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在问题2中，高度h关于时间t的导数是运动 员的瞬时速度；
在问题1中，我们用的是平均膨胀率，那么
半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率.
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的
基本方法是:
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形 式,Δy也必须选择与之相对应的形式.
１、函数的平均变化率怎么表示？
我们称它为函数y＝f x 在x＝x 0处的导数， 记作：f x 0 或y
x=x 0
定义: 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 或 ,即
导数的作用：
导数可以描绘任何事物的瞬时变化率
(1 Δx)2 (1 Δx) [(1)2 (1)]
(Δx) 3Δx
2
Δy (Δx)2 3Δx 平均变化率 Δx 3 Δx Δx Δy ' f (1) lim lim (Δx 3) 3 x 0 Δx x 0
从物理的角度看, 时间间隔 | t | 无限变小时, 平均 速度v就无限趋近于t 2时的瞬时速度因此 . , 运动员在 t 2时的瞬时速度是 13.1m / s.
h2 t h2 为了表述方便 , 我们用 lim 13.1 t 0 t 表示"当t 2, t 趋势近于 0时, 平均速度 v 趋近于确 定值 13.1".
平均变化率 复习：
一般的，函数 f ( x) 在区间上 [ x1 , x2 ] 的平均变化率为
其几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线
的割线）的斜率。
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h （单位：m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系 h=-4.9t2+6.5t+10 求ｔ＝2时的瞬时速度？ 我们先考察ｔ＝2附近的情况。任取一个 时刻2＋△ｔ，△ｔ是时间改变量，可以 是正值，也可以是负值，但不为0. 当△ｔ＜0时，在2之前； 当△ｔ＞0时，在2之后。
(1)求函数y=x2在x=1处的导数;
f ' (1) （或表示成 2 y |x1 2).
1 (2)求函数 y x 在x=2处的导数. x
3 3 f (2) （或表示成y |x 2 ） . 4 4
'
例2 :已知函数y x在x x0处附近有定义, 且y ' |x x0 1 , 求x0的值. 2
x 0
t
x 0
t
2.由导数的定义可得求导数的一般步骤： (1)求函数的增量Δ y=f(x0+Δ t)-f(x0)
y (2)求平均变化率 x
'
y (3)求极限 f ( x0 ) lim x 0 x
必做题: 1.如果质点 A 按照规律 s 3t 2 运动,则在 t 3 时的瞬时 速度为
1.1.2
导数的概念
内容：利用导数的概念求导数
导数的 概念 求函数在某处的导数
应用
求函数在某点附近的平均 变化率
本课主要学习平均变化率的概念及内涵 ,掌握求平 均变化率的一般步骤 .在问题引入、概念形成及概念深 化都是采用情境探究的方法,将有关情境材料提供给学 生,学生通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究 ,获得对平均变化率概念的了解.然后在探究的基础上, 组织学生研讨自己在探究中的发现 ,通过互相交流、补 充、研讨,使学生对平均变化率的认识从感性的认识上 升到理性认识,获得一定水平层次的科学概念。针对平 均变化率的求法给出3个例题，通过解决具体问题强调 正确应用平均变化率的重要性。 在讲述平均变化率的应用时，采用例题与思考与 探究相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测， 通过设置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生 进行因材施教。
同理可得 f ' 6 5.
在第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为 3与5. 它说明： 在第2h附近, 原油温度大约以30 C / h的速率下降; 在6h附近, 原油温度大约以50 C / h的速率上升.
一般地, f x0 反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.
'
计算第3（h）和第5（h）时，原油温度的瞬时
2
2
Δy 6Δx 3(Δx) 6 3Δx Δx Δx Δy ' f (1) lim lim (6 3Δx) 6 x 0 Δx x 0
2
例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，
并求出在该点处的导数．
解：Δy f (1 Δx) f (1)
2.质点 M 按规律 s 2t 2 3 做直线运动(位移单位: cm ,时 间单位: s ),求质点 M 在 t 2 时的瞬时速度,并与运用匀 变速直线运动速度公式求得的结果进行比较.8cm / s 3.设函数
lim f ( x) 可导,且满足条件 x 0 f (1) f (1 x) 1 ,求 2x
计算区间 2 t , 2 和区间 2, 2 t 内平均速度v, 可以得到如下表格.
h
o
2
t
△ｔ＞0时 2＋△ｔ
△ｔ＜0时 2＋△ｔ
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
当△t = – 0.01时, 当△t = – 0.001时, 当△t = –0.0001时,
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
当△t = 0.01时, 当△t =0.001时, 当△t =0.0001时,
△t = 0.00001, △t =0,当t趋近于0 时,即无论t从小于2 的一边, 还是从大于2一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一个 确定的值 13.1.
y f 2 x f 2 根据导数的定义 , x x 2 x 2 72 x 15 22 7 2 15 x
和 f ' 6.
4 x x 2 7x x 3, x y ' 所以, f 2 lim lim x 3 3, x 0 x x 0
解 : y x0 x x0 ,
y x x0 x x0 ( x0 x x0 )( x0 x x0 ) x x ( x 0 x x 0 ) 1 . x 0 x x 0
lim
y 1 1 lim , x 0 x x 0 x0 x x0 2 x0
18
1 x
. 在 x 1 处的导数等于
2.函数 y x
0 3
. .
3.设函数 f ( x) ax 3 ,若 f '(1) 3 ,则 a
选做题: 1.设函数 f ( x) 可导,则 lim x 0
f (1 x) f (1) 3x
1 f (1) 3 .
f (1) f (1) 2
一差、二商、三极限
求函数在某处的导数 例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，
并求出在该点处的导数． (3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时
速度.
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
解：Δy f (1 Δx) f (1) 3(1 Δx) 3 6Δx 3(Δx)
由y'| x x0
1 1 1 ,得 , x0 1. 2 2 x0 2
f ( x0 2h) f ( x0 ) 设f(x)在x=x0附近有定义，且 lim 1, h 0 h 求f ' ( x0 )的值。
1 答案 : f '( x0 ) 2
解：在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是f ' 2
例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时 速度.
解：Δs f (3 Δt ) f (3)
(3 Δt )2 3 (32 3)
(Δt ) 6Δt
2
Δs (Δt ) 2 6Δt Δt 6 Δt Δt Δs ' f (3) lim lim(Δt 6) 6 Δt 0 Δt Δt 0
变化率，并说明它们的意义。
这说明:
在第3小时附近，原油温度大约以1的速率下降，
在第5小时附近，原油温度大约以3的速率上升。
1.求物体运动的瞬时速度：
(1)求位移增量Δ s=s(t+Δ t)-s(t)
s ; (2)求平均速度 v t s s (t t ) s (t ) . (3)求极限 lim lim
