2020届四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)(有答案)

2020年2020届四川省绵阳市高中2017级高三第二次诊断性考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}|0U x x =>,{}2|1x M x e e =<<,则U C M =（ ）A. ()1,2B. ()2,+∞C. (][)0,12,+∞D. [)2,+∞【答案】D【解析】 先确定集合M 的元素,再由补集定义求解．【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<,∴{|2}U C M x x =≥．故选：D ．2.已知i 为虚数单位,复数z 满足12z i i ⋅=+,则z =（ ）A. 2i -B. 2i +C. 12i -D. 2i -【答案】A【解析】由除法计算出复数z ． 【详解】由题意122i z i i +==-．故选：A ．3.已知两个力()11,2F =,()22,3F =-作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加上一个力3F ,则3F =（ ）A. ()1,5-B. ()1,5-C. ()5,1-D. ()5,1-【答案】A【解析】根据力的平衡条件下,合力为0,即可根据向量的坐标运算求得3F .【详解】根据力的合成可知()()()12+1,22,31,5F F =+-=-因为物体保持静止,即合力为0,则 123+0F F F +=即()31,5F =-故选:A4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间,计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察,由于时间关系,每个人只能选择一个景点,则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A. 18B. 14C. 38D. 12【答案】B【解析】 可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．【详解】两景点用1,2表示,三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ,甲1乙1丙2 ,甲1乙2丙1 ,甲2乙1丙1 ,甲2乙2丙1 ,甲2乙1丙2 ,甲1乙2丙2 ,甲2乙2丙2 共8种,其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种,所以概率为2184P ==． 故选：B ．5.已知α为任意角,则“1cos 23α=”是“sin 3α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件。

2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U ＝{x|x >0}，M ＝{x|1<e x <e 2}，则∁U M ＝（ ） A.(1, 2) B.(2, +∞) C.(0, 1]∪[2, +∞) D.[2, +∞)2.已知i 为虚数单位，复数z 满足z ⋅i ＝1+2i ，则z 的共轭复数为（ ） A.2−i B.2+i C.l −2i D.i −23.已知两个力F 1→=(1, 2)，F 2→=(−2, 3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F 3→，F 3→=() A.(1, −5) B.(−1, 5) C.(5, −1) D.(−5, 1)4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A.18 B.14C.38D.125.已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinα=√33”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要6.若(ax −1x )5的展开式中各项系数的和为l ，则该展开式中含x 3项的系数为（ ） A.−80 B.−10 C.10 D.807.己知某产品的销售额_y 与广告费用x 之间的关系如表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y对x的回归直线方程为y＝6.5x+9，则下列说法中错误的是（）A.产品的销售额与广告费用成正相关B.该回归直线过点(2, 22)C.当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D.m的值是208.双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB（O为坐标原点）的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A.√2B.2C.√3D.39.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x，则X的期望为（）A.1B.2C.3D.410.已知圆C:x2+y2−6x−8y+9＝0，点M，N在圆C上，平面上一动点P 满足|PM|＝|PN|且PM⊥PN，则|PC|的最大值为（）A.8B.8√2C.4D.4√211.己知f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝xcosx−sinx+13x3，则满足不等式f(log2m)+f(log12m)<2f (1)的实数m的取值范围为（）A.( 12, 2) B.(0, 2) C.(0, 12)∪(1, 2) D.(2, +∞)12.函数f(x)＝(2ax−1)2−log a(ax+2)在区间[0, 1a]上恰有一个零点，则实数a的取值范围是（）A.( 13, 12) B.(1, 2]∪[3, +∞)C.(1, 2)∪[3, +∞) D.[2, 3)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行，则实数a 的值是________．14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法一一随机投针法．受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于l 的正实数对(x, y)；再统计两数的平方和小于l 的数对(x, y)的个数m ，最后再根据统计数m 来估计π的值，已知某同学一次试验统计出m ＝156，则其试验估计π为________．15.函数y ＝sin(ωx +φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示，则f(x)在区间[−π, π]上的零点之和为________．16.过点M(−1, 0)的直线，与抛物线C:y 2＝4x 交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：NA →=5AF →，则△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查：该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t （小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m．（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．2×2列联表附表：．其中：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)18.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a2＝0，S6＝24．各项均为正数的等比数列{b n}满足b1+b2＝a4+1，b3＝S4．（1）求a n和b n；（2）求和：T n＝1+(1+b1)+(1+b1+b2)+...+(1+b1+b2+...+b n−1)．19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知(sinA+sinB)(a−b)＝c(sinC+sinB)．（1）求A；（2）若D为BC边上一点，且AD⊥BC，BC＝2√3AD，求sinB．20.已知椭圆C:x 22+y 2=1，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．(l)若点P(−1, 1)满足OA ¯+OB ¯+OP ¯=0→（O 为坐标原点），求弦AB 的长； 若直线l 的斜率不为0且过点(2, 0)，M 为点A 关于x 轴的对称点，点N(n, 0)满足MN ¯=λNB ¯，求n 的值．21.己知函数f(x)＝2lnx +12x 2−ax ，其中a ∈R ． （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）设函数f(x)有两个极值点x 1，x 2（其中x 2>x 1），若f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题申任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{x =1+rcosφy =rsinφ （r >0，φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1经过点P(2, π3)，曲线C 2的直角坐标方程为x 2−y 2＝1． （1）求曲线C 1的普通方程，曲线C 2的极坐标方程；（2）若A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C2上两点，当α∈(0, π4)时，求1|OA|2+1|OB|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知关于x的不等式|x+1|−|2x−1|≤log12a，其中a>0．（1）当a＝4时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U ＝{x|x >0}，M ＝{x|1<e x <e 2}，则∁U M ＝（ ） A.(1, 2) B.(2, +∞) C.(0, 1]∪[2, +∞) D.[2, +∞)【解答】∵U ＝{x|x >0}，M ＝{x|0<x <2}， ∴∁U M ＝[2, +∞)．2.已知i 为虚数单位，复数z 满足z ⋅i ＝1+2i ，则z 的共轭复数为（ ） A.2−i B.2+i C.l −2i D.i −2【解答】∵z ⋅i ＝1+2i ，∴z =1+2i i=(1+2i)i i 2=2−i ，∴z 的共轭复数为：2+i ，3.已知两个力F 1→=(1, 2)，F 2→=(−2, 3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F 3→，F 3→=() A.(1, −5) B.(−1, 5) C.(5, −1) D.(−5, 1)【解答】根据题意可知−F 3＝F 1+F 2＝(1, 2)+(−2, 3)＝(−1, 5)，则F 3＝(1, −5)， 4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A.18 B.14C.38D.12【解答】甲、乙、丙三人每人有2种选择，共有23＝8种情况， 甲，乙，丙三人去同一景点有2种情况，故甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为14， 5.已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinα=√33”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要【解答】若cos2α=13，则cos2α＝1−sin 2α，sinα=±√33，则cos2α=13”是“sinα=√33”的不充分条件； 若sinα=√33，则cos2α＝1−sin 2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sinα=√33”的必要条件；综上所述：“cos2α=13”是“sinα=√33”的必要不充分条件． 6.若(ax −1x )5的展开式中各项系数的和为l ，则该展开式中含x 3项的系数为（ ） A.−80 B.−10 C.10 D.80【解答】对于(ax −1x )5的展开式，令x ＝1，可得展开式中各项系数的和为(a −1)5＝l ，∴a ＝2．∴(ax −1x )5＝(2x −1x )5，故展开式中的通项公式为T r+1=C 5r⋅(−1)r ⋅25−r ⋅x 5−2r ，令5−2r ＝3，求得r ＝1，可得该展开式中含x 3项的系数−C 51⋅24＝−80，7.己知某产品的销售额_y 与广告费用x 之间的关系如表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为y ＝6.5x +9，则下列说法中错误的是（ ） A.产品的销售额与广告费用成正相关 B.该回归直线过点(2, 22)C.当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D.m 的值是20 【解答】由线性回归方程y ＝6.5x +9，可知产品的销售额与广告费用成正相关，故A 正确；x¯=0+1+2+3+45=2，y¯=10+15+m+30+355=90+m5，代入y＝6.5x+9，得90+m5=6.5×2+9，解得m＝20，故D正确；y¯=90+m5=90+205=22，则该回归直线过点(2, 22)，故B正确；取x＝10，得y＝6.5×10+9＝74，说明当广告费用为10万元时，销售额预计为74万元，故C错误．8.双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB（O为坐标原点）的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A.√2B.2C.√3D.3【解答】双曲线x 2a −y2b=1(a>0, b>0)的右焦点为F(c, 0)，设OA的方程为bx−ay＝0，OB的方程为bx+ay＝0，过F平行于OA的直线FB的方程为y=ba(x−c)，平行于OB的直线FA的方程为y=−ba(x−c)，可得平行线OA和BF的距离为√22=b，由{bx−ay=0bx+ay−bc=0可得x=12c，y=bc2a，即A(12c, bc2a)，则平行四边形OAFB的面积为S＝b√14c2+b2c24a2=bc，化为b2＝3a2，则e=ca =√1+b2a2=√1+3=2．9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x，则X的期望为（）A.1B.2C.3D.4【解答】3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x，则X的可能取值为0，1，2，3，4，设其他两位同学为a，b，小明为c，列表得共有8种情况，小明得1分结果有6种情况，，∴小明每局每得分的概率P=34)，∴X∼B(4, 34=3．∴E(X)＝4×3410.已知圆C:x2+y2−6x−8y+9＝0，点M，N在圆C上，平面上一动点P 满足|PM|＝|PN|且PM⊥PN，则|PC|的最大值为（）A.8B.8√2C.4D.4√2【解答】根据题意，若平面上一动点P满足|PM|＝|PN|，又由|CM|＝|CN|，则PC为线段MN的垂直平分线，设MN的中点为G，|NG|＝n，|CG|＝m，又由|PM|＝|PN|且PM⊥PN，则△PMN为等腰直角三角形，故|PG|＝|NG|＝n，圆C:x2+y2−6x−8y+9＝0，即(x−3)2+(y−4)2＝16，则m2+n2＝16，则|PC|＝(m+n)=√(m+n)2=√m2+n2+2mn=√16+2mn≤√16+(m2+n2)=4√2，当且仅当m ＝n 时等号成立， 故|PC|的最大值为4√2，11.己知f(x)为偶函数，且当x ≥0时，f(x)＝xcosx −sinx +13x 3，则满足不等式f(log 2m)+f(log 12m)<2f (1)的实数m 的取值范围为（ ）A.( 12, 2) B.(0, 2)C.(0, 12)∪(1, 2) D.(2, +∞)【解答】当x ≥0时，f′(x)＝cosx −xsinx −cosx +x 2＝x 2−xsinx ＝x(x −sinx)>0，即函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，∴f(log 2m)+f(log 12m)<2f (1)等价为f(log 2m)+f(−log 2m)<2f(1)，即f(log 2m)<f(1)， ∴−1<log 2m <1， ∴12<m <2． 故选：A ．12.函数f(x)＝(2ax −1)2−log a (ax +2)在区间[0, 1a ]上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.( 13, 12) B.(1, 2]∪[3, +∞) C.(1, 2)∪[3, +∞)D.[2, 3)【解答】依题意，函数f(x)在区间[0, 1a ]上有零点的充分条件为f(0)f(1a )≤0，即(1−log a 2)(1−log a 3)≤0， ∴{1−log a 2≤01−log a 3≥0 或{1−log a 2≥01−log a 3≤0，解得2≤a ≤3，由此可排除A 、B 、C ，又当a ＝3时，f(x)＝(6x −1)2−log 3(3x +2)，显然f(13)=1−1=0，f(0)＝1−log 32>0，f(19)=19−log 373=109−log 37<0，则在(0,19)上有一个零点，故此时函数f(x)有两个零点，不符题意， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行，则实数a 的值是________．【解答】∵直线l1:ax−(a+1)y−1＝0与直线4x−6y+3＝0平行，∴a4=−(a+1)−6，解得a＝2，∴实数a的值为2．法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法一一随机投针法．受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于l的正实数对(x, y)；再统计两数的平方和小于l的数对(x, y)的个数m，最后再根据统计数m来估计π的值，已知某同学一次试验统计出m＝156，则其试验估计π为________．【解答】由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为14π⋅12，从区间[0, 1]随机抽取横、纵坐标都小于l的对应面积为：1；∴14π1=156200⇒π=4×156200=3.12．函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示，则f(x)在区间[−π, π]上的零点之和为________．【解答】∵根据函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象，可得3T4=34⋅2πω=11π12−π6，求得ω＝2．再根据五点法作图可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6，故f(x)＝sin(2x+π6)．在区间[−π, π]上，2x+π6∈[−11π6, 13π6]，f(x)共有4个零点：a、b、c、d，且a<b<c<d，则2a+π6+2b+π6=2×(−π2)，2c+π6+2d+π6=2×(3π2)，故它的所有零点之和为a +b +c +d =2π3，过点M(−1, 0)的直线，与抛物线C:y 2＝4x 交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：NA →=5AF →，则△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是________． 【解答】焦点F(1, 0)，由对称性，显然直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为：x ＝my −1，A(x ′, y ′)，B(x, y)，由题意知y >y ′，联立直线与抛物线的方程整理得：y 2−4my +4＝0，△＝(−4m)2−16>0，m 2>1，m >1解得：y +y ′＝4m ，y ′＝2m −2√m 2−1，设N(x 0, y 0)满足：NA →=5AF →，(x ′−x 0, y ′−y 0)＝5(−x ′, −y ′)，∴y 0＝6y ′， S △ABF ＝S △BMF −S △AMF =12⋅MF ⋅(y −y ′)，S △ANM ＝S △NMF −S △AMF =12⋅MF ⋅(y 0−y ′)，MF ＝2∴S △ABF +S △AMN =12⋅MF ⋅（y +y 0−2y ′）＝y +y ′+3y ′＝10m −6√m 2−1(m >1)，令f(m)＝10m −6√m 2−1，f ′(m)＝10−√m 2−1，令f ′(m)＝0，m =54，m ∈(1,54)，f ′(m)<0，f(m)单调递减，m >54，f ′(m)>0，f(m)单调递增，所以m =54时，f(m)最小，且为：10×54−6√(54)2−1=8，所以△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是8，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查：该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m．（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．2×2列联表附表：．其中：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】由题意得，直方图中第一组、第二组的频率之和为：(0.04+0.06)×5＝0.5，所以阅读时间的中位数为m＝10；由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图得，阅读时长大于或等于m的人数为100×0.5＝50人；所以填写列联表如下；由表中数据，计算K2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a2＝0，S6＝24．各项均为正数的等比数列{b n}满足b1+b2＝a4+1，b3＝S4．（1）求a n和b n；（2）求和：T n＝1+(1+b1)+(1+b1+b2)+...+(1+b1+b2+...+b n−1)．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由题意，得{2a1+d=06a1+6×52d=24，解得{a1=−1d=2．∴a n＝2n−3，n∈N∗．∵等比数列{b n}的各项均为正数，由{b1+b1q=6b1q2=8，解得{b1=2q=2或{b1=18q=−23（舍去）．∴b n＝2n，n∈N∗．由（1），得1+b1+b2+...+b n−1＝1+2+22+...+2n−1＝2n−1．则T n＝1+(1+b1)+(1+b1+b2)+...+(1+b1+b2+...+b n−1)．＝1+(22−1)+(23−1)+...+(2n−1)＝(21−1)+(22−1)+(23−1)+...+(2n−1)＝(21+22+23+...+2n)−n=2(1−2n)−n＝2n+1−n−2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知(sinA +sinB)(a −b)＝c(sinC +sinB)． （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD ⊥BC ，BC ＝2√3AD ，求sinB ． 【解答】∵(sinA +sinB)(a −b)＝c(sinC +sinB)，∴由正弦定理可得：(a +b)(a −b)＝c(c +b)，即a 2＝b 2+c 2+bc ， ∴由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12，∵0<A <π， ∴A =2π3．∵在△ABC 中，S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12BC ⋅AD ，即√32bc ＝a ⋅AD ，由已知BC ＝2√3AD ，可得AD =2√3，∴3bc ＝a 2，∴在△ABC 中，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2−2bccos120∘， 即3bc ＝b 2+c 2+bc ，整理可得(b −c)2＝0，即b ＝c ， ∴B ＝C =π6， ∴sinB ＝sin π6=12． 已知椭圆C:x 22+y 2=1，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．(l)若点P(−1, 1)满足OA ¯+OB ¯+OP ¯=0→（O 为坐标原点），求弦AB 的长； 若直线l 的斜率不为0且过点(2, 0)，M 为点A 关于x 轴的对称点，点N(n, 0)满足MN ¯=λNB ¯，求n 的值． 【解答】（1）设A(x, y)，B(x ′, y ′)，由OA →+OB →+OP →=0→，（O 为坐标原点），且P(−1, 1)，得x +x ′＝1，y +y ′＝−1，所以线段AB 的中点坐标(12, −12)，其在椭圆内部，由{x 22+y 2=1x ′22+y′2=1两式相减得：x ′2−x 22+y ′2−y 2=0，所以k AB =y ′−y x −x=x+x ′y+y ′(−12)=12，所 以直线AB 的方程为：y −(−12)=12(x −12)，即2x −4y −3＝0； 联立直线AB 与椭圆的方程整理得：24y 2+24y +1＝0， ∴y +y ′＝−1，yy ′=124，∴|AB|=√1+1k 2√(y +y ′)2−4yy ′=5√66； （2）由题意设直线AB 的方程为：x ＝ty +2，由题意得M(x, −y)，联立直线AB 与椭圆的方程整理得：(2+t 2)y 2+4ty +2＝0，∴y +y ′=−4t2+t 2，yy ′=22+t 2，由满足MN ¯=λNB ¯知，M ，N ，B 三点共线， 即k MN ＝k MB ，∴0−(−y)n−x=y ′−(−y)x ′−x，即yn−x =y ′+y x−x ′，解得：n =y(x ′−x)y ′+y+x ，将x ＝ty +2，x ′＝ty ′+2代入得n =2tyy ′y+y +2=4t−4t +2＝1，所以n 的值为1．己知函数f(x)＝2lnx +12x 2−ax ，其中a ∈R ． （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）设函数f(x)有两个极值点x 1，x 2（其中x 2>x 1），若f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，求实数a 的取值范围． 【解答】 f ′(x)=x 2−ax+2x，x >0，令g(x)＝x 2−ax +2，△＝a 2−8，①当a ≤0或△≤0即a ≤2√2时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(0, +∞)上单调递增；②当{a >0△>0 ，即a >2√2时，由f′(x)>0得，0<x <a−√a 2−82或x >a+√a 2+82；由f′(x)<0得，a−√a 2−82<x <a+√a 2−82；∴函数f(x)在(0,a−√a 2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a 2−82,a+√a 2+82)上单调递减；综上所述，当a ≤2√2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >2√2时，f(x)在(0,a−√a 2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a 2−82,a+√a 2+82)上单调递减；由（1）知，当a >2√2时，f(x)有两极值点x 1，x 2(x 2>x 1)，由（1）得x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根，于是x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝2，∴f(x 2)−f(x 1)=21n x 2x 1+12(x 22−x 12)−a(x 2−x 1)=21n x 2x 1−x 2x 1+x1x 2，令t =x 2x 1(t >1)，则f(x 2)−f(x 1)=ℎ(t)=21nt −t +1t ，∵ℎ(t)=2t −1−1t 2=−(t−1)2t 2<0，∴ℎ(t)在(1, +∞)上单调递减，由已知ℎ(t)＝f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，而ℎ(2)＝2ln2−32， 所以t ＝2，设t 的取值集合T ，则只要满足T ⊆[2, +∞)且T 中的最小元素为2的T 集合都满足题意， 又12a 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2，易知φ(t)=t +1t +2在[2, +∞)上单调递增，结合a >2√2，可得a 与t 是一一对应关系，而当t ＝2，即x2x 1=2时，联合x 1x 2＝2，解得x 2＝2，x 1＝1，进而可得a ＝3，∴实数a 的取值范围为[3, +∞)或[3, +∞)的任意最小元素为3的子集． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题申任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{x =1+rcosφy =rsinφ （r >0，φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1经过点P(2, π3)，曲线C 2的直角坐标方程为x 2−y 2＝1． （1）求曲线C 1的普通方程，曲线C 2的极坐标方程；（2）若A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C 2上两点，当α∈(0, π4)时，求1|OA|2+1|OB|2的取值范围．【解答】将曲线C 1的参数方程转化成普通方程为：(x −1)2+y 2＝r 2， 由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3)，代入曲线C 1得r 2＝3， ∴曲线C 1的普通方程为：(x −1)2+y 2＝3， C 2可化为ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ＝1， 即ρ2cos2θ＝1，∴曲线C 2的极坐标方程ρ2cos2θ＝1，将点A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C 2的极坐标方程，得p 12cos2α=1，ρ22cos(2α−π3)=1，∴1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3)．当α∈(0, π4)时，2α+π3∈(π3,5π6)，于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]． 所以1|OA|+1|OB|的取值范围是(√32,√3]． [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a ，其中a >0．（1）当a ＝4时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】当a ＝4时，关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2，当x ≥12时，x +1−(2x −1)≤−2，解得x ≥4，综合可得x ≥4； 当x ≤−1时，−x −1+(2x −1)≤−2，解得x ≤0，综合可得x ≤−1； 当−1<x <12时，x +1+(2x −1)≤−2，解得x ≤−23，综合可得−1<x ≤−23，综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞)；设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|＝|x +1|−|x −12|−|x −12|≤|x +1−(x −12)|−0=32，可得x =12时，f(x)取得最大值32， 若该不等式对x ∈R 恒成立，可得log 12a ≥32，解得0<a ≤√24．。

2020届绵阳二诊理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.设全集{}|0U x x =>，{}2|1xM x e e=<<，则UCM =（ ）A. ()1,2B. ()2,+∞C. (][)0,12,+∞D. [)2,+∞【答案】D 【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<，∴{|2}U C M x x =≥． 故选：D ．2.已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =（ ） A. 2i - B. 2i + C. 12i - D. 2i - 【答案】A 【详解】由题意122iz i i+==-． 故选：A ．3.已知两个力()11,2F =，()22,3F =-作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3F ，则3F =（ ） A. ()1,5- B. ()1,5-C. ()5,1-D. ()5,1-【答案】A【详解】根据力的合成可知()()()12+1,22,31,5F F =+-=- 因为物体保持静止,即合力为0,则123+0F F F += 即()31,5F =- 故选:A4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A.18B.14C. 38D.12【答案】B【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为2184P ==． 故选：B ．5.已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】B【详解】21cos 212sin 3a α=-=，则sin α=，因此“1cos 23α=”是“sin 3α=”的必要不充分条件． 故选：B ．6.若51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含3x 项的系数为（ ）A. -80B. -10C. 10D. 80【答案】A【详解】因为51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1令1x =代入可得()511a -=,解得2a = 即二项式为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含3x 的项为()()41143355122180C x C x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭所以展开式中含3x 项的系数为80- 故选:A7.已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（ ） A. 产品的销售额与广告费用成正相关 B. 该回归直线过点()2,22C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D. m 的值是20 【答案】C【详解】因为回归直线方程中x 系数为6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A 正确； 又0123425x ++++==，∴ 6.52922y =⨯+=，回归直线一定过点(2,22)，B 正确；10x =时， 6.510974y =⨯+=，说明广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C 错误； 由10153035225m y ++++==，得20m =，D 正确．故选：C．8.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ） B. 2D. 3【答案】B【详解】由题意(c,0)F ，渐近线方程by x a =±，不妨设AF 方程为()b y x c a=--， 由()b y x c a b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(,)22c bc A a ，同理(,)22c bc B a -， ∴21(2)222OAFBbc bc S c a a =⨯⨯⨯=，由题意22bc bc a=，∴2c a =．故选：B ．9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X ，则X 的期望为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C【详解】进行“手心手背”游戏,3人出现的所有可能情况如下所示: (心,心,心), (心,心,背),(心,背,心),(背,心,心) (心,背,背),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背) 则小明得1分的概率为34,得0分的概率为14进行4次游戏,小明得分共有5种情况:0分,1分,2分,3分,4分 由独立重复试验的概率计算公式可得:()4041104256P XC ⎛⎫===⎪⎝⎭()13143112144256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()22243154244256P XC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()313431108344256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()44438144256P XC ⎛⎫===⎪⎝⎭则得分情况的分布列如下表所示:则X 的期望()154108811+2+3+4=3256256256256E X =⨯⨯⨯⨯ 故选:C10.已知圆C ：2268110x y x y +---=，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥，则PC 的最大值为（ ）A. 4B. 42C. 6D. 62【答案】D【详解】圆C ：2268110x y x y +---= 化成标准方程可得()()223436x y -+-= 所以圆C 的半径为6r =因为点M ,N 在圆C 上,动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥ 所以P 位于以MN 为直径的圆上,位置关系如下图所示:则PMC PNC ∆≅∆,即45MPC NPC ∠=∠=在三角形PMC ∆中,由正弦定理可得sin sin 45MCPC PMC =∠ sin 22PC PMC =∠则62PC PMC =∠ 因为sin 1PMC ∠≤ 所以PC 的最大值为62故选:D11.已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为（ ）A. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()0,2C. ()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()2,+∞【答案】A【详解】∵()f x 是偶函数，∴12222(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为22(log )2(1)f m f <，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，31()cos sin 3f x x x x x =-+，2'()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x =--+=-，令()sin g x x x =-，则'()1cos 0g x x =-≥，∴()g x 是R 上的增函数，∴当0x >时，()(0)0g x g >=， ∴0x ≥时，'()0f x ≥，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数， ∴由2(log )(1)f m f <得2log 1m <，即21log 1m -<<，122m <<． 故选：A ．12.函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B. [)3,+∞C. ()[)1,23,+∞D. [)2,3【答案】D【详解】函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,则()l g 21o 0a f =-,lo 1g 31a f a ⎛⎫⎪=-⎝⎭由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数零点至多有两个.且因为恰有一个零点,所以满足()()110log 2log 3a a --≤且1log 20a -=与1log 30a -=在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不同时成立.解不等式()()110log 2log 3a a --≤可得23a ≤≤当3a =时,函数()()()2361log 32f x x x =--+,区间为10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦且满足()301log 20f =->,310046log f =-⎛⎫<⎪⎝⎭,311303log f =-⎛⎫= ⎪⎝⎭所以在10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭内有一个零点, 13x =为一个零点.故由题意可知,不符合要求 综上可知, a 的取值范围为[)2,3 故选:D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______. 【答案】2. 【详解】由题意(1)1463a a -+-=≠-，解得2a =． 故答案为：2．14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数的平方和小于1的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.已知某同学一次试验统计出156m =，则其试验估计π为______. 【答案】3.12【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y 构成第一象限内的一个正方形, 两数的平方和小于1的数对(),x y 为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:则阴影部分与正方形面积的比值为1:14π由几何概型概率计算公式可知115642001π=解得15643.12200π⨯==故答案为: 3.1215.函数()sin0,2y xπωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x在区间[],ππ-上的零点之和为______.【答案】23π.【详解】由题意411()3126Tπππ=⨯-=，∴22πωπ==，又sin(2)16πϕ⨯+=且2πϕ<，∴6π=ϕ，∴()sin(2)6f x xπ=+．由sin(2)06xπ+=得26x kππ+=，212kxππ=-，k Z∈，在[,]-ππ内有：7511,,,12121212ππππ--，它们的和为23π．16.过点()1,0M-的直线l与抛物线C：24y x=交于A，B两点（A在M，B之间），F是抛物线C的焦点，点N满足：5NA AF=，则ABF∆与AMN∆的面积之和的最小值是______.【答案】8【详解】根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:因为直线l 过点()1,0M - 设直线的方程为1x ty =-则241y x x ty ⎧=⎨=-⎩,化简可得2440y ty -+= 因为有两个不同交点,则216160t ∆=->,解得1t >或1t <- 不妨设1t >,则解方程可得22221,221A B y t t y t t =--=+-因为5NA AF =,则6NF AF = 所以2612121,N A y y t t ==-- 所以()122ABF MBF AMF B A B A S S S y y y y ∆∆∆=-=⨯⨯-=- ()122AMN FMN AMF N A N A S S S y y y y ∆∆∆=-=⨯⨯-=-则ABF AMN B A N A S S y y y y ∆∆+=-+-222221121212221t t t t t t ⎛=+----- ⎝21061t t =-- ,(1t >)令()21061f t t t =--则()2'101f t t =-令()2'1001f t t =-=- 解得54t =当514t <<时, ()'0f t <,所以()f t 在51,4⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减 当54t >时, ()'0f t >,所以()f t 在5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增 即当54t =时()f t 取得最小值. 所以21061ABF AMN S S t t ∆∆+=--2551061844⎛⎫=⨯--= ⎪⎝⎭故答案为:8三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t （小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t 的中位数m .（2）已知样本中阅读时间低于m 的女生有30名，请根据题目信息完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.22⨯列联表男 女 总计附表：.其中：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为0.0450.0650.5⨯+⨯=.所以阅读时间的中位数10m =.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m 的人数为1000.550⨯=人， 故列联表补充如下：2K 的观测值()2100253025201005050455599k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 1.01 2.706≈<，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足120a a +=，624S =.各项均为正数的等比数列{}n b 满足1241b b a +=+，34b S =.（1）求n a 和n b ；（2）求和：()()()1121211111n n T b b b b b b -=+++++++++++.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .由题意,得1120656242a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得112a d =-⎧⎨=⎩, ∴23n a n =-∵等比数列{}n b 的各项均为正数由112168b b q b q +=⎧⎨=⎩解得1122b q =⎧⎨=⎩或121823b q =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍）∴1222n n n b -=⨯=（2）由（1）得,211211122221n nn b b b --+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=-()()()1121211111n n T b b b b b b -=++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()()231212121n =+-+-++-()()()()12321212121n =-+-+-++-()12122212n n n n +-=-=---.19.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=+. （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，BC =，求sin B . 【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得()()()a b a b c c b +-=+，即222ab c bc =++.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-， 结合0A π<<，可知23A π=. （2）在ABC ∆中，11sin 22ABC S AB AC BAC BC AD ∆=⋅∠=⋅，即2bc a AD =⋅.由已知BC =，可得AD =.在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos120a b c bc =+-︒， 即223bc b c bc =++，整理得()20b c -=，即b c =， ∴6A B π==.∴1sin sin 62B π==.20.已知椭圆C ：2212x y +=，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.（1）若点()1,1P -满足0OA OB OP ++=（O 为坐标原点），求弦AB 的长；（2）若直线l 的斜率不为0且过点()2,0，M 为点A 关于x 轴的对称点，点(),0N n 满足MN NB λ=，求n 的值.【详解】（1）设()11,A x y ,()22,B x y由0OA OB OP ++=,且点()1,1P -,得121x x =+,121y y +=-.① ∴线段AB 的中点坐标为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭,其在椭圆内 由222222111212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得2222212102x x y y -+-=,整理得2221222112y y x x -=--,即()()()()2121212112y y y y x x x x +-=-+-.将①代入,得212112AB y y k x x -==-.∴直线AB 方程为111222y x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即2430x y --=. 联立22122430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去x 得2242410y y ++=,由韦达定理得121y y +=-,12124y y =. ∴AB ==. （2）设直线AB 的方程为2x ty =+,由题意得()11,M x y -,由已知MN NB λ=,可知M ,N ,B 三点共线,即MN MB k k =.∴()()1211210y y y n x x x ----=--,即121121y y y n x x x +=--, 解得()121121y x x n x y y -=++.将112x ty =+,222x ty =+,代入得121222ty y n y y =++.②联立222202x y x ty ⎧+-=⎨=+⎩消去x 得()222420t y ty +++=由韦达定理得12242t y y t -+=+,12222y y t =+.③ 将③代入②得到1n =21.已知函数()212ln 2x f x ax x =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若3a ≥，记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x （其中21x x >），当()()21f x f x -的最大值为32ln 22-时，求实数a 的取值范围.【详解】（1）()()2'220x ax x a x x xf x -+=+-=>.令()22g x x ax =-+,则28a ∆=-.①当0a ≤或0∆≤,即a ≤,得()'0f x ≥恒成立, ∴()f x 在()0,∞+上单调递增.②当0a >⎧⎨∆>⎩,即a >,由()'0f x >,得02a x <<或2a x +>由()'0f x <,x <<∴函数()f x在0,2a ⎛ ⎪⎝⎭和2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在22a a ⎛+⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述,当a ≤时,()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >,()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在⎝⎭上单调递减. （2）由（1）得,当a >,()f x 有两极值点1x ,2x （其中21x x >）. 由（1）得1x ,2x 为()220x a g x x =-+=的两根,于是12x x a +=,122x x =.∴()()()()222212121112ln2x f x f x x x a x x x -=+--- 222222122111122ln 2ln 2x x x x x x x x x x --=-=-2211122lnx x x x x x =-+. 令()211x t t x =>,则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+. ∵()()22222121211'0t t t t t t th t ---+-=--==<, ∴()h t 在()1,+∞上单调递减.由已知()()()21h f x t f x -=的最大值为32ln 22-, 而()132ln 22l 2222n 2h =-+=-. ∴2t =.设t 的取值集合为T ,则只要满足[)2,T ⊆+∞且T 中的最小元素为2的T 集合均符合题意.又()()221212122x x a t t T x x t+==++∈,易知()12x t t ϕ=++在[)2,+∞上单调递增,结合a >可得a 与t 是一一对应关系. 而当2t =,即212x x =时,联合122x x =, 解得22x =,11x =,进而可得3a =. ∴实数a 的取值范围为[)3,+∞.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系中，曲线1C 参数方程为1cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线2C 的直角坐标方程为221x y -=.（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的极坐标方程；（2）若()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，当0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2211OA OB +的取值范围.【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程为()2221x y r -+=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 得点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(，代入1C ，得23r =， ∴曲线1C 的普通方程为()2213x y -+=.2C 可化为2222cos sin 1ρθρθ-=，即()222cos sin 1ρθθ-=，∴曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=. （2）将点()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫-⎪⎝⎭代入曲线2C 的极坐标方程， 得21cos 21ρα=，22cos 213πρα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴22222111cos 2cos 1123OAOBπααρρ⎛⎫=++-+= ⎪⎝⎭3cos 22223πααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 由已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得52,336πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，232πα⎛⎛⎫+∈⎪ ⎝⎭⎝. 所以2211OAOB+的取值范围是⎝.23.已知关于x 的不等式12121log x x a +--≤，其中0a >.（1）当4a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【详解】（1）由4a =时，12log 2a =-.原不等式化为1212x x +--≤-，当12x ≥时，()1212x x +--≤-，解得4x ≥，综合得4x ≥； 当112x -<<时，1212x x ++-≤-，解得23x ≤-，综合得213x -<≤-；当1x ≤-时，()1212x x -++-≤-，解得0x ≤，综合得1x ≤-. ∴不等式的解集为2|43x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或. （2）设函数()2,111213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩， 画图可知，函数()f x 的最大值为32.由123log 2a ≤，解得20a <≤。

保密 ★ 启用前 【考试时间：20XX 年1月26日15:00—17:00】绵阳市高中20XX 级第二次诊断性考试数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页，第II 卷3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1+y -1=0的倾斜角是A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．计算：1+i+i 2+i 3+…+i 100（i 为虚数单位）的结果是A ．0B ．1C ．iD ．i+1 3．已知a 、b ∈R ，那么“ab <0”是“方程ax 2+by 2=1表示双曲线”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．为了得到函数3sin(2)5y x π=+的图象，只需把函数3sin()5y x π=+图象上所有点的A ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变 D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 5．一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的体积为 AB．C．D．6．若log a (a 2+1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是A ．(0，21)B ．(21，1)正视图侧视图俯视图C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，+∞)7．现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同排法的种数是 A ．12种B ．24种C ．36种D ．72种8．已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的半焦距为c (c >0)，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线215()8y a c x =+与椭圆交于B 、C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是 A ．815B ．415C ．23D ．129．已知关于x 的一元二次方程x 2-2x +b -a +3=0，其中a 、b 为常数，点(a ，b )是区域Ω：0404a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩，内的随机点．设该方程的两个实数根分别为x 1、x 2，则x 1、x 2满足0≤x 1≤1≤x 2的概率是 A ．332B ．316C ．532D ．91610．一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或11第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．《人再囧途之泰囧》首映结束，为了了解观众对该片的看法，决定从500名观众中抽取10%进行问卷调查，在这500名观众中男观众占40%，若按性别用分层抽样的方法抽取采访对象，则抽取的女观众人数为 人．12．右图表示的程序所输出的结果是.13．51(21)(1)x x+-的展开式的常数项是__________.（填写具体数字） 14．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线221412x y -=与双曲线221x y m n-=是“相近双曲线”，则nm的取值范围是 .15．已知函数()f x ，若对给定的三角形ABC ，它的三边的长a 、b 、c 均在函数()f x 的定义域内，都有()f a 、()f b 、()f c 也为某三角形的三边的长，则称()f x 是△ABC 的“三角形函数”．下面给出四个命题：①函数1()((0))f x x =∈+∞，是任意三角形的“三角形函数”；②若定义在(0)+∞，上的周期函数2()f x 的值域也是(0)+∞，，则2()f x 是任意三角形的“三角形函数”；③若函数33()3f x x x m =-+在区间2433（，）上是某三角形的“三角形函数”，则m 的取值范围是62+27∞（，）； ④若a 、b 、c 是锐角△ABC 的三边长，且a 、b 、c ∈N +，则24()+ln (0)f x x x x =>是△ABC 的“三角形函数”．以上命题正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数f (x )=(sin x +cos x )2-2sin 2x ．（Ⅰ）求f (x )的单调递减区间；（Ⅱ）A 、B 、C 是△ABC 的三内角，其对应的三边分别为a 、b 、c ．若()8A f =，AB AC ⋅=12，a =，且b <c ，求b 、c 的长．17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，点E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于F ． （Ⅰ）求证：P A ∥平面EDB ； （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ； （Ⅲ）求二面角C -PB -D 的大小．18．（本小题满分12分）甲、乙两位同学练习三分球定点投篮，规定投中得三分，未投中得零分，甲每次投中的概率为13，乙每次投中的概率为14． （Ⅰ）求甲投篮三次恰好得三分的概率； （Ⅱ）假设甲投了一次篮，乙投了两次篮，设X 是甲这次投篮得分减去乙这两次投篮得分总和的差，求随机变量X 的分布列．19．（本小题满分12分）已知各项均不为零的数列{a n }的首项134a =，2a n +1a n =ka n -a n +1（n ∈N +，k 是不等于1的正常数）． （Ⅰ）试问数列12{}1n a k --是否成等比数列，请说明理由； （Ⅱ）当k =3时，比较a n 与3435n n ++的大小，请写出推理过程． 20．（本小题满分13分）动点M (x ，y )与定点F (1，0)的距离和它到直线l ：x =4的距离之比是常数12，O 为坐标原点．（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程，并说明轨迹E 是什么图形？（Ⅱ）已知圆C，是否存在圆C 的切线m ，使得m 与圆C 相切于点P ，与轨迹E 交于A 、B 两点，且使等式2AP PB OP ⋅=成立？若存在，求出m 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数f (x )=x ln x (x ∈(0，+∞))．D AB CPF E（Ⅰ）求(+1)()+1f xg x x x =-(x ∈(-1，+∞))的单调区间与极大值； （Ⅱ）任取两个不等的正数x 1、x 2，且x 1<x 2，若存在x 0>0使21021()()()f x f x f x x x -'=-成立，求证：x 1<x 0<x 2；（Ⅲ）已知数列{a n }满足a 1=1，1211(1)2n n n a a n+=++(n ∈N +)，求证：114n a e <（e 为自然对数的底数）．绵阳市高中20XX 级第二次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCAA BBDAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．30 12．3013．-9 14．44[]215，∪521[]44， 15．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）f (x )=1+sin2x -1+cos2xsin(2x+4π)， ∴ 当22k ππ+≤2x+4π≤322k ππ+时，f (x )单调递减， 解得8k ππ+≤x ≤58k ππ+， 即f (x )的单调递减区间为[8k ππ+，58k ππ+](k ∈Z )． ……………………6分 （Ⅱ）f (8Asin(4A +4πsin(4A +4π，∴4A +4π=3π或23π，即A=3π或53π（舍）．由AB AC ⋅=c ·b ·cos A =12，cos A =12，得bc =24．① 又cos A=222122b c a a bc +-==，，得b 2+c 2=52．∵ b 2+c 2+2bc =(b+c )2 =100，b >0，c >0， ∴ b+c=10，②联立①②，且b <c ，解得b =4，c =6． ………12分17．解：如图所示建立空间直角坐标系，设DC =1．（Ⅰ）连结AC ，交BD 于G ，连结EG ．依题意得A (1，0，0)，P (0，0，1)，E (0，12，12)．∵ 底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为(12，12，0)， 且11(101)(0)22PA EG =-=-，，，，，．∴ 2=，这表明P A //EG ．而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴ P A //平面EDB ． ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）依题意得B (1，1，0)，PB =(1，1，-1)．又11(0)22DE =，，， 故110022PB DE ⋅=+-=．∴DE PB ⊥．由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，∴ ⊥PB 平面EFD ．…………………………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知PB EF ⊥，PB DF ⊥，故EFD ∠是所求二面角的平面角． 设点F 的坐标为(x 0，y 0，z 0)，PF k PB =，则(x 0，y 0，z 0-1)=k (1，1，-1)，从而x 0=k ，y 0=k ，z 0=1-k ， ∵ PB FD ⋅=0，所以(1，1，-1)·(k ，k ，1-k )=0，解得13k =， ∴ 点F 的坐标为112()333，，，且111()366FE =--，，，112()333FD =---，，∴ 1cos 2||||FE FD EFD FE FD ⋅∠==，得3π=∠EFD ．∴ 二面角C -PB -D 的大小为3π．…………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）甲投篮三次恰好得三分即1次投中2次不中，∵ 甲投篮三次中的次数x ～B (3，13)， ∴ P (x =1)=123114(1)339C ⋅⋅-=， 甲投篮三次恰好得三分的概率为49．…………………………………………4分 （Ⅱ）设甲投中的次数为m ，乙投中的次数为n ， ①当m =0，n =2时，X =-6，∴ P (X =-6)=222211()3424C ⋅⋅=． ②当m =1，n =2或m =0，n =1时，X =-3， ∴ P (X =-3)=2121121313()3434448C ⋅+⋅⋅⋅=． ③当m =1，n =1或m =0，n =0时，X =0，∴ P (X =0)=10222113231()344342C C ⋅⋅⋅+⋅⋅=． ④当m =1，n =0时，X =3，∴ P (X =3)=022139()3448C ⋅⋅=． ∴X 的分布列为…………………………………12分19．解：（Ⅰ）由 2a n +1a n =ka n -a n +1，可得11n a +=12n nka a +， ∴11n a +21k --=12n nka a +21k --=112()1n k a k --，首项为11242131a k k -=---． 若42031k -=-，即k=52时，数列12{}1n a k --为零数列，不成等比数列． 若42031k -≠-，即k>0，k ≠1且k ≠52时， 数列12{}1n a k --是以4231k --为首项，1k为公比的等比数列． ∴ 综上所述，当k=52时，数列12{}1n a k --不成等比数列；当k>0，k ≠1且k ≠52时，数列12{}1n a k --是等比数列．……………………………………6分 （Ⅱ）当k =3时，数列1{1}n a -是以13为首项，13为公比的等比数列． ∴ 111()3n n a -=，即a n =331nn +=1-131n +， ∴ a n -3435n n ++=1-131n +-(1-135n +)=135n +-131n +=334(35)(31)n nn n --++， 令F (x ) =3x -3x -4(x ≥1)，则()F x '=3x ln3-3≥(1)F '>0， ∴ F (x )在[1)+∞，上是增函数． 而F (1)=-4<0，F (2)=-1<0，F (3)=14>0， ∴ ①当n =1和n =2时， a n <3435n n ++； ②当n ≥3时，3n +1>3n +5，即135n +>131n +，此时a n >3435n n ++． ∴ 综上所述，当n =1和n =2时，a n <3435n n ++；当n ≥3时，a n >3435n n ++．…12分 20．解：12=，化简得：22143x y +=，即轨迹E 为焦点在x 轴上的椭圆． ………………5分（Ⅱ）设A (x 1，x 2)，B (x 2，y 2)．∵ OA OB ⋅=(OP PA +)۰(OP PB +)=2OP +OP PB ⋅+PA OP ⋅+PA PB ⋅， 由题知OP ⊥AB ，故OP PB ⋅=0，PA OP ⋅=0． ∴ OA OB ⋅=2OP +PA PB ⋅=2OP -AP PB ⋅=0． 假设满足条件的直线m 存在，①当直线m 的斜率不存在时，则m 的方程为x=代入椭圆22143x y +=，得y=． ∴ OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=-2-64≠0，这与OA OB ⋅=0矛盾，故此时m 不存在． ②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y =kx +b ， ∴|OP|==b 2=2k 2+2．联立22143x y +=与y =kx+b 得，(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-12=0，∴ x 1+x 2=2348kb k-+，x 1x 2=2241234k b -+， y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b )=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=22231234b k k+-， ∴OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=2241234k b -++22231234b k k+-=0． ∴ 7b 2-12k 2-12=0， 又∵ b 2=2k 2+2，∴ 2k 2+2=0，该方程无解，即此时直线m 也不存在．综上所述，不存在直线m 满足条件．………………………………………13分 21．解：（Ⅰ）由已知有(+1)()+1f xg x x x =-=ln(+1)x x -， 于是1()1=+11xg x x x '=--+． 故当x ∈(-1，0)时，()g x '>0；当x ∈(0，+∞)时，()g x '<0．所以g (x )的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)，g (x )的极大值是g (0)=0． ……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为()ln +1f x x '=，所以0ln +1x =2121()()f x f x x x --，于是02ln ln x x -=21221()()ln 1f x f x x x x ----=2211221ln ln ln 1x x x x x x x ----=121121ln ln 1x x x x x x ---=2121ln11x x x x --，令21x x =t (t >1)，ln ln 1()111t t t h t t t -+-=--=， 因为10t ->，只需证明ln +10t t -<．令ln +1t t t ϕ=-（)，则110t tϕ'=-<()，∴ t ϕ()在(1+)t ∈∞，递减，所以10t ϕϕ<()()=， 于是h (t )<0，即02ln ln x x <，故02x x <．仿此可证10x x <，故102x x x <<．……………………………………………10分 （Ⅲ）因为11a =，1211(1)2n n n n a a a n +=++>，所以{}n a 单调递增，n a ≥1． 于是1222111111(1)(1)=(1)222n n n n n n n n a a a a a n n n +=++≤++++， 所以1211ln ln ln(1)2n n n a a n +≤+++． （*） 由（Ⅰ）知当x >0时，ln 1+x ()<x ． 所以（*）式变为1211ln ln 2n n n a a n +<++． 即11211ln ln 2(1)k k k a a k ---<+-(k ∈N ，k ≥2)， 令k =2，3，…，n ，这n -1个式子相加得1121222111111ln ln +++)[]22212(1)n n a a n --<++++-（1221111111)[]2122334(2)(1)n n n -<++++++⨯⨯--(-=1111111111)[1()()()]24233421n n n -+++-+-++---(- =111111)1)2421n n -+++--(-( 1111111=4214n n --<--， 即11111ln ln 44n a a <+=，所以114n a e <．……………………………………14分。

2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第1题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第1题5分已知集合M={x|x2−3x<0}，N={x|log2⁡(x−2)⩽0}，则M∩N=（）．A. (2,3)B. (2,3]C. (0,3]D. (0,3)2、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第2题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第2题5分2016~2017学年陕西西安未央区西安中学高二下学期期中理科第1题5分2018~2019学年吉林长春朝阳区长春外国语学校高二上学期期末文科第1题5分2017年四川雅安高三三模文科第2题5分的共轭复数是（）．复数z=−3+i2+iA. 2+iB. 2−iC. −1+iD. −1−i3、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第3题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第3题5分已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，命题p:若m⊥α，m⊥n，则n//α，命题q:若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β，则下列命题为真命题的是（）．A. p∧qB. p∨qC. p∨(¬q)D. (¬p)∧q4、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第4题5分2019~2020学年广东广州天河区华南师范大学附属中学高三上学期期末文科第9题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第4题5分2019~2020学年10月重庆渝中区重庆市巴蜀中学高三上学期周测D卷理科第3题2019~2020学年河南郑州金水区河南省实验中学高二上学期期中理科第3题5分设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=15−a5，则S9等于（）．A. 18B. 36C. 45D. 605、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第5题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第5题5分一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．A. 2+πB. 1+πC. 2+2πD. 1+2π6、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第6题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第8题5分汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（）．A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 某城市机动车最高限速80千米/时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油C. 甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多7、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第7题5分 2021年四川广元高三三模文科第12题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第10题5分 2019年山东济南高三一模理科第11题5分设F 1，F 2分别是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1→⋅AF 2→=0，AF 2→=2F 2B →，则椭圆E 的离心率为（ ）．A. 23B. 34C. √53D. √748、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第8题5分 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第9题5分函数f(x)=2sin⁡(2x +φ)(|φ|<π2)图象向左平移π3个单位后所得图象关于y 轴对称，则f(x)在[0,π2]上的最小值为（ ）．A. −1B. 1C. −√3D. √39、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第9题5分 2017~2018学年广西柳州城中区柳州市第二中学高二上学期期中理科第11题5分 2018~2019学年湖北武汉江汉区武汉外国语学校高二下学期期中理科第9题5分 2020年福建南平高三一模理科第6题5分从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，⋯，x n ，y 1，y 2，⋯，y n ，组成坐标平面上的n 个点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯(x n ,y n )，其中到原点距离小于1的点有m 个，用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）． A. 4n mB. 2n mC.4mnD.2mn10、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第10题5分 (1+x )+(1+x )2+⋯+(1+x )n 的展开式的各项系数和是（ ）． A. 2n+1B. 2n+1+1C. 2n+1−1D. 2n+1−211、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第11题5分 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第11题5分三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC =120°，AP =√2，AB =2，M 是线段BC 上一动点，线段PM 长度最小值为√3，则三棱锥P −ABC 的外接球的表面积是（ ）． A. 9π2B. 18πC. 9√2πD. 40π12、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第12题5分已知函数f(x)={|ln x|,0<x⩽eex,x>e，若0<a<b<c且f(a)=f(b)=f(c)，则af(b)+bf(c)+cf(a)的取值范围是（）．A. (1,+∞)B. (e,+∞)C. (1,e+1e+1)D. (e,2e+1e)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第13题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第13题5分已知向量a→=(2,λ)，b→=(−1,1)，且a→−b→与b→共线，则λ=．14、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第14题5分2019~2020学年四川成都青羊区成都石室中学高二上学期开学考试第15题5分若x，y满足约束条件{x−1⩾0 x−y⩽0x+y−4⩽0，则yx的最大值为．15、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第15题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第15题5分已知f(x)=e x−12−e−x+12+4x2x−1，则实数f(12020)+f(22020)+f(32020)+⋯+f(20192020)的值为．16、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第16题5分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第16题5分已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M(−a,0)，N(0,b)，点P 为线段MN 上的动点，当PF 1→⋅PF 2→取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则S2S 1= ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第17题12分 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第17题12分已知△ABC 中内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且bcos⁡C +ccos⁡B =−4cos⁡A ，a =2． (1) 求角A 的大小． (2) 求b +2c 的取值范围．18、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第18题12分2019~2020学年3月陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学高三下学期月考理科（七模）第17题12分2019~2020学年安徽芜湖高三上学期期末理科第17题12分2019~2020学年4月广东广州越秀区广东实验中学越秀学校高二下学期月考第19题12分 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 中点，PD =CD =√2DE ．(1) 求证：ED ⊥BP ．(2) 若BD 与平面PBC 所成的角为30°，求二面角C −PB −D 的大小．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1) 记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0．(2) 现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)．②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？20、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第20题12分已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1) 求C的方程．(2) 若直线l1//l，且l1和C有且只有一个公共点E，求直线AE所过定点坐标和△ABE的面积的最小值．21、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第21题12分2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第21题12分已知函数f(x)=ln⁡x．(1) 设函数g(x)=af(x)+x(a≠0)的最小值不小于−2a，求a的取值范围．(2) 已知关于x的不等式(x+1)[f(x+1)+1]−bx>0恒成立，记正整数b的最大值为m，记函数(0<x<1)的最小值为n，试比较m，n的大小．φ(x)=f′(x)+11−x四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第22题10分2019~2020学年2月湖北高三下学期月考理科第22题10分已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+t21−t2y=t1−t2（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos⁡(θ+π3)=√54．(1) 求曲线C和直线l的直角坐标方程．(2) 若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求1|PA|+1|PB|的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模理科第23题10分2019~2020学年辽宁辽阳高三上学期期末文科第23题10分2019~2020学年湖北十堰高三上学期期末文科第23题10分2019~2020学年陕西商洛高三上学期期末理科第23题2020年四川绵阳涪城区四川省绵阳南山中学高三二模文科第23题10分已知函数f(x)=3|x+1|−|2x−4|．(1) 求不等式f(x)>3的解集．(2) 若对任意x∈R，不等式f(x)−|x−2|⩽t2−8t恒成立，求t的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 D;3 、【答案】 C;4 、【答案】 C;5 、【答案】 A;6 、【答案】 B;7 、【答案】 C;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 D;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】−2;14 、【答案】3;15 、【答案】4036;16 、【答案】4;17 、【答案】 (1) A=120°．;(2) (2,4)．;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 60°．;19 、【答案】 (1) p0=0.1．;(2)①EX=490．②应该对余下的产品作检验．;20 、【答案】 (1) y2=4x．;(2) F(1,0)；16．;,0)．21 、【答案】 (1) [−1e;(2) n>m．;22 、【答案】 (1) x2−4y2=1(x≠−1)，2x−2√3y−√5=0．;(2) 8．;,+∞)．23 、【答案】 (1) (−∞,−10)∪(45;(2) t⩽−1或t⩾9．;。

2020年四川绵阳高三二模数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设全集，，则（ ）．A. B. C. D.2.已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数为（ ）．A. B. C. D.3.已知两个力，作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，则（ ）．A. B. C. D.4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ）．A. B. C. D.5.已知为任意角，则“”是“”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若的展开式中各项系数的和为，则该展开式中含项的系数为（ ）．A.B.C.D.7.已知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表：（单位：万元）（单位：万元）若根据表中的数据用最小二乘法求得对的回归直线方程为，则下列说法中错误的是（）．A.的值是B.该回归直线过点C.产品的销售额与广告费用成正相关D.当广告费用为万元时，销售额一定为万元8.双曲线的右焦点为，过作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，则双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.9.小明与另外名同学进行“手心手背”游戏，规则是：人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得分，其余每人得分．现人共进行了次游戏，记小明次游戏得分之和为，则的期望为（ ）．A.B.C.D.10.已知圆，点，在圆上，平面上一动点满足且，则的最大值为（ ）．A.B.C.D.11.已知为偶函数，且当时，，则满足不等式的实数的取值范围为（ ）．A.B.C.D.12.函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.直线与直线平行，则实数的值是 ．14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率的方法一一随机投针法．受其启发，我们设计如下实验来估计的值：先请名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于的正实数对；再统计两数的平方和小于的数对的个数；最后再根据统计数来估计的值．已知某同学一次试验统计出，则其试验估计为 ．15.函数 （，）的图象如右图所示，则在区间上的零点之和为 ．xyO16.过点的直线与抛物线交于，两点（在，之间），是抛物线的焦点，点满足：，则与的面积之和的最小值是 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.每年的月日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查．该调查机构从该校随机抽查了名不同性别的学生（其中男生名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间（小时）的频率分布直方图如图所示：频率组距时间小时求样本学生一个月阅读时间的中位数．已知样本中阅读时间低于的女生有名，请根据题目信息完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为阅读与性别有关．列联表男女总计总计附表：其中：．（1）（2）18.已知等差数列的前项和为，且满足，，各项均为正数的等比数列满足，．求和．求和：．【答案】（1）（2）19.在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．求．若为边上一点，且，，求．（1）（2）20.已知椭圆，直线交椭圆于，两点．若点满足（为坐标原点），求弦的长．若直线的斜率不为且过点，为点关于轴的对称点，点满足，求的值．（1）（2）21.已知函数，其中．讨论函数的单调性．设函数有两个极值点，（其中），若的最大值为，求实数的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的直角坐标方程为．求曲线的普通方程，曲线的极坐标方程．若，是曲线上两点，当时，求的取值范围．（1）（2）23.已知关于的不等式，其中．当时，求不等式的解集．若该不等式对恒成立，求实数的取值范围．D1.解析:因为全集，．所以．故选．解析:设，则，故，．所以，故的共轭复数为．故选．解析:由题意可知和合力与抵消，∴，∴，故选．解析:方法一：根据题意可知：甲、乙、丙三人各自选择九皇山或七曲山的概率都为，故甲、乙、丙三人同时选择九皇山的概率为，甲、乙、丙三人同时选择七曲山的概率为，故三人恰好到同一景点旅游参观的概率为．故选．方法二：设九皇山为，七曲山大庙为，C 2.A 3.B 4.则所有可能性如下列表格： ①②③④⑤⑥⑦⑧甲乙丙∴共计种可能，符合题意，有种可能，设甲、乙、丙三个恰好到同一景点旅游参观为，∴．故选．解析:∵为任意角，，，∴，则为任意角，，则为任意角，不是，充分条件，∵，∴．则，为任意角，是的必要条件，所以为任意角，是的必要不充分条件，故正确．故选．B 5.解析:令，则，解得，所以展开式的通项为，令，则，则．所以展开式中含项的系数为．故选．解析:．，，又∵，∴，故正确；．当时代入，，故正确；．∵，故产品销售额与广告费成正相关，故正确；．当广告费即时，销售额，但是线性回归方程所求销售额是一个近似值，故错误．故选．解析:方法一：设点的坐标为，故过点且与两条渐近线平行的直线方程为：或，由，可解得，则不妨记，由对称性可知，所以．整理得，即．A 6.D 7.B 8.四边形故选．方法二：双曲线 的右焦点为，设的方程为，的方程为，过平行于的直线的方程为，平行于的直线的方程为，可得平行线和的距离为，由，可得，，即，则平行四边形的面积为，化为，则．故选．解析:设表示手背，表示手心，则位同学的手势的所有可能结果有：，，，，，，，，共种，其中第一个数表示小明所出的手势，后个数表示其余人所出的手势，则小明得分的结果有：，，，，，共种，由古典概型计算公式可知，一局游戏中，小明得分的概率，现人共进行次游戏得分之和为，则，所以．故选．解析:C 9.D 10.根据题意，若平面上满足，又由，则为线段的垂直线，设的中点为，，，又由且，则为等腰直角三角形，圆：，即，则，则，，当且仅当时等号成立，故的最大值为．故选．解析:当时，由可知，，令，，∴在恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴在单调递增，又∵为偶函数，则有，∴，可得，即，A 11.即，解得．故选．解析:在有一个零点，，在恰有一个交点，令，．①时，，i：必有：符合题意，与矛盾．ii：，又，故．又，∴与无交点，舍．②时，与中的范围不符．③时，必有．综上所述，．故选．解析:∵与直线平行，∴，D 12.13.∴．故答案为：．14.解析:由题意，作出下图，∴，∴．15.解析:∵由图所示，∴解得： ，∵，∴，∵当，，∴，∴，∴，令，则，∴解得： ， ， ，，则零点之和为．16.解析:（1）（2）设，，，联立：，由韦达定理有：，∵，∴．∴=，又∵，∴．当且仅当时取得，∴．解析:由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为：．所以阅读时间的中位数．由题意得，男生人数为人，因此女生人数为人，（1）．（2）男女总计总计不能在犯错误的概率不超过的前提下认为阅读与性别有关．17.（1）（2）阅读时长大于等于的人数为：人，故列联表为如下：男女总计总计的观测值：，所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为阅读与性别有关．解析:设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意，得：，解得：，∴，∵等比数列的各项均为正数，由，解得：或（舍），∴．由（）得，，．（1）．（2）．18.（1）（2）（1）解析:在中，由正弦定理得，即．由余弦定理得，结合，可知．在中，，即．由已知，可得，∴．在中，由余弦定理得，即，整理得，即，∴，∴．解析:设，，由，且点，得，①，∴线段的中点坐标为，其在椭圆内，由，两式相减得，，整理得，，即，（1）．（2）．19.（1）．（2）．20.（2）将①代入，得：，∴直线方程为：，即，联立：，消去得，，由韦达定理得：，，∴．设直线的方程为：，由题意得：，由已知，可知，，三点共线，即，∴，即，解得，，将，，代入得：②，联立：，消去得，，由韦达定理得，，③，将③代入②得到：．（1）当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，21.（1）（2）解析:，令，则．①当或，即时，得恒成立，∴在上单调递增．②当，即时，由，得或，由，得，∴函数在和上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．由（）知，当时，有两极值点，（其中），由（）得，为的两根，于是，．∴．令，则．∵，∴在上单调递减．由已知的最大值为，而．∴．设的取值集合为，则只要满足且中的最小元素为的集合均符合题意．在上单调递减．（2）或的任意最小元素为的子集．（1）（2）（1）又，易知在上单调递增，综合，可得与是一一对应关系．而当，即时 ，联合，解得，，进而可得．∴实数的取值范围为或的任意最小元素为的子集．解析:将的参数方程化为普通方程为，由，，得点的直角坐标为，代入，得，∴曲线的普通方程为，可化为，即，∴曲线的极坐标方程为．将点，代入曲线的极坐标方程，得，，∴．由已知，可得，于是，所以的取值范围是．解析:由时，，原不等式化为，当时，，解得，综合得；当时，，解得，综合得；当时，，解得，综合得．（1），．（2）．22.（1），或．（2）．23.（2）∴不等式的解集为，或．设函数，画图可知，函数的最大值为．x2y–22O由，解得．。

2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U ＝{x|x >0}，M ＝{x|1<e x <e 2}，则∁U M ＝（ ） A.(1, 2) B.(2, +∞) C.(0, 1]∪[2, +∞) D.[2, +∞)2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z ⋅i ＝1+2i ，则z 的共轭复数为（ ） A.2−i B.2+i C.l −2i D.i −23. 已知两个力F 1＝(l, 2)，F 2＝(−2, 3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F 3，则F 3＝（ ） A.(1, −5) B.(−1, 5) C.(5, −1) D.(−5, l)4. 甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A.18 B.14C.38D.125. 已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinα=√33”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要6. 若(ax −1x )5的展开式中各项系数的和为l ，则该展开式中含x 3项的系数为（ ）A.−80B.−10C.10D.807. 己知某产品的销售额_y 与广告费用x 之间的关系如表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为y ＝6.5x +9，则下列说法中错误的是（ ） A.产品的销售额与广告费用成正相关 B.该回归直线过点(2, 22)C.当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D.m 的值是20 8. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）A.√2B.2C.√3D.39. 小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x ，则X 的期望为（ ） A.1 B.2 C.3 D.410. 已知圆C:x 2+y 2−6x −8y +9＝0，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足|PM|＝|PN|且PM ⊥PN ，则|PC|的最大值为（ ） A.8 B.8√2 C.4 D.4√211. 己知f(x)为偶函数，且当x ≥0时，f(x)＝xcosx −sinx +13x 3，则满足不等式f(log 2m)+f(log 12m)<2f (1)的实数m 的取值范围为（ ） A.( 12, 2) B.(0, 2) C.(0, 12)∪(1, 2) D.(2, +∞)12. 函数f(x)＝(2ax −1)2−log a (ax +2)在区间[0, 1a ]上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.( 13, 12)B.(1, 2]∪[3, +∞)C.(1, 2)∪[3, +∞)D.[2, 3) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行，则实数a 的值是________．法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法一一随机投针法．受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于l 的正实数对(x, y)；再统计两数的平方和小于l 的数对(x, y)的个数m ，最后再根据统计数m 来估计π的值，已知某同学一次试验统计出m ＝156，则其试验估计π为________．函数y ＝sin(ωx +φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示，则f(x)在区间[−π, π]上的零点之和为________．过点M(−1, 0)的直线，与抛物线C:y 2＝4x 交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：NA →=5AF →，则△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查：该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t （小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m．（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．2×2列联表附表：其中：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a2＝0，S6＝24．各项均为正数的等比数列{b n}满足b1+b2＝a4+1，b3＝S4．（1）求a n和b n；（2）求和：T n＝1+(1+b1)+(1+b1+b2)+...+(1+b1+b2+...+b n−1)．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知(sinA+sinB)(a−b)＝c(sinC+sinB)．（1）求A；（2）若D为BC边上一点，且AD⊥BC，BC＝2√3AD，求sinB．已知椭圆C:x22+y2=1，直线l交椭圆C于A，B两点．(l)若点P(−1, 1)满足OA+OB+OP=0→（O为坐标原点），求弦AB的长；若直线l的斜率不为0且过点(2, 0)，M为点A关于x轴的对称点，点N(n, 0)满足MN=λNB，求n的值．己知函数f(x)＝2lnx+12x2−ax，其中a∈R．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）设函数f(x)有两个极值点x1，x2（其中x2>x1），若f(x2)−f(x I)的最大值为2ln2−32，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题申任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为{x=1+rcosφy=rsinφ（r>0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1经过点P(2, π3)，曲线C2的直角坐标方程为x2−y2＝1．（1）求曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程；（2）若A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C2上两点，当α∈(0, π4)时，求1|OA|2+1|OB|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于x的不等式|x+1|−|2x−1|≤log12a，其中a>0．（1）当a＝4时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】D【考点】补集及其运算【解析】可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．【解答】∵U＝{x|x>0}，M＝{x|0<x<2}，∴∁U M＝[2, +∞)．2.【答案】B【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】∵z⋅i＝1+2i，∴z=1+2ii =(1+2i)ii2=2−i，∴z的共轭复数为：2+i，3.【答案】A【考点】平面向量的基本定理【解析】F1，F2，F3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，则得到−F3＝F1+F2，代入即可．【解答】根据题意可知−F3＝F1+F2＝(1, 2)+(−2, 3)＝(−1, 5)，则F3＝(1, −5)，4.【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】先算出所有事件，再求出符合题意的事件，求出概率．【解答】甲、乙、丙三人每人有2种选择，共有23＝8种情况，甲，乙，丙三人去同一景点有2种情况，故甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为14，5.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】通过证明，可判断充要性．【解答】若cos2α=13，则cos2α＝1−sin2α，sinα=±√33，则cos2α=13”是“sinα=√33”的不充分条件；若sinα=√33，则cos2α＝1−sin2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sinα=√33”的必要条件；综上所述：“cos2α=13”是“sinα=√33”的必要不充分条件．6.【答案】A【考点】二项式定理及相关概念【解析】先求得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x3的幂指数等于3，求出r的值，即可求得该展开式中含x3项的系数．【解答】对于(ax−1x)5的展开式，令x＝1，可得展开式中各项系数的和为(a−1)5＝l，∴a＝2．∴(ax−1x)5＝(2x−1x)5，故展开式中的通项公式为T r+1=C5r⋅(−1)r⋅25−r⋅x5−2r，令5−2r＝3，求得r＝1，可得该展开式中含x3项的系数−C51⋅24＝−80，7.【答案】C【考点】求解线性回归方程【解析】由线性回归方程判断A；求出样本点的中心坐标，代入线性回归方程求得m值判断D；进一步得到样本点的中心的坐标判断B；由回归方程的意义判断C．【解答】由线性回归方程y＝6.5x+9，可知产品的销售额与广告费用成正相关，故A正确；x=0+1+2+3+45=2，y=10+15+m+30+355=90+m5，代入y＝6.5x+9，得90+m5=6.5×2+9，解得m＝20，故D正确；y=90+m5=90+205=22，则该回归直线过点(2, 22)，故B正确；取x ＝10，得y ＝6.5×10+9＝74，说明当广告费用为10万元时，销售额预计为74万元，故C 错误． 8.【答案】 B【考点】双曲线的离心率 【解析】设出双曲线的右焦点F ，直线OA ，OB 的方程，过F 平行于渐近线的方程，求得平行线的距离，和A 的坐标，运用平行四边形的面积公式，化简可得a ，b 的关系，进而得到所求离心率． 【解答】 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F(c, 0)， 设OA 的方程为bx −ay ＝0，OB 的方程为bx +ay ＝0，过F 平行于OA 的直线FB 的方程为y =ba (x −c)，平行于OB 的直线FA 的方程为y =−ba (x −c)， 可得平行线OA 和BF 的距离为√b 2+a 2=b ，由{bx −ay =0bx +ay −bc =0 可得x =12c ，y =bc 2a ，即A(12c, bc2a )， 则平行四边形OAFB 的面积为S ＝b √14c 2+b2c 24a 2=bc ，化为b 2＝3a 2， 则e =c a=√1+b 2a 2=√1+3=2．9.【答案】 C【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】X 的可能取值为0，1，2，3，4，利用列举法求出小明每局每得分的概率P =34，从而X ∼B(4, 34)，由此能求出E(X)． 【解答】3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势， 规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分， 现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x ， 则X 的可能取值为0，1，2，3，4，设其他两位同学为a ，b ，小明为c ，列表得共有8种情况，小明得1分结果有6种情况， ∴ 小明每局每得分的概率P =34， ∴ X ∼B(4, 34)， ∴ E(X)＝4×34=3． 10. 【答案】 D【考点】圆的一般方程【解析】根据题意，分析可得PC 为线段MN 的垂直平分线，进而设MN 的中点为G ，|NG|＝n ，|CG|＝m ，分析可得m 2+n 2＝16，由于|PC|＝(m +n)=√(m +n)2=√m 2+n 2+2mn =√16+2mn ，结合基本不等式的性质分析可得答案． 【解答】根据题意，若平面上一动点P 满足|PM|＝|PN|，又由|CM|＝|CN|，则PC 为线段MN 的垂直平分线， 设MN 的中点为G ，|NG|＝n ，|CG|＝m ，又由|PM|＝|PN|且PM ⊥PN ，则△PMN 为等腰直角三角形，故|PG|＝|NG|＝n ， 圆C:x 2+y 2−6x −8y +9＝0，即(x −3)2+(y −4)2＝16， 则m 2+n 2＝16，则|PC|＝(m +n)=√(m +n)2=√m 2+n 2+2mn =√16+2mn ≤√16+(m 2+n 2)=4√2， 当且仅当m ＝n 时等号成立， 故|PC|的最大值为4√2， 11.【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】求导可知，函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，进而把原问题等价为f(log 2m)<f(1)，则−1<log 2m <1，解出即可． 【解答】当x ≥0时，f′(x)＝cosx −xsinx −cosx +x 2＝x 2−xsinx ＝x(x −sinx)>0，即函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，∴ f(log 2m)+f(log 12m)<2f (1)等价为f(log 2m)+f(−log 2m)<2f(1)，即f(log 2m)<f(1)， ∴ −1<log 2m <1， ∴ 12<m <2． 故选：A ．12.【答案】 D【考点】函数零点的判定定理 【解析】运用零点存在性定理可知，实数a 应满足f(0)f(1a )≤0，由此得到2≤a ≤3，观察选项即可得解． 【解答】依题意，函数f(x)在区间[0, 1a ]上有零点的充分条件为f(0)f(1a )≤0，即(1−log a 2)(1−log a 3)≤0， ∴ {1−log a 2≤01−log a 3≥0 或{1−log a 2≥01−log a 3≤0，解得2≤a ≤3，由此可排除A 、B 、C ，又当a ＝3时，f(x)＝(6x −1)2−log 3(3x +2)，显然f(13)=1−1=0，f(0)＝1−log 32>0，f(19)=19−log 373=109−log 37<0，则在(0,19)上有一个零点，故此时函数f(x)有两个零点，不符题意， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【答案】 2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 【解析】利用直线与直线平行的性质直接求解． 【解答】∵ 直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行， ∴ a4=−(a+1)−6，解得a ＝2，∴ 实数a 的值为2． 【答案】 3.12【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值． 【解答】由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为14π⋅12， 从区间[0, 1]随机抽取横、纵坐标都小于l 的对应面积为：1； ∴14π1=156200⇒π=4×156200=3.12．【答案】2π3【考点】三角函数的周期性及其求法 【解析】由周期求ω，由五点法作图求φ，可得函数的解析式，再根据正弦函数的零点以及图象的对称性，求出f(x)在区间[−π, π]上的零点之和． 【解答】∵ 根据函数y ＝sin(ωx +φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象，可得3T4=34⋅2πω=11π12−π6，求得ω＝2．再根据五点法作图可得 2×π6+φ=π2， ∴ φ=π6，故f(x)＝sin(2x +π6)． 在区间[−π, π]上，2x +π6∈[−11π6, 13π6]，f(x)共有4个零点：a 、b 、c 、d ，且a <b <c <d ，则2a +π6+2b +π6=2×(−π2)，2c +π6+2d +π6=2×(3π2)， 故它的所有零点之和为a +b +c +d =2π3，【答案】 8【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】设直线AB 的方程与抛物线联立求出A ，B 的坐标，由N 满足：NA →=5AF →求出N 的坐标，进而求出面积的表达式，用求导的方法求出面积之和的最小值． 【解答】焦点F(1, 0)，由对称性，显然直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为：x ＝my −1，A(x ′, y ′)，B(x, y)，由题意知y >y ′，联立直线与抛物线的方程整理得：y 2−4my +4＝0，△＝(−4m)2−16>0，m 2>1，m >1解得：y +y′＝4m ，y ′＝2m −2√m 2−1，设N(x 0, y 0)满足：NA →=5AF →，(x ′−x 0, y ′−y 0)＝5(−x ′, −y ′)，∴ y 0＝6y ′，S △ABF ＝S △BMF −S △AMF =12⋅MF ⋅(y −y ′)，S △ANM ＝S △NMF −S △AMF =12⋅MF ⋅(y 0−y ′)，MF ＝2 ∴ S △ABF +S △AMN =12⋅MF ⋅（y +y 0−2y ′）＝y +y ′+3y ′＝10m −6√m 2−1(m >1)，令f(m)＝10m −6√m 2−1，f ′(m)＝10−2，令f ′(m)＝0，m =54，m ∈(1,54)，f ′(m)<0，f(m)单调递减，m >54，f ′(m)>0，f(m)单调递增，所以m =54时，f(m)最小，且为：10×54−6√(54)2−1=8，所以△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是8，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 【答案】由题意得，直方图中第一组、第二组的频率之和为： (0.04+0.06)×5＝0.5，所以阅读时间的中位数为m ＝10；由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图得，阅读时长大于或等于m 的人数为100×0.5＝50人； 所以填写列联表如下；由表中数据，计算K 2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”． 【考点】 独立性检验 【解析】（1）由题意计算直方图中第一组、第二组的频率和为0.5，得出中位数m 的值； （2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论． 【解答】由题意得，直方图中第一组、第二组的频率之和为： (0.04+0.06)×5＝0.5，所以阅读时间的中位数为m ＝10；由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图得，阅读时长大于或等于m 的人数为100×0.5＝50人； 所以填写列联表如下；由表中数据，计算K 2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”． 【答案】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由题意，得{2a 1+d =06a 1+6×52d =24 ，解得{a 1=−1d =2 ． ∴ a n ＝2n −3，n ∈N ∗．∵ 等比数列{b n }的各项均为正数，由{b 1+b 1q =6b 1q 2=8 ，解得{b 1=2q =2 或{b 1=18q =−23（舍去）．∴ b n ＝2n ，n ∈N ∗． 由（1），得1+b 1+b 2+...+b n−1＝1+2+22+...+2n−1＝2n −1． 则T n ＝1+(1+b 1)+(1+b 1+b 2)+...+(1+b 1+b 2+...+b n−1)． ＝1+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1)＝(21−1)+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1) ＝(21+22+23+...+2n )−n =2(1−2n )−n＝2n+1−n −2． 【考点】等差数列与等比数列的综合 数列的求和 【解析】本题第（1）题设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．然后根据通项公式和求和公式列出方程组，分别解出首项和公差以及公比，即可得到两个数列各自的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果先算出一般项1+b 1+b 2+...+b n−1＝1+2+22+...+2n−1＝2n −1．代入T n 中再采用分组求和法进行计算即可得到结果． 【解答】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由题意，得{2a 1+d =06a 1+6×52d =24 ，解得{a 1=−1d =2 ． ∴ a n ＝2n −3，n ∈N ∗．∵ 等比数列{b n }的各项均为正数，由{b 1+b 1q =6b 1q 2=8，解得{b 1=2q =2 或{b 1=18q =−23 （舍去）．∴ b n ＝2n ，n ∈N ∗． 由（1），得1+b 1+b 2+...+b n−1＝1+2+22+...+2n−1＝2n −1． 则T n ＝1+(1+b 1)+(1+b 1+b 2)+...+(1+b 1+b 2+...+b n−1)． ＝1+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1)＝(21−1)+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1) ＝(21+22+23+...+2n )−n=2(1−2n )1−2−n＝2n+1−n −2． 【答案】∵ (sinA +sinB)(a −b)＝c(sinC +sinB)，∴ 由正弦定理可得：(a +b)(a −b)＝c(c +b)，即a 2＝b 2+c 2+bc ， ∴ 由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12，∵ 0<A <π， ∴ A =2π3．∵ 在△ABC 中，S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12BC ⋅AD ，即√32bc ＝a ⋅AD ，由已知BC ＝2√3AD ，可得AD =2√3，∴ 3bc ＝a 2，∴ 在△ABC 中，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2−2bccos120∘， 即3bc ＝b 2+c 2+bc ，整理可得(b −c)2＝0，即b ＝c ， ∴ B ＝C =π6， ∴ sinB ＝sin π6=12． 【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】（1）由正弦定理化简已知可得a 2＝b 2+c 2+bc ，由余弦定理可得cosA =−12，结合范围0<A <π，可求A 的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求AD =2√3，可得3bc ＝a 2，进而由余弦定理可得b ＝c ，可求A ＝B =π6，根据特殊角的三角函数值即可得解． 【解答】∵ (sinA +sinB)(a −b)＝c(sinC +sinB)，∴ 由正弦定理可得：(a +b)(a −b)＝c(c +b)，即a 2＝b 2+c 2+bc ， ∴ 由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12，∵ 0<A <π， ∴ A =2π3．∵ 在△ABC 中，S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12BC ⋅AD ，即√32bc ＝a ⋅AD ，由已知BC ＝2√3AD ，可得AD =2√3，∴ 3bc ＝a 2，∴ 在△ABC 中，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2−2bccos120∘，即3bc ＝b 2+c 2+bc ，整理可得(b −c)2＝0，即b ＝c ， ∴ B ＝C =π6， ∴ sinB ＝sin π6=12． 【答案】（1）设A(x, y)，B(x ′, y ′)，由OA →+OB →+OP →=0→，（O 为坐标原点），且P(−1, 1)， 得x +x ′＝1，y +y ′＝−1，所以线段AB 的中点坐标(12, −12)，其在椭圆内部，由{x 22+y 2=1x ′22+y′2=1两式相减得：x′2−x 22+y′2−y 2=0，所以k AB =y ′−y x ′−x =x+x ′y+y ′(−12)=12，所以直线AB 的方程为：y −(−12)=12(x −12)，即2x −4y −3＝0； 联立直线AB 与椭圆的方程整理得：24y 2+24y +1＝0， ∴ y +y ′＝−1，yy ′=124， ∴ |AB|=√1+1k 2√(y +y ′)2−4yy ′=5√66； （2）由题意设直线AB 的方程为：x ＝ty +2，由题意得M(x, −y)，联立直线AB 与椭圆的方程整理得：(2+t 2)y 2+4ty +2＝0， ∴ y +y ′=−4t2+t 2，yy ′=22+t 2，由满足MN =λNB 知，M ，N ，B 三点共线， 即k MN ＝k MB ，∴ 0−(−y)n−x=y ′−(−y)x ′−x，即yn−x=y ′+yx−x ′，解得：n =y(x ′−x)y ′+y+x ，将x ＝ty +2，x ′＝ty ′+2代入得n =2tyy ′y+y ′+2=4t−4t +2＝1，所以n 的值为1． 【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）由题意知，向量之间的关系得AB 的中点坐标，再将A ，B 的坐标代入由点差法求出直线的斜率，进而求出直线的方程；（2）设直线AB 的方程，与椭圆联立整理得出两根之和两根之积，再由向量的关系求出用A ，B 的坐标表示n 的坐标，进而求出n 的值． 【解答】（1）设A(x, y)，B(x ′, y ′)，由OA →+OB →+OP →=0→，（O 为坐标原点），且P(−1, 1)， 得x +x ′＝1，y +y ′＝−1，所以线段AB 的中点坐标(12, −12)，其在椭圆内部，由{x 22+y 2=1x ′22+y′2=1两式相减得：x′2−x 22+y′2−y 2=0，所以k AB =y ′−y x ′−x =x+x ′y+y ′(−12)=12，所以直线AB 的方程为：y −(−12)=12(x −12)，即2x −4y −3＝0； 联立直线AB 与椭圆的方程整理得：24y 2+24y +1＝0， ∴ y +y ′＝−1，yy ′=124， ∴ |AB|=√1+1k 2√(y +y ′)2−4yy ′=5√66； （2）由题意设直线AB 的方程为：x ＝ty +2，由题意得M(x, −y)，联立直线AB 与椭圆的方程整理得：(2+t 2)y 2+4ty +2＝0， ∴ y +y ′=−4t2+t 2，yy ′=22+t 2，由满足MN =λNB 知，M ，N ，B 三点共线， 即k MN ＝k MB ，∴ 0−(−y)n−x=y ′−(−y)x ′−x，即yn−x=y ′+y x−x ′，解得：n =y(x ′−x)y ′+y+x ，将x ＝ty +2，x ′＝ty ′+2代入得n =2tyy ′y+y ′+2=4t−4t +2＝1，所以n 的值为1． 【答案】 f ′(x)=x 2−ax+2x，x >0，令g(x)＝x 2−ax +2，△＝a 2−8，①当a ≤0或△≤0即a ≤2√2时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(0, +∞)上单调递增； ②当{a >0△>0 ，即a >2√2时，由f′(x)>0得，0<x <a−√a2−82或x >a+√a2+82；由f′(x)<0得，a−√a2−82<x <a+√a 2−82；∴ 函数f(x)在(0,a−√a2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a2−82,a+√a 2+82)上单调递减；综上所述，当a ≤2√2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >2√2时，f(x)在(0,a−√a2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a2−82,a+√a 2+82)上单调递减；由（1）知，当a >2√2时，f(x)有两极值点x 1，x 2(x 2>x 1)，由（1）得x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根，于是x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝2，∴ f(x 2)−f(x 1)=21n x 2x 1+12(x 22−x 12)−a(x 2−x 1)=21n x 2x 1−x 2x 1+x1x 2，令t =x 2x 1(t >1)，则f(x 2)−f(x 1)=ℎ(t)=21nt −t +1t ，∵ ℎ(t)=2t −1−1t2=−(t−1)2t 2<0，∴ ℎ(t)在(1, +∞)上单调递减，由已知ℎ(t)＝f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，而ℎ(2)＝2ln2−32，所以t ＝2，设t 的取值集合T ，则只要满足T ⊆[2, +∞)且T 中的最小元素为2的T 集合都满足题意， 又12a 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2，易知φ(t)=t +1t +2在[2, +∞)上单调递增，结合a >2√2，可得a 与t 是一一对应关系，而当t ＝2，即x 2x 1=2时，联合x 1x 2＝2，解得x 2＝2，x 1＝1，进而可得a ＝3，∴ 实数a 的取值范围为[3, +∞)或[3, +∞)的任意最小元素为3的子集． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）求导，解关于导函数的不等式即可讨论得到单调性情况；（2）首先根据已知条件可求得x 2＝2，x 1＝1，由此求得此时的a ＝3，再根据题意即可求得实数a 的取值范围． 【解答】 f ′(x)=x 2−ax+2x ，x >0，令g(x)＝x 2−ax +2，△＝a 2−8，①当a ≤0或△≤0即a ≤2√2时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(0, +∞)上单调递增； ②当{a >0△>0 ，即a >2√2时，由f′(x)>0得，0<x <a−√a2−82或x >a+√a2+82；由f′(x)<0得，a−√a2−82<x <a+√a 2−82；∴ 函数f(x)在(0,a−√a2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a 2−82,a+√a 2+82)上单调递减；综上所述，当a ≤2√2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >2√2时，f(x)在(0,a−√a2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a2−82,a+√a 2+82)上单调递减；由（1）知，当a >2√2时，f(x)有两极值点x 1，x 2(x 2>x 1)，由（1）得x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根，于是x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝2，∴ f(x 2)−f(x 1)=21n x 2x 1+12(x 22−x 12)−a(x 2−x 1)=21n x 2x 1−x 2x 1+x1x 2，令t =x 2x 1(t >1)，则f(x 2)−f(x 1)=ℎ(t)=21nt −t +1t ， ∵ ℎ(t)=2t −1−1t2=−(t−1)2t 2<0，∴ ℎ(t)在(1, +∞)上单调递减，由已知ℎ(t)＝f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，而ℎ(2)＝2ln2−32，所以t ＝2，设t 的取值集合T ，则只要满足T ⊆[2, +∞)且T 中的最小元素为2的T 集合都满足题意， 又12a 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2，易知φ(t)=t +1t +2在[2, +∞)上单调递增，结合a >2√2，可得a 与t 是一一对应关系，而当t ＝2，即x2x 1=2时，联合x 1x 2＝2，解得x 2＝2，x 1＝1，进而可得a ＝3，∴ 实数a 的取值范围为[3, +∞)或[3, +∞)的任意最小元素为3的子集．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题申任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】将曲线C 1的参数方程转化成普通方程为：(x −1)2+y 2＝r 2， 由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3)，代入曲线C 1得r 2＝3， ∴ 曲线C 1的普通方程为：(x −1)2+y 2＝3， C 2可化为ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ＝1， 即ρ2cos2θ＝1，∴ 曲线C 2的极坐标方程ρ2cos2θ＝1，将点A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C 2的极坐标方程，得p 12cos2α=1，ρ22cos(2α−π3)=1， ∴ 1|OA|+1|OB|=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3)．当α∈(0, π4)时，2α+π3∈(π3,5π6)， 于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]． 所以1|OA|2+1|OB|2的取值范围是(√32,√3]．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）将参数方程转化成普通方程，直角坐标方程转化成极坐标方程；（2）将点带入可求等式，将所求转化成极坐标表示的长度，联立带入化简，计算，求值． 【解答】将曲线C 1的参数方程转化成普通方程为：(x −1)2+y 2＝r 2， 由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3)，代入曲线C 1得r 2＝3，∴ 曲线C 1的普通方程为：(x −1)2+y 2＝3， C 2可化为ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ＝1， 即ρ2cos2θ＝1，∴ 曲线C 2的极坐标方程ρ2cos2θ＝1，将点A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C 2的极坐标方程，得p 12cos2α=1，ρ22cos(2α−π3)=1， ∴ 1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3)．当α∈(0, π4)时，2α+π3∈(π3,5π6)，于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]．所以1|OA|2+1|OB|2的取值范围是(√32,√3]．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 【答案】当a ＝4时，关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2， 当x ≥12时，x +1−(2x −1)≤−2，解得x ≥4，综合可得x ≥4； 当x ≤−1时，−x −1+(2x −1)≤−2，解得x ≤0，综合可得x ≤−1；当−1<x <12时，x +1+(2x −1)≤−2，解得x ≤−23，综合可得−1<x ≤−23， 综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞)；设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|＝|x +1|−|x −12|−|x −12| ≤|x +1−(x −12)|−0=32，可得x =12时，f(x)取得最大值32， 若该不等式对x ∈R 恒成立，可得log 12a ≥32，解得0<a ≤√24．【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）由绝对值的意义，讨论x 的范围，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最大值，由恒成立思想，解对数不等式可得所求范围． 【解答】当a ＝4时，关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2， 当x ≥12时，x +1−(2x −1)≤−2，解得x ≥4，综合可得x ≥4； 当x ≤−1时，−x −1+(2x −1)≤−2，解得x ≤0，综合可得x ≤−1；当−1<x <12时，x +1+(2x −1)≤−2，解得x ≤−23，综合可得−1<x ≤−23， 综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞)；设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|＝|x +1|−|x −12|−|x −12| ≤|x +1−(x −12)|−0=32，可得x =12时，f(x)取得最大值32， 若该不等式对x ∈R 恒成立，可得log 12a ≥32，解得0<a ≤√24．。

2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U＝{x|x>0}，M＝{x|1<e x<e2}，则∁U M＝（）A.(1, 2)B.(2, +∞)C.(0, 1]∪[2, +∞)D.[2, +∞)【答案】D【考点】补集及其运算【解析】可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．【解答】∵U＝{x|x>0}，M＝{x|0<x<2}，∴∁U M＝[2, +∞)．2. 已知i为虚数单位，复数z满足z⋅i＝1+2i，则z的共轭复数为（）A.2−iB.2+iC.l−2iD.i−2【答案】B【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】∵z⋅i＝1+2i，∴z=1+2ii =(1+2i)ii2=2−i，∴z的共轭复数为：2+i，3. 已知两个力F1＝(l, 2)，F2＝(−2, 3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F3，则F3＝（）A.(1, −5)B.(−1, 5)C.(5, −1)D.(−5, l)【答案】A【考点】平面向量的基本定理【解析】F1，F2，F3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，则得到−F3＝F1+F2，代入即可．【解答】根据题意可知−F3＝F1+F2＝(1, 2)+(−2, 3)＝(−1, 5)，则F3＝(1, −5)，4. 甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（）A.1 8B.14C.38D.12【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】先算出所有事件，再求出符合题意的事件，求出概率． 【解答】甲、乙、丙三人每人有2种选择，共有23＝8种情况， 甲，乙，丙三人去同一景点有2种情况，故甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为14，5. 已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sinα=√33”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要 【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】通过证明，可判断充要性． 【解答】若cos2α=13，则cos2α＝1−sin 2α，sinα=±√33，则cos2α=13”是“sinα=√33”的不充分条件；若sinα=√33，则cos2α＝1−sin 2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sinα=√33”的必要条件；综上所述：“cos2α=13”是“sinα=√33”的必要不充分条件．6. 若(ax −1x )5的展开式中各项系数的和为l ，则该展开式中含x 3项的系数为（ ） A.−80 B.−10 C.10 D.80 【答案】 A【考点】二项式定理及相关概念 【解析】先求得a 的值，在二项展开式的通项公式中，令x 3的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得该展开式中含x 3项的系数． 【解答】对于(ax −1x )5的展开式，令x ＝1，可得展开式中各项系数的和为(a −1)5＝l ，∴ a ＝2．∴(ax−1x )5＝(2x−1x)5，故展开式中的通项公式为T r+1=C5r⋅(−1)r⋅25−r⋅x5−2r，令5−2r＝3，求得r＝1，可得该展开式中含x3项的系数−C51⋅24＝−80，7. 己知某产品的销售额_y与广告费用x之间的关系如表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y对x的回归直线方程为y＝6.5x+9，则下列说法中错误的是（）A.产品的销售额与广告费用成正相关B.该回归直线过点(2, 22)C.当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D.m的值是20【答案】C【考点】求解线性回归方程【解析】由线性回归方程判断A；求出样本点的中心坐标，代入线性回归方程求得m值判断D；进一步得到样本点的中心的坐标判断B；由回归方程的意义判断C．【解答】由线性回归方程y＝6.5x+9，可知产品的销售额与广告费用成正相关，故A正确；x=0+1+2+3+45=2，y=10+15+m+30+355=90+m5，代入y＝6.5x+9，得90+m5=6.5×2+9，解得m＝20，故D正确；y=90+m5=90+205=22，则该回归直线过点(2, 22)，故B正确；取x＝10，得y＝6.5×10+9＝74，说明当广告费用为10万元时，销售额预计为74万元，故C错误．8. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB（O为坐标原点）的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A.√2B.2C.√3D.3【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】设出双曲线的右焦点F，直线OA，OB的方程，过F平行于渐近线的方程，求得平行线的距离，和A的坐标，运用平行四边形的面积公式，化简可得a，b的关系，进而得到所求离心率．【解答】双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F(c, 0)，设OA 的方程为bx −ay ＝0，OB 的方程为bx +ay ＝0，过F 平行于OA 的直线FB 的方程为y =ba (x −c)，平行于OB 的直线FA 的方程为y =−ba (x −c)，可得平行线OA 和BF 的距离为22=b ，由{bx −ay =0bx +ay −bc =0 可得x =12c ，y =bc 2a ，即A(12c, bc2a )， 则平行四边形OAFB 的面积为S ＝b √14c 2+b2c 24a 2=bc ，化为b 2＝3a 2， 则e =ca=√1+b 2a 2=√1+3=2．9. 小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x ，则X 的期望为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 C【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】X 的可能取值为0，1，2，3，4，利用列举法求出小明每局每得分的概率P =34，从而X ∼B(4, 34)，由此能求出E(X)．【解答】3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势， 规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分， 现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x ， 则X 的可能取值为0，1，2，3，4，设其他两位同学为a ，b ，小明为c ，列表得共有8种情况，小明得1分结果有6种情况， ∴ 小明每局每得分的概率P =34，∴X∼B(4, 34)，∴E(X)＝4×34=3．10. 已知圆C:x2+y2−6x−8y+9＝0，点M，N在圆C上，平面上一动点P满足|PM|＝|PN|且PM⊥PN，则|PC|的最大值为（）A.8B.8√2C.4D.4√2【答案】D【考点】圆的一般方程【解析】根据题意，分析可得PC为线段MN的垂直平分线，进而设MN的中点为G，|NG|＝n，|CG|＝m，分析可得m2+n2＝16，由于|PC|＝(m+n)=√(m+n)2=√m2+n2+2mn=√16+2mn，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】根据题意，若平面上一动点P满足|PM|＝|PN|，又由|CM|＝|CN|，则PC为线段MN的垂直平分线，设MN的中点为G，|NG|＝n，|CG|＝m，又由|PM|＝|PN|且PM⊥PN，则△PMN为等腰直角三角形，故|PG|＝|NG|＝n，圆C:x2+y2−6x−8y+9＝0，即(x−3)2+(y−4)2＝16，则m2+n2＝16，则|PC|＝(m+n)=√(m+n)2=√m2+n2+2mn=√16+2mn≤√16+(m2+n2)=4√2，当且仅当m＝n时等号成立，故|PC|的最大值为4√2，11. 己知f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝xcosx−sinx+13x3，则满足不等式f(log2m)+f(log12m)<2f (1)的实数m的取值范围为（）A.( 12, 2) B.(0, 2)C.(0, 12)∪(1, 2) D.(2, +∞)【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】求导可知，函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，进而把原问题等价为f(log2m)<f(1)，则−1<log2m<1，解出即可．【解答】当x≥0时，f′(x)＝cosx−xsinx−cosx+x2＝x2−xsinx＝x(x−sinx)>0，即函数f(x)在[0, +∞)上为增函数，∴f(log2m)+f(log12m)<2f (1)等价为f(log2m)+f(−log2m)<2f(1)，即f(log2m)<f(1)，∴ −1<log 2m <1， ∴ 12<m <2． 故选：A ．12. 函数f(x)＝(2ax −1)2−log a (ax +2)在区间[0, 1a ]上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.( 13, 12)B.(1, 2]∪[3, +∞)C.(1, 2)∪[3, +∞)D.[2, 3)【答案】 D【考点】函数零点的判定定理 【解析】运用零点存在性定理可知，实数a 应满足f(0)f(1a )≤0，由此得到2≤a ≤3，观察选项即可得解． 【解答】依题意，函数f(x)在区间[0, 1a ]上有零点的充分条件为f(0)f(1a )≤0，即(1−log a 2)(1−log a 3)≤0，∴ {1−log a 2≤01−log a 3≥0 或{1−log a 2≥01−log a 3≤0 ，解得2≤a ≤3，由此可排除A 、B 、C ，又当a ＝3时，f(x)＝(6x −1)2−log 3(3x +2)，显然f(13)=1−1=0，f(0)＝1−log 32>0，f(19)=19−log 373=109−log 37<0，则在(0,19)上有一个零点，故此时函数f(x)有两个零点，不符题意， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行，则实数a 的值是________． 【答案】 2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 【解析】利用直线与直线平行的性质直接求解． 【解答】∵ 直线l 1:ax −(a +1)y −1＝0与直线4x −6y +3＝0平行， ∴ a4=−(a+1)−6，解得a ＝2，∴ 实数a 的值为2．法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法一一随机投针法．受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于l的正实数对(x, y)；再统计两数的平方和小于l的数对(x, y)的个数m，最后再根据统计数m来估计π的值，已知某同学一次试验统计出m＝156，则其试验估计π为________．【答案】3.12【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．【解答】由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为14π⋅12，从区间[0, 1]随机抽取横、纵坐标都小于l的对应面积为：1；∴14π1=156200⇒π=4×156200=3.12．函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示，则f(x)在区间[−π, π]上的零点之和为________．【答案】2π【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】由周期求ω，由五点法作图求φ，可得函数的解析式，再根据正弦函数的零点以及图象的对称性，求出f(x)在区间[−π, π]上的零点之和．【解答】∵根据函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象，可得3T4=34⋅2πω=11π12−π6，求得ω＝2．再根据五点法作图可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6，故f(x)＝sin(2x+π6)．在区间[−π, π]上，2x+π6∈[−11π6, 13π6]，f(x)共有4个零点：a、b、c、d，且a<b<c<d，则2a+π6+2b+π6=2×(−π2)，2c+π6+2d+π6=2×(3π2)，故它的所有零点之和为a +b +c +d =2π3，过点M(−1, 0)的直线，与抛物线C:y 2＝4x 交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：NA →=5AF →，则△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是________． 【答案】 8【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】设直线AB 的方程与抛物线联立求出A ，B 的坐标，由N 满足：NA →=5AF →求出N 的坐标，进而求出面积的表达式，用求导的方法求出面积之和的最小值． 【解答】焦点F(1, 0)，由对称性，显然直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为：x ＝my −1，A(x ′, y ′)，B(x, y)，由题意知y >y ′，联立直线与抛物线的方程整理得：y 2−4my +4＝0，△＝(−4m)2−16>0，m 2>1，m >1解得：y +y ′＝4m ，y ′＝2m −2√m 2−1，设N(x 0, y 0)满足：NA →=5AF →，(x ′−x 0, y ′−y 0)＝5(−x ′, −y ′)，∴ y 0＝6y ′， S △ABF ＝S △BMF −S △AMF =12⋅MF ⋅(y −y ′)，S △ANM ＝S △NMF −S △AMF =12⋅MF ⋅(y 0−y ′)，MF ＝2∴ S △ABF +S △AMN =12⋅MF ⋅（y +y 0−2y ′）＝y +y ′+3y ′＝10m −6√m 2−1(m >1)，令f(m)＝10m −6√m 2−1，f ′(m)＝10−√m 2−1，令f ′(m)＝0，m =54，m ∈(1,54)，f ′(m)<0，f(m)单调递减，m >54，f ′(m)>0，f(m)单调递增，所以m =54时，f(m)最小，且为：10×54−6√(54)2−1=8，所以△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是8，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查：该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m．（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．2×2列联表附表：其中：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．【答案】由题意得，直方图中第一组、第二组的频率之和为：(0.04+0.06)×5＝0.5，所以阅读时间的中位数为m＝10；由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图得，阅读时长大于或等于m的人数为100×0.5＝50人；所以填写列联表如下；由表中数据，计算K2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”．【考点】 独立性检验 【解析】（1）由题意计算直方图中第一组、第二组的频率和为0.5，得出中位数m 的值； （2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论． 【解答】由题意得，直方图中第一组、第二组的频率之和为： (0.04+0.06)×5＝0.5，所以阅读时间的中位数为m ＝10；由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图得，阅读时长大于或等于m 的人数为100×0.5＝50人； 所以填写列联表如下；由表中数据，计算K 2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1+a 2＝0，S 6＝24．各项均为正数的等比数列{b n }满足b 1+b 2＝a 4+1，b 3＝S 4． （1）求a n 和b n ；（2）求和：T n ＝1+(1+b 1)+(1+b 1+b 2)+...+(1+b 1+b 2+...+b n−1)． 【答案】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由题意，得{2a 1+d =06a 1+6×52d =24 ，解得{a 1=−1d =2 ． ∴ a n ＝2n −3，n ∈N ∗．∵ 等比数列{b n }的各项均为正数，由{b 1+b 1q =6b 1q 2=8，解得{b 1=2q =2 或{b 1=18q =−23 （舍去）．∴ b n ＝2n ，n ∈N ∗．由（1），得1+b 1+b 2+...+b n−1＝1+2+22+...+2n−1＝2n −1． 则T n ＝1+(1+b 1)+(1+b 1+b 2)+...+(1+b 1+b 2+...+b n−1)． ＝1+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1)＝(21−1)+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1) ＝(21+22+23+...+2n )−n =2(1−2n )1−2−n＝2n+1−n −2． 【考点】等差数列与等比数列的综合 数列的求和 【解析】本题第（1）题设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．然后根据通项公式和求和公式列出方程组，分别解出首项和公差以及公比，即可得到两个数列各自的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果先算出一般项1+b 1+b 2+...+b n−1＝1+2+22+...+2n−1＝2n −1．代入T n 中再采用分组求和法进行计算即可得到结果． 【解答】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由题意，得{2a 1+d =06a 1+6×52d =24 ，解得{a 1=−1d =2 ． ∴ a n ＝2n −3，n ∈N ∗．∵ 等比数列{b n }的各项均为正数，由{b 1+b 1q =6b 1q 2=8，解得{b 1=2q =2 或{b 1=18q =−23（舍去）．∴ b n ＝2n，n ∈N ∗．由（1），得1+b 1+b 2+...+b n−1＝1+2+22+...+2n−1＝2n −1． 则T n ＝1+(1+b 1)+(1+b 1+b 2)+...+(1+b 1+b 2+...+b n−1)． ＝1+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1)＝(21−1)+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1) ＝(21+22+23+...+2n )−n=2(1−2n )1−2−n＝2n+1−n −2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知(sinA +sinB)(a −b)＝c(sinC +sinB)． （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD ⊥BC ，BC ＝2√3AD ，求sinB ． 【答案】∵ (sinA +sinB)(a −b)＝c(sinC +sinB)，∴ 由正弦定理可得：(a +b)(a −b)＝c(c +b)，即a 2＝b 2+c 2+bc ， ∴ 由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12，∵ 0<A <π， ∴ A =2π3．∵ 在△ABC 中，S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12BC ⋅AD ，即√32bc ＝a ⋅AD ，由已知BC ＝2√3AD ，可得AD =2√3，∴ 3bc ＝a 2，∴ 在△ABC 中，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2−2bccos120∘， 即3bc ＝b 2+c 2+bc ，整理可得(b −c)2＝0，即b ＝c ， ∴ B ＝C =π6， ∴ sinB ＝sin π6=12． 【考点】余弦定理 正弦定理 【解析】（1）由正弦定理化简已知可得a 2＝b 2+c 2+bc ，由余弦定理可得cosA =−12，结合范围0<A <π，可求A 的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求AD =2√3，可得3bc ＝a 2，进而由余弦定理可得b ＝c ，可求A ＝B =π6，根据特殊角的三角函数值即可得解． 【解答】∵ (sinA +sinB)(a −b)＝c(sinC +sinB)，∴ 由正弦定理可得：(a +b)(a −b)＝c(c +b)，即a 2＝b 2+c 2+bc ， ∴ 由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12，∵ 0<A <π， ∴ A =2π3．∵ 在△ABC 中，S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12BC ⋅AD ，即√32bc ＝a ⋅AD ，由已知BC ＝2√3AD ，可得AD =2√3，∴ 3bc ＝a 2，∴ 在△ABC 中，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2−2bccos120∘， 即3bc ＝b 2+c 2+bc ，整理可得(b −c)2＝0，即b ＝c ， ∴ B ＝C =π6， ∴ sinB ＝sin π6=12．已知椭圆C:x 22+y 2=1，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．(l)若点P(−1, 1)满足OA +OB +OP =0→（O 为坐标原点），求弦AB 的长； 若直线l 的斜率不为0且过点(2, 0)，M 为点A 关于x 轴的对称点，点N(n, 0)满足MN =λNB ，求n 的值． 【答案】（1）设A(x, y)，B(x ′, y ′)，由OA →+OB →+OP →=0→，（O 为坐标原点），且P(−1, 1)， 得x +x ′＝1，y +y ′＝−1，所以线段AB 的中点坐标(12, −12)，其在椭圆内部，由{x 22+y 2=1x ′22+y′2=1两式相减得：x′2−x 22+y′2−y 2=0，所以k AB =y ′−yx ′−x =x+x ′y+y ′(−12)=12，所以直线AB 的方程为：y −(−12)=12(x −12)，即2x −4y −3＝0； 联立直线AB 与椭圆的方程整理得：24y 2+24y +1＝0， ∴ y +y ′＝−1，yy ′=124， ∴ |AB|=√1+1k 2√(y +y ′)2−4yy ′=5√66； （2）由题意设直线AB 的方程为：x ＝ty +2，由题意得M(x, −y)，联立直线AB 与椭圆的方程整理得：(2+t 2)y 2+4ty +2＝0， ∴ y +y ′=−4t2+t 2，yy ′=22+t 2，由满足MN =λNB 知，M ，N ，B 三点共线， 即k MN ＝k MB ，∴ 0−(−y)n−x=y ′−(−y)x ′−x，即yn−x=y ′+y x−x ′，解得：n =y(x ′−x)y ′+y+x ，将x ＝ty +2，x ′＝ty ′+2代入得n =2tyy ′y+y ′+2=4t−4t +2＝1，所以n 的值为1．【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）由题意知，向量之间的关系得AB 的中点坐标，再将A ，B 的坐标代入由点差法求出直线的斜率，进而求出直线的方程；（2）设直线AB 的方程，与椭圆联立整理得出两根之和两根之积，再由向量的关系求出用A ，B 的坐标表示n 的坐标，进而求出n 的值． 【解答】（1）设A(x, y)，B(x ′, y ′)，由OA →+OB →+OP →=0→，（O 为坐标原点），且P(−1, 1)， 得x +x ′＝1，y +y ′＝−1，所以线段AB 的中点坐标(12, −12)，其在椭圆内部，由{x 22+y 2=1x ′22+y′2=1两式相减得：x′2−x 22+y′2−y 2=0，所以k AB =y ′−yx ′−x =x+x ′y+y ′(−12)=12，所以直线AB 的方程为：y −(−12)=12(x −12)，即2x −4y −3＝0； 联立直线AB 与椭圆的方程整理得：24y 2+24y +1＝0， ∴ y +y ′＝−1，yy ′=124， ∴ |AB|=√1+1k 2√(y +y ′)2−4yy ′=5√66； （2）由题意设直线AB 的方程为：x ＝ty +2，由题意得M(x, −y)，联立直线AB 与椭圆的方程整理得：(2+t 2)y 2+4ty +2＝0，∴ y +y ′=−4t2+t 2，yy ′=22+t 2，由满足MN =λNB 知，M ，N ，B 三点共线， 即k MN ＝k MB ，∴ 0−(−y)n−x=y ′−(−y)x −x，即yn−x=y ′+y x−x ，解得：n =y(x ′−x)y ′+y+x ，将x ＝ty +2，x ′＝ty ′+2代入得n =2tyy ′y+y ′+2=4t−4t +2＝1，所以n 的值为1．己知函数f(x)＝2lnx +12x 2−ax ，其中a ∈R ．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）设函数f(x)有两个极值点x 1，x 2（其中x 2>x 1），若f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，求实数a 的取值范围． 【答案】 f ′(x)=x 2−ax+2x ，x >0，令g(x)＝x 2−ax +2，△＝a 2−8，①当a ≤0或△≤0即a ≤2√2时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(0, +∞)上单调递增； ②当{a >0△>0 ，即a >2√2时，由f′(x)>0得，0<x <a−√a2−82或x >a+√a2+82；由f′(x)<0得，a−√a2−82<x <a+√a 2−82；∴ 函数f(x)在(0,a−√a2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a2−82,a+√a 2+82)上单调递减；综上所述，当a ≤2√2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >2√2时，f(x)在(0,a−√a 2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a 2−82,a+√a 2+82)上单调递减；由（1）知，当a >2√2时，f(x)有两极值点x 1，x 2(x 2>x 1)，由（1）得x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根，于是x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝2，∴ f(x 2)−f(x 1)=21n x 2x 1+12(x 22−x 12)−a(x 2−x 1)=21n x 2x 1−x 2x 1+x1x 2，令t =x 2x 1(t >1)，则f(x 2)−f(x 1)=ℎ(t)=21nt −t +1t ， ∵ ℎ(t)=2t −1−1t2=−(t−1)2t 2<0，∴ ℎ(t)在(1, +∞)上单调递减，由已知ℎ(t)＝f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，而ℎ(2)＝2ln2−32，所以t ＝2，设t 的取值集合T ，则只要满足T ⊆[2, +∞)且T 中的最小元素为2的T 集合都满足题意， 又12a 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2，易知φ(t)=t +1t +2在[2, +∞)上单调递增，结合a >2√2，可得a 与t 是一一对应关系，而当t ＝2，即x2x 1=2时，联合x 1x 2＝2，解得x 2＝2，x 1＝1，进而可得a ＝3，∴ 实数a 的取值范围为[3, +∞)或[3, +∞)的任意最小元素为3的子集． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）求导，解关于导函数的不等式即可讨论得到单调性情况；（2）首先根据已知条件可求得x 2＝2，x 1＝1，由此求得此时的a ＝3，再根据题意即可求得实数a 的取值范围． 【解答】 f ′(x)=x 2−ax+2x，x >0，令g(x)＝x 2−ax +2，△＝a 2−8，①当a ≤0或△≤0即a ≤2√2时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(0, +∞)上单调递增； ②当{a >0△>0 ，即a >2√2时，由f′(x)>0得，0<x <a−√a2−82或x >a+√a2+82；由f′(x)<0得，a−√a2−82<x <a+√a 2−82；∴ 函数f(x)在(0,a−√a2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a 2−82,a+√a 2+82)上单调递减；综上所述，当a ≤2√2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >2√2时，f(x)在(0,a−√a 2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增，在(a−√a2−82,a+√a 2+82)上单调递减；由（1）知，当a >2√2时，f(x)有两极值点x 1，x 2(x 2>x 1)，由（1）得x 1，x 2为g(x)＝x 2−ax +2＝0的两根，于是x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝2，∴ f(x 2)−f(x 1)=21n x 2x 1+12(x 22−x 12)−a(x 2−x 1)=21n x 2x 1−x 2x 1+x1x 2，令t =x 2x 1(t >1)，则f(x 2)−f(x 1)=ℎ(t)=21nt −t +1t ， ∵ ℎ(t)=2t −1−1t2=−(t−1)2t 2<0，∴ ℎ(t)在(1, +∞)上单调递减，由已知ℎ(t)＝f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32，而ℎ(2)＝2ln2−32，所以t ＝2，设t 的取值集合T ，则只要满足T ⊆[2, +∞)且T 中的最小元素为2的T 集合都满足题意， 又12a 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2，易知φ(t)=t +1t +2在[2, +∞)上单调递增，结合a >2√2，可得a 与t 是一一对应关系，而当t ＝2，即x2x 1=2时，联合x 1x 2＝2，解得x 2＝2，x 1＝1，进而可得a ＝3，∴ 实数a 的取值范围为[3, +∞)或[3, +∞)的任意最小元素为3的子集．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题申任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{x =1+rcosφy =rsinφ（r >0，φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1经过点P(2, π3)，曲线C 2的直角坐标方程为x 2−y 2＝1．（1）求曲线C 1的普通方程，曲线C 2的极坐标方程；（2）若A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C 2上两点，当α∈(0, π4)时，求1|OA|2+1|OB|2的取值范围． 【答案】将曲线C 1的参数方程转化成普通方程为：(x −1)2+y 2＝r 2， 由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3)，代入曲线C 1得r 2＝3， ∴ 曲线C 1的普通方程为：(x −1)2+y 2＝3， C 2可化为ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ＝1， 即ρ2cos2θ＝1，∴ 曲线C 2的极坐标方程ρ2cos2θ＝1，将点A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C 2的极坐标方程，得p 12cos2α=1，ρ22cos(2α−π3)=1， ∴ 1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3)．当α∈(0, π4)时，2α+π3∈(π3,5π6)，于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]．所以1|OA|2+1|OB|2的取值范围是(√32,√3]．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）将参数方程转化成普通方程，直角坐标方程转化成极坐标方程；（2）将点带入可求等式，将所求转化成极坐标表示的长度，联立带入化简，计算，求值．将曲线C 1的参数方程转化成普通方程为：(x −1)2+y 2＝r 2， 由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3)，代入曲线C 1得r 2＝3， ∴ 曲线C 1的普通方程为：(x −1)2+y 2＝3， C 2可化为ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ＝1， 即ρ2cos2θ＝1，∴ 曲线C 2的极坐标方程ρ2cos2θ＝1，将点A(ρ1, α)，B(ρ2, α−π6)是曲线C 2的极坐标方程，得p 12cos2α=1，ρ22cos(2α−π3)=1， ∴ 1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3)．当α∈(0, π4)时，2α+π3∈(π3,5π6)，于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]． 所以1|OA|2+1|OB|2的取值范围是(√32,√3]．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a ，其中a >0．（1）当a ＝4时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】当a ＝4时，关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2， 当x ≥12时，x +1−(2x −1)≤−2，解得x ≥4，综合可得x ≥4； 当x ≤−1时，−x −1+(2x −1)≤−2，解得x ≤0，综合可得x ≤−1；当−1<x <12时，x +1+(2x −1)≤−2，解得x ≤−23，综合可得−1<x ≤−23， 综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞)；设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|＝|x +1|−|x −12|−|x −12| ≤|x +1−(x −12)|−0=32，可得x =12时，f(x)取得最大值32， 若该不等式对x ∈R 恒成立，可得log 12a ≥32，解得0<a ≤√24．不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）由绝对值的意义，讨论x 的范围，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集； （2）设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最大值，由恒成立思想，解对数不等式可得所求范围． 【解答】当a ＝4时，关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2， 当x ≥12时，x +1−(2x −1)≤−2，解得x ≥4，综合可得x ≥4； 当x ≤−1时，−x −1+(2x −1)≤−2，解得x ≤0，综合可得x ≤−1；当−1<x <12时，x +1+(2x −1)≤−2，解得x ≤−23，综合可得−1<x ≤−23， 综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞)；设函数f(x)＝|x +1|−|2x −1|＝|x +1|−|x −12|−|x −12| ≤|x +1−(x −12)|−0=32，可得x =12时，f(x)取得最大值32，若该不等式对x ∈R 恒成立，可得log 12a ≥32，解得0<a ≤√24．。