曲线与方程圆的方程

第二讲 圆的一般方程一、圆的一般方程的定义当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程。

【要点】1.220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆，2240D E F +-=时表示的是一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2240D E F +-<时方程没有实数解，不代表任何图形；只有当2240D E F +->时，方程才表示圆。

2.22,x y 的系数相同且不等于0；方程不含xy 项。

3. 圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径长为2242D E F +-4.圆的一般方程−−−→←−−−展开配方圆的标准方程考点一 由圆的一般方程求圆的圆心和半径由圆的一般方程求圆心坐标和半径长有两种方法： 1. 通过配方法化为标准方程； 2. 直接用公式法求。

例1 圆22420x y x y +-+=的圆心坐标和半径长分别是（ ）A. ()2,1,5-B.()2,1,5-C.()2,1,5-D.()2,1,5-考点二 判断形如220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=的方程是否表示圆形如220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=的方程表示圆必须具备的条件 1. 0A C =≠； 2. 0B =；3. 2240D E AF +->以上三个条件需同时满足时，二元二次方程才表示圆。

例2 下列方程能否表示圆？若能，求出圆心和半径；若不能，说明理由。

（1）222750x y x +-+=； （2）22580x xy y x y -+-++=； （3）222240x y x +-=； （4）22210x y ay ++-=； （5）2220x y ax ++=.考点三 由确定圆的条件求参数范围二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件是2240D E F +->，求参数取值范围问题可以转化为解不等式2240D E F +->。

曲线系是解析几何的基本内容之一，它把具有某一共同性质的曲线族表示成一个含参数的方程，然后根据曲线族所满足的其它条件确定出参数的值，进而求出曲线方程．本文举例说明几种常用的圆系方程．1．过两圆交点的圆系若两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0相交于A、B两点，则过A、B两点的圆系方程为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0)(λ≠－1)．当两圆相切时，方程表示过切点且与两圆都相切的圆系方程．若λ=－1，表示公共弦AB所在直线(两圆相切时为公切线)的方程．例1求经过两圆x2＋y2＋6x－4=0和x2＋y2＋6y－28=0的交点，并且圆心在直线x－y －4=0上的圆的方程．解设所求圆的方程为(x2＋y2＋6x－4)＋λ(x2＋y2＋6y－28)=0(λ≠－1)，即2．过圆与直线交点的圆系设圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与直线L：ax＋by＋c=0交于A、B两点，则方程x2＋y 2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)=0表示过A、B两点的圆系方程．若圆C与直线L切于点A，则方程表示与直线L：ax＋by＋c=0相切于A点的圆系方程．例2已知圆x2＋y2＋x－6y＋m=0与直线x＋2y－3=0的两个交点为P、Q，若以PQ为直径的圆过原点，求m的值．解设所求圆的方程为x2＋y2＋x－6y＋m＋λ(x＋2y－3)=0，例3求证圆系x2＋y2＋2λx＋(4λ＋10)y＋20＋10λ=0中任意两圆相切于同一点，并求出切点坐标．证明3．与已知圆切于圆上一定点的圆系与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0切于点P(x0，y0)的圆系方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋λ(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)=0(λ≠－1)当λ=－1时，方程表示过P(x0，y0)的切线方程．例4求经过A(4，－1)且与已知圆x2＋y2＋2x－6y＋5=0切于B(1，2)的圆的方程．解4．过一定点的圆系过定点P(x0，y0)的圆系方程为：(x－x0)2＋(y－y0)2＋m(x－x0)＋n(y－y0)=0．例5 求过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)的圆的一般方程．解即x2＋y2－4x－2y－20=0．本题用圆系方程解，减少了一个参数，还可以用下面的方法解．5．过两定点的圆系过两已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)的圆系方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＋λ[(x－x1) (y2－y1)－(y－y1)(x2－x1)]=0，方程的前半部分为以AB为直径的圆的方程表达式，后半部分为直线AB的两点式的表达式，当λ=0时，方程为以AB为直径的圆的方程．例6求过点A(5，2)和B(3，－2)且圆心在直线2x－y=3上的圆的方程．解设所求圆方程为(x－5)(x－3)＋(y－2)(y＋2)＋λ[(x－5)(－2－2)－(y－2)(3－5)]=0，即x2＋y2－4(λ＋2)x＋2λy＋16λ＋11=0，圆心(2(λ＋2)，－λ)代入直线方程得4(λ＋2)＋λ=3，解得λ=－1，所以所求圆方程为x2＋y2－4x－2y－5=0．例7求与已知圆x2＋y2－7y＋10=0相交，所得的公共弦平行于直线2x－3y－1=0且过(－2，3)，(1，4)两点的圆的方程．解设所求圆的方程为(x＋2)(x－1)＋(y－3)(y－4)＋λ[(x＋2)(4－3)－(y－3)(1＋2)]=0，即x2＋y2＋(λ＋1)x－(3λ＋7)y＋11λ＋10=0，两圆相减得公共弦所在的直总之，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2与一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0都有三个参数a、b、r与D、E、F，而上述五种形式的圆系方程只有一个(或两个)参数λ，故灵活利用圆系方程可大大减少运算量，从而迅速求得所求圆的方程．。

曲线和方程 圆的方程[本讲主要内容]1. 曲线的方程的定义.2. 用直接法求曲线的方程一般步骤.3. 设曲线C 1, ()0,1=y x f ,()0,:22=y x f C ,则有以下结论:①若21,C C 有交点,则21,C C 的交点M ⇔方程组()()⎩⎨⎧==0,0,21y x f y x f 的实数解.②方程组有几组实数解,而曲线21,C C 就有几个交点;方程组无实数解,两曲线21,C C 就无交点.4. 圆的定义及圆的标准方程.5. 圆的一般方程及参数方程.6. 点与圆,直线与圆及圆与圆的位置关系.]学习指导]1. 根据曲线形成的几何条件,在选定的坐标系下求出曲线方程,这是解析几何的基本问题,也是代数方法研究几何问题的基础,求曲线方程的方法,一般有定义法、直接法、变量代换法(转移法).直接法的一般步骤是: (1)建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标;(2)写出适合条件P 的点M 的集合(){}M P M P =;(3)用坐标表示条件P(M)列出方程()0,=y x f ;(4)化方程()0,=y x f 为最简形式;(5)证明化简后的方程是所求曲线的方程.2. 方程022=++++F Ey Dx y x ,当0422>-+=F E D t 时,表示一个圆;当t=0时,表示一个点;当t<0时,无轨迹.3. 解决和圆有关的问题,通常可考虑三种方法: (1)代数法,(2)几何法,(3)参数方程法. 如直线被圆所截得的弦长的求法: ① 几何法: 用弦心距半径及半弦构成的直角三角形.② 代数法: 由方程组⎩⎨⎧直线方程圆的方程消元得一元二次方程,再由韦达定理可求出弦长:()()221B Ax xk AB -+=.再如求某些最值问题常利用圆的参数方程.4. 在判断点与圆,直线与圆,圆与圆的位置关系时,要注意位置关系与数量关系的等价性,在解决直线与圆相切时,除运用代数法外,还应注意运用几何知识去求解往往更加简便.[例题精讲]例1. 过点(2,0)平行于y 轴的直线l 的方程是2=x 吗?如果是,请说明理由;如不是,应怎样改? [分析及解]根据“曲线的方程”的概念,过点(2,0)平行于y 轴的直线l 上任一点的坐标是方程2=x 的解,即满足轨迹的“纯粹性”,但以方程2=x 的解为坐标的点不都在直线l 上,所以不满足轨迹的完备性,故2=x 不是直线l 的方程.正确答案应是直线l 的方程,为x=2.例2. 过定点A(a,b)作互相垂直的两条直线l 1和l 2,它们分别与x 轴,y 轴交于M,N 两点,求线段MN 的中点B 的轨迹方程. [分析及解]此题按求曲线方程的一般步骤,先设MN 的中点B 的坐标为(x,y),则N(0,2y),M(2x,0),由勾股定理得,222MNAMAN=+,即点M,N 满足此关系式,所以()022222=---+b a b y a ,化简得02222=--+b a by ax .即是所求线段MN 的中点B 的轨迹方程.例3. 已知点P 是圆0422=-+x y x 上的一个动点,点Q 的坐标为(2,6),当点P 在圆上运动时,线段PQ 的中点M 的轨迹是什么? [分析及解]因为中点M 依赖于P 在圆上的运动,所以设M 点的坐标为(x,y),P 点坐标为()00,y x ,则有26,2200+=+=y y x x ,即62,2200-=-=y y x x ,即可用变量代换法求解.由P 点是圆0422=-+x y x 的点,得0402020=-+x y x .即()()()0224622222=---+-x y x ,整理得()()13222=-+-y x ,故所求点的轨迹是以点(2,3)为圆心,以1为半径的圆.此题也可考虑圆的参数方程,将圆方程化为()4222=+-y x ,其参数方程是⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x ,故可设()θθsin 2,cos 2+P ,由中点坐标公式得点M 轨迹的参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin 3cos 22y x . 所以,线段PQ 的中点是M 的轨迹是以点(2,3)为圆心,以1为半径的圆.例4. 直线l 经过点P(5,5),且和圆O:2522=+y x 相交于A,B,若54=AB ,求直线l 的方程. [分析及解]此题一般思路可由直线l 过点P(5,5),设直线l 的点斜式方程()55-=-x k y ,然后利用弦长54=AB 的条件,列出关于k 的方程,确定k 的值,这就需要联立方程组求A,B 的坐标.这种方法运算较繁,其实,我们还可以避免解方程组求A,B 的坐标,即利用平面几何的知识求解.作OH ⊥AB 于H,则H 是AB 的中点.5,5,52===∴OH AO AH这样即可得()51152=+--k k ,解得21=k 或2=k . ∴直线l 的方程是x-2y+5=0或2x-y-5=0.例5. 求过点P(2,4)向圆()()13122=++-y x 所引的切线的方程.[分析及解]此题首先要判断点P 与已知圆的位置关系,即()()150341222>=++- ,∴点P(2,4)在圆()()13122=++-y x 外.接下来可以有二个思路,一是利用圆和直线相交的两个交点重合时,直线和圆相切.当过P(2,4)的直线的倾斜角2πα≠时,设切线方程是()24-=-x k y .把①代入圆的方程得()()[]1342122=++-+-x k x ,即()()049284214412222=+-++--+k k x k kx k 19256-=∆∴k .令0=∆,得724=k ,把724=k 代入①,得020724=--y x .当过P(2,4)的直线的倾斜角2πα=,此直线方程是x=2.∵圆心(1,-3)到该直线的距离d=1∴x=2是所求的另一条切线,因此,所求的切线方程是020724=--y x 和x=2. 二是利用圆心到切线的距离等于半径.圆心是(1,-3),r=1,将切线方程写成一般形式024=-+-k y kx ,可是有112432=+-++=k kk d ,解得724=k ,下面再考虑k 不存在的特殊情况,即可得到x=2是另一条所求直线.[能力训练部分] A. 基础性训练题1. 下列各组方程中表示相同曲线的是( ) A. 1,==xyx y B. 2,x y x y == C. y x x y ==, D. 22,y x x y ==2. 曲线C 的方程是F(x,y)=0,则C 关于直线x+y=0的对称的方程是( ) A. F(y,x)=0 B. F(-y,x)=0 C. F(-y,-x)=0 D. F(y,-x)=03. 到两坐标轴距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是( )A, 二条直线 B. 四条直线 C. 四条射线 D. 八条射线 4. 若方程()022222=++++a ax y a x a 表示圆,则a 的值是( ) A. –1 B. 2 C. –1或2 D. 15. 直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点,则b 的取值范围是( )A. 2=bB. 11≤<-b 且2-=bC. 11≤≤-bD. 非A,B,C 的结论6. 当曲线241x y -+=与直线()42+-=x k y 有两个相异交点时,实数k 的取值范围是( ) A. ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛43,125 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛125,0 D. ⎪⎭⎫⎝⎛43,31 7. 过点P 1(1,5)任作直线交x 轴于点A,过点P 2(2,-7)作直线P 1A 的垂线,交y 轴于B,点M 在线段AB 上,且BM:MA=1:2,求动点M 的轨迹方程.8. 两条直线分别过点A(a,0),B(-a,0),且绕A,B 旋转,它们在y 轴上的截距分别是OC=c,OD=d,且2a d c =⋅(a 是定值,c,d 是可变的),求两直线的交点M 的轨迹方程. 9. 若实数x,y 满足024222=++-+y x y x ,试求y x 3-的最大值和最小值.10.已知经过点A(0,1),B(4,a)且与x 轴相切的圆只有一个,求此时a 的值及相应的 圆的方程. B. 提高性训练题1. 已知动点P 到点A(-3,4)和B(4,6)的连线互相垂直,则P 点的轨迹方程是__________.2. 已知两点A(0,1),B(1,0),若直线y=k(x+1)与线段AB 总有公共点,则k 的取值范围是___________.3. 已知两点A(1,1),B(3,3),P 是x 轴上一个动点,那么使∠APB 最大的点P 的坐标是______.4. 过直线x+3y+7=0与3x-2y-12=0的交点,圆心为C(-1,1)的圆的方程为__________.5. 若P(x,y)在圆()()63322=-+-y x 上运动,则xy的最大值为_______. 6. 当实数m 的取值范围是________时,直线02=--y x 与曲线m y x 422=-的交点P 在圆()4422=+-y x 内部.7. 如图,已知两点A(-1,0),B(2,0),求使夹角αβ2=的点M 的轨迹方程.8. 直线32=+y x 与曲线0622=+-++P y x y x 的两个交点为A,B,O 是原点,当P 为何值时,有OA ⊥OB.9. AB,CD 是半径为a 的定圆O 的两互相垂直的直径,作动弦AF 交CD 于E,引EP ∥AB,且交BF 于P,求点P 的轨迹方程. 10. 已知圆012222=+--+y x y x ,点A(2a,0),B(0,2b)且a>1,b>1, ① 若圆与AB 相切时,求AB 中点的轨迹方程.②若圆与AB 相切时,且△AOB 面积最小,求直线AB 的方程及面积最小值. C. 研究性习题已知圆()024*********=--+---+m m y m mx y x ()R m ∈ (1)求证: 不论m 为何值,圆心在同一直线上.(2)与l 平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离;(3)求证: 任何一条平行l 且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等. [解答](1)配方得()()[]251322=--+-m y m x .设圆心为(x,y),则⎩⎨⎧-==13m y mx 消去m 得,033:=--y x l ,则圆心恒在直线l:033=--y x 上.(2)设与l 平行的直线是03:=+-b y x l ,则圆心到直线l 的距离为()10310133b bm m d +=+--=∴圆的半径为r=5.∴当d<r 时,即31053105-<<--b 时,直线与圆相交; 当d=r 时,即3105-±=b 时,直线与圆相切;当d>r 时,即3105--<b 或3105->b 时,直线与圆相离.(3)对于任一条平行l 且与圆相交的直线03:1=+-b y x l ,由于圆心到直线l 1的距离103b d +=,从而弦长222d r -=与m 无关.能力训练题点拨与解答: 基础性训练题1. D 因为A 中y=x 表示一条直线,而1=xy表示这条直线除去一点(0,0);在B 中y=x 表示一条直线,而2x y =表示一条折线;在C 中x y =表示两条相交直线,而y x =表示一条射线;在D 中x y =与22y x =都表示两条相交直线.故应选D.2. C 设点M 的坐标为M(x,y),易得到点M 关于直线x+y=0的对称点坐标为M ’(-y,-x),所以曲线C 关于直线x+y=0的对称方程为F(-y,-x)=0,故应选C.3. D 设动点为M(x,y),则2=-y x ,即2±=-y x .当0,0≥≥y x 时,2±=-y x ;当0,0≤≤y x 时, 2±=+-y x ;当0,0≤≥y x 时,2±=+y x ;当0,0≥≤y x 时, 2±=--y x ,所以动点的轨迹是八条射线.4. A 由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧>⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ② ①04222222a aa a a a 由①得,a= -1或a=2.当a= -1时,②成立;当a=2时,②不成立.5. B 将曲线21y x -=化为122=+y x ()0≥x ,当直线b x y +=与曲线122=+y x 相切时,则满足1200=--b,即2±=b .观察图形可得当2-=b 或11≤<-b 时,直线与曲线21y x -=有且仅有一个公共点.6. B 曲线241x y -+=是以(0,1)为圆心,2为半径的圆(如图)直线()42+-=x k y 是过定点(2,4)的直线.设切成PC 的斜率为k,切成PC 的方程为()420+-=x k y 圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径2,即125,2142020==+-+k k k . 直线PA 的斜率为431=k ,所以,实数k 的范围是43125≤<k . 7. 如图,设M(x,y) ∵BM:MA=1:2∴211210++=A x x 即x x A 3=,∴A(3x,0)211021+⨯+=B y y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴y B y y B 23,0,23 B P A P 21⊥121-=⋅∴B P A P k k , 故1022373105-=---⋅--yx化简后得动点的轨迹方程是4x+5y+22=0.当直线A P 1的斜率不存在时,点A 是(1,0),点B 是(0,-7),此时点M 是⎪⎭⎫⎝⎛-314,31,也满足轨迹方程4x+5y+22=0. 8. 如图,设M(x,y) ∵点M 在直线AC 上∴点M(x,y)满足直线AC 的方程,即1=+cya x . 同理,点M(x,y)满足直线BD 的方程,即1=+-dya x . ∴x,y 应是方程①,②构成的方程组的解. 下面设法从①,②中消去变量c,d由①得,a x c y -=1 由②得,axd y +=1③×④得,2221ax cd y -= 将2a cd =代入⑤,整理得点M 的轨迹方程是222a y x =+.9. 圆方程化为()()32122=-+-y x ,其参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=θθsin 32cos 31y x (θ为参数) ()θθsin 323cos 313+--+=-∴y x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=θθsin 23cos 2132321 ⎪⎭⎫⎝⎛+++=3cos 32321πθ∴最大值为134+,最小值为1.10. 设圆心为()00,y x ,则圆的方程为()()202020y y y x x =-+-.∵A(0,1),B(4,a)在圆上()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+∴2202020202041y y a x y y x 消去y 0,得()()016812020=+-+--a a x x a当1=a 时, x 0=2,相应的250=y ; 当1≠a 时,由()()0161442=+---=∆a a a b ,解之得a=0. 此时, x 0=4, 2170=y . 故所求a 的值为0或1,相应圆的方程为:()42525222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x 或()4289217422=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x .提高性训练题1. 0121022=+--+y x y x设P 点的坐标为(x,y),则1-=⋅BP AP k k .即14634-=--⋅+-x y x y , 整理得0121022=+--+y x y x .2. 10≤≤k线段AB 与直线y=k(x+1)总有公共点,须满足的条件是:()[]()[]0011110≤-+⋅-+k k ,即()021≤⋅-k k ,解得10≤≤k .3. ()0,6P设P 点的坐标为(x 0,0),则0011,33x k x k PA PB -=-=, 46224626421tan 0200200-⋅≤-+=+-=⋅+-=∠∴x x x x x k k k k APB PB PA PB PA 此时等号成立的条件是006x x =60=∴x ,即()0,6P .4. ()()251122=-++y x⎩⎨⎧=--=++01223073y x y x 解得⎩⎨⎧-==32y x 又∵点(2,-3)在圆上,圆心为C(-1,1) ∴半径为()()5131222=--++=r∴圆的方程为()()251122=-++y x . 5. 32+设直线OP 的斜率为k,直线OP 的方程为y=kx,圆心O 1坐标为()3,3,半径为6,圆心O 1到直线OP 的距离等于6,可列出方程:61332=+-kk,解得23,3221-=+=k k .xy∴的最大值是32+.6. 1<m<3 ⎩⎨⎧-=+=⇒⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=-=-11224222m y m x m y x y x m y x y x 即为P 点坐标. ∵若P 在圆内()()0414122<--+-+∴m m ∴1<m<3 7. 设点M(x,y)① 若︒=90β,则︒=45α,从而由△ABM 是等腰直角三角形,可得M(2,3),(2,-3). ② ︒≠90β,设点M 在x 轴或x 轴上方,则αααβ2tan 1tan 22tan tan -==2tan ,1tan --=+=x y x y βα ()03322=--∴y x y当M 在x 轴下方时,同样可得上方程.y=0,由于只有在()2,1-∈x 时,0==βα符合题意,在x 轴的其它各线段(包括A,B 本身)都不合题意,所以轨迹方程为y=0,(-1<x<2).03322=--y x 满足题意,动点M 应在AB 的垂直平分线右面,所以应有x ≥1且x ≠2.综上所述,所求轨迹方程为y=0, (-1<x<2)或1322=-y x (x ≥1且x ≠2). 8. 设()()2211,,,y x B y x A由方程组⎩⎨⎧=+-++=+063222P y x y x y x 消去x,得0122052=++-P y y ∵直线与曲线有两个交点()8,01254400<>+⨯-=∆∴P P ,且根据韦达定理有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅=+51242121P y y y x()()2211,23,,23y y B y y A --∴又∵OA ⊥OB123232211-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴y y y y即()09652121=++-y y y y即094612=+⨯-+P∴P=3.9. 以直线AB,CD 分别为x,y 轴建立直角坐标系, 如图,则圆O 的方程为:222a y x =+.设θ=∠BOF ,取θ为参数. 则点F 的坐标为()θθsin ,cos a a 直线AF 的方程为:()()θθsin 1cos a x y +=+ ①BF 的方程为:()()θθsin 1cos a x y -=- ② 以x=0代入①解得点E 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+1cos sin ,0θθa E∵EP ∥AB∴直线EP 的方程为()θθsin 1cos a y =+ ③ ②×③得, ()()θθ222sin 1cosa x a y -=-即()a x a y --=2 ()a x ≤≤0.10. 如图,①设AB 的中点M(x,y),b b y a a x =+==+=220,202 直线AB: bx+ay-2ab=0.∵AB 与圆相切∴d=r,即121122=+-⋅+⋅b a aba b整理化简为 2a+2b-2ab-1=0 (*)∴AB 中点的轨迹方程: 2x+2y-2xy-1=0 (x>1,y>1)②设△AOB 面积为AOB S ∆.()14121222-≥-+=-+==∆ab b a b a ab S AO B 122-=∆AOB S令2>=∆AOB S t1,1>>b a 1222-≥∴t t即101222≥+-t t ,解得12-≤t 或12+≥t . 223+≥∴∆AO B S ,当且仅当a=b 时,等号成立. 代入(*)式得: 22101422±=⇒=+-a a a 221+=∴a ∴直线AB 的方程:022=--+y x .。

个性化教学辅导教案学科：数学 任课教师：叶雷 授课时间：2011 年 月 日(星期 ) : ~ : 姓名 年级性别教学课题 曲线与方程、圆的方程教学 目标 重点 难点 课前检查作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议_______________________________第 次课第 讲 曲线与方程、圆的方程知识点一：曲线与方程在直角坐标系中,当曲线C 和方程F(x ，y )=0满足如下关系时：①曲线C 上点的坐标都是方程F(x ，y)=0的解；②以方程F(x ，y )=0的解为坐标的点都在曲线C 上，则称曲线C 为方程F(x ，y )=0表示的曲线；方程F(x ，y )=0是曲线C 表示的方程.注：⑴如果曲线C 的方程是F (x ,y )=0，那么点P 0(x 0 ,y 0)在曲线C 上的充要条件是F (x 0 ,y 0)=0；⑵解析几何研究的内容就是给定曲线C ，如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。

其特征是以数解形, 坐标法是几何问题代数化的重要方法； ⑶求曲线方程的步骤:建、设、现（限）、代、化.【例1】 点),(62t t M 适合方程3x y =是点M 在曲线3x y =上的 ( )(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)什么条件也不是【例2】 曲线C 1：x y x =+22与C 2：y xy =2的交点数是（ ） (A)1个 (B) 2个 (C)3个 (D)4个【例3】 已知定点)0,1(-A ，)0,1(B ，点M 与A 、B 两点所在直线的斜率之积等于4-，则点M 的轨迹方程 是 。

【例4】 已知圆422=+y x 和两点A （0，4），B （4，0）当点P 在圆上运动时，求ABC ∆的重心的轨迹方程.【例5】 如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得2PM PN =.试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.知识点二：圆的方程确定圆的方程需要有三个互相独立的条件。

矣于圆与方程的知识点整理一、标准方程：(x-rt)0+(y-b)・=厂 二一般方程：A"+r+Dx+£y + F = 0(D - +F--4F>0)1・ AF + By- + + Dx+Ey+F = 0 表示圆方程则「A — B 工 O O <5 U - O2 _ 4 F > O [Q 2 + £2 _ 4 A F > O 2•求圆的一般方程一般可采用待定系数法。

3・D" + £- -4F > 0常可用来求有关参数的范帀 三'点与圆的位g 矢系1・判断方法：点到圆心的距离d 与半径『的大小：〃<厂=> 点在圆内：d = r=>点在圆上：J>r=>点在圆外2•涉及最值：(1)圆外一点圆上一动点P,讨论|PB|的最值max四、S 线与圆的位置矣系L 判断方法(d 为圆心到宜线的距离〉：(1)柑离O 没有公共点=>△< OodAr ： (2)相切O 只有一 个公共点oA = 0od = r ： (3)柑交O 有两个公共点>0od<r 。

这一知识点可以出如此题型:告诉你直线与圜相交让你求有关参数的范围.2 •宜线均圆相切(1)知识要点：①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线/与圆C 相切意味着什么？圜心C 到直线/的距离恰好等于半径r (2) 常见题型一一求过世点的切线方程① 切线条数：点在圆外一两条：点在圆上……一条：点在圆内……无 ② 求切线方程的方法及注意点f n 、 2 "E 、k V z+ TV I z 『3 仁=|BN| = |BC|-r卜 |BC|+厂讨谐中的最值U - Oi)点在圆外J 如泄点 P(X ,)* 圆：(x-aY +(y-hy =r . [(x -aY+(y -/?)" >r-] 0 0 0 0第一步：设切线/方程y-yo = k （兀一小）：第二步：通过〃 =『=>«,从而得到切线方程 特別I 注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上……千万不要漏了！ 如：过点P （l, 1）作圆F + r — 4x — 6y+12 = 0的切线，求切线方程.ii ）点在圆上J <1）若点（xo, yo ）在阿x+j = r 上，则切线方程为x x + yy = r^■ ■ ■ ■U 0（2）若点 a ，y ）在圆（.<-«）■ +（y-/?）' = r 则切线方程为 a -"）（兀 一 "）+（y -方）（，一方）=八由上述分析：过一定点求某圆的切线方程，非常磴要的第一步——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. 件Jf AC\= r求切点坐标：利用两个关系列出两个方程<' 如心=-1J （l + P ）［（西+£）2-4 气 xj（2） 判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而；1^点恰好在圆内. （3） 关于点的个数问题例：若E^（.v-3/+（y + 5/ = r 上有且仅有两个点到直线4%-3>'-2 = 0的距离为1,则半径厂的取值范用是4•直线与圆相离：会对宜线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、対称间题1. 若圆疋+尸+（川2 -l ）x + 2加$—加=0,关于直线X — y + l = 0,则实数加的值为答案:3 （注意：m = -\时，D- + £--4F<0.故舍去）变式：已知点A 是圆C:“+r + ar + 4y -5 = 0匕任意一点・A 点关于宜线x + 2y-\ =0的对称点在圆C 上，则实数《= _________ ・2•圆（x-l/+（y-3/= 1关于宜线x + y = 0对称的曲线方程是 变式：已知圆（x-4）2+（y-2）2 = I 与圆C2： （x-2/+（y-4）'= 1关于宜线/对称，则直线/的方程为 3•圆（—3）2+0 + 1）2 =1关于点（2. 3）对称的曲线方程是, 4•已知直线y = x + h^圆C ： F+r=l,问：是否存在实数b 使自A （3,3）发出的光线被直线/反射后与③求切线长：利用基本图形，AP-=|CPF CP"-r-3 •直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理及勾股定理——常用弦长公式：/=ViTPiv'■/f 24 7、 B ' .1?若存在，求出b 的值：若不存在，试说明理由.1 25 25 I 丿方法主要有三种：（1）数形结合：（2〉代换：（3）参数方程（1） 丄 的最大值和最小值：一一看作斜率 （2） y-X 的报小值；一一截距（线性规划） X-5（3） X- + y-的最大值和最小值.一一两点间的距离的平方 2•已知 AAOB 中，\OB\ = 3 , \OA\ = 4. \AB\ = 5 •点 P 是AAOB 内切圆上一点，求以 pA|, |PB|, pO|为直径的三个圆而枳之和的最大值和最小值.数形结仟和参数方程两种方法均可!3 •设P （x. y ）为圆x-+{y-\Y = 1上的任一点，欲使不等式犬+ y + c>0恒成立，则e 的取值范用是,■答案：（数形结合和参数方程两种方法均可！）L 若直线"u ・ + 2ny — 4 = 0 （ m , neR 始终平分圆，+ y2-4x-2y-4 = 0的周长，则的取值范围是2. 已知圆C ： x-+r _2x + 4y-4 = 0.问：是否存在斜率为1的宜线/,使/被圆C 截得的弦为AB .以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出宜线/的方程，若不存在，说明理由. 提示：XX +3' y =0或弦长公式d = Jj+ E2 -v 一X3•已知圆C ： (x-3/+(y-4/=b 点A((U). 3(0.1),设P 点是圆C 上的动点，d = \PA\"+\PB\\ 求 d的最值及对应的P 点坐标.4 •已知圆 C J (X-1)'+(3'-2)" =25 r 宜线 / ：(2加 + 1)兀+ (w + l)y-7〃?一4 = 0 (weR) （1） 证明：不论也取什么值，宜线/与圆C 均有两个交点; （2） 求苴中弦长最短的直线方程.5•若宜线y = -x + k^曲线x = -/-f 恰有一个公共点，则R 的取值范I 利.6 •已知圆£ + y2+x-6y +加=0与宜线x + 2y-3 = 0交于P. 0两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数也,使OP 丄OQ,若存在，求出W 的值；若不存在，说明理由.圆c 相切于点 L 已知实数X, y 满足方程宀严一4兀+1=0,求:七'圆的参数方程r...Z c\ |x=/・cos X ・+y ・=/*-(r>0)Oy =为参数：(%-«) +(y-h) =r (r>0)o1 M Jx=a+rcos y = b + rsin为参・答案J x-y+1 = 0或大一y — 4 = 0I •判断方法：几何法（d 为圆心距）:（1） dA 打+厂20外离 （3） |打一巧［vdv 斤+巧0相交 （4） t/= r-zs O 内切 2 •两圆公共弦所在直线方程圆C ： }r+y-+Dx+Ey + F=0.圆C ： jr+y^+Dx + Ey + F =0,I I I I 2 2 2 2则（D,-D2）x + （£,-£2）y + （F,-F2）= 0为两相交圆公共弦方程.补充说明：若G 与C2相切，则表示其中一条公切线方程：若G 与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.3圆系问题(1)过两圆 C J jr+y- + Dx + Ey + F = 0 和 C J X - +y- + D X + E y + F =0 交点的圆系方程为 J I I I 2 22 2 F + ))2 + Dj.v + 耳y + 斤+ (“+>^ + D;v + gy + g)=0 ( H-说明：1）上述圆系不包括C2 : 2）当 =-1时，表示过谢圆交点的直线方程（公共弦）(2)过宜线？b ・+B.\・+C=0打圆 十Dx+£> + F = 0交点的圆系方程 x-+y^+Dx+Ey+F+ (Ax+By + C)= Q（3）两圆公切线的条数问题：①相内切时，有一条公切线：②相外切时，有三条公切线：③相交时，有两条公切线：④相离时，有四条公切线 十、轨迹方程（1） 世义法（圆的定义）（2） 直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式…轨迹方程•例:过圆F + y? =1外一点人（2, 0）作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.（3）相关点法（平移转换法）：一点随列一点的变动而变动 特点为：主动点一宦在某一已知菇亘所表示的（固崔）轨迹上运动.例1 •如图，已知定点A （2,0）,点2是圆F+r= I 上的动点，ZA0Q 的平分线交AS 于当0点在圆上 移动时，求动点M 的轨迹方程.分析：角平分线；^^理和泄比分点公式・例2 •已知圆O ： x-+y-=9,点A （3,0）, B 、C 是圆Ot:的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且(2) </ =八+^0外切(5) d< n -ri o 内含分析：|0円'+4"|=4^2|AABAC = _ ,求MBC的重心G的轨迹方程. 3法I：-ZBAC=-, :.\BC\为定长且等于3^/3X A+X B +X C 3 +X B +X Cx =——3 ----- =——3——Xi+Vfl+yc^yB+Jc3 3「33) (2厂31取BC的中点为址€|-一卩£€| -込」IL24 丿 1 4 2J94••• \OE" + \CE" = ]pC : /.兀£ + >£'"=(1)XB + XC 尸—2- y+y >■ =^- £ 23 + 2XE 兀=—3—J XB + XC=2XE n I y+y =2y，••(3x-3"\ (3 V 93x-3富=—-3 \y =_yI E 2故由（1）得: ____ I +1 I =_n(Z)I 2丿l2丿4 + r =1 xe 0,3、-，y €2)-邑112 I法2：(参数法) 2设B(3cos Jsin )•由ZBOC=2ZBAC= _3C 3cos|\ I 2 ) ( + L3sin| + '丿VX + X + Xy- A B C_A ——(2 }3 + 3cos +3cos . + — II 3(2、=I + cos +cos|「+ 」•••(！)3(2_'3s】n +3sin|l+ 3 丿.• ( “ /八y =〉l +)4+)S = ----------- --------- = sin +sin | + —・・「・(2)2 22 「3、+(2)得：(X-1) +y = 1 xe 0,-」€-2^3 12 I参数法的本质是将动点坐标（x,y）中的X和y都用第三个变量（即参数）表示，通过消参得到动点轨迹方程, 通过参数的范围得出X , y的范(4) 求轨迹方程常用到得知识心 + XB + XCIX = ________ 4 ___ .②中点I匕分点公式：磊 ⑤韦达世理•高中数学圜的方程典型例题类型一:圓的方程例1求过两点A(l,4)、8(3,2)且圆心在直线j = 0 I;的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.圆的方程为(X+1)2+),2 =20：点P 在圆外.例2求半径为4.与圆* + y2-4x-2y-4 = 0相切，且和直线y = 0相切的圆的方程.圆的方程为(兀一2 — 2^/^)2+0 + 4)2 =42,或(x-2 + 275)2 + (y + 4)2 = 42 . 例3求经过点A(0,5),且与宜线x-2y = 0和2兀+ y = 0都相切的圆的方程.分析：欲确世圆的方程.需确崔圆心坐标与半径，由于所求圆过世点A ,故只需确；^^圆心坐标・又圆与两 已知宜线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上・解：•「圆和直线x-2y = (Pj2x+y = 0相切• •••圆心C 在这两条直线的交角平分线上.又圆心到两直线X -2y = 0和2x+y = 0的距离相等.•••两直线交角的平分线方程是x + 3y = 0或3x-y =0.又T 圆过点4(0,5),•••圆心C 只能在直线3»•-y = 0③内角平分线世理:BD\ _ \AB\x-2y x+2y r ■75・XI +X2上.设圆心C{t, 3r)V C到宜线2x + y = 0的距离等于AC\二1?£^ =护+（3一5）2 . v5化简整理得t--6t + 5 =0-解得：21或f = 5•••圆心是(1,3),半径必或圆心是(5.15),半径为5j^・•••所求圆的方程为（X-1）2+0-3）2 = 5 或（兀一5）2+0-15）2= 125 ・说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确；4^圆心坐标得到圆的方程, 这是过;^点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法• 例4 -设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2： (2)被兀轴分成两段弧，其弧长的比为3:1,在满足条件⑴⑵的所有圆中，求圆心到直线X-2y = 0的距离最小的圆的方程.分析：要求圆的方程.只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程-满足两个条件的圆有无数个•其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确世圆的半径，求出圆的方程•解法一：设圆心为P(« ■ h),半径为I 则P到X轴、y轴的距离分卩1为PI和由题设知：圆截X轴所得劣弧所对的圆心角为90。