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数学建模偏微分方程数学建模是数学与实际问题相结合的一种方法，它试图通过数学模型和解析技巧来解决现实生活中的问题。
在数学建模中，偏微分方程是一类非常重要的数学工具。
偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是涉及到多个变量的函数而产生的方程。
它包含了未知函数的偏导数和自变量之间的关系，可以用来描述许多科学和工程领域中的问题。
偏微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，并且在实际问题的求解中具有重要作用。
偏微分方程的求解过程通常分为两个基本步骤：建立数学模型和求解方程。
建立数学模型是将现实问题抽象化为数学问题，通常涉及到对问题的描述和假设的引入。
在建立数学模型时，我们需要考虑到问题的边界条件和初始条件，并根据问题的特征选择合适的数学方程。
常见的偏微分方程包括：抛物型方程、椭圆型方程和双曲型方程。
抛物型方程主要处理与时间有关的问题，如热传导方程和扩散方程；椭圆型方程主要处理静态问题，如拉普拉斯方程和泊松方程；双曲型方程主要处理与空间和时间有关的问题，如波动方程和传热方程。
求解偏微分方程的方法有多种，常见的方法包括分离变量法、特征线法、变换法和数值方法等。
分离变量法是将多自变量的偏微分方程转化为一元变量的常微分方程，从而简化求解过程；特征线法是利用特征线的性质来求解偏微分方程；变换法通过对原方程进行合适的变换来得到新的方程，从而简化求解过程；数值方法是通过数值逼近来求解偏微分方程，常用的数值方法有有限差分法、有限元法和谱方法等。
在实际应用中，偏微分方程被广泛应用于各个领域。
在物理学中，偏微分方程可以用来描述物体的运动、传热、电磁场等现象；在工程学中，偏微分方程可以用来优化结构、分析流体力学问题等；在经济学中，偏微分方程可以用来描述市场行为、金融衍生品定价等。
通过对这些领域的建模和求解，我们可以更好地理解和预测自然界和社会的行为。
总之，偏微分方程是数学建模中的重要工具，它可以用来描述和解决现实问题。
实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。
二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。
其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。
（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。
微分方程列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。
（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
一、模型的建立与求解 1.1传染病模型 （1）基础模型假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。
每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。
建模：t 到t t +∆病人人数增加()()()x t t x t x t t λ+∆-=∆ （1）0,(0)dxx x x dtλ== （2） 解得：0()t x t x e λ= （3）所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。
（2）SI 模型假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。
人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。
2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。
有效接触后健康者变为病人。
依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模：di N Nsi dtλ= （4）由于()()1s t i t += （5）设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型0(1),(0)dii i i i dtλ=-= （6） 解得：01()111kti t e i -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭（7）用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2 ~di i dt图形如下，结论：在不考虑治愈情况下①当12i =时didt 达到最大值m di dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这时101ln 1m t i λ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭②t →∞时人类全被感染。
数学建模中的微分方程及其应用研究随着科技的不断发展，数学建模已经成为了一个不可或缺的工具。
数学建模是指将现实问题抽象为数学模型，通过数学方法来预测和解决问题。
微分方程是数学建模中的关键工具之一。
在本文中，我将介绍微分方程在数学建模中的重要性以及其应用研究。
一、微分方程的定义和分类微分方程是描述一个或多个未知函数及其导数之间关系的方程，通常用来描述自然现象。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种。
常微分方程是指只涉及一个自变量的导数的方程，例如：$\frac{dy}{dx}= f(x,y)$偏微分方程是指涉及多个自变量的导数的方程，例如：$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$二、微分方程在数学建模中的重要性微分方程在数学建模中有着广泛的应用。
它可以用来研究自然现象中的变化关系，例如物理学中的运动规律、化学中的反应过程，甚至是医学中的疾病治疗。
通过微分方程的求解，我们可以得到有关系统的重要信息，比如系统的稳定性、解的性质、系统的动态行为等等。
三、常微分方程在数学建模中的应用常微分方程是数学建模中最常见的工具之一。
在数学建模中，解决一个常微分方程通常需要以下步骤：1. 根据问题描述建立数学模型。
2. 对模型中的常微分方程进行求解。
3. 通过解析解或数值解来得到所需的结果。
以下是常微分方程在数学建模中的一些应用：1. 表示天体运动的牛顿运动定律。
牛顿运动定律可以用一个常微分方程来描述：$m\frac{d^2x}{dt^2}= -G\frac{Mm}{r^2}$其中，$m$ 是天体的质量，$M$ 是太阳的质量，$r$ 是天体和太阳之间的距离，$G$ 是万有引力常数，$x$ 是天体相对太阳的位置。
通过求解这个方程，我们可以得到天体的运动轨迹。
2. 描述弹簧振动的简谐运动。
弹簧振动可以用一个常微分方程来描述：$m\frac{d^2x}{dt^2}= -kx$其中，$m$ 是弹簧质量，$k$ 是弹簧的弹性系数，$x$ 是弹簧相对平衡位置的偏移量。
数学建模中的微分方程求解技术第一章概述数学建模是指将实际问题抽象成数学模型，并利用数学方法解决实际问题的过程。
微分方程在数学建模中起着重要作用，而求解微分方程是数学建模中的关键问题之一。
本文将从数学建模中的微分方程求解技术入手，深入探讨微分方程求解的常用方法。
第二章解析解法解析解法是指通过解析公式或定理求解微分方程的方法。
该方法通常适用于一些比较简单的微分方程，如一阶线性微分方程、变量分离形式的微分方程、二阶线性齐次微分方程等。
通过这些公式或定理可以得到微分方程的解析解，使得微分方程的求解变得简便快捷。
第三章数值解法为了解决那些难以用解析方法求解的微分方程，数值解法应运而生。
数值解法是指将微分方程转化为差分方程，利用计算机进行数值计算求解微分方程的方法。
数值解法相比解析解法，其求解精度受固定精度限制，但通常可以算得更精确的近似解，并常常能解决含有非线性项或者涉及材料参数的微分方程。
第四章前向差分法前向差分法是求解微分方程的一种数值解法。
该方法通过将微分方程转化为差分方程，并以该差分方程对每个时间步求解微分方程的数值解。
前向差分法具有计算量小、收敛速度快等优点，但其精度较低。
第五章后向差分法后向差分法是求解微分方程的另一种数值解法。
该方法的思想是通过求解微分方程的逆向差分方程，从而得到微分方程的数值解。
后向差分法相比前向差分法，其精度更高，但计算量相对较大。
第六章结论微分方程是数学建模中的重要部分，其求解技术也是数学建模中比较复杂的问题之一。
解析解法和数值解法是微分方程求解的两种主要方法。
解析解法通常适用于简单的微分方程，而数值解法则相对复杂，但可以处理更加复杂的微分方程。
不同的求解方法在实际应用中可以结合使用，得到更加准确的结果。
因此，对微分方程求解技术的深入研究有助于提高数学建模的精度和实用性。
§3.5传染病模型
传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。
在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的流行，并建立起相应的多房室模型。
问题的提出：
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。
即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。
如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
设某地区共有n +1人，最初时刻共有i 人得病，t 时刻已感染（infective ）的病人数为i (t )，假定每一已感染者在单位时间内将疾病传播给k 个人（k 称为该疾病的传染强度），且设此疾病既不导致死亡也不会康复
模型1此模型即Malthus 模型，它大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推移，将越来越偏离实际情况。
已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体则不加任何区分，来建立两房室系统。
()o
di ki dt i o i ⎧=⎪⎨⎪=⎩则可导出：故可得：()kt
o i t i e =（3.15）
模型2
记t 时刻的病人数与易感染人数（susceptible ）分别为i (t )与s (t )，初始时刻的病人数为i 。
根据病人不死也不会康复的假设及（竞争项）统计筹算律，1o o o i c n i =+-其中：(1)(1)(1)()1k n t o k n t
o c n e i t c e +++=+解得：
（3.17）
()()1()o di kis dt i t s t n i o i ⎧=⎪⎪+=+⎨⎪=⎪⎩可得：（3.16）统计结果显示，(3.17)预报结果比(3.15)更接近实际情况。
医学上称曲线为传染病曲线，并称最大值时刻t 1为此传染病的流行高峰。
~di t dt di dt 220d i dt =令：1ln (1)
o
c t k n =-+得：此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式。
模型2仍有不足之处，它无法解释医生们发现的现象，且当时间趋与无穷时，模型预测最终所有人都得病，与实际情况不符。
为了使模型更精确，有必要再将人群细分，建立多房室系统
infective recovered susceptible k l
(1) (2)()()() 1 (3)
,()0o di ksi li dt dr li dt s t i t r t n i(o)i r o ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪++=+⎪⎪==⎩（3.18）l 称为传染病恢复系数求解过程如下：
对（3）式求导，由（1）、（2）得：ds
k dr ksi s dt l dt =-=-()()k r t l o s t s e
-=解得：
记：l k ρ=则：1()()r t o s t s e ρ
-=将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染
者和已恢复者（recovered ）。
分别记t 时刻的三类人数为s (t )、i (t )和r (t )，则可建立下面的三房室模型：
模型3
infective recovered susceptible k l 由(1)式可得：di ds ds ds li dt dt dt s dt ρ=--=-+从而解得：1()()()()ln ()()1()()o o o r t o s t i t i s s t s s t s e r t n i t s t ρρ-⎧=+-+⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=+--⎩积分得：()()()ln o o o s t i t i s s t s ρ=+-+（3.19）不难验证，当t →+∞时，r (t )趋向于一个常数，从而可以解释医生们发现的现象。
为揭示产生上述现象的原因（3.18）中
的第（1）式改写成：()
di ki s dt ρ=-其中通常是一个与疾病种类有关的
较大的常数。
k l =ρ下面对进行讨论，请参见右图
ρ0di dt <如果，则有，此疾病在该地区根本流行不起来。
o s ρ≤如果，则开始时，i (t )单增。
但在i (t )增加的同时，伴随地有s (t )单减。
当s (t )减少到小于等于时，i (t )开始减小，直至此疾病在该地区消失。
o s ρ>ρ0di dt >鉴于在本模型中的作用，被医生们称为此疾病在该地区的阀值。
的引入解释了为什
么此疾病没有波及到该地区的所有人。
ρρ图3-14
综上所述，模型3指出了传染病的以下特征：
（1）当人群中有人得了某种传染病时，此疾病并不一定流传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。
（2）疾病并非因缺少易感染者而停止传播，相反，是因为缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。
（3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。
模型检验：
医疗机构一般依据r (t )来统计疾病的波及人数，从广义上理解，r (t )为t 时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模型并无影响。
(1)dr li n r s dt ==+--r l o S S e
-=及：注意到：可得：(1)r o dr l n r s e dt ρ-=+--（3.20）
通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会太大，故一般是小量。
利用泰勒公式展开取前三项，有：ρr 211()2r
r
r e ρρρ-≈-+代入（3.20）得近似方程：2112o o o S S dr r l n S r dt ρρ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=+-+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦积分得：21()1tanh()2o o S r t m mlt S ρϕρ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦其中：1
222(1)1o o o S S n S m ρρ⎡⎤⎛⎫+-=-+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11tanh 1o S m ϕρ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭这里双曲正切函数：tanh u u u u e e u e e
---=+2222()()4tanh ()()u u u u u u u u d e e e e u du e e e e ----+--==++而：对r (t )求导：2221sec 22o dr lm h mlt dt S ρϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3.21）
曲线222
1sec 22o dr lm h mlt dt S ρϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在医学上被称为疾病传染曲线。
图3-14（a ）给出了（3.21）式曲线的图形，可用医疗单位每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。
图3-14（a ）图3-14（b ）记录了1905年下半年至1906年上半年印度孟买瘟疫大流行期间每周死亡人数，不难看出两者有较好的一致性。
