最新沪科版九年级数学下册24.2圆的基本性质公开课优质PPT课件(3)

1°的弧。
C
1度弧
D
一般地，n°的圆心角对着n°的弧， 弧对着n°的圆心角。
n°的
1度圆心角
结论：圆心角的度数和
它所对的弧的度数相等。
O A
n度圆心角
n度弧 B
例题讲解:
例4：已知：如图，等边三角形ABC的三个顶
点都在⊙O上。 求证：∠AOB= ∠ BOC= ∠ COA=120°
证明：∵AB=BC=CA
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
垂径定理： “知二推三”
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都
可以推出其他三个结论
操作探究（1）
在平面内，一 图形绕某个点旋转
在两张透明纸1上80，°分，如别果作旋半转径前相等的 ⊙O和⊙O′，把两后张的纸图叠形能在互一相起重，使⊙O和⊙O′重
弦相等
弦心距相等
D
例6：已知 AB和CD为⊙O的两 条直径,弦CE∥AB, E⌒C 为40°. 求∠BOD的度数。
解：连接OE
∵ E⌒C =40°
∴∠COE =40°
∵OC=OE
∴∠OCE=
180 -40 70 2
又CE∥AB，
∴∠AOD=∠OCE=70°
∴ ∠BOD=180°-70°=110°
D A
24.2 圆的基本性质 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
学习目标：
1、复习垂径定理及其推论。 （知二推三） 2、理解圆心角的概念. 3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的 相等关系定理及推论. （知一推三） 4、理解“1°的弧”的概念。

24.2 圆的基本性质
第2课时
学习目标
1.探索圆的对称性，进而得到垂径定理及其推论；
垂
2.能利用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及实际问题；
径
3.经历探索垂径定理及其推论的过程，发展推理能力，让学生领会
定
数学的严谨性，培养学生实事求是的科学态度；
理
4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，
②③ ①⑤④ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧.
…… ……
……
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例1：如图，⊙O的半径为5 cm，弦AB为6 cm，求圆心O 到弦AB的距离.
O AE
解：连接OA，过圆心O做OEAB，垂足为E.
AEEB 1 AB 1 63 (cm)
O
ODR7.2，AD18.7.
由勾股定理得：AO2OD2AD2，
∴R2 (R7.2)218.72
解得：R27.9.
答：赵州桥的桥拱所在圆的半径约为27.9m.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
1. 在⊙O中，若CDAB于M，AB为直径，
则下列结论不正确的是( C ) A
延伸
①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,
知二推三
④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧.
条件 结论
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦 ①⑤ ②③④ 所对的另一条弧.
相互合作交流的精神，并体验发现的乐趣.

【综合运用】 19．(12 分)某公司临街面的外墙上有一块三角形的墙面 发生破损现象(如图所示△ABC 即是)，公司领导让工人师傅 做一个圆形广告牌，将破损面全部覆盖住，工人师傅量得， ∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝4 m．为使所做广告牌最小， 工人师傅给出两种方案： ①作△ABC 的外接圆； ②以 BC 为直径作圆．问：哪个方案中的圆面积最小？是 多少？
,第 13 题图) 题图)
,第 14
二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 14．如图，△ABC 的外心坐标是__(－2，－1)__． 15．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm，则它的外心与顶点 C 的距离为__6.5__cm. 16．已知 AB＝5 cm，则经过 A，B 两点，且半径为 3 cm 的圆有__2__个．
解：(1)用尺规作出两边的垂直平分线，作出⊙O 即为所求作的花 园的位置(图略) (2)∵∠BAC＝90°，AB＝8 米，AC＝6 米，∴BC＝ 10 米，∴△ABC 外接圆的半径为 5 米，∴小明家圆形花坛的面积为 25π平方米
18．(10 分)用反证法证明：连接直线外一点和直线上所 有各点的线段中，垂线段最短．
解：
已知：如图，P 为直线 AB 外一点，PC⊥AB 于 C，PD 和 AB 不垂直．求证：PC＜PD.证明：假设 PC≥PD.(1)当 PC ＝PD 时，那么∠PCD＝∠PDC＝90°，即 PD⊥AB，这与 PD 和 AB 不垂直矛盾，∴PC≠PD. (2)当 PC＞PD 时，那 么 ∠PDC ＞ ∠PCD. 而 ∠PCD ＝ 90 ° ， 这 与 三 角 形 三 个 内 角 和等于 180°矛盾．∴假设 PC≥PD 不成立，∴PC＜PD
确定一个圆的条件

第二十二页，共30页。
例题(lìtí)解析
例2 已知：如图2，AB、CD是⊙O的弦，且AB与 CD不平行，M、N分别是AB、CD的中点(zhōnɡ diǎn)，AB=CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系 是什么？为什么？
解：连结OM、ON， ∵M、N分别(fēnbié)为弦AB、CD的中点， ∴∠AMO=∠CNO=90° ∵ AB=CD ∴ OM=ON ∴∠OMN=∠CNM ∴∠AMN=∠CNM
基础训练
7、如图，已知AD=BC、求证 (qiúzhèng)AB=CD
变式：如图，如果(rúgu⌒ǒ)AD⌒ =BC，求证：AB=CD
第二十七页，共30页。
拓展(tuò zhǎn)训练
如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF， 连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B。 （1）试判断△OEF的形状，并说明(shuōmíng)理由； （2）求证：A⌒C=B⌒D
B
B′
·A
O
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
⌒ ∵∠AOB=∠A｀OB｀
⌒
∴ AB = A′B′,
ABA'B.
同样，还可以得到(dé dào)：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆 心角___相__等， 所对的弦____相_等___；
(xiāngd
在同圆或ěn等g圆) 中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆
复习
(fù1x、í)圆的对称性有哪几方面 (fāngmiàn)？
O
轴对称性
第一页，共30页。
导入 2、将圆绕圆心(yuánxīn)任意旋转：
α O
圆具有(jùyǒu)旋转不变性,是中心对称 图形
第二页，共30页。

D
B
归纳总结
u垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平
分弦所对的两条弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不
能，请举出反例.
C
A Ø特别说明： 圆的两条直径是互相平分的.
·O B
D
一二 垂径定理及其推论的计算
典例精析 圆心到弦的距
例1 如图，⊙O的半径为5cm离，叫弦做AB弦为心6c距m.，求圆心 到弦AB的距离.
解：连接OA，过圆心O作
OE⊥AB，垂足为E，则
AE EB 1 AB 1 6 3cm.
22
O·
又∵OA=5cm，∴在Rt△OEA中，有
OE OA2 AE2 52 32 4cm.
E
A
B
答：圆心到弦AB的距离是4cm.
【一变式题】如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm， OE=6cm，则AB = 16 cm.
22
设 OC = x cm，则OD = (x － 2)cm，
·O
根据勾股定理，得
x2 = 42 + ( x－2)2 ， 解得 x=5.
AD
B
C
即半径OC的长为5cm.
例3 已知：⊙O中弦
AB∥CD⌒， ⌒
证求明证：：作AC直＝径BDM.N⊥AB，如图.
C A
∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M，
M
D B
.O
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） N ∴A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M， ∴A⌒C＝B⌒D.
归纳总结
A
.
O
C
B
A
O.
E
AC
DB

划 来 ,不 要 受 别人的 影响,相 信自己 。我也 相信你 一定会 考出水 平,考 出满意 。 3、 即 将 分 别 ,舍不 得你们 的调皮 和笑颜 ;舍不得 你们的 阳光与 大气。 忘不了 你们“ 世 博 ”之 夜 的 狂欢;更 忘不 了你们 中考前 夕的奋 力拼搏 。明天 ,你们将 迈入人 生一个
根据圆的形成定义
2 你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚 的看出树木生长的年龄,如果一棵20年树龄的红杉 树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径每年增加 多少?.
解: 23÷2÷20=0.575cm
答: 这棵红衫树的半径每年增加0.575cm
如图,请以正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧.
与圆有关的概念
弦 意: 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
1、弦和直径都是线段。 2、直径是弦,是经过圆心的特殊 弦，是圆中最长的弦但弦不一定 是直径.
B
O·
A
C
弧
圆 为上端任点意 的两 弧点 记间作的A⌒部B 分，叫读做作“圆圆弧弧，A简B称”或弧“．弧以A、B
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一 个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图 形叫做圆．
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有 到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形．
把车轮做成圆形，车轮上各点到车 轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半 径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心 与平面的距离保持不变，因此，当车辆 在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉 到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的 数学道理．
我国古人很早对 圆就有这样的认 识了，战国时的 《墨经》就有 “圆，一中同长 也”的记载．它 的意思是圆上各 点到圆心的距离 都等于半径．

1.在同圆或等圆中，大弦的弦心距较小； 2.在同圆或等圆中，大弧所对的圆心角也较大。
弦、弦心距之间的不等量关系
A M
O
B
C N
D
已知⊙O中，弦AB>CD，OM⊥AB，ON⊥CD，
垂足分别为M，N，求证：OM<ON。
重要结论： 若AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON分别是AB和CD
的弦心距，如果AB>CD，那么OM<ON。
推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条
弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么其余各组量 都分别相等。
基础知识练习
5．下列说法中，正确的是( B )
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．等弦所对的圆心角相等
6．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是
归纳总结
顶点在圆心的圆心角等分成360份时，每一份的 圆心角是1°的角，整个圆周被等分成360份，我们把 每一份这样的弧叫做1°的弧。（同圆中，相等的圆 心角所对的弧相等）
圆心角的度数和它所对 的弧的度数相等。
基础知识练习
1.一条弦把圆分成3：6两部分，则优弧所对
的圆心角为 240 ° 2.A、B、C为⊙O上三点，若
A⌒B、B⌒C
、C⌒D
ห้องสมุดไป่ตู้
的度数之比为1：2：3，则∠AOB= 60°，
∠BOC= 120 °， ∠COA= 180°
3.在⊙O中，AB弧的度数为60°，AB弧的长
是圆周长的 1/6 。
4.一条弦长恰好等于半径，则此弦所对的圆
心角是 60 度。
判断：
在两个圆中，分别有弧AB和弧CD，若弧AB和弧 CD的度数相等，则有：

圆的基本性质
圆的确定
问题：车间工人要将一 个如图所示的破损的圆盘复 原，你有办法吗？
探究发现
过一点可以做几条直线？过两点呢？
●A
●A
●B
●O
●O
● ●A O
●O
●O
●O ●O
●A
●O
●B
●O
1.过已知点A作圆，你能作出几个这样的圆？ 2.过已知点A，B作圆，你能作出几个这样的圆？
过已知点A，B作圆，可以作无数个圆。
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/272021/8/272021/8/27Aug-2127-Aug-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/272021/8/272021/8/27Friday, August 27, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/272021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月27日星期五2021/8/272021/8/272021/8/27 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/272021/8/272021/8/278/27/2021
如何确定圆心和半径？
●O
其圆心的分布有什么特点？与线
●O
段AB有什么关系？
●A
●O
●B
●O
经过两点A，B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。

（2）经过一个已知点能作无数个圆！ （3）经过两个已知点A、B能作无数个圆！这 些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。
（4）不在同一直线上的三个点确定一个圆。
（5）外接圆，外心的概念。
练一练
下列命题不正确的是 A.过一点有无数个圆. B.过两点有无数个圆. C.弦是圆的一部分. D.过同一直线上三点不能画圆. 2.三角形的外心具有的性质是 A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等. C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.
1、某一个城市在一块空地新建了三个 居民小区，它们分别为A、B、C，且三个 小区不在同一直线上，要想规划一所中学，
使这所中学到三个小区的距离相等。请问
同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确 定这个位置呢？
●A
B●
●C
走进生活
图中工具的CD边所在直线恰好垂直平分 AB边，怎样用这个工具找出一个圆的圆心。
第24章 圆
义门中心校 数学组
1、过一点可以作几条直线？ 2、过几点可确定一条直线？
过几点可以确定一个圆呢？
1、过一点作圆 过一点可以作无数个圆
2.过两个点作圆
过两个点可以作无数个圆 圆心在什么位置呢?
经过三个点A、B、C能确定一个圆吗？
假设经过A、B、C三点的⊙O存在
A
（1）圆心O到A、B、C三
A B
C O
2、 已知△ABC，能用直尺和 圆规作出过点A、B、C的圆
A
C B
解答提已示知：△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、 C的圆
1、作AB的垂直平 分线EF
2、作BC的垂直平 分线MN交EF于O
3、以O为圆心OA 为半径作圆，则 过A、B、C
A B
O

1
O
= 3 ×360°
B
C
=120°
12/11/2021
例5 已知：如图，点O是∠A平分线上的一 点，⊙O分别交∠A两边于点C、D、E、F.
求证：CD=EF.
D
C A
E
O
·
F
提示:做辅助线，利用角平分线的性质证明.
12/11/2021
例6 已知：如图，AB、CD为⊙O的两条直 径 ，弦CE∥BA,E⌒C为40°.
A
∠AOB为圆心角
圆心角∠AOB所对的弦为AB，
O
B
所对的弧为⌒AB.
12/11/2021
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明 理由.
①
②
③
④
12/11/2021
新知探究
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角 弧 弦
A O·
B
这三个量之间会有什么关系呢？
12/11/2021
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位 置，你能发现哪些等量关系？
圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.
∵∠AOB=∠A1OB1，
∴AB=A1B1 ，⌒AB⌒=A1B1
. ∵OD⊥AB,OD1⊥A1B1，
∴OD=OD1.
12/11/2021
B
Oα
D A
α
D1 A1
B1
? 交流
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你 能得到什么结论？ 在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？
（1）如果AB=CD， 那么__________ .
（2）如果⌒AB=⌒CD，
那么
.

5、在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1， 则弦AB所对的圆心角的度数为 。
6、如图5，在⊙O中A⌒B=AC⌒，∠C=75°，求∠A的度数。
A
O
B
C
图5
基础训练
7、如图，已知AD=BC、求证AB=CD
A
C
O
D
B
图6
变式：如图，如果A⌒D=B⌒C，求证：AB=CD
拓展训练
如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF，连 结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B。 （1）试判断△OEF的形状，并说明理由； （2）求证：A⌒C=BD⌒
①
②
③
④
任意给圆心角，对应出现四个量：
圆心角
弧 弦 弦心距
探究 B
α
A
Oα
A′ B
B′
·A
O
A′ B ′
将∠AOB绕O旋转到∠A/OB/ ，你能发现哪些等 量关系？
定理
这样，我们就得到下面的定理：
B
B′
·A
O
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
∵∠AOB=∠A｀OB｀ ∴
O
E C
A
F
D B
图7
课后思考题
1.如图，⊙O中两条相等的弦AB、CD分 别延长到E、F，使BE= DF。 求证：EF的垂直平分线必经过点O。
BE M A
O C
N DF
2.如图，已知AB、CD是⊙O中互相垂直的两 条直径，又两条弦AE、CF垂直相交与点G，
试证明：AE=CF
C E
PG
A
┌.
B
O
F
复习 1、圆的对称性有哪几方面？

A′
B B′
A的′ O位B置′ ，你能发现哪些
A′ B
B′
·O
A
·
O
A
倍
速 课 时 学
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝ ∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB 从而点A与点A′重合，点B与点B′重合．
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/16
谢谢观看
倍 速 课 时 学 练
（2）如果弧AB=弧CD，那么________A__B_=_C，D___________A_O__B． COD （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____弧__A_B_=_弧__C_，D ____________A．B=CD （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
两个圆心角、两 条弧、两条弦中
课
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心
有一组量相等，
时 学
角______，相所等对的弧_________．相等
它们所对应的其 余各组量也相