四川省绵阳市2017年高考数学二诊试卷理科解析版

2020年2020届四川省绵阳市高中2017级高三第二次诊断性考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}|0U x x =>,{}2|1x M x e e =<<,则U C M =（ ）A. ()1,2B. ()2,+∞C. (][)0,12,+∞D. [)2,+∞【答案】D【解析】 先确定集合M 的元素,再由补集定义求解．【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<,∴{|2}U C M x x =≥．故选：D ．2.已知i 为虚数单位,复数z 满足12z i i ⋅=+,则z =（ ）A. 2i -B. 2i +C. 12i -D. 2i -【答案】A【解析】由除法计算出复数z ． 【详解】由题意122i z i i +==-．故选：A ．3.已知两个力()11,2F =,()22,3F =-作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加上一个力3F ,则3F =（ ）A. ()1,5-B. ()1,5-C. ()5,1-D. ()5,1-【答案】A【解析】根据力的平衡条件下,合力为0,即可根据向量的坐标运算求得3F .【详解】根据力的合成可知()()()12+1,22,31,5F F =+-=-因为物体保持静止,即合力为0,则 123+0F F F +=即()31,5F =-故选:A4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间,计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察,由于时间关系,每个人只能选择一个景点,则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A. 18B. 14C. 38D. 12【答案】B【解析】 可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．【详解】两景点用1,2表示,三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ,甲1乙1丙2 ,甲1乙2丙1 ,甲2乙1丙1 ,甲2乙2丙1 ,甲2乙1丙2 ,甲1乙2丙2 ,甲2乙2丙2 共8种,其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种,所以概率为2184P ==． 故选：B ．5.已知α为任意角,则“1cos 23α=”是“sin 3α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件。

绵阳市2017年高中阶段学校招生统一考试数学模拟试卷（二模）本试卷分为试卷和答题卡两部分，其中试卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成，共6页；答题卡共6页。

满分：140分，120分钟完卷。

考试结束后将试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题，共36分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如果代数式13+-x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．3≥x 且1-≠x B.3>x 且1-≠x C.1->x D.3≥x 2．若下列选项中的图形均为正多边形，则哪一个图形恰有4条对称轴？（ ）A ． B． C ． D ．3．在亚欧商博会重点项目推介会暨签约仪式上，某公司和绵阳市政府正式签署了一个生态农牧产业园项目。

该项目计划总投资21.75亿元，计划自2017年起五年内分三期建设，把21.75亿元用科学计数法表示为（ ）．A ．2.175×108 元B ．2.175×107 元C ．2.175×109 元D ．2.175×106 元 4．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠的度数为（ ）． A ．75︒ B ．95︒ C ．105︒ D ．120︒ 5.下列各式计算正确的是（ ）．A ．2 · 3 = 6B ．33431163116=⋅=C ．53232333=+=+D ．a aa a a --=-⋅--=--111)1(11)1(2（＜1）6.由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（ ）．A．B．C．D．7．九年级一班和二班每班选8名同学进行投篮比赛，每名同学投篮10次，对每名同学投中的次数进行统计，甲说：“一班同学投中次数为6个的最多”乙说：“二班同学投中次数最多与最少的相差6个．”上面两名同学的议论能反映出的统计量是（）A．平均数和众数B．众数和极差C．众数和方差D．中位数和极差8．小张同学去展览馆看展览，该展览馆有2个验票口、（可进出），另外还有2个出口、（不许进）．小张不从同一个验票口进出的概率是多少（）A.21B.31C.41D.439. 某数学兴趣小组同学进行测量大树高度的综合实践活动，如图，在点处测得直立于地面的大树顶端的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡行走13米至坡顶处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点处，斜面的坡度（或坡比）=1：2.4，那么大树的高度约为（参考数据：36°≈0.59，36°≈0.81，36°≈0.73）（）A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米10．如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次2，4，6，…，2，…，请你探究出前行的点数和所满足的规律．若前行点数和为930，则=（）．A．29 B．30 C．31 D．3211．如图，将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为（）A．9 B．33-9C．235-9D．233-912.如图，在正方形中，点为对角线的中点，过点作射线、分别交、于点、，且∠=90°，、交于点．则下列结论中：（1）图形中全等的三角形只有两对；第9题11题图1第14题 （2）正方形的面积等于四边形面积的4倍；（3）BE+BF =错误！未找到引用源。

2017年四川省高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={x|x≤9，x∈N+}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，则∁U （A∪B）=（）A．{3}B．{7，8}C．{7，8，9}D．{1，2，3，4，5，6}2．已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．若，则=（）A．B．C．D．4．已知命题p，q是简单命题，则“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分有不必要条件5．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，若点P为CD的中点，且，则λ+μ=（）A．3 B．C．2 D．16．如图，是某算法的程序框图，当输出T＞29时，正整数n的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．57．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）A．B．C．D．8．已知数列{a n}满足a n=若对于任意的n∈N*都有a n＞a n，+1则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（，1）9．已知不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣]C．[，]D．[，+∞）10．如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，AB=BD，∠CBA=∠CBD=，则直线AD与平面BCD所成角的大小是（）A．B．C．D．11．椭圆的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF 是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．已知函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）和y=F （x）在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y=f（x）的“不动区间”．若区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（）A．（0，2]B．[，+∞）C．[，2] D．[，2]∪[4，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=．14．有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）．15．若等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=．16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos （A+）=．（1）求角A的大小；（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆借（还）书等待时间T1（分钟）12345频数1500 1000 500 500 1500乙图书馆借（还）书等待时间T2（分钟）12345频数100050020001250250以表中等待时间的学生人数的频率为概率．（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B ﹣DE﹣F的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN 分别交椭圆于A，B．（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（ii）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E 的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．2017年四川省高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={x|x≤9，x∈N+}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，则∁U （A∪B）=（）A．{3}B．{7，8}C．{7，8，9}D．{1，2，3，4，5，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简全集U，根据并集与补集的定义，写出运算结果即可．【解答】解：全集U={x|x≤9，x∈N+}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，A∪B={1，2，3，4，5，6}；∴∁U（A∪B）={7，8，9}．故选：C．2．已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+i）=1+3i，得，故选：A．3．若，则=（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用两角和的正弦公式求得要求式子的值．【解答】解：若，则cosα==，则=sinαcos+cosαsin=+=，故选：B．4．已知命题p，q是简单命题，则“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分有不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由“￢p是假命题”可得：p是真命题，可得“p∨q是真命题”．反之不成立．【解答】解：由“￢p是假命题”可得：p是真命题，可得“p∨q是真命题”．反之不成立，例如p是假命题，q是真命题．∴“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的必要不充分条件．故选：B．5．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，若点P为CD的中点，且，则λ+μ=（）A．3 B．C．2 D．1【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，可以得到的坐标表示，进而得到答案．【解答】解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图，则B（1，0），E（﹣1，1），∴=（1，0），=（﹣1，1），∵=（λ﹣μ，μ），又∵P是BC的中点时，∴=（1，），∴，∴λ=，μ=，∴λ+μ=2，故选：C6．如图，是某算法的程序框图，当输出T＞29时，正整数n的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟程序运行的结果，直到输出T的值大于29，确定最小的n值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环k=1，T=2第二次循环k=2，T=6；第三次循环k=3，T=14；第四次循环k=4，T=30；由题意，此时，不满足条件4＜n，跳出循环的T值为30，可得：3＜n≤4．故正整数n的最小值是4．故选：C．7．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=，再求出组成的五位数是偶数包含的基本事件个数m=，由此能求出组成的五位数是偶数的概率．【解答】解：从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，基本事件总数n=，组成的五位数是偶数包含的基本事件个数m=，∴组成的五位数是偶数的概率是p===．故选：D．8．已知数列{a n}满足a n=若对于任意的n∈N*都有a n＞a n，+1则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（，1）【考点】数列递推式．，可得＜0，【分析】，若对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1a5＞a6，0＜a＜1．解出即可得出．【解答】解：∵满足a n=，若对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，∴＜0，a5＞a6，0＜a＜1．∴a＜0， +1＞a，0＜a＜1，解得．故选：B．9．已知不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣]C．[，]D．[，+∞）【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，等价于不等式（sin cos+cos2﹣）min≥m对于x∈[﹣，]恒成立，令f（x）=sin cos+cos2﹣，求x∈[﹣，]的最小值即可．【解答】解：由题意，令f（x）=sin cos+cos2﹣，化简可得：f（x）=+（cos）==sin （）∵x∈[﹣，]∴∈[，]当=时，函数f（x）取得最小值为．∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．故选B．10．如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，AB=BD，∠CBA=∠CBD=，则直线AD与平面BCD所成角的大小是（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】如图所示，过点A在平面ABC内作AO⊥BC，垂足为点O，连接OD．根据三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，可得AO⊥平面BCD，AO⊥OD．因此∠ADO是直线AD与平面BCD所成的角．通过证明△OBA≌△OBD，即可得出．【解答】解：如图所示，过点A在平面ABC内作AO⊥BC，垂足为点O，连接OD．∵三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，∴AO⊥平面BCD，∴AO⊥OD．∴∠ADO是直线AD与平面BCD所成的角．∵AB=BD，∠CBA=∠CBD=，∴∠ABO=∠DBO，又OB公用，∴△OBA≌△OBD，∴∠BOD=∠AOB=．OA=OD．∴∠．故选：B．11．椭圆的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF 是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，作出椭圆的图象，分析可得A的坐标，将A的坐标代入椭圆方程可得+=1，①；结合椭圆的几何性质a2=b2+c2，②；联立两个式子，解可得c=（﹣1）a，由离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，如图，设F（0，c），又由△OAF是等边三角形，则A（，），A在椭圆上，则有+=1，①；a2=b2+c2，②；联立①②，解可得c=（﹣1）a，则其离心率e==﹣1；故选：A．12．已知函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）和y=F （x）在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y=f（x）的“不动区间”．若区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（）A．（0，2]B．[，+∞）C．[，2] D．[，2]∪[4，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】若区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，则函数f（x）=|2x ﹣t|和函数F（x）=|2﹣x﹣t|在[1，2]上单调性相同，则（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，进而得到答案．【解答】解：∵函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，∴F（x）=f（﹣x）=|2﹣x﹣t|，∵区间[1，2]为函数f（x）=|2x﹣t|的“不动区间”，∴函数f（x）=|2x﹣t|和函数F（x）=|2﹣x﹣t|在[1，2]上单调性相同，∵y=2x﹣t和函数y=2﹣x﹣t的单调性相反，∴（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，即1﹣t（2x+2﹣x）+t2≤0在[1，2]上恒成立，即2﹣x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，即≤t≤2，故选：C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=﹣32．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得AD=BD=5，即AB=10，再由勾股定理可得AC，再由•=﹣•，运用向量数量积的定义，计算即可得到所求值．【解答】解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，则•=﹣•=﹣||•||•cosA=﹣5×8×=﹣32．故答案为：﹣32．14．有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有②④（填写所有正确命题的编号）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用正方体中的线面、面面、线线位置关系进行判定．，【解答】解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④15．若等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=1﹣．【考点】数列的求和．【分析】等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，可得=2，解得a1．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，∴=2，解得a1=．∴a n==．∴=．则++…+=3×==1﹣．故答案为：1﹣．16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=1或4．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题意，可得A（，），AB⊥BF，所以（，﹣1）•（，﹣1）=0，即可求出p的值．【解答】解：由题意，可得A（，），AB⊥BF，∴（，﹣1）•（，﹣1）=0，∴﹣+1=0，∴p（5﹣p）=4，∴p=1或4．故答案为1或4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos （A+）=．（1）求角A的大小；（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用诱导公式和两角和与差公式化简即可求解角A的大小．（2）利用二倍角公式化简sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，利用正余弦定理即可求解b，c的大小．即可求解△ABC的面积．【解答】解：（1）sin（A﹣）﹣cos（A+）=sin（A﹣）﹣cos（2π﹣A）=sin（A﹣）﹣cos（A+）=sinA﹣cosA﹣cosA﹣sinA=即cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）由sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，由正弦定理，得b2=2c2，即．a=，cosA==，解得：c=1，b=∴△ABC的面积S=bcsinA=．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆12345借（还）书等待时间T1（分钟）频数1500 1000 500 500 1500乙图书馆12345借（还）书等待时间T2（分钟）频数100050020001250250以表中等待时间的学生人数的频率为概率．（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据已知可得T1，T2的分布列及其数学期望．（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．设T21，T22分别表示在乙图书馆借、还书所需等待时间，设事件B为“在乙图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T21+T22≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）根据已知可得T1的分布列：T1（分钟）12345P0.30.20.10.10.3T1的数学期望为：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．T2（分钟）12345P0.20.10.4 0.250.05T2的数学期望为：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．∴P（A）=0.3×0.3+0.3×0.2+0.3×0.1+0.2×0.3+0.2×0.2+0.1×0.3=0.31．设T21，T22分别表示在乙图书馆借、还书所需等待时间，设事件B为“在乙图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T21+T22≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．∴P（B）=0.2×0.2+0.2×0.1+0.2×0.4+0.1×0.2+0.1×0.1+0.4×0.2=0.25．∴P（A）＞P（B）．∴在甲图书馆借、还书更能满足他的要求．19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B ﹣DE﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】（1）证明DE∥AC，即可判断直线DE与平面ABC的位置关系；（2）BE，DF所成角的大小=二面角B﹣DE﹣F的大小，利用余弦定理，即可求解．【解答】解：（1）DE∥平面ABC．∵VC⊂平面VBC，DE⊥平面VBC，∴DE⊥VC，∵VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC，∵DE⊥VC，VC⊥AC，∴DE∥AC，∵DE⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC；（2）∵DE⊥平面VBC，∴DE⊥BE，DE⊥VB，∵D，F分别为VA，AB的中点，∴DF∥VB，∴DE⊥DF，∴BE，DF所成角的大小=二面角B﹣DE﹣F的大小．∵VC=2BC，∴VE=BC，VB=BC，∴BE=BC，∴cos∠VBE==，∴二面角B﹣DE﹣F的余弦值为．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN 分别交椭圆于A，B．（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（ii）求△OAB面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由离心率公式，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）（i）设直线AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，利用直线的点斜式方程，求得M和N点坐标，由=，利用韦达定理，化简当t=﹣2时，对任意的k 都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）；=丨S△OQA﹣S△OQB丨=丨x1﹣x2丨，由韦达定理，弦长公式，利用二次（ii）S△OAB函数的性质，即可求得△OAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e===，则a2=4b2，将P（2，1）代入椭圆，则，解得：b2=2，则a2=8，∴椭圆的方程为：；（Ⅱ）（i）当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y轴上，当M，N不是短轴的端点时，设直线AB的方程为y=kx+t，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由，（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8=0，则△=16（8k2﹣t2+2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，又直线PA的方程为y﹣1=（x﹣2），即y﹣1=（x﹣2），因此M点坐标为（0，），同理可知：N（0，），由=，则+=0，化简整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0，则（2﹣4k）×﹣（2﹣4k+2t）（﹣）+8t=0，化简整理得：（2t+4）k+（t2+t﹣2）=0，当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）；=丨S△OQA﹣S△OQB丨=丨丨OQ丨•丨x1丨﹣丨OQ丨（ii）由（i）可知：S△OAB•丨x2丨丨，=×2×丨x1﹣x2丨=丨x1﹣x2丨=，=4，=4，令4k2+1=u，则S△OAB=4≤2，即当=，u=4，即k=±时，等号成立，∴△OAB面积的最大值2．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）当a=1时，﹣2，由此利用导数的几何意义能求出函数f（x）的图象在x=1处的切线方程．（Ⅱ）由不等式f（x）≤1，得2a≥恒成立，令φ（x）=（x＞0），则φ′（x）=，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）由g（x）=f（x）+x2=，得，分类讨论求出a=，由x0f（x0）+1+ax02=﹣，令h（x）=﹣，x∈（0，1），则，利用构造法推导出h′（x）＜0，由此能证明x0f（x0）+1+ax02＞0．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣2x，则﹣2，x＞0，∴f（1）=﹣2，f′（1）=﹣1，∴函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y﹣（﹣2）=﹣（x﹣1），即x+y+1=0．（Ⅱ）不等式f（x）≤1，即lnx﹣2ax≤1，∴2ax≥lnx﹣1，∵x＞0，∴2a≥恒成立，令φ（x）=（x＞0），则φ′（x）=，当0＜x＜e2时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，当x＞e2时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，∴当x=e2时，φ（x）取得极大值，也为最大值，故φ（x）max=φ（e2）=，由2a≥，得a≥，∴实数a的取值范围是[，+∞）．（Ⅲ）证明：由g（x）=f（x）+x2=，得，①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意；②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x0和x′，∵x0为函数g（x）的极大值点，∴0＜x0＜x′，由=1，，知a＞1，0＜x0＜1，又由g′（x0）==0，得a=，∵=﹣，0＜x0＜1，令h（x）=﹣，x∈（0，1），则，令，x∈（0，1），则，当时，μ′（x）＞0，当时，μ′（x）＜0，∴μ（x）max=μ（）=ln＜0，∴h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1）=0，∴x0f（x0）+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由双曲线E的参数方程求出双曲线E的普通方程为．从而求出直线l在直角坐标系中的方程，由此能求出l的极坐标方程．（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l的交点（异于原点O），线段AF为圆C的直径，A是过F与l 垂直的直线与y轴的交点，从而C的半径为2，圆心的极坐标为（2，），由此能求出点P的极坐标．【解答】解：（1）∵双曲线E的参数方程为（θ为参数），∴，，∴==1，∴双曲线E的普通方程为．∴直线l在直角坐标系中的方程为y=，其过原点，倾斜角为，∴l的极坐标方程为．（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l的交点（异于原点O），∵AO⊥OF，∴线段AF为圆C的直径，由（Ⅰ）知，|OF|=2，又A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，∴∠AFO=，|AF|=4，于是圆C的半径为2，圆心的极坐标为（2，），∴圆C的极坐标方程为，此时，点P的极坐标为（4cos（），），即（2，）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）当a=﹣2时，分类讨论，即可求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，求出左边的最大值，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）≤2x+1为|x﹣2|﹣2x+3≤0．x≥2时，不等式化为x﹣2﹣2x+3≤0，即x≥1，∴x≥2；x＜2时，不等式化为﹣x+2﹣2x+3≤0，即x≥，∴≤x≤2，综上所述，不等式的解集为{x|x≥}；（2）x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，即|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，∵|a+a|﹣|x+1|≤|a﹣1|，∴|a﹣1|≤2a，∴．2017年4月3日。

输出S K=K+1a =a S =S +a ∙K 是否输入a S =0,K =1结束K ≤6开始2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国2卷)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =I ，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）ABCD11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.112.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绵阳市高中2017级第二次诊断性考试理科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集{}|0U x x =>，{}2|1x M x e e =<<，则U C M =（ ） A . ()1,2B . ()2,+∞C . (][)0,12,+∞UD . [)2,+∞2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =（ ） A . 2i - B . 2i + C . 12i -D . 2i -3. 已知两个力()11,2F =，()22,3F =-作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3F ，则3F =（ ） A . ()1,5-B . ()1,5-C . ()5,1-D . ()5,1-4. 甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A .18B .14C .38D .125. 已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin α=”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要6. 若51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含3x 项的系数为（ ）A . -80B . -10C . 10D . 807. 已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（ ） A . m 的值是20B . 该回归直线过点()2,22C . 产品的销售额与广告费用成正相关D . 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元8. 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）A .B . 2C .D . 39. 小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X ，则X 的期望为（ ） A . 1B . 2C . 3D . 410. 已知圆C ：2268410x y x y +---=，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥，则PC 的最大值为（ ）A . 8B .C . 4D . 11. 已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为（ ）A . 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B . ()0,2C . ()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭U D . ()2,+∞12. 函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A . 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B . [)3,+∞C . ()[)1,23,+∞UD . [)2,3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______.14. 法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数的平方和小于1的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.已知某同学一次试验统计出156m =，则其试验估计π为______.15. 函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.16. 过点()1,0M -的直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：5NA AF =u u u r，则ABF ∆与AMN ∆的面积之和的最小值是______. 三、解答题：共70分。

【关键字】数学．．．．．．．绵阳市高中．．．．级第二次诊断性考试．．．．．．．．．．．．．．2014数学（理工类）．．．．．．．第．Ⅰ．卷．一、选择题（本大题共．．．．．．．．．．．．．．．．．．．60．．分，在每小题给出的四个选项中，只．．．．．．．．．．12．．个小题，每小题．．．．．．．5．分，共有一项是符合题目要求的）．．．．．．．．．．．．1．、已知集合．．．．．．．,．，则A．．．B．．．C．．．D．．．2．、若复数满足是虚数单位），则的虚部为．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．．．B．．．C．．．D．．．3．、某校共有在职教师．．．人，初级教师．．．．．．．．．80．．人，现．．．．．．100．．．．．．．．．200．．．人，其中高级教师．．．．．．．．20．．人，中级教师采用分层抽样抽取容量为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．50．．的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为A．．．5 B．．．．．．12 C．．．．．D．．．254．、．“”．．是与直线垂直的．．．．．．．A．．充分不必要条件．．．．．．．．．．．．．．D．．既不充分也不必要．．．．．．．．B．．必要不充分条件．．．．．．．．C．．充要条件条件．．5．、某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间没有影．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．响，若每个项目成功都获利．．．．．．．．．．．．．5．万元，该公司三个投资项目．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．20．．万元，若每个项目失败都亏损获利的期望为．．．．．．A．．．30．．万元．．．万元．．．．D．．．7.5．．B．．．22.5．．C．．．10．．万元．．．．万元6．、宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“．松竹并生．．．．”．的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．则输出的等于．．．．．．A．．．2 B．．．．5 ．．．．．4 D．．．．3 C7．、若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．把这样的三位自然数定义为．．．．．．．．．．．．．．．．“．单重数．．．”．，例：，则不超过的．．．”．个数是．．．．．．．．“．单重数A．．．19 B．．．．．．．37．．．．．27 C．．．．．28 D8．、若点的直线与函数的图象交于．．．O．为坐标原点，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．、．B．两点，则．A．．．B．．．C．．．D．．．10．．9．、已知是函数的两个零点，则．．．．．．．．．．．．．A．．．B．．．C．．．D．．．10．．、设分别为双曲线的两个焦点，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．C．的一条渐近线上的两点，四边形为矩形，．．．．．．．．．．．．．．M．、．N．是双曲线A．为双曲线的一个顶点，若的面积为，则该双曲线的离心率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．．．3 B．．．．D．．．．．．．2 C11．．、已知点在椭圆上，过点作圆的切线，切点为．．．．．C．的左焦点．．．．F．，．．．．．AB．．恰好过椭圆．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．、．B．，若直线则的值是．．．．A．．．13 B．．．．D．．．16．．．．．14 C．．．．．1512．．、已知，若，则取得最小值时，所在的区间是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．．．B．．．C．．．D．．．第．Ⅱ．卷．二、填空题：本大题共．．．20．．分，把答案填在答题卷的横线上。

【最新整理，下载后即可编辑】2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．=++i1i 3A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2+D ．i 2-2． 设集合{}4 2 1，，=A ，{}042=+-=m x x B ，若{}1=B A ,则=B A ．{}3 1-，B. ．{}0 1， C ．{}3 1， D ．{}5 1，3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．π90 B ．π63 C ．π42 D ．π365．设y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+，，，0303320332y y x y x 则y x z +=2的最小值是 A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A ．12种B ．18种C ． 24种D ．36种理科数学试题 第1页（共4页）7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8．执行右面的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=SA ．2B ．3C ．4D ．59．若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．33210．已知直三棱柱111C B A ABC -中， 120=∠ABC , 2=AB , 11==CC BC , 则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．23B ．515 C ．510D ．33 11．若2-=x 是函数12)1()(--+=x e ax x x f 的极值点，则)(x f 的极小值为A ．1-B ．32--eC ．35-eD ．112．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(+⋅的最小值是A ．2-．34-D ．1-二、填空题：本题共5分，共20分。

绵阳市高2014级第二次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BACAB CCDAD CB 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．-1114．3215．5316．55三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解 ：（Ⅰ） 令n n n a a c -=+1，则n n c c -+1=(12++-n n a a )-(n n a a -+1)=1212=+-++n n n a a a （常数），2121=-=a a c ，故{a n +1-a n }是以2为首项，1为公差的等差数列． ………………………4分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知1+=n c n ， 即a n +1-a n =n +1， 于是11211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+-+-=-- 2)1(12)2()1(+=+++-+-+=n n n n n ， …………………………8分 故)111(2)1(21+-=+=n n n n a n ． ∴ S n =2(1-21)+2(21-31)+2(31-41)+…+)111(2+-n n =2(111+-n )=12+n n ． ………………………………………………………………12分 18．解：(Ⅰ) ∵a c 2=，∴ 由正弦定理有sin C =2sin A ． …………………………………………2分 又C =2A ，即sin2A =2sin A ，于是2sin A cos A =2sin A ， …………………………………………………4分 在△ABC 中，sin A ≠0，于是cos A =22， ∴ A =4π． ……………………………………………………………………6分(Ⅱ)根据已知条件可设21+=+==n c n b n a ，，，n ∈N *． 由C =2A ，得sin C =sin2A =2sin A cos A ，∴ acA C A 2sin 2sin cos ==． ……………………………………………………8分 由余弦定理得acbc a c b 22222=-+， 代入a ，b ，c 可得nn n n n n n 22)2)(1(2)2()1(222+=++-+++， ……………………………………………10分 解得n =4，∴ a =4，b =5，c =6，从而△ABC 的周长为15，即存在满足条件的△ABC ，其周长为15． ………………………………12分19．解：(Ⅰ)由已知有1765179181176174170=++++=x ，6656870666462=++++=y ，2222)176179()176181()176174()176170()6668)(176179()6670)(176181()6664)(176174()6662)(176170(ˆ-+-+-+---+--+--+--=b=3727≈0.73， 于是17673.066ˆˆ⨯-=-=b a=-62.48， ∴ 48.6273.0ˆˆˆ-=+=x a x b y．………………………………………………10分 (Ⅱ) x =185，代入回归方程得48.6218573.0ˆ-⨯=y=72.57， 即可预测M 队的平均得分为72.57． ………………………………………12分 20．解：(Ⅰ) 设椭圆C 的焦半距为c ，则c =6，于是a 2-b 2=6．由12222=+b y a c ，整理得y 2=b 2(1-22a c )=b 2×222a c a -= 24a b ，解得y =a b 2±，∴ 222=ab ，即a 2=2b 4， ∴ 2b 4-b 2-6=0，解得b 2=2，或b 2=-23（舍去），进而a 2=8， ∴ 椭圆C 的标准方程为12822=+y x ． ……………………………………4分 (Ⅱ)设直线PQ ：1+=ty x ，)()(2211y x Q y x P ，，，．联立直线与椭圆方程：⎪⎩⎪⎨⎧+==+，，112822ty x y x消去x 得：072)4(22=-++ty y t ， ∴ y 1+y 2=422+-t t ，y 1y 2=472+-t ． ………………………………………7分于是482)(22121+=++=+t y y t x x ， 故线段PQ 的中点)444(22+-+t tt D ，． ………………………………………8分 设)1(0y N ，-， 由NQ NP =，则1-=⋅PQ ND k k ，即t t t t y -=+--++4414220，整理得4320++=t t t y ，得)431(2++-t t t N ，． 又△NPQ 是等边三角形，∴ PQ ND 23=，即2243PQ ND =， 即]474)42)[(1(43)44()144(22222222+-⋅-+-+=+++++t t t t t t t t ， 整理得22222)4(8424)144(++=++t t t ， 即222222)4(8424)48(++=++t t t t ， 解得102=t ，10±=t ， …………………………………………………11分 ∴ 直线l 的方程是0110=-±y x ． ………………………………………12分 21．解：(Ⅰ)222221)(xm x x x m x f -=+-='， ……………………………………1分 ①m ≤0时，)(x f '>0，)(x f 在)0(∞+，上单调递增，不可能有两个零点． …………………………………………………………2分②m >0 时，由0)(>'x f 可解得m x 2>，由0)(<'x f 可解得m x 20<<， ∴ )(x f 在)20(m ，上单调递减，在)2(∞+，m 上单调递增，于是)(x f min =)2(m f =12ln 212-+m m m ， ……………………………………4分 要使得)(x f 在)0(∞+，上有两个零点， 则12ln 212-+m m m <0，解得20em <<，即m 的取值范围为)20(e，． ………………………………………………5分(Ⅱ)令x t 1=，则11ln 21)1(--=x x m x f 1ln 2--=t mt ， 由题意知方程1ln 2--t mt =0有两个根t 1，t 2， 即方程tt m 22ln +=有两个根t 1，t 2，不妨设t 1=11x ，t 2=21x ．令tt t h 22ln )(+=，则221ln )(t t t h +-='， 由0)(>'t h 可得e t 10<<，由0)(<'t h 可得et 1>， ∴ )10(e t ，∈时，)(t h 单调递增，)1(∞+∈，et 时，)(t h 单调递减．故结合已知有 t 1>e1>t 2>0． ……………………………………………………8分要证e x x 21121>+，即证et t 221>+，即e t e t 1221>->． 即证)2()(21t eh t h -<． …………………………………………………………9分令)2()()(x eh x h x --=ϕ，下面证0)(<x ϕ对任意的)10(ex ，∈恒成立．22)2(21)2ln(21ln )2()()(x ex e x x x e h x h x ----+--=-'+'='ϕ．………………………10分 ∵ )10(ex ，∈，∴ 22)2(01ln x ex x -<>--，，∴ )(x ϕ'22)2(21)2ln()2(21ln x e x e x e x ----+--->=2)2(22)2(ln x ee x x --+--． ∵ )2(x e x -<221]2)2([ex e x =-+，∴ )(x ϕ'>0，∴ )(x ϕ在)10(e ，是增函数，∴ )(x ϕ<)1(eϕ=0，∴ 原不等式成立．……………………………………………………………12分22．解：(Ⅰ)消去参数得1322=+y x ． …………………………………………5分（Ⅱ）将直线l 的方程化为普通方程为0323=++y x ． 设Q (ααsin cos 3，)，则M (ααsin 211cos 23+，)， ∴ 233)4sin(26232sin 233cos 23++=+++=παααd ，∴ 最小值是4636-．………………………………………………………10分 23．解：(Ⅰ) 当t =2时，21)(-+-=x x x f ．若x ≤1，则x x f 23)(-=，于是由2)(>x f 解得x <21．综合得x <21． 若1<x <2，则1)(=x f ，显然2)(>x f 不成立 ． 若x ≥2，则32)(-=x x f ，于是由2)(>x f 解得x >25．综合得x >25． ∴ 不等式2)(>x f 的解集为{x | x <21，或x >25}． …………………………5分 （Ⅱ）)(x f ≥x a +等价于a ≤f (x )-x ．令g (x )= f (x )-x ． 当-1≤x ≤1时，g (x )=1+t -3x ，显然g (x )min =g (1)=t -2． 当1<x <t 时，g (x )=t -1-x ，此时g (x )>g (1)=t -2． 当t ≤x ≤3时，g (x )=x -t -1，g (x )min =g (1)=t -2． ∴ 当x ∈[1，3]时，g (x )min = t -2． 又∵ t ∈[1，2]，∴ g (x )min ≤-1，即a ≤-1．综上，a 的取值范围是a ≤-1． ……………………………………………10分。

3 2⎪⎩2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国 2 卷)一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

3 + i 1. 1+ i = （） A. 1+ 2iB. 1- 2iC.2 +iD.2 -i2.设集合 A = {1, 2, 4}， B = {x x 2 - 4x + m = 0}．若 A B = {1}，则B = （） A ．{1,-3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1, 5}3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1 盏 B ．3 盏 C ．5 盏 D ．9 盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A ． 90B ． 63C ． 42D ． 36⎧2x + 3y - 3 ≤ 05. 设 x ， y 满足约束条件⎨2x - 3y + 3 ≥ 0 ，则 z = 2x + y 的最小值是（）⎪ y + 3 ≥ 0 A ． -15 B ． -9 C ．1 D ． 96. 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 则不同的安排方式共有（）A ．12 种B ．18 种C ．24 种D ．36 种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的 a = -1 ，则输出的 S = （）A ．2B ．3C ．4D ．5x 2 y 2 2 产产产产 a 9. 若双曲线C : a 2 - = 1（ a > 0 ， b > 0 ）的一条渐近线被圆(x - 2) + y 2 = 4 所 b截得的弦长为 2，则C 的离心率为（） 2 3 A ．2B ．C ．D ． 310.已知直三棱柱 AB C - A 1B 1C 1 中， ∠AB C = 120 ， AB = 2 ， B C = CC 1 = 1，则异面直线AB 1 与B C 1 所成角的余弦值为（）K ≤6 产 产S =S +a∙K a = a K=K+1产 产 S产 产S =0,K =1 2产 产 产 产25 30 35 40 45 50 55 60 65 70A.3 B.15 C.10 D.3 255311. 若 x = -2 是函数 f (x ) = (x 2 + ax -1)e x -1`的极值点，则 f (x ) 的极小值为（）A. -1B. -2e -3C. 5e -3D.112. 已知∆ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则PA ⋅ (PB + PC ) 的最小值是（）A. -2B. - 2C. - 4 3D. -1二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

3 2⎪⎩2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国 2 卷)一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

3 + i 1. 1+ i = （） A. 1+ 2iB. 1- 2iC.2 +iD.2 -i2.设集合 A = {1, 2, 4}， B = {x x 2 - 4x + m = 0}．若 A B = {1}，则B = （） A ．{1,-3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1, 5}3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1 盏 B ．3 盏 C ．5 盏 D ．9 盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A ． 90B ． 63C ． 42D ． 36⎧2x + 3y - 3 ≤ 05. 设 x ， y 满足约束条件⎨2x - 3y + 3 ≥ 0 ，则 z = 2x + y 的最小值是（）⎪ y + 3 ≥ 0 A ． -15 B ． -9 C ．1 D ． 96. 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 则不同的安排方式共有（）A ．12 种B ．18 种C ．24 种D ．36 种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的 a = -1 ，则输出的 S = （）A ．2B ．3C ．4D ．5x 2 y 2 2 产产产产 a 9. 若双曲线C : a 2 - = 1（ a > 0 ， b > 0 ）的一条渐近线被圆(x - 2) + y 2 = 4 所 b截得的弦长为 2，则C 的离心率为（） 2 3 A ．2B ．C ．D ． 310.已知直三棱柱 AB C - A 1B 1C 1 中， ∠AB C = 120 ， AB = 2 ， B C = CC 1 = 1，则异面直线AB 1 与B C 1 所成角的余弦值为（）K ≤6 产 产S =S +a∙K a = a K=K+1产 产 S产 产S =0,K =1 2产 产 产 产25 30 35 40 45 50 55 60 65 70A.3 B.15 C.10 D.3 255311. 若 x = -2 是函数 f (x ) = (x 2 + ax -1)e x -1`的极值点，则 f (x ) 的极小值为（）A. -1B. -2e -3C. 5e -3D.112. 已知∆ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则PA ⋅ (PB + PC ) 的最小值是（）A. -2B. - 2C. - 4 3D. -1二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

省市2017年高考数学二诊试卷(理科) (解析版)一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60 分)1.已知集合A={x€ Z|x>2} , B={x| (x— 1)(x — 3)v 0}，则A G B=( )A. ?B. {2}C. {2, 3}D. {x|2<x< 3}2．若复数z 满足( 1+i) z=i( i 是虚数单位)，则z 的虚部为( )A．B．—C．i D．—3．某校共有在职教师200 人，其中高级教师20 人，中级教师100 人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为( )A．25 B．20 C．12 D．54. “a=1是直线l i: ax+ (a—1) y -仁0 与直线b:(a —1) x+ (2a+3) y—3=0 垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利20 万元，若每个项目失败都亏损 5 万元，该公司三个投资项目获利的期望为( )A. 30 万元B. 22.5 万元C. 10 万元D. 7.5 万元6. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a, b分别为5, 2，则输出的n等于( )A. 2B. 3C. 4D. 57•若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为单重数”例：112,232,则不超过200的单重数”个数是( )A. 19B. 27C. 28D. 378. 过点P (2, 1)的直线I与函数f (x)=的图象交于A, B两点，0为坐标原点，则=( )A. B. 2 C. 5 D. 109. 已知cos a sin是函数f (x) =«- tx+t (t € R)的两个零点，则sin2 a ( )A. 2-2B. 2-2C.- 1D. 1 -10 .设F1, F2分别为双曲线C：的两个焦点，M， N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△ AMN的面积为，则该双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C.D.11. 已知点P (- 2,)在椭圆C: +=1 (a>b>0)上，过点P作圆C: x2+y2=2 的切线，切点为A,B,若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F,则a2+b2的值是( )A. 13B. 14C. 15D. 1612. 已知f (x) =e x, g (x) =lnx,若 f (t) =g (s),则当s-1 取得最小值时，f (t)所在区间是( )A.( ln2, 1)B.(, ln2)C. (,)D.(,)二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)13. () 5的展开式的常数项为_•14. 已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为 _____ .15. 已知直线mx - y+m+2=0 与圆C i ：( x+1) 2+ (y-2) 2=1 相交于A，B 两点，点P是圆C2：(x- 3) 2+y2=5上的动点，则△ PAB面积的最大值是_____ .16. 已知抛物线C：y2=4x，焦点为F,过点P (- 1，0)作斜率为k (k>0)的直线I 与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M， N两点，若+=18，则k= .三、解答题(共5小题，满分60分)17. ( 12 分)数列｛&｝中，a n+2- 2a n+1+&=1 (n€ N*)，內=1, &=3..(1)求证：｛a n+1- a n｝是等差数列；(2)求数列｛｝的前n项和S n.18. ( 12分)已知在△ ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,且a v bv c, C=2A(1)若c=a,求角A；(2)是否存在厶ABC恰好使a, b, c是三个连续的自然数？若存在，求△ ABC 的周长；若不存在，请说明理由.19. ( 12分)2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，阻值方统计了来自A1, A2, A3, A4, A5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：单位A1A2A3A4A平均身高x (单位：170174176181179cm)平均得分y6264667068(1)根据表中数据，求y关于x的线性回归方程；(系数精确到0.01)(2)若M队平均身高为185cm, 根据(I) 中所求得的回归方程，预测M队的平均得分(精确到0.01)注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，．20. ( 12分)已知椭圆C:的右焦点F (),过点F作平行于y轴的直线截椭圆C所得的弦长为.( 1)求椭圆的标准方程；(2)过点(1, 0)的直线I交椭圆C于P, Q两点，N点在直线x=- 1上，若△ NPQ是等边三角形，求直线I的方程.21. (12 分)已知函数f (x) =+Inx- 1 (m€ R)的两个零点为x i, X2 (x i v x?).( 1 )数m 的取值围；(2)求证：+ >.[ 选修4-4:坐标系与参数方程]22. ( 10分)已知曲线C的参数方程是(a为参数)( 1 )将 C 的参数方程化为普通方程；(2)在直角坐标系xOy中，P (0, 2),以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线I的极坐标方程为p cosdO p sin+2=0, Q为C上的动点，求线段PQ 的中点M到直线I的距离的最小值.[ 选修4-5:不等式选讲]23. 已知函数f (x) =|x- 1|+| x- t| (t € R)( 1)t=2 时，求不等式f( x)> 2 的解集；(2)若对于任意的t €[1 , 2] , x€ [ - 1, 3] , f (x)> a+x恒成立，数a的取值围.2017 年省市高考数学二诊试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60 分)1.已知集合A={x€ Z|x>2} , B={x| (x— 1)(x — 3)v 0}，则A G B=( )A. ?B. {2}C. {2, 3}D. {x|2<x< 3}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B,根据交集的定义写出A n B即可.【解答】解：集合A={X€ Z|x>2},B={x| (x—1)(x—3)v0}={x|1v x v3},则A n B={2}．故选：B.【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目.2 .若复数z满足(1+i) z=i (i是虚数单位)，则z的虚部为( )A. B.—C. i D.—【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由(1+i) z=i,得，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z,则答案可求.【解答】解：由( 1+i) z=i,得=,则z 的虚部为：.故选：A.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算, 考查了复数的基本概念, 是基础题.3. 某校共有在职教师200 人,其中高级教师20 人,中级教师100 人,初级教师80人,现采用分层抽样抽取容量为50 的样本进行职称改革调研,则抽取的初级教师的人数为( )A．25 B．20 C．12 D．5【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：•••初级教师80人，•••抽取一个容量为50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为，解得n=20，即初级教师人数应为20人，故选：B．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．4. “a=1是直线l i: ax+ (a- 1) y-仁0 与直线I2:(a- 1) x+ (2a+3) y-3=0 垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分必要条件的定义以及直线的垂直关系判断即可.【解答】解：若直线l1：ax+(a- 1) y- 1=0与直线l2：(a- 1) x+ (2a+3) y-3=0 垂直，则：a(a- 1) +(a- 1)( 2a+3) =0，解得：a=1 或- 1，故“a=1是直线l i: ax+ (a- 1) y-仁0 与直线12：(a - 1) x+ (2a+3) y- 3=0 垂直”的充分不必要条件，故选: A.【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线的垂直关系，是一道基础题.5. 某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利20 万元，若每个项目失败都亏损 5 万元，该公司三个投资项目获利的期望为( )A. 30 万元B. 22.5 万元C. 10 万元D. 7.5 万元【考点】离散型随机变量的期望与方差.【分析】设该公司投资成功的个数为X,则X〜B•进而得出.【解答】解：设该公司投资成功的个数为X,则X〜B.•-E( X)==.•••该公司三个投资项目获利的期望==22.5万元.故选：B.【点评】本题考查了二项分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6 •宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5, 2，则输出的n等于( )A. 2B. 3C. 4D. 5【考点】程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：112，232，则不超过200 的“单重数”个数是( ) A．19 B．27 C．28 D．37【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据“单重数”的定义，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：由题意，不超过200，两个数字一样为0，有 2 个，两个数字一样为1，110，101，112，121，113，131，114，141，115，151，116，161，117，171，118，181，119，191，有18 个，两个数字一样为2，122，有一个，同理两个数字一样为3，4，5，6，7，8，9，各 1 个，综上所述，不超过200 的“单重数”个数是2+18+8=28，故选C．【点评】本题考查合情推理，考查计数原理的运用，正确分类讨论是关键．8•过点P(2, 1)的直线I与函数f (x)=的图象交于A, B两点，0为坐标原点，则=( )A．B．2 C．5 D．10 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】f (x) ==1+,可得函数f (x)=的图象关于点P (2, 1)对称，过点P (2,1)的直线I与函数f (x)=的图象交于A, B两点，A, B两点关于点P (2, 1) 对称? =即可．【解答】解：f (x) ==1+,•••函数f (x)=的图象关于点P (2, 1)对称，•••过点P (2, 1)的直线I与函数f (x)二的图象交于A, B两点，A, B两点关于点P (2, 1)对称，二，则=，|| =，.•.则=2X 5=10.故选：D．点评】本题考查了函数的对称性及向量的运算，属于中档题.9.已知cos a sin 是函数f (x))=X- tx+t (t € R)的两个零点，则sin2 a = )A. 2-2B. 2-2C.- 1D. 1 -【考点】三角函数的化简求值；函数的零点与方程根的关系.【分析】通过韦达定理可求sin a cos a =, sin a cos a,=利用sin2a+coS2a =1则可得答案.【解答】解：••• cos a sin o是函数f (x)衆-tx+t (t € R)的两个零点，. sin a+cos a =t sin a cos a =t由sin2a+cos2a =1，得(sin +cos a) 2- 2sin a COS a,=即卩t2- 2t=1，解得t=.. sin2a =2sin a cos a =.2t= 故选：A.【点评】本题考查三角函数化简求值，注意同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，是基础题.10 .设F1, F2分别为双曲线C:的两个焦点，M, N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△ AMN的面积为，则该双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C.D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】设M (x，x)，由题意，| MO|=c，则x=a,. M (a，b)，利用△ AMN 的面积为，建立方程，即可求出双曲线的离心率.【解答】解：设M (x，x)，由题意，| MO| =c，则x=a，. M (a，b)，•••△ AMN的面积为，4a2 (c2- a2) =C4,e4- 4e2+4=0,••• e=.故选D．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.11. 已知点P (- 2,)在椭圆C：+=1 (a>b>0)上，过点P作圆C: x2+y2=2 的切线，切点为A,B,若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F,则a2+b2的值是( )A. 13B. 14C. 15D. 16【考点】椭圆的简单性质.【分析】由题意，以OP为直径的圆的方程为(x+1) 2+ (y-) 2=,与圆C：x2+y2=2 相减，可得直线AB的方程，求出c,再利用点P (-2,)在椭圆C: +=1 (a> b>0) 上，求出ai2=8, b2=7,即可求出ai2+b2的值.【解答】解：由题意，以OP为直径的圆的方程为(x+1) 2+ (y-) 2=.与圆C：x2+y2=2相减，可得直线AB的方程为2x- y+2=0,令y=0,可得x=- 1 ,• c=1,T =1,. a?=8, b2=7,. a2+b2=8+7=15,故选C.【点评】本题考查椭圆的方程与性质, 考查直线与圆的位置关系, 考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.12. 已知f (x) =e x, g (x) =lnx,若 f (t) =g (s),则当s-1 取得最小值时，f(t)所在区间是( )A.( ln2, 1)B.(, ln2)C.(,)D.(,)【考点】指数函数的图象与性质.【分析】求出s- t=e a- lna,(a>0)，令h (a) =e a-，求出h (a)的最小值，验证即可.【解答】解：令 f (t) =g (s) =a,即&=|ns=a>0,••• t=lns, s=e a,••• s- t=e a- Ina, (a>0),令h (a) =e a-,则h' (a) =e a-,••• y=e a递增，y=递减，故存在唯一a=aj使得h' (a) =0,0v a v a o时，e a v, h' (a)v0,a>a o时，e a>, h' (a)>0,--h ( a) min=h (a0),即s- t取最小值是时，f (t) =a=a j,由零点存在定理验证-=0的根的围：a0=时，-v 0,a0=ln2 时，-> 0,故a°€(, In2),故选：B.【点评】本题考查了函数的零点问题，考查函数的单调性以及导数的应用，是一道中档题.二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)13. (x2+1)() 5的展开式的常数项为 -11 . 【考点】二项式定理的应用.【分析】把()5按照二项式定理展开，可得(x2+1)() 5的展开式的常数项.【解答】解：由于(x2+1)() 5= («+1)(- +- +- 1),故展开式的常数项为-10-仁-11,故答案为：-11.【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题.14. 已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为 _____ .【考点】相互独立事件的概率乘法公式.【分析】至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人能译出密码的概率.【解答】解：甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码，•••至少有1人能译出密码的概率：P=1—( 1-)( 1-)=.故答案为：.【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用.15. 已知直线mx - y+m+2=0 与圆Ci ：(x+1) 2+ (y- 2) 2=1 相交于A，B两点，点P是圆C2：( x- 3) 2+y2=5上的动点，则△ PAB面积的最大值是3 .【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由题意，直线恒过定点(-1, 2)，即卩C1圆的圆心，|AB=2,圆心C2 到直线mx-y+m+2=0的最大距离为=2,可得P到直线mx- y+m+2=0的最大距离为3,即可求出厶PAB面积的最大值.【解答】解：由题意，直线恒过定点(-1，2)，即G圆的圆心，|AB|=2圆心C2到直线mx-y+m+2=0的最大距离为=2，•P到直线mx-y+m+2=0的最大距离为3，•△ PAB面积的最大值是3=3，故答案为3.【点评】本题考查直线过定点，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积的计算，属于中档题.16. 已知抛物线C：y2=4x，焦点为F,过点P (- 1，0)作斜率为k (k>0)的直线I与抛物线C交于A, B两点，直线AF, BF分别交抛物线C于M , N两点，若+=18，则k= ____ .【考点】直线与抛物线的位置关系.【分析】由题意，图形关于x轴对称，A, B, P三点共线，可得=.由焦半径公式| AF| =x i+1=| NF| ,|| BF| =x2+1=| MF| , +=+=18,（y i+y2）2=20y i y2，再利用韦达定理，即可得出结论.【解答】解：由题意，图形关于x轴对称，A, B, P三点共线，可得=.由焦半径公式| AF =x i+1=| NF| , || BF =x2+1=| MF| ,+=+=18,.・.（y1 +y2）2=20y1y2,由，可得ky2- 4y+4k=0,.y1+y2=, y1y2=4,. =80,■/ k> 0,. k=.故答案为.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.三、解答题（共5小题，满分60分）17. （12分）（2017?模拟）数列｛a n｝中，a n+2 -2a n+1+a n=1 （n € N*） , a1=1, &=3..（1）求证：｛a n+1- a n｝是等差数列；（2）求数列｛｝的前n项和S n.【考点】数列的求和.【分析】（1 ）令C n=3n+1 —a n,通过C h+1 —C n=1，说明｛ a n+1 —a n｝是以2为首项，1 为公差的等差数列.（2）由（1）知C n=n+1，求出a n,化简==2 （—）.禾U用裂项求和求解即可.【解答】解：（1）证明：令C n=a n+1 —an ,则C n+1 —C n= （a n+2 —a n+1）—（a n+1 —a n）=a n+2 —2a n+1 +a n=1 （常数），C1=a2—a1, =2,故｛a n+1 —a n｝是以2为首项，1为公差的等差数列. •••（4分）（2）由（1）知c n=n+1，即a n+1 —a n=n+1,于是a n= (a n—a n-1) — ( an-1 - a n-2) +••+ (a2 —a i) +a i ==n+(n- 1) +-+2+1=, ••• (8分)故==2(-)．••• S n=2 (1 —) +2 ( — ) +2( — ) +-+2 (—)=2(1-)=．•(12分)【点评】本题考查数列求和，等差数列的判断，考查计算能力．18. ( 12分)(2017?模拟)已知在△ ABC中，角A, B, C所对的边分别为a,b, c，且a v b v c, C=2A(1)若c=a,求角A;(2)是否存在厶ABC恰好使a, b, c是三个连续的自然数？若存在，求△ ABC 的周长；若不存在,请说明理由．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】(1)由正弦定理有sinC=sinA又C=2A利用倍角公式可求2sinAcosA=sinA 结合sinA z 0,可得cosA=即可得解A的值.(2)设a=n, b=n+1, c=n+2, n€ N* .由已知利用二倍角公式可求cosA=,由余弦定理得二，解得n=4,求得a, b, c的值，从而可求△ ABC的周长.【解答】 (本题满分为12 分)解：(1)v c=a,•••由正弦定理有sinC=sinA ••- (2分)又C=2A 即sin2A=sinA于是2sinAcosA=sinA …(4 分)在厶ABC中，sinA z 0,于是cosA=,•A=. …( 6 分)(2)根据已知条件可设a=n, b=n+1 , c=n+2, n € N* .由C=2A 得sinC=sin2A=2sinAcosA•cosA=. …( 8 分) 由余弦定理得=，代入a，b，c 可得：=,…（10分）解得n=4，••• a=4, b=5, c=6,从而△ ABC的周长为15,即存在满足条件的△ ABC其周长为15. •••（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.19. （12 分）（2017?模拟）2016 年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，阻值方统计了来自A1，A2, A3, A4, A5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：单位A1A2A3A4A5平均身高x （单位：170174176181179 cm)平均得分y62646670681 ）根据表中数据，求y 关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01)2）若M 队平均身高为185cm，根据（I）中所求得的回归方程，预测M 队的平均得分（精确到0.01）注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，. 【考点】线性回归方程.【分析】（1）求出样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，得到线性回归方程；（2）当x=185代入回归直线方程，即可预测M队的平均得分. 【解答】解：（1）由已知有=176，=66，=~0.73, =- 62.48,••• y=0.73x- 62.48.…（10 分）（2）x=185,代入回归方程得y=0.73X 185 - 62.48=72.57,即可预测M队的平均得分为72.57. •••（12分）【点评】本题考查采用最小二乘法，求线性回归方程及线性回归方程的简单应用，考查计算能力，属于基础题．20. ( 12分)(2017?莫拟)已知椭圆C:的右焦点F (),过点F作平行于y 轴的直线截椭圆C所得的弦长为.( 1)求椭圆的标准方程；(2)过点(1, 0)的直线I交椭圆C于P, Q两点，N点在直线x=- 1上，若△ NPQ是等边三角形，求直线I的方程.【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程.【分析】(I )设椭圆C的焦半距为c,则c=，于是a2- b2=6 .把x=c代入椭圆的标准方程可得：y=,即=，联立解出即可得出.(U)设直线PQ： x=ty+1, P (X1, y1), Q (x?, y2).联立直线与椭圆方程可得：(t2+4) y2+2ty - 7=0,利用一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质即可得出.【解答】解：(I)设椭圆C的焦半距为c,则c=，于是a2- b2=6. 把x=c代入椭圆的标准方程可得：=1,整理得y2=b2(1 -)=，解得y=,•••=，即a2=2b4,••• 2b4- b2- 6=0,解得b2=2,或b2=-(舍去)，进而a2=8,•椭圆C的标准方程为+=1.(U)设直线PQ: x=ty+1 , P (X1, y1), Q (X2, y2).联立直线与椭圆方程：，消去x得：(t2+4) y2+2ty - 7=0,•y1+y2=-，y1y2=.于是x1+x2=t( y1+y2) +2=，故线段PQ的中点D.设N (- 1, y0)，由| NP| =| NQ|，则k ND?k PC F- 1,即=-t，整理得y0=t+,得N.又厶NPQ是等边三角形，•| ND| =| PQ| ,即,即+=,整理得=,解得t2=10，t=，•••直线I的方程是x-仁0.【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题.21. (12分)(2017?模拟)已知函数f(x) =+In x- 1 ( m€ R)的两个零点为x i,X2 ( X1V x2).( 1 )数m 的取值围；(2)求证：+ >.【考点】函数零点的判定定理.【分析】(1)求导数，分类讨论，利用函数f (x) =+lnx- 1 (m€ R)的两个零点，得出In2m -v 0，即可数m的取值围；(2)由题意方程m=有两个根为t1 , t2,不妨设t1 = , t2=,要证明+>,即证明t1+t2 >，即证明h (t1)v h (- t2).令(x) =h (x)- h (- x),证明© (x)v 0对任意x€( 0,)恒成立即可.【解答】(1)解：f (x)=.①m W 0, f( x)> 0, f (幻在(0, +x)上单调递增，不可能有两个零点；②m> 0, f'( x)> 0 可解得x> 2m, f'( x)v 0 可解得0v x v 2m,• f (x)在(0, 2m)上单调递减，在(2m, +^)上单调递增，•f( x) min =f(2m) =In2m-,由题意, In2m-v 0,•0v m v；( 2)证明：令t=, f() =mt- 2Int- 1=0,由题意方程m=有两个根为t1, t2,不妨设t1=, t2=.令h (t)=，则h' (t)=-,令h'(t)>0,可得0v t v,函数单调递增；h' (t)v0,可得t>，函数单调递减.由题意, t1>> t2> 0,要证明+>,即证明t1+t2>，即证明h (t1)v h (- t2).令© (x) =h (X)—h (-x),下面证明© (x)V 0对任意x€( 0,)恒成立，© '(X)=+,••• x€( 0,),lnx- 1 >0, x2v,••• ©'(x)>> 0,••• © (x)在(0,)上是增函数，• © (x)v © () =0,.原不等式成立．【点评】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明．难度大．[ 选修4-4：坐标系与参数方程]22. ( 10分)(2017?莫拟)已知曲线C的参数方程是(a为参数)(1)将C的参数方程化为普通方程；(2)在直角坐标系xOy中，P (0, 2),以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线I的极坐标方程为p cos Op sin+2=0, Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线I的距离的最小值.【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程.【分析】(1)消去参数，将C的参数方程化为普通方程；(2)将直线I的方程化为普通方程为x+y+2=0.设Q (cos a sin a , J则M (cos a,1+sin )禾U用点到直线的距离公式，即可求线段PQ的中点M到直线I的距离的最小值.【解答】解：(1)消去参数得，曲线C的普通方程得=1. …( 2)将直线I 的方程化为普通方程为x+y+2=0.设Q (cos o, sin ),贝U M (cos o^, 1+sin ),. d==,.最小值是. …( 10 分)点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化,考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．[ 选修4-5 ：不等式选讲]23. (2017?模拟)已知函数f(x) =|x—1|+|x —t| (t € R)(1)t=2时，求不等式f (x)> 2的解集；(2)若对于任意的t €[1，2]，x€ [ - 1, 3] , f (x)> a+x恒成立，数a的取值围. 【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题.【分析】(1)通过讨论x的围，去掉绝对值解关于x的不等式，求出不等式的解集即可；(2)问题等价于a<f (x)- x，令g (x) =f (x)- x，求出g (x)的最小值，从而求出 a 的围即可.【解答】解：(1)当t=2 时，f (x) =|x- 1|+| x-2|，若x< 1，则f (x) =3- 2x，于是由f (x)>2，解得x v，综合得x v；若1 v x v 2，则f (x) =1，显然f (x)>2不成立；若x>2，则f (x) =2x- 3，于是由f (x)>2，解得x>，综合得x> •••不等式f (x)> 2的解集为{x| x v，或x>}.(2) f (x)> a+x 等价于a< f (x)- x，令g (x) =f (x)- x，当-1 < x< 1 时，g (x) =1+t - 3x，显然g (x) min=g ( 1 ) =t - 2，当1 v x v t 时，g (x) =t- 1 - X，此时g (x)>g ( 1) =t- 2，当t < x< 3 时，g (x) =x- t - 1，g (x) min=g ( 1) =t - 2，•••当x€ [1，3]时，g ( x) min=t- 2，又••• t € [1, 2]，• - g ( x) min W- 1，即a W- 1，综上，a的取值围是a w - 1.【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题.。

2017年四川省绵阳市高考二诊数学理一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1.已知集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|(x-1)(x-3)＜0}，则A∩B=( )A.∅B.{2}C.{2，3}D.{x|2≤x＜3}解析：集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|(x-1)(x-3)＜0}={x|1＜x＜3}，则A∩B={2}.答案：B.2.若复数z满足(1+i)z=i(i是虚数单位)，则z的虚部为( )A.1 2B.1 2 -C.1 2 iD.1 2i -解析：由(1+i)z=i，得()()()1111 111222i ii iz ii i i-+=+++-＝＝＝，则z的虚部为：1 2 .答案：A.3.某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为( )A.25B.20C.12D.5解析：∵初级教师80人，∴抽取一个容量为50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为80200＝n50，解得n=20，即初级教师人数应为20人，答案：B.4.“a=1”是“直线l1：ax+(a-1)y-1=0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y-3=0垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若直线l1：ax+(a-1)y-1=0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y-3=0垂直，则：a(a-1)+(a-1)(2a+3)=0，解得：a=1或-1，故“a=1”是“直线l1：ax+(a-1)y-1=0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y-3=0垂直”的充分不必要条件. 答案：A.5.某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为12，且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利20万元，若每个项目失败都亏损5万元，该公司三个投资项目获利的期望为( )A.30万元B.22.5万元C.10万元D.7.5万元解析：设该公司投资成功的各数为X，则X～B(3，1 2 ).∴()13322E X=⨯=.∴该公司三个投资项目获利的期望=32×(20-5)=22.5万元.答案：B6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b 分别为5，2，则输出的n等于( )A.2B.3C.4D.5解析：当n=1时，152a =，b=4，满足进行循环的条件， 当n=2时，454a =，b=8满足进行循环的条件， 当n=3时，1358a =，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，40516a =，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n 值为4. 答案：C.7.若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：112，232，则不超过200的“单重数”个数是( ) A.19 B.27 C.28 D.37解析：由题意，不超过200，两个数字一样为0，有2个，两个数字一样为1，110，101，112，121，113，131，114，141，115，151，116，161，117，171，118，181，119，191，有18个， 两个数字一样为2，122，有一个，同理两个数字一样为3，4，5，6，7，8，9，各1个， 综上所述，不超过200的“单重数”个数是2+18+8=28. 答案：C.8.过点P(2，1)的直线l 与函数()2324x f x x +=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OP OB OP ⋅+⋅=( )B.C.5 D.10解析：()7232=1242x f x x x +=+--，∴函数()2324x f x x +=-的图象关于点P(2，1)对称，∴过点P(2，1)的直线l 与函数()2324x f x x +=-的图象交于A ，B 两点，A ，B 两点关于点P(2，1)对称，∴=2OA OB OP +，则()22OA OP OB OP OP OA OB OP ⋅+⋅=⋅+＝，22OP =∴则=25=10OA OP OB OP ⋅+⋅⨯.答案：D.9.已知cos α，sin α是函数f(x)=x 2-tx+t(t ∈R)的两个零点，则sin2α=( )A.2-B.21D.1解析：∵cos α，sin α是函数f(x)=x 2-tx+t(t ∈R)的两个零点， ∴sin α+cos α=t ，sin αcos α=t ， 由sin 2α+cos 2α=1，得(sin α+cos α)2-2sin αcos α=1，即t 2-2t=1，解得t=1，或t=1+舍).∴sin2α=2sin αcos α=2t=2-答案：A.10.设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-＝(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，M ，N 是双曲线C 的一条渐近线上的两点，四边形MF 1NF 2为矩形，A 为双曲线的一个顶点，若△AMN 的面积为212c ，则该双曲线的离心率为( )A.3B.2解析：设M(x ，bx a )，由题意，|MO|=c ，则x=a ，∴M(a ，b)， ∵△AMN 的面积为212c ，∴21124a b c ⋅⋅＝， ∴4a 2(c 2-a 2)=c 4， ∴e 4-4e 2+4=0，∴. 答案：D.11.已知点P(-2，142)在椭圆C ：22221x y a b+＝(a ＞b ＞0)上，过点P 作圆C ：x 2+y 2=2的切线，切点为A ，B ，若直线AB 恰好过椭圆C 的左焦点F ，则a 2+b 2的值是( )A.13B.14C.15D.16解析：由题意，以OP 为直径的圆的方程为()2215148x y ⎛++-= ⎝⎭. 与圆C ：x 2+y 2=2相减，可得直线AB 的方程为220x y -+=， 令y=0，可得x=-1，∴c=1，∵227421a b+=，∴a 2=8，b 2=7， ∴a 2+b 2=8+7=15， 答案：C.12.已知f(x)=e x ，g(x)=lnx ，若f(t)=g(s)，则当s-t 取得最小值时，f(t)所在区间是( ) A.(ln2，1) B.(12，ln2) C.(113e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，)D.112e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解析：令f(t)=g(s)=a ，即e t =lns=a ＞0， ∴t=lna ，s=e a ，∴s-t=e a -lna ，(a ＞0)， 令h(a)=e a -lna ，()1a h a e a'=-∵y=e a 递增，1y a=递减， 故存在唯一a=a 0使得h ′(a)=0，0＜a ＜a 0时，1a e a＜，h ′(a)＜0， a ＞a 0时，1a e a＞，h ′(a)＞0， ∴h(a)min =h(a 0)，即s-t 取最小值是时，f(t)=a=a 0， 由零点存在定理验证0010ae a -=的根的范围： 012a =时，0010ae a -＜，a0=ln2时，0010ae a -＞， 故a 0∈(12，ln2)， 答案：B.二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)13. ()52111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为____.解析：由于()()5225432115101051111x x x x xx x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故展开式的常数项为-10-1=-11.答案：-11.14.已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为12和13，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为____. 解析：甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为12和13， 现让他们独立地破译这种密码，至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码， ∴至少有1人能译出密码的概率：112111233p ⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.答案：23.15.已知直线mx-y+m+2=0与圆C 1：(x+1)2+(y-2)2=1相交于A ，B 两点，点P 是圆C 2：(x-3)2+y 2=5上的动点，则△PAB 面积的最大值是____.解析：由题意，直线恒过定点(-1，2)，即C 1圆的圆心，|AB|=2 圆心C 2到直线mx-y+m+2=0=∴P 到直线mx-y+m+2=0的最大距离为 ∴△PAB面积的最大值是1235352⨯⨯=. 答案：.16.已知抛物线C ：y 2=4x ，焦点为F ，过点P(-1，0)作斜率为k(k ＞0)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，直线AF ，BF 分别交抛物线C 于M ，N 两点，若18AF BFFM FN +=，则k=____. 解析：由题意，图形关于x 轴对称，A ，B ，P 三点共线，可得121211y yx x =++. 由焦半径公式|AF|=x 1+1=|NF|，||BF|=x 2+1=|MF|， ∴122118AF BF y yFM FN y y +=+=，∴(y 1+y 2)2=20y 1y 2， 由()241y x y k x ⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝，可得ky 2-4y+4k=0， ∴124y y k +=，y 1y 2=4，∴21680k=， ∵k ＞0，∴k =三、解答题(共5小题，满分60分)17.数列{a n }中，a n+2-2a n+1+a n =1(n ∈N*)，a 1=1，a 2=3. (1)求证：{a n+1-a n }是等差数列； (2)求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和S n . 解析：(1)令c n =a n+1-a n ，通过c n+1-c n =1，说明{a n+1-a n }是以2为首项，1为公差的等差数列. (2)由(1)知c n =n+1，求出a n ，化简()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭.利用裂项求和求解即可.答案：(1)证明：令c n =a n+1-a n ，则c n+1-c n =(a n+2-a n+1)-(a n+1-a n )=a n+2-2a n+1+a n =1(常数)， c 1=a 2-a 1=2，故{a n+1-a n }是以2为首项，1为公差的等差数列. (2)由(1)知c n =n+1，即a n+1-a n =n+1，于是a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1==n+(n-1)+…+2+1=()12n n +， 故()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭. ∴111111121222223341n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） =1211n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=21nn +.18.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ，C=2A.(1)若c =，求角A ；(2)是否存在△ABC 恰好使a ，b ，c 是三个连续的自然数？若存在，求△ABC 的周长；若不存在，请说明理由.解析：(1)由正弦定理有s i n 2s i n C A =，又C=2A ，利用倍角公式可求2s i nc o 2s i n A A A =，结合sinA ≠0，可得cos 2A =，即可得解A 的值. (2)设a=n ，b=n+1，c=n+2，n ∈N*.由已知利用二倍角公式可求sin cos 2sin 2C cA A a=＝，由余弦定理得()()()()2221222122n n n n n n n+++-+=++，解得n=4，求得a ，b ，c 的值，从而可求△ABC 的周长.答案：(1)∵c =，∴由正弦定理有sin C A =.又C=2A ，即sin 2A A =，于是2sin cos A A A =，在△ABC 中，sinA ≠0，于是cos A =， ∴4A π=.(2)根据已知条件可设a=n ，b=n+1，c=n+2，n ∈N*. 由C=2A ，得sinC=sin2A=2sinAcosA ， ∴sin cos 2sin 2C cA A a=＝.由余弦定理得22222b c a cbc a+-=，代入a ，b ，c 可得：()()()()2221222122n n n n n n n+++-+=++， 解得n=4，∴a=4，b=5，c=6，从而△ABC 的周长为15， 即存在满足条件的△ABC ，其周长为15.19. 2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，组织方统计了来自A 1，A 2，A 3，A 4，A 5等5个直属单位的男子篮球队的(1)根据表中数据，求y 关于x 的线性回归方程；(系数精确到0.01)(2)若M 队平均身高为185cm ，根据(1)中所求得的回归方程，预测M 队的平均得分(精确到0.01)注：回归当初y bx a +＝中斜率和截距最小二乘估计公式分别为()()()121ni ni xi x yi y b xi x ---∑∑＝＝＝，a y bx -＝.解析：(1)求出样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，得到线性回归方程； (2)当x=185代入回归直线方程，即可预测M 队的平均得分. 答案：(1)由已知有x =176，y =66，()()()121270.7337ni ni xi x yi y b xi x--=≈-∑∑＝＝＝，62.48a y bx -=＝， ∴y=0.73x-62.48.(2)x=185，代入回归方程得y=0.73×185-62.48=72.57， 即可预测M 队的平均得分为72.57.20.已知椭圆C ：22221x y a b+＝(a ＞b ＞0)的右焦点，0)，过点F 作平行于y 轴的直线截椭圆C .(1)求椭圆的标准方程；(2)过点(1，0)的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，N 点在直线x=-1上，若△NPQ 是等边三角形，求直线l 的方程.解析：(Ⅰ) 设椭圆C 的焦半距为c ，则c=6，于是a 2-b 2=6.把x=c 代入椭圆的标准方程可得：2b y a =±，即222b a=，联立解出即可得出. (Ⅱ)设直线PQ ：x=ty+1，P(x1，y1)，Q(x2，y2).联立直线与椭圆方程可得：(t 2+4)y 2+2ty-7=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质即可得出. 答案：(Ⅰ)设椭圆C 的焦半距为c ，则，于是a 2-b 2=6.把x=c 代入椭圆的标准方程可得：22221c y a b +＝，整理得2422221c b y b a a⎛⎫⎪⎭= ⎝=-，解得2b y a=±，∴22b a=，即a 2=2b 4， ∴2b 4-b 2-6=0，解得b 2=2，或232b =-(舍去)，进而a 2=8， ∴椭圆C 的标准方程为22182x y +=. (Ⅱ)设直线PQ ：x=ty+1，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2). 联立直线与椭圆方程：22148x ty x y +⎧⎨+⎩＝＝，消去x 得：(t 2+4)y 2+2ty-7=0，∴12224t y y t +=-+，12274y y t -=+. 于是()12122824x x t y y t +=++=+， 故线段PQ 的中点22444t D t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，. 设N(-1，y 0)，由|NP|=|NQ|，则k ND ·k PQ =-1， 即0224414ty t t t ++=---+，整理得0234t y t t =++，得N(-1，234t t t ++). 又△NPQ 是等边三角形，∴ND =，即2234ND PQ ＝， 即()222222224432711444444[]t t t t t t t t --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+⎝⎭， 整理得()2222228248444t t t t ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=++， 解得t 2=10，t=∴直线l 的方程是x21.已知函数()1ln 12m f x x x =+-(m ∈R)的两个零点为x 1，x 2(x 1＜x 2). (1)求实数m 的取值范围；(2)求证：12112x x e+＞. 解析：(1)求导数，分类讨论，利用函数()1ln 12m f x x x =+-(m ∈R)的两个零点，得出112022ln m -＜，即可求实数m 的取值范围； (2)由题意方程ln 22t m t+=有两个根为t 1，t 2，不妨设111t x =，221t x =，要证明12112x x e +＞，即证明122t t e +＞，即证明h(t 1)＜h(2e -t 2).令φ(x)=h(x)-h(2e-x)，证明φ(x)＜0对任意x ∈(0，1e)恒成立即可.答案：(1)()222x m f x x -'=. ①m ≤0，f ′(x)＞0，f(x)在(0，+∞)上单调递增，不可能有两个零点；②m ＞0，f ′(x)＞0可解得x ＞2m ，f ′(x)＜0可解得0＜x ＜2m ，∴f(x)在(0，2m)上单调递减，在(2m ，+∞)上单调递增，∴()()min 112ln 222f x f m m ==-， 由题意，112022ln m -＜， ∴0＜m ＜2e ； (2)证明：令t=1x ，11ln 102f mt t x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 由题意方程ln 22t m t+=有两个根为t 1，t 2，不妨设111t x =，221t x =. 令h(t)=ln 22t t +，则h ′(t)=212lnt t+-， 令h ′(t)＞0，可得0＜t ＜1e ，函数单调递增；h ′(t)＜0，可得t ＞1e，函数单调递减. 由题意，t 1＞1e ＞t 2＞0， 要证明12112x x e +＞，即证明122t t e +＞，即证明h(t 1)＜h(2e-t 2). 令φ(x)=h(x)-h(2e-x)， 下面证明φ(x)＜0对任意x ∈(0，1e )恒成立， ()222ln 1ln 1222x x e x x x e ϕ-----'=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵x ∈(0，1e)， ∴-lnx-1＞0，222x x e ⎛-⎫ ⎪⎝⎭＜， ∴()22ln 2022x x e x x e ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ --+⎝--⎪⎭'＞＞，∴φ(x)在(0，1e)上是增函数，∴φ(x)＜φ(1e)=0，∴原不等式成立.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C的参数方程是sinxyαα⎧⎪⎨⎪⎩＝(α为参数)(1)将C的参数方程化为普通方程；(2)在直角坐标系xOy中，P(0，2)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin0ρθθ+=，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值.解析：(1)消去参数，将C的参数方程化为普通方程；(2)将直线l的方程化为普通方程为0x++=.设Q(cosα，sinα)，则M11sin22αα⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，，利用点到直线的距离公式，即可求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值.答案：(1)消去参数得，曲线C的普通方程得2213xy+=.(2)将直线l的方程化为普通方程为0x++=.设cosα，sinα)，则M11sin2αα⎫+⎪⎪⎝⎭，，∴d==，∴最小值是6364-.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x-1|+|x-t|(t∈R)(1)t=2时，求不等式f(x)＞2的解集；(2)若对于任意的t∈[1，2]，x∈[-1，3]，f(x)≥a+x恒成立，求实数a的取值范围.解析：(1)通过讨论x的范围，去掉绝对值解关于x的不等式，求出不等式的解集即可；(2)问题等价于a≤f(x)-x，令g(x)=f(x)-x，求出g(x)的最小值，从而求出a的范围即可.答案：(1)当t=2时，f(x)=|x-1|+|x-2|，若x≤1，则f(x)=3-2x，于是由f(x)＞2，解得x＜12，综合得x＜12；若1＜x＜2，则f(x)=1，显然f(x)＞2不成立；若x≥2，则f(x)=2x-3，于是由f(x)＞2，解得x＞52，综合得x＞52∴不等式f(x)＞2的解集为{x|x＜12，或x＞52}.(2)f(x)≥a+x等价于a≤f(x)-x，令g(x)=f(x)-x，当-1≤x≤1时，g(x)=1+t-3x，显然g(x)min=g(1)=t-2，当1＜x＜t时，g(x)=t-1-x，此时g(x)＞g(1)=t-2，当t≤x≤3时，g(x)=x-t-1，g(x)min=g(1)=t-2，∴当x∈[1，3]时，g(x)min=t-2，又∵t∈[1，2]，∴g(x)min≤-1，即a≤-1，综上，a的取值范围是a≤-1.。