第 16 课时课题 曲线方程和圆(二)

2.5.1直线与圆的位置关系（第二课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册)一、教学目标1.掌握利用直线与圆位置关系解决实际问题的一般方法；2. 掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程；3.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。

二、教学重难点1.利用直线与圆的位置关系解决实际问题的一般方法和思想；2.学生的数学抽象、数学转化能力与数学建模能力的培养。

三、教学过程（一）复习回顾1.直线与圆的位置关系的判断方法：直线Ax+By+C=0(A ,B 不同时为0)与圆(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0)的位置关系及判断：2. 直线与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB|，则有：(|AB|2)2＋d 2＝r 2，即|AB|＝2r2－d2. 3.过某点的圆的切线方程问题： （1）若点P(x0，y 0)在圆上，利用切线和圆心与点P 的连线垂直求解切线方程；(2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线，常利用几何方法求解，即：圆心到切线的距离等于半径，设切线方程，利用待定系数法求解。

易错提示：直线方程的点斜式无法表示斜率不存在的直线【设计意图】以提问的方式，帮助学生复习前面所学知识，同时ppt 动态演示复习内容，给学生以直观的感受和提醒，为本节课内容做好铺垫。

（二）问题引入新课台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区的时间为多少？【设计意图】通过现实生活中的实例，让学生体会到数学源于生活并可以指导生活，感受数学的魅力（三）讲授新课例3.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB =20m,拱高OP =4m,建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度（精确到0.01m).问题1.如何建立适当的平面直角坐标系？（大家分组讨论，给出方案）（教师展示学生方案，引导学生回忆建立平面直角坐标系应该遵循的原则，选择最合适的坐标系。

人教版高中数学新教材详细目录本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March2019年最新版高中数学教材目录必修（第一册）（共计72课时）第一章集合与常用逻辑用语（10课时）第二章一元二次函数、方程和不等式（8课时）第三章函数概念与性质（12课时）第四章指数函数与对数函数（16课时）第五章三角函数（23课时）必修（第二册）（共计69课时）第六章平面向量及其应用（18课时）第七章复数（8课时）第八章立体几何初步（19课时）第九章统计（13课时）第十章概率（9课时）选择性必修（第一册）（共计43课时）第一章空间向量与立体几何（15课时）第二章直线和圆的方程（16课时）第三章圆锥曲线的方程（12课时）选择性必修（第二册）（共计30课时）第四章数列（14课时）第五章一元函数的导数及其应用（16课时）选择性必修（第三册）（共计35课时）第六章计数原理（11课时）第七章随机变量及其分布（10课时）第八章成对数据的统计分析（9课时）详细章节内容高中数学新教材目录高中第一册第一章集合与常用逻辑用语 (4)集合的概念 (5)集合间的基本关系 (10)集合的基本运算 (13)阅读与思考集合中元素的个数 (18)充分条件与必要条件 (20)全称量词与存在量词 (27)阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件 (34)第二章一员二次函数、方程和不等式 (39)等式性质与不等式性质 (40)基本不等式 (47)二次函数与一元一次方程、不等式 (53)第三章函数的概念与性质 (62)函数的概及其表示 (63)阅读与思考函数概念的发展历程 (78)函数的基本性质 (79)信息技术应用用计算机绘制函数图像 (90)幂函数 (92)探索与发现探索函数y=x+1/x的图象与性质 (95)函数的应用(一) (96)文献阅读与数学写作函数的形成与发展 (100)第四章指数函数与对数函数 (106)指数 (107)指数函数 (114)阅读与思考放射性物质的衰减 (118)信息技术应用探究指数函数的性质 (123)对数 (125)阅读与思考对数的发明 (131)对数函数 (133)探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系 (138)函数的应用(二) (145)阅读与思考中外历史上的方程求解 (150)文献阅读与数学写作对数概念的形成与发展 (160)数学建模建立函数模型解决实际问题 (165)第五章三角函数 (170)任意角和弧度制 (171)三角函数的概念 (180)阅读与思考三角学与天文学 (189)诱导公式 (191)三角函数的图象与性质 (199)探究与发现函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ) (206)探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质 (211)三角恒等变换 (218)信息技术应用利用信息技术制作三角函数表 (227)函数y=Asin(ωx+φ) (234)三角函数的应用 (245)阅读与思考振幅、周期、频率、相位 (253)高中第二册第六章平面向量及其应用 (4)平面向量的概念 (5)平面向量的运算 (10)平面向量基本定理及坐标表示 (28)平面向量的应用 (41)复习参考题6 (62)数学探究用向量法研究三角形的性质 (66)第七章复数 (70)复数的概念 (71)复数的四则运算 (78)*复数的三角表示 (86)复习参考题7 (97)第八章立体几何初步 (99)基本立体图形 (100)立体图形的直观图 (110)简单几何体的表面积与体积 (117)空间点、直线、平面之间的位置关系 (127)空间直线、平面的平行 (136)空间直线、平面的垂直 (149)复习参考题8 (172)第九章统计 (175)随机抽样 (176)用样本估计总体 (195)阅读与思考大数据 (220)统计案例公司员工的肥胖情况调查分析 (221)复习参考题9 (225)第十章概率 (228)随机事件与概率 (229)事件的相互独立性 (249)频率与概率 (254)复习参考题10 (266)新旧教材的异同普通高中数学课程标准2017年版在实验版的基础上作了修订，总体是继承，删减了一些内容，调整了内容的顺序，注重了数学知识内部的逻辑性，使得整体内容更趋合理。

4.2.1圆的一般方程一、复习提问，引入课题问题：求过三点(0,0)，(1.1)，(4,2)的圆的方程？【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，最后得出运用圆的知识很难解决问题。

因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。

于是老师提问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。

【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。

二、探索研究，讲授新课 请同学们写出圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=、圆心(a ，b)、半径r把圆的标准方程展开，并整理:22222220x y ax by a b r +--++-= 取D=-2a E=-2b F=222a b r +-220x y Dx Ey F ++++=这个方程就是圆的方程.反过来给出一个形如220x y Dx Ey F ++++=的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把220x y Dx Ey F ++++=配方得： 222224()()224D E D E Fx y +-+++= 【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。

问题：这个方程是不是表示圆？⑴当2224D E F +-﹥0时，方程表示以(-2D ，2E)为圆心，以22142D E F +-为半径的圆. ⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容. ⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣.⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力.⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦.⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是所有的方程都可以 表示圆。

使得学生的认识不断加深，同时一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。

【教师讲解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：2042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩即D=-8 E=6 F=O∴所求的方程为22860x y x y +-+=222142r D E F =+-=5、2D -=4、2E-=-3∴圆心坐标为(4,-3)或将220x y Dx Ey F ++++=化为圆的标准方程： 22(4)(3)25x y -++=【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤 ⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。

一、复习提问，引入课题问题：求过三点(0,0)，(1.1)，(4,2)的圆的方程？【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，最后得出运用圆的知识很难解决问题。

因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。

于是老师提问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。

【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。

二、探索研究，讲授新课 请同学们写出圆的标准方程：222()()x a y b r-+-=、圆心(a ，b)、半径r把圆的标准方程展开，并整理:22222220x y ax by a b r +--++-=取D=-2a E=-2b F=222ab r +-220x y Dx Ey F ++++=这个方程就是圆的方程.反过来给出一个形如220x y Dx Ey F ++++=的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 把220xy Dx Ey F ++++=配方得：222224()()224D E D E F x y +-+++= 【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。

问题：这个方程是不是表示圆？ ⑴当2224DE F +-﹥0时，方程表示以(-2D ，2E)为圆心，以22142D E F +-为半径的圆.⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容. ⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣.⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力. ⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦.⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是 所有的方程都可以 表示圆。

使得学生的认识不断加深，同时教学基本内容设计意图一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。

【教师讲解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：2042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩即D=-8 E=6 F=O∴所求的方程为22860x y x y +-+=222142rD E F=+-=5、2D -=4、2E -=-3 ∴圆心坐标为(4,-3) 或将220xy Dx Ey F ++++=化为圆的标准方程：22(4)(3)25x y -++=【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤 ⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。

六年级数学上册5圆单元教案设计五、圆本单元教材主要内容包括：圆的认识、圆的周长和面积以及扇形，是在继直线图形的周长和面积的知识后学习的一种新知识——曲线图形。

教材注重实践和探究，通过大量的实践活动让学生体验圆的曲线特征，认识圆各部分的基本特征和对称性，研究圆的周长和直径的比值(圆周率)，运用转化思想研究圆的面积。

在实践和探究活动中培养学生的观察推理能力，发展空间观念，同时还受到爱国主义教育。

1．圆是日常生活中常见的图形，但学生对圆的基本特征缺少研究。

它是小学阶段的一个新知识点，研究的方法有所变化。

通过学习，可以使学生掌握初步的研究曲线图形的基本方法，为学习圆柱、圆锥的知识打下基础。

2．在以前学习中，学生学会了运用折、剪、画、量、算等方法研究图形的知识，在学习方法上有一定积累，本单元学习更要注意操作和探究。

3．借助学习活动继续提高学生的分析、推理能力，学习用转化思想解决问题。

1．认识圆，掌握圆的特征；理解直径与半径的相互关系；理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值。

2．理解和掌握求圆的周长与面积的计算公式，并能正确地计算圆的周长和面积。

3．初步认识弧、圆心角和扇形。

4．培养学生观察、实验、比较、分析推理、抽象概括的能力。

掌握圆的周长和面积的计算公式。

理解圆周率，掌握圆的周长和面积计算公式的推导。

圆的认识2课时圆的周长2课时圆的面积4课时扇形1课时整理和复习1课时确定起跑线1课时1．圆的认识第1课时圆的认识(1)教科书第57、58页内容及相应的“做一做”。

1．认识圆，掌握圆的各部分名称，理解直径与半径的关系。

2．会使用工具画图。

3．培养学生观察、分析、综合、概括及动手操作能力。

圆的特征，理解半径和直径的关系。

掌握圆规画图的方法。

一、自主预习1．课件出示主题图。

师：图上画了些什么？你了解到哪些信息？有何感想？根据画面情境，你能找出圆形的物体吗？2．揭示课题。

师：古希腊一位数学家曾经说过：“在一切平面图形中，圆是最美丽的！”今天这节课，就让我们一起来探索圆的奥秘。

圆二色谱圆二色谱是一种特殊的吸收普，它对手性分子的构象十分敏感，因此它是最重要的光谱实验之一。

手性是物质结构中的重要特征，即具有不能重叠的三维镜像对映异构体，它们的分子式完全相同，但其中原子或原子基团在空间的配置不同，互为镜像。

凡手性分子都具有光学活性，即可使偏振光的振动面发生旋转。

许多有机物和络合物都具有手性，它们的对映异构体物理化学性质(熔点、沸点、旋光度、溶解度、分子式等)几乎完全相同，但它们的旋光方向相反，生理作用大不相同。

生物基础分子一般都具有手性，也都具有光学活性。

在对生物分子手性的研究中，发现了令人惊异至今不解的对称性破缺现象，那就是在自然界中，氨基酸有L型和D型两种对映异构体，天然糖也有L糖和D糖两种糖。

但在生物体中，组成蛋白质的20种氨基酸，除最简单的甘氨酸不具有手性外，其余都是L型的，而生物体核酸中的糖环则都是D型的。

生物体中这种对称性破缺现象是有特殊意义的自然现象。

手性分子都具有光学活性。

当单色左旋与右旋的圆偏振光通过某一种手性样品时，该样品对左、右旋圆偏振光的吸收不同，这叫做圆二色性。

其差值△A=△AL一△AR称为圆二色值，按波长扫描就得到了圆二色谱(CD谱)。

利用法拉第效应，在外加磁场作用下，许多原来没有光学活性的物质也具有了光学活性，原来可测出CD谱的在磁场中CD信号将增大几个量级。

这种条件下即可测得磁圆二色谱(MCD谱)。

CD和MCD是特殊的吸收谱，它们比一般的吸收谱弱几个量级，但由于它们对分子结构十分敏感，因此近十几年来，CD和MCD 已成为研究分子构型和分子间相互作用的最重要的光谱实验之一。

利用CD和MCD 研究生物大分子和药物分子，具有重要的科学意义和实用价值。

基本定义和原理一束平面偏振光通过光学活性分子后，由于左、右圆偏振光的折射率不同，偏振面将旋转一定的角度，这种现象称为旋光，偏振面旋转的角度称为旋光度。

朝光源看，偏振面按顺时针方向旋转的，称为右旋，用“+”号表示；偏振面按逆时针方向旋转的，称为左旋，用“-”号表示。

圆的标准方程教案圆的标准方程教案1教学目标(一)知识目标1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。

(二)能力目标1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；2. 通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力；3. 通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。

(三)情感目标通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论________于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。

教学重、难点(一)教学重点圆的标准方程的理解、掌握。

(二)教学难点圆的标准方程的应用。

教学方法选用引导?探究式的教学方法。

教学手段借助多媒体进行辅助教学。

教学过程Ⅰ.复习提问、引入课题师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。

请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M ?p（M）｝；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。

⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。

［多媒体演示］师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。

用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。

［给出标题］师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25.若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？生：x2+y2=r2.师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。

即，亦即x2+y2=r2.师：x2+y2=r2 表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合，由两点间的距离公式得即：（x-a）2+(y-b)2= r2Ⅱ.讲授新课、尝试练习师：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圆的标准方程.特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2.师：圆的标准方程由哪些量决定？生：由圆心坐标（a,b）及半径r决定。

高二数学授课教案学生姓名授课教师班主任上课时间9 月 23 日时—时科目数学课题第1课时平面解析几何——直线与圆的方程学习目标1．回顾、加强空间坐标系、直线与圆的方程基础知识．2．巩固直线、圆的方程的主要求解方法．(重点)3．能够解决综合性解析几何问题．(难点)教学过程教学设计一、主干知识梳理1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：xa＋yb＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．设直线方程的一些常用技巧：1．知直线纵截距b，常设其方程为y kx b=+；2．知直线横截距x，常设其方程为x my x=+(它不适用于斜率为0的直线)；3．知直线过点00(,)x y，当斜率k存在时，常设其方程为00()y k x x y=-+，当斜率k不存在时，则其方程为x x=；4．与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； 5．与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时： (1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2. (2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1•k2＝－1.提醒:当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略．3．三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离：|AB |＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2. (2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程：Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．提醒:应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等．4．圆的方程的三种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．(3)圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r 。

高二数学曲线方程和圆 人教版一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．如果命题“坐标满足方程(),0f x y =的点都在曲线C 上”是不正确的，那么下列命题中正确的是（ ）A ．坐标满足方程于(),0f x y =的点都不在曲线C 上B ．曲线C 上的点的坐标不都满足方程(),0f x y =C ．坐标满足方程(),0f x y =的点有些在曲线C 上，有些不在曲线上D ．至少有一个点不在曲线C 上，其坐标满足方程(),0f x y =2．等腰三角形ABC ，若一腰的两个端点坐标分别是()24,A ，()02,B -，A 顶点，则另一腰的一个端点C 的轨迹方程是 （ ）A ．04822=--+y x y xB ．02048122=---+y x y x ()210-≠≠x ,xC ．0204822=-+++y x y x ()102≠-≠x ,xD ．0204822=+--+y x y x ()102≠-≠x ,x 3．定义运算bc ad dcb a -=，则符合条件0121211=-+--x yy x 的点P（x , y ）的轨迹方程为（ ） A ．(x －1)2+4y 2=1 B ．(x －1)2－4y 2=1C ．(x －1)2+y 2=1D ．(x －1)2－y 2=14．设实数y x ,满足条件y x y x y x y x y x 22033,02204222+++⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-则的最大值（ ）A ．23B ．25C ．23D ．55．关于x ，y 的方程A x 2+B xy +C y 2+D x +E y +F=0表示一个圆的充要条件是（ ）A ．B=0，且A=C ≠0B ．B=1且D 2+E 2-4AF ＞0C ．B=0且A=C ≠0，D 2+E 2－4AF ≥0D ．B=0且A=C ≠0,D 2+E 2－4AF ＞06．如果动点P 是△ABC 所在平面上的点，且PAB PBC S S ∆∆=，则点P 的轨迹为（ ）A ．两条平行直线B ．过点B 的两条直线（除点B ）C ．∠BAC 的平分线D ．AC 边的中垂线7．对于满足x 2+(y-1)2=1的任意x,y ，不等式x+y+d ≥0恒成立，则实数d 的取值范围是（ ）A ．[2－1，+∞]B ．(－∞，2－1)C ．[2 +1，+∞]D ．(－∞，2 +1)8．（2004全国文理2-4）已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（ ）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x9．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过 （ ） A ．1.8米 B ．3米 C ．3.6米 D ．4米10．若两直线y =x +2k 与y =2x +k +1的交点P 在圆x 2+y 2=4的内部，则k 的范围是 （ ） A ．－51＜k ＜－1 B ．－51＜k ＜1C ．－31＜k ＜1D ．－2＜k ＜2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．圆C ：θθθ(,sin ,cos 1⎩⎨⎧=+=y x 为参数）的普通方程为 ，设O 为坐标原点，点M(x 0, y 0)在C 上运动，点P(x , y)是线段OM 的中点，则点P 的轨迹方程为 .12．由动点P 向圆引两条切线122=+y x PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程是 .13．已知124=+y x ，则下列结论正确的是 （请将你认为正确的结论的序号全部填入）. ①它的图象关于x 轴对称；②它的图象关于y 轴对称； ③它的图象关于原点对称；④它的图象是一个封闭图形，且面积大于π ⑤它的图象是一个封闭图形，且面积小于π14．已知P(3，0)是圆x 2+y 2－8x －2y +12=0内一点则过点P 的最短弦所在直线方程是 ，过点P 的最长弦所在直线方程是 .15．若集合A={(x 、y)｜y=－｜x ｜－2}，B={(x ,y)｜(x －a )2+y 2=a 2}满足A ∩B=ϕ，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6题，共75分） 16．（12分）自点A(－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆x 2+y 2－4x －4y+7=0相切，求光线l 与m 所在直线方程.17．（12分）已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 18．（12分）AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜=2a ,M 是圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜=｜MN ｜，求点P 的轨迹.19．（12分）已知P （1，2）为圆922=+y x 内一定点，过P 作两条互相垂直的任意弦交圆于B 、C 两点，求B 、C 中点M 的轨迹方程。

八年级音乐第一学期教学计划范本一、指导思想坚持____教育方针, 以《初中数学新课程标准》为准绳, 继续深入开展新课程教学改革。

以提高学生中考成绩为出发点, 注重培养学生的基础知识和基本技能, 提高学生解题答题的能力。

同时通过本学期的课堂教学, 完成九年级上册数学教学任务。

并根据实际情况, 计划完成九年级下册新授课教学内容。

二、学情分析通过对上期末检测分析, 发现本班学生存在很严重的两极分化。

一方面是平时成绩比较突出的学生基本上掌握了学习的数学的方法和技巧, 对学习数学兴趣浓厚。

另一方面是相当部分学生因为各种原因, 数学已经落后很远, 基本丧失了学习数学的兴趣。

三、教材分析第二十一章一元二次方程（13课时）本章的主要学习一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）,运用一元二次方程分析和解决实际问题。

其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。

方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备.数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固。

第二十二章二次函数（12课时）本章是学生学习了正比例函数、一次函数以后, 进一步学习函数知识, 是函数知识螺旋发展的一个重要环节。

二次函数是描述变量之间关系的重要的数学模型, 它既是其他学科研究时所采用的重要方法之一, 也是某些单变量化问题的数学模型, 如本章所提及的求利润、面积等实际问题。

二次函数的图像抛物线, 既是人们最为熟悉的曲线之一, 同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用, 如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。

和一次函数、反比例函数一样, 二次函数也是一种非常基本的初等函数, 对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。

第二十三章旋转（9课时）本章主要是探索和理解旋转的性质, 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。

高三数学问题导学教学案例——圆与方程课题：圆与方程 课时安排： 2 课时一、复习目标：圆与方程了解确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一直线上的三个点等）.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化.能根据直线与圆的方程判断其位置关系（相交、相切、相离）；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 用代数方法处理几何问题的思想体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”与“数”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用. 二、复习重难点：圆的标准方程和一般方程四、知识回顾： 1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+-⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x . 2、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +>； ⑵外切：r R d +=；⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷内切：r R d -=； ⑸内含：r R d -<. 五、课堂教学：问题导学一：我们在解决直线和圆相切时应注意哪些要点？例1、基础训练：求以)3,1(N 为圆心，并且与直线0743=--y x 相切的圆的方程.探究1：过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 解：设直线方程为kx y =，即0=-y kx .∵圆方程可化为25)1()2(22=++-y x ，∴圆心为（2，-1），半径为210.依题意有2101122=++k k ，解得3-=k 或31=k ，∴直线方程为x y 3-=或x y 31=. 探究2：已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 . 解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为（1，0），半径为1，∴1125522=++a ，解得8=a 或18-=a .练习巩固：求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程.解：设所求圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+r ba b a r b a 5252)5(222， 解得⎪⎩⎪⎨⎧===531r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧===55155r b a ，∴圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x .问题导学二：直线被圆所截弦长的处理策略是什么?关键是借助圆的什么性质？例2、基础训练：求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.探究1：直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB .探究2：设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为32，则=a .解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得22222)3()11(=+++a a ，解得0=a .练习巩固：已知圆6)2()1(:22=-++y x C ，直线01:=-+-m y mx l . （1）求证：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点； （2）求直线l 被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.解：（1）∵直线)1(1:-=-x m y l 恒过定点)1,1(P ，且65=<=r PC ，∴点P 在圆内，∴直线l 与圆C 恒交于两点.（2）由平面几何性质可知，当过圆内的定点P 的直线l 垂直于PC 时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，此时21=-=PCl k k ，∴所求直线l 的方程为)1(21-=-x y 即012=--y x .问题导学三：如何判断直线与圆的位置关系？例3、基础训练：已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系.探究1：直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 解：依题意有a a >-21，解得1212-<<--a .∵0>a ，∴120-<<a .探究2：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 解：依题意有11122<+-k k ，解得340<<k ，∴k 的取值范围是)34,0(. 练习巩固：若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.解：∵曲线24x y -=表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是22<≤-m 或22=m .问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例4、基础训练：判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，并画出图形.探究1：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的位置关系是解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为)0,1(1O ，半径11=r ，圆4)2(22=++y x 的圆心为)2,0(2-O ，半径22=r ，∴1,3,5122121=-=+=r r r r O O .∵212112r r O O r r +<<-，∴两圆相交.探究2：若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的取值集合是 .解：∵圆4)(22=+-y m x 的圆心为)0,(1m O ，半径21=r ，圆9)2()1(22=-++m y x 的圆心为)2,1(2m O -，半径32=r ，且两圆相切，∴2121r r O O +=或1221r r O O -=，∴5)2()1(22=++m m 或1)2()1(22=++m m ，解得512-=m 或2=m ，或0=m 或25-=m ，∴实数m 的取值集合是}2,0,25,512{--. 练习巩固：求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.解：设所求圆的圆心为),(1b a O ，则所求圆的方程为20)()(22=-+-b y a x .∵两圆外切于点P ，∴131OO OP =，∴),(31)2,1(b a =-，∴6,3=-=b a ，∴所求圆的方程为20)6()3(22=-++y x .问题导学五：和圆相关的最值有哪些解决途径，体现那些思想方法？例5、基础训练：已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点P 在圆422=+y x 上运动，求222PC PB PA ++的最大值和最小值.探究1：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是解：∵圆18)2()2(22=-+-y x 的圆心为（2，2），半径23=r ，∴圆心到直线的距离r d >==25210，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(==--+r r d r d .探究2：已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则22PB PA +的最小值是 .解：设),(y x P ，则828)(2)2()2(222222222+=++=+-+++=+OP y x y x y x PB PA .设圆心为)4,3(C ，则325min=-=-=r OC OP，∴22PB PA +的最小值为268322=+⨯.练习巩固：已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动.（1）求21--x y 的最大值与最小值；（2）求y x +2的最大值与最小值. 解：（1）设k x y =--21，则k 表示点),(y x P 与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值.由1122=+k k ，解得33±=k ，∴21--x y 的最大值为33，最小值为33-. （2）设m y x =+2，则m 表示直线m y x =+2在y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时，m 取得最大值与最小值.由151=-m ，解得51±=m ，∴y x +2的最大值为51+，最小值为51-.问题导学六：如何利用已知条件挖掘求圆的方程的重要信息？ 例6、基础训练：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程.探究1：已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4.探究2：由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是422=+y x .练习巩固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.解：设动点P 的坐标为),(y x P .由)0(>=a a PBPA ，得a yc x y c x =+-++2222)()(，化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .当1≠a 时，化简得01)1(222222=+-+++c x a a c y x ，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ； 当1=a 时，化简得0=x .所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，122-a ac为半径的圆；当1=a 时，P 点的轨迹是y 轴.问题导学七：圆中动点的变化，带来求其轨迹方程的方法是什么？例7、基础训练：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.探究1：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且MB AM 31=，则点M 的轨迹方程是解：设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 31=，∴),3(31),(11y x y y x x --=--，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=yy x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴12121=+y x ，∴1)34()134(22=+-y x ，即169)43(22=+-y x ，∴点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 探究2：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 .解：设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线，∴31==OB OA MB AM ， ∴MB AM 31=.由变式1可得点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 练习巩固：已知直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.解：设),(y x P ，AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形，∴M 是OP 的中点，∴点M 的坐标为)2,2(y x ，且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ，∴CM OM ⊥，∴0)12(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ，化简得1)1(22=-+y x .∴点P 的轨迹方程是1)1(22=-+y x .问题导学八：实际生活中我们又该如何利用所学的圆知识进行“数学化”，来解决问题？例8、基础训练：某圆拱桥的水面跨度20m ，拱高4m .现有一船宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？探究1：某圆拱桥的水面跨度是20m ，拱高为4m .现有一船宽9m ，在水面以上部分高3m ，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5m ，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低 m 时，船才能通过桥洞.（结果精确到0.01m ） 解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为222)(r b y x =-+.∵圆经过点（10，0），（0，4），∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2222)4(100rb rb ，解得⎩⎨⎧=-=5.145.10r b . ∴圆的方程是)40(5.14)5.10(222≤≤=++y y x . 令5.4=x ，得)(28.3m y ≈.故当水位暴涨1.5m 后，船身至少应降低m 22.1)328.3(5.1=--，船才能通过桥洞.探究2：据气象台预报：在A 城正东方300km 的海面B 处有一台风中心，正以每小时40km 的速度向西北方向移动，在距台风中心250km 以内的地区将受其影响.从现在起经过约 h ，台风将影响A 城，持续时间约为 h .（结果精确到0.1h ）解：以B 为原点，正东方向所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹是x y -=，受台风影响的区域边界的曲线方程是222250)()(=++-a y a x .依题意有222250)300(≤+--a a ，解得14251501425150+-≤≤--a .∴6.64014502402,0.240142515024021211≈⨯=-=∆≈+-==a a t a t .∴从现在起经过约2.0h ，台风将影响A 城，持续时间约为6.6h .练习巩固：有一种商品，A 、B 两地均有出售，且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往回贩运时，单位距离的运费A 地是B 地的3倍.已知A 、B 两地的距离是10km ，顾客购买这种商品选择A 地或B 地的标准是：包括运费在内的总费用比较便宜.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点.解：以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则)0,5(-A ，)0,5(B .设),(y x P 是售货区域分界线上的任意一点，单位距离的运费为a 元km /，则PB a PA a =3，∴2222)5()5(3y x a y x a +-=++，化简得222)415()425(=++y x .∴A 、B 两地售货区域的分界线是以)0,425(-为圆心，415为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去A 地购货，在曲线外的居民选择去B 地购货，在曲线上的居民去A 、B 两地购货均可.六、反思总结：1、圆的标准方程和一般方程2、直线与圆、圆与圆的位置关系的要点3、复习、学到哪些解决问题策略，掌握了哪些数学思想方法七、作业安排：配套专题练习 八、教学反馈：问题导学法通过创设特定的问题情景，引导学生在解决面临的问题中，主动获取和运用知识、技能；激发其学习主动性、自主学习能力和创造性解决问题的能力的课堂教学方式.本教学方式的三个基本特征是：①以问题的提出和解决为中心.即教学过程不是简单的知识传递讲解过程，而是根据课本知识要求和学生的知识经验，把教学问题问题化.问题的提出和解决贯穿教学过程.②以发展学生运用知识综合解决问题能力和创新意识及学习能力为重点.③教师引导学生自主合作探索学习为关键.即教师是教学过程中问题情境的创设者，解决问题过程的指导者，学生学习的鼓励者.在新课程的高三复习中我们数学教师要把握好《新课程标准》、《教学要求》和《考试说明》中的重要信息，从学生实际出发，在复习内容上要进一步创新，要以问题为纽带，编制教案和学案，促进学生加深对复习内容的理解和学习负担的减轻，从被动接受向主动探求转变从而促进高三课堂复习效益的提高.使“双案制”教学成为问题导学的载体、提高学习质量的抓手.。

圆方程教学设计（精选4篇）_圆的方程教学设计圆方程教学设计（精选4篇）由作者整理，希望给你工作、学习、生活带来方便。

第1篇：圆的一般方程教学设计一、学习目标知识与技能：在熟练记忆圆的标准方程的基础上，能通过配方法将方程配方，从而得出此方程表示圆的条件，记住此条件，并会求圆心和半径；熟练进行标准方程和一般方程之间的互化；通过比较得出求圆方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。

过程与方法：通过对方程表示圆的条件的探究，培圆的一般方程教学设计养学生探索发现和解决问题的能力，通过比较例题，感悟归纳和总结的学习方法。

情感态度与价值观：通过对数学思想和方法的渗透，让学生感受解决问题的不同思考角度和过程，激励学生积极思考，勇于探索的精神。

二、重点难点：探究方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。

三、学法提示：探究式；比较归纳式四、学习过程：包括相关预习、学习探究、反馈和展示、启发点拨、归纳小结、释疑答难、训练巩固、点拨校正、作业等。

1、自主预习（用10分钟时间阅读教材内容，勾勒自己的疑惑，查阅相关的资料辅助解决疑惑，记录自己一些独特的见解，完成学业质量模块测评的环节1，包括基础知识的记忆、思维提升的判断及A、B、C不同层级的练习）2、思考探究（引入）：问题1：圆的标准方程是什么？你能正确展开吗？此时重点观察和发现后进生的练习过程，及时地予以真诚的语言鼓励或者一个肯定的眼神、一个手势，让这些学生从一开始投入到我能学会的自信心当中来。

问题2：方程方程表示圆的条件；求圆方程在解决这两个问题之前老师紧接着问：由问题1你能想到解决这两个问题的办法吗？或者由这两个方程的形式特点你想到了什么方法来处理这两个方程？这样培养学生善于发现问题之间的内在联系的意识，也培养学生观察分析问题的能力。

这样学生自然采用配方法处理，第一个表示一个圆，第二个不表示任何图形。

问题3：将问题2一般化，方程都表示圆吗？在什么条件下表示圆？3、小组展示先给学生5分钟自主探究（因为涉及到分情况讨论，可能有一半学生会出错），而后各个小组在小组长的展示下相互完善，达成共识。

直线与圆的方程的应用一、教材分析直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.二、教学目标1．知识与技能（1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用.（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题.2．过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.三、教学重点与难点教学重点：求圆的应用性问题.教学难点：直线与圆的方程的应用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.如图1,某城市中的高空观览车的高度是100 m,图1在离观览车约150 m处有一建筑物,某人在离建筑物100 m的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.思路2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用.（二）推进新课、新知探究、提出问题①你能说出直线与圆的位置关系吗？②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法？③阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题？④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？⑤你能利用“坐标法”解决例5吗？活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.①学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类；②解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；③首先考虑问题的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单；④回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；⑤利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论.讨论结果：①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.③阅读并思考教科书上的例4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较.④你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于D、E、F的三个独立的条件也可.⑤建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.（三）应用示例思路1例1 讲解课本4.2节例4,解法一见课本.图2解法二：如图2,过P 2作P 2H ⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10.在Rt △AOC 中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2设拱圆所在的圆的半径为r,则有r 2=(r-4)2+102. 解得r=14.5.在Rt △CP 2H 中,有|CP 2|2=|CH|2+|P 2H|2.因为|P 2H|=|OA 2|=2,于是有|CH|2=r 2-|OA 2|2=14.52-4=206.25.又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=25.206-10.5≈14.36-10.5=3.86. 所以支柱A 2P 2的长度约为3.86 cm.点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择.变式训练已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.图3解:如图3,以四边形ABCD 互相垂直的对角线CA 、DB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立适当的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).过四边形ABCD 的外接圆的圆心O 1分别作AC 、BD 、AD 的垂线,垂足分别为M 、N 、E,则M 、N 、E 分别为线段AC 、BD 、AD 的中点,由线段的中点坐标公式,得1O x =x m =2c a +,1O y =y n =2d b +,x E =2a ,y E =2d.所以|O 1E|=222221)222()222(c bd d b a c a +=-++-+. 又|BC|=22c b +,所以|O 1E|=21|BC|. 点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论.例2 有一种大型商品,A 、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍,已知A 、B 两地相距10 km,居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.活动：学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距A 地近,且费用低,列方程或不等式.解:以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系,则A(－5,0),B(5,0).设某地P 的坐标为(x,y),且P 地居民选择A 地购买商品的费用较低,并设A 地的运费为3a 元/km,则B 地运费为a 元/km.由于P 地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A 地运费≤价格+B 地运费,即3a 22)5(y x ++≤a 22)5(y x +-,整理得(x+425)2+y 2≤(415)2. 所以以点C(-425,0)为圆心,415为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从A 地购货费用较低,圆外的居民从B 地购货费用较低,圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等,因此可以随意从A 、B 两地之一购货.点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.思路2例1 求通过直线2x-y+3=0与圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法. 解法一:利用过两曲线交点的曲线系, 设圆的方程为x 2+y 2+2x-4y+1+λ(2x -y+3)=0, 配方得标准式(x +1+λ)2+(y-2-2λ)2=(1+λ)2+(2+2λ)2-3λ-1,∵r 2=45λ2+λ+4=45(λ+52)2+519,∴当λ=-52时,半径r=519最小.∴所求面积最小的圆的方程为5x 2+5y 2+6x-18y-1=0. 解法二:利用平面几何知识,以直线与圆的交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)连线为直径的圆符合要求.由⎩⎨⎧=+-++=+-,0142,03222y x y x y x 消去y,得5x 2+6x-2=0. ∴判别式Δ＞0,AB 中点横坐标x 0=221x x +=-53,纵坐标y 0=2x 0+3=59, 即圆心O′(-53,59). 又半径r=21|x 1-x 2|·221+=519,∴所求面积最小的圆的方程是(x+53)2+(y-59)2=519. 点评:要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化,这里配方法十分重要,方法二用到求弦长的公式|AB|=|x 1-x 2|·21k+;对于圆的弦长,还可以利用勾股定理求得,即|AB|=22d r -,其中r 为圆半径,d 为圆心到弦的距离.变式训练设圆满足①截y 轴所得弦长为2,②被x 轴分成两段弧,弧长之比为3∶1,在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.图4解:关键确定圆心坐标和半径.如图4. 设圆心A(a,b),则半径r=2|b|. 由截y 轴的弦长为2,知a 2+1=r 2=2b 2, 又圆心A 到l 的距离d=51|a-2b|,∴5d 2=a 2+4b 2-4ab≥a 2+4b 2-2(a 2+b 2)=2b 2-a 2=1,当且仅当a=b 时等号成立.这里由⎪⎩⎪⎨⎧==+=,2,1,2222r b r a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===.2,1,12,1,1r b a r b a 或∴圆的方程为 (x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.例2 已知x,y 是实数,且x 2+y 2-4x-6y+12=0,求(1)xy 的最值;(2)x 2+y 2的最值;(3)x+y 的最值;(4)x-y 的最值.活动：学生思考或交流,教师引导,数形结合,将代数式或方程赋予几何意义. 解:(x-2)2+(y-3)2=1表示以点C(2,3)为圆心,1为半径的圆. (1)xy表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k, 故当y=kx 为圆C 的切线时,k 得最值. ∵21|32|kk +-=1,∴k=2±323.∴x y 的最大值为2+323,最小值为2-323.(2)设x 2+y 2表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识,知当P 为直线OC 与圆C 的两交点P 1、P 2时,OP 12与OP 22分别为OP 2的最大值、最小值.∴x 2+y 2的最大值为(2232++1)2=14+213,最小值为(2232+-1)2=14-213.(3)令x+y=m,当直线l:x+y=m 与圆C 相切时,l 在y 轴上截距m 取得最值.∵2|32|m -+=1,∴m=5±2.∴x+y 的最大值为5+2,最小值为5-2. (4)令x-y=n,当直线l′:x -y=n 与圆C 相切时,l′在y 轴上截距的相反数n 取得最值. ∵2|32|n --=1,∴n=-1±2.∴x-y 的最大值为-1+2,最小值为-1-2.点评:从“数”中认识“形”,从“形”中认识“数”,数形结合相互转化是数学思维的基本方法之一.“数学是一个有机的统一体,它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合.”(希尔伯特)数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一,而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力.本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目.例3 已知圆O 的方程为x 2+y 2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.活动：学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识.解法一:参数法(常规方法)设过A 的弦所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k 存在时),P(x,y),则⎩⎨⎧-+==+),2(,922k kx y y x 消y,得(1+k 2)x 2+2k(2-k)x+k 2-4k-5=0.∴x 1+x 2=1)2(22+-k k k .利用中点坐标公式及中点在直线上,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+-=12,1)2(22k k y k k k x (k 为参数).∴消去k 得P 点的轨迹方程为x 2+y 2-x-2y=0,当k 不存在时,中点P(1,0)的坐标也适合方程.∴P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆.解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法) 设过点A 的弦MN,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).∵M 、N 在圆O 上,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.9,922222121y x y x .∴相减得(x 1+x 2)+2121x x y y --·(y 1+y 2)=0(x 1≠x 2).设P(x,y),则x=221x x +,y=221y y +. ∴M 、N 、P 、A 四点共线,2121x x y y --=12--x y (x≠1).∴2x+12--x y ·2y=0. ∴中点P 的轨迹方程是x 2+y 2-x-2y=0(x=1时亦正确). ∴点P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆.解法三:数形结合(利用平面几何知识)由垂径定理知OP ⊥PA,故P 点的轨迹是以AO 为直径的圆.(下略)点评:本题涉及求轨迹方程的三种间接方法.思路一,代表了解析几何的基本思路和基本方法,即⎩⎨⎧==,0),(,0),(y x g y x f 消y(或x)得关于x(或y)的一元二次方程Ax 2+Bx+C=0,再利用求根公式、判别式、韦达定理等得解.思路二,又叫平方差法,要求弦的中点的轨迹方程时,用此法比较简便.基本思路是利用弦的两个端点M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)在已知曲线上,将点的坐标代入已知方程然后相减,利用平方差公式可得x 1+x 2、y 1+y 2、x 1-x 2、y 1-y 2等.再由弦MN 的中点P(x,y)的坐标满足x=221x x +,y=221y y +,以及直线MN 的斜率k=2121x x y y --(x 1≠x 2)等,设法消去x 1、x 2、y 1、y 2,即可得弦MN 的中点P 的轨迹方程.用此法对斜率不存在的情况,要单独讨论.思路三,数形结合,利用平面几何知识等,有时能使求解过程变得非常简洁.学好解析几何,要掌握特点,注意四个结合:①数形结合:形不离数,数不离形,依形判断,就数论形;②动静结合:动中有静,静中有动,几何条件——曲线方程——图形性质;③特殊与一般结合:一般性寓于特殊性之中,特殊化与一般化是重要的数学思维方法; ④理论与实际结合:学以致用,创造开拓.（四）知能训练课本本节练习1、2、3、4.（五）拓展提升某种体育比赛的规则是:进攻队员与防守队员均在安全线l 的垂线AC 上(C 为垂足),且距C 分别为2a 和a(a ＞0)的点A 和B,进攻队员沿直线AD 向安全线跑动,防守队员沿直线方向向前拦截,设AD 和BM 交于M,若在M 点,防守队员比进攻队员先到或同时到,则进攻队员失败,已知进攻队员的速度是防守队员速度的两倍,且他们双方速度不变,问进攻队员的路线AD 应为什么方向才能取胜?图5解:如图5,以l 为x 轴,C 为原点建立直角坐标系,设防守队员速度为v,则进攻队员速度为2v,设点M 坐标为(x,y),进攻队员与防守队员跑到点M 所需时间分别为t 1=v AM 2||,t 2=vBM ||. 若t 1＜t 2,则|AM|＜2|BM|,即2222)(2)2(a y x a y x -+<-+. 整理,得x 2+(y-32a)2＞(32a)2,这说明点M 应在圆E:x 2+(y-32a)2=(32a)2以外,进攻队员方能取胜.设AN 为圆E 的切线,N 为切点,在Rt △AEN 中,容易求出∠EAN=30°,所以进攻队员的路线AD 与AC 所成角大于30°即可.（六）课堂小结1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.常用的有：(1)利用可再化简、对称、直交、平行等特点适当地选择坐标系；(2)善于根据图形的已知条件和论证的目标,恰当地使用曲线的方程；(3)掌握直线和圆的基本定义、基本概念、基本性质,有效运用它们来解题；(4)注意“平几”知识在简洁、直观表达问题中的作用；(5)借助数形结合进行等价转化,减少思维量、运算量；(6)灵活使用曲线系方程,方便快捷地解题；(7)根据背景的特点,巧用字母的替换法则；(8)充分运用韦达定理进行转化与化归；(9)留心引参消参、设而不求等在优化解题思路方面上的作用.3.直线和圆在现实生活中有着十分广泛的应用,主要包括两大块：一是直线与圆的直接应用,它涉及到质量、重心、气象预报、购物选址、光的折射、直线型经验公式的选用等问题,这部分涉及的知识内容比较简单,要熟练掌握直线和圆的方程形式；可以使我们更好地了解近代数学的发展,从而有利于学生应用数学意识的培养.（七）作业习题4.2 B组2、3、5.。