第三章 平面与空间直线

作业： P104 5(3) (6)、8、9
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§3.2 平面与点的相关位置 §3.3 两平面的相关位置
教学时数： 2课时 教学重点：点到平面的距离、两平面的位置关系； 教学难点：1.离差的概念和应用；
2.两平面的位置关系。 教学目标：
1.理解离差的概念； 2.掌握点到平面的距离公式； 3.熟悉两平面的位置关系的充要条件； 4.培养学生的空间想象能力。
第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程 §3.2-3 平面与点 两平面的相关位置 §3.4 空间直线的方程 §3.5-6 直线与平面 直线与点的相关位置 §3.7 空间两直线的相关位置 §3.8 平面束
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第三章 平面与空间直线 教学安排说明
教学时数：12课时 本章教学目标及要求：通过本章的学习，使学生掌握空间坐标 系下平面、直线方程的各种形式，熟练掌握平面与空间直线间各种 位置关系的解析条件，会求平面与空间直线间各种距离和夹角。 本章教学重点：1.空间坐标系下平面 、直线方程的几种重要形 式；2. 平面与空间直线间各种位置关系的解析条件；3.平面与空间 直线各种度量关系的量化公式。 本章教学难点：1. 空间直线一般方程向标准方程的转化；2. 综 合运用位置关系解析条件求平面、空间直线方程。
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二、平面的法式方程
1、向量式法式方程
uuur
若M
0
是自O ur
向
所作垂线的垂足 P，
uuur
uuur
的法向量取与OP同 ur
向的单位向量n0, 并设 | OP | p，则OP pn0，故平面 的方程
uur r ur
ur r
是：n0 (r pn0 ) 0, 即 n0 r p 0, 叫平面 的向量式法式方程。

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定理1.4.2 如果向量e1, e2不共线，那么向量 r与
e1 , e2共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示，
或者说向量 r可以分解成e1 , e2的线性组合，即
r xe1 ye2
（1.4－2）
并且系数x, y被e1 , e2 , r唯一确定. 这时e1 , e2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量e1 , e2 , e3不共面，那么空间
OC OA OB
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B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则
定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a

b

b

a.
（2）结合律：
a

b

c

(a

b)

c
a

(b

c).
（3）
a

(a)

0.
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例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且
互相平分.
证 设四面体ABCD一组
D
对边AB,CD的中点E, F的连
线为EF ,它的中点为P1,其余
e3
两组对边中点分别为 P2 , P3 ,
下只需证P1 , P2 , P3三点重合
就可以了.取不共面的三向量 A
F
P1
e2
C
AB e1 , AC e2 , AD e3 ,
在不全为零的 n个数1 , 2 ,, n使得
1 a1 2 a2 n an＝0,
（1.4 4)

M 1 M 2 、 M 1 M 3 不共线
(1)
(2)
(3)
x − x x2 − x1 x3 − x1 y − y1 y2−y1 y3 − y1 = 0 z − z1 z2 − z1 z3 − z1
平面上 任意一点 设 M( x, y, z) 为平面上的任意一点
→ → r r 且 r = OM =( x, y, z), ri = OMi =( xi , yi , zi )(i = 1,2,3)
情形. 类似地可讨论 A = C = 0, B = C = 0 情形
( 4 ) A = B = D = 0,
有z = 0,即xoy面.
例 4 设平面过原点及点( 6,−3, 2) ，且与平面
4 x − y + 2 z = 8 垂直，求此平面方程 垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0, 由平面过原点知 D = 0,
代入体积式
1 1 1 1 1 ∴1 = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒t=± , 6 6t t 6t 6
∴ a = ±1,
b = ±6,
c = ±1,
所求平面方程为 6 x + y + 6 z = 6. 或
6 x + y + 6z = −6.
平面的法式方程
z
r n
M
如果一非零向量垂直 于一平面， 于一平面，这向量就叫做 法线向量． 该平面的法线向量 该平面的法线向量．
→
向量式法式 方程
n0 o
M y
→ r → r r − pn0 = n0⋅ r − p = 0 n ⋅
2 、设
→ x r r = ( x, y, z), n0 = (cosα,cos β,cosγ )

高等数学几何教材答案第一章：平面几何1. 直线与点的关系考虑直线L和点P，有以下几种情况：(1) P在L上：可以由坐标求解，若点的坐标满足直线的方程，则P 在L上；(2) P在L的延长线上：将直线的方程带入坐标计算，若方程成立，则P在L的延长线上；(3) P在L的两侧：利用点到直线的距离公式，计算出P到L的距离d，若d>0，则P在L的两侧。

2. 直线与直线的位置关系两条直线L1和L2可以有以下几种位置关系：(1) 相交：两直线有且只有一个交点；(2) 平行：两直线没有交点，方程也无解；(3) 重合：两直线完全重合，方程有无数解；(4) 相交于一点的延长线上：两直线有且只有一个交点，但该点在延长线上；(5) 相交于一点的中点上：两直线有且只有一个交点，且该点为两线段的中点。

3. 直线与平面的位置关系考虑直线L和平面P，有以下几种情况：(1) 相交：直线与平面有一个交点；(2) 平行：直线与平面没有交点，方程也无解；(3) 含于平面：直线完全位于平面上，方程有无数解。

第二章：空间几何1. 空间点和点线距离(1) 点P到直线L的距离：利用点到直线的距离公式，计算出P到L的距离；(2) 点P到平面的距离：利用点到平面的距离公式，计算出P到平面的距离；(3) 点P到点集合S的最近距离：计算出P到点集合S中所有点的距离，找出其中的最小值即为最近距离。

2. 线段相交判定法两条线段AB和CD相交的条件有以下几种：(1) AB与CD的延长线相交；(2) A、B在CD的异侧，且C、D在AB的异侧；(3) A、B、C、D四个点共线，且CD的某个端点在AB上；(4) A、B、C、D四个点共线，且AB的某个端点在CD上。

3. 空间直线与直线的位置关系考虑两条直线L1和L2，它们可以有以下几种位置关系：(1) 相交：两直线有且只有一个交点；(2) 零交：两直线没有交点，方程也无解；(3) 平行：两直线没有交点，但方程有解；(4) 共面：两直线在同一个平面内。