第六章 微分方程一、一阶微分方程1、一阶线性方程)()(x Q y x P dxdy=+])([)()(C dx e x Q e y dx x P dxx P +⎰⎰=⎰-通解2、伯努利方程)1,0()()(d d ≠=+n y x Q y x P xyn ).()(d d 1111x Q y x P xy n n n=+⋅---令.1n y z -= 二、可降阶的高阶方程1．)()(x f y n =n 次积分2．)',("y x f y = 不显含y令)('x p y =，化为一阶方程 ),('p x f p =。
3．)',("y y f y = 不显含自变量令)('y p y =，dydpp dx y d =22，化为一阶方程。
三、线性微分方程)()()()(1)1(1)(x f y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- ，0)(≡x f 时称为齐次的，0)(≡/x f 称为非齐次的。
1．二阶线性齐次线性方程0)()(=+'+''y x Q y x P y （1）如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个解，则)()(2211x y C x y C y += 也是(1)的解,其中21,C C 是任意常数。
如果)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个线性无关的特解,则)()(2211x y C x y C y += (21,C C 是任意常数)是(1)的通解.两个函数)(1x y 与)(2x y 线性无关的充要条件为C x y x y ≡/)()(21（常数）2．二阶线性非齐次线性方程设)(*x y 是二阶线性非齐次线性方程 )()()(x f y x Q y x P y =+'+''的一个特解,)(x Y 是它对应的齐次方程(1)的通解,则 )()(*x y x Y y += 是该方程的通解.设)(*1x y 与)(*2x y 分别是二阶线性非齐次方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+'' 与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的两个特解。
则+)(*1x y )(*2x y 是)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+''的特解。
（叠加原理）3.二阶线性常系数齐次方程0'"=++qy py y02,r r 4．二阶线性常系数非齐次方程i) 如果x m e x P x f λ)()(=,则二阶线性常系数非齐次方程具有形如x m k e x Q x y λ)(*= 的特解。
其中，)(x P m 是m 次多项式, )(x Q m 也是系数待定的m 次多项式；2,1,0=k 依照λ为特征根的重数而取值.i)如果[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=,则二阶线性常系数非齐次方程的特解可设为[]xx R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()2()1(*+=其中)(),()2()1(x R x R m m 是系数待定的m次多项式,{}n l m ,m ax =,1,0=k 依照ωλi +特征根的重数取值.四、欧拉方程二阶欧拉方程)(2x f qy y px y x =+'+''，其中q p ,为常数. 作变换te x =，则有 dtdy x dx dt dt dy dx dy 1=⋅=,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=dt dy dt y d x dx y d 222221。
原方程变为二阶线性常系数方程)()1(22te f qy dtdy p dx y d =+-+。
第七章 空间解析几何一、1、φβαβαsin ||||||=⨯，其中φ是α与β的夹角；2、向量积满足下列运算律： 1）反交换律 )(αββα⨯-=⨯；2）结合律)()()(βλαβαλβαλ⨯=⨯=⨯，其中λ是数量 ；3） 左分配律 βγαγβαγ⨯+⨯=+⨯)(，右分配律 γβγαγβα⨯+⨯=⨯+)(．3、321321212131313232b b b a a a k j i k b b a a j b b a a i b b a a=+-=⨯βα 4、若0},,{321≠=a a a α，则ααα||10=称为α单位化向量，并有||ααα=．此时}cos ,cos ,{cos ,,2322213232221223222110γβαα=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++++++=a a a a aa a a a a a a 其中 是α的方向余弦．三、1、旋转面方程yoz 平面上的曲线C ：⎩⎨⎧==00),(x z y f 绕z 轴的旋转面方程为0),(22=+±z y x f ；绕y 轴的旋转面方程为0),(22=+±z x y f ．类似可得其它坐标面上的曲线绕坐标轴的旋转面方程．2、柱面方程以xoy 平面上的曲线C ：⎩⎨⎧==00),(z y x f 为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为0),(=y x f ．同理方程0),(=z y g 和0),(=z x h 分别表示母线平行于x 轴和y 轴的柱面．3、曲线在坐标面上的投影 在空间曲线的方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(:21z y x F z y x F C 中，经过同解变形分别消去变量z y x ,,，则可得到C 在yoz 、xoz 、xoy 平面上的投影曲线，分别为：⎩⎨⎧==00),(x z y F ； ⎩⎨⎧==00),(y z x G ；⎩⎨⎧==0),(z y x H γβαcos ,cos ,cos四、1、平面方程1）点法式：过点),,(0000z y x P ，法向量},,{C B A n =的平面方程为0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ，2）一般式： 0=+++D Cz By Ax ，其中C B A ,,不全为零．3）截距式：1=++czb y a x4）两个平面之间的关系设两个平面Π1与Π2的法向量依次为},,{1111C B A n =和},,{2222C B A n =．Π1与Π2的夹角θ规定为它们法向量的夹角（取锐角）．此时2、直线方程1）一般式：将直线表示为两个平面的交线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A ． 2）若直线L 经过点),,(0000z y x P 且与方向向量0},,{≠=n m l v 平行，则L 的方程为i) 对称式：nz z m y y l x x 000-=-=-．ii) 参数式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tn z z t m y y t l x x 000，+∞<<∞-t．3）两条直线之间的关系设两条直线L 1和L 2方向向量分别为 },,{,},,{22221111n m l v n m l v ==，L 1 与 L 222 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 || | | | | | | co C B A C B A C C B B A A n n n n + + ⋅ + + + + = ⋅ • = θ的夹角θ规定为它们方向向量的夹角（取锐角）．于是2222222121212121212121||||||||cos n m l n m l n n m m l l v v v v ++⋅++++=⋅•=θ3、直线与平面的关系设直线L 的方向向量为},,{n m l v = ，平面 Π 的法向量为},,{C B A n =．L与Π的夹角φ规定为L 与它在Π上投影直线'L 的夹角（锐角）．这时222222||||||||sin C B A n m l nC mB lA n v n v ++⋅++++=⋅•=φ．L 与 Π 垂直的充要条件是 CnB m A l == ．L 与 Π 平行的充要条件是0=++nC mB lA五、1、椭圆抛物面：2222by a x z +=，其中0,0>>b a（图3）．例如22y x z+=，22y x z +=-等．2、椭圆锥面： 22222by a xz += ，其中0,0>>b a （图4）．例如，圆锥面222y x z +=．3、单叶双曲面1222222=-+cz b y a x ， 其中0,0,0>>>c b a （图5）．图4y例如 1222=-+z y x ．4、双叶双曲面 1222222-=-+cz b y a x ， 其中0,0,0>>>c b a（图6）．例如1222=--y x z ．第八章 多元函数的微分学一、1．偏导数xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000[]0'),(),(000x x x y x f y x f ==对某一个自变量求偏导数，就是将其余的自变量看作常数，对这个变量求一元函数的导数． 2．高阶偏导数二元函数),(y x f 的二阶偏导数),(),(1122y x f y x f xzx z x xx ==∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ，或 11f ，11z ； ),(),(122y x f y x f yx zx z y xy ==∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂，或 12f ，12z ； ),(y x f xy 及),(y x f yx 称为二阶混合偏导数3、全微分6）二元函数),(y x f z =在点),(y x 处的全微分dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=三元函数),,(z y x f u =的全微分，并有dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=4、可微、可导、连续的关系在多元函数中，可微、可导、连续的关系与一元函数的情况有所不同．在多元函数中1）可微必可导，可导不一定可微； 2）可微必连续，连续不一定可微； 3）可导不一定连续，连续不一定可导5、复合函数的偏导数假设下列函数都可微，则有复合函数的求导公式（链式法则）： a.若),(v u f z =，)(x uϕ=，)(x v ψ=，则复合函数)](),([x x f z ψϕ=的导数为dx dz =dx du u z ∂∂+dxdvv z ∂∂； b.若),(v u f z =，),(y x u ϕ=，),(y x v ψ=， 则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=的偏导数x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂+xvv z ∂∂∂∂ ， y z ∂∂=y u u z ∂∂∂∂+y v v z ∂∂∂∂；6、隐函数的偏导数1）方程 0),(=y x F 所确定的隐函数的导数为yx F Fdx dy -=． 2）方程 0),,(=z y x F 所确定隐函数的偏导数为z x F F x z -=∂∂ ， zy F F y z-=∂∂． 二、1、取得极值的必要条件如果函数),(y x f z=在点),(000y x P 的两个偏导数都存在，且在该点函数取得极值，则 0),(00=y x f x ， 0),(00=y x f y ． 可导的极值点必是驻点，但极值点不一定是驻点． 2．取得极值的充分条件设),(y x f z =在驻点),(00y x 的某个邻域内有二阶的连续偏导数． 令),(00y x f A xx =, ),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =, AC B -=∆2，于是有1）如果0<∆，则点),(00y x 是函数的极值点．当0<A 时，),(00y x f 是极大值 ， 当0>A 时，),(00y x f 是极小值． 2）如果0>∆，则点),(00y x 不是函数的极值点．3）如果0=∆，则函数),(y x f z =在点),(00y x 有无极值不能确定，需用其它方法判别． 3．条件极值1）求二元函数),(y x f z =在约束条件),(y x ϕ=0下的极值，可以按照如下步骤进行：i) 构造拉格朗日函数 ),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=；ii) 解方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=∂∂=+=∂∂0),(0),(),(0),(),(y x y x y x f y L y x y x f x Ly y x x ϕϕλϕλ．若 000,,y x λ是方程组的解，则),(00y x 是该条件极值问题的可疑极值点．三、多元微分学的几何应用1．空间曲线的切线与法平面给定空间曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(:t z z t y y t x x L ，其中的三个函数有连续的导数且导数不同时为零（光滑曲线）．L 上的点),,(0000z y x P 对应的参数为0t．则曲线L 在点),,(0000z y x P 处的切向量为})(',)(',)('{000t z t y t x ，此时的切线方程为)(')(')('000000t z z z t y y y t x x x -=-=- ． 曲线L 在点),,(0000z y x P 的法平面方程为))(('))(('))(('000000=-+-+-z z t z y y t y x x t x2．曲面的切平面与法线给定曲面∑的方程0),,(=z y x F ，函数),,(z y x F 有连续的偏导数且三个偏导数不同时为零（光滑曲面）．点),,(0000z y x P 是∑上的一个点．则曲面∑在点),,(0000z y x P 处的法向量为}),,(,),,(,),,({000000000z y x F z y x F z y x F z y x ，此时的切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x ，曲面∑在点),,(0000z y x P 的法线方程为),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- ．四．方向导数与梯度1．若函数 ),,(z y x f u =在点),,(z y x P 可微，方向l 的方向余弦为γβαcos ,cos ,cos ，则函数在点),,(z y x P 沿方向l 的方向导数为γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂． 2．设函数),,(z y x f u =在空间区域G 内可微，则函数在点),,(0000z y x P 处的梯度定义为一个向量grad ),,(000z y x f ＝k z y x f j z y x f i z y x f z y x),,(),,(),,(000000000++．梯度方向是函数变化率最大的方向．在梯度方向上函数的方向导数取得最大值|),,(grad |000z y x f ．第九章 重积分一、 二重积分的计算||D d D=⎰⎰σ1．直角坐标下二重积分的计算 1）若积分区域可以表示为D ：,b x a ≤≤)()(21x y x ϕϕ≤≤，则⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x b aDdy y x f dx dxdy y x f ϕϕ2）若积分区域可以表示为 D ：,d y c ≤≤)()(21y x y ψψ≤≤，则⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(y y dcDdx y x f dy dxdy y x f ψψ．2．极坐标下二重积分的计算直角坐标与极坐标的关系为 ⎩⎨=θsin r y ，.20πθ<≤此时面积元素为θσrdrd d =或θrdrd dxdy =．若在极坐标下积分区域可以表示为 )()(,:21θϕθϕβθα≤≤≤≤r D ，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (),(θϕθϕβαθθθθθθrdrr r f d rdrd r r f dxdy y x f DD二、三重积分的计算||1Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩdv dv ，||Ω表示Ω的体积．1．直角坐标下三重积分的计算 1）“先一后二”法若积分区域可表示为Ω:),(),(,)()(,2121y x z z y x z x y y x y b x a ≤≤≤≤≤≤，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),(21),,(),,(y x z y x z D dzz y x f dxdy dxdydz z y x f xy⎰⎰⎰=),(),()()(2121),,(y x z y x z x y x y badz z y x f dy dx其中xy D 是Ω在xoy 坐标面上的投影． 2) “先二后一”法设积分区域Ω在z 轴上的投影区间为],[d c ．用平面z =z （常数）去截Ω，截面为z D ．则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩzD d cdxdy z y x f dz dxdydz z y x f ),,(),,( 其中⎰⎰zD dxdy z y x f ),,(是将z D 投影到xoy 坐标面上所做的二重积分．2．柱面坐标下三重积分的计算直角坐标与柱面坐标的关系为 ⎪⎩⎪⎨+∞<<∞-=<≤=z z z r y πθθ20sin ,，则体积元素为dz rdrd dv θ=或 dz rdrd dxdydz θ=．若积分区域在柱面坐标下可表示为:Ω,βθα≤≤)()(21θθr r r ≤≤，),(),(21θθr z z r z ≤≤，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dzrdrd z r r f dxdydz z y x f θθθ),sin ,cos (),,(⎰⎰⎰=),(),()()(2121),sin ,cos (θθθθβαθθθr z r z r r rdz z r r f dr d3．球面坐标下计算三重积分直角坐标与球面坐标的关系为⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕθϕθcos sin sin sin cos r z r y r x ，πθπϕ2000<≤≤≤+∞<≤r ，体积元素为θϕϕd drd r dv sin 2= 或 θϕϕd drd r dxdydz sin 2=． 如果积分区域在球面坐标下可表示为Ω：,βθα≤≤),(),(,)()(2121θϕθϕθϕϕθϕr r r ≤≤≤≤，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=θϕϕϕϕθϕθd d dr r r r r f dxdydz z y x f sin )cos ,sin sin ,sin cos (),,(2.sin )cos ,sin sin ,sin cos (),(),(2)()(2121⎰⎰⎰=θϕθϕθϕθϕβαϕϕϕθϕθϕθr r dr r r r r f d d4.简算：对称奇偶性， 重心公式。
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