【高中数学】2018-2019学年度最新苏教版高中数学苏教版选修1-1学案：2.3.2 双曲线的几何性质

学科：数学 年级：高二 课题：1-1（2-1）2.1.3椭圆及其标准方程(2)主备人： 学生姓名： 得分：学习目标：1. 能根据条件熟练地求出椭圆的标准方程.2. 借助椭圆方程巩固求曲线方程的一般方法．3. 学会代入法求轨迹方程学习难点：写出椭圆的标准方程,代入法求轨迹方程学习方法：自主预习，合作探究，启发引导一、导入亮标1．椭圆的定义?2．椭圆的标准方程？二、自学检测1、已知椭圆的方程为 192522=+y x ，则a ＝_____，b ＝_____，c ＝_____，焦点坐标为_______________，焦距等于2．已知椭圆的方程为15422=+y x ，则a ＝_____，b ＝_____，c ＝_____，焦点坐标为_______________，焦距等于3.经过)3,2(),0,4(B A -的椭圆的标准方程是4．将下列椭圆方程转化成标准方程．（1）22431x y +=,（2）22561x y +=．三、合作探究例1：如图，在圆422=+y x 上任取一点P ,过点P 作x 轴的垂线段D PD ,为垂足。

当点PPD M 的轨迹是什么？为什么？例2：如图，设点B A ,的坐标为()()。

，、，0505-直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积是4-，求点M 的轨迹方程．四、展示点评五、检测清盘1．已知圆922=+y x ，从圆上任意一点P 向x 轴作垂线'PP ,点M 为'PP 上的点，且'2=,则点M 的轨迹方程________________．2．已知圆A :),6,0(,400)6(22B y x =++圆C 过B 点且与圆A 内切，求圆心C 的轨迹方程___________________．3．若长度为8的线段AB 的两个端点B A 、分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 在AB 上，且2=，求点M 的轨迹方程．4．若△ABC 的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为_ ．5. 动点P (,)x y 8=，则点P 的轨迹是6. 已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F1、F2，P 是椭圆上的一点，Q 是PF1的中点，若OQ ＝1，则PF1＝________.7．已知椭圆)0(2222>=+a a y x 的左焦点1F 到直线2-=x y 的距离为22， 求椭圆的标准方程．8. 已知方程112222=-++m y m x 是焦点在x 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围．9．()），（05B 5,0-A 直线BM AM 、交于点M ，且它们的斜率之积是2516-，求点M 的轨迹方程．10．B A ,0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛-为圆421:22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x C 上一动点，线段AB 的垂直平分线交BC 于P ，求P 的轨迹方程．。

函数复习——以单调性为主研究函数的图象与性质苏州大学附属中学吴进【课题背景】在数学高考中，函数问题一直占有较大的分量，而根本初等函数的图象与性质在每年高考中均有考察〔本课题的课后练习有近几年高考考题供大家参考〕，考察的重点是根本初等函数以及由根本初等函数复合而成的函数的图象与性质，其中以函数的单调性尤为重要。

本课题从学生熟悉的根本初等函数入手，由浅入深，由简到繁，研究了多种函数的单调性，并且渗透了高考中一定考察的数学思想方法：数形结合、分类讨论、函数与方程等等。

【学习目标】1掌握根本初等函数的图象与性质；2利用导数与函数的关系研究函数的单调性；2利用换元、参变量别离、分类讨论、数形结合等数学思想方法解决有关函数图象与性质的问题【课前引入】1目前所学习的函数类型有哪些？2函数具有的性质有哪些？【例题讲解】例1函数，画出函数的图象，并说出函数的单调性和奇偶性变式1：研究函数的单调性变式2：研究函数的单调性变式3：求函数的值域变式4：假设函数在上是减函数，求a的取值范围例2函数，求函数的单调区间变式1：研究函数的单调性变式2：研究函数的图象与性质例3讨论方程〔〕的实根情况方法1：转化为两个函数图象的交点，利用数形结合解决方法2：参变量别离，转化为求函数的值域例4函数〔〕，讨论函数的单调性变式：求函数在区间上的最大值【课堂小结】1通过本节课的学习，请总结一下你所学习的函数的类型？2通过本节课的学习，你知道了函数的哪些性质？3通过本节课的学习，你掌握了解决函数问题的哪些常用方法？【稳固练习】12021·江苏2函数的单调增区间是．22021·江苏7不等式的解集为．32021·江苏10函数，假设对任意，都有成立，那么实数m的取值范围是．42021·江苏11函数，那么满足不等式的的取值范围是．5〔2021·江苏11〕是定义在上的奇函数，当时，，那么不等式的解集用区间表示为．6〔2021·江苏13〕是定义在R上且周期为3的函数，当时，．假设函数在区间上有10个零点互不相同，那么实数a的取值范围是．7〔2021·江苏13〕函数，，那么方程实根的个数为．8〔2021·江苏11〕设是定义在R上且周期为2的函数，当时，其中，假设，那么的值是．9函数1 求函数的单调区间，并指出其单调性；2 假设关于的方程至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围10二次函数的图象过点1，13，且函数对称轴方程为1 求函数的解析式；2 设函数，求g在区间[t，2]上的最小值H t。

（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1的全部内容。

3.1。

2 瞬时变化率—导数学习目标：1。

理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。

当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。

导数的应用问题利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间［a ,b ］上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点.本节内容主要是指导考生对这种方法的应用.难点磁场(★★★★★)已知f (x )=x 2+c ,且f ［f (x )］=f (x 2+1) (1)设g (x )=f ［f (x )］,求g (x )的解析式； (2)设φ(x )=g (x )－λf (x ),试问：是否存在实数λ,使φ(x )在(－∞,－1)内为减函数，且在(－1，0)内是增函数.案例探究［例1］已知f (x )=ax 3+bx 2+cx (a ≠0)在x =±1时取得极值，且f (1)=－1. (1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x =±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由. 命题意图：利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入.是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解.属★★★★★级题目.知识依托：解题的成功要靠正确思路的选择.本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化.这是解答本题的闪光点.错解分析：本题难点是在求导之后，不会应用f ′(±1)=0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍.技巧与方法：考查函数f (x )是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点x =±1所确定的相等关系式，运用待定系数法求值.解：(1)f ′(x )=3ax 2+2bx +c∵x =±1是函数f (x )的极值点，∴x =±1是方程f ′(x )=0,即3ax 2+2bx +c =0的两根.由根与系数的关系，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-13032ac ab又f (1)=－1,∴a +b +c =－1, ③由①②③解得a =23,0,21==c b ,①②(2)f (x )=21x 3－23x ,∴f ′(x )=23x 2－23=23(x －1)(x +1)当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0∴函数f (x )在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数. ∴当x =－1时，函数取得极大值f (－1)=1, 当x =1时，函数取得极小值f (1)=－1.［例2］在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？命题意图：学习的目的，就是要会实际应用，本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.知识依托：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解.错解分析：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式.技巧与方法：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系.解法一：根据题意知，只有点C 在线段AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设C 点距D 点x km,则∵BD =40,AC =50－x ,∴BC =222240+=+x CD BD又设总的水管费用为y 元，依题意有：y =30(5a －x )+5a 2240+x (0＜x ＜50) y ′=－3a +22405+x ax ,令y ′=0,解得x =30在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在x =30(km)处取得最小值，此时AC =50－x =20(km)∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.解法二：设∠BCD =Q ,则BC =θsin 40,CD =40cot θ,(0＜θ＜2π),∴AC =50－40cot θ设总的水管费用为f (θ),依题意，有f (θ)=3a (50－40·cot θ)+5a ·θsin 40=150a +40a ·θθsin cos 35- ∴f ′(θ)=40a ·θθθθθθθ22sin cos 5340sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(-⋅='⋅--⋅'-a令f ′(θ)=0,得cos θ=53根据问题的实际意义，当cos θ=53时，函数取得最小值，此时sin θ=54,∴cot θ=43,∴AC =50－40cot θ=20(km),即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.锦囊妙计1.f (x )在某个区间内可导，若f ′(x )＞0,则f (x )是增函数；若f ′(x )＜0,则f (x ) 是减函数.2.求函数的极值点应先求导，然后令y ′=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如：y =x 3,当x =0时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y ′的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0.3.可导函数的最值可通过(a ,b )内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较，如y =|x |,在x =0处不可导，但它是最小值点.歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)设f (x )可导，且f ′(0)=0,又xx f x )(lim'→=－1,则f (0)( ) A.可能不是f (x )的极值 B.一定是f (x )的极值 C.一定是f (x )的极小值 D.等于02.(★★★★)设函数f n (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f n (x )在［0,1］上的最大值为( )A.0B.1C.nn)221(+-D.1)2(4++n n n 二、填空题3.(★★★★)函数f (x )=log a (3x 2+5x －2)(a ＞0且a ≠1)的单调区间_________.4.(★★★★)在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.三、解答题5.(★★★★★)设f (x )=ax 3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间.6.(★★★★)设x =1与x =2是函数f (x )=a ln x +bx 2+x 的两个极值点. (1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x =1,x =2是函数f (x )的极大值还是极小值，并说明理由.7.(★★★★)已知a 、b 为实数，且b ＞a ＞e ,其中e 为自然对数的底，求证：a b ＞b a .8.(★★★★)设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β(α＜β),函数f (x )=142+-x ax . (1)求f (α)·f (β)的值；(2)证明f (x )是［α，β］上的增函数；(3)当a 为何值时，f (x )在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？［科普美文］新教材中的思维观点数学科学具有高度的综合性、很强的实践性，不断的发展性，中学数学新教材打破原教材的框架体系，新增添了工具性、实践性很强的知识内容，正是发展的产物.新教材具有更高的综合性和灵活多样性，更具有朝气与活力，因此，把握新教材的脉搏，培养深刻严谨灵活的数学思维，提高数学素质成为燃眉之需.新教材提升与增添的内容包括简易逻辑、平面向量、空间向量、线性规划、概率与统计、导数、研究型课题与实习作业等，这使得新教材中的知识内容立体交叉，联系更加密切，联通的渠道更多，并且富含更高的实用性.因此在高考复习中，要通过总结、编织科学的知识网络，求得对知识的融会贯通，揭示知识间的内在联系.做到以下几点：一、深刻领会数学思想方法，把立足点放在提高数学素质上.数学的思想方法是数学的精髓，只有运用数学思想方法，才能把数学的知识与技能转化为分析问题与解决问题的能力，才能形成数学的素质.知识是能力的载体，领悟并逐步学会运用蕴含在知识发生发展和深化过程中，贯穿在发现问题与解决问题过程中的数学思想方法，是从根本上提高素质，提高数学科能力的必由之路，只有通过对数学思想方法的不断积累，不断总结经验，才能从知识型向能力型转化，不断提高学习能力和学习水平.二、培养用化归（转化）思想处理数学问题的意识.数学问题可看作是一系列的知识形成的一个关系链.处理数学问题的实质，就是实现新问题向旧问题的转化，复杂问题向简单问题的转化，实现未知向已知的转化。

新课教学探究函数的导数与函数的单调性的关系函数增减性的定义是什么？教师指出平均变化率与瞬时变化率即导数相互关系，从而引出，可以用导数研究函数的单调性写出课题显示多媒体判断函数xexf x-=)(在),0(+∞上的单调性利用作图工具GGB来研究。

首先作出函数xexf x-=)(的图像，在),0(+∞上任意选学生思考、并举手回答学生得出函数的平均变化率的符号学生观察点在区间),0(+∞上利用单调性的定义来解决遇到了问题从而引出导数让学生观察平均变化率的符号与函数单调性的联系运用逼近的思想可以有平均变化率得到瞬时变化率，瞬时变化率可以描述函数在其附近的变化情况，因此我们可以试着用瞬时变化率即导数来研究函数的单调性研究函数在),0(+∞上的单调性取一个点根据对函数的单调性与导数关系的分析，提问导数的几何意义作图工具GGB，使点在),0( 上运动，观察其导数值的变化情况然后在负数区间选取一点，观察该点的切线斜率的变化动态展示导函数图像的形成过程提问：是否具有一般性呢运动回答导数的几何意义学生观察导数值的变化，回答导数值的正负情况学生观察导数的变化情况回顾导数的几何意义，通过切线的斜率的值得到导数让学生总结导数的正负与函数的单调性的关系让学生能了解单调性与函数的导数符号有关让学生观察出导数与曲线的单调性之间的关系让学生能了解函数的增减与函数的导数符号有关让学生再次观察归纳总结内容讲授显示多媒体（出示4个函数的解析式）：引导学生完成以下问题：分组完成任务并讨论，函数的单调性与导数正负的关系1 画出函数的图像;2 求出导函数并画出导函数的图像;3 观察函数的单调性与导数正负的关系引导学生思考并提出以下问题：能不能自己给出一个函数来验证？提问：从以上的分析中，总结出函数的单调性与导数正负的关系观察图像得出函数图像与导函数图像的对比思考并试图验证学生分组讨论通过在做图纸上画图的方式来得到相应的结论并总结出函数的单调性与导函数图像的关系，了解函数的增减与函数的导数符号有关激发学生的自主探究欲望让学生能理解利用导数的符号来判定函数的单调性之间的联系培养学生共同解决问题、探讨问题的能力和合作意识，从而培养学生的探究意识和探究能力通过实例让学生例题讲解结论总结板书总结的结论定理：一般地，函数)(xfy=在某个区间),(ba内1 如果恒有)(xf'>0，那么)(xfy=在这个区间),(ba内单调递增；2 如果恒有)(xf'<0，那么)(xfy=在这个区间),(ba内单调递减。

导数及其应用3.2导数的运算3. 2.1 常见函数的导数【学习目标】1•能用导数的定义求比较简单的幕函数的导数2准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求某些函数的导数.IT问题导学--------------------------知识点一幕函数与一次函数的导数思考1函数尸kx(k z0)增(减)的快慢与什么有关？i i思考 2 你能结合x'= 1, (x2)z= 2x, (xj '=—x_2及(x2 )z= 1x 2归纳出f(x)= x n的导数有怎样的规律吗？梳理(1)(kx+ b)' = k(k, b为常数)，特别地C' = 0(C为常数).(2) (X)' = a x a—1( a为常数).知识点二基本初等函数的求导公式思考1计算过程(cos n)'=—sin n= —1正确吗？思考2如何利用(In x)'推出(log a x)'?梳理题型探究类型一利用导数公式求函数的导数例i求下列函数的导数：(1)y= x12; (2)y= X4；(3)y= 5 x3;X X 心、i x (4)y= 2sin，cos 2；(5)y= log 1 x; (6)y = 3 .2反思与感悟若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幕的形式求导.跟踪训练1求下列函数的导数：(1) y= (1-価)(1 +±) + &;2X ,(2) y= 2cos 2 —1.类型二导数公式的综合应用命题角度1利用导数公式解决切线问题例2已知点P(—1,1)，点Q(2,4)是曲线y= x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由.引申探究若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y= x2的切线方程.反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1) 切点处的导数是切线的斜率；(2) 切点在切线上；(3) 切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.跟踪训练2已知两条曲线y= sin x, y= cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.命题角度2利用导数公式求最值问题例3求抛物线y= x2上的点到直线x—y-2 = 0的最短距离.反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x。

I I IE SI：CON1IJ锥曲线与方程章末复习课【学习目标】1•掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程2掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3•掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题4掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.Ef知识梳理 ----------------------------椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F i, F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹平面内与两个定点F1,F2距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2的正数）的点的轨迹平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在1上）的距离相等的点的轨迹标准方程2 2 2 2x y 亠y xa2+ 孑二1或a2+孑二1(a>b>0)2 2 2 2 字-1或字-討1(a>0, b>0)y2= 2px 或y2=- 2px 或x = 2py 或x =- 2py(P>0)关系式a2- b2= c2a2+ b2= c2图形封闭图形无限延展，但有渐近线y =拿或y= ±bx无限延展，没有渐近线变量范围|x|w a, |y|w b 或|y|w a,Ix S b|x|> a 或|y|> ax> 0或x< 0或y》0或y w对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e= c，且0<e<1a e= c，且e>1ae= 1决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小知识点二焦点三角形 1.椭圆的焦点三角形2 2设P 为椭圆令+ * = 1（a>b>0）上任意一点（不在x 轴上），F I ,F 2为焦点且/ F I PF 2= 讪忆PF 1F 2a b为焦点三角形（如图）.⑵焦点三角形的周长为 L = 2a + 2c. 2 •双曲线的焦点三角形b 2焦点三角形的面积为 S=4.atan?般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 1•定形一一指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 2.定式一一根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，女口当椭圆的焦点不确定在哪 个坐标轴上时，可设方程为mx 2 + n/= 1（m>0, n>0）.由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.知识点四 离心率1•定义法：由椭圆（双曲线）的标准方程可知，不论椭圆 （双曲线）的焦点在x 轴上还是y 轴上 都有关系式a 2— b 2= c 2（a 2 + b 2= C 2）以及e =；，已知其中的任意两个参数， 可以求其他的参数， 这是基本且常用的方法.2•方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式， 从而求出其离心率， 这是求离心率的十分重 要的思路及方法.3 •几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆（双曲线）的（1）焦点三角形的面积为 S = b 2知识点三求圆锥曲线方程的一般步3旦定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观. 知识点五直线与圆锥曲线的位置关系1 •直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行.2 •直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等.题型探究----------------------- 类型一圆锥曲线的定义及应用2 2 2例1设F!, F2为曲线C i：X + y = 1的左，右两个焦点，P是曲线C2 : X —y2= 1与C i的一6 2 3个交点，则△ PF1F2的面积为__________ •反思与感悟涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决.2 2跟踪训练1已知椭圆m+ y2= 1(m>1)和双曲线* —y2= 1(n>0)有相同的焦点F1, F2, P是它们的一个交点，则△ F1PF2的形状是______________________ •类型二圆锥曲线的性质及其应用2 2 2 2例2 (1)已知a > b> 0,椭圆C1的方程为X2+ y2 = 1,双曲线C2的方程为X2—y2= 1 , C1与C2a b a b的离心率之积为普，则C2的渐近线的斜率为__________________ •2⑵已知抛物线y2= 4X的准线与双曲线X2—y2= 1交于A, B两点，点F为抛物线的焦点，若a△ FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是___________ •反思与感悟有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解.2 2跟踪训练2已知F1(—c,0), F2(C,0)为椭圆苗1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且P F1 P F2= c2,则此椭圆离心率的取值范围是___________________________________________ •类型三直线与圆锥曲线的位置关系2 2例3已知椭圆予+存=1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点F1, F2的距离之和为2,2,离心率为冷.(1)求椭圆的标准方程；⑵过右焦点F2的直线I交椭圆于A, B两点，若y轴上一点M(0, 73)满足MA = MB，求直线I的斜率k的值.反思与感悟解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：(1) 函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.(2) 不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围.跟踪训练3如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A, B,且AB与n = ( ,2, - 1)共线.(1) 求椭圆E的标准方程；(2) 若直线y= kx+ m与椭圆E有两个不同的交点P和Q,且原点0总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围.咼当堂训媒-----------------------------2 21•已知F1、F2是椭圆七+七=1的左、右焦点，弦AB过F1,若厶ABF2的周长为8，则k+ 2 k+1椭圆的离心率为__________ .2 2 12. 设椭圆話+ *= 1 (m>n>0)的右焦点与抛物线y2= 8x的焦点相同，离心率为？，则此椭圆的方程为___________ .3 .以抛物线y1 2= 4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为4.若抛物线y2= 2x上的两点A、B到焦点的距离的和是5,则线段AB的中点P到y轴的距离是_________ .2 25 .过椭圆話+ 丁 = 1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是__________________ .规律与方法-------------------------------)在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，“设而不求”思想，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的繁杂、琐碎问题.提醒：完成作业第2章章末复习课答案精析题型探究例1 2跟踪训练1直角三角形例2⑴±2⑵.6跟踪训练2例3解（1）由题意知，PF i + PF 2 = 2a = 2 J2,所以a= .2.又因为e=a=¥，a 2所以c=¥x2= 1,所以b2= a2—c2= 2- 1 = 1,2所以椭圆的标准方程为X; + y2= 1.⑵已知椭圆的右焦点为F2（1,0），直线斜率显然存在, 设直线的方程为y= k（x—1）,两交点坐标分别为A（X1, y1）, B（X2, y2）.联立直线与椭圆的方程，y= kx—1 , 得右y2= 1,2 2 2 2化简得(1 + 2k )x —4k x+ 2k —2 = 0,4k2所以X1 + x2 = 2,1 + 2k—2ky1 + y2= k(x1 + X2) —2k = 21 + 2k2 k 2— k所以AB 的中点坐标为（2，2）・1 + 2k 21 + 2k ―k 1 2k 21 + 2k 2k (x 1 + 2k 2)，因为MA = MB ,所以点M 在AB 的中垂线上， 将点M 的坐标代入直线方程，得 迈 k _ 2k7 + 2= 2， 71 + 2k 1+ 2k 即2 3k 2— 7k + . 3= 0, 解得k = 3或k = 63；②当k = 0时，AB 的中垂线方程为x = 0，满足题意. 所以斜率k 的取值为0,3或跟踪训练3解（1）因为2c = 2, 所以c = 1.又A B = (— a , b),且 A B // n ,所以• 2b = a ，所以 2b 2 = b 2+ 1, 所以 b 2 = 1, a 2= 2. 2 所以椭圆E 的标准方程为乡+ y 2= 1.2X 2⑵设P(X 1, y 1), Q(X 2, y 2)，把直线方程y = kx + m 代入椭圆方程-+ y = 1, 消去 y , 得 (2k 2 + 1)x 2 + 4kmx + 2m 2 — 2= 0,2 2△= 16k — 8m + 8>0,即 m 2<2k 2 + 1.(*)因为原点0总在以PQ 为直径的圆的内部, 所以 OP OQ<0,所以 X 1 + X 2 =— 4km2 2k + 12m 2— 2 X 1X 2= —22k + 1①当k z 0时，AB 的中垂线方程为即X1X2+ y i y2<0.又y i y2= (kx i+ m)(kx2+ m)2 2=k X1X2+ mk(x i + X2)+ mm2- 2k2— 2 .2k + 12m2- 2 m2- 2k2 由 2 + 2 <0,2k + 1 2k + 1得m2<3k2+ 3.依题意且满足(*)得，m2<2, 故实数m的取值范围是(-屮，申' 当堂训练2112乙2 16 4. 2 5.3x+ 4y- 13= 0。

2．2.2 椭圆的几何性质(二) 学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一 点与椭圆的位置关系思考1 判断点P (1,2)与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系的判定吗？梳理 设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示： 位置关系满足条件 P 在椭圆外x 20a 2＋y 20b 2>1 P 在椭圆上x 20a 2＋y 20b 2＝1 P 在椭圆内x 20a 2＋y 20b2<1知识点二 直线与椭圆的位置关系思考1 直线与椭圆有几种位置关系？思考2如何判断y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系？梳理直线与椭圆的三种位置关系位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0知识点三直线与椭圆的相交弦思考若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？梳理弦长公式：(1)AB＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]；(2)AB＝1＋1k2|y1－y2|＝(1＋1k2)[(y1＋y2)2－4y1y2](直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率)．其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程，由一元二次方程的根与系数的关系而得到．类型一直线与椭圆的位置关系命题角度1直线与椭圆位置关系的判定。

椭圆的几何性质学习目标：1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握c b a ,,几何意义以及c b a ,,的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。

学习重点、难点：重点：掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；难点：从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。

学习策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在学习过程中根据实际情况及时地调整学习方案。

学习过程：创设问题情景，学生自主探究：方程221625400x y +=表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？学生活动过程：情形1：列表、描点、连线进行做图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题； 情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形； 情形3：方程变形，求出c b a ,,，联想椭圆画法，利用绳子做图；情形4：只做第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其它象限内的图形； 辨析与研讨：实物投影展示学生的画图过程，挖掘学生的原有认知，体现同学的思维差异，培养学生的思维习惯。

教师点评：（1）能够抓住椭圆的几何特征；范围、对称性、关键点做图；（2）研究问题的方向发生了变化，利用方程研究曲线的几何性质；（3）本节课我们利用椭圆更一般的方程来研究椭圆的几何性质，体现特殊到一般的思想方法。

教师板书：椭圆的简单几何性质一、引导评价，引入课题：设置问题，学生思考：与直线方程和圆的方程相对比，椭圆标准方程22221(0)x y a b a b+=>>有什么特点？ （1）椭圆方程是关于y x ,的二元二次方程；（2）方程的左边是平方和的形式；右边是常数1；（3）方程中2x 和2y 的系数不相等；设计意图：类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特点，体现了新旧知识的联系与区别，符合学生的认知规律，同时为利用方程研究椭圆曲线的几何性质做好了准备.【问题1】自主探究：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围； 实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维：学生活动过程：情形1：12222=+b y a x 变形为：a x a a x a x a x b y ≤≤-⇒≤⇒≤≥-=22222201，这就得到了椭圆在标准方程下x 的范围：a x a ≤≤-同理，我们也可以得到y 的范围：b y b ≤≤-情形2：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以122≤ax ，同理可以得到y 的范围 设计意图：（1）传统的研究椭圆的几何性质往往是利用图形直观得到性质，然后利用方程进行证明，没有真正体现出利用方程研究曲线几何性质的路子，因此在这里通过多媒体课件始终展示椭圆标准方程的特点，使学生在把握椭圆方程结构特征（1）和（2）的基础上来研究椭圆曲线的几何性质；（2）通过开头问题的铺垫，学生的思维在这里体现的异常活跃，除了教材中得到范围的方法外，另外两种方法很多同学都能想到，使学生真正感受成功的喜悦；（3）多媒体课件展示椭圆的范围，体现数形结合思想。

苏教版普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1
3.3.2极大值与极小值
亭湖高级中学刘迎春
【教学目标】
1知识与技能
〔1〕．了解函数的极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强自己的数形结合意识；
〔2〕．掌握利用导数求函数的极值的一般步骤
2过程与方法
通过本节的学习, 培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力
3情感、态度、价值观
教学过程中，让学生多动手、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的习惯，同时感受和感悟数学自身开展的一般规律．
【教学重点】
掌握利用导数研究函数的极值的方法．
【教学难点】
发现和揭示函数的极值与函数的导数的关系．
【教学方法教学手段】
多媒体教学、引导发现、合作学习、讲练结合的教学方法
【教学过程】
一、创设情境
二、合作学习探究
三、知识建构生成演练中应用
〔1〕函数的极大值与导数的关系
〔2〕函数的极小值与导数的关系
例1求f
练习：求f＝3的极值
四、课堂小结回忆整理中提炼
通过这节课的研究，你明确了什么问题？你的收获与感受是什么呢？
五、自主作业稳固训练中拓展
〔1〕感受理解：课本第91页习题：3；
〔2〕思考运用：课本第92页习题：7；
〔3〕思考：函数的极值与最值的区别与联系。

第3章导数及其应用§ 3A导数在实际生活中的应用」【学习目标】1•了解导数在解决实际问题中的作用2掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.EI知识梳理 ---------------------------- 知识点生活中的优化问题i.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为2 •利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.3 .解决优化问题的基本思路：优化问题一-用阑数占示吋数学问题11 t［优化间应的甞垂｝T用导燈解决数学问題上述解决优化问题的过程是一个典型的__________________ 过程.题型探究类型一几何中的最值问题命题角度i平面几何中的最值问题例1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为o,半径为100 m ,并与北京路一边所在直线I相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作I的垂线，垂足,为点B.市园林局计划在厶ABM内进行绿化.设厶ABM的面积为S(单位：m1 2), / AON =B(单位：弧度).1 将S表示为B的函数；2 当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积.反思与感悟 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面 积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.跟踪训练1如图所示，在二次函数f(x) = 4x — x 2的图象与x 轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD ，求这个矩形面积的最大值.(1) 若广告商要求包装盒侧面积 S 最大，则x 应取何值？(2) 若广告商要求包装盒容积 V 最大，则x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比 值.反思与感悟(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题.命题角度2 立体几何中的最值问题例2请你设计一个包装盒如图所示,ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形, 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒, 再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点 P , E , F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个 端点，设 AE = FB = x cm.如果已知图形是由简单几何体组(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式,合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.跟踪训练2周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为3_______ cm .类型二实际生活中的最值问题命题角度1利润最大问题例3已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，1 210.8 —30x , 0<x W 10,且R(x) =108 1 000匚-寸,x>10.(1) 求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2) 当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1) 利润=收入—成本；(2) 利润=每件产品的利润X销售件数.跟踪训练3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=-^ + 10(x—6)2，其中3<x<6, a为常数.已知销售价格x—3为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1) 求a的值；(2) 若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.命题角度2费用(用料)最省问题例4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层•某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年k的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)= 3"—5(0<X W 10), 3X十5若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元•设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1) 求k的值及f(x)的表达式；(2) 隔热层修建多厚时，总费用f(x )达到最小，并求最小值.反思与感悟(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象•正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.⑵利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f' (x) = 0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.跟踪训练4 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块空地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建x(x> 10)层，则每平方米的平均建筑费用为(560十48x)元•为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建多少层？购地总费用(注：平均综合费用=平均建筑费用十平均购地费用，平均购地费用= 建筑总面积)当堂训练1 •在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午 6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间的关系可近 似地用函数表示为 y =— gt '—4『+36t 一 ，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是 ________ 时.2 .用长为24 m 的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为 ___________m 3.固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加 100元,、90 090, x>390. 则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是 ____________ .4 .要制作一个容积为 4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米 20元,侧面造价是每平方米 10元，则该容器的最低总造价是 ____________ 元.5 .某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加， 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额 x(单位：元，0W x w 21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，每星期多卖出 24件. (1) 将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (2) 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？3 .某公司生产若总收入R 与年产量x 的关系是 R(x)= $ 3X+ 400X , 9000< x < 390厂《规律与方法-- ------------------------------ 11 •利用导数解决生活中优化问题的一般步骤⑴分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y= f（x）;⑵求函数的导数f' （x）,解方程f' （x）= 0；⑶比较函数在区间端点和使f' （x）= 0的点的数值的大小，最大（小）者为最大（小）值.2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路. 另外需要特别注意：（1）合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；（2）与实际问题相联系；（3）必要时注意分类讨论思想的应用.提醒：完成作业第3章§.4答案精析知识梳理知识点1 •优化问题3 .数学建模题型探究例 1 解(1)BM = AOsin 0= 100sin 0,AB= MO + AOcos 0=100+ 100cos 0, 0€ (0, n .1 1则S= 2MB AB = 2 x100sin 0X (100 + 100cos 0=5 000(sin 0+ sin 0cos 0), 0€ (0, n.2(2)S' = 5 000(2cos + cos 0- 1)=5 000(2cos 0—1)(cos 0+ 1).令S' = 0,1得cos 0= 2或cos 0=—1(舍去),此时0= n3当0变化时，S' , S的变化情况如下表：所以，当0= n时，S取得最大值为S max= 3 750.3 m2,此时AB = 150 m，即点A到北京路一边I的距离为150 m.跟踪训练1解设点B的坐标为（x,0）,且0<x<2, ••• f(x) = 4x —x2图象的对称轴为x= 2,•••点C的坐标为(4 —x,0),/• BC = 4—2x, BA= f(x)= 4x—x2.•矩形面积为y= (4 —2x)(4x—x2) = I6x—12x2+ 2x3,y' = 16—24x+ 6x2= 2(3x2—12x+ 8),2令y' = 0，解得x= 2±3 3,••• 0<x<2, • x= 2—2 3.•••当0<x<2 — 3 3时，y' >0，函数单调递增；2 当2 —3 . 3<x<2时，y' <0，函数单调递减，•••当x= 2—| 3时，矩形的面积有最大值詈'.3.例2解⑴由题意知，包装盒的底面边长为2x cm,高为2(30 —x)cm ,所以包装盒侧面积为S= 4 2x X 2(30 —x)x + 30 —x 2 =8x(30 —x) w 8 x(——2 )2=8x 225,当且仅当x= 30—x,即卩x= 15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x= 15.⑵包装盒容积V = 2x2• 2(30 —x)=—2 2x3+ 60 . 2x2(0<x<30),所以V' =—6 2x2+ 120 ,2x=—6 2x(x—20).令V' >0 ,得0<x<20 ;令V' <0,得20<x<30.所以当x= 20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 2 cm,高为10.2 cm,包装盒的高与底面边长的比值为 1 : 2.W = xR(x) - (10 + 2.7x)3x 8仏-30-10 当x>10时,W = xR(x) - (10 + 2.7x)3| 8.1x -30-10, 0<x < 10, 所以W = 198—— 2.7x , x>10.⑵①当0<x W 10时，X 2由 W ' = 8.1 — 10= 0,得 x = 9.当 x € (0,9)时，W ' >0; 当 x € (9,10］时，W' <0.1 3即 W max = 8.1 X 9- 30x 93- 10= 38.6. 30②当 x>10 时，W = 98- (^000 + 2.7x)3xw 98 - 2 -1_000X 2.7x = 38,W 取得最大值38.综合①②知，当x = 9（千件）时，W 取得最大值为38.6万元.答 当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润 为38.6万元.跟踪训练3解（1）因为当x = 5时，y = 11，所以a + 10= 11,4 000 跟踪训练227例3 解⑴当O<x w 10时, 所以当x = 9时，W 取得最大值,当且仅当詈=2.7x ,即x =罟时,所以a= 2.⑵由(1)可知，该商品每日的销售量 y = -^ + 10(x - 6)2,x — 3所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 2f(x) = (x - 3)[ + 1O (X — 6)]x — 32=2 + 10(x — 3)(x — 6)，3<x<6.2从而 f (x)= 10[(x — 6) + 2(x — 3)(x — 6)] =30(x — 4)(x — 6).于是，当x 变化时，f ' (x), f(x)的变化情况如下表:由上表可得，x = 4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.x = 4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.解(1)由题设知，每年能源消耗费用为C(x)= —,3x + 5所以当 再由C(0) = 8,得 k = 40,因此40C(x)=3x+ 5而建造费用为C i(x) = 6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x) =_80必+ 6x(0< x w 10).3x+ 5(2)f' (x)= 6 —-522400(3x+ 5令 f ' (x)= 0，得 x = 15.当 x>15 时，f ' (x)>0;当 10W x<15 时，f ' (x)<0. 所以当x = 15时，f(x)取得最小值， 即 f(15) = 2 000.答 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建 15层.当堂训练 1 . 8 2.83.3004.1605.解(1)设商品降价x 元，则多卖的商品数为 kx 2.若记商品在一个星期的获利为 f(x)，则有2f(x) = (30 — x — 9)(432 + kx ) =(21 — x)(432 + kx 2).由已知条件，得 24 = k X 22,于是有k = 6.所以 f(x)=— 6x 3 + 126/ — 432x + 9 072, x € [0,21].2⑵根据(1), f ' (x) = — 18x + 252x — 432 =—18(x — 2)(x — 12).令 f ' (x)= 0，即"企=6,(3x + 5)25解得x = 5(x =——舍去)， 当 0<x<5 时，f ' (x)<0;当 5<x<10 时，f ' (x)>0 ,故x = 5为f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5) = 6 X 5+ -8也 =70.15 + 5答 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为 70万元. 跟踪训练4解设该楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则 f(x) = 560 + 48x + 2 160X 10 000 2 000x =560 + 48x + 10 800x > 10,f ' (x) = 48 — 10 800 2x当x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表:故当x= 12时，f(x)取得极大值.因为f(0) = 9 072, f(12)= 11 664.所以当定价为30- 12= 18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大.。

学习目标 1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义，掌握“p∨q”“p∧q”命题的真假规律.2.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题．
知识点一p∧q
思考1观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？
思考2分析思考1中三个命题的真假？
梳理(1)定义
一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．
(2)命题p∧q的真假判断
命题p∧q的真假与命题p和命题q的真假有着必然的联系，我们将命题p、命题q以及命题p∧q的真假情况绘制成命题p∧q的真值表如下：。

《1.1.1 四种命题》教学设计1教材分析本节内容是苏教版《选修 1-1》第1章“常用逻辑用语”的第1节“命题及其关系”中的第1课“四种命题”．本课内容既是初中“命题”知识的延续，又是高中后续知识的基础．教材以具体命题为例，用特殊到一般的研究方法，研究四种命题的结构关系和真假关系，为后面学习充分条件和必要条件等知识做充分的知识准备．2教学目标知识与技能了解命题的逆命题、否命题与逆否命题．明白四种命题之间的形式结构关系．会利用两个命题互为逆否命题的同真同假关系判断较复杂命题的真假过程与方法经历四种命题的构造过程，培养学生发现问题、分析问题、创造性解决问题的能力研究四种命题的真假关系，体会从特殊到一般，归纳猜想的研究方法情感与能力目标:提供情境,激发学生的学习兴趣在合作讨论中学会交流与合作,启迪思维,培养学生勤于思考,勇于探索的创新意识,感受探索的乐趣3教学重点四种命题的关系．教学难点利用四种命题的关系判断命题的真假．4教学过程情境引入德国诗人歌德在公园里散步，与一位批评家“狭路相逢”。

这位批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，高傲地说:“我从来不给蠢货让路。

”面对如此尴尬的局面，歌德笑着退到路边，礼貌地回答道:“呵呵，我恰恰相反。

”结果故作聪明的批评家，反而自讨没趣。

问题：歌德的回答具体是什么意思？（“我给蠢货让路。

”）师：简单的否定，有力的反击。

这段对话富含逻辑。

数学是思维的科学，逻辑是研究思维形式和规律的科学。

今天一起学习《选修 1-1》第1章“常用逻辑用语”的第1节“命题及其关系”中的第1课“四种命题”问题1 ：下列语句能判断它们的真假吗①你好吗？②祝你学习进步！③ 4.2.14.2.24.3.10”2a 2a 2a 2a 4.3.22a 2a 2a 2ab,则|a|>|b|逆命题：若 |a|>|b|,则a>b 否命题：若 a≤b,则|a| ≤ |b| 逆否命题：若 |a| ≤ |b|,则a≤b 例题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 1 2 3 4【小结】四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性两个命题为互逆命题或互否命题，它们没有必然的真假关系．练习： 判断下列说法是否正确：（1）一个命题的逆否命题为真，它的逆命题不一定为真 （ ） （2）四种命题中,真命题的个数是偶数 （ ） 例5判断命题“若tan α≠1，则α ≠4”的真假【小结】判断命题真假的方法1直接法2间接法（一个命题的真假不易判断时,通过判定其逆否命题的真假来判断） 课堂练习1写出命题”若a 2＝b 2 ，则a ＝b ”的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假 2命题“若与都是奇数,则是偶数”的逆否命题是 是偶数,则与不都是奇数 是偶数,则与都不是奇数 不是偶数,则与不都是奇数不是偶数,是与都不是数【注意】“都全．．．是”，不要写成“都（全）不是”．．是”的否定为“不都全变式：判断命题“若与都是奇数,则是偶数”的否命题的逆否命题的真假你能想到几种解法？解（方法1）原命题的否命题的逆否命题是原命题的逆命题：若是偶数，则与都是奇数假（方法2）∵原命题的否命题：若与不都是．．．奇数,则不是偶数∴原命题的否命题的逆否命题：若是偶数，则与都是奇数假（方法3）∵原命题的否命题：若与不都是．．．奇数,则不是偶数假∴原命题的否命题的逆否命题（假）课堂总结1四种命题2两种关系结构关系真假关系互为逆否命题的两个命题同真假。

课题：§2.2.2 椭圆的几何性质【学习目标】1.掌握椭圆的简单的几何性质.2.感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法.3.能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题.【学习重点】椭圆几何性质及其简单应用【学习难点】椭圆几何性质及其简单应用【学习过程】一．问题情境1.解析几何研究哪两个问题？2.前面我们学习如何建立椭圆方程，这节课研究椭圆有哪些性质.（离心率对椭圆形状的影响）例2：求下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点(2,0)P -和(0,3)Q -； （2）长轴是短轴的3倍，且过P （3,0）；（3）过点，且与椭圆221259x y +=有相同的焦点； （4）中心在原点，对称轴都在坐标轴上，且过点)2.3(-,离心率为33。

例3：(1)已知椭圆长轴的两个端点到左焦点的距离分别是2和4，求椭圆离心率；(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴,以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形,求此椭圆的,离心率。

（3）已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点， 当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.例4.椭圆 12222=+by a x )0(>>b a 的两个焦点分别为21,F F ，短轴的一个端点为P.(1) 若21PF F ∠为直角，求椭圆的离心率；（2）若21PF F ∠为钝角，求椭圆的离心率的取值范围.四．回顾小结 五.课堂检测1.根据下列条件，求椭圆的标准方程：（1）中心在原点，焦点在x 轴上，长轴、短轴的长分别为8和6（2）中心在原点，一个焦点坐标为（0，5），短轴长为4（3）对称轴都在坐标轴上，长半轴长为10，离心率是0.6（4）中心在原点，焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1. 2.设F 是椭圆的一个焦点，1B B 是短轴，160B FB ∠=,求椭圆的离心率.3.已知椭圆短轴上的两个三等分点和两个焦点构成一个正方形，求椭圆离心率.4.求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 5. 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ． （2）如果椭圆上存在一个点Q ，使120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围．。

■ 第1章常用逻辑用语章末复习课［学习目标］1•理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系2理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.3•理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假4理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.Ef知识梳理---------------------------知识点一四种命题的关系原命题与__________________ 为等价命题， _____________ 与否命题为等价命题.知识点二充分条件、必要条件的判断方法1 .直接利用定义判断：即若p? q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.（条件与结论是相对的）2 •利用等价命题的关系判断：p? q的等价命题是綈q?綈p,即若綈q?綈p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.3 .从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件：⑴前提：设A = {x|x满足条件p}, B= {xX满足条件q}.⑵结论：①若_______ ，则p是q的充分条件，若__________ ，则p是q的充分不必要条件；②若_______ ，则p是q的必要条件，若__________ ，则p是q的必要不充分条件；③若_______ ，则p, q互为充要条件；④若_______ 且_________ ，则p是q的既不充分又不必要条件.知识点三简单的逻辑联结词1 •命题中的“ _________ ”“ ________ ”“________ ”叫做逻辑联结词.2 •简单复合命题的真假判断①p与綈p真假性相反；②p V q 一真就真，两假才假；③p A q 一假就假，两真才真.知识点四全称命题与存在性命题1 .全称命题与存在性命题真假的判断方法(1) 判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例.(2) 判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明.2 •含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题•否定时既要改写量词，又要否定结论.题型探究类型一四种命题及其关系例1写出命题“若x- 2+ (y+ 1)2= 0,则x= 2且y=—1”的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断它们的真假.反思与感悟(1)四种命题的改写步骤①确定原命题的条件和结论.②逆命题：把原命题的条件和结论交换.否命题：把原命题中的条件和结论分别否定.逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件，否定了的条件作结论.⑵命题真假的判断方法跟踪训练1下列四个结论：①已知a, b, c€ R,命题"若a+ b+ c = 3,则a2+ b2+ c2>3” 的否命题是"若a + b + C M 3，贝V a2+ b2+ c2<3”；②命题"若x—sin x= 0，则x = 0”的逆命题为"若X M 0,则x —sin X M 0”；③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假；④若|C|>0, 则C>0.其中正确结论的个数是_________ .类型二充分条件与必要条件命题角度1充分条件与必要条件的判断例2 ⑴“ a=—1”是“函数f(x) = ax2+ 2x—1只有一个零点”的 ______________ 条件.(填“充要” “充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)⑵设p：2x>1 , q: 1<x<2，则p是q成立的__________ 条件.(填“充要” “充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)反思与感悟条件的充要关系的常用判断方法(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假.⑵等价法：利用p? q与綈q?綈p, q? p与綈p?綈q, p? q与綈q?綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.⑶利用集合间的包含关系判断：若A? B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B,则A是B的充要条件.跟踪训练2 a<0, b<0的一个必要条件为_____________ .a a①a + b<0 :②a—b>0 :③>1 ；④ v—1.b b命题角度2充分条件与必要条件的应用例3 设命题p: x2—5x + 6 < 0;命题q : (x—m)(x —m —2) < 0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.反思与感悟利用条件的充要性求参数的范围(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p 是綈q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．跟踪训练3已知p: 2x2—9x + a<0, q：2<x<3且綈q是綈p的必要条件，求实数a的取值范围．类型三逻辑联结词与量词的综合应用例4 已知p：? x€ R, mx2+ 2< 0, q：? x€ R, x2—2mx+ 1 >0,若p V q 为假命题，则实数m 的取值范围是______________ ．反思与感悟解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义,掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系•其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化,从而谋得最佳解决途径．跟踪训练4 已知命题p：方程2x2+ ax —a2= 0在［—1,1］上有解；命题q :只有一个实数x满足不等式x2+ 2ax+ 2a< 0•若命题“ p或q”是假命题，求a的取值范围.当堂训练1 .命题"若x2>y2，贝V x>y"的逆否命题是_______________ .2. 已知命题p：? n€ N,2n>1 000，贝U綈p为 _______________ .2 23. 已知命题p:若x>y,则—x< —y;命题q：若x>y,则x >y .在命题①p A q；②p V q；③p A (綈q);④(綈p)V q中，真命题是___________ .4 .对任意x€ [ —1,2], x2—a> 0恒成立，则实数a的取值范围是_________ .15.已知p：-w x< 1, q: (x—a)(x —a—1)>0，若p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_____________ .厂规律与方法■-----------------------------------1. 否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题条件的否定作为条件，将原命题结论的否定作为结论构造一个新的命题.⑵命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法.若命题为“若p则q”，则该命题的否命题是“若綈p则綈q” ；命题的否定为“若p则綈q”.2 .四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题.3.判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆.4 .注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定为“不都是”，“全是”的否定为“不全是”，“至少有一个”的否定为“一个也没有”，“至多有一个”的否定为“至少有两个”.提醒：完成作业第1章章末复习课答案精析知识梳理知识点一若p 则q 若q 则p 若綈p 则綈q 若綈q 则綈p 逆否命题 逆命题知识点二3. (2)① A? B A B ② B? A B A ③A = B ④A? B B? A知识点三1 •且或非题型探究例1解逆命题：若x = 2且y =- 1, 则-x — 2 + (y + 1)2= 0，真命题.否命题：若-x — 2+ (y + 1)2工0,则X M 2或护一1,真命题. 逆否命题：若X M 2或沪一1 ,则- x — 2 + (y + 1)2M 0，真命题.跟踪训练1 2例2 (1)充分不必要 (2)必要不充分跟踪训练2①例3解方法一命题p ： x 2— 5x + 6W 0,解得2< x w 3,••• p : 2w x < 3;命题 q ： (x — m)(x — m — 2)w 0,解得 m w x w m + 2, • q : m w x w m + 2.•••綈p 是綈q 的必要不充分条件，• p 是q 的充分不必要条件.[m w 2, m<2,解得K m W2. m + 2>3•••实数m的取值范围是[1,2].方法二•••命题p: 2 W x w 3,命题q：m W x w m+ 2,綈p：x<2 或x>3,綈q: x<m 或x>m+ 2.•••綈p是綈q的必要不充分条件，• {x|x< m 或x>m + 2} {x|x<2 或x>3},m W 2,故解得1 w m w 2.|m+ 2> 3,•实数m的取值范围是[1,2].跟踪训练3解•••綈q是綈p的必要条件，•- q是p的充分条件.令f(x) = 2x2—9x+ a,f2 w 0,则解得a w 9,f3 w 0,•实数a的取值范围是(一a, 9].例 4 [1 ,+a )跟踪训练4 解由方程2x2+ ax—a2= 0,得(2x—a)(x+ a)= 0, • x = I或x=— a.•当命题p为真命题时，w 1 或|—a|w 1,• |a|w 2.又“只有一个实数x满足x2+ 2ax + 2a w 0 ” ,即函数y= x + 2ax+ 2a与x轴只有一个交点，--△= 4 a —8a = 0,••• a = 0 或a = 2.•••当命题q为真命题时，a= 0或a= 2. •当命题“p或q”为真命题时，|a|w 2. •••命题"p或q”为假命题，•• a>2 或a< —2.即a的取值范围为{ a|a>2或a<—2}.当堂训练1. “若x w y,则x2w y2”2. ? n€ N,2n< 1 000 3②③14. i, 0]5.[0, ^]。

充要条件□本课概述1．内容选择本课涵盖《高中数学》（选修1-1）第1章《常用逻辑用语》．2．廓清疑点充要条件的概念与判断（学生思维疑难调研：如何利用充要条件的定义正确的进行充要条件的判断，学生有困惑）基本策略：（1）解题策略：通过充要条件的概念的数与形（区间、平面可行域等集合特征）以及命题的等价变形与转化等进行判断。

（2）同步问题讨论：通过具体典型问题的分析、讨论展示解决问题的常见解题思路，暴露学生的思维误区，培养学生缜密、严谨思维的习惯，从而廓清疑点。

3．聚焦重点如何应用充要条件。

在含有常数的充要条件问题中，如何确定常数的范围（通过集合的包含关系、命题的等价转换、数形结合、分离参数等手段将充要条件的问题转化为关于所求常数的不等关系）。

（体现深刻的数学思想方法：数形结合、等价转换、函数与方程）基本策略：（1）典型例题分析：围绕如何将条件间充要条件关系如何用不等关系进行表示，从四个不同的角度进行分析研究。

（2）分析研究过程：展示并分析学生可能出现的各种解题方案，合理选择、舍繁就简。

4．破解难点充要条件的探求与证明。

基本策略：（1）化归为一个熟悉问题：通过原命题与其逆否命题等价等途径，将原命题转化为一个熟悉的问题再加以解决。

（2）典型例题剖析：通过对典型例题的各种可能的思维过程进行剖析，让学生体会如何利用数形结合、等价转化、分类讨论等方法，破解难点，解决问题。

5． 展示亮点围绕疑点、重点、难点，从多侧面、多角度剖析，在选择比较中寻找最佳突破口，体现等价转化、正难则反等辩证思维的特点。

6．达成目标（1）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

（2）会判断必要条件、充分条件与充要条件。

（3）解决充要条件学习中知识的盲点、思维的误点、方法的瑕点、认识的疑点、能力的弱点等问题，实现学生能力的提升。

□过程设计（同时供⇒⇔⇒⇒A B ⊆B A ⊆3x y +≠1x ≠2y ≠401x x -+≤410x x -+()()≤401x x -+≤⇒p q 20,40.a a a >⎧⎨∆=-<⎩.p q ⇒q p ⇒4a q p ⇒004(,)∉⇒⇒⇒⇒p q q p q p 31-x 2≤0m >0, 若¬的取值范围的不等式表示）思路1：记符合条件U A U B U B ⊆U A 的关系式，求出m 的值（要分析清楚符合条件¬U A 31-x 2≤0m >0解集的子集思路3：2221=-+-(),f x x x m 令则[－2,10]是2－21－m 2≤0m >0解集的子集，等价于函数f 在区间[－2,10]上的图像一定在轴的下方∴20100-⎧⎨⎩(),().≤≤f f 解不等式组即可求解．（数形结合，利用图形的直观，建立m 的不等关系） 思路4：函数f 在区间[－2,10]上的图像一定在轴的下方, 即2－21－m 2≤0m >0在[－2,10]上恒成立, 只需m 2≥2－21（－2≤≤10）的最大值即可（分离参数，转化为求二次函数的最值问题）展示思路2求解过程思考：¬ 0⇒f ⇒⇒0⇒f 0⇒f ⇒⇒a f ⎧⎨⎩>0,(0)<0.a <f ⎧⎨⎩0,(0)>0.010,.a ∆=⎧⎪⎨-<⎪⎩0010(0)0,,.a af ∆>⎧⎪>⎪⎪⎨-<⎪⎪>⎪⎩0010(0)0,,.a a f ∆<⎧⎪>⎪⎪⎨-<⎪⎪<⎪⎩44100a a a ∆=-⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩,.≥0,4a 如果甲是乙的必要条件，那么区域M 的面积的最大值为答案：2A B B A BA5 已知条件：实数满足2－4a3a2＜0,其中a＜0, q：实数满足2－－6≤0或22－8>0,且¬ 是¬ q的必要不充分条件，求实数a的取值范围答案：23≤a<0或a≤－4。

3. 3.3 最大值与最小值【学习目标】1•理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系2会求某闭区间上函数的最值.IT问题导学-------------------------- 知识点函数的最大值与最小值如图为y= f(x), x€ ［a, b］的图象.思考1观察［a, b］上函数y= f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.思考2结合图象判断，函数y= f(x)在区间［a, b］上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少?思考3函数y= f(x)在［a, b］上的最大(小)值一定是某极值吗?思考4怎样确定函数f(x)在［a, b］上的最小值和最大值?梳理(1)函数的最大(小)值的存在性般地，如果在区间［a, b］上函数y= f(x)的图象是一条_________________ 的曲线，那么它必有最大值与最小值.⑵求函数y = f(x)在闭区间［a, b］上的最值的步骤①求函数y= f(x)在(a, b)内的_________ ;②将函数y = f(x)的 ____________ 与________ 处的函数值f(a), f(b)比较，其中最大的一个是____________ ，最小的一个是_______________ .题型探究类型一求函数的最值命题角度i不含参数的函数求最值例i求下列函数的最值：(1) f(x)= 2x3- 12x, x€ ［—2,3］;1(2) f(x)= qx+ sin x, x€ ［0,2 n反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：(1) 对函数进行准确求导，并检验f (x) = 0的根是否在给定区间内;(2) 研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3) 比较极值与端点函数值大小，确定最值.跟踪训练1求函数f(x) = e x(3 —x2), x€ ［2,5］的最值.命题角度2 含参数的函数求最值例2已知a是实数，函数f(x)= /(x—a),求f(x)在区间［0,2］上的最大值.反思与感悟由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化•所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.跟踪训练2在例2中，将区间［0,2］改为［—1,0］，结果如何？类型二由函数的最值求参数例3 已知函数f(x) = ax3—6ax2+ b, x € ［—1,2］的最大值为3，最小值为一29,求a, b的值.反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题•其中注意分类讨论思想的应用.1 3 12 16跟踪训练3 设f(x) = —~x +來+ 2ax.当0<a<2时，f(x)在［1,4］上的最小值为—§，求f(x)在该区间上的最大值.类型三函数最值的综合应用例 4 设函数f(x)= tx2+ 2t2x+ t—1(x€ R, t> 0).(1)求f(x)的最小值h(t);⑵若h(t)v—2t + m对t € (0,2)恒成立，求实数m的取值范围.登晟91淘课网:www.91 taDke.corn:听窑师郸i饼煉4±——导数的应用一解块不等式恒成立的问题反思与感悟(1) “恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化.入》f(X)恒成立？入》［f(X)］max；入三f(X)恒成立？疋［f(X)］min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“=”.跟踪训练4 已知2xln x>- x1 2+ ax—3对一切x€ (0,+^ )恒成立，求a的取值范围.1. ________________________________________________ 函数f(x)= x3—3x(|x|<1)，则下列说当堂训练法正确的是_____________________________________________ .(填序号)①有最大值，但无最小值；②有最大值，也有最小值；③无最大值，但有最小值；④既无最大值，也无最小值.n2. ___________________________________________ 函数y= x—sin x, x€ 2，n的最大值是__________________________________________________ .3 .函数f(x)= x3—x2—x+ t在区间［0,2］上的最小值为3,则函数在［0,2］上的最大值为______154 .已知函数y= —x2—2x+ 3在区间［a,2］上的最大值为〒，贝V a= ______ .5.函数f(x) = x3—*x2—2x + 5,若对于任意x€ ［—1,2］，都有f(x)<m,则实数m的取值范围是规律与方法------------------------------- )1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值.2 .已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.提醒：完成作业第 3 章§3.3 3.3.3 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．答案精析问题导学知识点思考1极大值为f(X) f(X3),极小值为f(X2), f(X4).思考 2 存在，f(X)min = f(a),f(x) max =f(X3).思考3不一定，也可能是区间端点的函数值.思考4比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值. 梳理(1)连续不断(2)①极值②各极值端点最大值最小值题型探究例 1 解(1)f(x)= 2x3—12X,所以f (x)= 6x2—12 = 6(x+ ,2)(x—2),令f' (x)= 0，解得x=—〔2或x= 2.因为f(—2) = 8, f(3) = 18,f( .2) =—8 2,f( —2)= 82 ；所以当x=、2时，f(x)取得最小值一8,2;当x= 3时，f(x)取得最大值18.1(2)f' (x)= + cos x,令f' (x) = 0,又x€ [0,2 n,2 4解得x= 3 n或x= §n.计算得f(0) = 0, f(2 n) = n2 n 3f( n =，+ *,'3，3 24 2 _3f(列=3n—2.所以当x= 0时,f(x)有最小值f(0) = 0;当x= 2n时，f(x)有最大值f(2n) = n.跟踪训练 1 解T f(x) = 3e x一e x x2,••• f (x)= 3e x- (e x x2+ 2e x x)=—e x(x2+ 2x- 3)=—e x(x+ 3)(x—1).•••在区间［2,5］上，xf' (x) = —e(x+ 3)(x—1)<0,•函数f(x)在区间［2,5］上单调递减,•••当x= 2时，函数f(x)取得最大值f(2) =—e2；当x= 5时，函数f(x)取得最小值f(5) = —22e5.例2解令f' (x) = 0,2a解得x i = 0,即a w 0时, f(x)在［0,2］上单调递增,从而f(x)max= f(2)= 8一4a.当竽》2，即a>3时,f(x)在［0,2］上单调递减, 从而f(x) max =f(0) = 0.当0<2a<2，即0<a<3 时，f(x)在0,2a上单调递减，在号，2上单调递增,8 —4a, 0<a<2,从而f(x) max= I〔0, 2<a<3,8 —4a, a< 2,综上所述，f(x)max =〔0, a>2.跟踪训练2解令f' (x)= 0,2解得x i = 0, X2= 3a.2①当3a> 0,即a> 0时，f(X )在［—1,0］上单调递增，从而f(x)max= f(0) = 0 ；2 3②当—1,即a< —2时，f(x)在［—1,0］上单调递减，从而f(x)max= f( —1) = — 1 —a；2 3③当—1<3a<0，即—2<a<0 时，f(x)在—1, |a上单调递增；在刍，0上单调递减，则f(x)max= f ja =—27a3.综上所述，■p - 1 —a，a w —3,f(x)max=—27a3,—2<a<0,0, a > 0.例3解由题设知a工0,否则f(x)= b为常函数，与题设矛盾.求导得f' (x) = 3ax2—12ax= 3ax(x —4),令f' (x) = 0，得X1 = 0 , X2= 4(舍去).①当a>0时，f' (x), f(x)的变化情况如下表：•- f(0) = b = 3. 由表可知，当x= 0时，f(x)取得极大值b,也是函数f(x)在［—1,2］上的最大值,又f(—1) = —7a+ 3,f(2) = —16a+ 3<f( —1),••• f(2) = —16a + 3=—29 ,解得a= 2.②当a<0时，同理可得，当x= 0时，f(x)取得极小值b,也是函数在［—1,2］上的最小值，• f(0) = b = —29.又 f(— 1) = - 7a — 29,f(2) = — 16a — 29>f(— 1),••• f(2) = — 16a — 29= 3，解得 a = — 2.综上可得，a = 2, b = 3或a =— 2, b =— 29. 跟踪训练 3 解 f ' (x) = — x 2 + x + 2a ,令 f ' (x)= 0，得两根 X 11 +1 + 8aX 2= 3 =—t 3+ 3t — 1 — m ,由 g ' (t)=— 3t 2 + 3 = 0,得 t = 1,t =— 1(不合题意，舍去)•当 x € (— O ,禺),(X 2,+ m )时,f '(x)<0 ； 当 x € (X 1, X 2)时,f ' (x)>0, 所以 f(x)在 (—OO ,X 1), (x 2,+^ )上单调递减，在(X 1, X 2)上单调递增. 当0<a<2所以f(x)在 ［1,4］上的最大值为f(X 2).又 f(4) — f(1)=— 272 +6a<0, 即 f(4)<f(1),所以f(x)在［1,4］上的最小值为f(4)= 8a — 40 = 16故 a = 1, X 2= 2,10从而f(x)在［1,4］上的最大值为f(2) = §.例 4 解 (1) •/ f(x) = t(x + t)2 — t 3+ t — 1(x € R , t > 0), •当x =— t即 h(t)=— t 3 +1 — 1.⑵令 g(t)= h(t)— (— 2t + m)当t变化时g' (t)、g(t)的变化情况如下表:••对t € (0,2)，当t= 1时，g(t)max= 1—m, h(t)< —2t —m 对t € (0,2)恒成立，也就是g(t)<0对t € (0,2)恒成立，只需g(t)max = 1 —m<0 , • m>1.故实数m的取值范围是(1 ,+s) •跟踪训练4解由2x1 n x> —x2+ ax —3,3则a< 2ln x+ x+ 一.x5 3设h(x)= 2ln x + 一+ x(x>0) •x(x+ 3(x—1 )则h' (x)= 一2—x令h' (x)= 0,得x= 1,当x€ (0,1)时，h' (x)<0 , h(x)单调递减；当x€ (1,+s)时，h' (x)>0, h(x)单调递增. •- h(X)min = h(1) = 4.…a W h(x)min = 4.• a的取值范围是(一s, 4].当堂训练11 .④ 2. n 3.6 4. —2 5.(7,+^ )。

3. 3.1 单调性【学习目标】1•结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系2能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3 •会求函数的单调区间.IT问题导学 -------------------------- 知识点函数的单调性与导函数正负的关系思考i观察下列各图，完成表格内容函数及其图象切线斜率k正负导数正负单调性丿71 2 3 ；正[1 , )上单调尸尹5 -3 -2 -1y. y i 2 xR上单调\尸罚严a ■■负(0, )上单调-1 -2，T 心L-2 -1、1 d ■O I X(0, )上单调( —g, 0)上单调第3章导数及苴应用§ 33导数在研究函数中的应用思考2依据上述分析，可得出什么结论?梳理⑴(2)在区间(a, b)内函数的单调性与导数有如下关系:题型探究类型一求函数的单调区间命题角度i求不含参数的函数的单调区间例1 求f(x)= 3X2—2ln x的单调区间.反思与感悟求函数y= f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y= f(x)的定义域;⑵求导数y' = f' (x);⑶解不等式f' (x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数;(4)解不等式f' (x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数.x跟踪训练1 求函数f(x)=-^的单调区间.x—2命题角度2求含参数的函数的单调区间例2 讨论函数f(x) = x2—aln x(a>0)的单调性.引申探究若将本例改为f(x) = ax2—In x(a € R)呢？反思与感悟(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f' (x)的符号，否则会产生错误.(2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了.跟踪训练2 已知函数f(x)= 4x3+ 3tx2—6t2x+ t—1，其中x€ R, t € R.当t工0时，求f(x)的单调区间.类型二证明函数的单调性问题反思与感悟 关于利用导数证明函数单调性的问题：(1) 首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行. (2) f ' (x)>(或<)0,贝U f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减) 函数，贝y f (x) > (或w )0.跟踪训练3 证明：函数f(x)=血在区间(0, e)上是增函数.x类型三已知函数的单调性求参数范围2 a例4 已知函数f(x) = x 2 + -(X M 0，常数a € R ).若函数f(x)在x € ［2 ,+^ )上单调递增，求 ax 的取值范围.反思与感悟 已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数 f(x)在区间I 上单调递增(或减)，转化为不等式 f (x) > 0(f ' (x) w 0)在区 间I 上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.跟踪训练4已知函数f(x)= 3-3 — lax 2- (a + 1)x + 2在区间［1,2］上为减函数，求实数a 的取值 范围.例3证明：函数f (x )=却％区间2, X 幺n 上单调递减.甌当堂训练1.关于函数f(x)= 1 —X—sin X,下列说法正确的是___________ .(填序号)①在(0,2 n上是增函数；②在(0,2 n上是减函数；③在(o, n上是增函数，在(n 2 n上是减函数；④在(0, n上是减函数，在(n 2 n上是增函数.2 .设函数f(x)在定义域内可导，y= f(x)的图象如图所示，则导函数f (x)的图象可能是3.函数f(x)= In x—ax(a>0)的单调增区间为___________ .4 .若函数y= x3—ax2+ 4在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围为5.求函数f(x)= (x—k)e x的单调区间.■规律与方法1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2 .利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；⑵求导数f (x)；⑶在函数f(x)的定义域内解不等式f' (x)>0和f (x)<0 ；⑷根据⑶的结果确定函数f(x )的单调区间.提醒：完成作业第3§3.3 3.3.1答案精析问题导学知识点思考1正递增正正递增负递减负负递减负思考2 一般地，设函数y= f(x),在区间(a, b)上，①如果f' (x)>0，则f(x)在该区间上单调递增；②如果f' (x)<0，则f(x)在该区间上单调递减.梳理(1)> 锐上升递增< 钝下降递减⑵增减题型探究例1 解f(x) = 3x2—2ln x的定义域为(0, + m).2 . 3x—1 . 3x+ 1= x ，J3由x>0,解f' (x)>0，得 ;3V3 由x<0,解f' (x)<0，得Ovxvg.所以函数f(x) = 3x2—2ln x的单调递增区间为(冷3,+R),跟踪训练1 解函数f(x)的定义域为(一a, 2)U (2 ,+s).e x x—2 —e x e x x—3 f' (x) = — = 2.(x—22(X—22因为x€ (—a , 2) U (2, + a),所以e x>0, (x—2)2>0.由f' (x)>0，得x>3,所以函数f(x)的单调递增区间为(3 ,+a )；由f' (x)<0，得x<3.负递减f'2(x)=6x—x=22 3x —1x单调递(0,h)又函数f(x)的定义域为(一8, 2) U (2,+s ), 所以函数f(x)的单调递减区间为(一^, 2)和(2,3). 例2 解 函数f(x)的定义域是(0,+),a 丈- af'(X )= 2x -设 g(x)= 2x 2— a ，由 g(x)= 0，得 2x 2 = a. 当a = 0时，f ' (x)= 2x>0 ,函数f(x)在区间(0, + )上为增函数;当a>0时，由g(x)= 0,得x =亠岁或x =—亠岁(舍去). 当 x € (0,亠寻)时，g(x)<0 , 即 f ' (x)<0; 当 x € (宁，+)时，g(x)>0 , 即 f ' (x)>0.所以当a>0时，函数f(x)在区间(0,)上为减函数，在区间(亠尹,综上，当a = 0时，函数f(x)的单调增区间是(0,+8);当a>0时，函数f(x)的单调增区间是(一寻，+8)，单调减区间是(0, 引申探究f ' (x)= 2ax —1 = 2ax -x x当 a <0 时，且 x € (0, + 8), f ' (x)<0, •••函数f(x)在 (0,+ 8 )上为减函数；当 a>0 时，令 f ' (x)= 0,• f(x)为减函数;+ 8 )上为增函数. .2aV ).解得x =右拿或一 ■■72a 2a (舍去). 当 x € (0,,2a2a)时，f '(x)<0 ,当x€(詈，+ m)时，f' (x)>0.••• f(x)为增函数.综上所述，当a< 0时，函数f(x)在(0,+^)上为减函数；当a>0时，f(x)在(0, ~2^)上为减函数，在(€負+ m)上为增函数.跟踪训练 2 解f' (x) = 12x2+ 6tx- 6t2=6(x+ t)(2x-1),令f' (x)= 0，得X i = —t, X2= 2当t<0, x€ (2, —t)时，f' (x)<0，此时f(x)为减函数；当x€ (— R,殳)时，f' (x)>0,此时f(x)为增函数，同理当x€ (—1,+ R)时，f(x)也为增函数.•••当t<0 时，f(x)的增区间为(一R, 2)和(—t,+ R),f(x)的减区间为(2,—t)；当t>0, x€ (—t, 2时，f' (x)<0，此时f(x)为减函数，当x€ (—R ,—t)和x€(2, + R)时，f' (x)>0，此时f(x)为增函数，•••当t>0 时，f(x)的增区间为(一R,—t) , g, + R), f(x)的减区间为(—t, 5.综上所述，①当t<0时，f(x)的单调增区间是(一R , 2), (—t, + R)，单调减区间是C^,—t).②当t>0时，f(x)的单调增区间是(—R,— t), (；+ R)，单调减区间是(一t, 土).xcos x- sin x例3 证明f' (x)= 2x又 x € g , n ，贝U cos x<0, sin x>0, /• xcos x — sin x<0 ,••• f ‘（x ）＜o , ••• f （x ）在層n 上是减函数.1 — In x2x 又 0<x<e , • In x<ln e = 1.1 — In x• f ' (x)= -2 >0,故f(x)在区间(0, e)上是增函数.x3a 2— — a 例 4 解 f ' (x)= 2x —电=2—. x x要使f(x)在[2 , + s )上单调递增，则f ' (x)> 0在x € [2 , + s )时恒成立，3 2— — a 即一l > 0在x € [2,+s )时恒成立. —2 3 -x >0, 2— — a 》0,• a w 2x 3在x € [2 ,+s )时恒成立.• a < (2x 3)min .•••当x € [2 , + s )时，y = 2x 3是单调递增的，3• (2x°)min = 16, • a w 16.― 2— — 16 当 a = 16 时，f ' (x) = 一 > 0(x € [2 ,+s )),有且只有 f ' (2) = 0 , 入• a 的取值范围是(一s, 16].跟踪训练4 解 方法一 f ' (x)= x 2— ax — (a + 1),因为函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，所以 f ' (x) w 0,即卩——ax — (a + 1) w 0,解得 a 》——1.因为在［1,2］上，a >x — 1恒成立，所以a > (x — 1) max = 1.跟踪训练3证明••• f(x)= In x(x) = x •— In x x所以a的取值范围是［1 , + .方法二f (x)= (x+ 1)［x—(a+ 1)］,由于函数f(x)在区间［1,2］上为减函数，所以f' (x)w 0,当a> —2 时，解得—K x< a+ 1,即减区间为［—1, a + 1］，则［1,2］? ［—1, a +1］，得a> 1.当a w—2时，解得减区间为［a+ 1, —1］, 则函数f(x)不可能在［1,2］上为减函数，故 a > 1. 所以实数a的取值范围是［1 ,+^).当堂训练2•④ 3. 0, * 4.［3,+^ )1.②5.解f' (x) = e + (x—k)e x=(x—k + 1)e x,当x<k— 1 时，f' (x)<0;当x>k— 1 时，f' (x)>0,所以f(x)的单调递减区间是(一g, k—1)，单调递增区间为(k—1 ,+^).。

2． 1 圆 _锥 _曲_线椭圆的定义取一条定长的无弹性的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1、 F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．问题 1：若绳长等于两点F1、 F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？提示：线段 F 1F 2.问题 2：若绳长L 大于两点F1、F 2的距离．移动笔尖(动点 M)满足的几何条件是什么？提示： MF 1＋ MF 2＝ L.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于 F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．(1)焦点：两个定点F1， F 2叫做椭圆的焦点．(2)焦距：两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.双曲线的定义2011 年 3 月 16 日，中国海军第7 批、第 8 批护航编队“温州号”导弹护卫舰，“马鞍山”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域高船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”舰哨兵相距 1 600 m 的“温州号”舰， 3 s 后也监听到了马达声 (声速 340 m/s)，用 A、B 分别表示“马鞍山”舰和“温州号”舰所在的位置，点 M 表示快艇的位置．问题 1：“温州号”舰比“马鞍山”舰距离快艇远多少米？提示： MB － MA＝ 340×3＝ 1 020(m) ．问题 2：把快艇作为一个动点，它的轨迹是双曲线吗？提示：不是．平面内与两个定点 F1， F 2的距离的差的绝对值等于常数 (小于 F1F2的正数 )的点的轨迹叫做双曲线．(1)焦点：两个定点F1， F 2叫做双曲线的焦点．(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.抛物线的定义如图，我们在黑板上画一条直线EF ，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在 C 点，将三角板的另一条直角边贴在直线 EF 上，在拉锁 D 处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题 1：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线．问题 2： DA 是点 D 到直线 EF 的距离吗？为什么？提示：是． AB 是 Rt△的一条直角边．问题 3：点 D 在移动过程中，满足什么条件？提示： DA ＝ DC .1．一般地，平面内到一个定点 F 和一条定直线l(F 不在 l 上 )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．圆锥曲线定义用集合语言可描述为：(1)椭圆 P＝ { M|MF 1＋ MF2＝ 2a,2a>F1F2} ；(2)双曲线 P＝ { M||MF 1－ MF 2|＝ 2a,2a<F1F 2} ；(3)抛物线 P＝ { M|MF ＝ d， d 为 M 到直线 l 的距离 } ．2．在椭圆定义中，当 2a＝ F1F2时， M 的轨迹为线段 F 1F 2，在双曲线定义中，当2a＝F1F 2 时， M 的轨迹为两条射线．3．过抛物线焦点向准线作垂线，垂足为N，则 FN 的中点为抛物线顶点，FN 所在直线为抛物线对称轴．4．对于椭圆、双曲线，两焦点的中点是它们的对称中心，两焦点所在直线及线段 F 1F 2 的垂直平分线是它们的对称轴．[ 对应学生用书 P19]圆锥曲线定义的理解[例 1]平面内动点M 到两点 F 1(－ 3,0)，F 2(3,0) 的距离之和为3m，问 m 取何值时M 的轨迹是椭圆？[思路点拨 ] 若 M 的轨迹是椭圆，则MF 1＋MF 2为常数，但要注意这个常数大于F1F2 .[精解详析 ] ∵ MF 1＋ MF2＝ 3m，∴M 到两定点的距离之和为常数，当3m 大于 F1F 2时，由椭圆定义知，M 的轨迹为椭圆，∴3m>F1F2＝3＋ 3 2＋ 0－ 0 2＝ 6，∴m>2，∴当 m>2 时， M 的轨迹是椭圆．[一点通 ]深刻理解圆锥曲线的定义是解决此类问题的前提，一定要注意定义中的约束条件：(1)在椭圆中，和为定值且大于 F 1F2；(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F 1F2；(3)在抛物线中，点 F 不在定直线上．1．命题甲：动点P 到两定点A、 B 的距离之和PA＋ PB＝ 2a(a＞ 0， a 为常数 )；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．解析：若 P 点轨迹是椭圆，则PA＋ PB＝ 2a(a＞ 0，常数 )，∴甲是乙的必要条件．反过来，若PA＋PB ＝ 2a(a＞ 0，常数 )是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a＞AB 时， P 点轨迹才是椭圆；而当2a＝ AB 时， P 点轨迹是线段AB；当 2a＜AB 时， P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要而不充分条件．答案：必要不充分2．动点P 到两个定点A(－ 2,0)， B(2,0) 构成的三角形的周长是10，则点P 的轨迹是________．解析：由题意知： PA＋ PB＋ AB＝ 10，又 AB＝ 4，∴PA＋ PB＝ 6>4.∴点 P 的轨迹是椭圆．答案：椭圆圆锥曲线的应用[例 2]设F1，F2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点，从某一焦点引∠ F 1QF 2的平分线的垂线，垂足是P，那么点P 的轨迹是什么曲线？[思路点拨 ]利用双曲线的定义，结合平面图形的性质判断．[精解详析 ] 如图所示，点Q 在双曲线的右支上，有QF1－ QF2＝2a.①延长 F1P、 QF2交于 L .∵∠ F 1QP＝∠ LQP， QP⊥ F1P，∴F 1Q＝QL ，代入①，则QL －QF 2＝2a，即 F2L ＝ 2a.取线段 F 1F2中点 O，则由 P 是 F1 L 中点有1 1PO＝2F 2L ＝2·2a＝ a.∴P 的轨迹是以 O 为圆心，以 a 为半径的圆．[一点通 ] 当点在圆锥曲线上时，点一定满足圆锥曲线的定义，如本题中，点 Q 在双曲线上，则有QF1－ QF2＝ 2a，这是定义的要求．另外利用平面图形的性质解题是解析几何中很常见的解题思想．3．平面内到两定点F1(－ 1,0)和 F 2(1,0)的距离的和为 3 的点的轨迹是________．解析： F 1F2＝ 2＜ 3，∴点 P 的轨迹是椭圆．答案：椭圆4．已知圆 C1：(x＋ 3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－ 3)2＋ y2＝ 9，动圆 M 同时与圆 C1和圆 C2相外切，试判断动圆圆心 M 的轨迹．解：设圆 M 的半径为r ，由题意，得MC 1＝ 1＋ r，MC 2＝3＋ r.∵MC 2－ MC 1＝2<C1C2，∴圆心 M 的轨迹是以C1， C2为焦点的双曲线的左支．5．已知定点 P(0,3) 和定直线 l ： y＋ 3＝0，动圆 M 过 P 点且与直线 l 相切．求证：圆心 M 的轨迹是一条抛物线．解：∵直线 y＋3＝ 0 与圆相切，∴圆心M 到直线 y＋3＝ 0 的距离为圆的半径r.又圆过点P(0,3) ，∴r ＝MP ，∴动点 M 到点 P(0,3) 的距离等于到定直线y＋ 3＝ 0 的距离，∴动点 M 的轨迹是以点P(0,3) 为焦点，以直线y＋ 3＝ 0 为准线的抛物线．椭圆定义中常数为动点到两焦点的距离之和，由三角形中两边之和大于第三边知，应要求常数大于焦距．双曲线定义中常数为动点到两焦点的距离之差的绝对值，由三角形中两边之差小于第三边知，应要求常数小于焦距．[对应课时跟踪训练(七)]1 ．平面内到一定点F和到一定直线l(F在l上)的距离相等的点的轨迹是________________________ ．答案：过点 F 且垂直于l 的直线2．设 F 1、 F2为定点， PF 1－PF 2＝ 5，F 1F 2＝ 8，则动点P 的轨迹是 ________．解析：∵5＜ 8，满足双曲线的定义，∴轨迹是双曲线．答案：双曲线3．以 F 1、 F2为焦点作椭圆，椭圆上一点 P1到 F 1、 F 2的距离之和为 10，椭圆上另一点 P2满足 P2F1＝ P2F2，则 P2F1＝ ________.解析：∵P2在椭圆上，∴ P2F 1＋ P2F2＝ 10，又∵P2F 1＝ P2F 2，∴P2 F1＝ 5.答案： 54．平面内动点P 到两定点 F 1(－ 2,0)，F2(2,0)的距离之差为m，若动点 P 的轨迹是双曲线，则m 的取值范围是 ________．解析：由题意可知，|m|＜ 4，且 m≠0，∴－ 4<m<4，且 m≠0.答案： (－ 4,0)∪ (0,4)5．已知椭圆上一点P 到两焦点F1、F 2的距离之和为20，则 PF 1·PF 2的最大值为 ________．解析：∵PF 1＋PF 2＝ 20，PF 1＋PF 2 2＝ ( 20 2∴PF1·PF2≤ ( 2 ) 2 ) ＝ 100.答案： 1006．已知抛物线的焦点为 F ，准线为 l ，过 F 作直线与抛物线相交于A、B 两点，试判断以AB 为直径的圆与l 的位置关系．解：如图，取AB 的中点 O2，过 A、 B、O2分别作 AA1⊥l ，BB 1⊥ l， O2O1⊥ l，根据抛物线的定义，知AA1＝ AF， BB1＝BF ，AA1＋ BB1 AF ＋BF AB∴O2O1＝ 2 ＝ 2 ＝2＝R(R 为圆的半径 )，∴以 AB 为直径的圆与l 相切．7．动点 P(x，y)的坐标满足x－ 2 2＋ y2＋x＋ 2 2＋ y2＝ 8.试确定点 P 的轨迹．解：设 A(2,0)，B(－ 2,0)，则 x－ 2 2＋ y2表示 PA，x＋ 2 2＋ y2表示 PB，又 AB＝ 4，∴PA＋ PB＝ 8＞ 4，∴点 P 的轨迹是以A、 B 为焦点的椭圆．8．在相距 1 600 m 的两个哨所A， B，听远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速是340 m/s，在 A 哨所听到爆炸声的时间比在 B 哨所听到时间早 3 s．试判断爆炸点在怎样的曲线上？解：由题意可知点P 离 B 比离 A 远，且PB －PA＝340× 3＝ 1 020 m，而AB ＝ 1 600 m＞ 1 020 m，满足双曲线的定义，∴爆炸点应在以A， B 为焦点的双曲线的靠近 A 的一支上．。

Till：-. SlXtmiS CHArrEK锥曲线与方程------ - . -gj-二土§2.2 椭2. 2.1椭圆的标准方程【学习目标】1•掌握椭圆的标准方程2会求椭圆的标准方程.3•能用标准方程判断曲线是否是椭圆.ET问题导学--------------------------知识点一椭圆的定义把平面内与两个定点F2的距离的和等于 ________________ 的点的轨迹叫做椭圆，这两个________ 叫做椭圆的焦点，_________________ 叫做椭圆的焦距.知识点二椭圆的标准方程思考1在椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？思考2怎样由椭圆的标准方程判断椭圆焦点所在的坐标轴？梳理椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程(a>b>0)(a>b>0)图形芬题型探究类型一椭圆的标准方程命题角度1求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B(1，- 3)；2 2(2) 经过点(3, 15)，且与椭圆2X5 + y9 =1有共同的焦点.反思与感悟求椭圆标准方程的方法(1) 定义法即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程.(2) 待定系数法①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a, b, c的等量关系；④求a, b的值，代入所设方程. 特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2+ ny2= 1(m^ n, m>0, n>0).跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0, - 2), (0,2)，并且椭圆经过点(一2 5 ;⑵焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；⑶经过点P( —2 .3, 1), Q( 3,- 2).命题角度2由标准方程求参数(或其取值范围)2 2例2若方程乞一一—=1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数 m 的取值范围是 __________________m m — 2 反思与感悟(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式.m>0,2 2 ⑵—+ — = 1表示椭圆的条件是n >0, m n.m ^ n ;m>0,表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是n>0, .m>n ;m>0,表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是n >0,n>m.2k — 4 k^= 1表示焦点在X 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为 登录淘课（www.91 taok&.ccim},听名师皓讲谍程——桝圆的匡义及方程反思与感悟 用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义得 出椭圆的基本量a ，b ，c.跟踪训练3 已知圆A : （x + 3）2+ y 2= 100,圆A 内一定点B （3,0），圆P 过点B 且与圆A 内 切，求圆心P 的轨迹方程.命题角度2椭圆中的焦点三角形2跟踪训练2(1)已知方程x d2 2例4如图所示，点P是椭圆号+ y = 1上的一点，F i和F2是焦点，且/ F!PF2= 30°求厶卩卉25 4的面积.引申探究在本例中，若图中的直线PF i与椭圆相交于另一点B,连结BF2,其他条件不变，求△ BPF2的周长.反思与感悟（1）对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于PF i（或PF2）的方程求得PF i（或PF2）;有时把PF i PF2 看成一个整体，运用公式PF2+ PF^= （PF i+ PF2）2-2PF i PF2及余弦定理求出PF i PF2，而无需单独求出，这样可以减少运算量.20⑵焦点三角形的周长等于2a+ 2c.设/F i PF2= 0,则焦点三角形的面积为 b tan2 2跟踪训练4 设F i、F2为椭圆X9 + 4= 1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F i、F2是个直角三角形的三个顶点，且PF i>PF2,求雪的值.PF2当堂训练1.已知椭圆4x2+ ky2= 4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是_____________ .2 .在椭圆的标准方程中，a = 6, b=>/35，则椭圆的标准方程是_______________________ .3. ___________________ 若厶ABC的两个顶点坐标分别为A(—4,0), B(4,0), △ ABC的周长为18,则顶点C的轨迹方程为__ .4. __________________________________________________________________ “ m>n>0”是“方程mx2+ ny2= 1表示焦点在y轴上的椭圆”的_____________________________ 条件.2 25 .设P是椭圆16+器=1上一点，P到两焦点F1, F2的距离之差为2，则△ PF1F2的面积是厂-规律与方法-------------------------------- 11 .对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解.2 .用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位2 2置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax + By = 1(A>0, B>0 , A M B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.提醒：完成作业第2章§.2 2.2.1答案精析问题导学知识点一常数(大于F1F2)定点F i, F2两焦点间的距离知识点二思考1在椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间的距离之和的一半助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，叫半焦距.a、b、c始终满足关系式a2= b2+ c2.思考2谁的分母大焦点在谁轴上.2 2 2 2梳理，X2 + y2= 1 + y2= 1a b b a(-c,0)与(c,0) (0, - c)与(0, c)2 …2 2c = a —b题型探究2 2 例1解(1)方法一当焦点在X轴上时，可设椭圆的标准方程为X2+ y2a b1••• A(0,2), B(2, .3)在椭圆上,4 Ab2= 1解得…b2= 4,这与a>b相矛盾，故应舍去.当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为字+ 餌1(a>b>0).可借助图形帮c是焦距的一半, 1(a>b>0).1••• A(0,2), B(1, 3)在椭圆上,a2= 4,解得b2= 1,•••椭圆的标准方程为2y+ x2= 1. 42综上可知，椭圆的标准方程为汽+ x2= 1.方法二设椭圆的标准方程为mx2+ ny2= 1(m>0 , n>0 , m^ n).1••• A(0,2), B(2,. 3)在椭圆上,4n= 1,4m+ 3n = 1,故椭圆的标准方程为2x2+ 鲁=1.42⑵方法一椭圆25+卷=1的焦点为(一4,0)和(4,0),x2由椭圆的定义，可得2a= / 3+ 42+ T5—0 2+ ' 3—4 2+、15 —0 2,•・2a= 12，即a= 6.•- c = 4, • b2= a2—c2= 62-42= 20,2 2•椭圆的标准方程为倉+氷=1.36 20方法二由题意可设椭圆的标准方程为2X+25+入9 +入将x= 3, y='：：g15代入上面的椭圆方程，得丄+上1, 25+入 9 +入解得冶11或X=- 21（舍去）,2 2•••椭圆的标准方程为务+y ： = 1.36 20跟踪训练1解（1） •••椭圆的焦点在y 轴上，2 2•设椭圆的标准方程为 =1（a>b>0）.由椭圆的定义知，毎 7（-2什（5 + 22 + 7（—券 + €-盯=皿即 a = . 10.又 c = 2, • b 2= a 2-c 2= 6.2 2•所求椭圆的标准方程为君+ X = 1.10 6⑵•••椭圆的焦点在y 轴上,2X 孑=1(a>b>0).又椭圆经过点（0,2）和（1,0）,4 0孑+产1， a 2 = 4,•所求椭圆的标准方程为y +x 2=1. 42 2⑶设椭圆的方程为 mx + ny = 1(m>0, n>0,且m ^ n). •/点 P( — 2.3, 1), Q( 3, - 2)在椭圆上,•代入得 12m + n = 1, 3m + 4n = 1,1 n =5.•设它2+1，a bb 2= 1.22 2•••所求椭圆的标准方程为—+y= 1.15 5例 2 0<m<1跟踪训练2 (1)(7,10) (2)3或5例3解•/直线AP的垂直平分线交直线BP于点Q, •- AQ = PQ.•- AQ + BQ = PQ+ BQ = 6> AB = 4,•••点Q的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，且2a= 6,2c= 4,•- a = 3, c= 2，即b2= a2—c2= 5,2 2•••点Q的轨迹方程为X+ y= 1.9 5跟踪训练3 解如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B, •PB = r.又•••圆P与圆A内切，圆A的半径为10,•两圆的圆心距为FA= 10—r,即FA + FB= 10（大于AB= 6）,•圆心P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆.•2a= 10,2c= AB = 6,•- a = 5, c= 3,•b2= a2—c2= 25 —9= 16.2 2•圆心P的轨迹方程为补+ y= 1.25 162 2例4解在椭圆x+ y = 1中，a= 5,5 4b = 2,c = ■ 'a2—b2= 1.又••• P在椭圆上，PF 1 + PF2 = 2a= 2 5.①由余弦定理知，2 2PF i + PF2 —2PF i PF2 C OS 30 °=F i F；= (2c)2= 4.②①式两边平方，得PF?+ PF2+ 2PF i PF2= 20.③③一②，得(2 +• 3)PF i PF2= 16,PF i PF 2= 16(2 —3).-SL RPF2 = 2P F I PF2 sin 30 °=8 —4 3.引申探究解由椭圆的定义，可得△ BPF2的周长为PB + PF2+ BF2 =(PF i+ PF 2) + (BF i + BF 2)=2a + 2a = 4a = 4马5.跟踪训练4 解当/ PF2F i= 90°时,f PF i+ PF 2= 6,由PF2= PF2>+ 2c2,当/ F i PF2= 90°时，同理求得PF i = 4, PF2 = 2,综上，P F2=2或2.当堂训练2 2 2 21 2 2』+ 壬=1 或X- + — 136 35 35 362 23.25+ 9 =1（尸0）4•充要 5.62 2⑵若椭圆X + m=1的焦距为2,贝y m= __________ 类型二椭圆定义的应用命题角度1由椭圆的定义确定轨迹方程例3如图，P为圆B: (x + 2)2+ y2= 36上一动点，点A坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q,求点Q的轨迹方程.。