠D+∠DE F ＝180°，∴∠B+∠BE F +∠DE F +∠D ＝∠B+∠BE D+∠D ＝360°．（3）在图（3）中，过点E 作E F ∥CD ，过点E 作E F ∥CD ，…，过点E 作E F ∥CD ，∴∠B+∠BE F ＝180°，∠F E E +∠E E F ＝180°，…，∠F E D+∠D ＝180°，∴∠B+∠BE E +∠E E E +…+∠E E E +∠E E D+∠D ＝∠B+∠BE F +∠F E E +∠E E F +…+∠F E D+∠D ＝180°•（n+1）．故答案为：180°；360°；180°•（n+1）．解析:基础训练基础训练题目1.解：（1）证明：如图1，过B 作BM ∥AD ，∴∠DAB+∠1＝180°，∵∠DAB+∠ABC+∠BCE ＝360°，∴∠2+∠BCE ＝180°，∴BM ∥CE ，∴AD ∥CE ；（2）解：设∠BAF ＝x°，∠BCF ＝y°，∵∠BCF ＝∠BCG ，CF 与∠BAH 的平分线交于点F ，∴∠HAF ＝∠BAF ＝x°，∠BCG ＝∠BCF ＝y°，∠BAH ＝2x°，∠GCF ＝2y°，如图2，过点B 作BM ∥AD ，过点F 作FN ∥AD ，∵AD ∥CE ，∴AD ∥FN ∥BM ∥CE ，∴∠AFN ＝∠HAF ＝x°，∠CFN ＝∠GCF ＝2y°，∠ABM ＝∠BAH ＝2x°，∠CBM ＝∠GCB ＝y°，∴∠AFC ＝（x+2y ）°，∠ABC ＝（2x+y ）°，∵2∠B ﹣∠F ＝90°，∴90﹣（x+2y ）＝180﹣2（2x+y ），解得：x ＝30，∴∠BAH ＝60°．11111111111111111222n n n 11112122n n 12123n ﹣2n ﹣1n n ﹣1n 11112122n n（3）如图3，由（1）可知∠APQ＝∠PAH+∠PQG，∴∠PAH＝∠APQ﹣∠PQG，∵QR平分∠PQR，PM∥QR，∴∠MPQ＝∠PQR ∠PQG，∵PN平分∠APQ，∴∠NPM ∠APQ ∠PQG （∠APQ﹣∠PQG）∠PAH，∵点P是AB上一点，∴∠PAH＝60°，∴∠NPM＝30°；∴①∠APQ+∠NPM的值是变化；②∠NPM的度数为30°不变．解析:例题1.证明：（1）因为∠DCE+∠ECG＝180°，∠CEG+∠CGA+∠ECG＝180°，所以∠DCE＝∠CEG+∠CGA因为CE⊥AG所以∠DCE﹣∠CGA＝∠CEG＝90°又因为∠DCE﹣∠HAE＝90°所以∠CGA＝∠HAE所以BH∥DI（2）因为AM平分∠EAF，AN平分∠BAE所以∠EAM＝∠FAM∠EAN＝∠BAN又因为∠MAN＝∠EAN﹣∠EAM所以∠MAN＝∠BAN﹣∠FAM又因为∠BAN＝∠BAF+∠FAN∠FAM＝∠MAN+∠FAN所以∠MAN＝∠BAF﹣∠MAN所以∠BAF＝2∠MAN又所以BH∥DI所以∠AFG＝∠BAF所以∠AFG＝2∠MAN解析:2.解：（1）∵BE⊥DE，∴Rt△BDE中，∠BDE+∠DBE＝90°，又∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABD+∠CDB＝2（∠BDE+∠DBE）＝180°，∴AB∥CD；（2）如图，∵∠ABE：∠EBF＝3：2，BE平分∠ABD，∴可设∠ABE＝∠DBE＝3α，则∠EBF＝2α，∠DBF＝α，∵△BDF中，∠DFB＝150°，∴∠BDF＝180°﹣150°﹣α＝30°﹣α，∵Rt△BDE中，∠E＝90°，∴∠BDE＝90°﹣3α，∴∠BDE＝3∠BDF，又∵DE平分∠BDC，∴∠EDC＝∠BDE＝3∠BDF；（3）如图，∵DK平分∠BDH，DE平分∠BDC，∴∠BDK ∠BDH，∠BDE ∠BDC，∴∠EDK＝∠BDE﹣∠BDK ∠BDC ∠BDH （∠BDC﹣∠BDH）∠CDH，又∵AB∥CD，∴∠CDH＝∠BHD，∴∠EDK ∠DHB．故答案为：∠EDK ∠DHB．解析:基础训练基础训练题目1.解：（1）如图，过P作PE∥AB，若AB∥CD，则PE∥CD，∴∠C＝∠CPE，∠B+∠BPE＝180°，∴∠B+∠BPC﹣∠CPE＝180°，即∠B+∠BPC﹣∠C＝180°，故答案为：∠B+∠BPC﹣∠C＝180°；（2）①∠CNP﹣∠BMP＝90°，理由：∵AB∥CD，∴∠BMN+∠DNM＝180°，即∠BMP+∠NMP+∠MNP+∠DNP＝180°，又∵NP⊥MP，∴∠NMP+∠MNP＝90°，∴∠BMP+∠DNP＝180°﹣90°＝90°，又∵∠CNP+∠DNP＝180°，∴∠CNP﹣∠BMP＝90°；②如图，过P作PF∥AB，则PF∥CD，∵∠AMP＝2∠AMN＝2α，∴∠BMP＝180°﹣2α＝∠FPM，又∵∠MPN＝60°，∴∠FPN＝180°﹣2α﹣60°＝120°﹣2α，∴∠DNP＝∠FPN＝120°﹣2α．解析:模块三命题与定理例题解析:2.如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形；一个三角形的三个角都相等；这个三角形是等边三角形．解析:基础训练基础训练题目1.C解析:2.两条直线垂直于同一条直线解析:3.两条直线都与第三条直线平行，这两条直线互相平行解析:4.如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等解析:例题1.B解析:2.C解析:基础训练基础训练题目1.C解析:解：①一个角的补角不一定大于这个角，故不符合题意；②直角三角形两锐角互余，故符合题意；③三角形内角和等于180°，故符合题意；④两直线平行内错角相等，故符合题意；故选：C．2.0解析:3.假解析:模块四生活中的平移现象1.B解析:基础训练基础训练题目1.D解析:例题1.A解析:解：∵六级台阶的高等于3米，六级台阶的长等于5米，∴要买地毯的长：3+5＝8（米）．故选：A．2.C解析:解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（AD﹣1）×2，图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝50米，宽BC＝25米，为50+（25﹣1）×2＝98（米），故选：C．3.B解：把彩条平移，如图，解析:空白部分的面积为：（18﹣2﹣2）＝14 ＝196（cm ）．故选：B．基础训练基础训练题目1.D解析:解：如图，根据平移的性质，这个模型可以平移为长是a，宽是b的矩形，故所用铁丝长度为：2a+2b．故选：D．2.D解析:解：根据根据两点之间，线段最短可知a最小，根据平移的性质可知b＝OA+OB＝AD+DO+OL+LB＝d，根据平移的性质可知b＝OA+OB＝d，所以AD+DL+LB＜AD+DO+OL+LB．所以a＜c＜b＝d．故选：D．3.C解析:解：由图可知，阴影部分的面积＝（3﹣1）×（5﹣1）＝8．故选：C．4.C解析:解：利用平移可得，两条小路的总面积是：30×22﹣（30﹣2）（22﹣2）＝100（m）．故选：C．模块五平移例题1.B解析:解：由平移可得：△ABC的面积＝△DEF的面积，所以△ABC的面积﹣△EGC的面积＝△DEF的面积﹣△EGC的面积，即四边形ABEG的面积与CGDF的面积相等，故①正确；由平移可得：AD∥EC，AD＝BE，故②错误；故选：B．2.A解析:解：∵△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，∴AB＝BD，BC∥DE，∴S ＝SS10＝5，∵DE∥BC，∴S ＝S ＝5．故选：A．3.C解析:解：∵将△DCF向左平移3cm得到△ABE，∴AB＝DC，AD＝BC＝3cm，∵△DCF的周长是16cm，∴DC+CF+DF＝16cm．∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝DC+3+CF+DF+3＝16+3+3＝22（cm）．故选：C．4.C 2△ABC△BCD△ACD △BCE△BCD解析:解：∵△DEF的是直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移后得到的，且A、D、C、F四点在同一条直线上，∴BE∥AC，AB∥DE，BC＝EF，BE＝CF，故③正确；∴四边形ABED是平行四边形，∴∠A＝∠BED，故①正确；∵BG＝4，∴AD＝BE＞BG，∴△ABC平移的距离＞4，故②正确；∵EF＝10，∴CG＝BC﹣BG＝EF﹣BG＝10﹣4＝6，∵△BEG的面积等于4，∴BG•GE＝4，∴GE＝2，∴四边形GCFE的面积（6+10）×2＝16，故④正确；故选：C．基础训练基础训练题目1.A解析:解：∵将Rt△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，∴DE＝AB＝5，∵DH＝2，∴HE＝DE﹣DH＝3，∵∠B＝90°，∴四边形ABEH是梯形，S ＝S ﹣S ＝S ﹣S ＝S（AB+HE）•BE（5+3）×3＝12．故选：A．2.D解析:解：连接BI、如图所示：∵点I为△ABC的内心，∴BI平分∠ABC，∴∠ABI＝∠CBI，由平移得：AB∥DI，∴∠ABI＝∠BID，∴∠CBI＝∠BID，阴影△DEF△CEH△ABC△CEH梯形ABEH∴BD ＝DI ，同理可得：CE ＝EI ，∴△DIE 的周长＝DE+DI+EI ＝DE+BD+CE ＝BC ＝7，即图中阴影部分的周长为7，故选：D．3.D解析:解：延长直线，如图：，∵直线a 平移后得到直线b ，∴a ∥b ，∴∠5＝180°﹣∠1＝180°﹣68°＝112°，∵∠2＝∠4+∠5，∵∠3＝∠4，∴∠2﹣∠3＝∠5＝112°，故选：D．4.4或5解析:解：∵直角三角形ABC 从B 点出发沿着BC 方向匀速平移得到三角形EDF ，∴平移的距离为BE ，DE ＝AB ＝6，S ＝S ，∴S ＝S ＝20，当DH ：HE ＝1：2时，HE6＝4，则 （4+6）×BE ＝20，解得BE ＝4；当DH ：HE ＝2：1时，HE 6＝2，则 （2+6）×BE ＝20，解得BE ＝5；综上所述，平移的距离为4或5．故答案为4或5．5.B解析:解：∵AB ＝8，第1次平移将矩形ABCD 沿AB 的方向向右平移6个单位，得到矩形A B C D ，第2次平移将矩形A B C D 沿A B 的方向向右平移6个单位，得到矩形A B C D …，∴AA ＝6，A A ＝6，A B ＝A B ﹣A A ＝8﹣6＝2，∴AB ＝AA +A A +A B ＝6+6+2＝14，∴AB 的长为：6+6+8＝20；∵AB ＝2×6+2＝14，AB ＝3×6+2＝20，∴AB ＝（n+1）×6+2＝2018，△ABC △DEF 四边形ABDH 四边形DHCF 11111111112222112211112111221212n解得：n ＝335．故选：B ．例题1.解：（1）过点E 作EF ∥l ，∵l ∥l ，∴EF ∥l ，∵l ∥l ，∴∠BCD ＝∠α，∵∠α＝70°，∴∠BCD ＝70°，∵CE 是∠BCD 的角平分线，∴∠ECD70°＝35°，∵EF ∥l ，∴∠FEC ＝∠ECD ＝35°，同理可求∠AEF ＝15°，∴∠AEC ＝∠AEF+∠CEF ＝50°；（2）过点E 作EF ∥l ，∵l ∥l ，∴EF ∥l ，∵l ∥l ，∴∠BCD ＝∠α，∵∠α＝70°，∴∠BCD ＝70°，∵CE 是∠BCD 的角平分线，∴∠ECD70°＝35°，∵EF ∥l ，∴∠FEC ＝∠ECD ＝35°，∵l ∥l ，∴∠BAD+∠β＝180°，∵∠β＝30°，∴∠BAD ＝150°，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE150°＝75°，∵EF ∥l ，∴∠BAE+∠AEF ＝180°，11221221122122121∴∠AEF＝105°，∴∠AEC＝105°+35°＝140°．解析:2.解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣112°＝68°，∵OE平分∠COF，∴∠COE＝∠EOF，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB ∠AOC 68°＝34°；（2）∠OBC：∠OFC的值不变．∵CB∥OA，∴∠AOB＝∠OBC，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠FOB＝∠OBC，∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；（3）在△COE和△AOB中，∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，∴∠COE＝∠AOB，∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，∴∠COE ∠AOC 68°＝17°，∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣112°﹣17°＝51°，故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝51°．解析:基础训练基础训练题目1.（1）证明：∵BC∥OA，∴∠C+∠COA＝180°，∠BAO+∠ABC＝180°，∵∠C＝∠BAO＝100°，∴∠COA+∠OAB＝180°，∴OC∥AB；（2）①如图②中，设∠EOF＝x，则∠BOC＝6x，∠BOF＝3x，∠BOE＝∠AOB＝4x，∵∠AOB+∠BOC+∠OCB＝180°，∴4x+6x+100°＝180°，∴x＝8°，∴∠ABO＝∠BOC＝6x＝48°．如图③中，设∠EOF＝x，则∠BOC＝6x，∠BOF＝3x，∠BOE＝∠AOB＝2x，∵∠AOB+∠BOC+∠OCB＝180°，∴2x+6x+100°＝180°，∴x＝10°，∴∠ABO＝∠BOC＝6x＝60°．综上所述，满足条件的∠ABO为48°或60°；②∵BC∥OA，∠C＝100°，∴∠AOC＝80°，∵∠EOB＝∠AOB，∴∠COE＝80°﹣2∠AOB，∵OC∥AB，∴∠BOC＝∠ABO，∴∠AOB＝80°﹣∠ABO，∴∠COE＝80°﹣2∠AOB＝80°﹣2（80°﹣∠ABO）＝2∠ABO﹣80°，∴2，∴平行移动AB，的值不发生变化．解析:2.解：（1）如图（1），过点E作EF∥PQ．∵∠CBN＝100°，∠ADQ＝130°，∴∠CBM＝80°，∠ADP＝50°．∵∠CDE＝∠ADE，∠ABE＝∠CBE，∴∠EBM＝40°，∠EDP＝25°．∵EF∥PQ，∴∠DEF＝∠EDP＝25°．∵EF∥PQ，MN∥PQ，∴EF∥MN，∴∠BED＝∠DEF+∠FEB＝25°+40°＝65°；（2）如图（2），过点E作EF∥PQ．∵∠CBN＝100°，∴∠CBM＝80°．∵∠CDE＝∠ADE，∠ABE＝∠CBE，∴∠EBM＝40°，∠EDQ n°．∵EF∥PQ，∴∠DEF＝180°﹣∠EDQ＝180° n°．∵EF∥PQ，MN∥PQ，∴EF∥MN，∴∠FEB＝∠EBM＝40°，∴∠BED＝∠DEF+∠FEB＝180° n°+40°＝220° n°．解析:模块六作图—平移变换例题1.C解析:2.解：（1）如图，△A′B′C’，B′的坐标为（﹣4，1）、C′的坐标为（﹣1，﹣1）；（2）若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P′的坐标是（a﹣5，b﹣2）．故答案为（﹣4，1），（﹣1，﹣1）；（a﹣5，b﹣2）；（3）四边形A′BCC′的面积＝6×4 5×2 2×3 1×3 3×1＝13．解析:基础训练基础训练题目1.解：（1）△DEF如图所示．（2）连接CF，AD．平移过程中线段AC所扫过的图形面积＝平行四边形ADFC的面积＝5×3＝15．解析:2.解：（1）如图，△A B C 为所作；点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣4，1），（﹣2，2），（﹣1，0）；（2）△ABC的面积＝2×3 1×2 2×1 1×3 ；故答案为；（3）s •2•|m+1|，当m≥﹣1时，s＝m+1；当m＜﹣1时，s＝﹣1﹣m．解析:自主探究自主探究题目1.D解析:2.C解析:解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝58°，∴∠3＝122°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3＝122°，111111故选：C．3.B解析:解：如图所示，延长AB 交DE 于H ，∵BC ∥DE ，∴∠ABC ＝∠AHE ＝x ，∵CD ∥EF ，AB ∥EG ，∴∠D ＝∠DEF ＝z ，∠AHE ＝∠DEG ＝z +y ，∴∠ABC ＝∠DEG ，即x ＝z +y ，∴x ﹣z ＝y ，故选：B ．4.同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；100°； ；50°；130°．解析:5.假解析:6.∠1+∠2＝50°．解析:解：如图，分别过A 、B 作l 的平行线AC 和BD ，∵l ∥l ，∴AC ∥BD ∥l ∥l ，∴∠1＝∠EAC ，∠2＝∠FBD ，∠CAB+∠DBA ＝180°，∵∠EAB+∠FBA ＝125°+105°＝230°，∴∠EAC+∠CAB+∠DBA+∠FBD ＝230°，即∠1+∠2+180°＝230°，∴∠1+∠2＝50°．7.解：如图所示，△A′B′C′即为所求，∵AA′∥BB′∥CC′，∴∠A′AB ＝∠ABD ，∠BCC′＝∠DBC ，∴∠ABC ＝∠ABD+∠DBC ＝∠A′AB+∠BCC′，即∠ABC ＝∠A′AB+∠BCC′，故答案为：∠ABC ＝∠A′AB+∠BCC′．解析:112128.证明：（1）∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴∠2+∠3＝90°且∠1+∠4＝90°，又∵EC平分∠DEF，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，∴EA平分∠BEF；（2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°，∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°，∴AB∥CD．解析:9.解：（1）所作线段MN如图所示．点N的坐标为（0，2）．（2）证明：根据平移的性质，可知，MA∥NB，MN∥AB，∴∠BNA＝∠MAN，∠MNA＝∠BAN，∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠BAN，∴∠MNA＝∠BNA．（3）结论：∠AMP+∠BNP＝∠MPN．理由如下：如图，过点P作PH∥MA交MN于点H，又∵MA∥NB，∴MA∥HP∥NB，∴∠AMP＝∠MPH，∠BNP＝∠NPH，∴∠AMP+∠BNP＝∠MPH+∠NPH＝∠MPN．解析:10.（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n﹣1）•180°．解析:解：（1）∵a∥b，∴∠1+∠2＝180°；（2）过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠1+∠AEF＝180°，∠CEF+∠3＝180°，∴∠1+∠AEF+∠CEF+∠3＝180°+180°，即∠1+∠2+∠3＝360°；（3）如图，过∠2、∠3的顶点作a的平行线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝180°×3＝540°；（4）如图，过∠2、∠3…的顶点作a的平行线，则∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝（n﹣1）•180°．故答案为：180°；360°；540°；（n﹣1）•180°．。

相交线与平行线讲义1.掌握对顶角和邻补角的概念；2.掌握垂线段的定义及其画法；3.掌握三线八角的定义和找法；4.掌握平行线的性质与判定.1.相交线（1）在同一平面内，两条直线的位置关系有_________和________。

（2）相交：在同一平面内，有__________的两条直线称为相交线。

（3）邻补角：①定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。

②性质：位置——互为邻角数量——互为补角（两角之和为180°）（4）对顶角：①定义：有一个公共顶点，并且有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角几何语言：∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°∴∠1=∠3（同角的补角相等）两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有_____________；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

2.垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做_______。

符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O垂线性质1：过一点_______________一条直线与已知直线垂直。

垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：_______________。

3.垂线的画法：（1）过直线上一点画已知直线的垂线；（2）过直线外一点画已知直线的垂线。

注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

第五章 5.1.1相交线知识点1:相交线当两条直线有且只有一个公共点时,则称这两条直线相交,如图.知识点2：邻补角1. 定义:两条直线相交所得的四个角中,有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角是邻补角.如图,∠1和∠2有一条公共边O A,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,称互为邻补角.2. 性质:如果∠1和∠2是一对邻补角,那么∠1+∠2=180°.注意：(1)判定两个角是否为邻补角,关键是看这两个角的两边是否满足“其中一边是公共边,另一边互为反向延长线”的条件.(2)邻补角是成对的,包含了两层含义:①是位置关系:相邻;②是数量关系:两角之和等于180°.(3)邻补角也可以看作是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角.(4)注意邻补角和补角的区别:邻补角一定互补,但互补的两个角不一定是邻补角.因为邻补角既相邻又互补,但互补的两个角不管其位置如何,只要它们的和为180°就是一对互补的角.知识点3：对顶角1. 定义:两个角,如果它们有一个公共的顶点,并且角的两边互为反向延长线,那么它们就互为对顶角.如图,∠1和∠3,∠2和∠4互为对顶角.2. 性质:对顶角相等.注意:(1)判断两角是否为对顶角,要抓住它的特征:①有公共顶点;②两个角的两边互为反向延长线.(2)对顶角是成对出现的,单独一个角不能构成对顶角.(3)互为对顶角的两个角相等,但相等的两个角不一定是对顶角.考点1:利用对顶角、邻补角建立起角度之间的联系【例1】如图,直线AB,CD,EF相交于点O,∠AOE=30°,∠BOC=2∠AOC,求∠DOF的度数.解:设∠AOC=x°,则∠BOC=2x°.由邻补角的定义得2x+x=180.解之,得x=60.∴∠AOC=60°.∴∠EOC=∠AOC-∠AOE=60°-30°=30°.∴∠DOF=∠EOC=30°.点拨：∠EOC与∠DOF互为对顶角,因此要求∠DOF的度数只需求出∠EOC的度数.由已知∠BOC=2∠AOC且∠BOC与∠AOC互为邻补角,从而可求出∠BOC和∠AOC的度数,再由∠EOC的度数等于∠AOC 和∠AOE的度数之差,且∠AOE的度数已知,不难求出∠EOC的度数.考点2:角度计算问题常见解题思路【例2】如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE,∠AOD∶∠BOE=4∶1,求∠AOF的度数.解:方法一:由已知可设∠AOD=4x°,∠BOE=x°.∵OE平分∠BOD,∴∠BOD=2∠BOE=2x°.∵∠AOD+∠BOD=180°,∴4x+2x=180,解得x=30,∴∠BOE=30°,∠AOD=120°,∴∠COE=150°.∵OF平分∠COE,∴∠EOF=∠COE=75°,∴∠BOF=∠EOF-∠BOE=45°,∴∠AOF=180°-∠BOF=135°.方法二:∵OE平分∠BOD,∴∠DOE=∠BOE.∵∠AOD∶∠BOE=4∶1,∴设∠AOD=4x,则∠BOE=∠DOE=x.∵点O在直线AB上,∴∠AOD+∠BOD=180°,∴4x+x+x=180°,解得x=30°.∴∠DOE=30°,∠BOD=60°,∴∠COE=180°-∠DOE=150°,∠AOC=∠BOD=60°.∵OF平分∠COE,∴∠COF=∠COE=75°,∴∠AOF=∠AOC+∠COF=60°+75°=135°.点拨：由于∠AOF=∠AOC+∠COF,因此求∠AOF的度数可以转化为求∠AOC的度数和∠COF的度数.由于∠AOC=∠BOD,∠COF=∠COE,因此求出∠BOD的度数和∠COE的度数是解题的关键.第五章 5.1.2垂线知识点1：垂直的定义1. 垂直:直线a,b相交于点O(如图),当有一个夹角为90°时,称直线a,b互相垂直,记作a⊥b 或b⊥a.在图中我们用⊥作为表示两条直线互相垂直的标识,它们相交的交点O叫做垂足.日常生活中,如墙角、黑板、窗框、书边、课桌等都给我们垂直的形象.2. 垂线段:过直线外一点作已知直线的垂线,这点和垂足之间的线段叫做这条直线的垂线段.如图,过直线l外一点P,作PO⊥直线l,垂足为O,则线段OP叫做点P到直线l的垂线段.知识点2：垂线的画法1. 垂线的画法:过一点画已知直线的垂线,这是我们必须掌握的基本作图之一.那么如何才能画出呢?具体地说来,可以有下面的三种方法:(1)利用三角板;(2)利用量角器;(3)利用直尺和圆规.运用(1)或(2)两种工具作图时可以按下面的步骤操作:①一贴:将三角板的一条直角边紧贴于已知直线(或是将量角器的0°线与已知直线重合);②二过:使三角板的另一直角边经过已知点(或是使量角器的90°线经过这一点);③三画:沿着已知点所在的这条直角边画出所求直线(或者是沿量角器90°线所在直线画出).如图所画的PQ就是直线AB的垂线.2. 点到直线的距离:直线外一点到这条直线垂线段的长度,叫做点到直线的距离,在上图中,PQ的长度就是点P到直线AB的距离.注意：(1)垂线、垂线段的垂足都要作垂直符号;(2)垂线段和表示距离的线段要画出端点,而垂线则可向两方延伸;(3)作线段(射线)的垂线时,如果垂足在其延长线(反向延长线)上,则应将其延长(或反向延长),并且用虚线表示.知识点3：垂线的性质性质(1):在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.这里的“过一点”的点既可以在直线上,也可以在直线外;“有”表示存在,“只有”则表示唯一,意思是说,肯定有一条并且不能多于一条.性质(2):连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单的说成:垂线段最短.考点1:利用垂直定义求角度的大小【例1】如图所示,直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB于点O,∠EOD∶∠BOD=3∶1,求∠COE的度数.解:∵OE⊥AB,∴∠EOB=∠AOE=90°.∵∠EOD∶∠DOB=3∶1,∴∠BOD=∠EOB=×90°=22.5°.又∵∠AOC=∠BOD=22.5°,∠COE=∠AOC+∠AOE,∴∠COE=22.5°+90°=112.5°.点拨：垂直是两条直线的位置关系,而90°是一个角的大小,垂直定义建立起两直线垂直与90°的角之间的联系.由于∠COE=∠AOC+∠AOE,∠AOE=90°,因此只需求出∠AOC即可,又因为∠AOC=∠BOD,故将求∠AOC的度数转化成求∠BOD的度数,又由于∠EOD∶∠BOD=3∶1,∠EOD+∠BOD=90°,从而可求出∠BOD的度数.考点2:垂线段与点到直线的距离的应用【例2】点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4 cm,PB=5 cm,PC=2 cm,则点P 到直线m的距离( )A.为4 cmB.为2 cmC.小于2 cmD.不大于2 cm答案:D点拨：点到直线的距离是指这个点到直线的垂线段的长度,虽然垂线段最短,但是在PA,PB,PC 中并没有说明PC是垂线段,所以垂线段的长可能小于2 cm,也可能等于2 cm.考点3:垂线段与点到直线的距离的应用【例3】如图,点A表示小明家,点B表示小明的外婆家,若小明先去外婆家拿渔具,然后再去河边钓鱼,怎样走路最短?请画出行走路线.解:如图,连接AB,作BM垂直河边于点M.折线A-B-M即为所求.点拨：从点A到点B的最短路线是线段AB,理由是“两点之间,线段最短”;从点B到河边的最短路线是点B到河边的垂线段,理由是“垂线段最短”.第五章 5.1.3同位角、内错角、同旁内角知识点1:同位角两条直线被第三条直线所截,得到的八个角中,若两个角都在两条直线的同一方,又在第三条直线的同侧,则这样的两个角是同位角,如图中的∠1和∠2就是同位角.描出∠1和∠2的两条边,可以发现描出的图形好像是大写字母F.由图可以观察出:∠1和∠2各有一条边在同一条直线上,这条直线就是第三条直线,∠1和∠2的另一条边分别在另外两条直线上.知识点2:内错角两条直线被第三条直线所截,得到的八个角中,若两个角夹在两条直线之间,又在第三条直线的两侧,则这样的两个角是内错角,如图中的∠1和∠2就是内错角.描出∠1和∠2的两条边,可以发现描出的图形好像是大写字母Z.知识点3:同旁内角两条直线被第三条直线所截,得到的八个角中,若两个角都在两条直线之间,又在第三条直线的同旁,则这样的两个角是同旁内角,如图中的∠1和∠2就是同旁内角.描出∠1和∠2的两条边,可以发现描出的图形构成任意旋转的“U”形.注意：为了便于记忆,同学们还可仿照图中用双手表示“三线八角”(两大拇指所在直线代表被截直线,食指所在直线代表截线).考点1:从复杂的图形中分离出同位角、内错角、同旁内角【例1】如图所示,∠1和∠E,∠2和∠3,∠3和∠E各是什么位置关系的角?它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截得到的?解:∠1和∠E是直线AD,EC被直线BE所截得到的同位角,∠2和∠3是直线AD,EC被直线AC所截得到的内错角,∠3和∠E是直线AC,AE被直线EC所截得到的同旁内角.考点2:确定图形中已知角的同位角、内错角、同旁内角【例2】如图,试找出图中∠1的所有同位角.解:∠1的同位角有∠GDC,∠GEB,∠EBH、∠DCH.点拨：当把直线AG看作第三条直线时,只需再找一条与AG相交的直线(如直线DC)构成“三线八角”基本图形,得到∠1的同位角(如∠GDC);照此方法可使问题得解.第五章 5.2.1平行线知识1：平行线1. 平行的定义:同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.如图,AB与CD平行,记作AB∥CD,读作AB平行于CD.生活中平行线的形象是很常见的.比如,两平行的铁轨、黑板平面相对的两边、数学本子中平行的格子线、立方体相对的棱长……平行线的定义包含三层意思:(1)“在同一平面内”是定义的前提条件,是区别于空间内两条不相交的直线;(2)“不相交的两条直线”是平行线的特征;(3)通常所说的线段、射线平行,实际上是指它们所在的直线平行.2. 两直线的位置关系同一平面内两条直线只有两种位置关系:平行或者相交.判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来判断:(1)有且只有一个公共点,则两直线相交;(2)无公共点,则两直线平行;(3)有两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线).注意：理解平行线的定义要注意两点:(1)在同一平面内;(2)不相交.特别要注意:互相平行的两条直线没有公共点,但没有公共点的两条直线不一定平行;通常所说的线段与线段平行、射线与射线平行指的是它们所在的直线平行.知识点2:平行公理及其推论1．平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.注意把握“有且只有”的含义,它包含两层含义:“有”——“存在性”即存在一条与已知直线平行的直线;“只有”——“唯一性”即与已知直线平行的直线是唯一的.2．推论(平行线的传递性)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.即:如果a∥b,c∥b,那么a∥c.知识点3:平行线的画法平行线的画法是几何画图的基本技能之一,方法为:一“落”(三角板的一边落在已知直线上);二“靠”(用直尺紧靠在三角板的另一边);三“移”(沿直尺移动三角板,直到落在已知直线上的三角板的一边经过已知点);四“画”(沿三角板过已知点的边画直线).如图.考点1:相交与平行的综合应用【例1】在同一平面内有三条直线,它们之间的位置关系共有几种情形?试画图说明.解:共有4种情形,如图所示.点拨：由平行线的概念可知,在同一平面内,不相交的两条直线是平行线,也就是说:在同一平面内,两条直线的位置关系有两种:平行和相交.考点2:利用定义和公理的推论证明平行【例2】已知直线a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的位置关系是什么?请说明理由.解:a∥d.理由:∵a∥b,b∥c,∴a∥c.∵c∥d,∴a∥d.点拨：由a∥b,b∥c,可知直线a、c都平行于直线b,根据平行于同一直线的两条直线互相平行可知a∥c;又由c∥d,可得a∥d.第五章 5.2.2平行线的判定知识点1:同位角相等,两直线平行两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单地说,同位角相等,两直线平行.注意:(1)“同位角相等→两直线平行”,这个顺序不能乱;(2)“同位角相等,两直线平行”通过两个角的相等推导出两直线的位置关系(平行),建立起角度大小关系与两直线位置关系之间的联系.知识点2:内错角相等,两直线平行两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单地说:内错角相等,两直线平行.知识点3:同旁内角互补,两直线平行两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单地说:同旁内角互补,两直线平行.考点1:道路拐弯中的角度问题【例1】一学员在广场上驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是( )A.先向左拐30°,再向右拐30°B.先向右拐50°,再向左拐30°C.先向左拐50°,再向右拐130°D.先向右拐50°,再向左拐130°答案:A点拨：逐一画图分析,如分析选项A,如图,学员沿D→C驾驶汽车,先向左拐30°,即∠1=30°,至C→A行驶,然后向右拐30°,即∠2=30°,因为∠1=∠2,且∠1与∠2是同位角,所以DC∥AB,且A→B与D→C方向相同.故A正确,同理可分析B、C、D均不正确.考点2:平行线判定的综合应用【例2】如图,已知直线a、b、c、d、e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?请说明理由.解:平行.理由:∵∠1=∠2(已知),∴a∥b(内错角相等,两直线平行),∵∠3+∠4=180°(已知),∴b∥c(同旁内角互补,两直线平行).∴a∥c.点拨：由∠1=∠2可得a∥b,由∠3+∠4=180°可得b∥c,所以a∥c.考点3:角平分线与平行的综合应用【例3】如图所示,已知BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,∠1=∠2,那么直线AB与CD的位置关系如何?并说明理由.解:AB∥CD.理由:∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠1.∵CF平分∠BCD,∴∠BCD=2∠2.∵∠1=∠2,∴∠ABC=∠BCD,∴AB∥CD.点拨：根据两条角平分线及∠1=∠2可推得∠ABC=∠BCD,它们是直线AB、CD被BC所截而得的内错角,所以AB∥CD.第五章 5.3.1 平行线的性质知识点1:平行线的性质1两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.知识点2:平行线的性质2两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.知识点3:平行线的性质3两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.注意：(1)同位角相等、内错角相等和同旁内角互补是由平行线的性质所得的结论,所以它们成立的前提是“两直线平行”.(2)要注意正确区分平行线的性质与判定,由角的数量关系得到两条直线平行,是平行线的判定;由两条直线平行得到角的数量关系,是平行线的性质.(3)要特别注意没有两条直线平行这个条件,同位角和内错角不相等,同旁内角也不互补.考点1:探索平行线中的拐角【例1】如图,AB∥DE,则∠BCD、∠B、∠D之间的数量关系如何,为什么?解:∠BCD=∠B-∠D.理由:如图,过点C作CF∥AB.∵CF∥AB,∴∠B=∠BCF(两直线平行,内错角相等).∵AB∥DE,∴CF∥DE,∴∠DCF=∠D(两直线平行,内错角相等),∴∠B-∠D=∠BCF-∠DCF.∵∠BCD=∠BCF-∠DCF,∴∠BCD=∠B-∠D.点拨:作辅助线构造内错角是解决此题的关键.提升点2:平行线性质的应用【例2】如图,已知l1∥l2,∠ABC=120°,l1⊥AB,求∠α的度数.解答:如图,过点B作l3∥l1.∵l1⊥AB(已知),∴l3⊥AB(两直线平行,同位角相等).∴∠γ=90°(垂直的定义).∵∠ABC=120°(已知),∴∠β=120°-90°=30°.又l3∥l1,l1∥l2(已知),∴l3∥l2(平行公理推论).∴∠α=∠β=30°(两直线平行,同位角相等).点拨:平行线有一个非常重要的作用,就是角的传递,在本题中虽然知道l1∥l2,但却与∠ABC无法建立联系,因此我们可以过点B作一条与l1平行的直线l3,根据“平行于同一条直线的两条直线平行”的性质可得到l3∥l2,进而可以建立起∠ABC与∠α的联系.注意：本题辅助线的作法还可以叙述为:过点B作l3⊥AB.适当添加辅助线是解数学题的重要手段.这里过直线外一点作已知直线的平行线,是常用的辅助线之一.辅助线在解题过程中起铺路架桥的作用,有化难为易之功效,是解数学图形题常用的技巧.作辅助线要注意作法的叙述,辅助线要画成虚线.第五章 5.3.2命题、定理、证明知识点1：命题判断一件事情的语句,叫命题.它必须对某件事情作出判断,要么肯定,要么否定,而像“你回家了吗”“画AB∥CD”等等就不是命题.知识点2：命题的组成命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.它通常可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”后面接的是题设,“那么”后面接的是结论.如果一个命题是正确的,那么它就是真命题,反之就是假命题.知识点3：定理经过推理证实而得到的真命题叫做定理.注意:理解命题的概念时要注意两点:(1)命题必须是一个完整的句子;(2)这个句子必须对某件事情给出明确的判断(如肯定或否定的判断).知识点4：证明一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断,这个推理的过程叫做证明.考点1:如果……那么……【例1】把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.(1)同位角相等;(2)等角的补角相等.解:(1)如果两个角是同位角,那么这两个角相等.(2)如果两个角是相等的角,那么这两个角的补角相等.考点2:举反例【例2】请判断命题“若a,b互为相反数,则a≠b”是真命题还是假命题?如果是假命题,举出反例说明.解:假命题.因为0的相反数是0,而0=0,所以此命题是假命题.点拨举反例是说明一个命题是假命题常用的方法,所列举的反例满足命题的题设部分,不满足命题的结论即可.考点3：利用辅助线进行证明【例3】如图,AB∥CD.AF、CF分别是∠EAB、∠ECD的角平分线,F是两条角平分线的交点.求证:∠F=∠AEC.解:如图,过点E作EM∥AB,过点F作FN∥AB,∵AB∥CD,∴EM∥CD.∴∠MEA=∠BAE,∠MEC=∠DCE.∴∠MEA+∠MEC=∠BAE+∠DCE,即∠AEC=∠BAE+∠DCE.同理可得∠AFC=∠BAF+∠DCF.∵AF、CF分别是∠EAB、∠ECD的平分线,∴∠BAF=∠BAE,∠DCF=∠DCE.∴∠AFC=∠BAE+∠DCE.∴∠AFC=∠AEC,即∠F=∠AEC.点拨:作辅助线,可以探究:∠AEC与∠BAE及∠DCE之间的关系,结合角的平分线的性质,可以探究出∠F与∠AEC之间的关系.第五章 5.4平移知识点1：平移的概念一个图形沿着一定的方向平行移动,叫作平移变换,简称平移.如运动着的电梯,火车在笔直的铁轨上飞驰,飞机起飞前在跑道上加速滑行等.注意:决定平移的条件是平移的方向和平移的距离.首先要弄清平移的方向,它可以是上、下、左、右或方位角表示;其次是弄清平移的距离,平移的距离是新图形与原图形对应点连线的长度.注意:(1)平移时图形中的所有点的移动方向一致,并且移动的距离相等;(2)确定图形平移的方向和距离,只需要确定其中一个点平移的方向和距离知识点2:平移的特征平移的特征:(1)平移不改变图形的形状和大小;(2)新图形中各点之间的相对位置和原图形的一致,没有发生改变;(3)新图形的每一点都是由原图形中的某一点移动后得到的,即这两个点是对应点,连接各组对应点的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.如图所示,四边形EFGH 是由四边形ABCD平移而得到,线段AE∥BF∥CG∥D H,AE=BF=CG=DH;所有对应线段AB∥EF,DC∥GH,AD ∥EH,BC∥GF,AB=EF,DC=GH,AD=EH,BC=GH;所有对应角如∠BAD=∠FEH=90°等.知识点3：平移作图1.平移作图的根据:图形经过平移后,对应线段平行且相等;对应角相等;连接各组对应点的线段平行且相等.2.画新图形所需条件:图形原来的位置、平移的方向、平移的距离,缺一不可.3.作图的方法、关键和一般步骤:作图多采用“以局部带整体”法.关键是:确定图形各关键点的对应点.一般步骤为:①分析题目要求,确定平移方向和平移距离;②分析所要作的图形,找关键点,确定其对应点位置并标出字母;③按照原图形关键点顺序,顺次连接其对应点;④写出结论.4.应注意的问题:①图形平移时,每个点都是沿相同的方向移动相同的距离;②平移只是图形的位置变化,形状和大小都不改变,找出各关键点的对应点;③确定平移中的平行关系和相等关系.知识点4：平移在生活中的应用利用平移进行图案设计,以及道路、娱乐场所等有关面积的计算,都体现了平移在实际生活中的广泛应用.如图中的燕子南飞、奥运五环和高级自动门等生活中很多复杂精美图案的设计,都是用一些的简单图案作为基本图案,然后再沿不同方向进行多次平移绘制而成的.考点1:利用平移化不规则图形为规则图形【例1】如图,在宽为20 m,长为30 m的长方形花园中,要修建两条同样宽的长方形道路,余下部分进行绿化.根据图中数据,计算绿化部分的面积为( )A.600 m2B.551 m2C.550 m2D.500 m2答案:B点拨：利用“平移不改变图形的形状和大小”这一性质,把两条长方形道路平移,平移到图的位置,绿化部分转化为长29 m,宽19 m的长方形,其面积为551 m2.考点2:利用平移进行计算【例2】如图,面积为12m2的Rt△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置,平移距离是BC长的两倍,则梯形ACED的面积为.答案:36 m2点拨：点A、B、C的对应点分别为D、E、F,所以AD∥BF,AD=BE=CF,且它们的长度都等于平移的距离.又因为平移距离是BC长的两倍,即BE=2BC,所以BC=CE.梯形ACED与△ABC相比,高相等,梯形上底CE与下底AD的和是△ABC的底BC的3倍,所以梯形ACED的面积=△ABC的面积×3=36 m2.。

相交线与平行线(一)定 义示例剖析相交直线：如果直线a 与直线b 只有一个公共点，则称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的相交线． 相交线的性质：两直线相交只有一个交点．1234a bO对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.对顶角的一个重要性质是：对顶角相等.4321DCB A如图中，1∠和3∠， 1∠和4∠，2∠和3∠，2∠和4∠互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角.垂线：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 如图所示，可以记作“AB CD ⊥于O ”性质1：在同一平面内，过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；简单说成：垂线段最短．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． CB D A同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角；F87654321CE B D A 如图所示，1∠与5∠，2∠与6∠，3∠与7∠，4∠与8∠都是同位角； 内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角模块一 相交线3∠与5∠，4∠与6∠都是内错角； 3∠与6∠，4∠与5∠都是同旁内角注意：互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角【例1】 如图所示，AB 与CD 相交所成的四个角中，1∠的邻补角是______，1∠的对顶角是______.若125∠=︒，则2∠=_______，3∠=______，4∠=_______．4321DCB A【解析】 2∠和4∠，3∠，155︒，25︒，155︒．【例2】 ⑴ 如图1，直线a b c 、、两两相交，123265∠=∠∠=︒，，求4∠的度数．⑵ 如图2，直线AB 、CD 交于点O ，且120AOD BOC ∠+∠=°，求AOC ∠的度数． ⑶ 如图3，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，25AOE ∠=°，45DOF ∠=°，求AOD ∠的对顶角和邻补角的度数．⑷ 如图4，直线AB 、CD 交于O ，OE 平分AOD ∠，30BOC BOD ∠=∠-°，求COE ∠ 的度数．O图 4图 3图 2图 14321c baA B CD EOAB CDEFODCBA【解析】 ⑴ ∵123∠=∠，265∠=︒，∴1265∠=∠=︒，∴136532.52∠=⨯︒=︒，∴4332.5∠=∠=︒；⑵ 由对顶角相等可知，AOD BOC ∠=∠，又120AOD BOC ∠+∠=°，故60AOD ∠=° 从而由AOC ∠、AOD ∠互为邻补角可知，120AOC ∠=°； ⑶ 由对顶角相等可知，45COE DOF ∠=∠=°，故254570AOC AOE COE ∠=∠+∠=+=°°°．由AOC ∠、AOD ∠互为邻补角可知，18070110AOD ∠=-=°°° 由对顶角相等可知，AOD ∠的对顶角110BOC ∠=°；⑷ 由BOC ∠、BOD ∠互为邻补角可知，180BOC BOD ∠+∠=°． 又30BOC BOD ∠=∠-°，故105BOD ∠=°，75BOC ∠=°． 由对顶角相等可知，75AOD BOC ∠=∠=°． 又OE 平分AOD ∠，故37.5AOE ∠=°，又因为180AOC BOC ∠+∠=︒,所以105AOC ∠=︒,从而可知，37.5105142.5COE AOE AOC ∠=∠+∠=+=°°°．夯实基础【例3】 已知：如图所示，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，2AOF BOD ∠=∠，32COE AOC ∠=∠，求COE ∠的度数．OF EBDAC【解析】 由对顶角相等可知，AOC BOD ∠=∠，设AOC BOD x ∠=∠=，则2AOF x ∠=，32COE x ∠=． 又180AOC AOF COE ∠+∠+∠=°，故321802x x x ++=°，40x =°，故60COE ∠=°．【巩固】如图，AB 、CD 、EF 交于点O ，25AOE ∠=°，45DOF ∠=°，求AOD ∠的对顶角和邻补角的度数．图2OF EB D AC【解析】由对顶角相等可知，45COE DOF ∠=∠=︒，故254570AOC AOE COE ∠=∠+∠=︒+︒=︒． 由AOC ∠、AOD ∠互为邻补角可知，18070110AOD ∠=︒-︒=︒ 由对顶角相等可知，AOD ∠的对顶角110BOC ∠=︒．【例4】 ⑴ 如图，已知MON ∠及点P ，分别画出点P 到射线OM 、ON 的垂线段PA 、PB ．M ONPMOPP NOM⑵ 如图1，已知90ACB ∠=°．CD AB ⊥，垂足为D ，则点A 到直线CB 的距离 为线段 的长；线段DB 的长为点 到直线 的距离．图1D CB A图2c ba CBA⑶ 如图2，在直角三角形ABC 中，90C ∠=°，AB c =，AC b =，BC a =，则能力提升||||||AC AB AB BC AC BC AB -+-++-= ．⑷ 如图，在直角三有形ABC 中，90C ∠=°，CD AB ⊥于D ， 比较线段AC 、AB 、CD 的大小．图1DCBA【解析】 ⑴ 如下图：AP M N AM OPAPM⑵ AC ，B ，CD ； ⑶ c ；⑷ 由90C ∠=°可知，AC BC ⊥，故AC AB <（垂线段最短）又CD AB ⊥， 故CD AC <（垂线段最短），故CD AC AB <<．【备选】已知：A 、O 、B 三点共线，OC 为任意一条射线，OE 平分BOC ∠，OD 平分AOC ∠．求证：OD OE ⊥．【解析】 ∵A 、O 、B 三点共线∴180AOB ∠=︒∵OE 平分BOC ∠,OD 平分AOC ∠∴12COE BOC ∠=∠,12DOC AOC ∠=∠∴ COE DOC ∠+∠1122BOC AOC =∠+∠=()12BOC AOC ∠+∠=12AOB ∠=1180902⨯︒=︒ 又∵DOE COE DOC ∠=∠+∠ ∴90DOE ∠=︒ ∴OD OE ⊥【例5】 ⑴ 如图1：①1∠与2∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角． ②1∠与3∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角． ③2∠与4∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角． ④3∠与4∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角． ⑤5∠与6∠是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角．夯实基础（清华附中统练）图1l 3l 2l 1654321l 2l 1cb a 1⑵ 如图，图中与∠1成同位角的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 ⑴ ①1∠与2∠是两条直线2l 与3l 被第三条直线1l 所截构成的同位角；②1∠与3∠是两条直线1l 与3l 被第三条直线2l 所截构成的同位角； ③2∠与4∠是两条直线2l 与3l 被第三条直线1l 所截构成的内错角； ④3∠与4∠是两条直线1l 与3l 被第三条直线2l 所截构成的内错角； ⑤5∠与6∠是两条直线1l 与2l 被第三条直线3l 所截构成的同旁内角；⑵ B ．【例6】 用数码标出图中与1∠是同位角的所有角．7ba 654321l 3l 2l 1【解析】1∠的两条边所在的直线是a ，b ，若把a 看成是第三条直线，则有：⑴a 截直线b 及1l ，得1∠的同位角为2∠； ⑵a 截直线b 及2l ，得1∠的同位角为3∠； ⑶a 截直线b 及3l ，得1∠的同位角为4∠； 若把b 看成第三条直线，则有：⑷b 截直线a 及1l ，得1∠的同位角为5∠； ⑸b 截直线a 及2l ，得1∠的同位角为6∠； ⑹b 截直线a 及3l 得1∠的同位角为7∠．【例7】 ⑴ 如图1，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？⑵ 如图2，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？ ⑶ 如图3，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？A B CDE1234图1 AB CDE F GH1234图2A B CDE FG H 1234MN 图3【解析】 ⑴ 图中，1∠与3∠是直线BE 、CD 被直线AC 所截形成的同位角；2∠与4∠是直线BE 、CD 被直线BD 所截成的内错角；3∠与4∠是直线BC 、BD 被直线CD 所截成的同旁内角；⑵ 图中，2∠与3∠是直线EG 、HF 被直线EF 所截形成的内错角； ⑶ 图中，1∠与3∠是直线EG 、FH 被直线MN 所截形成的同位角.【点评】 三线八角的判定技巧：两条直线被第三条直线所截，所形成的三线八角中，究其实质，可简单概括为“F 、Z 、U ”型．⑴“F ”型是找同位角的方法，即：如图21，1∠和2∠就是一对同位角，现改变“F ”的方向，如图21 2121等，各个图中1∠与2∠依然是同位角．⑵“Z ”型是找内错角的方法，如图21， 1∠和2∠就是一对内错角，改变“Z ”的方向后，各个图中1∠和2∠还是内错角，如2121等．⑶“U ”型是找同旁内角的方法，如图21，1∠和2∠就是一对同旁内角，改变“U ”的方向后，如21 21 21等，各个图中，1∠和2∠还是同旁内角．⑴“F ”型中的同位角.如图.FMNDBF M NCAMNDB EMNECA⑵“Z ”字型中的内错角，如图.能力提升N MDANMBC⑶“U”字型中的同旁内角.如图.NMCAMNDB【例8】 ⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有几对同位角，几对内错角，几对同旁内角？⑵ 三条平行直线呢? 四条、五条呢？ ⑶ 你发现了什么规律？【解析】 ⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.⑵ 当有3条平行线时，有3412⨯=对同位角，32=6⨯对内错角，326⨯=对同旁内角； 当有4条平行线时，有6424⨯=对同位角，6212⨯=对内错角， 6212⨯=对同旁内角；当有5条平行线时，有10440⨯=对同位角，10220⨯=对内错角， 10220⨯=对同旁内角.⑶ 当n 条线彼此平行时，被直线m 所截，即1l ∥2l ∥…∥n l ，则共有(1l ，2l )、(1l ，3l )、(1l ，4l )、…(1l ，n l )；(2l ，3l )、(2l ，4l )、…(2l ，n l )、… 21(,)n n l l --、2(,)n n l l -、1(,)n n l l -;共()()()112212n n n n --+-+++=L 对平行线，每对平行线被m 所截，产生4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，则共有()()14212n n n n -⨯=-对同位角，()()1212n n n n -⨯=-对内错角，()()1212n n n n -⨯=-对同旁内角．模块二 平行线探索创新【例9】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（ ）A ．同位角相等B ．内错角相等C ．同旁内角互补D ．以上都不对⑵ 1∠和2∠是同旁内角，若145∠=︒，则2∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．135︒ C ．45︒或135︒ D. 不能确定⑶ 如图，下面推理中，正确的是（ ）A ．∵180A D ∠+∠=°，∴AD BC ∥B ．∵180CD ∠+∠=°，∴AB CD ∥ C ．∵180A D ∠+∠=°，∴AB CD ∥ D ．∵180A C ∠+∠=°，∴AB CD ∥(北京三帆中学期中)DCBA⑷ 如图，直线a b ∥，若150∠=︒，则2∠=（ ）A ．50°B ．40°C ．150°D ．130°(北京101中期中)⑸ 如图，直线AB CD ∥，EF CD ⊥，F 为垂足，如果20GEF ∠=°，则1∠的度数是（ ） A ．20° B ．60° C ．70° D ．30°(北京八中期中)⑹ 如图，直线a b ∥，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，155∠=°，则2∠的度数为______21ba CBA(北京八十中期中)⑺ 如图，1∠和2∠互补，那么图中平行的直线有（ ）A ．a b ∥B ．c d ∥C ．d e ∥D ．c e ∥(北京十三分期中)⑻ 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①12∠=∠；②34∠=∠；③2490∠+∠=°；④45180∠+∠=°，其中正确的个数（ ）12345A ．1B ．2C ．3D ．4⑼ 如图，直线12l l ∥，AB CD ⊥，134∠=°，那么2∠的度数是 ．21l 2l 1DCB A21edc baba 21DGF1E CB A(北京一六一中期中)⑽ 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果164∠=°，那么2∠等于 ．21(北京一六一中期中)【解析】 ⑴D ； ⑵D ；⑶C ；⑷D ；⑸C ；⑹35°； ⑺D ；⑻D ；⑼56°； ⑽52°.【例10】 ⑴ 下列说法中，不正确的是（ ）A 、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行B 、过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线相交C 、同一平面内的两条不相交直线平行D 、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行⑵ 如图，CD AB ⊥于D ，EF AB ⊥于F ，CD 平分ACB ∠．请找出与BCD ∠相等的角．图2FEBD A C⑶ 如图，DH EG BC ∥∥，且DC EF ∥，那么图中与BFE ∠相等的角（不包括BFE ∠）的个数是（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6FH GED CBA⑷ 在同一平面内有1a ，2a ，3a ，…，97a 共97条直线，如果12a a ∥，23a a ⊥，34a a ∥，45a a ⊥，56a a ∥，67a a ⊥，…，那么1a 与97a 的位置关系是 .【解析】 ⑴ 本题主要考察两直线平行的识别.根据平行公理及其推论可知A 、D 正确；同一平面内的两条直线的位置关系只有相交和平行两种，C 正确； 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 而有无数条直线与这条直线相交，B 不正确. ⑵ ∵ CD 平分ACB ∠（已知），∴BCD ACD ∠=∠（角平分线的定义） ∵CD AB ⊥，EF AB ⊥（已知），∴CD EF ∥（垂直于同一直线的两直线平行） ∴AEF ACD ∠=∠（两直线平行，同位角相等），ACD BCD ∠=∠（等量代换） ∴与BCD ∠相等的角有ACD ∠和AEF ∠． ⑶ 本题考查平行线的性质，由图形找到与BFE ∠相等的角有DCB ∠，GEF ∠，GAC ∠，HDC ∠，DAE ∠⑷ 寻找规律， 12a a ∥，13a a ⊥，14a a ⊥；15a a ∥，16a a ∥，17a a ⊥，18a a ⊥…， 4个一循环，974241÷=L ，所以971a a ∥【例11】 ⑴ 如图，∥AB CD ,B D ∠=∠,请说明12∠=∠，请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵AB CD ∥，∴180BAD D ∠+∠=°（ ）． ∵B D ∠=∠， ∴BAD ∠+ 180=°（等量代换）． ∴ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴12∠=∠（ ）．（北京市海淀区期末）⑵ 填空，完成下列说理过程.如图，DP 平分ADC ∠交AB 于点P ，90DPC ∠=︒，如果1390∠+∠=︒，那么2∠和4∠相等吗？说明理由. 解：∵DP 平分ADC ∠，∴3∠=∠ （ ） ∵APB ∠= °，且90DPC ∠=︒，∴1290∠+∠=︒.又∵1390∠+∠=︒，∴23∠=∠. （ ） ∴24∠=∠.（北京市朝阳区期末）⑶ 如图,已知DE AC ∥，DF AB ∥，求A B C ∠+∠+∠度数． 解：∵DE AC ∥（ ），∴C ∠= （ ）， 3∠= （ ） 又∵DF AB ∥（ ） ∴B ∠= （ ） A ∠= （ ）∴3A ∠=∠（ ）∴123A B C BDC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠= （ ）【解析】 ⑴ 依次填：两直线平行，同旁内角互补；B ∠；∥AD BC ；两直线平行，内错角相等；⑵ 4，角平分线定义，180，同角的余角相等⑶ 已知；1∠；两直线平行，同位角相等；4∠；两直线平行，内错角相等；已知；2∠； 两直线平行，同位角相等；4∠；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；平角定义.【点评】第⑶题即证明了三角形内角和等于180°．【例12】 如图所示，已知CB OA ∥，100C OAB ∠=∠=︒，E ，F 在CB 上，且满足FOB AOB ∠=∠，探索创新21D C BA PD C B A43214321FED C B AOE 平分COF ∠． ⑴ 求EOB ∠的度数；⑵ 若平行移动AB ，那么OBC ∠：OFC ∠的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；⑶ 在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OEC OBA ∠=∠？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．ABC E FO【解析】⑴ 40︒；⑵ 1:2；⑶ 存在，60OEC OBA ∠=∠=︒．知识模块一 相交线 课后演练【演练1】 已知：如图，AB 、CD 交于点O ，OA 平分EOD ∠，80EOD ∠=°． ⑴ 写出图中所有的对顶角、邻补角；⑵ 求BOC ∠．【解析】 ⑴ 对顶角：AOD ∠与BOC ∠、AOC ∠与BOD ∠邻补角：BOC ∠与AOC ∠、BOC ∠与BOD ∠、AOC ∠与AOD ∠、AOD ∠与BOD ∠、COE ∠与DOE ∠、BOE ∠与AOE ∠．⑵ ∵OA 平分EOD ∠（已知），∴12AOD EOD ∠=∠（角平分线的定义）∵80EOD ∠=°（已知），∴40AOD ∠=° ∵BOC AOD ∠=∠（对顶角相等），∴40BOC ∠=°．【演练2】 找出图中用数字表示的角中，所有的同位角、内错角和同旁内角，并指出它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的．【解析】 1∠与5∠是直线AD 、BC 被直线AB 所截形成的同位角； 2∠与4∠是直线AD 、BC 被直线AC 所截形成的内错角；3∠与5∠是直线AC 、BC 被直线AB 所截形成的同旁内角； 3∠与4∠是直线AB 、BC 被直线AC 所截形成的同旁内角； 4∠与5∠是直线AC 、AB 被直线BC 所截形成的同旁内角．【演练3】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 是AOD ∠的平分线， 若60AOC ∠=°，OF OE ⊥．判断OF 把AOC ∠所分成的两个角的大小关系并证明你的结论．（西城区期末）【解析】 AOF COF ∠=∠证明：∵O 是直线CD 上一点，∴180AOC AOD ∠+∠=°， ∵60AOC ∠=°，∴18060120AOD ∠=-=°°°． ∵OE 平分AOD ∠．∴111206022AOE AOD ∠=∠=⨯=°°．∵OF OE ⊥，∴90FOE ∠=°∴906030AOF FOE AOE ∠=∠-∠=-=°°° ∴603030COF AOC AOF ∠=∠-∠=-=°°° ∴AOF COF ∠=∠知识模块二 平行线 课后演练实战演练OE BDA CA BCD12345A BC DEO【演练4】 ⑴ 如图1，AB CD ∥，AD AC ⊥，32ADC ∠=°，则CAB ∠的度数是 ．⑵ 如图2，直线l 与直线a ，b 相交．若a b ∥，170∠=°，则2∠的度数是 ． ⑶ 如图3，直线m n ∥，155∠=°，245∠=°，则3∠的度数为（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．110°图1DCBA图3nm 321【解析】 ⑴ 122°；⑵ 110°；⑶ C ．【演练5】 ⑴ 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB AC ∥的条件： .⑵ 如图，点E 在AC 的延长线上，给出下列条件：① 12∠=∠；② 34∠=∠；③ A DCE ∠=∠； ④ D DCE ∠=∠；⑤ 180A ABD ∠+∠=°； ⑥ 180A ACD ∠+∠=°；⑦ AB CD =. 能说明AC BD ∥的条件有 .⑶ 如图，直线EF 分别与直线AB 、CD 相交于点G 、H ， 已知1260∠=∠=°，GM 平分HGB ∠交直线CD 于点M ． 则3∠=（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．130°【解析】 ⑴ EBD ACB ∠=∠(EBA BAC ∠=∠)等(答案不唯一)⑵ ②④⑤； ⑶ A ．【演练6】 ⑴ 根据右图在（ ）内填注理由：①∵B CEF ∠=∠（已知）∴AB CD ∥（ ） ②∵B BED ∠=∠（已知）∴AB CD ∥（ ） ③∵180B CEB ∠+∠=°（已知）∴AB CD ∥（ ） （北京市东城区期末）⑵ 如图：已知12∠=∠，A C ∠=∠，求证：①AB DC ∥ ②AD BC ∥证明：∵12∠=∠（ ） ∴（ ）∥（ ）（ ） ∴C CBE ∠=∠（ ）图1ED CB A21DFA EB C AEBG CDM H F12 3 AB C D E4321EDCB A又∵C A ∠=∠（ ） ∴A ∠= （ ） ∴（ ）∥（ ）（ ）⑶ 如图，∵3E ∠=∠（已知），12∠=∠（已知）又∵∠ =∠ （ ） ∴∠ =∠ （ ） ∴AB CE ∥（ ）【解析】 ⑴ ① 同位角相等，两直线平行；② 内错角相等，两直线平行； ③ 同旁内角互补，两直线平行． ⑵ 已知，AB ，CD ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；CBE ∠；等量代换；AD ，BC ；同位角相等，两直线平行．⑶ 2；3；对顶角相等；1；E ；等量代换；内错角相等，两直线平行．12图3F3E D A。

七年级初一数学第五章 相交线与平行线(讲义及答案)附解析一、选择题1．如图，在四边形ABCD 中，要得到AB CD ∥，只需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．BD ∠=∠ D ．12180B ∠+∠+∠=︒2．一辆行驶中的汽车经过两次拐弯后，仍向原方向行驶，则两次拐弯的角度可能是（ ） A ．先右转30，后左转60︒ B ．先右转30后左转60︒C ．先右转30后左转150︒D ．先右转30，后左转30 3．如图，//,2,2,AB CD FEN BEN FGH CGH ∠=∠∠=∠则F ∠与H ∠的数量关系是( )A ．90F H ︒∠+∠=B ．2H F ∠=∠C ．2180H F ︒∠-∠=D ．3180H F ︒∠-∠=4．如图所示，若∠1＝∠2＝45°，∠3＝70°，则∠4等于（ ）A ．70°B ．45°C ．110°D ．135°5．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF ；②DB=DC ；③AD ⊥BC ；④AC=3BF ，其中正确的结论共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（ ）A ．一对邻补角的平分线互相垂直B ．一对同位角的平分线互相平行C ．一对内错角的平分线互相平行D ．一对同旁内角的平分线互相平行7．下列说法中，正确的是（ ）A ．从直线外一点到这条直线的垂线叫点到直线的距离B ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．不相交的两直线一定互相平行8．如图，////OP QR ST 下列各式中正确的是（ ）A ．123180∠+∠+∠=B ．12390∠+∠-∠=C ．12390∠-∠+∠=D ．231180∠+∠-∠=9．如图，如果AB ∥EF ，EF ∥CD ，下列各式正确的是（ ）A ．∠1+∠2−∠3=90°B ．∠1−∠2+∠3=90°C ．∠1+∠2+∠3=90°D ．∠2+∠3−∠1=180°10．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）A ．②③B ．①②③C ．①②④D ．①④二、填空题11．已知直线AB ∥CD ，点P 、Q 分别在AB 、CD 上，如图所示，射线PB 按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA 便立即回转，并不断往返旋转；射线QC 按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____；（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．12．如图，△ABC的边长AB =3 cm，BC=4 cm，AC=2 cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（a ＜4 cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为_______cm．13．如图，有两个正方形夹在AB与CD中，且AB//CD,若∠FEC=10°，两个正方形临边夹角为150°，则∠1的度数为________度(正方形的每个内角为90°)14．如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠COB,若∠EOB=55°,则∠BOD=_________.15．如图①：MA1∥NA2，图②：MA11NA3，图③：MA1∥NA4，图④：MA1∥NA5，……，则第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1______.（用含n的代数式表示）16．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′、D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=64°，则∠GFD′=_____________.17．两个角的两边分别平行,一个角是50°,那么另一个角是__________.18．已知M、N是线段AB的三等分点，C是BN的中点，CM=6 cm，则AB=_________ cm．19．若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠B＝_____度．20．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥OE于点O，若∠AOD＝70°，则∠AOF＝______度．三、解答题21．如图①，已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB，点Q在BF上，连接QH．(1)已知∠EFD＝70°，求∠B的度数；(2)求证：FH平分∠GFD．(3)在(1)的条件下，若∠FQH＝30°，将△FHQ绕着点F顺时针旋转，如图②，若当边FH转至线段EF上时停止转动，记旋转角为α，请直接写出当α为多少度时，QH与△EBF的某一边平行?22．如图，直线MN∥GH，直线l1分别交直线MN、GH于A、B两点，直线l2分别交直线MN、GH于C、D两点，且直线l1、l2交于点E，点P是直线l2上不同于C、D、E点的动点．（1）如图①，当点P 在线段CE 上时，请直写出∠NAP 、∠HBP 、∠APB 之间的数量关系： ；（2）如图②，当点P 在线段DE 上时，（1）中的∠NAP 、∠HBP 、∠APB 之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明成立的理由；如果不成立，请写出这三个角之间的数量关系，并说明理由．（3）如果点P 在直线l 2上且在C 、D 两点外侧运动时，其他条件不变，请直接写出∠NAP 、∠HBP 、∠APB 之间的数量关系 ．23．如图1，AB ∥CD ，点E 在AB 上，点G 在CD 上，点 F 在直线 AB ，CD 之间，连接EF ，FG ，EF 垂直于 FG ，∠FGD =125°．(1)求出∠BEF 的度数；(2)如图 2，延长FE 到H ，点M 在FH 的上方，连接MH ，Q 为直线 AB 上一点，且在直线 MH 的右侧， 连接 MQ ，若∠EHM=∠M +90°，求∠MQA 的度数；(3)如图 3，S 为 NB 上一点，T 为 GD 上一点，作直线 ST ，延长 GF 交 AB 于点 N ，P 为直线 ST 上一动点，请直接写出∠PGN ，∠SNP 和∠GPN 的数量关系 ．（题中所有角都是大于 0°小于 180°的角）24．(1)如图1，已知任意ABC ∆，过点C 作//DE AB ，求证：180A B ACB ∠+∠+∠=︒；(2)如图2，求证：∠AGF=∠AEF+∠F ；(3)如图3，//,119,AB CD CDE GF ∠=︒交DEB ∠的角平分线EF 于点,150F AGF ∠=︒，求F ∠的度数．25．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．(1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角：；所有与∠C相等的角：．(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．①求∠B的度数；②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．26．直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点．(1)如图①，探究∠AME，∠MEN，∠ENC的数量关系，并说明理由；(2)如图②，∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度数；（3）如图③，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，直接写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系(用含m的式子表示)．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】A 不可以；∵∠1=∠3，∴AD ∥BC(内错角相等,两直线平行)，不能得出AB ∥CD ，∴A 不可以；B 可以；∵∠2=∠4，∴AB ∥CD(内错角相等,两直线平行)；∴B 可以；C 、D 不可以；∵∠B=∠D,不能得出AB ∥CD ；∵∠1+∠2+∠B=180°，∴AD ∥BC(同旁内角互补,两直线平行)，不能得出AB ∥BC ；∴C 、D 不可以；故选B.2．D解析：D【分析】根据平行线的性质分别判断即可．【详解】解：因为两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，所以两边拐弯的方向相反，形成的角是同位角，故选：D ．【点睛】本题考查平行线的性质，利用两直线平行，同位角相等是解题的关键．3．D解析：D【分析】先设角，利用平行线的性质表示出待求角，再利用整体思想即可求解．【详解】设,NEB HGC αβ∠=∠=则2,2FEN FGH αβ∠=∠=∵//AB CD∴H AEH HGC ∠=∠+∠NEB HGC =∠+∠αβ=+F FEB FGD ∠=∠-∠()180FEB FGC =∠-︒-∠()31803αβ=-︒-()3180αβ=+-︒∴F ∠3180H =∠-︒3180H F ∴∠-∠=︒故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质，注意整体思想的运用．4．C解析：C【分析】根据对顶角的性质可得∠1＝∠5，再由等量代换得∠2＝∠5，即可得到到a ∥b ，利用两直线平行同旁内角互补可得∠3＋∠4=180°，最后根据∠3的度数即可求出∠4的度数．【详解】解：∵∠1与∠5是对顶角，∴∠1＝∠2＝∠5＝45°，∴a ∥b ，∴∠3+∠6＝180°，∵∠3＝70°，∴∠4=∠6＝110°．故答案为C ．【点睛】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质及判定，其中掌握平行线的性质和判定是解答本题的关键．5．A解析：A【详解】∵BF ∥AC ，∴∠C=∠CBF ， ∵BC 平分∠ABF ，∴∠ABC=∠CBF ，∴∠C=∠ABC ， ∴AB=AC ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴BD=CD ，AD ⊥BC ，故②③正确，在△CDE 与△DBF 中，C CBF CD BD EDC BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CDE ≌△DBF ，∴DE=DF ，CE=BF ，故①正确；∵AE=2BF ，∴AC=3BF ，故④正确．故选A．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．全等三角形的判定与性质．6．D解析：D【解析】试题分析：A、两条平行线被第三条直线所截，一对邻补角的平分线互相垂直，故本选项正确；B、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，故本选项正确；C、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，故本选项正确；D、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，故本选项错误；故选：D．7．C解析：C【解析】试题分析：从直线外一点到这条直线的垂线的长度叫点到直线的距离，故A不正确；在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B不正确；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故C正确；在同一平面内，不相交的两直线一定互相平行，故D不正确.故选：C.8．D解析：D【解析】试题分析：延长TS，∵OP∥QR∥ST，∴∠2=∠4，∵∠3与∠ESR互补，∴∠ESR=180°﹣∠3，∵∠4是△FSR的外角，∴∠ESR+∠1=∠4，即180°﹣∠3+∠1=∠2，∴∠2+∠3﹣∠1=180°．故选D．考点：平行线的性质．9．D解析：D【分析】根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．【详解】∵EF∥CD∴∠3=∠COE∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE∵AB∥EF∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，两条直线平行：内错角相等；两直线平行：同旁内角互补．10．C解析：C【分析】根据同位角的定义逐一判断即得答案．【详解】图①中的∠1与∠2是同位角，图②中的∠1与∠2是同位角，图③中的∠1与∠2不是同位角，图④中的∠1与∠2是同位角，所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．故选：C．【点睛】本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．二、填空题11．PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．【分析】（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；解析：PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．【分析】（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；（2）分三种情况：①当0s＜t≤45时，②当45s＜t≤67.5s时，③当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．【详解】（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，过E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，∴∠PEQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案为：PB′⊥QC′；（2）①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t＝45+t，解得，t＝15（s）；②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′＝4t﹣180°，∠CQC'＝t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，即4t﹣180＝180﹣（45+t），解得，t＝63（s）；③当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∠BPB′＝4t﹣360°，∠CQC′＝t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t﹣360＝t+45，解得，t＝135（s）；综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．故答案为：15秒或63秒或135秒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．12．9【分析】根据平移的特点，可直接得出AC、DE、AD的长，利用EC=BC－BE可得出EC的长，进而得出阴影部分周长．【详解】∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，将△ABC沿BC方向平解析：9【分析】根据平移的特点，可直接得出AC、DE、AD的长，利用EC=BC－BE可得出EC的长，进而得出阴影部分周长．【详解】∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，将△ABC沿BC方向平移a cm∴DE=AB=3cm，BE=a cm∴EC=BC－BE=(4－a)cm∴阴影部分周长=2+3+(4－a)+a=9cm故答案为：9【点睛】本题考查平移的特点，解题关键是利用平移的性质，得出EC=BC－BE．13．【解析】【详解】作IF∥AB,GK∥AB,JH∥AB因为AB∥CD所以，AB∥CD∥ IF∥GK∥JH所以，∠IFG=∠FEC=10°所以，∠GFI=90°-∠IFG=80°所以，∠解析：【解析】【详解】作IF∥AB,GK∥AB,JH∥AB因为AB∥CD所以，AB∥CD∥ IF∥GK∥JH所以，∠IFG=∠FEC=10°所以，∠GFI=90°-∠IFG=80°所以，∠KGF=∠GFI=80°所以，∠HGK=150°-∠KGF=70°所以，∠JHG=∠HGK=70°同理，∠2=90°-∠JHG=20°所以，∠1=90°-∠2=70°故答案为70【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是关键，注意掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．14．70°【解析】【分析】从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线,根据，因与互为邻补角，则+=180°，从而求出∠BOD的大小.【详解】∵OE平解析：70°【解析】【分析】从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线,根据2COB EOB ∠=∠，因AOC ∠与COB ∠互为邻补角，则AOC ∠+COB ∠=180°，从而求出∠BOD 的大小.【详解】∵OE 平分∠COB ，∴∠COB=2∠EOB （角平分线的定义），∵∠EOB=55°，∴∠COB=110°，∵AOC ∠+COB ∠=180°，∴∠BOD=180°−110°=70°.故答案是：70°【点睛】此题主要考查了邻补角、角平分线的性质，关键是掌握邻补角互补.15．【解析】分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．详解：如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘，如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2解析：n 180︒【解析】分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．详解：如图①中,∠A 1+∠A 2=180∘=1×180∘， 如图②中,∠A 1+∠A 2+∠A 3=360∘=2×180∘， 如图③中,∠A 1+∠A 2+∠A 3+∠A 4=540∘=3×180∘， …，第n 个图, ∠A 1+∠A 2+∠A 3+…+∠A n+1学会从=n 180︒，故答案为180n ︒.点睛：平行线的性质.16．520【解析】因为AD ∥BC ，所以∠CEF=∠AFE=64°，∠DFE=180°-∠CEF=180°-64°=116°，由折叠得∠EFD=∠EFD′，所以∠EFD′=116°，所以∠GFD′=∠解析：520【解析】因为AD ∥BC ，所以∠CEF=∠AFE=64°，∠DFE=180°-∠CEF=180°-64°=116°，由折叠得∠EFD=∠EFD′，所以∠EFD′=116°，所以∠GFD′=∠EFD′-∠AFE=116°-64°=52°，故答案为52°.17．130°或50°【解析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，再根据一个角是50°，即可求得答案．解：∵两个角的两边分别平行，∴这两个角互补或相等，∵一个角是50°，∴另一个角是解析：130°或50°【解析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，再根据一个角是50°，即可求得答案．解：∵两个角的两边分别平行，∴这两个角互补或相等，∵一个角是50°，∴另一个角是130°或50°．故答案为：130°或50°．18．12【解析】如图，∵M、N是线段AB的三等分点，C是BN的中点，∴AM=MN，CN=CB，∴AM+CB=MN+CN=MC=6，∴AB=AM+MN+CN+CB=（AM+CB）+（MN+CN）解析：12【解析】如图，∵M、N是线段AB的三等分点，C是BN的中点，∴AM=MN，CN=CB，∴AM+CB=MN+CN=MC=6，∴AB=AM+MN+CN+CB=（AM+CB）+（MN+CN）=6+6=12（cm）.19．55或20【分析】根据平行线性质得出∠A+∠B＝180°①，∠A＝∠B②，求出∠A＝3∠B﹣40°③，把③分别代入①②求出即可．【详解】解：∵∠A与∠B的两边分别平行，∴∠A+∠B＝180解析：55或20【分析】根据平行线性质得出∠A+∠B ＝180°①，∠A ＝∠B②，求出∠A ＝3∠B ﹣40°③，把③分别代入①②求出即可．【详解】解：∵∠A 与∠B 的两边分别平行，∴∠A+∠B ＝180°①，∠A ＝∠B②，∵∠A 比∠B 的3倍少40°，∴∠A ＝3∠B ﹣40°③，把③代入①得：3∠B ﹣40°+∠B ＝180°，∠B ＝55°，把③代入②得：3∠B ﹣40°＝∠B ，∠B ＝20°，故答案为：55或20．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握由∠A 和∠B 的两边分别平行，即可得∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝180° ，注意分类讨论思想的应用．20．145【分析】由已知、角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小，从而得到∠AOF 的值．【详解】解：∵,∵OE 平分∠AOC，∴,∵OF⊥OE 于点O ，∴∠EOF＝90°，∴∠A解析：145【分析】由已知、角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小，从而得到∠AOF 的值．【详解】解：∵70180110AOD AOC AOD ∠=︒∴∠=︒-∠=︒，,∵OE 平分∠AOC ，∴1552AOE AOC ∠=∠=︒, ∵OF ⊥OE 于点O ，∴∠EOF ＝90°，∴∠AOF ＝∠AOE+∠EOF ＝55°+90°=145°，故答案为145．【点睛】本题考查邻补角、角平分线和垂直以及角度的运算等知识，根据有关性质和定义灵活计算是解题关键．三、解答题21．（1）35°；（2）见解析；（3）30°或65°或175°或210°【分析】(1)利用AB∥CD，得到∠B＝∠BFD，又∠B=∠EFB，由此得到∠EFB=∠BFD=12∠EFD=35°；(2)由(1)知∠EFB＝∠BFD，利用FH⊥FB，得到∠BFD＋∠DFH＝90°，∠EFB＋∠GFH＝90°，再由等角的余角相等得到∠DFH＝∠GFH即可求解；(3)按QH分别与△EBF的三边平行三种情况分类讨论即可．【详解】解：(1)AB∥CD，∴∠B＝∠BFD．∵∠EFB＝∠B，∴∠EFB=∠BFD=12∠EFD=35°，∴∠B＝35°，故答案为：35°；(2)∵FH⊥FB，∴∠BFD＋∠DFH＝90°，∠EFB＋∠GFH＝90°∵∠EFB＝∠BFD，由等角的余角相等可知，∴∠DFH＝∠GFH．∴FH平分∠GFD．(3)分类讨论：情况一：QH与△EFB的边BF平行时，如下图1和图4所示：当为图1时：∵BF与HQ平行，∴∠H+∠BFH=180°，又∠H=60°，∴∠BFH=120°，此时旋转角α=∠BFQ=120°-∠HFQ=120°-90°=30°，当为图4时：此时∠HFB=∠H=60°，旋转角α=∠1+∠2+∠3=360°-(∠HFB+∠HFQ)=360°-(60°+90°)=210°；情况二：QH与△EFB的边BE平行时，如下图2所示：此时∠1=∠3=35°，∠2=∠4=30°，∴旋转角α=∠BFQ=∠1+∠2=35°+30°=65°；情况三：QH与△EFB的边EF平行时，如下图3所示：此时∠3=∠Q=30°，∴旋转角α=∠BFQ=∠1+∠2+∠3=35°+110°+30°=175°，综上所述，旋转角α＝30°或65°或175°或210°．故答案为：α＝30°或65°或175°或210°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，周角的定义等，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．22．（1）∠APB＝∠NAP+∠HBP；（2）见解析；（3）∠HBP＝∠NAP+∠APB【分析】（1）过P点作PQ∥GH，根据平行线的性质即可求解；（2）过P点作PQ∥GH，根据平行线的性质即可求解；（3）根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解.【详解】解：（1）如图①，过P点作PQ∥GH，∵MN∥GH，∴MN∥PQ∥GH，∴∠APQ＝∠NAP，∠BPQ＝∠HBP，∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ，∴∠APB ＝∠NAP +∠HBP ，故答案为：∠APB ＝∠NAP+∠HBP ；（2）如图②，过P 点作PQ ∥GH ，∵MN ∥GH ，∴MN ∥PQ ∥GH ，∴∠APQ +∠NAP ＝180°，∠BPQ +∠HBP ＝180°，∵∠APB ＝∠APQ +∠BPQ ，∴∠APB ＝（180°﹣∠NAP ）+（180°﹣∠HBP ）＝360°﹣（∠NAP +∠HBP ）； （3）如备用图，∵MN ∥GH ，∴∠PEN ＝∠HBP ，∵∠PEN ＝∠NAP +∠APB ，∴∠HBP ＝∠NAP +∠APB.故答案为：∠HBP ＝∠NAP +∠APB.【点睛】此题考查了平行公理的推论：平行于同一条直线的两直线平行，以及平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟记定理是解题的关键.23．（1）145︒；（2）55︒;（3）2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠【分析】（1）过点F 作//FN AB ，根据AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°可计算NFG ∠，EFN ∠，从而求算BEF ∠；（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，由（1）知55,=35NFG EFN ∠=︒∠︒，从而求算35AEF EHL ∠=∠=︒，再根据90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒，利用外角求出MHL ∠，从而求算MQA ∠;（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒ 设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒，从而表示PGN ∠，进而寻找数量关系．【详解】（1）过点F 作//FN AB ，如图：∵AB ∥CD ，EF 垂直于FG ，∠FGD =125°∴55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒∴180145BEF EFN ∠=︒-∠=︒（2）作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ，如图：由（1）知：55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒ ∴35AEF EHL ∠=∠=︒又∵90EHM M ∠=∠+︒，设M x ∠=︒∴90EHM x ∠=︒+︒∴903555MHL x x ∠=︒+︒-︒=︒+︒∴5555MKH MQA MHL M x x ∠=∠=∠-∠=︒+︒-︒=︒（3）作//PI AB 交NG 于I ，连接NP ，GP ，FP ，如图：设SNP x ∠=︒ ，则NPI x ∠=︒设IPG y ∠=︒ ，则PGT y ∠=︒又∵125FGD ∠=︒∴125PGN y ∠=︒-︒∴2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠【点睛】本题考查平行线的性质综合，转化相关的角度是解题关键．24．（1）见详解；（2）见详解；（3）29.5°．【分析】（1）根据平行线的性即可A ACD ∠=∠，B BCE ∠=∠，再根据平角的定义进行等量代换即可证明；（2）因为根据平角的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；（3）根据平行线的性质得到119DEB ∠=︒，61AED ∠=︒，由角平分线的性质得到59.5DEF ∠=︒，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】（1）如图1所示，在ABC ∆中，//DE AB ，A ACD ∴∠=∠，B BCE ∠=∠．180ACD BCA BCE ∠+∠+∠=︒，180A B ACB ∴∠+∠+∠=︒．即三角形的内角和为180︒；（2）180AGF FGE ∠+∠=︒，由（1）知，180GEF F FGE ∠+∠+∠=︒，AGF AEF F ∴∠=∠+∠；（3）//AB CD ，119CDE ∠=︒，119DEB CDE ∴∠=∠=︒，18061AED CDE ∠=︒-∠=︒，∵EF 平分DEB ∠，59.5DEF ∴∠=︒，120.5AEF AED FED ∴∠=∠+∠=︒，150AGF ∠=︒，AGF AEF F ∠=∠+∠，150120.529.5F ∴∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理的证明与应用，三角形外角定理证明与应用，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键，此类题目每一步都为后续解题提供了解题条件或方法．25．(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；（2）①由三角形内角和定理可得90B C ∠+∠=︒，再由50C B ∠∠︒-=根据角的和差计算即可得∠C 的度数，进而得∠B 的度数．②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x 的代数式表示出∠FDE 、∠DFE 的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x 值即可．【详解】（1）由翻折的性质可得：∠E ＝∠B ，∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，∴∠DFE ＝90°，∴180°－∠BAC ＝180°－∠DFE ＝90°，即：∠B ＋∠C ＝∠E ＋∠FDE ＝90°，∴∠C ＝∠FDE ，∴AC ∥DE ，∴∠CAF ＝∠E ，∴∠CAF ＝∠E ＝∠B故与∠B 相等的角有∠CAF 和∠E ；∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，∴∠BAF ＋∠CAF ＝90°, ∠CFA ＝180°－（∠CAF ＋∠C ）＝90°∴∠BAF ＋∠CAF ＝∠CAF ＋∠C ＝90°∴∠BAF ＝∠C又AC ∥DE ，∴∠C ＝∠CDE ，∴故与∠C 相等的角有∠CDE 、∠BAF ；（2）①∵90BAC ∠=︒∴90B C ∠+∠=︒又∵50C B ∠∠︒-=，∴∠C ＝70°，∠B ＝20°;②∵∠BAD ＝x °, ∠B ＝20°则160ADB x ∠︒︒=-,20ADF x ∠︒︒=+,由翻折可知：∵160ADE ADB x ∠∠︒︒==-, 20E B ∠∠︒==,∴1402FDE x ∠︒︒=-, 202DFE x ∠︒︒=+,当∠FDE ＝∠DFE 时，1402202x x ︒︒︒︒-=+, 解得：30x ︒︒=；当∠FDE ＝∠E 时，140220x ︒︒︒-=，解得：60x ︒︒=（因为0＜x ≤45，故舍去）； 当∠DFE ＝∠E 时，20220x ︒︒︒+=，解得：0x ︒＝（因为0＜x ≤45，故舍去）； 综上所述，存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．且30x =．【点睛】本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．26．（1）∠MEN=∠AME+∠ENC ，见解析；（2）∠FEQ=15°；（3）∠BMN+∠GEK-m ∠GEH=180°．【分析】（1）过点E 作l ∥AB ，利用平行线的性质可得∠1=∠BME ，∠2=∠DNE ，由∠MEN=∠1+∠2，等量代换可得结论；（2）利用角平分线的性质可得∠NEF=12∠MEN，∠ENP=12∠END，由EQ∥NP，可得∠QEN=∠ENP=12∠ENC，由（1）的结论可得∠MEN=∠AME+∠ENC，等量代换得出结论；（3）由已知可得∠EMN=1m∠BMN，∠GEN=1m∠GEK，由EH∥MN，可得∠HEM=∠ENM=1m∠AMN，因为∠GEH=∠GEM-∠HEM，等量代换得出结论．【详解】解：(1)过点E作l∥AB，∵AB∥CD，∴l∥AB∥CD∴∠1=∠AME，∠2=∠CNE．∵∠MEN=∠1+∠2，∴∠MEN=∠AME+∠ENC；（2）∵EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，∴∠NEF=12∠MEN，∠ENP=12∠ENC．∵EQ∥NP，∴∠QEN=∠ENP=12∠ENC．由（1）可得∠MEN=∠AME+∠ENC，∴∠MEN-∠ENC=∠AME=30°．∴∠FEQ=∠NEF-∠NEQ=12（∠MEN-∠ENC）=12×30°=15°；(3)∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．理由如下：∵∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，∴∠EMN=1m∠AMN，∠GEM=1m∠GEK．∵EH∥MN，∴∠HEM=∠EMN=1m∠AMN．∵∠GEH=∠GEM-∠HEM=1m∠GEK-1m∠AMN，∴m∠GEH=∠GEK-∠AMN．∵∠BMN+∠AMN=180°，∴∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理以及角平分线的定义等知识点，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键．。

第4章相交线与平行线时间：2021.03.08 创作：欧阳与一、知识结构图余角余角补角补角角两线相交对顶角同位角相交线与平行线三线八角内错角同旁内角平行线的判定平行线平行线的性质尺规作图二、基本知识提炼整理（一）余角与补角1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。

2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。

3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。

4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：（1）00001290(180),1390(180),∠+∠=∠+∠=则23∠=∠(同角的余角或补角相等)。

（2）00001290(180),3490(180),∠+∠=∠+∠=且14,∠=∠则23∠=∠(等角的余角（或补角）相等)。

6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。

（二）对顶角1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。

2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

3、对顶角的性质：对顶角相等。

4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。

5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。

（三）同位角、内错角、同旁内角1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。

2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。

3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。

4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。

5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。